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Álgebra Lineal II: Triangularizar y descomposición de Schur

Por Julio Sampietro

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Introducción

En esta entrada estudiaremos el concepto de triangularizar matrices. Esto simplemente quiere decir encontrar una base respecto a la cual podamos escribir a nuestra matriz como una matriz triangular superior. Esto tiene muchas ventajas, puesto que las matrices triangulares superiores son relativamente fáciles de calcular. Como veremos, el concepto de triangularización está íntimamente ligado con los ceros de polinomios.

Matrices triangulares

Recordamos que una matriz $A=[a_{ij}]\in M_n(F)$ se dice triangular superior si $a_{ij}=0$ siempre que $i>j$, es decir si todas las entradas por debajo de la diagonal son cero. Las matrices triangulares gozan de algunas propiedades que ya hemos explorado. Por ejemplo, sus valores propios son fácilmente calculables: ¡son precisamente las entradas de la diagonal! Más explícitamente su polinomio característico es exactamente

\begin{align*}
\chi_A(X)=\prod_{i=1}^{n}(X-a_{ii}).
\end{align*}

Además forman un subespacio cerrado bajo multiplicación del espacio de todas las matrices. Puesto que son matrices ‘sencillas’, es deseable poder escribir alguna otra matriz como una matriz triangular, tal vez mediante un cambio de base: esto es precisamente triangularizar. Tenemos entonces la siguiente definición.

Definición. Diremos que una matriz es triangularizable si es similar a una matriz triangular superior.

Primero, necesitaremos de un par de conceptos sobre polinomios.

Polinomios y sus raíces

Definición. Un polinomio $P\in F[X]$ se divide sobre F si es de la forma

\begin{align*}
P(X)=c(X-a_1)\cdots (X-a_n)
\end{align*}

para algunos escalares $c,a_1,\dots, a_n\in F$ no necesariamente distintos.

Por ejemplo el polinomio $X^2+1$ no se divide sobre $\mathbb{R}$ ya que sabemos que no tiene raíces reales. Sin embargo, el mismo polinomio si se divide sobre $\mathbb{C}$: en efecto

\begin{align*}
X^2+1=(X-i)(X+i).
\end{align*}

Por otro lado, el polinomio $X^2-3X+2$ si se divide sobre $\mathbb{R}$, puesto que lo podemos escribir como

\begin{align*}
X^2-3X+2=(X-1)(X-2).
\end{align*}

Nota que el polinomio también se divide sobre $\mathbb{C}$ puesto que $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$. De hecho, no existe ningún polinomio con coeficientes complejos que no se divida sobre $\mathbb{C}$, este es un sorprendente resultado de Gauss:

Teorema (fundamental del Álgebra). Cualquier polinomio $P\in \mathbb{C}[X]$ se divide sobre $\mathbb{C}$.

Este teorema también se enuncia diciendo que $\mathbb{C}$ es algebraícamente cerrado. Es decir, todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Es un buen ejercicio verificar que ambas versiones son equivalentes.

Por lo que mencionamos al principio, el polinomio característico de una matriz triangular superior se divide sobre el campo. Como el polinomio de matrices similares es igual, se sigue que si una matriz es triangularizable, entonces su polinomio característico se divide sobre el campo.

Problema. Da un ejemplo de una matriz $A\in M_2(\mathbb{R})$ que no sea triangularizable en $M_2(\mathbb{R})$.

Solución. Puesto que el polinomio característico de una matriz triangularizable se divide sobre el campo, es suficiente con encontrar una matriz cuyo polinomio característico no se divida sobre $\mathbb{R}$: por ejemplo $X^2+1$. Enseguida proponemos la matriz

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Entonces $\chi_A(X)=X^2+1$, que ya aclaramos que no se divide sobre $\mathbb{R}$. Por tanto $A$ no es triangularizable.

$\triangle$

Un teorema sobre triangularizar

Ya vimos que si $A$ es una matriz triangularizable su polinomio característico se divide sobre el campo. El siguiente teorema nos dice que el converso también es cierto.

Teorema. Sea $A\in M_n(F)$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. El polinomio característico de $A$ se divide sobre $F$.
  2. $A$ es similar a una matriz triangular superior.

Demostración. La discusión previa ya nos mostró que $2$ implica $1$. Probaremos el converso por inducción sobre $n$. El resultado se cumple para $n=1$ (pues toda matriz es triangular superior), así que podemos asumir que $n\geq 2$ y que el resultado se cumple para $n-1$.

Sea $\lambda\in F$ una raíz de $\chi_A$. Nota que dicha raíz existe pues estamos suponiendo que $\chi_A$ se divide sobre $F$. También escogemos un vector no-cero $v$ tal que $Av=\lambda v$, es decir, un eigenvector asociado a $\lambda$. Como $v\neq 0$, podemos completar a una base $v=v_1,\dots, v_n$ de $V=F^n$. La matriz asociada a la transformación lineal $T$ asociada a $A$ se ve entonces de la forma

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\lambda & \ast\\
0 & B
\end{pmatrix}
\end{align*}

para alguna $B\in M_{n-1}(F)$. Entonces podemos encontrar una matriz de cambio de base (y por tanto invertible) $P_1$ tal que

\begin{align*}
P_1 AP_1^{-1}=\begin{pmatrix}
\lambda & \ast\\
0 & B
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Puesto que matrices similares comparten el mismo polinomio característico, tenemos que

\begin{align*}
\chi_A(X)=\chi_{P_1AP_1^{-1}}(X)=(X-\lambda)\chi_B(X).
\end{align*}

Se sigue que $\chi_B$ se divide sobre el campo. Además, $B\in M_{n-1}(F)$, por lo que podemos aplicar la hipótesis de inducción para afirmar que existe una matriz invertible $Q\in M_{n-1}(F)$ tal que $QBQ^{-1}$ es triangular superior. Luego definiendo

\begin{align*}
P_2=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & Q
\end{pmatrix},
\end{align*}

se cumple no solo que $P_2$ es invertible (¿por qué?) pero además que

\begin{align*}
P_2(P_1AP_1^{-1})P_2^{-1}=\begin{pmatrix}
\lambda & \ast\\
0 & QBQ^{-1}\end{pmatrix}.
\end{align*}

Notamos que esta última matriz es triangular superior, puesto que $QBQ^{-1}$ lo es. Esto completa la prueba.

$\square$

Un corolario importante

Combinando el teorema fundamental del álgebra junto con el teorema pasado obtenemos un corolario importante, conocido como el teorema de descomposición de Schur. Lo enunciamos como teorema.

Teorema (descomposición de Schur). Para cualquier matriz $A\in M_n(\mathbb{C})$ podemos encontrar una matriz invertible $P\in M_n(\mathbb{C})$ y una matriz triangular superior $T\in M_n(\mathbb{C})$ tal que $A=PTP^{-1}$. Por tanto toda matriz con entradas complejas es triangularizable.

Demostración. Por el teorema fundamental del álgebra, tenemos que $\chi_A$ se divide sobre $\mathbb{C}$. Luego usando el teorema anterior concluimos que $A$ es triangularizable.

$\square$

Más adelante…

En la próxima entrada veremos un concepto parecido a triangularizar pero más fuerte: diagonalizar, que consiste en llevar a una matriz a una matriz diagonal similar.

Tarea moral

A continuación presentamos algunos ejercicios que sirven para repasar los temas vistos en esta entrada.

  1. ¿Es la matriz
    \begin{align*}
    A=\begin{pmatrix}
    1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
    \end{align*}
    triangularizable sobre $\mathbb{R}$?
  2. Encuentra una matriz traingular superior similar a la matriz
    \begin{align*}
    \begin{pmatrix}
    1 & 2\\ 3 & 2\end{pmatrix}.
    \end{align*}
  3. Encuentra una matriz triangular superior similar a la matriz
    \begin{align*}
    \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}.
    \end{align*}
  4. ¿Por qué la matriz $P_2$ construida en la demostración del segundo teorema es invertible?
  5. Demuestra que una matriz $A\in M_n(F)$ es nilpotente si y sólo si es similar a una matriz triangular superior con entradas cero en la diagonal.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral I: Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 2)

Por Karen González Cárdenas

1 respuesta

Introducción

Continuaremos revisando resultados derivados de las Propiedades básicas de los números reales vistas en la entrada anterior.

Resultados relacionados a la multiplicación

Proposición. Demostraremos lo siguiente:

  1. Sean $a,b \in\RR$. Si $ab=0 \Rightarrow a=0 $ ó $b=0$.
  2. Sea $a\in \RR, a\neq 0$. Si $ax=a$, entonces $x=1$.
  3. Sean $a,b,c \in \RR$ con $a \neq 0$. Si $ab = ac \Rightarrow b=c$.

Demostración:

  1. Procederemos a demostrar por contradicción. Así suponemos que $ab=0$, $a\neq 0$ y $b\neq 0$. Entonces por la propiedad M5 existen $a^{-1},b^{-1}\in\RR$ tales que $a\cdot a^{-1}=1$ y $b\cdot b^{-1}=1$.
    Y como $ab=0$ se sigue:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow (ab)\cdot b^{-1}=0\cdot b^{-1}\tag{por multiplicar $b^{-1}$}\\
    &\Rightarrow a (b\cdot b^{-1}) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M3}\\
    &\Rightarrow a (1) = 0\cdot b^{-1}\tag{por M5}\\
    &\Rightarrow a = 0\cdot b^{-1}\tag{por M4}\\
    &\Rightarrow a = b^{-1}\cdot 0 \tag{por M2}\\
    &\Rightarrow a = 0 \contradiccion \tag{por resultado $a\cdot 0=0$}\\
    \end{align*}
    Lo anterior es una contradicción, pues supusimos que $a\neq 0$.
    $\therefore \quad a=0 \quad \text{o}\quad b=0$.

    Observación: Utilizaremos el símbolo $\contradiccion$ para referirnos a una contradicción en las pruebas.

    Otra alternativa de demostración para este punto 1 es la siguiente:
    Vamos a suponer que $ab=0$ y $a\neq 0$. Por M5 sabemos que existe $a^{-1}\in\RR$ inverso multiplicativo de $a$, así tenemos que:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow a^{-1}\cdot (ab)=a^{-1}\cdot 0 \tag{por multiplicar $a^{-1}$}\\
    &\Rightarrow (a^{-1}\cdot a)b=a^{-1}\cdot 0 \tag{por M3}\\
    &\Rightarrow 1\cdot b=a^{-1}\cdot 0 \tag{por M5}\\
    &\Rightarrow b=a^{-1}\cdot 0 \tag{por M4}\\
    &\Rightarrow b = 0 \tag{por resultado $a\cdot 0=0$}\\
    \end{align*}
    Análogamente, si consideramos $b\neq 0$ obtendríamos que $a=0$.
    $\therefore a=0 $ ó $b=0$
  2. Como por hipótesis tenemos que $ax=a$.
    \begin{align*}
    &\Rightarrow ax + (-a)=a + (-a)\tag{por sumar $-a$}\\
    &\Rightarrow ax + (-a) = 0\tag{por S5}\\
    &\Rightarrow ax + (-1)(a)=0\tag{por $-a = (-1)(a)$}\\
    &\Rightarrow ax +(a)(-1)=0\tag{por M2}\\
    &\Rightarrow a (x + (-1))=0\tag{por D}\\
    \end{align*}

    Por el punto anterior 1 tenemos que $a=0$ ó $x + (-1)=0$. Pero como por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces $x + (-1)=0$.

    Como ya vimos que el inverso aditivo es único $\Rightarrow x$ es el inverso aditivo de $-1$, que por el resultado $-(-a)=a$ usando $a=1$, sabemos que es 1.
    $$\therefore \quad x=1$$
  3. Como por hipótesis tenemos que $a\neq 0$ entonces existe $a^{-1}\in\RR$ por M5.
    Así multiplicando por $a^{-1}$ en ambos lados de la igualdad $ab=ac$ tenemos:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)\\
    &\Rightarrow (a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c\tag{por M3}\\
    &\Rightarrow 1\cdot b= 1\cdot c\tag{por M5}\\
    &\Rightarrow b=c\tag{por M4}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \quad b=c$$

$\square$

Como vimos en las pruebas anteriores, conforme vayamos probando más propiedades los resultados que obtendremos se volverán más interesantes. A continuación demostraremos algunos con los que seguramente ya estás familiarizado.

Algunos productos notables

Notación: Definimos $x-y:=x + (-y)$.

Proposición: Para $x,y \in \RR$ se cumple lo siguiente:

  1. Diferencia de cuadrados: $x^{2} – y^{2} =(x – y)(x+y)$ .
  2. Si $x^{2} = y^{2}$ entonces $x=y \quad$ o $\quad x=-y$ .
  3. Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$ .
  4. Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x-y)(x^{2} -xy+ y^{2})$ .

Demostración:

  1. Partiremos de $(x – y)(x+y)$, así obtenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    (x – y)(x+y)&= (x-y)x + (x-y)y\tag{por D}\\
    &=x(x-y)+y(x-y)\tag{por M2}\\
    &=x(x+(-y))+y(x+(-y))\\
    &=x\cdot x + x\cdot (-y)+y\cdot x+y\cdot (-y)\tag{por D}\\
    &= x^{2} – xy+yx-y^{2}\tag{por $-xy=x(-y)$}\\
    &= x^{2} – xy+xy-y^{2}\tag{por M2}\\
    &= x^{2} +0-y^{2}\tag{por S5}\\
    &= x^{2} -y^{2}\tag{por S4}\\
    \therefore \quad(x – y)(x+y)&=x^{2} -y^{2}
    \end{align*}
  2. Sabemos que $x^{2} =y^{2}$. Veamos que si sumamos $-y^{2}$ en ambos lados obtenemos:
    $$x^{2} – y^{2}=y^{2}- y^{2} \Rightarrow x^{2} – y^{2}=0$$
    Aplicando el punto anterior se sigue que:
    $$(x – y)(x+y)=0$$
    Recordando la proposición vista al principio de la entrada decimos que: $x-y=0$, o bien, $x+y=0$.
    Por un lado tenemos que al sumar $y$ en $x-y=0$:
    \begin{align*}
    (x-y)+y&=0+y\\
    x+((-y)+y)&=y\tag{por S3 y S4}\\
    x&=y\tag{por S5}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \quad x=y$$

    Y por otro tenemos que al sumar $-y$ en $x+y=0$:
    \begin{align*}
    (x+y)-y&=0-y\\
    x+(y+(-y))&=-y\tag{por S3 y S4}\\
    x&=-y\tag{por S5}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \quad x=-y$$
    De lo anterior concluimos que $x=y$, ó $x=-y$.

    Los incisos 3 y 4 se dejarán como ejercicios en la Tarea moral.

$\square$

Propiedades relacionadas a los inversos multiplicativos

Notación: Denotaremos al inverso multiplicativo de $a\in\RR$ como $a^{-1}=\frac{1}{a}$. Consecuentemente, definimos $\frac{a}{b}:= a \cdot b^{-1}$.

Proposición: Para $a,b,c,d \in \RR$ se cumple lo siguiente:

  1. Para $a,b\neq 0$, $$(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}\quad \text{.}$$
  2. Para $b,c\neq 0$, $$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\quad \text{.}$$
  3. Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}\quad \text{.}$$
  4. Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\quad \text{.}$$
  5. Para $b,c,d \neq 0$, $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}\quad \text{.}$$
  6. Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow ad=bc \quad \text{.}$$

Demostración:

  1. Observemos que por la propiedad de cerradura M1, $ab\in\RR$ y $ab\neq 0$. Así por M5 se sigue que: $$(ab)(ab)^{-1}=1 \tag {1}\quad \text{.}$$
    De este modo, lo que queremos probar es: $$(ab)(a^{-1}b^{-1})=1\quad \text{.}$$
    Comenzando por el lado izquierdo de la igualdad tenemos:
    \begin{align*}
    (ab)(a^{-1}b^{-1})&=a(b(a^{-1}b^{-1}))\tag{por M3}\\
    &=a(b(b^{-1}a^{-1}))\tag{por M2}\\
    &=a((bb^{-1})a^{-1})\tag{por M3}\\
    &=a((1)a^{-1})\tag{por M5}\\
    &=aa^{-1}\tag{por M4}\\
    &=1 \quad \text{.}\tag{por M5}
    \end{align*}
    Concluimos que $(ab)(a^{-1}b^{-1})=1 \tag{2}$. Al igualar con $(1)$ nos queda: $$(ab)(ab)^{-1}=(ab)(a^{-1}b^{-1})\quad\text{.}$$ Y aplicando el punto 3 de la primera sección de esta entrada tenemos: $$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\quad\text{.}$$
  2. Recordemos que por la definición $\frac{a}{b}=ab^{-1}$. Por lo que tendríamos:
    \begin{align*}
    \frac{ac}{bc} &=(ac)(bc)^{-1}\\
    &=(ac)(b^{-1}c^{-1})\tag{ por el punto anterior}\\
    &=((ac)b^{-1})c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(cb^{-1}))c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(b^{-1}c))c^{-1}\tag{por M2}\\
    &=(ab^{-1})c)c^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(cc^{-1})\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(1)\tag{por M5}\\
    &=ab^{-1} \quad \text{.}\tag{por M4}\\
    \end{align*}
    $$\therefore \quad \frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\quad \text{.}$$
  3. La propiedad 3 queda como ejercicio para nuestro lector.
  4. Procedamos a demostrar la propiedad 4, comenzaremos por $$\frac{ac}{bd}=\frac{ac}{bd}\quad\text{.}$$
    Así por definición tenemos lo siguiente:
    \begin{align*}
    \frac{ac}{bd}&=(ac)(bd)^{-1}\\
    &= (ac)(b^{-1}d^{-1})\tag{por el primer punto}\\
    &= ((ac)b^{-1})d^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(cb^{-1}))d^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(a(b^{-1}c))d^{-1}\tag{por M2}\\
    &=((ab^{-1})c)d^{-1}\tag{por M3}\\
    &=(ab^{-1})(cd^{-1})\tag{por M3}\\
    &=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\quad\text{.}
    \end{align*}
    $$\therefore \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\quad\text{.}$$
  5. La propiedad 5 queda como ejercicio para nuestro lector.
  6. Sean $b,d \neq 0$. Supongamos que: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\text{.}$$
    $P.d.$ $ad = bc$.
    Ya que $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\text{,}$$ por definición tenemos $ab^{-1}=cd^{-1}$.
    Multiplicando por $b$ se sigue que:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow(ab^{-1})b =(cd^{-1})b\\
    &\Rightarrow a(b^{-1}b) =c(d^{-1}b)\tag{por M3}\\
    &\Rightarrow a(1) =c(bd^{-1})\tag{por M5 y M2}\\
    &\Rightarrow a =(cb)d^{-1}\quad\text{.}\tag{por M4 y M3}\\
    \end{align*}

    Ahora multiplicaremos la igualdad anterior por $d$:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow ad =((cb)d^{-1})d\\
    &\Rightarrow ad =(cb)(d^{-1}d)\tag{por M3}\\
    &\Rightarrow ad =(cb)(1)\tag{por M5}\\
    &\Rightarrow ad =cb\tag{por M4}\\
    &\Rightarrow ad =bc\quad\text{.}\tag{por M2}\\
    \end{align*}

$\square$

Más adelante

Durante las últimas dos entradas vimos las propiedades relacionadas con la suma y la multiplicación de los números reales. Sin embargo, no son las únicas propiedades que este conjunto de números cumple. En la siguiente entrada comenzaremos a ver las propiedades de orden de los números reales y algunas de sus consecuencias.

Tarea moral

Prueba los puntos 3 y 4 de la sección «Algunos productos notables».

  • Diferencia de cubos: $x^{3} – y^{3}=(x-y)(x^{2} +xy+ y^{2})$
  • Suma de cubos: $x^{3} + y^{3}=(x+y)(x^{2} -xy+ y^{2})$
    Sugerencia: Utiliza el punto anterior «Diferencia de cubos» y prueba que $y^{3}=-(-y)^{3}$.

Prueba los puntos 3 y 5 de la sección anterior:

  • Para $b,d \neq 0$, $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}\quad\text{.}$$
  • Para $b,c,d \neq 0$, $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}\quad\text{.}$$

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante y por variación de parámetros

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En particular, resolvimos el caso cuando la función $g(t)$ que aparece en la ecuación $a_{0}(t) \frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$ es la función constante cero.

Ahora veremos el caso no homogéneo, es decir, cuando la función $g(t)$ no es cero. Resolveremos esta ecuación por dos vías distintas. El primer método es mediante la búsqueda de una función que dependa de la variable independiente $t$ que nos ayude a simplificar la ecuación. A esta función la llamaremos factor integrante. El segundo método, llamado variación de parámetros, utiliza la solución general a la ecuación homogénea asociada, para encontrar a su vez la solución general a la ecuación no homogénea.

¡Vamos a comenzar!

Solución a ecuación lineal no homogénea por factor integrante

En el primer video resolvemos la ecuación diferencial $a_{0}(t) \frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$ como un caso general por el método de factor integrante. En el segundo video resolvemos algunas ecuaciones por el mismo método.

Solución a ecuación lineal no homogénea por variación de parámetros

En el primer video resolvemos de forma general la ecuación lineal no homogénea, ahora por el método de variación de parámetros. En el segundo video resolvemos dos ecuaciones por este método, una de ellas la resolvimos en la sección anterior por el método de factor integrante, esto para comprobar que los dos métodos llevan a la misma solución.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que la expresión de la solución general para la ecuación lineal homogénea es un caso particular de la solución general de la ecuación lineal no homogénea.
  • Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por los métodos de factor integrante y variación de parámetros: $$\frac{dy}{dt}=y+t^{2}$$ $$\frac{dy}{dt}+y+t+t^{2}+t^{3}=0.$$
  • Intenta resolver la ecuación $t^{2}\frac{dy}{dt}+y=\frac{1}{t}$ con $t>0$, por el método de variación de parámetros. ¿Qué dificultades se presentan? Esto muestra que habrá ocasiones en que alguna ecuación diferencial no podrá ser resuelta por ciertos métodos.
  • Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ soluciones a las ecuaciones diferenciales $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q_{1}(t)$ y $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q_{2}(t)$. Prueba que $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ es solución a la ecuación $\frac{dy}{dt}+p(t)y=c_{1}q_{1}(t)+c_{2}q_{2}(t)$, donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes.
  • Cuando resolvimos la ecuación lineal no homogénea por variación de parámetros, encontramos una forma explícita para la suma de soluciones $y_{H}+y_{P}$ donde $y_{H}$ es solución general a la ecuación homogénea y $y_{P}$ es una solución particular a la ecuación no homogénea, y afirmamos que esta nueva solución es la misma que encontramos por el método del factor integrante. Ahora supongamos por un momento que no conocemos el método del factor integrante. Argumenta por qué $y_{H}+y_{P}$ es solución general a la ecuación no homogénea. (Hint: Utiliza el ejercicio anterior).
  • Resuelve la ecuación diferencial $\frac{dT}{dt}=-50(T(t)-30)$ con condición inicial $T(0)=75$.

Más adelante

Hasta el momento hemos estudiado diversos tipos de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista cualitativo y también analítico. Sin embargo, muchos de los resultados a los que hemos llegado tienen una justificación que aún no hemos revisado a detalle. Dicha justificación está dada por el Teorema de existencia y unicidad.

En la siguiente entrada demostraremos una primera versión de este teorema, enfocado en ecuaciones lineales de primer orden, que son las ecuaciones que hemos estudiado en los últimos videos.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Moderna I: Propiedades de grupos y Definición débil de grupo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Cuando se estudian campos vectoriales u otras estructuras algebraicas primero se definen ciertas propiedades básicas y después, otras propiedades importantes que se desprenden de las primeras. Ahora, vamos a ver propiedades de los grupos. Dentro de los grupos mencionamos la existencia de un neutro, asociatividad e inversos. Pero de ahí se desprenden otras propiedades que vamos a usar como la cancelación, la unicidad del neutro, etc.

Propiedades de grupos

Propiedades. Sea $(G,*)$ un grupo. Entonces,

  1. Para cualesquiera $x, a, b \in G$, se tiene que $$x*a = x*b \Rightarrow a = b,$$ también se vale cancelar por la derecha, $$a*x = b*x \Rightarrow a = b.$$ Estas propiedades son conocidas como las leyes de cancelación.
  2. El neutro en $(G,*)$ es único.
  3. Cada $a \in G$ tiene un único inverso y se denota por $a^{-1}$.
  4. Para toda $a \in G$, $(a^{-1})^{-1} = a$.

Demostración.

1. Sean $x,a,b \in G$.
Supongamos que $x*b = x*b$. Sea $\tilde{x} \in G$ inverso de $x$. Tenemos que

\begin{align*}
\tilde{x} * (x * a) = \; & \tilde{x} * (x * b) & \text{ }\\
(\tilde{x} * x) * a = \; & (\tilde{x} * x) * b & \text{por la asociatividad}\\
e* a = \; & e * b & \text{por ser $\tilde{x}$ el inverso de $x$}\\
a = \;& b & \text{por ser $e$ el neutro.}
\end{align*}

La cancelación por la derecha es análoga y se deja como ejercicio.

2. Sean $e, e’ \in G$ neutros. Entonces,

\begin{align*}
e \;{=}\; & e * e’ & \text{ por ser $e’$ un neutro}\\
{=}\; & e’ & \text{ por ser $e$ un neutro.}\\
\end{align*}

Por lo tanto, $e= \; e’.$

3. Sea $a\in G$. Supongamos que $\hat{a}, \tilde{a} \in G$ son inversos de a, entonces:

\begin{align*}
\hat{a} \;{=}\; & e * \hat{a} & \text{ por ser $e$ el neutro}\\
= \; &(\tilde{a} * a)* \hat{a} & \text{ por ser $\tilde{a}$ un inverso de $a$}\\
=\; & \tilde{a} * (a * \hat{a}) & \text{ por la asociatividad}\\
=\; & \tilde{a} * e & \text{por ser $\hat{a}$ un inverso de $a$}\\
=\; &\tilde{a} & \text{ por ser $e$ el neutro.}
\end{align*}

Por lo tanto, $\hat{a} = \tilde{a}.$

4. Sea $a \in G$.
Como $(a^{-1})^{-1}$ es el inverso de $a^{-1}$ tenemos que

$$a^{-1} * (a^{-1})^{-1} = e.$$

Como $a^{-1}$ es el inverso de $a$ tenemos que

$$a^{-1} * a = e.$$

Así $a^{-1}*(a^{-1})^{-1} = a^{-1} *a$, entonces por la propiedad 1 podemos cancelar el elemento $a^{-1}$ por la izquierda y concluir que $(a^{-1})^{-1} = a$.

$\blacksquare$

Definición débil de grupo

Teorema. Sea $G$ un conjunto y $*$ una operación binaria en $G$. Supongamos que

  1. $*$ es asociativa,
  2. existe $e \in G$ tal que $e*a = a $ para toda $a \in G$ y
  3. $\forall a \in G$ existe $ \tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a}*a=e$.

Entonces $(G,*)$ es un grupo.

Nota: A partir de ahora, a las propiedades $2$ y $3$ de la definición débil de grupo las denotaremos como $2’$ y $3’$ respectivamente para dejar que los números $2$ y $3$ denoten las propiedades de la definición de grupo.

Demostración.
Supongamos que $(G,*)$ cumple $1, 2’$ y $3’$.
Sea $a \in G$. Por $3’$, existe $\tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a} * a = e$.
Tenemos que $\tilde{a}$ es un inverso izquierdo de $a$. Veamos primero que $\tilde{a}$ es también un inverso derecho de $a$, es decir que $a * \tilde{a} = e$.

\begin{align*}
\tilde{a} * (a * \tilde{a}) \;=\;& (\tilde{a} * a) * \tilde{a} & \text{por la asociatividad}\\
= \; & e * \tilde{a} & \text{por la propiedad }3’\\
= \;& \tilde{a} & \text{ por la propiedad } 2′.\\
\end{align*}

Entonces, $\tilde{a} * (a * \tilde{a}) = \tilde{a}$.

Por $3’$ existe $b \in G$ tal que $b*\tilde{a}=e$. Multiplicando $ \tilde{a} * (a * \tilde{a}) = \tilde{a}$ a la izquierda por $b$ tenemos que

\begin{align*}
b * (\tilde{a} * (a * \tilde{a})) =\;& b * \tilde{a} & \text{ }\\
(b * \tilde{a}) * (a * \tilde{a}) = \;& b * \tilde{a} & \text{por la asociatividad}\\
e * (a * \tilde{a}) =\;& e & \text{ya que $b$ es un inverso izquierdo de $\tilde{a}$}\\
a * \tilde{a}=\;& e &\text{ya que $e$ es un neutro izquierdo.}
\end{align*}

Así, $\tilde{a}$ es también un inverso derecho de $a$.

Por $2’$, $e*a=a$ para toda $a\in G$, es decir $e$ es un neutro izquierdo. Veamos ahora que $e$ también es un neutro derecho probando que $a * e = a$ para toda $a \in G$.

Sea $a \in G$. Por $3’$ existe $\tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a} * a=e$, y por lo que acabamos de probar $a * \tilde{a} = e$. Usando estas igualdades y la propiedad asociativa tenemos que

$$a * e = a * (\tilde{a} * a) = (a * \tilde{a}) * a = e * a,$$

y, como $e$ es un neutro por la izquierda, $e * a = a$. Así $a * e = a$.

Por lo tanto $(G, *)$ es un grupo.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Usando la Definición débil de grupo, determina cuáles de estos conjuntos son un grupo.
    • $G = \r \setminus \{-1\}$, $a*b := a+b+ab$.
    • $G = \r^*$, $a*b = |a|b$.
    • $G = \{r \in \mathbb{Q} \;|\; r = \frac{p}{q} \text{ con } (p,q)= 1 \text{ y } q \text{ impar}\}$, $a*b = a+b$ (la adición usual).
    • Sea $X$ un conjunto. Considera $G = \mathcal{P}(X)$ el conjunto potencia de $X$ con la operación binaria $A \triangle B = (A \cup B)\setminus (A \cap B)$ para todo $A,B \in \mathcal{P}(X)$.
  2. Muestra que $G = \r^*$ con la operación $a * b = |a| b$, tiene un neutro izquierdo $e$ y para cada elemento $a$ existe $\tilde{a}$ tal que $a * \tilde{a} = e$ ¿qué puedes concluir con respecto a la definición débil de un grupo?
  3. Para el conjunto $\mathcal{S}:= \{\bigstar, \blacktriangledown, \blacklozenge, \clubsuit \}$, considera las operaciones que creaste en la tarea moral de una entrada anterior.
    • Si definiste una operación tal que $(\cS, *)$ es un grupo, comprueba las propiedades vistas en esta entrada y verifica la definición débil.
    • Si no, observa si alguna de las propiedades analizadas se cumplen con tu operación.
  4. Si quieres conocer el grupo de transformaciones lee la sección 3.1.1 del libro Introducción analítica a la geometría de Javier Bracho (página 112 a la 115).
  5. Si quieres conocer el grupo diédrico puedes ver el video Dihedral Group de Socratica. El video está en inglés. De todas maneras, después usaremos el grupo diédrico, así que lo definiremos más adelante.

Más adelante…

En la siguiente entrada generalizaremos la propiedad de la asociatividad porque hasta ahora sólo la manejamos con tres elementos. Además, seguiremos formalizando conceptos que ya conocemos intuitivamente: definiremos qué es una potencia, escribiremos las leyes de los exponentes y las demostraremos.

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Álgebra Moderna I: Asociatividad Generalizada y Leyes de los Exponentes

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Una de las condiciones que pedimos para que un conjunto con una operación sea un grupo, es la asociatividad, la vimos en el caso de tres factores:

\begin{align*}
a * b * c &= (a * b) * c \\
& = a *(b * c).
\end{align*}

Intuitivamente sabemos que esto se vale para más factores. Por ejemplo, con cuatro factores podemos escribir las distintas maneras de asociar a los factores, algunas de las cuales se muestran a continuación:

\begin{align*}
a * b * c *d& = (a * (b * c)) * d \\
& = ((a * b) * c) * d \\
& = (a * b) * (c * d).
\end{align*}

Para más factores es un problema escribir todas las asociaciones posibles y justificar que el resultado de la operación no cambia sin importar la forma de asociar los factores. Para resolverlo, intuitivamente usaríamos inducción sobre el número de factores. Sin embargo, la inducción usual no nos ayuda ya que la forma de asociar no siempre consiste de algún factor que sea a su vez el producto de $n$ factores. Por ejemplo si queremos comparar el producto $a_1* (a_2* \cdots * a_n) * a_{n+1}$ con la expresión $(a_1 * (a_2 * \cdots * a_{n-1}))* (a_n * a_{n+1})$, en la primera expresión el segundo factor es el producto de $n$ factores pero en la segunda expresión no. Así, necesitamos usar la inducción modificada en la demostración.

Teorema de la Asociatividad Generalizada

Teorema. (Asociatividad Generalizada)
Sean $(G,*)$ en un grupo, $n \in \n$ con $3 \leq n$ y $a_1,…,a_n \in G$. Cualesquiera dos maneras de multiplicar estos elementos en dicho orden proporciona el mismo resultado (sin importar cómo se elijan factores adyacentes).

Demostración.
Por inducción modificada (se puede consultar aquí).

Caso base $n =3$. Se cumple por la asociatividad de $*$.

Sea $n\in \n$ con $3 < n$.
Hipótesis de Inducción (H.I.): Supongamos que para menos de $n$ factores, el resultado se cumple.

Consideremos $a_1 * a_2 * \cdots * a_n$. Al elegir dos elementos adyacentes y multiplicarlos se tiene un factor menos. Así con cada producto que se realice, el número de factores decrece en uno. Eventualmente quedarán sólo dos factores.

Sean

\begin{align*}
X &= (a_1 * \cdots * a_i) * (a_{i+1} * \cdots * a_n) \\
Y&=(a_1 * \cdots * a_j) * (a_{j+1} * \cdots * a_n)
\end{align*}

con $i,j \in \{1,\cdots,n\}$. Supongamos que $X$ y $Y$ son elementos de $G$ obtenidos por dos personas multiplicando las $a$’s (cada quien con sus propias elecciones). Sin pérdida de generalidad supongamos que $i<j$.

Por H.I. podemos asociar de la forma que queramos el segundo factor de $X$ y el primer factor de $Y$:

\begin{align*}
X &= (a_1 * \cdots * a_i) * \left[(a_{i+1} * \cdots * a_j) * (a_{j+1} * \cdots * a_n)\right] \\
Y &= \left[(a_1 * \cdots * a_i) * (a_{i+1} * \cdots * a_j)\right] * (a_{j+1} * \cdots * a_n).
\end{align*}

Denotaremos $A, B$ y $C$ de la siguiente manera:

\begin{align*}
A &= a_1 * \cdots * a_i \\
B &= a_{i+1} * \cdots * a_j \\
C &= a_{j+1} * \cdots * a_n.
\end{align*}

Por la H.I. $A, B$ y $C$ están bien definidos. Por lo que no tenemos que especificar cómo se asocian esos productos.

entonces,

\begin{align*}
X = A * [B * C]\\
Y = [A * B] * C
\end{align*}

con $A, B, C \in G$. Por el paso base (cuando $n=3$) obtenemos que $X = Y$.

$\blacksquare$

Notación. A partir de aquí simplificaremos la notación y escribiremos $ab$ en vez de $a*b$. Cuando el grupo es abeliano, escribiremos en ocasiones $a+b$ en vez de $a*b$. Si no hay confusión, pondremos $G$ en lugar de $(G,*)$.

Consecuencias del Teorema

Corolario. Sean $G$ un grupo y $a,b \in G$. Entonces,

$$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}.$$

Demostración.

Sean $a, b \in G$. Como el inverso de un elemento es único, y $(ab)^{-1}$ es el inverso de $ab$, resta demostrar que $b^{-1}a^{-1}$ también es el inverso de $ab$. Por lo tanto, debemos demostrar que $(ab)(b^{-1}a^{-1}) = e$. Entonces,

\begin{align*}
(ab)(b^{-1}a^{-1}) &= a (b b^{-1}) a^{-1} & \text{por la asociatividad generalizada} \\
& = a e a^{-1}\\
& = (ae)a^{-1}\\
& = a a^{-1} \\
& = e.
\end{align*}

Así $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.

$\blacksquare$

Definición de potencia

Ahora, daremos una definición que nos servirá para simplificar la notación en futuras entradas.

Definición. Sean $G$ un grupo y $a \in G$. Entonces,

  1. $a^0 = e$,
  2. $a^{n+1} = a a^n \qquad\text{ para toda } n \in \n$ y
  3. $a^{-n} = (a^{-1})^n \qquad\text{ para toda } n \in \n$.

Observación 1. Sean $G$ un grupo, $a \in G$ y $n \in \n$. Entonces,

\begin{align*}
a^n &= \underbrace{a\, a \cdots a}_{n \text{ veces}} & \text{ y }\\ \\
a^{-n} &= \underbrace{a^{-1} a^{-1} \cdots a^{-1}}_{n \text{ veces}}.
\end{align*}

Observación 2. Sean $G$ un grupo, $a \in G$ y $n \in \n$. Entonces $a^{-n} = (a^n)^{-1}$.

Leyes de los Exponentes

Proposición. (Leyes de los Exponentes)
Sean $G$ un grupo, $a,b \in G$ y $m,n \in \z$:

  1. Si $ab = ba$, entonces $(ab)^n = a^n b^n$. Si $a$ y $b$ no conmutan, esto no necesariamente se cumple.
  2. $a^n a^m = a^{n+m}$.
  3. $(a^n)^m = a^{n\,m}$.

Notación. Cuando la operación binaria esté denotada con $+$ la potencia $a^n$ se escribe como $na,$ mientras que las leyes de los exponentes se escriben de la siguiente manera:

  1. $n(a+b) = na + nb$.
  2. $na + ma = (n+m)a$.
  3. $m(na) = (mn) a$.

Tarea moral

  1. Demuestra las observaciones 1 y 2. (Sugerencia: Usa inducción para demostrar la observación 1).
  2. Busca un ejemplo de grupo en el que existan $a,b\in G$ y $n\in\mathbb{Z}$ de modo que $(ab)^n \neq a^n b^n$.
  3. Demuestra las leyes de los exponenetes para grupos.

Más adelante…

En la siguiente entrada nos fijaremos en un tipo de grupo especial: un grupo dentro de otro grupo. Es decir, comenzaremos a definir los subgrupos y a dar ejemplos de ellos.
Más adelante veremos que la notación de exponentes nos servirá, no sólo para expresar inversos sino para definir el orden de un elemento.

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