Introducción

Anteriormente, vimos las operaciones que podemos llevar a cabo entre las funciones. Ahora revisaremos las características que debe cumplir una función para poder determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. De igual manera, definiremos el concepto de función inversa.

Definición de función inyectiva

Definición (1): Sea $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera dos elementos distintos en $A$, la función le asocia elementos distintos en $B$, es decir,
$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$
para cualesquiera $x_1,x_2\in A$.

Definición (2): Sea $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera dos elementos iguales en $B$, provienen de dos elementos iguales en $A$ bajo la función, es decir,
$$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$$
para cualesquiera $x_1,x_2\in A$.

Ejemplo

Sea $f:(-\mathrm{\infty },-1]\to \mathbb{R}$ definida como:
$$f(x)=11-\sqrt{x^2-4x-5}\text{.}$$

Tomemos $x_1,x_2\in (-\mathrm{\infty },-1]$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Así queremos probar que $x_1=x_2$.
Como $f(x_1)=f(x_2)$ tenemos que:
$$\begin{array}{rl}11-\sqrt{x_1^2-4x_1-5}& =11-\sqrt{x_2^2-4x_2-5}\\ –\sqrt{x_1^2-4x_1-5}& =-\sqrt{x_2^2-4x_2-5}\text{sumando }11\\ \sqrt{x_1^2-4x_1-5}& =\sqrt{x_2^2-4x_2-5}\text{multiplcando por }-1\\ \sqrt{(x_1-2{)}^2-9}& =\sqrt{(x_2-2{)}^2-9}\text{factorizando}\\ \sqrt{(x_1-2{)}^2}& =\sqrt{(x_2-2{)}^2}\\ |x_1-2|& =|x_2-2|\text{quitando la raíz cuadrada}\end{array}$$
De la igualdad anterior tenemos que $x_1-2$ y $x_2-2$ son iguales en valor absoluto. Recordemos que para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ si:
$$|a|=b\Rightarrow a=b\text{ o }a=-b$$

Aplicando esto a nuestra igualdad $|x_1–2|=|x_2–2|$ tenemos los siguientes dos casos:
CASO 1: $x_1–2=x_2–2$

$$\begin{array}{rl}& \Rightarrow x_1–2=x_2–2\\ & \Rightarrow x_1=x_2\\ & \therefore x_1=x_2\end{array}$$

CASO 2: $x_1–2=-(x_2–2)$

$$\begin{array}{rl}& \Rightarrow x_1–2=-x_2+2\\ & \Rightarrow x_1+x_2=4\end{array}$$

Ya que $x_1$ y $x_2$ son números negativos, $x_1+x_2$ debe ser una suma de dos números negativos, la que siempre resulta en un número negativo. Sin embargo, en el caso $2$ tenemos que $x_1+x_2=4$.

Esto implica que la suma de $x_1$ y $x_2$ es positiva, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, el segundo caso no es posible si $x_1$ y $x_2$ son ambos negativos.

Concluyendo así que la única posibilidad es el primer caso:

$$\therefore x_1=x_2$$
De lo anterior vemos que $f$ es inyectiva.

Definición de función sobreyectiva

Definición (1): Sea $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es sobreyectiva si todo elemento en $B$ proviene de algún elemento en $A$ bajo la función, es decir, para todo $y\in B$ existe $x\in A$ tal que:
$$f(x)=y\text{.}$$

Definición (2): Sea $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es sobreyectiva si
$$I{m}_f=Codo{m}_f\text{.}$$

Ejemplo

Un ejemplo sería la función tangente, ya que su $I{m}_f=\mathbb{R}$ y su $Codo{m}_f=\mathbb{R}$, más adelante veremos su definición con mayor detenimiento:
$$f(x)=tan(x)\text{.}$$

Definición de función biyectiva

Definición: Sea $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo

Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida como:
$$Id(x)=x\text{.}$$

Veremos que esta función es inyectiva:
Tomemos $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ distintos, queremos ver que $f(x_1)\ne f(x_2)$. Como tenemos que:
$$f(x_1)=x_1,$$
$$f(x_2)=x_2\text{.}$$
Y como sabemos $x_1\ne x_2$ se sigue así:
$$f(x_1)\ne f(x_2)\text{.}$$
Por lo que $Id(x)$ es inyectiva.

Ahora vemos que también cumple ser sobreyectiva:
Consideremos $y\in \mathbb{R}$. Por definición de la función identidad tenemos que:
$$y=Id(y)\text{.}$$
Así vemos que cumple ser sobreyectiva.

De lo anterior podemos concluimos que $Id(x)$ es una función biyectiva.

Proposición

Proposición: Si tomamos las funciones $g:A\to B$ y $f:B\to C$ se cumple que:

1. $f$ inyectiva y $g$ inyectiva $\Rightarrow f\circ g$ es inyectiva.
2. $f$ sobreyectiva y $g$ sobreyectiva $\Rightarrow f\circ g$ es sobreyectiva.
3. $f$ biyectiva y $g$ biyectiva $\Rightarrow f\circ g$ es biyectiva.

Demostración:

1. Tomemos $x_1,x_2\in A$ tales que $f\circ g(x_1)=f\circ g(x_2)$. Queremos probar que:
   $x_1=x_2$.
   Observemos que por hipótesis tenemos que:
   $$f(g(x_1))=f(g(x_2))$$
   donde $g(x_1),g(x_2)\in B$.
   Como $f$ es una función inyectiva entonces se cumple:
   $$g(x_1)=g(x_2)\text{.}$$
   Y al ser $g$ inyectiva obtenemos:
   $$x_1=x_2\text{.}$$
2. Como $f\circ g:A\to C$ por lo que tomemos $c\in C$. Queremos ver que existe $a\in A$ tal que $f(a)=c$.
   Ya sabemos que $f:B\to C$ es sobreyectiva entonces existe $b\in B$ tal que:
   $$f(b)=c\text{.}$$
   Recordemos que $g:A\to B$ al ser sobreyectiva ocurre que existe $a\in A$ tal que:
   $$g(a)=b\text{.}$$
   De lo anterior al sustituir en la composición de funciones se sigue:
   $$\begin{array}{rl}f\circ g(a)& =f(g(a))\\ & =f(b)\\ & =c\end{array}$$
3. Se queda como ejercicio de tarea moral.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Función inversa

Definición (función invertible): Sea $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es invertible si y sólo si existe una función $g:B\to A$ tal que cumple las siguientes condiciones:

• $g\circ f=I{d}_A$
• $f\circ g=I{d}_B$

A continuación veremos una equivalencia que nos será de utilidad para poder decir si una función es invertible:

Teorema: Consideremos a $f:A\to B$ una función. Decimos que:
$f$ es Invertible $\iff f$ es biyectiva.
Demostración:
$\Rightarrow ):$ Tomemos $f$ invertible, así por definición existe una función $g:B\to A$ tal que cumple:

• $g\circ f=I{d}_A$
• $f\circ g=I{d}_B$

Debemos probar que $f$ es biyectiva, por lo que debemos verificar que sea inyectiva y sobreyectiva:

Inyectiva: Sean $x_1,x_2\in A$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$ por lo que $g(f(x_1))=g(f(x_2))$ al ser $g$ función. Reescribiendo lo anterior tenemos lo siguiente:
$$\begin{array}{rl}g(f(x_1))=g(f(x_2))& \Rightarrow (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\\ \text{(por definición de }g\text{)}& & \Rightarrow I{d}_A(x_1)=I{d}_A(x_2)& \Rightarrow x_1=x_2\end{array}$$

$\therefore f$ es inyectiva
Sobreyectiva: Sea $y\in B$. Debido a que $I{d}_B$ es sobreyectiva tenemos que $I{d}_B(y)=y$. De lo anterior tenemos:
$$\begin{array}{rl}I{d}_B(y)=y& \Rightarrow f\circ g(y)=y\\ & \Rightarrow f(g(y))=y\\ & \Rightarrow g(y)\in A\end{array}$$
$\therefore f$ es sobreyectiva
De todo lo anterior concluimos que $f$ es biyectiva.

$\Leftarrow ):$ Sea $f:A\to B$ una función biyectiva. De este modo para todo $y\in B$ existe $x\in A$ tal que:
$$f(x)=y$$
ya que $f$ es sobreyectiva. De igual manera cumple ser inyectiva por lo que esa $x$ es única.

Consideremos la función $g:B\to A$ tal que:
$$g(y)=x\iff f(x)=y\text{.}$$
Por lo que al realizar la siguiente composición de funciones tenemos:
$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=x=I{d}_A(x),$$
$$(f\circ g)(y)=f(g(y))=f(x)=y=I{d}_B(y)$$\quad\text{.}
Vemos que esto cumple la definición de ser invertible.
$\therefore f$ es una función invertible.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Definición: Sea $f:A\to B$ entonces:

• $f$ tiene inversa izquierda si existe $g:B\to A$ tal que $g\circ f=I{d}_A$.
• $f$ tiene inversa derecha si existe $h:B\to A$ tal que $f\circ h=I{d}_B$.

Definición (función inversa): Si $f:A\to B$ es invertible donde $g:B\to A$ que cumple lo anterior. Decimos que $f^{-1}=g$ es la inversa de $f$.

Corolario: Si $f:A\to B$ es una función invertible entonces $f^{-1}$ también es biyectiva.

Demostración:
Como $f$ es invertible por definición cumple:

• $f^{-1}\circ f=I{d}_A$
• $f\circ f^{-1}=I{d}_B$

Por lo que cumple ser inyectiva y sobreyectiva.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Del resultado anterior observamos que $f^{-1}$ es función inversa al componer por la derecha y por la izquierda.

Teorema: Si $f:A\to B$ entonces es equivalente lo siguiente:

• $f$ es una función inyectiva
• $f$ tiene inversa izquierda

Teorema: Si $f:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ entonces es equivalente lo siguiente:

• $f$ es una función suprayectiva
• $f$ tiene inversa derecha

Más adelante

En la siguiente entrada veremos otras características que las funciones pueden cumplir para clasificarse como pares o impares. Veremos su definición formal, algunos ejemplos y resultados.

Tarea moral

• Demuestra que $f:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$ definida como:
  $$f(x)=x^2$$
  es inyectiva.

• Argumenta porque la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida como:
  $$f(x)=x^2$$
  no es inyectiva.

• Demuestra que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida como:
  $$f(x)=-2x+1$$
  es inyectiva.

• Prueba que si $f$ y $g$ son funciones biyectivas entonces $f\circ g$ es biyectiva.
• Demuestra la siguiente igualdad:
  $$(f\circ g{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»