Introducción
En la entrada anterior dimos la definición de polinomio característico. Vimos que siempre es un polinomio mónico y que su grado es exactamente del tamaño de la matriz. También, vimos cómo calcular el polinomio mínimo en algunos casos particulares. En esta entrada veremos varias propiedades que nos van a facilitar el calcular el polinomio característico (y por tanto los eigenvalores) en un amplio rango de matrices diferentes.
Comenzaremos estudiando el polinomio mínimo de las triangulares superiores. Luego, veremos cómo calcular el polinomio de matrices nilpotentes. No solo nos harán la vida más fácil los resultados a continuación, si no que los usaremos en la teoría más adelante.
Matrices triangulares superiores y transpuestas
El caso de las matrices triangulares superiores es muy sencillo, como veremos a través del siguiente problema.
Problema. Sea una matriz triangular superior. Demuestra que
Solución. La matriz sigue siendo triangular superior, y sus entradas diagonales son precisamente
. Usando que el determinante de una matriz triangular superior es el producto de sus entradas diagonales y usando la definición se sigue que
Ejemplo. Si queremos calcular el polinomio característico de la matriz
entonces podemos aplicar el problema anterior y deducir inmediatamente que
¡Qué complicado hubiera sido calcular el determinante a pie!
Por otro lado, recordando la demostración que dice que los eigenvalores de la transpuesta de una matriz son iguales a los de la matriz original era de esperarse que el polinomio característico también «se portara bien» bajo transposición.
Problema. Demuestra que las matrices y
tienen el mismo polinomio característico para cualquier
.
Solución. Notamos que . Como una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante se tiene que
Estrictamente hablando, estamos haciendo un poquito de trampa en la demostración anterior (y de hecho en varias que involucran a la variable ). Las propiedades de determinantes que hemos visto (como que una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante) las obtuvimos partiendo de la hipótesis de que las entradas vienen de un campo
. Pero cuando agregamos a la variable
, ahora las entradas vienen más bien de un anillo: el anillo de polinomios en
. Aunque esto parezca un problema, en realidad no lo es. Las propiedades que usamos pueden mostrarse también en ese contexto.
Veamos ahora cómo podemos aplicar el resultado anterior en un ejemplo concreto.
Ejemplo. Queremos calcular el polinomio característico de la matriz
Para esto notamos que
que es triangular superior. Usando el primer problema
Finalmente por el último problema
El término de la traza
Como vimos en la entrada anterior, en el polinomio aparecen los términos
y
. El siguiente problema aplica esto al polinomio característico e incluso deducimos otro término: la traza.
Problema. Demuestra que el polinomio característico de es de la forma
Solución. Regresemos a la definición
Haciendo la expansión salvajemente podemos recuperar al menos los primeros términos:
Más aún, nota cómo el producto es distinto de cero si y sólo si
para todo
: es decir si
es la identidad. Esto muestra que
es mónico de grado
, como ya habíamos mencionado en la entrada anterior.
Además, el término constante está dado por
Nos falta estudiar el término de grado . Si
, entonces
es distinto de cero solo si
para todo
: pero
es una permutación, en particular una biyección, lo que fuerza que
también y entonces
sea la identidad. Entonces el término de
en

Ejemplo. Si es la matriz del primer problema de esta entrada, tenemos que
Nota cómo el término de es en efecto
y el último es
.
Matrices nilpotentes
El caso de las matrices nilpotentes es todavía más sencillo.
Problema. Sea una matriz nilpotente. Es decir, existe
tal que
.
- Demuestra que
- Demuestra que
para todo
.
Solución.
- Sea
tal que
(existe pues
es nilpotente). Entonces
Tomando el determinante de ambos lados y recordando que abre productos llegamos a
De aquí, concluimos quetiene que dividir a
, pero sabemos que
es mónico y de grado
. Concluimos entonces que
.
- Puesto que
también es una matriz nilpotente, el inciso anterior nos dice que
Pero sabemos por la sección sobre la traza que el término dees
. Como este término no aparece, concluimos que la traza es cero.
Ejemplo. Para calcular el polinomio característico de la matriz
podríamos notar (aunque no sea obvio a simple vista) que . Luego, por el problema anterior,
.
Un último caso particular
Acabamos con una última familia de matrices con polinomio característico simple. Esta familia está descrita por su forma, y será de particular importancia para el teorema de Cayley-Hamilton.
Problema. Para escalares consideramos la matriz
en .
Demuestra que
Solución. Sea . Considera la matriz
Sumando el segundo renglón multiplicado por al primer renglón, luego sumándole también al primer renglón el tercero multiplicado por
, el cuarto por
, y así sucesivamente hasta sumar el último renglón multiplicado por
llegamos a la matriz
Recordamos que el determinante es invariante bajo sumas de renglones, por lo que
Expandiendo el determinante de en el primer renglón obtenemos sencillamente
Para la segundaigualdad usamos que el determinante es el de una matriz triangular superior con puros como entradas. Para la última, usamos que
siempre es un número par, así que queda
elevado a un número par. Esto concluye la prueba.
Una de las consecuencias de la proposición anterior es que para cualquier polinomio mónico de grado
en
, existe una matriz en
tal que su polinomio característico es
.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Encuentra una matriz
tal que
. Sugerencia: Usa el último problema.
- Demuestra que el polinomio característico de una matriz
triangular inferior está dado por
.
- Demuestra que
es eigenvalor de una matriz si y sólo si su determinante es cero.
- Calcula el polinomio característico de la siguiente matriz con entradas reales:
?
- ¿Es cierto que si
es cualquier campo y
es una matriz con entradas en
, entonces el hecho de que
implica que
sea nilpotente? Sugerencia: Piensa en
.
- Da una demostración alternativa al último problema de esta entrada usando inducción matemática sobre el tamaño de la matriz.
Más adelante
En la próxima entrada veremos unos últimos aspectos teóricos del polinomio característico antes de lanzarnos de lleno al teorema de Cayley-Hamilton y su demostración.