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Nociones topológicas básicas

Por Lizbeth Fernández Villegas

Introducción

Ya que hemos visto cómo son las bolas abiertas en diferentes métricas, procederemos a analizar cómo son cuando las comparamos con un conjunto $A \subset X$. Como recurso, usaremos imágenes representativas con la intención de ayudar en la abstracción de los conceptos que a continuación se anuncian. Aunque las bolas no necesariamente se representan siempre como circunferencias (métrica del taxista), o como objetos con bordes punteados (como el segmento vertical que forma parte de la bola abierta en la métrica del ascensor), para fines gráficos rescataremos la idea de usar líneas punteadas para hacer alusión al «borde» de una bola abierta, sugiriendo que son puntos en el conjunto $X$ que no están en ella. Por el contrario, representaremos con lineas continuas puntos que sí formen parte de un conjunto dado.

Unas breves comparaciones entre subconjuntos y puntos

Para iniciar, pensemos en un espacio métrico $(X,d)$:

Y en un conjunto $A$ contenido en $X$:

Identifiquemos puntos arbitrarios en $X$:

Entonces un punto $x \in X$ puede pertenecer o no al conjunto $A$.
Si $x \in A$, entonces una bola abierta con centro en $x$ puede tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.

o bien, puede tener todos sus puntos en $A$

¿Puede haber una bola con centro en un punto en $A$ que esté totalmente contenida en el conjunto $X \setminus A$?

Por otro lado, si consideramos ahora $x \notin A$ , una bola abierta con centro en $x$ podría tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.

O bien, puede solo tener puntos en $X \setminus A$

¿Es posible que una bola con centro en un punto en $X \setminus A$ esté totalmente contenida en $A$?.

Habiendo hecho estos comentarios generales, asignemos términos a los puntos de $X$ según las condiciones que cumplan las bolas abiertas asociadas.

Conceptos topológicos en un espacio métrico

Definición punto interior de un conjunto: Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto interior de $A$ en $(X,d)$ si existe $\varepsilon > 0$ tal que $B(x,\varepsilon) \subset A$.

Aunque $x$ pueda tener alguna bola abierta que no esté totalmente contenida en A, basta con que exista una que sí lo esté para que a $x$ se le considere un punto interior.

De acuerdo a la definición, un punto $x \in X$ no será punto interior de $A$ cuando $\forall \varepsilon >0, B(x,\varepsilon)$ tiene puntos en $X \setminus A$. Los siguientes esquemas muestran puntos que no son puntos interiores del conjunto $A$ (tal vez sí lo sean de otro conjunto).

Definición interior de un conjunto: El conjunto formado por todos los puntos interiores de $A$ se denomina interior de $A$ en $(X,d)$ y se denota como:
$$Int (A) = : \{x \in X|x \text{ es punto interior de A}\}$$

El conjunto $Int(A)$ se representa de la siguiente manera:

Definición conjunto abierto: Diremos que $A \subset X$ es un conjunto abierto en $(X,d)$ si $A=Int(A)$.

Si pruebas que para todo $A \subset X$ se cumple que $Int(A) \subset A$ notarás que un conjunto $A$ es abierto cuando todos sus puntos son puntos interiores, es decir, cuando $A \subset Int(A)$. El conjunto $A$ que estamos considerando no es abierto, pues tiene puntos que no son puntos interiores.

Pero si consideramos un conjunto $A$ de esta forma, sí coincide con su interior y por lo tanto, es abierto.

Definición punto de contacto o punto de adherencia: Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Se dice que $x$ es punto de contacto (o de adherencia) de $A$ en $(X,d)$ si $\forall \, \varepsilon >0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$.

Incluso un punto que no esté en $A$ puede ser punto de contacto de $A$.

Incluso si alguna bola interseca al conjunto $A$, si hay alguna que no lo haga, no será punto de contacto de $A$.

Definición cerradura o adherencia de un conjunto: El conjunto formado por todos los puntos de contacto es denominado la cerradura de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:

$$ \overline {A} =: \{x \in X| x \text{ es punto de contacto de A}\}$$

Todos los puntos de contacto de $A$.

Definición conjunto cerrado: Diremos que un conjunto $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si $A=\overline{A}$.
Si pruebas que para todo $A \subset X$ se satisface que $A \subset \overline{A}$ notarás que un conjunto $A$ es cerrado cuando todos sus puntos de contacto están en $A$, es decir, cuando $\overline{A} \subset A$. En el ejemplo que estamos manejando, $A$ no es cerrado, pues tiene puntos de contacto que no están en $A$:

Si $A$ fuera considerado inicialmente de esta forma, sí coincide con su cerradura y por tanto, es cerrado:

Al final de esta sección se te propondrá como ejercicio demostrar que $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto en $(X,d)$.

Definición bola cerrada: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Considera un punto $x \in X$ y $\varepsilon \in \mathbb {R}, \varepsilon>0$. La bola cerrada con centro en $x$ y radio $\varepsilon$ se define como el conjunto de puntos en $X$ tales que el valor de su distancia al punto $x$ es menor o igual que $\varepsilon$. Se denota como:

$$\overline{B}(x,\varepsilon) := \{y \in X | d(x,y) \leq \varepsilon \}$$

Nota: A diferencia de la bola abierta, la bola cerrada sí incluye a los puntos cuya distancia al centro sea exactamente $\varepsilon$.

Antes de poner un círculo cerrado como representación de una bola cerrada, enunciemos la siguiente:
Proposición: La cerradura de una bola abierta $B(x,\varepsilon)$ (denotado como $\overline{B(x,\varepsilon)}$) no coincide, necesariamente con la bola cerrada $\overline{B}(x,\varepsilon)$. Veamos un contraejemplo con la métrica discreta en $\mathbb{R}^2$ y con $\varepsilon=1$.

Dado un punto $x$ en $\mathbb{R}^2$, según la definición, la bola cerrada de radio $1$ con centro en $x$ es el conjunto:

\begin{align*}
\overline{B}(x,1) :&= \{y \in \mathbb{R}^2 | d(x,y) \leq 1\}\\
&= \mathbb{R}^2
\end{align*}

Pues la distancia entre dos puntos en la métrica discreta solo puede ser $0$ o $1$.

Pero si consideramos que para todos los puntos $y$ de $\mathbb{R}^2$ la bola abierta $B(y,1)= \{y\}$, (pues la distancia entre $y$ y el resto de los puntos en $\mathbb{R}^2$ no es menor que $1$), veremos que todos los puntos en $\mathbb{R}^2$ que son distintos de $x$ tienen una bola abierta que no interseca a $B(x,1)$, por lo tanto no hay ningún punto de $\mathbb{R}^2$ diferente de $x$ que esté en la cerradura de $B(x,1)= \{x\}$. En conclusión $\overline{B(x,1)}=\{x\}$.

Proposición. En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,\varepsilon)} = \overline{B}(x,\varepsilon)$. La demostración se propone como ejercicio.

Definición punto de acumulación: Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto de acumulación de $A$ en $(X,d)$ si $\forall \, \varepsilon >0$ se cumple que $(B(x,\varepsilon) \setminus \{ x \}) \cap A \neq \emptyset$. Nota que a diferencia del punto de contacto, el punto de acumulación se descarta de la intersección entre las bolas abiertas y $A$.

¿Es un punto de contacto también un punto de acumulación en cualquier métrica?

Proposición: Toda bola abierta que tiene un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en A.

Demostración:
Supón que $x \in X$ es un punto de acumulación de $A$ y que $x \in B(y,\varepsilon), y \in X, \varepsilon>0$.

Supón también que, contrario a lo que se quiere demostrar, esta bola abierta tiene una cantidad finita de puntos en $A$, digamos $\{x_1,x_2,…,x_n\}$ distintos de $x$.

Considera $\varepsilon_{i}=d(x,x_i), i=1,2,…,n$ la distancia entre cada uno de ellos a $x$. Sea $\varepsilon_0>0$ tal que $B(x,\varepsilon_0) \subset B(y,\varepsilon)$ y $\varepsilon_{m}= min\{\varepsilon_{i}|i=0,…,n\}$. Entonces el conjunto $B(x,\varepsilon_{m})\setminus \{x\}$ deja fuera todos los puntos de $A$, pues $\forall \, x_i, i=1,…,n$ pertenecientes a $A \cap B(y,\varepsilon), \varepsilon_{m} \leq d(x,x_i)$, por lo tanto existe una bola abierta que, al quitarle el punto $x$ no interseca a $A$.

Entonces $x$ no es un punto de acumulación de $A$, lo cual es una contradición a la hipótesis. Por lo tanto una bola abierta que tenga un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en $A$.

Nota: Se puede concluir también que un conjunto finito no tiene puntos de acumulación.

Definición punto frontera de un conjunto. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto frontera de $A$ en $(X,d)$ si para toda $\varepsilon > 0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$ y también $B(x,\varepsilon) \cap (X/A) \neq \emptyset$ .

Definición conjunto frontera de un conjunto: El conjunto formado por todos los puntos frontera es denominado la frontera de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:

$$\partial A =: \{x \in X| x \text{ es punto frontera de A}\}$$

Proposición: Prueba que $\partial A =: \overline{A} \setminus Int(A)$. La demostración se propone como ejercicio.

Para finalizar con esta sección, veamos por qué un espacio métrico es un espacio topológico:

Proposición. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Entonces cumple con los siguientes axiomas:

1. Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $(X,d)$.
2. Si $\{U_i\}:i \in \mathcal{I}$ es una colección de conjuntos abiertos de $X$ entonces la unión $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto.
3. Si $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos de $X$ entonces la intersección $U \cap V$ es un conjunto abierto en $X$.

Demostración: Para demostrar que $X$ es abierto, demostraremos que cada punto en $X$ es un punto interior de $X$. Sea $x \in X$ y $\varepsilon>0$, por definición $B(x,\varepsilon)= \{y \in X|d(x,y)<\varepsilon \} \subset X$ Por lo tanto $\forall \, x\in X, x \in Int(X)$. Se concluye que $X$ es abierto. La propiedad para el conjunto $\emptyset$ se cumple por vacuidad.

Sea $x \in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ entonces $x \in U_{i_0}$ para algún $i_0 \in \mathcal{I}$. Como particularmente $U_{i_0}$ es un conjunto abierto, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que$ B(x,\varepsilon) \subset U_{i_0} \subset \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$. Por lo tanto $\forall \, x\in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ se cumple que $x \in Int(\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i)$, en consecuencia $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto en $X$.

Si $x \in U \cap V$ para $U,V$ abiertos en $X$, entonces $x \in U$ y $x \in V$ de modo que existen $\varepsilon_1 >0$ y $\varepsilon_2 >0$ tales que $B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Sea $\varepsilon= min \{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ entonces $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Así, $B(x,\varepsilon) \subset U \cap V$, probando así que $\forall \, x \in U \cap V, x \in Int(U \cap V)$. Por lo tanto $U \cap V$ es un conjunto abierto en X.

Más adelante…

Pondremos en práctica las nociones aquí aprendidas para analizar espacios métricos de funciones. Una vez conocido mejor ese espacio, continuaremos con la generalización de definiciones vistas en los cursos de cálculo y hablaremos de convergencia de sucesiones, límite y continuidad en espacios métricos.

Tarea moral

Sea $X$ un espacio métrico y $A \subset X$. Demuestra que se cumplen las siguientes afirmaciones:

Una bola abierta en $X$ es un conjunto abierto.
El conjunto $Int(A)$ es abierto.
Para todo $A \subset X$, $Int(A) \subset A$.
Una bola cerrada en $X$ es un conjunto cerrado.
El conjunto $\overline{A}$ es cerrado.
$A = \overline{A}$ si y solo si $A$ es cerrado.
$A$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto.
La frontera de $A$ es un conjunto cerrado.
Si $A$ es finito, entonces es cerrado.
En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,r)} = \overline{B}(x,r)$.
Es siempre la frontera de una bola abierta $B(x,d)$ el mismo conjunto de puntos $y \in X$ donde se cumple la igualdad $d(x,y)=\varepsilon$ Demuestra que en espacios normados sí ocurre.
$\partial A = \overline{A} \setminus Int(A)$.

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La bola abierta en un espacio métrico

Por Lizbeth Fernández Villegas

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Introducción

Probablemente recuerdes que en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral se habló de bolas de radio $\varepsilon>0$ con centro en un punto $x$. Había otros conjuntos, como los conjuntos abiertos y cerrados, de los que vimos representaciones gráficas. Estas ideas pueden generalizarse a otros espacios con métrica distinta a la euclideana. En la sección que aquí se presenta visualizaremos algunos ejemplos y comprobarás que conjuntos como la bola abierta, quedan representados por figuras diferentes a las ya conocidas. Observarás los cambios que las métricas pueden generar, incluso cuando también se trata del conjunto $\mathbb {R}^n$.
Comencemos por identificar puntos que estén “cerca” entre sí, aquellos cuya distancia no exceda cierta cantidad. Para eso tenemos la siguiente:

Definición bola abierta: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Considera un punto $x \in X$ y $\varepsilon \in \mathbb {R}$ tal que $\varepsilon>0$. La bola abierta con centro en $x$ y radio $\varepsilon$ se define como el conjunto de puntos en $X$ tales que el valor de su distancia al punto $x$ es menor que $\varepsilon$. Se denota como:

$$B(x,\varepsilon) := \{y \in X | d(x,y) < \varepsilon\}$$

Nota que si $x$ es el centro, entonces siempre está en la bola abierta, pues $d(x,x)=0<\varepsilon$

Ejemplos

La bola abierta en la métrica discreta

Recordemos que en la métrica discreta, la distancia entre dos puntos diferentes siempre es $1$. Entonces, si $0<\varepsilon<1$ la bola abierta solo tendrá como elemento al centro.

Por el contrario, si $\varepsilon>1$ la bola abierta tendrá como elementos a todos los elementos del conjunto.

La bola abierta en $\mathbb{R}$ con la métrica euclideana

Considera el conjunto $\mathbb{R}$ con la métrica usual.
\[
d(x,y) = |x-y| = \left\{ \begin{array}{lcc}
x-y & si & x \geq y \\
\\ y-x & si & x < y
\end{array}
\right.
\]
Para $x,y \in \mathbb{R}$

Entonces para un punto $x_{0} \in \mathbb{R}$ y $\varepsilon>0$, la bola abierta $B(x_0,\varepsilon)$ está dada por el intervalo abierto $(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon)$.

Más específicamente, la bola abierta con centro en $0$ y radio $3$ es el intervalo $(-3,3)$.

Mientras que la bola abierta con centro en $2$ y radio $3$ es el intervalo $(-1,5)$.

La bola abierta en $\mathbb{R}^2$ con la métrica euclideana

Considera ahora $\mathbb{R}^2$ y la métrica euclideana definida por:
$$d(x,y) = \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2}$$
con $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$.

Entonces para un punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2}) \in \mathbb{R}^2$ y $\varepsilon>0$, la bola abierta $B(x_0,\varepsilon)$ está dada por el conjunto de puntos que están «dentro de la circunferencia» con centro en $x_0$ y radio $\varepsilon$.

Por ejemplo, si $x_0=(2,3)$ y $\varepsilon=4$ la bola abierta $B((2,3),4)$ está formada por los puntos dentro de la circunferencia con centro en $(2,3)$ y radio $4$.

La bola abierta en $\mathbb{R}^3$ con la métrica euclideana

Si pensamos en $\mathbb{R}^3$ y la métrica euclideana definida por:
$$d(x,y) = \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2+(x_{3}-y_{3})^2}$$
con $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ y $y=(y_{1},y_{2},y_{3}) \in \mathbb{R}^3$.

Entonces para un punto $x_0=(x_{0_1},x_{0_2},x_{0_3}) \in \mathbb{R}^3$ y $\varepsilon>0$, la bola abierta $B(x_0,\varepsilon)$ está dada por el conjunto de puntos que están «dentro de la esfera» con centro en $x_0$ y radio $\varepsilon$.

Por ejemplo, si $x_0=(3,2,1)$ y $\varepsilon=3$, la bola abierta $B((3,2,1),3)$ está formada por los puntos “dentro de la esfera” con centro en $(3,2,1)$ y radio $3$.

La bola abierta en la métrica del taxista
En la sección Otros ejemplos de espacios métricos definimos esta métrica en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como:
$$d(x,y)=|y_1-x_1|+|y_2-x_2| $$
para $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$.
Entonces para un punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2}) \in \mathbb{R}^2$ y $r>0$, la bola abierta $B(x_{0},r)$ está dado por el conjunto de puntos $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$ que satisfacen:
\begin{align*}
d(x_{0},y)=|y_1-x_{0_1}|+|y_2-x_{0_2}|&<r \\
\Leftrightarrow |y_2-x_{0_2}|&< r -|y_1-x_{0_1}| \\
\Leftrightarrow -r +|y_1-x_{0_1}|< y_2-x_{0_2}&< r -|y_1-x_{0_1}|
\end{align*}
Esto quiere decir que el conjunto buscado está delimitado por las rectas:
\begin{align}
y_{2}-x_{0_2}&= r-(y_1-x_{0_1})\\
y_{2}-x_{0_2}&= r+(y_1-x_{0_1})\\
y_{2}-x_{0_2}&= -r-(y_1-x_{0_1})\\
y_{2}-x_{0_2}&= -r+(y_1-x_{0_1})
\end{align}
Que son representadas a continuación:

Como la desigualdad es estricta concluimos que la bola abierta será un «rombo abierto» cuyas diagonales tienen longitud $2\varepsilon$ con centro en el punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2})$.

Como ejemplo considera la bola abierta con centro en $(-3,2)$ y de radio $2$. El conjunto $B(-3,2),2$ se muestra en la siguiente imagen.

La bola abierta en la métrica del ascensor

Recordemos que el desplazamiento entre dos pisos de edificios iguales o diferentes motiva una métrica en $\mathbb{R}^2$. (Ver Otros ejemplos de espacios métricos). Si estamos en el piso marcado con el punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2}) \in \mathbb{R}^2$ y tenemos $\varepsilon>0$ como límite de distancia, procedamos a identificar los puntos a los que podemos llegar:

Estando en el mismo edificio, el ascensor puede llevarnos hasta una distancia $\varepsilon$ hacia arriba, o bien, una distancia $\varepsilon$ hacia abajo.

Como la planta baja está a distancia $\varepsilon_1=:|x_{0_2}|$ entonces si $\varepsilon_1> \varepsilon$, nuestro ascensor no llega hasta ahí.

En contraparte, si $\varepsilon_1 \leq \varepsilon$, entonces sí podemos llegar a la planta baja y, quizá también, a otros niveles del sótano.

En este caso, aún nos podemos desplazar hasta una distancia $\varepsilon-\varepsilon_1$, primero sobre el eje $x$ y luego sobre el eje $y$ a modo de la métrica del taxista. En consecuencia, la bola abierta está conformado por una linea vertical de longitud $2\varepsilon$, sin los extremos, que tiene centro en el punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2})$. Si $\varepsilon_1 < \varepsilon$, se agrega también a la bola abierta, un «rombo abierto» con centro en el punto $(x_{0_1},0)$ cuyas diagonales miden $2(\varepsilon-\varepsilon_1)$. Esto se representa en la siguiente imagen:

Como ejemplo, la bola con centro en $(-2,1)$ y radio $3$ tendrá la siguiente representación:

La bola abierta en el tablero de ajedrez.
Hemos visto que en un conjunto dado por las casillas del tablero de ajedrez se pueden definir métricas de acuerdo al movimiento de cada pieza. Como ejemplo, considera el movimiento permitido para la reina. En cada turno, esta pieza se puede mover en cualquier dirección y cualquier cantidad de casillas. Como la distancia entre dos casillas se define como el mínimo de movimientos necesarios para que la pieza llegue de una casilla a la otra, entonces tenemos las siguientes bolas abiertas para distintos valores de $\varepsilon$:

Si $0<\varepsilon \leq 1$ entonces la distancia entre dos casillas debe ser menor que $1$. En consecuencia buscamos señalar las casillas a las que se puede desplazar la reina en $0$ movimientos que es, únicamente, la casilla en la que está posicionada.

Si $1<\varepsilon \leq 2$ entonces se permite hacer a lo más un movimiento. Las casillas a las que se puede desplazar la reina están señaladas en tonos amarillos, pues puede elegir cualquier dirección y elegir también, detenerse en cualquiera de ellas.

Si $2<\varepsilon$ entonces ya se permiten hacer 2 movimientos. En la figura anterior podemos visualizar casillas no sombreadas en amarillo. No obstante a cualquiera de ellas se puede llegar desde alguna de las casillas iluminadas. En consecuencia, con dos movimientos es posible que la reina llegue a cualquier casilla del tablero.

En contraparte el rey, que también se puede mover en cualquier dirección, no puede avanzar más que una casilla por turno. Esto origina las siguientes representaciones de bolas abiertas:

Para $\varepsilon \leq 1$ el rey no puede hacer ningún movimento y permanece en la casilla donde esté ubicado.

Para $1 <\varepsilon \leq 2$ el rey puede hacer un movimiento y acceder así, a las casillas adyacentes a su posición.

Para $2 <\varepsilon \leq 3$ el rey puede avanzar hasta dos casillas, lo que se representa iluminando las casillas vecinas con respecto a la imagen anterior.

Para $3 <\varepsilon \leq 4$ una nueva familia de casillas vecinas se agrega a la bola abierta. ¿Puedes decir entonces, cuál es la distancia más grande entre dos casillas con la métrica del rey? ¿Y con la de la reina?

Más adelante

Dado un punto fijo, buscaremos encontrar una bola abierta que lo tenga como centro y veremos cómo son los elementos de la bola, si están todos contenidos en un conjunto determinado o no. Veremos la generalización de otras definiciones a espacios métricos y comprobaremos que estos son también espacios topológicos.

Tarea moral

Representa las bolas abiertas en la métrica del ajedrez con otras piezas.
Muestra un ejemplo de bola abierta en la métrica del ascensor en el que el centro esté fuera del rombo, uno donde esté dentro y uno más donde el centro esté sobre el vértice.
Da un ejemplo de espacio métrico y dos bolas $B(x,\varepsilon_1)$ y $B(y,\varepsilon_2)$ tales que $\varepsilon_1>\varepsilon_2$ pero $B(x,\varepsilon_1) \subset B(y,\varepsilon_2)$.

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Espacios normados

Por Lizbeth Fernández Villegas

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Introducción

«En el Análisis tropezamos, casi siempre, con espacios provistos tanto de una topología como de operaciones de adición de elementos y multiplicación de éstos por números, es decir, tropezamos con los así llamados espacios topológicos lineales. Entre estos espacios, constituyen una clase importante los espacios normados. La teoría fue desarrollada en los trabajos de S. Banach y de otros autores». (Kolmogorov,1975).

Definición norma. Sea $X$ un espacio vectorial sobre $\mathbb R$. Se dice que una aplicación $\| . \| : V \rightarrow \mathbb R$ es una norma si para todo $x,y \in X$ y para todo $\lambda \in \mathbb R$ se satisface:

$\| x \|=0 \iff x=0$
$\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$
$\|x + y\| \leq \|x\|+\|y\|$

El espacio vectorial $(X,\|.\|)$ es llamado espacio normado. Este a su vez induce un espacio métrico si se define:

$d(x,y)=\|x-y\|$

lo cual probaremos a continuación:

Demostración: Sean $x,y,z \in V$

$d(x,x)=\|x-x\|=\|0\|\iff x=0$
$d(x,y)=\|x-y\|=\|(-1)(-x+y)\|=|-1|\|-x+y\|=1\|y-x\|=\|y-x\|=d(y,x)$
$d(x,y)=\|x-y\|=\|x-z+z-y\|\leq \|x-z\|+\|z-y\|=d(x,z)+d(z,y)$

El recíproco no siempre es válido, es decir:

Proposición. No todos los espacios métricos son inducidos por espacios normados.

Demostración: Sean $X \neq \{0\}$ y $d$ la métrica discreta definida en Espacios métricos, entonces si $x \neq 0$
$\|2x\|=|2|\|x\|=|2|\|x-0\|=|2|d(x-0)=2(1)=2$
Lo cual no puede ser, pues la distancia únicamente toma valores en ${0,1}$

Ejemplos:

La norma p. Sea p $\in [1, \infty)$ y $x \in \mathbb {R}^n$. Si $x=(x_1,…, x_n)$, definimos:
$\| x \|_p = (\sum_{i=1}^n |x_i|^p ) ^ {1/p}$ (p_norma).
$\|x\|_\infty = max \{|x_1|,…,|x_n|\}$ (la norma infinito).
En el espacio vectorial $C_{[a,b]}$ donde para $f \in C_{[a,b]}$, $\norm{f}=max_{a \leq t \leq b} |f(t)|$
Sea$(x_{n})$ en el conjunto de sucesiones acotadas. Se define la norma como: $\norm{(x_{n})}:=\sup_{n}|x_{n}|$.

Más adelante…

Ya que reconocemos la distancia entre dos puntos procederemos a identificar todos los puntos que están «cerca» de un punto específico. ¿Te suena familiar? Vamos a ver si el conjunto formado por estos puntos es diferente al que estamos acostumbrados a representar como una bola redonda de radio $\epsilon > 0$.

Tarea moral

Demuestra que si $(X,\|.\|)$ es un espacio normado, entonces $\forall \, x \in X, \norm{x} \geq 0$.
Demuestra que la norma $\| x \|_2$ induce la métrica euclideana.
Demuestra que la norma del ejemplo 3 induce la métrica en el espacio de funciones continuas vista en Espacios métricos.
Demuestra que en el conjunto de números complejos $\mathbb{C}$ pueden definirse las métricas 1 y 2.

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Otros ejemplos de espacios métricos

Por Lizbeth Fernández Villegas

2 respuestas

Introducción

En la sección anterior hablamos sobre la métrica que se asigna entre dos puntos de un conjunto. Estamos tan acostumbrados a unir, automáticamente, dos puntos con el segmento que los une, que es natural que asumamos que la longitud de este segmento definirá la distancia entre ellos. No obstante, puede haber situaciones donde sea necesario considerar factores que nos hagan modificar la manera en que definimos esa distancia. Veamos algunos ejemplos.

Métrica del taxista

Supongamos que nos encontramos en un poblado y nos interesa partir del punto $A$ para llegar al punto $B$ usando el camino más corto. No nos es posible caminar sobre la recta que, en la geometría euclideana une a los dos puntos, pues esto implicaría tener que atravesar las casas y las construcciones que se ubiquen sobre ella. En estas circunstancias lo que resta es desplazarse sobre las calles, en la manera en que lo haría un taxista (suponiendo que no hay restricciones adicionales al recorrido, como el tráfico o el sentido de la vialidad).

En la imagen se pueden visualizar algunas posibles rutas.

Si definimos la distancia como el menor número de cuadras que separan al punto $A$ del punto $B$, podemos observar que los caminos verde, azul y naranja representan rutas de distancia mínima. Cada una de estas cuadras se puede proyectar de manera horizontal y vertical sobre la recta horizontal que tiene a $A$ y la recta vertical que tiene a $B$. En consecuencia, definimos la métrica para dos puntos $A=(a_1,a_2)$ y $B=(b_1,b_2)$ en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como:

$$d(A,B)=|b_1-a_1|+|b_2-a_2| $$

Métrica del ascensor

Ahora nos encontramos en cierta planta de un edificio y nos interesa movernos a otra planta. Si el punto al que vamos se encuentra en el mismo edificio, simplemente nos dirigimos al ascensor, en la misma planta, hasta recorrer la cantidad de pisos deseados. Esta situación se representa en la siguiente imagen:

Por otra parte, si nos interesa llegar a un piso de otro edificio que está sobre la misma calle, debemos tomar el ascensor del edificio en que nos ubicamos hasta llegar a la planta baja, caminar hasta el otro edificio y, posteriormente, tomar el ascensor ahí hasta llegar a nuestro destino. Este movimiento puede visualizarse a continuación:

A partir de esto se define la métrica para dos puntos $A=(a_1,a_2) \,$ y $\, B=(b_1,b_2)$ en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como:

\[
d(A,B) = \left\{ \begin{array}{lcc}
|b_2-a_2| & si & a_1 = b_1 \\
\\ |a_2|+|b_1-a_1|+|b_2| & si & a_1 \neq b_1
\end{array}
\right.
\]

Métrica de Hamming

En el ámbito de la Teoría de la Información interesa contar el número de cambios que se requieren para que una palabra se convierta en otra. Por ejemplo:

Para convertir «casa» en «pasa» se requiere cambiar una letra.
Para convertir «casa» en «taza» se requiere el cambio en dos letras.
Para convertir «roca» en «flor» se requiere cambiar cuatro letras.

Este número de cambios define la distancia de Hamming.

El tablero de ajedrez

Consideremos las piezas Rey, Reina, Alfil, Caballo y Torre en el juego de ajedrez. De acuerdo a las reglas, cada una de estas piezas tiene un movimiento particular definido. Una pieza ubicada en la casilla $A$ requiere una mínima cantidad de movimientos para llegar a la casilla $B.$ Demuestra que cada pieza define una métrica en el conjunto de puntos dado por las casillas del tablero de ajedrez.

Más adelante…

Recordaremos el concepto de espacio normado. Probablemente ya lo has visto en cursos de cálculo o álgebra lineal. Estos espacios inducen también una métrica entre sus puntos. ¿Será que todos los espacios métricos son inducidos por una norma?

Tarea moral

Demuestra que cada uno de los ejemplos anteriores es una métrica.
Define la métrica del taxista para puntos en $\mathbb{R}^n$.
Define la métrica del ascensor para edificios que no necesariamente estén sobre la misma calle. Combina con la métrica del taxista.

Enlaces

Espacios métricos

Por Lizbeth Fernández Villegas

2 respuestas

Introducción

«Desde un punto de vista intuitivo, un espacio métrico es, simplemente, un conjunto en donde podemos hablar de la distancia entre sus elementos, lo que nos permitirá precisar la noción de «proximidad», una idea que está presente implícitamente en todos los conceptos fundamentales de la Topología y el Análisis.

Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemático francés M.Fréchet en 1906. Probó que las ideas de Cantor de subconjuntos abiertos y cerrados podían extenderse de manera natural a los espacios métricos. Más tarde, el concepto fue desarrollado por F. Hasdorff en su Mengenlehre. En parte, su importancia radica en que constituye una interesante generalización de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarrollo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de manifiesto su extraordinario poder para unificar una amplia variedad de teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes». (Diaz, 1998).

¿Qué es un espacio métrico?

Pensemos en un conjunto de elementos que representamos como puntos. Supongamos que cada vez que tomamos dos puntos cualesquiera del conjunto podemos hablar de la distancia que hay entre ellos (como un valor numérico específico), entonces tenemos un espacio métrico cuando se cumplen ciertas condiciones.

Como representación de la idea de distancia observa el siguiente esquema. Aunque en él se muestran solo algunas de las distancias entre dos puntos, esta debe estar definida entre cualquier par del conjunto. Nota que la distancia del punto $x$ a sí mismo es $0$. Así lo será también la distancia de cualquier punto a sí mismo.

La distancia cumplirá lo siguiente:

La distancia de un punto a sí mismo será $0$. La distancia entre puntos distintos será distinta de $0$.

En un espacio métrico la distancia entre dos puntos es simétrica. Esto significa que la distancia entre el punto $x$ y $y$ coincide con la distancia entre el punto $y$ y $x$.
Aunque esto parezca difícil de contradecir, ¿puedes mencionar un ejemplo en tu vida cotidiana en el que el camino que sigues para llegar a un lugar no coincida con el de regreso? Probablemente esto marcará diferencias en los metros recorridos y quizá también en el tiempo o el costo del traslado.

Entre cualesquiera tres puntos se satisface la desigualdad del triángulo. Decimos que la suma de dos de las distancias entre los vértices de un triángulo es mayor o igual que la distancia restante.

De manera formal, tenemos lo siguiente:

Definición. Espacio métrico. Un espacio métrico $(X,d)$ es un par ordenado donde $X$ es un conjunto no vacío, (cuyos elementos llamaremos puntos) y $d$ es la métrica asociada a este.

Definición. Métrica. Llamaremos métrica o distancia en $X$ a una relación $d: X \times X \to \mathbb{R}$ que satisface los siguientes tres axiomas para cualesquiera $x$, $y$, $z$ $\in X$:

\[
\begin{align}
& d(x,y)=0 \quad\text{si y solo si}\quad x = y \\
& d(x,y) = d(y,x) \\
& d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)
\end{align}
\]

Nota: La distancia nunca es negativa. De estos axiomas se deduce que si $x \neq y$ entonces $0<d(x,y)$ pues:
\begin{align*}
0 &= d(x,x)\\
&\leq d(x,y) + d(y,x)\\
&= d(x,y) + d(x,y)\\
&= 2d(x,y)
\end{align*}

Luego de multiplicar por $\dfrac{1}{2}$ ambos lados, se deduce que $0 \leq d(x,y)$. Como $x \neq y$ concluimos a partir del axioma $(1)$ que $0<d(x,y)$.

Naturalmente estaremos pensando en la forma en que usualmente medimos las distancias a nuestro alrededor. ¿Sí satisfacen la definición de métrica estos métodos convencionales? ¿Habrá otras maneras de asignar distancias?

Ejemplos de espacios métricos

La métrica discreta

Sea $X$ un conjunto no vacío. Si para cualesquiera $x, y \in X$ definimos $d:X \times X \to \mathbb{R}$ como:

\[
d(x,y)= \left\{\begin{array}{lcc}
0 & si & x = y \\
\\ 1 & si & x \neq y
\end {array}
\right.
\]

Entonces $d$ es una métrica en $X. \, $ En este caso $(X,d)$ recibe el nombre de espacio discreto.

La distancia entre dos puntos distintos siempre es $1$.

Demostración: Sean $x, y, z \in X$. El axioma $(1)$ se cumple por definición.

Para demostrar el axioma $(2)$ veamos que si $x = y$ entonces $d(x,y) = 0 = d(y,x)$. Por otro lado, si $x \neq y$ entonces $d(x,y) = 1 = d(y,x)$. En cualquier caso $d(x,y) = d(y,x)$.

Para demostrar $(3)$ veamos que si $x=y$ entonces $d(x,y)=0$. Como las distancias siempre son mayores o iguales a cero se sigue que $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$.
Por otro lado, si $x \neq y$ entonces $d(x,y) = 1$ y tenemos los siguientes casos:

Notemos que $d(x,z) = 1$ o $d(z,y) = 1$, pues de lo contrario tendríamos que $d(x,z) = 0$ y $d(z,y)=0$, lo cual implica que $x = z = y$. Por lo tanto $x = y$, lo cual es una contradicción. De lo anterior se concluye que $d(x,y)=1 \leq d(x,z) + d(z,y)$.

El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ con la métrica usual

Sean $x,y \in \mathbb{R}$. Entonces $d$ definida como

\[
d(x,y) = |x-y| = \left\{ \begin{array}{lcc}
x-y & si & x \geq y \\
\\ y-x & si & x < y
\end{array}
\right.
\]

es una métrica en $\mathbb{R}.$

Demostración:
$(1) \, $ Sean $x,y,z \in \mathbb{R}$ entonces $d(x,y)=0 \text{ si y solo si } |x-y|=0 \text{ si y solo si } x=y$.

$(2) \, $ $d(x,y)=|x-y|=|y-x|=d(y,x)$.

$(3) \, $ $d(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|\leq|x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y)$.

El conjunto $\mathbb R^n$ con la métrica usual

Sean $x,y,z \in \mathbb R^n$, con $x=(x_{1},…,x_{n})$, $y=(y_{1},…,y_{n})$ y $z=(z_{1},…,z_{n}),$ definimos

$d(x,y) = \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2},$

entonces $d$ es una métrica en $\mathbb{R}^n.$

Demostración:
$(1)$
\begin{align*}
d(x,y) = 0
&\iff \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2} = 0 \\
&\iff \forall i=1,…,n, (x_{i}-y_{i})^2 = 0 \\
&\iff\forall i=1,…,n, x_{i}=y_{i} \\
&\iff x=y
\end{align*}

$(2)$
Para cada $\, i=1,…,n, (x_{i}-y_{i})^2= (y_{i}-x_{i})^2$ entonces:
\begin{align*}
\sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2}&=\sqrt{(y_{1}-x_{1})^2+…+(y_{n}-x_{n})^2}\\
\text{ Por lo tanto } \quad d(x,y)&=d(y,x)
\end{align*}

$(3)$
\begin{align*}
d(x,y) &= \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2}\\
&= \sqrt{(x_{1}-z_{1}+z_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-z_{n}+z_{n}-y_{n})^2}\\
&\leq \sqrt{(x_{1}-z_{1})^2+…+(x_{n}-z_{n})^2} + \sqrt{(z_{1}-y_{1})^2+…+(z_{n}-y_{n})^2}\\
&=d(x,z)+d(z,y)
\end{align*}

Este espacio métrico es llamado el «espacio aritmético euclídeo de $n$ dimensiones $\mathbb R^n$»

El conjunto $C^0[a,b]:=\{f:[a,b] \to \mathbb R: \quad\text{f es función continua}\}$

Considera $f,g \in C^0 [a,b]$. Para cada $t \in [a,b]$ identifiquemos la medida del segmento que une a los puntos$ (t,f(t))$ y $(t,g(t))$. El segmento más grande representará la distancia entre ambas funciones.

Definimos:
$$d(f,g) = \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-g(t)|$$
Recordemos que este máximo existe, pues al ser $f$ y $g$ funciones continuas, también lo es $|f-g|$ lo que le permite alcanzar su máximo en el compacto $[a,b]$. En consecuencia $d$ es una métrica en el espacio de funciones $ C^0 [a,b].$

Demostración: Sean $f, g \in C^0 [a,b]$

$(1)$ \begin{align*} d(f,g) = 0 &\iff 0 = \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-g(t)|\\
&\iff \forall t \in [a,b], |f(t)-g(t)| =0\\
&\iff \forall t \in [a,b], f(t) = g(t)\\
&\iff f=g
\end{align*}

$(2)$
Como $\forall t \in [a,b], f(t)$ y $g(t) \in \mathbb{R} $, entonces $|f(t)-g(t)| = |g(t)-f(t)|$. Así:
\begin{align*}
d(f,g) &= \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-g(t)|\\
&= \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |g(t)-f(t)|\\
&= d(g,f)\\
\text{Por lo tanto }\quad d(f,g) &= d(g,f).
\end{align*}

$(3)$
Como $f$ y $g$ son funciones continuas en un conjunto compacto entonces la función $f-g$ también es continua en el compacto $[a,b]$ y alcanza su máximo: $\underset{a \leq t \leq b}{max}\,|f(t)-g(t)| = |f(t_{1}) – g(t_{1})|$ para algún $t_{1} \in [a,b]$
Como
\begin{align*}|f(t_{1}) – g(t_{1})| &= |f(t_{1})-h(t_{1})+h(t_{1})-g(t_{1})|\\
&\leq |f(t_{1}) – h(t_{1})| + |h(t_{1} – g(t_{1}))|\\
& \leq \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |f(t)-h(t)| + \underset{a \leq t \leq b}{max}\, |h(t)-g(t)|
\end{align*}
concluimos $d(f,g) \leq d(f,h) + d(h,g)$.

El conjunto $\mathcal{B}(A,\mathbb{R}):= \{ f:A \to \mathbb{R}: f\text{ es acotada}\}$

Antes de definir una métrica en el espacio anunciado, recordemos un concepto que probablemente conoces:

Definición. Función acotada. Sea $A$ un conjunto. Decimos que una función $f:A \to \mathbb{R}$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x_0 \in \mathbb{R}$ tales que para cada $ \, a \in A$ ocurre que $|x_0-f(a)| \leq M$.

Nuestra distancia será entre funciones que satisfacen la siguiente:

Definición. Espacio de funciones acotadas. El conjunto $$\mathcal{B}(A,\mathbb{R}):= \{ f:A \to \mathbb{R}: f\text{ es acotada}\}$$ es un espacio métrico pues si dos funciones $f,g \in \mathcal{B}(A, \mathbb{R})$ entonces la función $f-g$ también es acotada, por lo tanto existe el $\underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|$. Esto permite definir la distancia entre ellas como $$d_\infty (f,g):= \underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|$$ y recibe el nombre de métrica uniforme.

Ejemplo de funciones $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ acotadas.

Demostración: Sean $f,g,h \in \mathcal{B}$ entonces:
$(1)$ \begin{align*}
d_\infty(f,g)&=0 \\
\Leftrightarrow \underset{z\in A}{sup}\,|(f(z)-g(z)|&=0 \\
\Leftrightarrow \forall \, z \in A, |f(z)-g(z)|&=0 \\
\Leftrightarrow \forall \, z \in A, f(z)&=g(z) \\
\Leftrightarrow f&=g. \\
\text{Por lo tanto: } d_\infty (f,g)=0 &\Leftrightarrow f=g
\end{align*}

$(2)$ \begin{align*}
d_\infty (f,g)&=\underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|\\
&=\underset{z\in A}{sup}\,|g(z)-f(z)| \\
&=d_\infty(g,f).\\
\text{Por lo tanto: } d_\infty(f,g)&=d_\infty(g,f)
\end{align*}

$(3)$ \begin{align*}
d_\infty(f,g)&=\underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-g(z)|\\
&\leq \underset{z\in A}{sup}\,\{|f(z)-h(z)|+|h(z)-g(z)|\}\\
&\leq \underset{z\in A}{sup}\,|f(z)-h(z)| + \underset{z\in A}{sup}\,|h(z)-g(z)|\\
&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g)\\
\text{Por lo tanto: }d_\infty(f,g)&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g)
\end{align*}

Más adelante…

Ya aprendimos qué es un espacio métrico y comprobamos que las distancias vistas en otros cursos satisfacen la definición. En la siguiente entrada conoceremos algunos ejemplos más con la finalidad de hacer consciente que hay otras maneras de medir la separación entre dos objetos.

Tarea moral

¡Es tu turno de practicar! Sean $x,y \in \mathbb R^2$ con $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2}).$ Demuestra que las siguientes son métricas para $\mathbb{R}^2:$

$d(x,y) = \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2 + 4(x_{2}-y_{2})^2}$
$d(x,y) = |x_{1}-y_{1}|+…+|x_{n}-y_{n}|$
$d(x,y) = max \{|x_{1}-y_{1}|,…,|x_{n}-y_{n}|\}$