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Álgebra Superior II: Esbozo de construcción de los números racionales y reales

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Introducción

En la unidad pasada vimos la construcción de los números enteros a partir de los números naturales. Lo que hicimos fue considerar a parejas de naturales (a,b) para las cuales dimos la relación de equivalencia (a,b)\sim (c,d) si y sólo si a+d=b+c. Dijimos que, aunque era incorrecto formalmente, convenía pensar a (a,b) como a-b (es incorrecto pues en \mathbb{N} no hay resta).

La relación de equivalencia \sim creó clases de equivalencia en \mathbb{N}\times \mathbb{N}, en donde cada clase la denotamos por \overline{(a,b)}. El conjunto \mathbb{Z} lo construimos justo como el conjunto de todas las clases de equivalencia. En él dimos las operaciones

  • Suma: \overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(a+c,b+d)}
  • Producto: \overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,ad+bc)}

Vimos que estas operaciones estaban bien definidas. La suma es bastante natural. El producto parece algo artificial, pero se vuelve natural si pensamos en que «queremos multiplicar a a-b con c-d«, pues justo (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc). Recordemos que es una justificación informal, pero ayuda a entender la intuición.

Después, nos dedicamos a probar que con esta operación suma y producto, el conjunto \mathbb{Z} era un anillo conmutativo con 1 en donde se vale cancelar. A partir de ahí empezamos a ver a \mathbb{Z} desde un punto de vista de teoría de números. Estudiamos al máximo común divisor, la relación de divisibilidad, el anillo de enteros módulo n, congruencias, ecuaciones en congruencias, teorema chino del residuo y mencionamos un poco de ecuaciones diofantinas.

Con eso terminamos la unidad de enteros, correspondiente al segundo segundo parcial del curso.

Las siguientes dos unidades contempladas por el temario oficial son:

  • Números complejos
  • Anillo de polinomios

Aquí vale la pena hacer una observación. Típicamente, tenemos la siguiente cadena de contenciones entre sistemas numéricos

    \[\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}.\]

En las primeras dos unidades del curso hablamos de \mathbb{N} y de \mathbb{Z}. De acuerdo a la contención anterior, lo siguiente sería tratar a detalle a los racionales \mathbb{Q} y a los reales \mathbb{R}. Sin embargo, el temario oficial «se los salta». Esto es un poco raro, pero podría estar justificado en que estos sistemas numéricos se estudian en otros cursos del plan de estudios. Por ejemplo, \mathbb{R} se estudia con algo de profundidad en los cursos de cálculo.

De cualquier forma, nos va a ser muy útil mencionar por lo menos por encima cómo hacer la construcción de los \mathbb{Q} y de \mathbb{R}. La construcción de los números racionales ayuda a repasar la construcción de los enteros. En la construcción de los números reales nos encontraremos con propiedades útiles que usaremos repetidamente cuando hablemos de la construcción de los números complejos \mathbb{C}. Por estas razones, aunque no vayamos a evaluar las construcciones de \mathbb{Q} y de \mathbb{R} en el curso, las ponemos aquí para que las conozcas o las repases.

Motivación de construcción de los racionales

La motivación que tuvimos para construir los enteros es que los naturales no son suficientes para resolver todas las ecuaciones de la forma

    \[x+a=b,\]

pues si a>b, esta ecuación no tiene solución en \mathbb{N}.

En \mathbb{Z} todas estas ecuaciones tienen solución. Sin embargo, en \mathbb{Z} la ecuación

    \[ax=b\]

tiene solución si y sólo si a divide a b (por definición), pero no siempre sucede esto. Por ejemplo, 3x=7 no tiene solución en los enteros.

Construcción de los racionales

Para la construcción de los racionales, consideraremos de nuevo parejas, pero ahora de enteros. De esta forma, consideremos \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} y sobre él consideremos la relación (a,b)\sim (c,d) si y sólo si ad=bc. Resulta que \sim es relación de equivalencia, así que para cada pareja (a,b) denotamos con \overline{(a,b)} como su clase de equivalencia.

Observa que la construcción que se parece mucho a cuando estábamos construyendo \mathbb{Z}, pero ahora nos estamos basando en el producto de \mathbb{Z} (antes era en la suma de \mathbb{N}). De nuevo, una forma de pensar bastante intuitiva (aunque formalmente incorrecta), es pensar a cada clase \overline{(a,b)} » como si fuera \frac{a}{b} «.

Hay un detalle. Para que todo funcione bien más adelante, necesitaremos considerar sólo aquellas parejas (a,b) tales que b\neq 0. De esta forma, por definición, \mathbb{Q} es el conjunto de clases de equivalencia de las parejas (a,b) en donde b\neq 0, en símbolos,

    \[\mathbb{Q}:=\{\overline{(a,b)}: a\in \mathbb{Z}, b\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}\}.\]

Operaciones y orden en los racionales

Necesitamos definir las operaciones en \mathbb{Q}. Ahora el producto es «intuitivo» y la suma no tanto.

  • Suma: \overline{(a,b)} + \overline{(c,d)} = \overline{(ad+bc,bd)}
  • Producto: \overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(ac,bd)}

La suma se vuelve mucho más intuitiva pensando en nuestra interpretación (informal) de \overline{(a,b)} como \frac{a}{b}, pues por lo que aprendimos en educación primaria de la suma de fracciones, tenemos que

    \[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}.\]

Para definir el orden en \mathbb{Q} hacemos lo siguiente. Tomemos a la pareja (a,b) de enteros. Diremos que la clase \overline{(a,b)} es

  • Cero si a=0,
  • Positiva, si ambos o ninguno de a y b son negativos con el orden en \mathbb{Z} y
  • Negativa si exactamente uno de a y b son negativos con el orden en \mathbb{Z}.

Diremos que \overline{(a,b)}>\overline{(c,d)} si \overline{(a,b)}-\overline{(c,d)} es positiva.

Se puede probar que estas operaciones suma y producto, así como el orden están bien definidas (no dependen de la clase de equivalencia). Además, se puede probar lo siguiente.

Teorema. El conjunto \mathbb{Q} con sus operaciones de suma y producto es un campo ordenado.

Un campo lo puedes pensar como un conjunto con operaciones suma y multiplicación tales que:

  • La suma es asociativa, conmutativa, tiene un neutro 0 e inversos aditivos
  • La multiplicación es asociativa, conmutativa, tiene un neutro 1 y todo elemento distinto de 0 tiene inverso multiplicativo.
  • Se tiene distributividad a(b+c)=ab+ac.

Ejemplo. La clase \overline{(c,c)} es el neutro multiplicativo, pues si tenemos \overline{(a,b)} y hacemos la multiplicación de ambos, obtenemos \overline{(ac,bc)}, que es igual a \overline{(a,b)} pues (ac)b=abc=(bc)a. Nota que aquí estamos usando que el producto en \mathbb{Z} es asociativo y conmutativo.

La clase \overline{(a,b)} tiene inverso mutiplicativo \overline{(b,a)} pues el producto de ambas es \overline{(ab,ba)}, y como ab=ba, tenemos que esta es la clase \overline{(c,c)}, que ya dijimos que es el neutro multiplicativo.

\square

Notación simple de racionales y ecuaciones aún sin solución

Ya que se prueban las propiedades anteriores estas cosas, ya no vale la pena conservar la notación de parejas y de clases de equivalencia, por lo cual a la clase de equivalencia \overline{(a,b)} simplemente se le denota por \frac{a}{b}, a partir de lo cual nuestra interpretación de pensarlo así ya se vuelve formal. Se puede mostrar que todo lo que aprendimos de esta notación en la primaria se deduce de las propiedades de \mathbb{Q}.

Ahora sí, la ecuación

    \[ax=b\]

tiene solución casi siempre, el único problema es si a=0. Pero si a\neq 0, la solución es única y es x=\frac{b}{a}.

El conjunto \mathbb{Q} es bastante bueno algebraicamente, pero le falta todavía más para ser bueno para análisis y cálculo. Todavía tiene «bastantes hoyos»: en él no podemos probar, por ejemplo, el teorema del valor intermedio para funciones continuas. Así mismo, hay varias ecuaciones que todavía no tienen solución en \mathbb{Q}.

Ejercicio. La ecuación x^2=3 no tiene una solución en \mathbb{Q}.

Una forma de enunciar el resultado anterior es decir «\sqrt{3} es irracional». Pero nota que es incorrecto enunciarlo así, pues para ponerle un nombre a \sqrt{3}, es necesario saber quién es, y justo el punto del ejercicio es que, tan sólo con \mathbb{Q}, no podemos definirlo.

Solución. Vamos a proceder por contradicción. Supongamos que la ecuación x^2=3 tiene una solución p/q en los racionales. De esta forma,(p/q)^2=3. Multiplicando por q^2 en ambos lados, p^2=3q^2.

La factorización en primos del lado izquierdo tiene una cantidad par de 3‘s. La factorización en primos del lado derecho tiene una cantidad impar de 3‘s. Esto es una contradicción al teorema fundamental de la aritmética, por lo tanto, no existe p/q solución racional de x^2=3.

\square

Reales y hoyos en los racionales

Para la construcción de los reales, ya no podemos proceder como le hemos estado haciendo, considerando simplemente parejas de números del sistema anterior y construyendo una relación de equivalencia sobre ellas. Lo que buscamos cuando damos el paso entre \mathbb{Q} y \mathbb{R} ya no es simplemente que los números tengan «inversos aditivos» o «inversos multiplicativos», sino que «todos los conjuntos acotados por abajo tengan un mejor mínimo». Esto es lo que garantiza que se «llenen los hoyos» que tienen los racionales.

Entendamos más formalmente esta definición de «hoyo»:

Definición. Para un conjunto X con un orden total \le y S un subconjunto S de X, un ínfimo de S es un r\in X tal que

  • r\leq s para todo s\in S y
  • si t\leq s para todo t\in S, entonces t\leq s.

Definición. Un conjunto X con un orden total \le es completo si todo conjunto S acotado inferiormente tiene un ínfimo.

Ejemplo. El conjunto \mathbb{Q} no es completo, pues el conjunto

    \[S=\{x\in \mathbb{Q}: x^2\geq 3\}\]

está acotado inferiormente, pero no tiene un ínfimo.

Sucesiones de Cauchy y construcción de los reales

Hay varias formas de construir un sistema numérico que extienda a \mathbb{Q} y que no tenga hoyos. Se puede hacer mediante cortaduras de Dedekind, mediante expansiones decimales o mediante sucesiones de Cauchy de racionales. Todas estas construcciones son equivalentes. Daremos las ideas generales de la última.

Definición. Una sucesión

    \[\{x_n\}=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}\]

es de Cauchy si para todo N existe un M tal que si m\geq M y n\geq M, entonces |x_m-x_n|<\frac{1}{N}. Denotamos con C(\mathbb{Q}) al conjunto de todas las sucesiones de números racionales que sean de Cauchy.

Construiremos una relación de equivalencia \sim en C(\mathbb{Q}). Si tenemos dos de estas sucesiones:

    \begin{align*}\{x_n\}&=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\} \quad \text{y}\\\{y_n\}&=\{y_1,y_2,y_3,\ldots\},\end{align*}

diremos que \{x_n\}\sim \{y_n\} si para todo natural N existe un natural M tal que para n\geq M tenemos que

    \[|x_n-y_n|<\frac{1}{N}.\]

Se puede probar que \sim es una relación de equivalencia. Para cada sucesión \{x_n\} de Cauchy usamos \overline{\{x_n\}} para denotar a la clase de equivalencia de \{x_n\}. Por definición, el conjunto \mathbb{R} es el conjunto de clases de equivalencia de \sim, en símbolos:

    \[\mathbb{R}:=\{\overline{\{x_n\}}: \{x_n\} \in C(\mathbb{Q})\}.\]

Operaciones y orden en los reales

En \mathbb{R} podemos definir las siguientes operaciones:

  • Suma: \overline{\{x_n\}} + \overline{\{y_n\}}= \overline{\{x_n + y_n\}} .
  • Producto: \overline{\{x_n\}} \overline{\{y_n\}}= \overline{\{x_ny_n\}}.

También podemos definir el orden en \mathbb{R}. Decimos que \overline{\{x_n\}} es positivo si para n suficientemente grande tenemos x_n>0. Decimos que \overline{\{x_n\}}>\overline{\{y_n\}} si \overline{\{x_n\}}- \overline{\{y_n\}} es positivo.

Se puede ver que las operaciones de suma y producto, así como el orden, están bien definidos. Más aún, se puede probar el siguiente resultado.

Teorema. El conjunto \mathbb{R} con sus operaciones de suma y producto es un campo ordenado y completo.

Como antes, una vez que se prueba este teorema, se abandona la notación de sucesiones y de clases de equivalencia. En realidad se oculta, pues la construcción siempre está detrás, como un esqueleto que respalda las propiedades que encontramos.

El teorema nos dice que \mathbb{R} ya no tiene hoyos, y esto es precisamente lo que necesitamos para resolver algunas ecuaciones como x^2=3. Un esbozo de por qué es el siguiente. Gracias a la existencia de ínfimos se puede probar el teorema del valor intermedio en \mathbb{R}. Se puede probar que la función x^2 es continua, que en x=0 vale 0 y que en x=2 vale 4, de modo que por el teorema del valor intermedio debe haber un real x tal que x^2=3.

Reflexión final y motivación de números complejos

Las muchas otras importantes consecuencias de que \mathbb{R} sea un campo ordenado y completo se discuten a detalle en cursos de cálculo. Si bien este es un logro enorme, aún tenemos un pequeño problema: ¡todavía no podemos resolver todas las ecuaciones polinomiales! Consideremos la ecuación

    \[x^2+1=0.\]

Podemos mostrar que para cualquier real x tenemos que x^2\geq 0, de modo que x^2+1\geq 1>0. ¡Esta ecuación no tiene solución en los números reales!

Para encontrar una solución, necesitaremos construir a los números complejos, a \mathbb{C}. Con ellos vamos a poder, finalmente, resolver todas las ecuaciones polinomiales, es decir, aquellas de la forma

    \[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0.\]

Hablaremos de esto en el transcurso de las siguientes dos unidades: números complejos y polinomios.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿Cuál de las clases de equivalencia sería el neutro aditivo en \mathbb{Q}?
  • ¿Por qué la definición de orden en \mathbb{Q} no depende del representante elegido?
  • ¿Cómo construirías el inverso multiplicativo de la sucesión de Cauchy \{x_n\}? Ten cuidado, pues algunos de sus racionales pueden ser 0.
  • Aprovecha esta entrada de transición entre unidades para repasar las construcciones de \mathbb{N} y de \mathbb{Z}.