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Geometría Analítica I: Rectas en forma paramétrica

Introducción

Anteriormente definimos las operaciones de suma y de producto escalar en \mathbb{R}^2. Después de eso, enunciamos varias de sus propiedades y demostramos algunas de ellas. Lo que haremos ahora es utilizar lo que hemos construido hasta ahora para dar una definición clave de nuestro modelo: la de recta.

Mediante varios interactivos veremos que las propiedades algebraicas que estamos pidiendo en efecto satisfacen lo que queremos de las rectas a partir de nuestra intuición geométrica. Además de esto, demostraremos una proposición que unifica los postulados 1 y 3 de Euclides, lo cual será señal de que vamos en buen camino para obtener dichos postulados a partir de nuestro enfoque algebraico. Cerraremos con algunos ejemplos de rectas en su forma paramétrica.

Rectas en forma paramétrica

Iniciemos formalmente con la definición de la recta.

Definición. Dados un punto P y un vector Q \neq 0, la recta que pasa por P con dirección Q es el conjunto

L=\{ P+rQ : r \in \mathbb{R} \}

En la definición anterior se piensan a P y Q fijos y a r como un parámetro variable. Con esto en mente, tiene sentido que esta expresión sea conocida como la forma paramétrica de la recta.

Como lo mencionamos al inicio, conocemos todo lo necesario para comprender esta forma paramétrica y es pertinente analizar un poco sus partes para poder realizar la representación gráfica.

El conjunto L está representado por la suma de un punto fijo P en el espacio y por un término de la forma rQ que, si recuerdas, representa un producto escalar y que sabemos cómo se ve en el espacio. Si r es fijo, tenemos un re-escalamiento del vector Q y en el caso en el que r<0 un cambio de dirección. Para la forma paramétrica de la recta, resulta que r no es fijo, y aunque esta es la primera vez que vemos algo así, es posible pensarlo como la unión de los casos cuando r es fijo, una unión de tantos elementos como \mathbb{R}. Así rQ representa una recta formada por todos los re-escalamientos posibles de el vector Q: la recta que pasa por el origen y por Q.

¿Cómo se verá entonces el total P+rQ? Si de nuevo pensamos en un r específico, tenemos que rQ es un re-escalamiento. Por el método del paralelogramo sabemos que P+rQ es avanzar desde el origen hasta el punto P y tomando ahora este «como origen», avanzar hasta rQ; de cierta manera estamos trasladando rQ para que empiece en P. Volviendo al caso general, P+rQ se ve como la recta rQ, pero trasladada paralelamente para que pase por el punto P.

Ejemplo. Sean P=(-3,5) y Q=(2,7). Tenemos que la recta L desde el punto P y en dirección Q es el conjunto

    \begin{align*}L&=\{ (-3,5)+r(2,7) : r \in \mathbb{R} \}\\&=\{ (-3+2r,5+7r) : r \in \mathbb{R} \}\end{align*}

En el siguiente interactivo el punto P se encuentra de color rojo, el vector Q y la recta rQ de color verde. La recta paralela a rQ que pasa por P se encuentra de color azul y por último, de color morado se encuentra P+rQ para un r fijo cuyo valor puedes controlar con el deslizador a tu izquierda. El punto P+rQ está diseñado para que al cambiar el valor de r (con el deslizador), puedas ver su rastro, es decir que deje marca por donde pasa. Nota cómo al mover el deslizador, todos los puntos P+rQ se encuentran sobre la recta paralela a la recta definida por la expresión rQ que pasa por el punto P.

Así, podemos concluir que P+rQ es precisamente la recta rQ trasladada paralelamente para que pase por el punto P.

\square

Para cerrar un poco la definición de la forma paramétrica, planteemos algunos casos especiales del parámetro r:

  • Cuando r=0 tenemos al punto P.
  • Cuando r=1, el punto en la recta corresponde a P+Q
  • ¿Qué pasa entonces cuando 0<r<1 ? Resulta que en tal caso nos encontramos en el segmento comprendido entre P y P+Q pues rQ será una fracción de Q y al sumárselo a P obtenemos un vector que parte de P (0<r) y llega hasta P+rQ, que «queda antes» de P+Q, pues r<1.

Función asociada a la recta

Hagamos un pequeño paréntesis para hablar de la relación que tiene esta expresión de la recta con los números reales.

Como acabamos de ver, la forma paramétrica de la recta está definida con base en un parámetro r \in \mathbb{R}. Al decir «parámetro» queremos expresar que es una variable que nos ayuda a definir nuestro objeto, en este caso una recta. Como r corre en todos los reales, puede fungir como la variable de una función asociada a la recta. \mathbb{R} es nuestro dominio, y como la recta es una suma de vectores, el co-dominio debe ser \mathbb{R}^2 (y de hecho, esto funciona en general al tomar puntos en \mathbb{R}^n). Así, definimos \phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2 como

\phi (r)=P+rQ

Resulta que esta función define una biyección entre \mathbb{R} y la recta L. En otras palabras, a cada valor de r le corresponde uno y sólo un valor en L (es función suprayectiva) y cada valor de L se obtiene de un único r (es inyectiva).

Ver que es suprayectiva es muy simple, pues la recta L está definida precisamente mediante el parámetro r y no hay manera de que en L haya puntos que tengan otra expresión. Veamos ahora que es inyectiva. Para esto supongamos que existen r,s \in \mathbb{R} tales que \phi(r)=\phi(s). Para probar la inyectividad debemos concluir que r=s.

Si \phi(r)=\phi(s), por definición de la función se tiene

P+rQ=P+sQ

Sumando -(P+sQ) de ambos lados obtenemos, P+rQ-(P+sQ)=0 y desarrollando el lado izquierdo con las propiedades de suma y producto escalar obtenemos que

    \begin{align*}0&=P+rQ-(P+sQ)\\&=P+rQ-P-sQ\\&=P-P+rQ-sQ\\&=0+rQ-sQ\\&=rQ-sQ\\&=Q(r-s).\end{align*}

Es importante que en este punto te cuestiones qué propiedades de la suma y producto escalar se están usando en cada una de las igualdades anteriores.

En resumen, obtenemos que Q(r-s)=0. Pero en la definición de la recta se establece que Q \neq 0. De este modo, concluimos que r-s=0, que en otras palabras es la igualdad r=s que buscábamos. Concluimos que existe una biyección entre cualquier recta y los reales.

\square

Postulados 1 y 3 de Euclides

Si recuerdas, en entradas anteriores se hablo que con esta «nueva» construcción de la geometría (la forma analítica), los postulados de Euclides podían ser demostrados. Ha llegado el momento en el que demostraremos una proposición que fusiona a los postulados 1 y 3.

Proposición. Para cualesquiera dos puntos, se puede trazar el segmento de recta que los une y este segmento se puede prolongar indefinidamente.

Aunque en este momento la demostración puede parecer trivial, no lo es. Si notas, la recta que definimos con P y Q sólo tiene la garantía de pasar por P, pero podemos solucionar esto eficientemente.

Demostración. Sean P y Q puntos en el plano. Consideremos la recta que pasa por P y con dirección Q-P

L=\{ P+r(Q-P) : r \in \mathbb{R} \}

Esta recta pasa por P y Q pues si tomamos r=0, obtenemos P y si r=1, entonces se obtiene el punto P+(Q-P)=Q.

Ahora, por cómo definimos L, esta es la recta que pasa por P y Q y que se extiende indefinidamente pues r recorre todos los reales. La pregunta que nos falta responder es ¿cómo obtenemos sólo los puntos en el segmento que une a P y Q? Así como en la discusión que tuvimos arriba, cuando el parámetro r está entre 0 y 1 obtendremos los puntos entre P y (Q-P)+P=Q. Con esto en mente, el segmento de recta que une a los puntos P y Q es el conjunto

l:=\{ P+r(Q-P) : 0 \leq r \leq 1 \}

\square

Ejercicios

Para cerrar esta entrada plantearemos algunos ejercicios de rectas en su forma paramétrica e incluiremos sus interactivos.

Problema. Dibuja las siguientes rectas

  1. L_1=\{ (2,3)+ t(1,1) : t \in \mathbb{R} \}

Solución.

En este ejercicio el punto es P=(2,3) y el vector director Q=(1,1). Para construir la recta que definen, «dibujamos» primero la recta t(1,1) (en azul) y después trazamos su paralela que pase por (2,3) (en verde). Si hicimos bien el procedimiento, cuando muevas el deslizador de t, el rastro de (2,3)+t(1,1) debe estar sobre la recta verde. Así, la recta (2,3)+t(1,1) t \in \mathbb{R} es la recta verde.

\square

  1. L_2= \{ (r-1,-2r) : r \in \mathbb{R} \}

Solución.

En este ejercicio tenemos a P y a rQ ya sumados, por lo que tenemos que separarlos (con ayuda de la definición de suma vectorial) para saber cuáles son individualmente. El vector rQ es aquel cuyas entradas tienen a r, P es lo que queda. Así,

rQ=(r,-2r) y P=(-1,0)

Por lo que

Q=(1,-2)

Siguiendo el mismo procedimiento del ejercicio anterior, localizamos la recta rQ=r(1,-2) (verde) y trazamos su paralela que pase por (-1,0) (rojo). Si el procedimiento es correcto, entonces cuando muevas el deslizador de r El rastro de (-10)+r(1,-2) se debe posicionar sobre la recta roja. Así la recta roja es (r-1,-2r) : r \in \mathbb{R}.

\square

Tarea moral

  • Justifica cada paso de cada procedimiento con ayuda de los axiomas de los reales y las propiedades que se probaron en la entrada anterior.
  • Escribe la ecuación que representa a una partícula que pasa por el orígen en un t=0 («su punto de partida») y tiene dirección (-5,-3). La ecuación tendrá la forma paramétrica de una recta.
  • Escribe el punto anterior ahora suponiendo que la partícula pasa por el punto (2,3) en t=0.
  • Dibuja las siguientes dos rectas (si te es posible con ayuda de GeoGebra):
    • L_a=\{ (0,-2)+(-r,2r) : r \in \mathbb{R} \}
    • L_b=\{ (2s-1,s) : s \in \mathbb{R} \}
  • Escribe la representación paramétrica de cada una de las rectas que se pueden formar al tomar dos de los puntos (5,-3), (-7,2) y (13,9). Obtendrás tres rectas, cada una de ellas en forma paramétrica.

Más adelante…

Con lo que aquí se desarrolló, en la siguiente entrada será posible construir las rectas en su forma baricéntrica y seremos capaces de darle a esta una interpretación física. Más adelante trataremos la intersección de rectas y definiremos la forma normal de una recta.