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Geometría Moderna I: Rectas isogonales

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

En esta ocasión hablaremos sobre un tipo mas general de pares de rectas que las medianas y simedianas, estas son las rectas isogonales, esto nos permitirá hablar sobre pares de puntos mas generales que el centroide y el punto simediano, nos referimos a los puntos conjugados isogonales y a sus triángulos pedales.

Rectas isogonales

Definición 1. Dos rectas que pasan por el vértice de un ángulo tales que una es la reflexión de la otra respecto a la bisectriz del ángulo, se llaman rectas isogonales.

Teorema 1. Las distancias a los lados de un ángulo desde dos puntos en dos rectas que pasan por el vértice del ángulo son inversamente proporcionales si y solo si las rectas son isogonales.

Demostración. Si $A P$ y $A Q$ son dos rectas isogonales respecto del ángulo $∠ B A C$ , considera $P_{c}$ , $Q_{c}$ , las proyecciones de $P$ y $Q$ en $A B$ , y $P_{b}$ , $Q_{b}$ , las proyecciones de $P$ y $Q$ en $A C$ .

Como $A P$ , $A Q$ son isogonales entonces $∠ B A P = ∠ Q A C$ y tenemos las siguientes semejanzas $△ A P P_{c} \sim △ A Q Q_{b}$ , $△ A P P_{b} \sim △ A Q Q_{c}$ por lo tanto,
$\frac{P P_{c}}{Q Q_{b}} = \frac{A P}{A Q} = \frac{P P_{b}}{Q Q_{c}}$ .

Ahora supongamos que las distancias a los lados del ángulo, desde $P$ y $Q$ , son inversamente proporcionales.

Notemos que los cuadriláteros $A P_{c} P P_{b}$ , $A Q_{c} Q Q_{b}$ son cíclicos, por lo tanto, los pares de ángulos $∠ B A C$ , $∠ P_{b} P P_{c}$ y $∠ B A C$ , $∠ Q_{b} Q Q_{c}$ son suplementarios, entonces $∠ P_{b} P P_{c} = ∠ Q_{b} Q Q_{c}$ .

Por hipótesis tenemos que $P P_{c} \times Q Q_{c} = P P_{b} \times Q Q_{b}$
$\Rightarrow \frac{P P_{c}}{Q Q_{b}} = \frac{P P_{b}}{Q Q_{c}}$ .

Por criterio de semejanza LAL, $△ P P_{b} P_{c} \sim △ Q Q_{c} Q_{b}$ , y como $A P_{c} P P_{b}$ , $A Q_{c} Q Q_{b}$ son cíclicos, entonces
$∠ B A P = ∠ P_{c} P_{b} P = ∠ Q Q_{c} Q_{b} = ∠ Q A C$ .

Por lo tanto $A P$ y $A Q$ son isogonales.

Puntos conjugados isogonales

Teorema 2. Si tres cevianas de un triángulo son concurrentes, entonces sus rectas isogonales respecto de los ángulos del triángulo son concurrentes, los puntos de concurrencia se llaman conjugados isogonales respecto al triángulo considerado.

Si en $△ A B C$ , $A P$ , $B P$ , $C P$ son tres cevianas concurrentes, consideremos $Q$ la intersección de las isogonales $B Q$ , $C Q$ de $B P$ y $C P$ respectivamente, sean $P_{a}$ , $P_{b}$ , $P_{c}$ ; $Q_{a}$ , $Q_{b}$ , $Q_{c}$ , las proyecciones de $P$ y $Q$ en $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente.

Por el teorema 1, $\frac{P P_{a}}{P P_{c}} = \frac{Q Q_{c}}{Q Q_{a}}$ y $\frac{P P_{b}}{P P_{a}} = \frac{Q Q_{a}}{Q Q_{b}}$ .

Como resultado, $P P_{c} \times Q Q_{c} = P P_{a} \times Q Q_{a} = P P_{b} \times Q Q_{b}$ .

Por el teorema 1, $P$ y $Q$ están sobre rectas isogonales repecto de $∠ B A C$ .

Proposición 1. Dados un ángulo y un punto, la recta que une las proyecciones del punto a los lados del ángulo, es perpendicular a la isogonal a la recta que une el vértice del ángulo con el punto dado.

Demostración. En la entrada simediana probamos la misma proposición, pero para simedianas y medianas, la demostración permanece igual para el caso general.

Corolario. Dados un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , las perpendiculares desde los vértices del triángulo a los lados del triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ , concurren en el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Demostración. Aplicamos la proposición anterior a los tres ángulos del triángulo y recordamos que las tres isogonales a $A P$ , $B P$ y $C P$ son concurrentes (figura 2).

Proposición 2. El conjugado isogonal de un punto respecto a un triángulo es un punto al infinito si y solo si el punto se encuentra en el circuncírculo del triángulo.

Demostración. Sean $△ A B C$ , y $P$ un punto, recordemos que el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ degenera en una recta, la recta de Simson, sí y solo si $P$ esta en el circuncírculo de $△ A B C$ .

Por la proposición 1, las rectas isogonales a $A P$ , $B P$ , $C P$ , respecto de los ángulos de $△ A B C$ son perpendiculares a los lados del triángulo pedal, por lo tanto estas rectas son paralelas si y solo si las proyecciones de $P$ en los lados de $△ A B C$ son colineales.

Ya que las rectas paralelas se intersecan en un punto ideal y las isogonales a $A P$ , $B P$ , $C P$ se intersecan en el conjugado isogonal a $P$ , se tiene el resultado.

Circulo pedal de conjugados isogonales

Proposición 3. Las proyecciones a los lados de un ángulo desde dos puntos en dos rectas isogonales son cíclicos y el centro de la circunferencia es el punto medio entre $P$ y $Q$ .

Demostración. En la demostración del teorema 1, vimos que se tienen la siguientes semejanzas, $△ A P P_{c} \sim △ A Q Q_{b}$ , $△ A P P_{b} \sim △ A Q Q_{c}$ , es decir,
$\frac{A P_{c}}{A Q_{b}} = \frac{A P}{A Q} = \frac{A P_{b}}{A Q_{c}}$
$\Rightarrow A P_{c} \times A Q_{c} = A P_{b} \times A Q_{b}$ .

Por el teorema de las cuerdas, $P_{c} Q_{b} P_{b} Q_{c}$ es un cuadrilátero cíclico.

Por otra parte, en $△ P_{c} Q_{c} P$ , la mediatriz de $P_{c} Q_{c}$ es paralela a $P_{c} P$ y pasa por el punto medio de $P_{c} Q_{c}$ , por lo tanto pasa por el punto medio de $P Q_{c}$ .

En $△ P Q_{c} Q$ la mediatriz de $P_{c} Q_{c}$ es paralela a $Q_{c} Q$ y pasa por el punto medio de $P Q_{c}$ por lo tanto pasa por el punto medio de $P Q$ .

Igualmente vemos que la mediatriz de $P_{b} Q_{b}$ pasa por el punto medio de $P Q$ .

Como $P_{c} Q_{c}$ y $P_{b} Q_{b}$ son cuerdas de la circunferencia sus mediatrices se intersecan en el centro, por lo tanto este coincide con el punto medio de $P Q$ .

Teorema 3. Los triángulos pedales de dos puntos que son conjugados isogonales respecto a un triángulo tienen el mismo circuncírculo y su centro es el punto medio entre los puntos isogonales, esta circunferencia se conoce como circulo pedal de los puntos conjugados isogonales.

Demostración. Sean $O$ el punto medio de $P Q$ y $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ , $△ Q_{a} Q_{b} Q_{c}$ , los triángulos pedales de $P$ y $Q$ .

Por la proposición anterior, $Q_{c} P_{C} Q_{b} P_{b}$ es cíclico, con centro en $O$ , $Q_{c} P_{c} P_{a} Q_{a}$ es cíclico con centro en $O$ , $P_{b} P_{a} Q_{a} Q_{b}$ es cíclico con centro en $O$ .

Como estas tres circunferencias son concéntricas y tienen el mismo radio, son la misma.

Teorema 4. Dado un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el circuncírculo del triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ , corta a los lados de $△ A B C$ en los vértices del triángulo pedal del conjugado isogonal de $P$ respecto a $△ A B C$ .

Demostración. Si $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ es el triángulo pedal de $P$ (figura 5), sean $Q_{a} \in B C$ , $Q_{b} \in C A$ , $Q_{c} \in A B$ , las otras tres intersecciones de $Γ (O)$ , el circuncírculo de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ con $△ A B C$ , consideremos $Q$ el conjugado isogonal de $P$ respecto $△ A B C$ y $O M ∥ P P_{a}$ , con $M \in P_{a} Q$ .

Como $O M ∥ P P_{a}$ y pasa por el punto medio de $P Q$ entonces $M$ es el punto medio de $P_{a} Q$ .

Como $O M ⊥ P_{a} Q_{a}$ y pasa por $O$ entonces es la mediatriz de $P_{a} Q_{a}$ y por lo tanto biseca a $P_{a} Q_{a}$ .

Ya que $O M$ biseca a $P_{a} Q_{a}$ y $P_{a} Q$ entonces $O M ∥ Q Q_{a}$ .

Por lo tanto, $Q Q_{a} ⊥ B C$ , igualmente vemos que $Q Q_{b} ⊥ C A$ , $Q Q_{c} ⊥ A B$ .

En consecuencia, $△ Q_{a} Q_{b} Q_{c}$ es el triángulo pedal de $Q$ .

Proposición 4. Dado un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el centro del circuncírculo del triángulo cuyos vértices son las reflexiones de $P$ respecto de los lados de $△ A B C$ , es el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Demostración. Sean $P_{a}^{'}$ , $P_{b}^{'}$ , $P_{c}^{'}$ , las respectivas reflexiones de $P$ respecto de $B C$ , $C A$ y $A B$ , considera $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Por construcción, $P$ es el centro de homotecia entre $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ y $△ P_{a}^{'} P_{b}^{'} P_{c}^{'}$ con razón de homotecia $2$ , por lo tanto, sus respectivos circuncírculos y sus circuncentros también están en homotecia con centro en $P$ y razón $2$ .

En consecuencia, si $O$ es el circuncentro de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ , entonces el circuncentro de $△ P_{a}^{'} P_{b}^{'} P_{c}^{'}$ se encuentra en la reflexión $Q$ , de $P$ respecto de $O$ .

Por el teorema 3, $Q$ el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Triángulo antipedal

Definición 2. Dado un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el triángulo $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ formado por las perpendiculares a $A P$ , $B P$ , $C P$ , por los vértices de $△ A B C$ se llama triángulo antipedal de $P$ respecto de $△ A B C$

Notemos que $△ A B C$ es el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Proposición 5. Sean $△ A B C$ y $P$ un punto, entonces el triángulo antipedal de $P$ respecto de $△ A B C$ y el triángulo pedal del conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ son homotéticos.

Demostración. Sea $Q$ el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ , consideremos $Q_{a} \in B C$ , $Q_{b} \in C A$ , $Q_{c} \in A B$ , las proyecciones de $Q$ en lados de $△ A B C$ .

Por la proposición 1, la isogonal $C P$ , de $C Q$ , es perpendicular a $Q_{a} Q_{b}$ entonces $A^{'} B^{'} ∥ Q_{a} Q_{b}$ (figura 7).

Igualmente vemos que $B^{'} C^{'} ∥ Q_{b} Q_{c}$ y $C^{'} A^{'} ∥ Q_{c} Q_{a}$ .

Por lo tanto, existe una homotecia entre $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ y $△ Q_{a} Q_{b} Q_{c}$ .

Área del triangulo pedal

Teorema 5, de Euler. Sean $△ A B C$ y $P$ un punto, considera $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ y $(O, R)$ el circuncírculo de $△ A B C$ , entonces podemos calcular el área de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ mediante la siguiente formula:
$(△ P_{a} P_{b} P_{c}) = \frac{| R^{2} - O P^{2} |}{4 R^{2}} (△ A B C)$ .

Demostración. Sean $D$ , $E$ , $F$ las segundas intersecciones de $A P$ , $B P$ , $C P$ con $(O, R)$ , veamos que $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ y $△ D E F$ son semejantes.

Tomando en cuenta que $P P_{c} P_{b} A$ y $P B P_{a} P_{c}$ son cíclicos tenemos:
$∠ D F E = ∠ D F P + ∠ P F E$
$= ∠ D A C + ∠ C B E = ∠ P A P_{b} + ∠ P_{a} B P$
$= (π - ∠ P_{b} P_{c} P) + (π - ∠ P P_{c} P_{a})$
$= 2 π - ∠ P_{b} P_{c} P_{a} = ∠ P_{a} P_{c} P_{b}$ .

De manera similar vemos que $∠ E D F = ∠ P_{b} P_{a} P_{c}$ y $∠ F E D = ∠ P_{c} P_{b} P_{a}$ , $\Rightarrow △ P_{a} P_{b} P_{c} \sim △ D E F$ .

Al triángulo $△ D E F$ se le conoce como triángulo circunscrito de Ceva de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Recordemos que podemos calcular el área de un triángulo como el producto de sus lados entre cuatro veces su circunradio, si $R_{p}$ es el circunradio de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ , entonces

$\begin{matrix} (1) & \frac{(△ P_{a} P_{b} P_{c})}{(△ A B C)} = \frac{P_{a} P_{b}}{A B} \times \frac{P_{b} P_{c}}{B C} \times \frac{P_{c} P_{a}}{C A} \times \frac{R}{R_{p}} . \end{matrix}$

Con el fin de calcular la última ecuación, consideremos los siguientes argumentos.

Como $△ P_{a} P_{b} P_{c} \sim △ D E F$ entonces $\frac{R}{R_{p}} = \frac{D E}{P_{a} P_{b}}$ .

Ya que $A B D E$ es cíclico, entonces $△ P A B \sim △ P E D$ , esto es
$\frac{P A}{P E} = \frac{A B}{E D}$ .

También, como $P P_{c} P_{b} A$ y $P B P_{a} P_{c}$ $P P_{a} C P_{b}$ son cíclicos y aplicando la ley extendida de los senos tenemos,
$P_{b} P_{c} = P A \sin ∠ A$ y $P_{c} P_{a} = P B \sin ∠ B$ .

Ahora, aplicamos la ley extendida de los senos en $△ A B C$ ,
$\frac{\sin ∠ A}{B C} = \frac{1}{2 R} = \frac{\sin ∠ B}{A C}$ .

Finalmente, la potencia de $P$ respecto de $(O, R)$ es $P B \times P E = | R^{2} - O P^{2} |$ .

Sustituyendo lo anterior en $(1)$ obtenemos:

$\frac{(△ P_{a} P_{b} P_{c})}{(△ A B C)} = \frac{P_{a} P_{b}}{A B} \times \frac{P A \sin ∠ A}{B C} \times \frac{P B \sin ∠ B}{C A} \times \frac{D E}{P_{a} P_{b}}$
$= \frac{P E}{P A} \times \frac{P A \times P B}{(2 R) (2 R)}$
$= \frac{| R^{2} - O P^{2} |}{4 R^{2}}$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre un par de puntos conjugados isogonales en particular, se trata de los puntos de Brocard, que tienen algunas propiedades especiales dentro de un triángulo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que:
$i)$ el ortocentro y el circuncentro de un triángulo son conjugados isogonales,
$i i)$ el incentro y los excentros de un triángulo son sus propios conjugados isogonales.
Sea $P$ un punto dentro de un triangulo $△ A B C$ , considera a $Q$ su conjugado isogonal, muestra que $∠ B P C + ∠ B Q C = π + ∠ B A C$ .
Sean $P$ y $Q$ puntos conjugados isogonales respecto a un triangulo $△ A B C$ , prueba que $\frac{A P \times A Q}{A B \times A C} + \frac{B P \times B Q}{B A \times B C} + \frac{C P \times C Q}{C A \times C B} = 1$ .
Sean $△ A B C$ y $P$ un punto en su interior, considera $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ el triángulo pedal de $P$ respecto $△ A B C$ , supón que $P_{a} P_{b} ⊥ P_{a} P_{c}$ , muestra que el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ es el ortocentro de $△ A P_{b} P_{c}$ .
En la figura 7, muestra que el producto de los triángulos homotéticos es igual al cuadrado del área de $△ A B C$ .

Entradas relacionadas

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Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 267-273.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 95-108.
Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 169-176.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 153-157.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Punto simediano

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

2 respuestas

Introducción

El punto simediano es el punto en el que concurren las simedianas de un triángulo, es otro punto notable del triángulo, en esta entrada veremos algunas de sus propiedades.

Punto simediano

Teorema 1. Las tres simedianas de un triángulo son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como punto simediano o punto de Lemoine a menudo denotado con la letra $K$ .

Demostración. En la entrada teorema de Menelao mostramos que un triángulo $△ A B C$ y su triangulo tangencial $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , están en perspectiva desde una recta, conocida como eje de Lemoine.

Por el teorema de Desargues, $△ A B C$ y $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ están en perspectiva desde un punto, es decir, $A K_{a}$ , $B K_{b}$ y $C K_{c}$ concurren en un punto $K$ .

Por el teorema 2 de la entrada anterior, dos exsimedianas (los lados del triángulo tangencial $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ ) y una simediana, que pasan por vértices distintos de $△ A B C$ concurren en un punto exsimediano, es decir, $A K_{a}$ , $B K_{b}$ , $C K_{c}$ son las simedianas de $△ A B C$ .

Observación. Como el eje de Lemoine de $△ A B C$ es el eje de Gergonne de $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , entonces el punto de Lemoine de $△ A B C$ es el punto de Gergonne de $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , su triángulo tangencial.

Corolario 1. Sea $S = A K \cap B C$ entonces $A K S K_{a}$ es una hilera armónica de puntos.

Demostración. Por el corolario de la entrada anterior $B (A K_{b} C K_{a})$ es un haz armónico de rectas y como $A D$ es transversal entonces sus intersecciones con el haz forman una hilera armónica.

Triángulo pedal del punto simediano

Definición. Dados un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ , es aquel cuyos vértices son las proyecciones de $P$ en los lados de $△ A B C$ . Por ejemplo, el triángulo órtico es el triángulo pedal del ortocentro.

Teorema 2, de Lemoine. El punto simediano es el único punto del plano que es el centroide de su propio triángulo pedal.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $K$ su punto simediano, considera $X$ , $Y$ y $Z$ las proyecciones de $K$ en $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, sea $X^{'} \in K X$ tal que $Y X^{'} ∥ K Z$ .

Entonces $△ A B C \sim △ Y X^{'} K$ , pues sus respectivos lados son perpendiculares, esto es
$\frac{A B}{A C} = \frac{Y X^{'}}{Y K}$ .

Pero $\frac{A B}{A C} = \frac{K Z}{K Y}$ pues $K$ esta en la $A$ -simediana, por lo tanto $K Z = Y X^{'}$ .

En consecuencia, $X^{'} Z K Y$ es un paralelogramo y por lo tanto $K X^{'}$ biseca a $Y Z$ .

Como resultado tenemos que $X K$ es mediana de $△ X Y Z$ .

De manera análoga vemos que $Y K$ , $Z K$ son medianas de $△ X Y Z$ , por lo tanto, $K$ es el centroide de su triangulo pedal.

Recíprocamente, supongamos que $K$ es el centroide de su triángulo pedal $△ X Y Z$ respecto a $△ A B C$ , con $X \in B C$ , $Y \in C A$ , $Z \in A B$ , sea $M$ el punto medio de $Y Z$ , extendemos $K M$ hasta un punto $X^{'}$ tal que $K M = M X^{'}$ .

Como $Y Z$ y $K X^{'}$ se bisecan entonces $X^{'} Z K Y$ es un paralelogramo, entonces $Y X^{'} = K Z$ y $Y X^{'} ∥ K Z$ .

Ya que los lados de $△ Y X^{'} K$ son perpendiculares a los lados de $△ A B C$ , entonces son semejantes, esto es
$\frac{A B}{A C} = \frac{Y X^{'}}{Y K} = \frac{K Z}{K Y}$ .

Por lo tanto, $K$ está en la $A$ -simediana, igualmente vemos que $K$ pertenece a las $B$ y $C$ -simedianas.

En consecuencia, $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ .

Conjugado isotómico del punto simediano

Teorema 3. Las rectas que unen el punto medio del lado de un triángulo con el punto medio de la altura perpendicular a ese lado concurren en el punto simediano del triángulo.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $K$ el punto simediano, $K_{b}$ el punto exsimediano opuesto al vértice $B$ , $S = B K_{b} \cap C A$ .

Por el corolario 1, $B K S K_{b}$ es una hilera armónica, por lo tanto, $B^{'} (B K S K_{b})$ es un haz armónico, donde $B^{'}$ es el punto medio de $C A$ .

Considera $O$ el circuncentro de $△ A B C$ y $H_{b}$ el pie de la altura por $B$ , notemos que $O$ , $B^{'}$ y $K_{b}$ son colineales, por lo tanto, $B^{'} K_{b}$ es perpendicular a $C A$ y así $B H_{b} ∥ B^{'} K_{b}$ .

Como $B H_{b}$ es paralela a una de las rectas del haz armónico, entonces las otras tres rectas del haz dividen a $B H_{b}$ en dos segmentos iguales, es decir $B^{'} K$ biseca a $B H_{b}$ .

Igualmente vemos que $A^{'} K$ y $C^{'} K$ bisecan a $A H_{a}$ y $C H_{c}$ respectivamente, y de esto concluimos la concurrencia de las rectas mencionadas.

Proposición 1. El ortocentro de un triángulo y el punto simediano de su triángulo anticomplementario son conjugados isotómicos respecto del triángulo original.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ su triángulo anticomplementario.

Como $A B$ y $A C$ son segmentos medios de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , entonces $A B A^{'} C$ es un paralelogramo, por lo tanto, $△ A B C$ y $△ A^{'} C B$ son congruentes, además $A A^{'}$ y $B C$ se intersecan en su punto medio $N$ .

Sean $H_{a}$ , $M_{a}$ los pies de las alturas desde $A$ y $A^{'}$ respectivamente en $B C$ , como $△ A B C ≅ △ A^{'} C B$ , entonces $A H_{a} = M_{a} A^{'}$ .

Por criterio de congruencia ALA, $△ A H_{a} N ≅ △ A^{'} M_{a} N$ , por lo que $H_{a} N = N M_{a}$ , es decir, el punto medio de $H_{a}$ y $M_{a}$ coincide con el punto medio de $B C$ ,

Por lo tanto, $H_{a}$ y $M_{a}$ son puntos isotómicos respecto de $△ A B C$ .

Sea $F$ el pie de la altura por $A^{'}$ en $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , como $A H_{a} M_{a} F$ es un rectángulo entonces $M_{a} A^{'} = A H_{a} = F M_{a}$ , y así $M_{a}$ es el punto medio de la altura $A^{'} F$ .

Por lo tanto, el segmento $A M_{a}$ une los puntos medios de un lado y una altura de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

De manera análoga vemos que los pies de las alturas en $△ A B C$ , $H_{b}$ , $H_{c}$ son isotómicos a los puntos medios de las alturas en $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , $M_{b}$ , $M_{c}$ , respectivamente.

Como las alturas de $△ A B C$ concurren en el ortocentro $H$ y, por el teorema 3, los segmentos $A M_{a}$ , $B M_{b}$ , $C M_{c}$ concurren en el punto simediano $S^{'}$ de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , entonces estos puntos son conjugados isotómicos respecto de $△ A B C$ .

Construcción de un triángulo dado su punto simediano

Problema. Construye un triángulo dados dos vértices $B$ , $C$ , y su punto simediano $K$ .

Solución. Supongamos que $△ A B C$ es el triángulo requerido y consideremos $G$ y $A^{'}$ el centroide y el punto medio de $B C$ respectivamente.

Sean $B^{'}$ , $C^{'} \in B C$ , tales que $B^{'} A ∥ B G$ y $A C^{'} ∥ G C$ .

Por el teorema de Tales tenemos
$\frac{1}{2} = \frac{A^{'} G}{G A} = \frac{A^{'} B}{B B^{'}} = \frac{A^{'} C}{C C^{'}}$ .

Por lo tanto, $B B^{'} = C C^{'} = 2 A^{'} B = B C$ , así que $B^{'}$ y $C^{'}$ pueden ser construidos teniendo $B$ y $C$ .

Por otro lado, como $B^{'} A ∥ B G$ y $A C^{'} ∥ G C$ y tomando en cuenta que $K$ esta en las reflexiones de $B G$ y $C G$ respecto de las bisectrices de $∠ B$ y $∠ C$ respectivamente, tenemos lo siguiente:

$∠ B^{'} A B = ∠ G B A = ∠ K B C$ y $∠ C A C^{'} = ∠ A C G = ∠ K C B$ .

Y estos ángulos son conocidos.

Entonces $B^{'} B$ y $C C^{'}$ subtienden ángulos conocidos en $A$ , por lo que podemos trazar los arcos de circunferencia que son el lugar geométrico de los puntos que subtienden estos ángulos.

Así que de la intersección de estos dos arcos resultara en el vértice faltante.

Notemos que los arcos pueden tener dos intersecciones, ser tangentes o no intersecarse, por lo tanto, existen dos, una o cero soluciones.

Distancia del punto simediano a los lados del triángulo

Proposición 2. El punto simediano de un triángulo es el único punto dentro del triángulo cuyas distancias a los lados del triángulo son proporcionales a los respectivos lados.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $K$ su punto simediano, considera $X$ , $Y$ y $Z$ las proyecciones de $K$ en $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, denotemos $B C = a$ , $C A = b$ , $A B = c$ .

Dado que $K$ está en las tres simedianas del triángulo, por el teorema 4 de la entrada anterior, las razones de sus distancias a los lados del triángulo son proporcionales a estos:

$\begin{matrix} (2) & \frac{K Z}{K Y} = \frac{c}{b}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (3) & \frac{K Y}{K X} = \frac{b}{a}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (4) & \frac{K X}{K Z} = \frac{a}{c} . \end{matrix}$

Por $(1)$ , $(2)$ y $(3)$
$\frac{K X}{a} = \frac{K Y}{b} = \frac{K Z}{c} = q$ .

Por lo tanto,
$K Z = \frac{c K Y}{b} = c q$ ,
$K Y = \frac{b K X}{a} = b q$ ,
$K X = \frac{a K Z}{c} = a q$ .

La unicidad se da por que solo los puntos en las simedianas cumplen esa propiedad y solo $K$ se encuentra en las tres simedianas.

Corolario. 2 $K X = a \frac{2 (A B C)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Demostración. Calculamos el área de $△ A B C$ en función de áreas menores (figura 6).

$(△ A B C) = (△ K B C) + (△ K C A) + (△ K A B)$
$= \frac{1}{2} (a K X + b K Y + c K Z)$
$= \frac{q}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ .

Por lo tanto, $K X = a q = a \frac{2 (A B C)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Teorema 4. La suma de los cuadrados de las distancias de un punto a los lados de un triángulo dado, es mínima si el punto es el punto simediano del triángulo.

Demostración. Sean $a$ , $b$ , $c$ , $x$ , $y$ , $z$ seis números reales entonces la siguiente igualdad es cierta:

$(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = (a x + b y + c z)^{2} + (a y - b x)^{2} + (a z - c x)^{2} + (b z - c y)^{2}$ .

Para comprobarlo solo hace falta realizar los productos.

Podemos pensar estas cantidades como los lados de un triángulo $△ A B C$ , $B C = a$ , $C A = b$ , $A B = c$ , y $x$ , $y$ , $z$ , las distancias de un punto $K$ , a los lados de $△ A B C$ .

Notemos $a x + b y + c z$ representa al menos dos veces el área del triángulo $△ A B C$ , $2 (△ A B C)$ , que junto con $(a^{2} + b^{2} + c^{2})$ son constantes.

Como las cantidades $(a y - b x)^{2}$ , $(a z - c x)^{2}$ , $(b z - c y)^{2}$ son mayores o iguales a cero, entonces el mínimo se alcanza si se satisfacen las siguientes igualdades:
$\begin{matrix} (5) & (a y - b x)^{2} = (a z - c x)^{2} = (b z - c y)^{2} = 0, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (6) & a x + b y + c z = 2 (△ A B C) . \end{matrix}$

Por otra parte, por las ecuaciones $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ sabemos que el punto simediano cumple $(4)$ y por el corolario 2 cumple $(5)$ , también podemos calcular directamente,

$K X^{2} + K Y^{2} + K Z^{2} = \frac{(2 (△ A B C))^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Por lo tanto, si $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ , se alcanza el mínimo.

Más adelante…

En la próxima entrada veremos otra propiedad del punto simediano, o punto de Lemoine, que amerita su propia entrada, se trata de un conjunto de circunferencias asociadas a este punto.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Si $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ , sea $X$ la proyección de $K$ en $B C$ , muestra que la reflexión de $X$ respecto de $K$ esta en la mediana que pasa por $A$ .
Encuentra el punto simediano de un triángulo rectángulo.
Sobre los lados de un triángulo $△ A B C$ construye cuadrados externamente, muestra que los lados (de los cuadrados) opuestos a los lados de $△ A B C$ se intersecan formando un triángulo homotético a $△ A B C$ , con centro de homotecia el punto simediano de $△ A B C$ .
Si las simedianas de $△ A B C$ intersecan a su circuncírculo en $D$ , $E$ y $F$ muestra que $△ A B C$ y $△ D E F$ tienen el mismo punto simediano.
$i)$ Muestra que las distancias a los lados de un triángulo desde sus puntos exsimedianos son proporcionales a las longitudes de los lados del triángulo,
$i i)$ calcula dichas distancias.
Prueba que de entre todos los triángulos inscritos en un triángulo dado, el triángulo pedal del punto simediano, es el que tiene la propiedad de que la suma de los cuadrados de sus lados es mínima.

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Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 252-257.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 129-145.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 215-218.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

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