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Álgebra Superior I: Axiomas de los conjuntos.

Introducción

Hasta ahora, hemos introducido intuitivamente la idea de qué es un conjunto, cómo describirlos y qué representan. En esta entrada vamos a hablar de tres temas importantes para trabajar con más ideas de los conjuntos: contención, subconjuntos y conjunto potencia.

Las primeras dos van de la mano, y serán una forma de definir subcolecciones dentro de una colección (a la que ahora llamamos conjunto) y nos permitirán manejar con mayor facilidad conceptos que veremos más adelante sobre las operaciones entre conjuntos.

Mientras tanto, el conjunto potencia nos hablará de la forma de combinar elementos dentro de un mismo conjunto, que es un concepto que tiene propiedades muy interesantes.

Estos tres conceptos serán fundamentales para axiomatizar la teoría de los conjuntos.

Axiomatizando los conjuntos

En la entrada pasada, dimos una peequeña introducción a la teoría de conjuntos. Hablamos de su idea intuitiva y algunos ejemplos de su uso en otras materias. Ahora nos toca entrar un poco más en fondo a sus reglas, esto es, sus axiomas.

Para poder hablar de los conjuntos, su idea y la forma en que se manejan, vamos a establecer algunos axiomas que describirán la teoría de conjuntos. Todo objeto matemático que sigan el sistema axiomático, serán conjuntos. Para ello, primero es fundamental declarar que existen los conjuntos, de otra forma no estaríamos trabajando con nada:

Axioma 1. Existe al menos un conjunto.

Este axioma nos permitirá trabajar con conjuntos, pues nos asegurará que al menos existe un conjunto $V$ con el que podremos trabajar los siguientes axiomas. Sin este axioma, no podríamos seguir trabajando la teoría, pues no tendríamos con qué trabajar.

Los siguientes axiomas serán los que nos darán la intuición de qué se puede y no puede hacer con un conjunto.

Axioma 2. Si X es un conjunto y $P(x)$ es una proposición que depende de elementos $x \in X$, entonces:

$$\{x \in X : P(x) \text{ se cumple}\} $$

también es un conjunto.

En la entrada pasada, dimos una idea intuitiva de este axioma, que nos dice que si tenemos un conjunto $X$ y cualquier proposición $P(x)$ de elementos de $X$ entonces podemos construir nuevos conjuntos a partir de los elementos de $X$ que cumplen cierta propiedad. Por ejemplo, piensa que $X$ es el conjunto de todos los zapatos, entonces un conjunto nuevo puede formarse a partir de la proposición $P(x): $»$x$ es amarillo», entonces el nuevo conjunto $\{ x \in X : P(x) $ se cumple $\}$ es el conjunto de los zapatos amarillos. Otro ejemplo de esto, sería el conjunto de los números pares que podemos definir a partir de los números enteros $\mathbb{Z} = \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$. Los número pares se pueden definir como: $2\mathbb{Z} = \{x \in \mathbb{Z} : x = 2n, n \in \mathbb{Z} \}$ es decir, es el conjunto creado por los número enteros multiplicados por dos.

Creando el conjunto vacío.

Antes de seguir con los demás axiomas, vamos a mostrar una consecuencia de los dos primeros axiomas. Observa que por el primer axioma, existe al menos un conjunto al que llamaremos $X$. Y el segundo axioma nos dice que con cualquier conjunto, se puede obtener un conjunto a partir de aquellos elementos que cumplan alguna proposición que depende de elementos de $X$, entonces consideremos la siguiente propocisión:

$$P(x) : x \neq x $$

Esta proposición nos dice que un objeto $x$ no es igual a sí mismo, lo cual es imposible, ninguna cosa u objeto matemático va a cumplir esta proposición. Es decir:

$$\forall x (\neg P(x)) $$

se cumple. ¿Entonces qué conjunto será el conjunto: $\{x \in X : P(x)\} = \{x \in X : x \neq x\} $?

Pues es un conjunto que no tiene a ningún elemento, pues ningún elemento $x$ de $X$ puede cumplir esa definición. Esto no representa ninguna contradicción a algún axioma, lo que nos dice es que existe un conjunto que no tiene a ningún elemento. A este conjunto lo conocemos como conjunto vacío y lo representamos como $\emptyset$. A veces también lo encontrarás como unas llaves sin nada adentro, es decir $\{\}$.

Una vez dicho esto, vamos construyendo poco a poco más resultados, sigamos con los siguientes axiomas:

Axioma 3. Si $X$ y $Y$ son conjuntos, entonces $\{X,Y\}$ es un conjunto.

Esto nos permite «poner» conjuntos, dentro de un conjunto. Es decir, podemos hacer dos conjuntos en los que cada elemento sea un conjunto. Por ejemplo, considera $X = $ el conjunto de zapatos amarillos y $Y = $ el conjunto de los Blergs. Entonces existe el conjunto $Z=\{X,Y\}$ un conjunto que solo tiene dos elementos: el conjunto de los zapatos amarillos y el conjunto de los Blergs. OJO: un zapato amarillo NO pertenece al conjunto $Z$, lo que sí pertenece al conjunto es el conjunto de todos los zapatos amarillos. Es decir, si $x$ es un zapato amarillo, entonces $x \in X$ pero no sucede que $x \in Z$. Lo que sí sucede es $X \in Z$.

De este axioma, podemos deducir la siguiente proposición:

Proposición: Si $X$ es un conjunto entonces $\{X\}$ tambien es un conjunto.

Demostración. Sea $X$ un conjunto. No hay nada en la definición del axioma 3 que impida que $X=Y$, entonces lo que nos dice el axioma es que si tenemos dos conjuntos $X,Y$ donde $X=Y$ entonces el conjunto $W=\{X,Y\}$ es un conjunto, y podemos reescribir este como $\{X,X\}$. Ahora, recuerda que hemos dicho con anterioridad que realmente al describir a un conjunto, solo nos interesan los elementos distintos que lo conforman, es decir, está de más repetir dos veces $X$ dentro de los corchetes que representan los elementos del conjunto $W$, entonces $W=\{X\}$ es un conjunto.

$\square$

Axioma 4. Si $X$ y $Y$ son dos conjuntos, diremos que $X=Y$ (el conjunto $X$ es igual al conjunto $Y$) si tienen exactamente los mismos elementos. Esto se puede describir usando lógica proposicional de la siguiente manera:

$$\big( X=Y\big) \Leftrightarrow \forall x\big(x \in X \Leftrightarrow x \in Y \big)$$

Axioma 5. Si $X$ es un conjunto, entonces el conjunto de los elementos que pertenecen a por lo menos un elemento de $X$ forman un conjunto (unión).

Vamos a leer con más calma el axioma. Primero tenemos un conjunto $X$, digamos el conjunto de todos los grupos dentro de una universidad. Entonces un alumno de esa universidad pertenece al menos a algún grupo. De esta manera, el conjunto de todos los alumnos de la universidad, forma un conjunto. Veamos esto con notación matemática:

Sea $U$ los grupos de la universidad: $\{G_1,G_2,G_3\}$, es decir, cada elemento cada grupo está formado de estudiantes, es decir cada alumno es elemento de un grupo, digamos

$$G_1 = \{A_1,A_2,A_3\}$$

$$G_2 = \{B_1,B_2,B_3\}$$

$$G_3 = \{C_1,C_2,C_3\}$$

Entonces el axioma nos dice que el conjunto de todos los elementos (alumnos) que pertenecen al menos a un elemento de $X$ (grupos del conjunto $U$), forma otro conjunto. En nuestro caso, sería el conjunto de todos los alumnos: $\{A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3,C_1,C_2,C_3\}$.

Quizá esta idea de «los elementos de un conjunto a su vez también tienen elementos» puede ser un poco difícil de entender y quizá hasta un poco filosófica: ¿Hasta qué punto podríamos usar el raciocinio para extraer las partes que componen a un todo? Es decir: Si consideramos el conjunto de todos los zapatos: ¿Qué significa ahora que haya un elemento que pertenezca a un zapato? las respuestas pueden ser variadas, y puede que incluso se te ocurran unas distintas a otra persona que lea esto, así que velo de la siguiente forma: si tenemos la capacidad de hacer una intuición de separar un elemento de algún conjunto en sus partes, entonces podemos hacer otro conjunto con esas partes. Conforme vayas avanzando en tu carrera matemática, vas a poder ir aclarando muchas de estas ideas, volveremos a este axioma más adelante.

Para el siguiente axioma, primero introduciremos algunos conceptos:

Contención entre conjuntos

Recuerda que los conjuntos los pensamos como «colecciones de algo», pueden ser conjuntos de zapatos, conuntos de autos o conjuntos de animales, por mencionar algunos. Para introducir el axioma que sigue, primero hablaremos de la contención y para explicarlo, veamos el conjunto de unas criaturas a las que les llamamos Blorgs y nos ayudaron en la entrada anterior. Lo que tienes que saber de ellos, es que se dividen en Blargs, Blergs y Blurgs según su color (amarillo,rojo y azul respectivamente), como lo puedes ver en la siguiente imagen:

Ahora, llamemos a los 3 Blargs: «blargmino», «blargastacia» y «blargencio», de manera que el conjunto de los Blargs es:

$$\text{Blargs} = \{ \text{ blargmino, blargastacia , blargencio }\}$$.

Ahora, nota que decimos que «blargmino pertenece al conjunto de los Blorgs», pero a su vez también pertenece al conjunto de los Blargs, entonces también podríamos decir blargmino pertenece al conjunto de los Blorgs». ¿Notas que no necesitamos rigor al decir qué es y qué no es un conjunto? Con el simple hecho de poder abstraer sus partes o elementos, es suficiente. Pero ahora surge una pregunta natural: ¿Existe alguna relación entre el conjunto de los $B_a$ Blargs y el conjunto $B_o$ de todos los Blorgs? En cuyo caso, nota que:

$$\forall x(x \in B_a \Rightarrow x \in B_o) $$

Es decir, todo blarg es un blorg. Diremos entonces que los Blargs con un subconjunto de los Blorgs. Ya que todo elemento de $B_a$ está en $B_o$.

Definición. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Diremos que $A$ es un subconjunto de $B$ o que $A$ está contenido en $B$ si:

$$\forall x(x \in A \Rightarrow x \in B). $$

Y lo escribiremos como $A \subset B$

Ahora, nota que cualquier conjunto contiene al conjunto vacío.

Proposición. Sea $X$ un conjunto, entonces $\emptyset \subset X$.

Demostración. Vamos a demostrar esto por contradicción, suponiendo que $\emptyset \not \subset X$, es decir supongamos que $\neg \big( \forall x(x \in \emptyset \Rightarrow x \in X) \big) = \exists x(x \in \emptyset \land x \not \in X) $. Entonces bajo nuestra suposición, existe un elemento $x$ en $\emptyset$ pero $x \not \in X$. ¿Puedes ver porqué esto es una contraidcción? Pues estamos suponiendo que existe un elemento en $\emptyset$, pero por la forma en que definimos al conjunto vacío, esto significaría que existe un elemento $x$ que cumple que $x \neq x$, lo cual es imposible. ¿Cuál fue nuestro error? Pues suponer que no se cumplía $\emptyset \subset X$. Por lo tanto, $\emptyset \subset X$

$\square$

Axioma 6. Si $X$ es un conjunto, entonces existe un conjunto conformado por todos los subconjuntos de $X$. Nos referiremos a este conjunto como el conjunto potencia y lo denotaremos por $\mathcal P (X)$.

Nota que nuestra definición de un subconjunto $Y$ de $X$ nos pide que todo elemento de $Y$ esté en $X$, así que el conjunto potencia será aquel conjunto en el que cada elemento será un conjunto que es subconjunto de nuestro conjunto original. Pongamos un ejemplo para que lo veas mejor:

Ejemplo. Considera al conjunto $X = \{1,2,3\}$ el conjunto con los números enteros del $1$ al $3$, entonces el conjunto potencia está dado por todos sus subconjuntos: $\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}$ es decir, el conjunto potencia de $X$ es: $$\mathcal P(X) =\{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}, X\} $$

Con estos seis axiomas serán con los que trabajaremos, en resumen, los axiomas son los siguientes:

Axioma 1	Existe un conjunto.
Axioma 2	Podemos hacer conjuntos a partir de proposiciones que cumplen o no cumplen elementos de algún conjunto.
Axioma 3	Si $X$ y $Y$ son conjuntos, entonces $\{X,Y\}$ es un conjunto.
Axioma 4	Dos conjuntos son iguales si todos sus elementos son iguales.
Axioma 5	Existe un conjunto que tiene como elementos a todos los elementos que pertenecen a algún elemento de $X$.
Axioma 6	Para cada conjunto $X$, existe su conjunto potencia $\mathcal P (X)$ cuyos elementos son los subconjuntos de $X$.

Tarea moral

Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- $X=Y$
- $ \forall x (x \in X \Leftrightarrow x \in Y)$
- $(X \subset Y) \land (Y \subset X) $
¿Es cierto que el conjunto vacío es único?
¿Cuál es el conjunto potencia de $\{1,2,3,4\}$?
Demuestra que $X=Y$ si y solo si $\mathcal P(X) = \mathcal P(Y)$.

Más adelante…

Ahora que ya hemos establecido als reglas que seguiran los conjuntos, es hora de hablar sobre algunas operaciones dentro de esta teoría. Sobre todo hablaremos de Intersecciones, Uniones y Complementos de conjuntos.

Entradas relacionadas

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Álgebra Superior I: Conjuntos y elementos

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Introducción

Hasta ahora hemos hablado de una parte muy particular de la matemática, la Lógica. Esta te ayudará a entender a lo largo de los cursos de matemáticas, pues es uno de los lenguajes que muchas veces verás escrito y con la que las y los matemáticos nos comunicamos. Pero esta solo es lo que muchos considerarían, la mitad del lenguaje. Ahora introduciremos la noción de la otra mitad del lenguaje, esta es llamada la «teoría de los conjuntos».

Desarmando y armando

Para entender un poco más de esta otra parte del lenguaje, vamos a ayudarnos nuevamente de nuestros amigos Blorgs. Para recordar, los Blorgs son unos seres imaginarios que viven en otro planeta. Estos se dividen en tres especies: Los Blargs, Blergs y Blurgs. Cada uno vive en terrenos distintos y come cosas distintas en diferentes días. Así como tienen sus amigos de distintas especies.

Ahora, veamos un poco cómo es que se vería la isla Blorg, que estaría dividida según las regiones en donde vive cada especie:

Como pudiste observar, cada uno de los Blorgs vive en regiones distintas, como los Blergs viven en las montañas y los Blurgs en bosques, nunca encontrarás un blurg viviendo donde viven los Blergs. Pero cada uno de ellos es un blorg, puesto que blorg es el «conjunto» que describe a la criatura. Es decir «todo blerg es un blorg», pero «no todo blorg es un blerg». La primera idea de la palabra conjunto que vamos a tener es: una colección de objetos. En este caso, podríamos decir que todos los Blergs, Blargs y Blurgs forman el conjunto de los Blorgs.

Por ejemplo, cuando empezamos a hablar de demostraciones, siempre usábamos la frase «Consideremos a $x$ un blorg …» o «Sea $x$ un blerg …», a lo que nos referimos es que dentro del conjunto de los Blorgs, «seleccionábamos» a algun blorg. Por ejemplo, cuando decíamos «Sea $x$ un blorg», podríamos referirnos a este:

O este:

O aquel:

Incluso este:

Lo que nos importaba al momento de hacer las demostraciones, era verificar que sin importar cuál blorg nos «tomaramos», la proposición se cumplía. Y quizá teníamos que verificar algunas particularidades dependiendo de su especie, pero lo importante es que cada uno de estos blorgs que considerábamos, «pertenecía» al conjunto de los Blorgs.

Hemos dicho una palabra fundamental en la teoría de conjuntos, y esta es la noción de pertenecer. Como vimos anteriormente, vamos a decir que un conjunto es una colección de objetos. En este caso el conjunto son los Blorgs y cada blorg es un objeto de dicho conjunto. Así que vamos a decir, en este caso que si $x$ es un blorg y $B$ es el conjunto de los Blorgs, entonces $$x \in B.$$ Y se lee «$x$ pertenece a $B$».

Describiendo conjuntos

Existen dos forma de describir o enunciar a los conjuntos: por extensión y por comprensión. Un conjunto descrito por extensión es aquel en donde decimos explícitamente todos sus elementos, mientras que al describirlo por comprensión, los describimos mediante alguna propiedad que tengan en común.

Por ejemplo, imagina que existen tres Blargs: blargmino, blargastacia y blargencio. Entonces podríamos describir por extensión al conjunto de los Blargs por:

$$\text{Blargs} = \{ \text{ blargmino, blargastacia , blargencio }\}$$.

Pero recordemos que todos los Blargs son Blorgs amarillos, así que igual podríamos describir al conjunto de los Blargs por comprensión:

$$ \text{Blargs} = \{ x \text{ tal que } x \text{ es un blorg amarillo} \} .$$

Este «tal que» se refiere a que $x$ cumple con ser un blorg amarillo. Sin embargo en la práctica no vas a ver escrito esto, y en su lugar se usa la siguiente notación:

$$ \text{Blargs} = \{ x \in B : x \text{ es amarillo} \} .$$

Como podrás ver, hicimos dos reemplazos, el primero de la frase «tal que», y esto nos sirve para ahorrarnos un poco la escritura. El otro simplemente es decir en un inicio a qué conjunto pertenece $x$. Recuerda que $B$ es el conjunto de los Blorgs, así que decimos que los Blargs son los objetos $x$ pertenecientes al conjunto de los Blorgs, tal que $x$ es amarillo. De esta forma simplificamos la escritura escribiendo la pertenencia de conjunto de los objetos.

Cualquiera de las dos formas de describir a un conjunto es correcta, sin embargo es más usual trabajar con la segunda, puesto que si quisiéramos describir al conjunto $X$ de todos los números enteros del 1 al 20, sería poco cómodo escribir:

$$X = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\} $$

Y en su lugar, es más fácil escribir:

$$X = \{ x \in \mathbb{Z} : 1 \leq x \leq 20\}. $$

Donde $\mathbb{Z}$ representa a los números enteros.*

Una cosa además de notar de los conjuntos, es que solo nos importan los elementos diferentes entre sí, esto quiere decir que si queremos describir al conjunto de los números primos menores a 15: $\{2,3,5,7,13\}$, si ya lo hemos descrito una vez, no hace falta volverlo a describir, es decir es redundante decir que el conjunto se conforma por $\{2,2,3,2,5,7,2,13\}$ pues la redundancia del número $2$ ya la hemos escrito en la descripción del conjunto, esto quiere decir que $\{2,2,3,2,5,7,2,13\}$ y $ \{2,3,5,7,13\}$ describen al mismo conjunto, pues la colección que representan es la misma.

Conjuntos y lógica

Si te das cuenta, estamos diciendo cómo es un conjunto en relación a cómo cumple una propiedad. Esto lo podemos traducir a términos de lógica proposicional. Por ejemplo, consideremos $$P(x)= x \text{ es amarillo}.$$

Al escribir

$$\{x \in B: P(x) \}, $$

estaremos describiendo al conjunto de los $x \in B$ para los cuales $P(x)$ es verdadera. Observa que

$$\{x \in B: P(x) \}, $$

describe al mismo conjunto que

$$ \{ x \in B : x \text{ es amarillo} \} .$$

Entonces, es el mismo conjunto que describe a los Blargs:

$$ \text{Blargs} = \{ x \in B : P(x) \} .$$

Esto nos permitirá usar conectores, proposiciones e incluso cuantificadores para describir conjuntos. Y realmente es aquí donde reluce la lógica proposicional que hemos estudiado. Pues el poder escribir conjuntos como elementos que cumplen cierta condición, da más forma a la lógica. Hay quienes dicen que no puede existir la lógica sin los conjuntos y viceversa, pues a lo que antes llamábamos «Universo de Discurso», realmente se refiere a un conjunto.

La importancia de la teoría de conjuntos

Quizá a estas alturas te preguntarás: ¿Por qué estos dos temas grandes que hemos visto (lógica y conjuntos) son algo que se ve en un primer curso de preparación matemática? Pues bien, esto no es coincidencia. En otras materias introductorias a la carrera de matemáticas como Cálculo Diferencial e Integral I, Geometría Moderna I o Geometría Analítica I empiezan a generar resultados, demostraciones, proposiciones, teoremas y demás material basándose en estas dos. Pues al hablar por ejemplo en las primeras notas de cálculo, se ve este tipo de proposiciones:

Proposición: El neutro aditivos es único en $\mathbb{R}$.

Lo que nos traduce este enunciado y su significado es la lógica y la teoría de conjuntos (que vamos a ir desarrollando en las próximas entradas) independientemente de que tengamos claros los conceptos de neutro aditivo (en el sentido del cáclulo diferencial) o del conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$). Aún sin saber esos conceptos, la lógica y conjuntos nos dicen lo siguiente:

La teoría de conjuntos nos dice: Estamos trabajando en el conjunto $\mathbb{R}$

La lógica nos dice: Si $x \in \mathbb{R}$ ($x$ está en el conjunto dentro del que estamos trabajando) es un neutro aditivo, entonces es único.

De esta forma, si $P(x)= x$ es un neutro aditivo, entonces:

$$\exists ! x \in \mathbb{R} (P(x)). $$

Y con nuestro conocimiento de las demostraciones, podríamos reescribir esto como:

$$\forall x,y \in \mathbb{R} \big((P(x)\land P(y)) \Rightarrow (x=y)\big) .$$

Nota que la gran diferencia al considerar a la teoría de los conjuntos, es el ingrediente de saber sobre qué conjunto estamos hablando. Ya que no es lo mismo decir

$$\exists ! x \in \mathbb{R} (P(x)). $$

A decir:

$$\exists ! x \in \mathbb{R}^2 (P(x)). $$

Y este solo es un ejemplo de cómo afecta la teoría de conjuntos en la comprensión de proposiciones, enunciados y teoremas. Nos ayudará a poner contexto, a encontrar propiedades de elementos dentro del mismo conjunto y comprender su relación los unos con los otros.

Notas

*Comúnmente los número enteros se denotan por $\mathbb{Z}$, esta

convención viene de la notación que matemáticos alemanes en el siglo XVIII como Gauss y Euler usaban para referirse a «die Zahlen», cuya traducción del alemán es «los números».

Tarea moral

Describe por comprensión al conjunto de los Blergs.
Describe al conjunto de los números del 10 al 10,000.
Considera al conjunto $$\{ x \in B : P(x) \land \neg Q(x)\}.$$ Donde $$ P(x) = x \text{ come peces}$$ y $$ Q(x) = x \text{ vive en el mar}.$$ ¿A qué especie de Blorgs pertenece este conjunto?
¿Qué conjunto genera la proposición $ P (x) := \exists n \in \mathbb{N}\big( x = 2n + 1 \big)$ donde $x$ es un número entero ?

Más adelante…

Hasta ahora hemos hablado de las primeras nociones básicas de la teoría de conjuntos. Aún faltan un par de conceptos por ver y estos son la contención y el conjunto potencia. Estos resolverán algunas dudas como ¿Qué relación tienen el conjunto de los Blargs y los Blorgs? a su vez, estos nos ayudarán a axiomatizar la teoría de los conjuntos,que como recordarás, ayudarán a ponernos de acuerdo las reglas de los conjuntos apra empezar a sacar resultados de ellos.

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Geometría Moderna I: Cuadriláteros bicéntricos

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Introducción

Ahora que hemos estudiado a los cuadriláteros cíclicos y cuadriláteros circunscritos por separado nos podemos preguntar cuando un cuadrilátero cumple con ambas definiciones y que propiedades tiene, en esta entrada abordaremos este tema.

Definición 1. Decimos que un cuadrilátero convexo es bicéntrico si sus lados son tangentes a una misma circunferencia y sus vértices están en una misma circunferencia, es decir es circunscrito y cíclico al mismo tiempo.

Caracterizaciones

Teorema 1. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero circunscrito y sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo a los lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{AD}$ respectivamente, entonces $\square ABCD$ es cíclico si y solo si $\overline{EG}$ es perpendicular a $\overline{FH}$.

Demostración.Como $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ son tangentes al incírculo en extremos opuestos de una misma cuerda, $E$ y $F$ respectivamente, sabemos que la medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismos arco, en este caso el arco $\overset{\LARGE{\frown}}{EF}$ por lo tanto $\angle BEF = \angle EFB = \mu$ de manera análoga $\angle DGH = \angle GHD = \nu$.

Así que en los triángulos $\triangle BEF$ y $\triangle DHG$ se tiene $\pi = \angle B + 2 \mu = \angle D + 2 \nu$ por lo que
$\begin{equation} 2\pi = \angle B + \angle D + 2(\mu + \nu) \end{equation}$

Ahora supongamos que $\overline{EG}$ y $\overline{FH}$ son perpendiculares, y sea $P$ la intersección de estas cuerdas, entonces $\angle HPE =\dfrac{\pi}{2}$, así que en $\triangle HPE$, $\dfrac{\pi}{2} = \angle PEH + \angle EHP$. Pero $\angle EHF$ y $\mu$ abren el mismo arco, es decir tienen el mismo ángulo central por lo tanto son iguales, de manera similar $\nu = \angle GEH$, por lo tanto $\mu + \nu = \dfrac{\pi}{2}$, sustituyendo esta igualdad en $(1)$ tenemos $2\pi = \angle B + \angle D + \pi \Leftrightarrow \angle B + \angle D = \pi \Leftrightarrow \square ABCD$ es cíclico.

De manera reciproca supongamos que $\square ABCD$ es cíclico entonces $\angle B + \angle D = \pi$ y sustituyendo en $(1)$ concluimos que $\dfrac{\pi}{2} = \mu + \nu$, pero $\nu = \angle PEH$ y $\mu = \angle EHP$, por lo señalado arriba, por lo tanto $\angle PEH + \angle HPE = \dfrac{\pi}{2}$ y así $\overline{EG}$ y $\overline{FH}$ son perpendiculares.

$\blacksquare$

Teorema 2. Sea $\square ABCD$ circunscrito, $I$ el incentro, $K$ y $J$ las intersecciones de los lados $\overline{AB}$ con $\overline{DC}$ y $\overline{AD}$ con $\overline{BC}$ respectivamente entonces $\square ABCD$ es cíclico si y solo si $\overline{IK} \perp \overline{IJ}$.

Demostración. Notemos que el incírculo de $\square ABCD$ es al mismo tiempo el excentro de $\triangle AJB$ y $\triangle BKC$ opuesto a los vértices $J$ y $K$ respectivamente, por lo tanto $\overline{IJ}$ y $\overline{IK}$ son las bisectrices de $\angle J$ y $\angle K$ respectivamente.

Por otro lado, sean $E$, $F$, $G$ y $H$ como en el teorema anterior, en la prueba del teorema anterior vimos que $\angle JHF = \angle HFJ$ y $\angle EGK = \angle KEG$ por lo tanto $\triangle JHF$ y $\triangle KEG$ son isósceles.

Por lo anterior tenemos que las bisectrices de $\angle J$ y $\angle K$ son mediatrices de los lados $\overline{FH}$ y $\overline{EG}$ respectivamente así que $\overline{JL}$ es perpendicular a $\overline{FH}$ y $\overline{KM}$ es perpendicular a $\overline{EG}$ donde $L$ y $M$ son los puntos medios de $\overline{FH}$ y $\overline{EG}$ respectivamente.

De esto último se sigue que en el cuadrilátero $\square LPMI$, $\angle LIM + \angle MPL =\pi$.

Por lo tanto, $\overline{IJ} \perp \overline{IK} \Leftrightarrow \overline{FH} \perp \overline{EG} \Leftrightarrow \square ABCD$ es cíclico.

La última doble implicación se da por el teorema 1.

$\blacksquare$

Teorema de Fuss

Definición 2. Sea $(O, r)$ una circunferencia y $P$ un punto en el plano y trazamos una secante desde $P$ a $(O, r)$ con intersecciones en $A$ y $B$, definimos la potencia de $P$ con respecto a $(O, r)$ como el producto $\omega = PA \times PB$.

Cuando el punto es exterior a la circunferencia consideramos $\omega > 0$, si $P$ está en la circunferencia cualquier secante corta a $(O, r)$ en $P$ y por tanto $\omega = 0$, si el punto es interior a la circunferencia consideramos los segmentos $\overline{PA}$ y $\overline{PB}$ con signo contrario resultando así que $\omega < 0$.

Proposición.
$i)$ La potencia de $P$ con respecto a $(O, r)$ es independiente de la secante que tracemos.
$ii)$ Podemos calcular la potencia de $P$ con respecto a $(O, r)$ como $\omega = OP^2 – r^2$.

Demostración. Trataremos el caso en que $P$ es interior a $(O, r)$.
$i)$ Trazamos dos secantes distintas por $P$ a $(O, r)$, $\overline{AB}$ y $\overline{A’B’}$ entonces $\triangle PAB’$ y $\triangle PA’B$ son semejantes por criterio ángulo, ángulo, ángulo y así
$\dfrac{PA}{PA’} = \dfrac{PB’}{PB} \Leftrightarrow PA \times PB = PA’ \times PB’ = \omega$.

$ii)$ Trazamos $\overline{CD}$ una secante por $P$, perpendicular al segmento $\overline{OP}$, por criterio lado, lado, ángulo recto $\triangle OPC$ y $\triangle OPD$ son congruentes por lo que $PC = PD$ y así $\omega = – PC \times PD = – PC^2$ y por el teorema de Pitágoras $\omega = – (OC^2 – OP^2) = OP^2 – r^2$.

$\blacksquare$

Teorema 3. De Fuss. En un cuadrilátero bicéntrico el circunradio $R$, el inradio $r$ y la distancia $d$ entre el circuncentro y el incentro se relacionan mediante la siguiente expresión
$\dfrac{1}{(R + d)^2} + \dfrac{1}{(R – d)^2} = \dfrac{1}{r^2}$.

Demostración. Sean $\square ABCD$ bicéntrico, $(O, R)$, $(I, r)$ el circuncírculo y el incírculo respectivamente, $E$ y $F$ los puntos de tangencia de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ respectivamente con $(I, r)$.

Como $\square ABCD$ es cíclico $\angle A + \angle C = \pi$ y recordemos que $I$ es la intersección de las diagonales internas de $\square ABCD$ por lo que
$\begin{equation} \angle EAI + \angle ICF = \dfrac{\pi}{2} \end{equation}$

Como $\triangle AEI$ y $\triangle CFI$ son rectángulos y tienen la misma altura desde $I$ Al “pegar” los triángulos $\triangle AEI$ y $\triangle CFI$ por la altura formamos un triángulo rectángulo $\triangle ACI$ cuya área es
$(\triangle ACI) = \dfrac{(AE + FC)r}{2} = \dfrac{AI \times CI}{2}$
$\Leftrightarrow (AE + FC)^2r^2 = AI^2 \times CI^2$.

Podemos calcular $\overline{AC}$ aplicando el teorema de Pitágoras $AI^2 + CI^2 = AC^2 = (AE + FC)^2$.

De las últimas dos expresiones obtenemos $(AI^2 + CI^2)r^2 = AI^2 \times CI^2 \Leftrightarrow$ $\begin{equation} \dfrac{1}{AI^2} + \dfrac{1}{CI^2} = \dfrac{1}{r^2} \end{equation}$

Consideremos $H$ y $G$ los puntos donde $\overline{AI}$ y $\overline{CI}$ intersecan a $(O, R)$ respectivamente, entonces $\angle HAB = \angle HCB = \angle ICF$ pues son subtendidos por el mismo arco entonces por la ecuación $(2)$ $\angle HAG = \angle HAB + \angle BAG = \angle ICF + \angle EAI = \dfrac{\pi}{2}$ por lo tato $\overline{HG}$ es diámetro.

Usando la fórmula para calcular la mediana $\overline{IO}$ en $\triangle IHG$ obtenemos
$IH^2 + IG^2 = 2IO^2 + \dfrac{HG^2}{2} = 2d^2 + \dfrac{(2R)^2}{2}$
$\begin{equation} = 2(d^2 + R^2) \end{equation}$

Como $\square AHGC$ es cíclico entonces
$\begin{equation} AI \times GI = HI \times CI = d^2 – R^2 \end{equation}$

Donde la última igualdad se debe a la potencia de $I$ respecto de $(O, R)$.

De $(4)$ y $(5)$ obtenemos
$\dfrac{1}{AI^2} + \dfrac{1}{CI^2} = \dfrac{GI^2}{(R^2 – d^2)^2} + \dfrac{HI^2}{(R^2 – d^2)^2}$
$= \dfrac{GI^2 + HI^2}{(R^2 – d^2)^2} = \dfrac{2(d^2 + R^2)}{(R^2 – d^2)^2} = \dfrac{(R + d)^2 + (R – d)^2)}{(R^2 – d^2)^2}$
$\begin{equation} = \dfrac{1}{(R + d)^2} + \dfrac{1}{(R – d)^2} \end{equation}$

De $(3)$ y $(6)$ obtenemos la relación buscada
$\dfrac{1}{r^2} = \dfrac{1}{(R + d)^2} + \dfrac{1}{(R – d)^2}$.

$\blacksquare$

Puntos colineales

Teorema 4. En un cuadrilátero bicéntrico el incentro, el circuncentro y la intersección de las diagonales son colineales.

Demostración. Sean $\square ABCD$ bicéntrico $I$ y $O$, su incentro y circuncentro respectivamente y consideremos $E$, $F$, $G$ y $H$ las intersecciones de $\overline{AI}$, $\overline{BI}$, $\overline{CI}$ y $\overline{DI}$ con $(O, R)$ respectivamente.

En $\triangle GDB$ la mediatriz de $\overline{BD}$ pasa por $N$ el punto medio de $\overline{BD}$ y $O$, y la mediana por $G$ pasa por $G$ y $N$.

Como $\overline{CG}$ es bisectriz de $\angle DCB$ entonces $\angle DBG = \angle DCG = \angle GCB = \angle GDB$ por tanto $\triangle GBD$ es isósceles y así la mediatriz de $\overline{BD}$ y la mediana por $G$coninciden por lo que $G$, $N$ y $O$ son colineales al mismo tiempo que esta recta es diámetro pues pasa por $O$.

En la prueba del teorema de Fuss vimos que $\overline{GE}$ es diámetro por lo tanto $G$, $N$, $O$ y $E$ son colineales además $\angle ONP = \dfrac{\pi}{2}$ donde $P$ es la intersección de las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$.

De manera análoga $F$, $M$, $O$ y $H$ son colineales donde $M$ es el punto medio de $\overline{AC}$ y $\angle PMO = \dfrac{\pi}{2}$.

Se sigue que $\square PNOM$ es cíclico por lo que
$\begin{equation} \angle MNP = \angle MOP \end{equation}$

Por otro lado $\square DBHF$ es cíclico, $I$ es la intersección de las diagonales por construcción así que $\triangle IBD \sim \triangle IHF \Rightarrow \dfrac{IB}{IH} = \dfrac{BD}{FH} = \dfrac{\dfrac{1}{2}BD}{\dfrac{1}{2}FH} = \dfrac{BN}{OH}$
y como $\angle IBN = \angle OHI \Rightarrow \triangle IBN \sim \triangle IHO \Rightarrow \angle BNI = \angle IOH$ y así
$\begin{equation} \angle INP = \angle MOI \end{equation}$

Por el teorema de Newton $N$, $I$ y $M$ son colineales, además $I$ se encuentra entre $N$ y $M$ pues estos están sobre lados opuestos del cuadrilátero $\square DBHF$ y por las ecuaciones $(7)$ y $(8)$ tenemos $\angle MOI = \angle INP = \angle MNP = \angle MOP$.

Es decir el ángulo que forman las rectas $\overline{IO}$ y $\overline{MO}$ es el mismo ángulo que forman las rectas $\overline{PO}$ y $\overline{MO}$, por lo tanto $\overline{IO}$ y $\overline{PO}$ son la misma recta, y así los puntos $I$, $O$ y $P$ son colineales.

$\blacksquare$

Acotando el área del cuadrilátero bicéntrico

Teorema 5. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero bicéntrico con inradio $r$ y circunradio $R$ entonces
$4r^2 \leq (\square ABCD) \leq 2R^2$.

Demostración. Primero veamos que $4r^2 \leq (\square ABCD)$, sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo con los lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{AD}$ respectivamente.

Entonces $AE = AH = x$, ya que $\triangle IEA \cong \triangle IHA$ por criterio lado, lado, angulo recto, de manera análoga $BE = BF = y$, $CF = CG = z$ y $DG = DH = w$.

En la demostración del teorema de Fuss vimos que $\angle IAH + \angle GCI = \dfrac{\pi}{2}$ de esto se sigue que $\triangle IHA$ y $\triangle CGI$ son semejantes $\Rightarrow \dfrac{r}{z} = \dfrac{x}{r} \Leftrightarrow r^2 = xz$ de manera análoga $r^2 = yw$.

Usando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica obtenemos
$(\square ABCD) = 2((\triangle IAE) + (\triangle IBF) + (\triangle ICG) + (\triangle IDH)) = r(x + y + z + w)$
$ = 2r (\dfrac{x + z}{2} + \dfrac{y + w}{2}) \geq 2r(\sqrt{xz} + \sqrt{yw}) = (2r)(2r) = 4r^2$.

Donde la igualdad se da si y solo si $x = y = z = t = r$, de donde se sigue que $\triangle ADC$ es isósceles por lo tanto $\angle IAH = \angle GCI = \dfrac{\pi}{4}$, del mismo modo vemos que $\angle IBE = \angle DIH = \dfrac{\pi}{4}$ y por lo tanto $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = \dfrac{\pi}{2}$ es decir $\square ABCD$ es un cuadrado.

$\blacksquare$

Ahora veamos que $(\square ABCD) \leq 2R^2$, tracemos la diagonal $\overline{BD}$ y sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares a $\overline{BD}$ trazadas desde $A$ y $C$ respectivamente y $P$ la intersección de las diagonales.

Por Pitágoras $AE \leq AP$ y $CF \leq CP \Rightarrow AE + CF \leq AC$
y se tiene la igualdad si y solo si las diagonales son perpendiculares.

Luego, $(\square ABCD) = (\triangle ABD) + (\triangle CBD) = \dfrac{BD}{2}(AE + CF) \leq \dfrac{AC \times BD}{2}$.

Como $\square ABCD$ es cíclico entonces cada diagonal es menor o igual que el diámetro $2R$ del circuncírculo.

Por lo tanto $(\square ABCD) \leq 2R^2$ donde la igualdad se da si y solo si las diagonales son perpendiculares y son diámetros del circuncírculo es decir $\square ABCD$ es un cuadrado.

$\blacksquare$

Tarea moral

Muestra que para un cuadrilátero bicéntrico $\square ABCD$ de lados $a$, $b$, $c$ y $d$, diagonales $p$ y $q$, inradio $r$ y circunradio $R$ se tiene:
$i)$ $(\square ABCD) = \sqrt{abcd}$
$ii)$ $8pq \leq (a + b + c + d)^2$
$iii)$ $\sqrt{2}r \leq R$
Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero circunscrito y sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo a los lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{AD}$ respectivamente, considera los puntos medios $I$, $J$, $K$ y $L$ de los segmentos $\overline{HE}$, $\overline{EF}$, $\overline{FG}$ y $\overline{GH}$ respectivamente muestra que $\square ABCD$ es cíclico si y solo si $\square IJKL$ es un rectángulo.

Sea $\square ABCD$ bicéntrico, $(I, r)$ el incírculo y $P$ la intersección de las diagonales, muestra que:
$i)$ $\dfrac{1}{AI^2} + \dfrac{1}{CI^2} = \dfrac{1}{BI^2} + \dfrac{1}{DI^2} = \dfrac{1}{r^2}$
$ii)$ $\dfrac{AP}{CP} = \dfrac{AI^2}{CI^2}$ , $\dfrac{BP}{DP} = \dfrac{BI^2}{DI^2}$
Sea $(O, r)$ una circunferencia y $P$ un punto exterior a la circunferencia muestra que:
$i)$ la potencia de $P$ con respecto a $(O, r)$ es independiente de la secante que tracemos
$ii)$ la potencia de $P$ con respecto a $(O, r)$ es $\omega = OP^2 – r^2 = PT^2$, donde $T$ es el punto de intersección de una tangente trazada desde $P$ a $(O, r)$.
Construye un cuadrilátero bicéntrico.

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos propiedades de los cuadriláteros cuyas diagonales son perpendiculares.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral I: Concepto de función.

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Introducción

En la unidad anterior desarrollamos todo lo concerniente a los números reales, ahora comenzaremos a ver funciones. Para ello recordemos de nuestros cursos de álgebra como se define el producto cartesiano de un par de conjuntos $A$ y $B$:
$$ A\times B := \left\{ (a,b) : a \in A, b \in B \right\}$$
así vemos que sus elementos son pares ordenados.

Por lo que decimos que una relación $R \subseteq A\times B$ si ocurre que $(a,b) \in R$ donde $a \in A$ y $b \in B$.

Basándonos en este par de conceptos daremos la definición formal de función entre un par de conjuntos.

Definición de función

Definición (función): Una función $f$ es una relación tal que:

Para todo $a \in A$ existe $b \in B$ donde $(a,b) \in f$
Si $(a, b_{1}), (a, b_{2})$ entonces $b_{1}= b_{2}$

Notación:

$f : A \rightarrow B$ es una función con dominio $A$ y codominio $B$.
Si $(a,b) \in f$ entonces $f(a)=b$ es llamada la regla de correspondencia de f.

En resumen, a una función $f : A \rightarrow B$ la conforman tres cosas:

Su dominio
Su codominio
Su regla de regla de correspondencia

El conjunto imagen de una función

Definición (Conjunto imagen): Sea $f : A \rightarrow B$ una función. La imagen de f se define cómo:
$$Im_{f}:= \left\{ b \in B : \exists a \in A (f(a) =b) \right\}$$
Simplificado sería:
$$Im_{f}:= \left\{ f(a) \in B : a \in A \right\}$$

Ejemplo: Sea $f: \r \rightarrow \r$. Si $f(x)=|x|$ entonces $Im_{f}=[0, \infty)$

Demostración:
$\subseteq )$ Sea $x \in \r$. Vemos que $f(x)= |x|\geq 0$ por lo que $f(x) \in [0, \infty)$

$\supseteq )$ Tomemos $y \in [0, \infty)$. Debemos probar que existe $x \in \r$ tal que $f(x)= y$.
Sea $x=y \in \r$ con $y \geq 0$. Así se sigue que $f(y)= |y|=y$ por lo que $f(y)=x$

$\square$

Ejemplo

Encuentra el dominio y la imagen de la siguiente función:
$$f(x)= \sqrt{1-x^{2}}$$

Dominio:
Vemos que $y=\sqrt{1-x^{2}}$ está bien definido
\begin{align*}
&\Leftrightarrow 1-x^{2} \geq 0\\
&\Leftrightarrow 1 \geq x^{2}\\
&\Leftrightarrow 1 \geq |x|\\
\end{align*}
Así concluimos que el dominio es el conjunto:
$$D_{f}= [-1,1]$$
Imagen:
Cómo $x \in [-1,1]$ entonces
\begin{align*}
-1 \leq x \leq 1 &\Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq 1\\
&\Leftrightarrow 0 \geq -x^{2} \geq -1\\
&\Leftrightarrow 1\geq 1-x^{2} \geq 1-1\\
&\Leftrightarrow 1\geq 1-x^{2} \geq 0\\
&\Leftrightarrow 1\geq \sqrt{1-x^{2}} \geq 0\\
\end{align*}

Por lo anterior tenemos:
$$Im_{f} = [0,1]$$

Ejercicio 1

Encuentra el dominio de la siguiente función:
\begin{equation*} f(x)= \frac{1}{4-x^{2}} \end{equation*}

Vemos que la función está bien definido si y sólo si:
\begin{align*}
4-x^{2} \neq 0 &\Leftrightarrow (2-x)(2+x) \neq 0\\
&\Leftrightarrow x \neq 2 \quad \text{y} \quad x\neq -2
\end{align*}
Por lo que su dominio sería:
$$D_{f}= \r – \left\{-2,2 \right\}$$
es decir, todos los reales quitando el $-2$ y el $2$.

Ejercicio 2

Encuentra el dominio de la siguiente función:
$$f(x)= \sqrt{x-x^{3}}$$

Dominio:
Vemos ahora que para $y=\sqrt{x-x^{3}}$ está bien definido
\begin{align*}
&\Leftrightarrow x-x^{3} \geq 0\\
&\Leftrightarrow x(1-x^{2}) \geq 0\\
&\Leftrightarrow x(1-x)(1+x) \geq 0\\
&\Leftrightarrow x_{1} \geq 0,\quad x_{2} \leq 1, \quad x_{3} \geq -1
\end{align*}

De las condiciones anteriores vemos que tenemos los siguientes posibles intervalos que cumplen la desigualdad inicial:

$(-\infty, -1]$
Vemos que al sustituir $x= -1 \in (-\infty,-1]$ tenemos que:
$$-1-(-1)^{3} = -1-(-1)= 0 \geq 0$$
por lo que se cumple la desigualdad $x-x^{3} \geq 0$.
$(-1,0)$
Tomando $x=-\frac{1}{2}$ vemos que:
$$-\frac{1}{2} -\left(-\frac{1}{2} \right) ^{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = -\frac{3}{8}$$
Por lo que no se cumple ser mayor o igual que cero.
$[1,0]$
Ahora si tomamos $x=1$ observamos:
$$1- 1^{3} =1-1 =0$$
por lo que cumple la desigualdad.
$(1,\infty)$
Por último si consideramos $x= 2$ ocurre que:
$$2- (2)^{3} =2-8 =-6$$
que no cumple la desigualdad.

Del análisis anterior vemos que los intervalos que cumplen con $x-x^{3} \geq 0$ son:
$$(-\infty, -1] \cup [1,0]$$
Por lo que el dominio de la función sería:
$$D_{f}=(-\infty, -1] \cup [1,0]$$

Gráfica de una función

Definición (gráfica): Sea $f:D_{f} \subseteq \r \rightarrow \r$ Definimos a la grafica de f como el conjunto:
$$ Graf(f)= \left\{ (x,y)\in {\mathbb{R}}^2: x \in D_{f}, \quad y=f(x) \right\}$$
que es equivalente a decir:
$$Graf(f)= \left\{(x, f(x)): x \in D_{f} \right\}$$

Ejemplos

Para la función constante tenemos:
$$f(x)=c$$
donde $D_{f}= \r$ y $Im_{f}= {c}$.

Por lo que si gráfica se vería como:

Para la función identidad tenemos:
$$Id(x)=x$$
donde $D_{f}= \r$ y $Im_{f}= \r$.

Así su gráfica se vería:

Tarea moral

A continuación encontrarás una serie de ejercicios que te ayudarán a repasar los conceptos antes vistos:

Sea $f: \r \rightarrow \r$. Demuestra que si $f(x)=x^{2}$ entonces $Im_{f}=[0, \infty)$
Encuentra el dominio de las siguientes funciones:
- $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{x+1} \end{multline*}$
- $\begin{multline*} f(x)= x \sqrt{x^{2}-2} \end{multline*}$
- $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{-x}+ \frac{1}{\sqrt{x+2}} \end{multline*}$
- $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{2+x-x^{2}} \end{multline*}$

Más adelante

En la próxima entrada veremos las definiciones relacionadas con las operaciones entre funciones: suma, producto, cociente y composición.

Entradas relacionadas

Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I: Conjuntos Infinitos (Adicional).
Cálculo Diferencial e Integral I: Suma, producto, cociente y composición de funciones.
Resto de cursos: Cursos

Probabilidad I-Videos: Distribución hipergeométrica

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Introducción

La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta que nos proporciona una fórmula análoga a la de la distribución binomial, válida para el muestreo sin remplazo, en cuyo caso los ensayos no son independientes.

Distribución hipergeométrica

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

Demuestra que la función de probabilidad de la distribución hipergeométrica cumple las condiciones de una función de probabilidad.

Sea $X$ es una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Verifica que si $n=1$, la variable $X∼ Bernoulli\left(\frac{K}{N}\right)$.

Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Demuestra que $f_X\left(x+1\right)=\frac{\left(k-x\right)\left(n-x\right)}{\left(x+1\right)\left(N-k-n+x-1\right)}f\left(x\right)$ para $x=0, 1, 2, …, n$.

Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Demuestra que la función de probabilidad de $X$, converge a la función de probabilidad $binomial(n,p)$, cuando $N\rightarrow\infty$ y $k\rightarrow\infty$ de tal manera que $\frac{k}{N}\rightarrow p$.

Supongamos que una caja contiene 19 fresas, 3 de las cuales son de plástico y en consecuencia no se pueden comer. ¿Cuál es el número mínimo de fresas que deben ser seleccionadas, si requerimos que $P(al\ menos\ 1\ sea\ de\ plástico) ≥ .79$?

Más adelante…

La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de éxito si se extrae, sin reemplazo una serie de objetos de una población que contiene algunos objetos que representan el «fracaso» mientras que otros representan el «éxito». Es común encontrar esta distribución en el control de calidad.

Entradas relacionadas

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