Uno de los aspectos importantes de esta unidad es la teoría de la división armónica, la cual se relaciona con la teoría de los polos y polares, para ello veremos unos teoremas respecto a las relaciones armónicas ejemplificando esto.
Relaciones Armónicas
Teorema. Sean dos puntos conjugados $A$ y $B$ respecto a una circunferencia $C(O,r)$, donde $A$ está dentro y $B$ está fuera, entonces $A$ y $B$ son armónicos respecto a los puntos de intersección en donde la recta que une a $A$ y $B$ se determina con la circunferencia $C$.
Demostración. Dada una circunferencia $C(O,r)$ y dos puntos $A$ dentro de $C$ y $B$ fuera de $C$. La recta $AB$ corta a $C$ en dos puntos $P$ y $Q$, sea $a$ la polar de $A$ y $b$ la polar de $B$, por lo cual $b$ pasa por $A$ y $a$ pasa por $B$.
Ahora se tienen los inversos de $A$ y $B$ que son $A’$ y $B’$ correspondientemente, se tiene que $a$ es perpendicular a $OA’$ por $A’$ y $b$ es perpendicular a $OB’$ por $B’$, de esta forma el cuadrilátero $B’BA’A$ es cíclico y su circunferencia es perpendicular a $C(O,r)$, y se sigue que $AB$ es diámetro de $C(O,r)$. Por lo tanto, $A$ y $B$ son armónicos respecto a $P$ y $Q$.
$\square$
Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia dada, dos líneas conjugadas se intersecan fuera de $C$, están separadas armónicamente por las tangentes de sus puntos de intersección.
Demostración. Sean $p$ y $q$ las dos rectas conjugadas, tal que $p$ corta a $C(O,r)$ y $q$ no corta a $C(O,r)$. El punto de intersección de $p$ y $q$ es $S$ fuera de $C(O,r)$.
Sea $P$ el punto de $p$ donde $P$ pertenece a $q$, la polar de $S$ es $s$ que pasa por $C$ donde $C$ es la intersección de $p$ y $s$, entonces la polar de $C$ pasa por $S$. También la polar de $P$ es $p$ que pasa por $C$ entonces la polar de $C$ pasa por $P$, entonces su polar es $q$ y también la polar de $C$ pasa por $D$, por lo cual la polar de $D$ pasa por $C$.
Por lo cual $C$ y $D$ son conjugados respecto a $C(O,r)$, entonces $C$ y $D$ son conjugados respecto a $A$ y $B$. Por lo tanto, $p$ y $q$ son armónicos respecto a $SA$ y $SB$.
$\square$
Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia, $p$ una recta y sean $A,B,C,D$ cuatro puntos armónicos sobre la recta, $p$, si $a,b,c,d$ son las polares respecto a $C(O,r)$ de $A,B,C,D$ entonces $a,b,c,d$ son líneas armónicas, entonces el haz $P{a,b,c,d}$ es armónico.
Demostración. Se tienen $A,B,C,D$ puntos armónicos dados, con sus respectivas polares $a,b,c,d$ las cuales pasan por un punto $S$, el cual es el polo de la recta en la cual están los puntos. Ahora cada polar es perpendicular a la recta que une su polo con el centro de la circunferencia $C(O,r)$, y además el ángulo entre dos líneas cualesquiera del haz $O(ABCD)$ es igual al ángulo entre las rectas correspondientes del haz $a,b,c,d$. Por lo cual el haz $P{a,b,c,d}$ es armónico.
$\square$
Más adelante…
Se abordará el tema de dualidad desde un punto de vista teórico, y también se analizará los triángulos autopolares.
Es momento de interactuar entre dos espacios métricos, $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$, cada uno con su respectivo conjunto de puntos y métrica definida en ellos. Podemos relacionar puntos del espacio métrico $X$ con puntos en el espacio métrico $Y.$ Será natural preguntarse qué ocurre con las distancias en el nuevo espacio métrico, en comparación con el de origen. Considera la siguiente:
Definición. Imagen de un conjunto. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Si $A \subset X$ y $f: X \to Y$ es una función, entonces $f \,$ define un conjunto en $Y$ dado por $f(A):=\{f(x)|x\in A\}$, que llamaremos la imagen de $A$ bajo $f \,$ y es la colección de elementos que se le asignan a cada elemento de $A.$
Representación del conjunto $f(A),$ el conjunto al que $A$ es enviado bajo $f.$
Ahora preguntamos: ¿bajo qué circunstancias una función envía puntos de $A \subset X$ a puntos en $Y$ que se aproximan a algún punto $L \in Y$?
Si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$, por definición, todas sus bolas abiertas tienen elementos en $A$ distintos de $x_0.$ Podemos así, identificar puntos cercanos a $x_0$, según la distancia $d_X$, que bajo la función $f$ sean enviados a puntos en $Y$ que estén cerca de un punto $L$, según la distancia $d_Y.$ Como los puntos cerca de $L$ en $(Y,d_Y)$ son los que están en la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $L,$ se busca conseguir que los puntos cerca de $x_0$ caigan justamente en $B_Y(L,\varepsilon).$ (El subíndice $Y$ en $B_Y$ nos recuerda en qué espacio métrico es considerada la bola abierta. Recuerda que pueden ser diferentes, según la métrica a la que se refiera).
Un elemento de la bola abierta con centro en $x_0$ «cae dentro» de la bola abierta con centro en $L.$
De manera formal tenemos la siguiente:
Definición. Límite de una función. Sea $f: X \to Y$ una función entre espacios métricos y $x_0$ un punto de acumulación de $A.$ Decimos que el límite de $f$, cuando $x$ tiende al punto $x_0$ es $L \in Y$, si ocurre que para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x\neq x_0, \text{ si } d_X(x,x_0)< \delta$ entonces $\, d_Y(f(x),L)<\varepsilon.$ Se denota como: $$\underset{x \to x_0}{lim} \,f(x) \,:=L$$ Se dice entonces que $f(x) \to L$ cuando $x \to x_0.$
Esta definición se puede expresar en términos de bolas abiertas como sigue: $\, \underset{x \to x_0}{lim} \,f(x) \,=L \,$ si para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que $f(B_X(x_0,\delta) \setminus \{x_0\}) \subset B_Y(L,\varepsilon).$
Veamos un resultado que nos permite concluir límites a partir de sucesiones.
Proposición. Considera $A \subset X$ y $x_0 \in A$ un punto de acumulación en $A.$ Entonces $$\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \,=L$$ si y solo si para toda sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A \setminus \{x_0\}$ tal que $x_n \to x_0$ ocurre que $$\underset{n \to \infty}{lim} \, f(x_n) \,=L.$$ Demostración: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $A \setminus \{x_0\}$ que converge a $x_0 \,$ y sea $\varepsilon >0.$ Como $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \,=L$ entonces existe $\delta>0$ tal que para todo $x\neq x_0, \text{ si } d_X(x,x_0)< \delta \,$ entonces $\, d_Y(f(x),L)<\varepsilon.$
Si $(x_n) \to x_0 \,$ en $X \,$ entonces $(f(x_n)) \to L \,$ en $Y.$
Como $(x_n) \to x_0$, entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $ \, n\geq N, \, d_X(x_n,x_0)< \delta$, así para todo $ \, n \geq N, \, d_Y(f(x_n),L) < \varepsilon$ por lo tanto $f(x_n) \to L\, $ en $\, Y.$
Ahora supón que el recíproco no es cierto. Entonces existe $\varepsilon_0 >0$ tal que para todo $ \, \delta>0$ existe $x_0 \neq x_0 \,$ con $\, d_X(x_0,x_0)<\delta$ pero $\, d_Y(f(x_0),L)> \varepsilon_0.$
De modo que para cada bola abierta con centro en $x_0$ y radio $\frac{1}{n}$ con $n \in \mathbb{N}$ podemos elegir un punto $x_n \in (B_X(x_0,\frac{1}{n}) \setminus \{x_0\})$ pero $\, d_Y(f(x_n),L)> \varepsilon_0.$
Hay un punto en $B_X(x_0,1)$ que $f$ envía fuera de $B_Y(L,\varepsilon_0).$
La sucesión $x_n \to x_0 \,$ pero la sucesión $(f(x_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ al quedarse siempre fuera de la bola abierta $B_Y(L,\varepsilon_0)$ no converge a $L$, lo cual es una contradicción.
Hay un punto en $B_X(x_0,1/2)$ que $f$ envía fuera de $B_Y(L,\varepsilon_0).$
Por lo tanto $\, \underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \,=L.$
Hay un punto en $B_X(x_0,1/n)$ que $f$ envía fuera de $B_Y(L,\varepsilon_0).$
Las siguientes proposiciones son propiedades de límites de funciones en los espacios métricos mencionados:
Proposición. Sea $z \in \mathbb{C}$ con $z = a+bi$ donde $a,b \in \mathbb{R}.$ La métrica usual en los complejos es la inducida por la norma: $$\norm{z}:= \sqrt{a^2+b^2}.$$ Sean $f:A \to \mathbb{C}$ y $g:A \to \mathbb{C}.$ Si se definen Si se definen la suma de funciones como $$(f+g)(x):=f(x)+g(x)$$ y el producto de funciones como $$(f g)(x):=f(x)g(x)$$ entonces, si $x_0 \,$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x \to x_0}{lim}\, f(x) \,=L_1 \,$ y $\, \underset{x \to x_0}{lim}\, g(x) \,=L_2$, se tiene que:
a) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \pm g(x) \,=L_1 \pm L_2.$ b) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x)g(x) \,=L_1 L_2.$ c) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) / g(x) \,=L_1 / L_2$ cuando $L_2 \neq 0.$
La demostración se deja como ejercicio.
Proposición. Sean $f,g: A \subset X \to \mathbb{R}^n\, $ Si se definen la suma de funciones como $$(f+g)(x):=f(x)+g(x)$$ y el producto punto (o producto escalar) como $$(f \cdot g)(x):=f(x) \cdot g(x)$$ entonces, si $x_0 \,$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x \to x_0}{lim}\, f(x) \,=L_1 \,$ y $\, \underset{x \to x_0}{lim} \,g(x) \,=L_2$, se tiene que:
Nota que no hemos evaluado la función en $x_0,$ la definición no necesita siquiera que la función esté definida ahí. La próxima vez veremos el caso en que la función sí está definida en $x_0 \in A \subset X$ y más aún, tiene como límite al punto $f(x_0).$ Hablaremos así de funciones continuas en un punto $x_0$ y observaremos el efecto que estas funciones producen en subconjuntos abiertos y cerrados de un espacio métrico.
En esta entrada vamos a ver una forma de definir distancias (sí, de nuevo) pero ahora no directamente entre los elementos de un conjunto, sino entre los subconjuntos de un espacio métrico. Entonces, los subconjuntos pasarán a ser vistos como elementos de un nuevo espacio con cierta métrica. Al final haremos sucesiones de conjuntos. Descubriremos bajo qué condiciones estas sucesiones de conjuntos convergen. Será emocionante descubrir que dos conjuntos están cerca uno de otro, cuando son muy parecidos entre sí (en forma y tamaño).
El contenido a exponer se basa predominantemente en el libro «A course in Metric Geometry», escrito por Dmitri Burago, Yuri Burago y Sergei Ivanov (páginas 252 y 253). Omitiremos las demostraciones de las proposiciones, pues no son parte de los objetivos del curso. El lector puede consultarlas en el libro mencionado si así lo desea.
Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Visualiza un conjunto $A \subset X$ y un punto arbitrario $x \in A.$
$x$ está en $A.$
Sea $\varepsilon >0.$ Este valor define a $B(x,\varepsilon).$
$x$ está en la bola de radio $\varepsilon.$
Visualiza la unión de todas las bolas de radio $\varepsilon.$ Definimos el conjunto $U_\varepsilon(A) := \underset{x\in A}{\cup}B(x,\varepsilon).$ Nota que este conjunto contiene al conjunto $A.$
Todas las bolas de radio $\varepsilon$ con centro en un punto de $A.$
El conjunto $U_\varepsilon(A)$ es la unión de todas las bolas.
Asímismo, todos los elementos de $U_\varepsilon(A)$ distan en menos que $\varepsilon$ a algún elemento de $A$, pues están en una de las bolas de radio $\varepsilon.$
Un punto $y$ en $U_\varepsilon(A)$ tiene distancia menor que $\varepsilon$ a un punto en $A.$
Pensemos ahora en los conjuntos definidos de esta forma en $A$ pero buscando que también contengan a un conjunto $B \subset X$
Se puede dar el caso en que aunque $U_\varepsilon(A)$ contiene a $A,$ no contiene al conjunto $B.$
$U_\varepsilon(A)$ no cubre a $B$ completamente.
Identificando valores para $\varepsilon >0$ suficientemente grandes, se logra la contención deseada:
$U_{\varepsilon’}(A)$ también contiene a $B.$
Podemos identificar al ínfimo de los $\varepsilon$´s $>0$ y encontrar así un conjunto $U_{\varepsilon´´}(A)$ más ajustado pero que sigue conteniendo a ambos conjuntos.
$U_{\varepsilon´´}(A)$ es el conjunto más pequeño que cubre lo deseado.
Análogamente, vamos a identificar los conjuntos $U_\varepsilon(B)$ que también contienen a $A.$
Se puede dar el caso en que aunque $U_\varepsilon(B)$ contiene a $B,$ no contiene al conjunto $A.$
$U_\varepsilon(B)$ no cubre a $A$ completamente.
Identificando valores para $\varepsilon >0$ suficientemente grandes, se logra la contención deseada:
$U_{\varepsilon’}(B)$ también contiene a $A.$
Podemos identificar al ínfimo de los $\varepsilon$´s $>0$ y encontrar así un conjunto $U_{\varepsilon´´}(B)$ más ajustado pero que sigue conteniendo a ambos conjuntos.
$U_{\varepsilon´´}(B)$ es el conjunto más pequeño que cubre lo deseado.
Si seleccionamos al ínfimo de los $\varepsilon$’s tales que ambos conjuntos quedan contenidos de la forma $A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A).$ Podemos definir la distancia de Hausdorff entre $A$ y $B$ como ese ínfimo. Formalmente: $$d_H(A,B) := inf \{\varepsilon>0 \, | \, A \subset U_\varepsilon(B) \, \text{ y }\, B \subset U_\varepsilon(A) \}$$
$A \subset U_\varepsilon(B) \,$ y $\, B \subset U_\varepsilon(A).$
Sean $A\subset X, \,$ $B\subset X$ y $\varepsilon >0.$ Si definimos $\text{dist}(a,B) := \underset{b \in B}{inf} \, d(a,b)$ para cada $a \in A$ y análogamente $\text{dist}(b,A) := \underset{a \in A}{inf} \, d(a,b)$ para $b \in B$ entonces las siguientes son propiedades de la distancia de Hausdorff.
Las líneas señalan las distancias «más grandes» que hay de algún punto de $A$ al conjunto $B$ y de un punto de $B$ al conjunto $A.$ Se garantiza que el máximo define el radio de las bolas que hace que los dos conjuntos $U_{\varepsilon}(A)$ y $U_{\varepsilon}(B)$ contengan tanto a $A$ como a $B.$
b) $d_H(A,B) \leq \varepsilon$ si y solo si para todo $a \in A,$ $\text{dist}(a,B) \leq \varepsilon$ y para todo $b \in B, \, \text{dist}(b,A) \leq \varepsilon.$ Esto puede no ocurrir si cambiamos «$\leq$» por «$<$».
Anteriormente hemos hablado de la definición de una función acotada (Espacios de funciones) y de una sucesión acotada (Convergencia), veamos esta definición de un modo más general:
Definición. Conjunto acotado. Sea $A \subset X$ decimos que $A$ es un conjunto acotado en $X$ si existe un punto $x_0 \in X$ y $M >0$ tal que para toda $x \in A$ se cumple que $d(x,x_0)<M.$ Nota que esto es equivalente a decir que $A \subset B(x_0,M).$
$A$ es acotado si está contenido en $B(x_0,M).$
Proposición. Si $(X,d)$ es un espacio métrico, entonces $d_H$ define una métrica en el conjunto de conjuntos cerrados y acotados $\mathcal{M}(X):=\{F \subset X: F \text{ es cerrado y acotado}\}.$ (En el libro de Burago la métrica puede tomar el valor infinito, en ese sentido $d_H \,$ también sería una métrica en el conjunto de los subconjuntos cerrados de $X$, incluyendo los no acotados).
Eso significa que $A,B \in \mathcal{M}(X)$ cumplen:
1) $d_H(A,B)=0$ si y solo si los conjuntos son iguales. En este caso tendremos que para todo $\varepsilon>0$ $A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A).$ Además $U_\varepsilon(B)=U_\varepsilon(A).$
$d_H = 0$ entre conjuntos iguales.
2) La propiedad de simetría en espacios métricos dice que $d_H(A,B) = d_H(B,A)$
La distancia $d_H$ es simétrica.
3) Se cumple la desigualdad del triángulo entre conjuntos: $$d_H(A,B) \leq d_H(A,C) + d_H(C,B).$$ Para fines ilustrativos de esta propiedad recordemos que: $d_H(A,B) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,B),\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,A)\}.$ $d_H(A,C) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,C),\underset{c \in C}{sup} \, \text{dist}(c,A)\}.$ $d_H(B,C) = max\{\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,C),\underset{c \in C}{sup} \, \text{dist}(c,B)\}.$ La imagen siguiente representa esas distancias.
Desigualdad del triángulo a partir de máximos.
A continuación, visualizaremos ejemplos de sucesiones en el espacio métrico de Hausdorff. Entonces los elementos de las sucesiones serán conjuntos cerrados y acotados. Si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión de conjuntos de un espacio métrico y $A_n \to A$ en la métrica de Hausdorff, entonces $d_H(A_n,A) \to 0$ en $\mathbb{R}.$ Eso significa que los conjuntos indicados por la sucesión no solo se van a acercar (en posición, si podemos pensarlo así) al conjunto $A$, sino que se van a ver como éste (pues cuando $d_H =0$ los conjuntos son iguales).
La sucesión presentada muestra estrellas de la misma forma y tamaño pero distinta posición en $\mathbb{R}^2$ cada vez más grandes pero proporcionales entre sí. Para cada $n \in \mathbb{N}$ la estrella $A_n$ tiene su centro en el punto $(\frac{1}{n},0).$ Entonces la sucesión $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ converge a la estrella con centro en $(0,0).$
Representación de sucesión de conjuntos (estrellas) que convergen al conjunto $A.$
La sucesión de huellas de perrito muestra manchas cada vez más pequeñas que convergen a las manchas verdes.
Representación de sucesión de conjuntos (huellas de perrito) que convergen al conjunto $A.$
Tenemos una sucesión de «conos» $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ definida como sigue: para cada $n \in \mathbb{N}$ el cono $A_n$ tiene su centro en $(0,\frac{-3}{n},0)$, altura $\frac{2}{n}$ y radio $1.$ Entonces los conos ven disminuída su altura hasta llegar a $0$ mientras que el centro se desplaza al origen. Finalmente convergen al círculo unitario en el plano horizontal.
Representación de sucesión de conjuntos («conos») que convergen al conjunto $A.$
Formalmente, tenemos los siguientes:
Ejemplos de sucesiones de conjuntos en espacios euclidianos que convergen a un conjunto $A$ en el espacio de Hausdorff.
Para cada $n \in \mathbb{N}$ considera en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^2$ el conjunto $A_n := \overline{B}(0,1+\frac{1}{n}).$ Entonces $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ es una sucesión en el espacio de Hausdorff que converge al conjunto $A:=\overline{B}(0,1).$
Representación de sucesión de conjuntos (círculos) que convergen al conjunto $A.$
Representación del término $A_k$ y el límite de la sucesión, $A.$
Basta con demostrar que $d_{H}(A_n,A) = max\{\underset{a \in A_n}{sup} \, \text{dist}(a,A),\underset{b \in A}{sup} \, \text{dist}(b,A_n)\} \to 0$ en $\mathbb{R}.$ Es sencillo probar que para cada $n \in \mathbb{N}, \,d_{H}(A_n,A) = \frac{1}{n} \to 0 \in \mathbb{R}$ por lo tanto $A_n \to A.$
Presentamos una sucesión de prismas ubicadas en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^3$ como muestra la imagen.
Los prismas convergen a la cara del fondo.
Prisma $A_k.$
Representación del término $A_k$ y el límite de la sucesión, $A.$
Sea $A$ el triángulo que es una cara del prisma y está en el plano $X_2, X_3.$ Nota que para cada $k \in \mathbb{N}$, $d_{H}(A_k,A) = max\{\underset{a \in A_k}{sup} \, \text{dist}(a,A),\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,A_k)\}= \frac{1}{k}$
Entonces $d_{H}(A_n,A) = \frac{1}{n} \to 0 \in \mathbb{R}$ por lo tanto $A_n \to A.$
La demostración de las siguientes dos sucesiones se dejará como ejercicio.
Tenemos una sucesión de polígonos regulares en $\mathbb{R}^2,$ $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}, \,$ donde para cada natural $n$, $ A_n$ es el polígono regular de $\, n \,$ lados con centro en $(0,0)$ y circunscrito en el círculo con centro en $(0,0)$ y radio $1.$ Demuestra que $A_n \to \overline{B}(0,1)$ en el espacio de Hausdorff.
Los polígonos convergen al círculo unitario.
Representación de la sucesión $(A_n)$ y el límite, $A.$
Como sugerencia, puedes demostrar que la medida del apotema vista como $\, cos \alpha \,$ tiende a $1$ en $\mathbb{R}.$
Apotema = $\, cos \alpha.$
La siguiente sucesión muestra cilindros en $\mathbb{R}^3.$
Los cilindros convergen al segmento del centro.
Representación del término $A_k.$
Para cada $n \in \mathbb{N}$ considera $A_n$ como el cilindro que tiene de base al círculo con centro en el origen, radio $\frac{1}{n}$ y altura $2.$ Demuestra que la sucesión $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ converge al segmento $\{(0,0,x_3): x_3 \in [0,2]\}.$
Ahora presentaremos algunas condiciones que garantizan la convergencia en sucesiones de conjuntos. En la última se menciona la noción de compacidad, concepto del que se hablará más adelante, a partir de la entrada Compacidad en espacios métricos. Por el momento podemos imaginar el resultado en espacios euclidianos, donde los compactos son los conjuntos cerrados y acotados.
Proposición. Sea $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $\mathcal{M}(X)$ tal que $A_n \to A$ en $\mathcal{M}(X).$ Entonces:
a) $A$ es el conjunto de límites de todas las sucesiones convergentes $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$ tales que para toda $n \in \mathbb{N}, \, a_n \in A_n.$
Una sucesión convergente $(a_n)$ en $X$ con $a_k \in A_k$ tiene su punto de convergencia en $A.$
b) El conjunto al que converge la sucesión está dado por: $A = \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} (\overline{\underset{m \geq n}{\cup} A_m}).$
Esto significa que en cada iteración, vamos a considerar la cerradura de la unión de todos los conjuntos, exceptuando los de las primeras posiciones (según la iteración en la que vayamos). Esto define nuevos conjuntos, cuya intersección es el conjunto al que la sucesión converge.
Representación de una sucesión en $\mathcal{M}(\mathbb{R}^2).$
La intersección de todos los conjuntos de este estilo es el conjunto al que la sucesión converge:
Proposición. Sea $(X,d)$ un espacio métrico compacto y $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de subespacios compactos en él, entonces: a) Si $A_{n+1} \subset A_n$, entonces $A_n \to \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n$ en $\mathcal{M}(X).$
Entonces cuando una sucesión es tal que cada término está contenido en el anterior, la sucesión converge a la intersección de todos los conjuntos. Al final de la entrada Compacidad en espacios métricos veremos por qué podemos asegurar que esa intersección no es vacía.
Sucesión de cilindros donde «el siguiente» está contenido en «el anterior».
b) Si para todo $n \in \mathbb{N}, \, A_n \subset A_{n+1}$, entonces $A_n \to \overline{\underset{n \in \mathbb{N}}{\cup}A_n}$ en $\mathcal{M}(X).$
Entonces cuando una sucesión es tal que cada término contiene al anterior, la sucesión converge a la cerradura de la unión de todos los conjuntos.
Sucesión donde cada término está contenido en el siguiente.
En el dibujo la sucesión $(A_n)_n \in \mathbb{N}$ tiene como conjunto $A_n = \overline{B}(0,2-\frac{1}{n})$ para cada $n \in \mathbb{N}.$ Es sencillo demostrar que $A_n \to \overline{B}(0,2)$ en $\mathbb{R}^2.$
El límite contiene todos los términos de la sucesión.
Más adelante…
Ya que hemos estudiado algunas propiedades en un espacio métrico, comenzaremos a relacionar un espacio con otros a través de funciones. Veremos bajo qué circunstancias es posible hablar de “cercanía” en puntos del contradominio cuando se parte de puntos cercanos en el espacio métrico del dominio.
Tarea moral
Describe las características de las sucesión definida como: $A_1=[0,1]$ $A_2=[0,1] \setminus (\frac{1}{3},\frac{2}{3})=[0,\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},1],$ $A_3=[0,\frac{1}{3}] \setminus (\frac{1}{9},\frac{2}{9}) \cup [\frac{2}{3},1]\setminus (\frac{7}{9},\frac{8}{9})=[0,\frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},\frac{7}{9}] \cup[\frac{8}{9},1]$ Y así, recursivamente, se va quitando la tercera parte central, de cada intervalo que quedaba. La intersección de estos conjuntos es conocido como el conjunto de Cantor. ¿Bajo qué resultados mencionados en esta entrada podemos concluir la convergencia de la sucesión?
El copo de nieve de Koch es la curva a la que converge una sucesión definida como sigue: $A_1$ es un triángulo equilátero. $A_2$ sustituye la tercera parte central de cada lado por dos aristas de la misma medida. $A_3$ Hace lo mismo. Se repite el proceso recursivamente ¿Qué puedes decir del área encerrada por las curvas a medida que la sucesión aumenta? ¿Hay condiciones suficientes para concluir la convergencia de estos conjuntos?
Demuestra la convergencia en el espacio de Hausdorff de la sucesión de polígonos circunscritos descrita anteriormente.
Demuestra la convergencia en el espacio de Hausdorff de la sucesión de cilindros expresada anteriormente.
Bibliografía
Burago, D., Burago, Y., Ivanov, S., A course in Metric Geometry. Graduate Studies in Mathematics, 33. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2001. Págs: 252 y 253.
Ante el modelado de situaciones, resulta útil identificar qué tan lejos está un objeto de convertirse en otro. Si se identifica una secuencia o patrón entre una situación y la siguiente, posiblemente se pueda comprobar que, tras varios cambios, nos aproximaremos a algún resultado específico. El Análisis Matemático ofrece herramientas que formalizan este estudio. En la sección que a continuación presentamos trabajaremos más con la noción de cercanía a través de distancias que van tendiendo a cero. Esta vez lo haremos con una sucesión que toma elementos del espacio métrico. Se verá bajo qué condiciones estos puntos se acercan cada vez más a cierto punto en el espacio métrico. Comencemos con la siguiente:
Definición. Sucesión. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que una función $(x_n): \mathbb{N} \to X$ es una sucesión en $X$.
Podemos pensar entonces que una sucesión elige, para cada número natural $n$, un elemento $x_n$ del conjunto $X$ (que es como vamos a denotar el valor de la sucesión en el término $n).$ La sucesión es comúnmente denotada como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ o simplemente como $(x_n).$
Representación de una sucesión en $(X,d).$
¿Bajo qué condiciones podemos decir que la sucesión se aproxima cada vez más a cierto punto $x$ en $(X,d)$? Para que esto ocurra se espera que, siempre que se fije una distancia $\varepsilon >0$ como referencia, se pueda asegurar que los últimos elementos de la sucesión, tengan una distancia al punto $x$ menor que $\varepsilon$, es decir, que exista un número natural $N \,$ de modo que todos los puntos asignados por la sucesión a partir de la posición $N$, estén “dentro” de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $x$, el punto de convergencia. De manera formal, tenemos la:
Definición. Sucesión convergente. Vamos a decir que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $(X,d)$ si existe $x \in X$ tal que para todo $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$ ocurre que $d(x_n,x)<\varepsilon$.
Los últimos puntos de la sucesión están dentro de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $x$.
Si es así, diremos que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge a $x$ y se indicará en la notación como: $$x_n \to x$$ o como: $$\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n =x$$ Nota: $x_n \to x \text{ en } X \iff d(x_n,x) \to 0 \text{ en } \mathbb{R}$. Si la sucesión no es convergente decimos que es divergente.
Ahora veamos que una sucesión no puede converger a dos puntos diferentes:
Proposición. Si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión convergente en $X$ entonces el límite $\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n \,$ es único. Demostración: Supongamos que $x_n \to x_a \,$ y $\, x_n \to x_b \,$ en $X$. Sea $\varepsilon>0$. Siguiendo la definición de convergencia se tiene que para todo $\frac{\varepsilon}{2} >0$ existen números naturales $N_a\, $ y $\, N_b\, $ tales que para todo $n\geq N_a, \, d(x_n,x_a)< \frac{\varepsilon}{2}$ y para todo $n\geq N_b, \, d(x_n,x_b)< \frac{\varepsilon}{2}$. Si elegimos $N = max\{N_a,N_b\}$ las dos condiciones anteriores se satisfacen. Entonces, para toda $n\geq N$, $0 \leq d(x_a,x_b) \leq d(x_a,x_n)+d(x_n,x_b) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon$ Nota entonces que para todo $ \, \varepsilon >0,$ la distancia entre $x_a$ y $x_b$ queda acotada por $0 \leq d(x_a,x_b) < \varepsilon.$ En conclusión, $d(x_a,x_b)=0$, por lo tanto los puntos de convergencia son iguales.
Es importante mencionar que la convergencia de una sucesión depende tanto de la métrica como del conjunto a considerar. Una sucesión puede ser convergente en un espacio métrico pero no serlo en otro. Por ejemplo, la sucesión que a cada natural $n$ le asigna el número $\frac{1}{n}$ cumple que $(\frac{1}{n}) \to 0$ en $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana, pero en el subespacio euclidiano $(0,1]$ no es convergente, pues $0$ no está en el subespacio.
Definición. Subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}.$ Una subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una composición de la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ con una función estrictamente creciente, $k:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$. Esto significa que una subsucesión tomará elementos en $X$ de la sucesión, en el mismo orden en que aparecen, aunque es posible que vaya descartando algunos.
Los puntos en verde señalan un ejemplo de subsucesión.
Hay una relación entre el límite de una sucesión y los de sus subsucesiones:
Proposición. Una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$ si y solo si toda subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$.
Tanto los últimos puntos de la sucesión como los de la subsucesión se aproximan al punto de convergencia.
Demostración: Sea $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}} \,$ una subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x) < \varepsilon$. Ya que $k: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ es estrictamente creciente, tenemos que para todo $j \geq N, \, k(j) \geq k(N) \geq N$. Así, $d(x_{k(j)},x)< \varepsilon$, lo cual demuestra que $(x_{k(n)}) \to x$. El regreso es trivial, pues es posible definir una subsucesión como la sucesión misma.
Definición. Sucesión acotada. Diremos que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ en $X$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x \in X$ tales que para todo $ \, n \in \mathbb{N}$ ocurre que $d(x,x_n) \leq M$. Esto significa que una sucesión es acotada si todos los puntos $x_n,$ con $n \in \mathbb{N}$ están en una bola abierta con centro en algún punto $x$ del espacio métrico.
Representación de una sucesión acotada.
¿Es posible concluir que una sucesión es convergente si sabemos que se trata de una sucesión acotada? Al final se te propondrá dar un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente. En contraparte, tenemos la siguiente:
Proposición. Toda sucesión convergente es acotada.
Demostración: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión que converge a $x$ en $X$. Buscamos «encerrar» todos los puntos de la sucesión en una bola abierta. Si suponemos $\varepsilon = 1$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x)<1$. Hasta aquí ya logramos «encerrar» todos los puntos de la sucesión a partir de $x_N$.
A partir de $x_N$, los puntos de la sucesión están en una bola abierta.
Para encerrar los elementos que van antes en la sucesión, considera las distancias entre $x$ y cada uno de esos puntos como $d_i := d(x_i,x), \, i=1,…,N-1$.
Representación de las distancias entre $x$ y los puntos $x_1, x_2,…,x_{N-1}.$
Si hacemos $M = max\{d_1,…,d_{N-1},1\}, \,$ se consigue que para todo $n \in \mathbb{N}, \, d(x_n,x)<M$ con lo cual se demuestra que la sucesión es acotada.
Todos los puntos de la sucesión están en una bola abierta.
Los últimos resultados que expondremos en esta entrada son muy importantes, en el sentido en que suele acudirse a ellos para otras demostraciones. Te sugerimos tenerlos presentes.
Proposición. Si $x_n \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\} \,$ (el conjunto de elementos de la sucesión). Según la definición, basta con demostrar que toda bola abierta de radio $\varepsilon >0$ con centro en $x$ interseca al conjunto $\{x_n\}$. La demostración se deja como ejercicio.
Toda bola abierta con centro en el punto de convergencia tiene elementos de la sucesión.
Proposición. Sea $A \subset X$ y $x \in X$. Entonces $x \in \overline{A}$ si y solo si existe una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ en $A$ tal que $x_n \to x$ en $X$.
Demostración: El regreso se concluye a partir de la proposición anterior. Si $x \in \overline{A}$ entonces todas las bolas abiertas con centro en $x$ intersecan al conjunto $A$. Así, para cada $n \in \mathbb{N}$, podemos elegir un punto $x_n \in B(x, \frac{1}{n}) \cap A$. Como $d(x,x_n)< \frac{1}{n} \to 0$ en $\mathbb{R}$, se concluye que $x_n \to x$ en $X$.
Todo punto de contacto de un conjunto tiene una sucesión (de elementos del conjunto) que converge a él.
Más adelante…
Tendremos un acercamiento a un espacio métrico cuyos elementos son los subconjuntos cerrados de otro espacio métrico. Al definir la distancia entre estos subconjuntos cerrados veremos que, si una sucesión de ellos converge, entonces lo hace en un subconjunto cerrado. Ya que eso significa que la distancia tiende a cero, y la distancia entre dos elementos es cero cuando son iguales, podemos esperar que los subconjuntos de la sucesión se parecerán cada vez más, al subconjunto al cual convergen.
Tarea moral
Prueba que si $(x_n) \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\}$.
Demuestra que una sucesión constante converge.
¿Puede una sucesión ser convergente en el espacio discreto? ¿Bajo qué condiciones?
Da un ejemplo de una sucesión en $\mathbb{Q}$ que converge en $\mathbb{R}$ pero no en $\mathbb{Q}$.
Sea $A \subset X$. Demuestra que $x$ es un punto interior de $A$ si y solo si para toda $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que converge a $x$ en $X$, existe $N>0$ tal que para todo $ \, n \geq N, x_n \in A$.
Demuestra que $x \in X$ es un punto frontera de $A \subset X$ si y solo si existen sucesiones $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A$ y $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X\setminus A$ que convergen a $x$.
Demuestra que si la imagen de una sucesión es finita entonces la sucesión es convergente.
Da un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente.
Anteriormente conocimos dos operaciones que podemos realizar utilizando vectores o matrices: la suma entre vectores/matrices y el producto escalar. Como recordarás, estas operaciones involucran exclusivamente vectores o exclusivamente matrices. En esta entrada veremos una operación que involucra a ambos objetos matemáticos a la vez: el producto de una matriz por un vector.
Definición de producto de matrices con vectores
Una condición indispensable para poder realizar el producto matriz-vector es que la cantidad de columnas de la matriz sea la misma que la cantidad de entradas del vector. Basándonos en esto, podríamos multiplicar \[ \begin{pmatrix} 3 & \tfrac{1}{2} \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \pi \\ 4 \end{pmatrix} \qquad \text{o} \qquad \begin{pmatrix} 1 & 7 & \sqrt{2} \\ 9 & \tfrac{1}{3} & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ \tfrac{2}{3} \\ 5 \end{pmatrix}, \] pero no podríamos realizar la operación \[ \begin{pmatrix} 1 & 7 & \sqrt{2} \\ 9 & \tfrac{1}{3} & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \pi \\ 4 \end{pmatrix}. \]
Como te habrás podido dar cuenta, en este tipo de producto es usual representar los vectores en su forma de “vector vertical” o “vector columna”.
El resultado de multiplicar una matriz por un vector será un nuevo vector, cuyo tamaño corresponde a la cantidad de filas de la matriz original.
Para obtener este nuevo vector, se sigue un algoritmo especial, el cual conocerás en entradas futuras. Sin embargo, a continuación te presentamos las fórmulas que definen a algunos casos especiales de esta operación, lo cual te permitirá obtener el producto en casos con una cantidad pequeña de entradas.
Producto de una matriz de tamaño $2 \times 2$ por un vector de tamaño $2$:
Como probablemente hayas visto en tu curso de Geometría Analítica I, el producto de matrices por vectores se puede emplear para representar distintas transformaciones de vectores en el plano y en el espacio.
Si multiplicamos una matriz diagonal por un vector, entonces el resultado corresponderá a “redimensionar” el vector en sus distintas direcciones. Por ejemplo, observamos que el producto \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix} \] corresponde a redimensionar el vector original al triple de manera horizontal y al doble de manera vertical.
Por otra parte, multiplicar por una matriz de la forma \[ \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \] ocasiona que el vector rote un ángulo $\theta$ en sentido contrario a las manecillas del reloj; por ejemplo, \[ \begin{pmatrix} \cos(30º) & -\sin(30º) \\ \sin(30º) & \cos(30º) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\tfrac{\sqrt{3}}{2})(5) + (-\tfrac{1}{2})(4) \\ (\tfrac{1}{2})(5) + (\tfrac{\sqrt{3}}{2})(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{5\sqrt{3}-4}{2} \\ \tfrac{5+4\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}. \]
Propiedades algebraicas del producto de una matriz por un vector
A continuación, exploraremos algunas de las propiedades que cumple el producto matriz-vector. Estas propiedades las deduciremos para matrices de $2 \times 3$ por vectores de tamaño $3$, pero la deducción para otros tamaños de matrices y vectores se realiza de manera análoga.
Primeramente, observemos que para matrices $A$ y $B$ de tamaño $2\times 3$, y para un vector $u$, se cumple que \begin{align*} (A+B)u &= \left( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \\[5pt] &= \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \\[5pt] &= \begin{pmatrix} (a_{11}+b_{11})u_1 + (a_{12}+b_{12})u_2+(a_{13}+b_{13})u_3 \\ (a_{21}+b_{21})u_1 + (a_{22}+b_{22})u_2+(a_{23}+b_{23})u_3 \end{pmatrix} \\[5pt] &= \begin{pmatrix} a_{11}u_1+b_{11}u_1 + a_{12}u_2+b_{12}u_2 + a_{13}u_3+b_{13}u_3 \\ a_{21}u_1+b_{21}u_1 + a_{22}u_2+b_{22}u_2 + a_{23}u_3+b_{23}u_3 \end{pmatrix} \\[5pt] &= \begin{pmatrix} a_{11}u_1+a_{12}u_2+a_{13}u_3 \\ a_{21}u_1+a_{22}u_2+a_{23}u_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11}u_1+b_{12}u_2+b_{13}u_3 \\ b_{21}u_1+b_{22}u_2+b_{23}u_3 \end{pmatrix} \\[5pt] &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \\[5pt] &= Au + Bu, \end{align*} es decir, el producto matriz-vector se distribuye sobre la suma de matrices (esto también se conoce como que el producto matriz-vector abre sumas).
Por otra parte, podemos probar que el producto matriz-vector se distribuye sobre la suma de vectores; es decir, si $A$ es una matriz de $2 \times 3$, y $u$ y $v$ son vectores de tamaño $3$, entonces \[ A(u+v) = Au + Av. \]
Por lo tanto $A(ru) = r(Au) = (rA)u$. Esta propiedad se conoce como que el producto matriz-vector saca escalares.
Como el producto de matrices por vectores abre sumas y saca escalares, se dice que es lineal. Un hecho bastante interesante, cuya demostración se dejará hasta los cursos de álgebra lineal, es que el regreso de esta afirmación también se cumple: ¡A cualquier transformación lineal se le puede asociar una matriz $A$ de modo que aplicar la transformación a un vector $v$ es lo mismo que hacer el producto $Av$!
Otras propiedades de este producto
En entradas anteriores definimos algunos vectores y matrices especiales.
Como recordarás, definimos la matriz identidad de tamaño $3 \times 3$ como \[ \mathcal{I}_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Observemos que al multiplicar $\mathcal{I}_3$ por el vector \[ \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \] obtendremos \[ \mathcal{I}_3 u = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1u_1 + 0u_2 + 0u_3 \\ 0u_1 + 1u_2 + 0u_3 \\ 0u_1 + 0u_2 + 1u_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} = u. \] Como su nombre lo sugiere, la matriz $\mathcal{I}_n$ tiene la propiedad de ser neutro al multiplicarlo por un vector de tamaño $n$ (de hecho, como veremos en la siguiente entrada, ¡la matriz $I_n$ también cumple esta propiedad en otras operaciones!).
Por otra parte, recordemos que definimos el vector canónico $\mathrm{e}_i$ de tamaño $n$ como el vector en el que su $i$-ésima entrada es $1$ y sus demás entradas son $0$. Como ejemplo, veamos que \begin{align*} A\mathrm{e}_1 &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &= \begin{pmatrix} 1a_{11} +0a_{12} +0a_{13} \\ 1a_{21} +0a_{22} +0a_{23} \end{pmatrix} \\[5pt] &= \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix}, \end{align*} donde este resultado corresponde a al primera columna de la matriz.
De manera análoga, podemos ver que \[ A\mathrm{e}_2 = \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad A\mathrm{e}_3 = \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \end{pmatrix} \] corresponden a la segunda y tercera columna de la matriz, respectivamente.
En general, para matrices de tamaño $m \times n$ y el vector $\mathrm{e}_i$ de tamaño $n$, el resultado de $A\mathrm{e}_i$ corresponde al vector cuyas entradas son las que aparecen en la $i$-ésima columna de la matriz.
Más adelante…
En esta entrada conocimos el producto de matrices con vectores, exploramos su interpretación geométrica y revisamos algunas de las propiedades algebraicas que cumple. Esta operación se añade a las que aprendimos en entradas anteriores, ampliando nuestra colección de herramientas.
En la siguiente entrada descubriremos una operación que nos permitirá sacar aún más poder a las operaciones que hemos conocido hasta ahora: el producto de matrices.
Tarea moral
Obtén el resultado de las siguientes multipicaciones:
$A_1$ es un triángulo equilátero.
$A_2$ sustituye la tercera parte central de cada lado por dos aristas de la misma medida.
$A_3$ Hace lo mismo. Se repite el proceso recursivamente
