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Álgebra Lineal II: Introducción al teorema de Cayley-Hamilton

Por Julio Sampietro

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Introducción

En esta entrada introducimos el teorema de Cayley-Hamilton, otro de los teoremas importantes del curso. Intuitivamente este teorema nos dice que «el polinomio característico anula al operador lineal». Es decir, si $P(\lambda)$ es el polinomio característico de una transformación lineal $T$, entonces $P(T)=0$.

Algunos ejemplos

Damos unos cuantos ejemplos para que entendamos que está pasando.

Ejemplo. Sea $A\in M_2(\mathbb{R})$ la matriz dada por

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Calculemos su polinomio característico

\begin{align*}
\chi_A(X)=\det \begin{pmatrix} X & 1\\ -1 & X\end{pmatrix}=X^2+1.
\end{align*}

Así, si evaluamos al polinomio $\chi_A$ en la matriz $A$ tenemos que calcular

\begin{align*}
\chi_A(A)= A^2+I_2.
\end{align*}

Por un lado

\begin{align*}
A^2=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}=-I_2.
\end{align*}

Luego

\begin{align*}
\chi_A(A)=A^2+I_2= -I_2+I_2=O_2.
\end{align*}

Es decir, ¡$\chi_A(A)$ es la matriz cero!

$\square$

Ejemplo. Calculemos el polinomio característico de la matriz $A\in M_3(\mathbb{R})$ dónde $A$ está dada por

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
0 & -1 & -2\\ 0 & 3 &4\\ 0 & 0 & -5.
\end{pmatrix}
\end{align*}

Notamos que $A$ es una matriz triangular superior. Por una entrada anterior sabemos que el polinomio característico es solo el producto de los monomios $(X-a_{ii})$. Es decir

\begin{align*}
\chi_A(X)=(X-0)(X-3)(X-(-5))= X(X-3)(X+5).
\end{align*}

Enseguida, evaluemos $\chi_A(A)$. Recordamos que esto quiere decir que tenemos que calcular

\begin{align*}
\chi_A(A)=A(A-3I_3)(A+5I_3).
\end{align*}

Por un lado

\begin{align*}
A-3I_3=\begin{pmatrix}
-3 & -1 & -2\\ 0 & 0 & 4\\ 0 & 0 & -8
\end{pmatrix},
\end{align*}

y por otro

\begin{align*}
A+5I_3=\begin{pmatrix}
5 & -1 & -2\\ 0 & 8 & 4\\ 0 & 0 &0
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Así

\begin{align*}
(A-3I_3)(A+5I_3)&=\begin{pmatrix}
-3 & -1 & -2\\ 0 & 0 & 4\\ 0 & 0 & -8
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
5 & -1 & -2\\ 0 & 8 & 4\\ 0 & 0 &0
\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -15 & -5 & -2\\ 0 &0 &0 \\ 0 & 0 &0\end{pmatrix}.
\end{align*}

Finalmente

\begin{align*}
A(A-I_3)(A+5I_3)=\begin{pmatrix}
0 & -1 & -2\\ 0 & 3 &4\\ 0 & 0 & -5.
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -15 & -5 & -2\\ 0 &0 &0 \\ 0 & 0 &0\end{pmatrix}=O_3.
\end{align*}

Una vez más $\chi_A(A)=0$.

$\square$

El teorema

Los ejemplos anteriores sirven de calentamiento para enunciar el teorema de Cayley-Hamilton, que dice exactamente lo que sospechamos.

Teorema (de Cayley-Hamilton). Para cualquier matriz $A\in M_n(F)$ se cumple

\begin{align*}
\chi_A(A)=O_n.
\end{align*}

En otras palabras, si $\chi_A(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_0$ entonces

\begin{align*}
A^{n}+a_{n-1}A^{n-1}+\dots+a_0 I_n=O_n.
\end{align*}

Demostraremos este teorema en la próxima entrada. Uno podría sospechar que la demostración consiste en simplemente sustituir $A$ en la expresión de $\chi_A$ como sigue

\begin{align*}
\chi_A(A)= \det(AI_n-A)=\det(0)=0.
\end{align*}

Sin embargo, esta ‘prueba’ no es correcta, ya que estamos multiplicando a $A$ con $I_n$ como si fueran matrices, mientras que la expresión de $\chi_A$ se refiere a escalares. Más aún, observa como el resultado de la expresión que anotamos es el escalar cero, mientras que sabemos que $\chi_A(A)$ debería ser la matriz cero.

Concluimos esta sección con una breve aplicación del teorema de Cayley-Hamilton.

Proposición. El polinomio mínimo de una matriz $A\in M_n(F)$ divide al polinomio característico.

Demostración. Por el teorema de Cayley-Hamilton, $\chi_A(A)=0$. Luego por definición del polinomio mínimo se sigue que $\mu_A(X)$ divide a $\chi_A(X)$.

$\square$

Más adelante…

En la próxima entrada demostraremos el teorema de Cayley-Hamilton, y luego pasaremos a dar aplicaciones de este.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. En una entrada anterior calculamos el polinomio característico de una matriz nilpotente. Explica por qué el teorema de Cayley-Hamilton es compatible con dicho cálculo. De otra manera, verifica el teorema de Cayley-Hamilton en ese caso particular.
  2. Sea $A\in M_3(\mathbb{R})$ tal que $\operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}(A^2)=0$. Usa el teorema de Cayley-Hamilton para demostrar que existe un $\alpha\in \mathbb{R}$ tal que $A^3=\alpha I_3$.
  3. Calcula el polinomio característico de $A\in M_2(\mathbb{C})$ donde
    \begin{align*}
    A=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
    \end{align*}
    Es decir, $A$ es la misma matriz que en el ejemplo pero pensada como una matriz compleja. Verifica que $\chi_A(A)=O_2$.
  4. Verifica que $\chi_A(A)=O_3$ con
    \begin{align*}
    A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{R}).
    \end{align*}
  5. Sea $A\in M_n(\mathbb{R})$ una matriz tal que $A$ y $3A$ son similares. Demuestra que $A^n=O_n$.

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Por Julio Sampietro

4 respuestas

Introducción

En la entrada anterior dimos la definición de polinomio característico. Vimos que siempre es un polinomio mónico y que su grado es exactamente del tamaño de la matriz. También, vimos cómo calcular el polinomio mínimo en algunos casos particulares. En esta entrada veremos varias propiedades que nos van a facilitar el calcular el polinomio característico (y por tanto los eigenvalores) en un amplio rango de matrices diferentes.

Comenzaremos estudiando el polinomio mínimo de las triangulares superiores. Luego, veremos cómo calcular el polinomio de matrices nilpotentes. No solo nos harán la vida más fácil los resultados a continuación, si no que los usaremos en la teoría más adelante.

Matrices triangulares superiores y transpuestas

El caso de las matrices triangulares superiores es muy sencillo, como veremos a través del siguiente problema.

Problema. Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz triangular superior. Demuestra que

\begin{align*}
\chi_A(X)=\prod_{i=1}^{n}(X-a_{ii}).
\end{align*}

Solución. La matriz $X I_n-A$ sigue siendo triangular superior, y sus entradas diagonales son precisamente $X-a_{ii}$. Usando que el determinante de una matriz triangular superior es el producto de sus entradas diagonales y usando la definición se sigue que

\begin{align*}
\chi_A(X)=\det(X I_n-A)=\prod_{i=1}^{n} (X-a_{ii}).
\end{align*}

$\square$

Ejemplo. Si queremos calcular el polinomio característico de la matriz

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & -\pi & \sqrt{2}\\
0 & -2 & 10^{10}\\
0 & 0 &3
\end{pmatrix}.
\end{align*}

entonces podemos aplicar el problema anterior y deducir inmediatamente que

\begin{align*}
\chi_A(X)=(X-1)(X+2)(X-3).
\end{align*}

¡Qué complicado hubiera sido calcular el determinante a pie!

$\square$

Por otro lado, recordando la demostración que dice que los eigenvalores de la transpuesta de una matriz son iguales a los de la matriz original era de esperarse que el polinomio característico también «se portara bien» bajo transposición.

Problema. Demuestra que las matrices $A$ y $^{t}A$ tienen el mismo polinomio característico para cualquier $A\in M_n(F)$.

Solución. Notamos que $^{t}(X I_n-A)= XI_n-\ ^{t}A$. Como una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante se tiene que

\begin{align*}
\chi_A(X)&=\det(XI_n-A)\\&=\det(\ ^{t}(XI_n-A))\\&= \det(XI_n-\ ^{t}A)\\&=\chi_{^t A}(X).
\end{align*}

$\square$

Estrictamente hablando, estamos haciendo un poquito de trampa en la demostración anterior (y de hecho en varias que involucran a la variable $X$). Las propiedades de determinantes que hemos visto (como que una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante) las obtuvimos partiendo de la hipótesis de que las entradas vienen de un campo $F$. Pero cuando agregamos a la variable $X$, ahora las entradas vienen más bien de un anillo: el anillo de polinomios en $F[X]$. Aunque esto parezca un problema, en realidad no lo es. Las propiedades que usamos pueden mostrarse también en ese contexto.

Veamos ahora cómo podemos aplicar el resultado anterior en un ejemplo concreto.

Ejemplo. Queremos calcular el polinomio característico de la matriz

\begin{align*}
A= \begin{pmatrix} 0 & 0 &0\\ -4 & 9 & 0\\ -1 & -1 & 2.\end{pmatrix}
\end{align*}

Para esto notamos que

\begin{align*}
^t A=\begin{pmatrix} 0 & -4 & -1\\ 0 & 9 & -1\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}
\end{align*}

que es triangular superior. Usando el primer problema

\begin{align*}
\chi_{^t A}(X)= X(X-9)(X-2).
\end{align*}

Finalmente por el último problema $$\chi_{A}(X)=\chi_{^t A}(X)=X(X-9)(X-2).$$

$\square$

El término de la traza

Como vimos en la entrada anterior, en el polinomio $\det(XA+B)$ aparecen los términos $\det(A)$ y $\det(B)$. El siguiente problema aplica esto al polinomio característico e incluso deducimos otro término: la traza.

Problema. Demuestra que el polinomio característico de $A\in M_n(F)$ es de la forma

\begin{align*}
\chi_A(X)= X^n- \operatorname{Tr}(A)X^{n-1}+\dots+(-1)^n \det A.
\end{align*}

Solución. Regresemos a la definición

\begin{align*}
\det (X I_n-A)=\sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sign}(\sigma)\left(X\delta_{1\sigma(1)}-a_{1\sigma(1)}\right)\cdots \left(X \delta_{n\sigma(n)}-a_{n\sigma(n)}\right).
\end{align*}

Haciendo la expansión salvajemente podemos recuperar al menos los primeros términos de $$(X\delta_{1\sigma(1)}-a_{1\sigma(1)})\cdots (X\delta_{n\sigma(n)}-a_{n\sigma(n)}),$$ que son $$X^{n}\prod_{i=1}^{n} \delta_{i\sigma(i)} – X^{n-1}\sum_{j=1}^{n}\left(\prod_{k\neq j} \delta_{k\sigma(k)}\right)a_{j\sigma(j)}+\dots.$$

Más aún, nota cómo el producto $\prod_{j=1}^{n}\delta_{j\sigma(j)}$ es distinto de cero si y sólo si $j=\sigma(j)$ para todo $j$: es decir si $\sigma$ es la identidad. Esto muestra que $\chi_A(X)$ es mónico de grado $n$, como ya habíamos mencionado en la entrada anterior.

Además, el término constante está dado por \begin{align*}\chi_A(0)&=\det(0\cdot I_n-A)\\&=\det(-A)\\&=(-1)^{n}\det(A).\end{align*} Alternativamente pudimos haber usado la primera proposición de esta entrada para concluir estos hechos.

Nos falta estudiar el término de grado $n-1$. Si $j\in \{1,2,\dots, n\}$, entonces $\prod_{k\neq j}\delta_{j\sigma(j)}$ es distinto de cero solo si $\sigma(k)=k$ para todo $k\neq j$: pero $\sigma$ es una permutación, en particular una biyección, lo que fuerza que $\sigma(j)=j$ también y entonces $\sigma$ sea la identidad. Entonces el término de $X^{n-1}$ en $$(X\delta_{1\sigma(1)}-a_{1\sigma(1)})\cdots (X\delta_{n\sigma(n)}-a_{n\sigma(n)})$$ es distinto de cero sólo cuando $\sigma$ es la identidad. En ese caso es precisamente $$-\sum_{j=1}^{n} a_{jj}=-\operatorname{Tr}(A).$$

$\square$

Ejemplo. Si $A$ es la matriz del primer problema de esta entrada, tenemos que

\begin{align*}
\chi_A(X)&=(X-1)(X+2)(X-3)\\&= X^3-2 X^2+\dots +6.
\end{align*}

Nota cómo el término de $X^2$ es en efecto $-\text{Tr}(A)= -(1-2+3)$ y el último es $-\det(A)$.

$\square$

Matrices nilpotentes

El caso de las matrices nilpotentes es todavía más sencillo.

Problema. Sea $A\in M_n(F)$ una matriz nilpotente. Es decir, existe $k\geq 1$ tal que $A^{k}=O_n$.

  1. Demuestra que
    \begin{align*}
    \chi_A(X)=X^{n}.
    \end{align*}
  2. Demuestra que $\operatorname{Tr}A^{m}=0$ para todo $m\geq 1$.

Solución.

  1. Sea $k\geq 1$ tal que $A^{k}=O_n$ (existe pues $A$ es nilpotente). Entonces
    \begin{align*}
    X^{k}I_n&=X^{k}I_n-A^{k}\\&=(XI_n-A)(X^{k-1}I_n+X^{k-2}A+\dots +A^{k-1}).
    \end{align*}
    Tomando el determinante de ambos lados y recordando que abre productos llegamos a
    \begin{align*}
    X^{nk}&=\det(X^{k}I_n)\\&= \chi_{A}(X)\cdot \det(X^{k-1}I_n+\dots +A^{k-1}).
    \end{align*}
    De aquí, concluimos que $\chi_{A}(X)$ tiene que dividir a $X^{nk}$, pero sabemos que $\chi_A(X)$ es mónico y de grado $n$. Concluimos entonces que $\chi_A(X)=X^{n}$.
  2. Puesto que $A^{m}$ también es una matriz nilpotente, el inciso anterior nos dice que
    \begin{align*}
    \chi_{A^{m}}(X)=X^{n}.
    \end{align*}
    Pero sabemos por la sección sobre la traza que el término de $X^{n-1}$ es $-\operatorname{Tr}(A^{m})$. Como este término no aparece, concluimos que la traza es cero.

$\square$

Ejemplo. Para calcular el polinomio característico de la matriz

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
5 & -3 &2\\
15 & -9 & 6\\
10 & -6 &4
\end{pmatrix}
\end{align*}

podríamos notar (aunque no sea obvio a simple vista) que $A^2=O_3$. Luego, por el problema anterior, $\chi_A(X)=X^3$.

$\square$

Un último caso particular

Acabamos con una última familia de matrices con polinomio característico simple. Esta familia está descrita por su forma, y será de particular importancia para el teorema de Cayley-Hamilton.

Problema. Para escalares $a_0,\dots, a_{n-1}\in F$ consideramos la matriz

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_0\\
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_1\\
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & a_2\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\dots\\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 &a_{n-1}
\end{pmatrix}.
\end{align*}

en $M_n(F)$.

Demuestra que

\begin{align*}
\chi_A(X)=X^{n}-a_{n-1}X^{n-1}-\dots -a_0.
\end{align*}

Solución. Sea $P(X)=X^{n}-a_{n-1}X^{n-1}-\dots-a_0$. Considera la matriz

\begin{align*}
B=X I_n-A=\begin{pmatrix} X & 0 & 0 &\dots &0& -a_0\\ -1 & X & 0 &\dots & 0 &-a_1\\ 0 & -1 & X &\dots& 0&-a_2\\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots &\dots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & -1 & X-a_{n-1}\end{pmatrix}.
\end{align*}

Sumando el segundo renglón multiplicado por $X$ al primer renglón, luego sumándole también al primer renglón el tercero multiplicado por $X^2$, el cuarto por $X^3$, y así sucesivamente hasta sumar el último renglón multiplicado por $X^{n-1}$ llegamos a la matriz

\begin{align*}
C=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \dots &0& P(X)\\
-1 & X & 0 & \dots &0 & -a_1\\
0 & -1 & X & \dots & 0 & -a_2\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\dots\\
0 & 0 & 0 & \dots & -1 & X-a_{n-1}
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Recordamos que el determinante es invariante bajo sumas de renglones, por lo que

\begin{align*}
\chi_A=\det B=\det C.
\end{align*}

Expandiendo el determinante de $C$ en el primer renglón obtenemos sencillamente

\begin{align*}
\det C&=(-1)^{n+1}P(X) \cdot \begin{vmatrix} -1 & X & \dots & 0\\ 0 & -1 & \dots & 0\\ \dots &\dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & -1 \end{vmatrix}\\&= (-1)^{n+1} P(X)(-1)^{n-1}\\&=P(X).
\end{align*}

Para la segundaigualdad usamos que el determinante es el de una matriz triangular superior con puros $-1$ como entradas. Para la última, usamos que $n+1+n-1=2n$ siempre es un número par, así que queda $-1$ elevado a un número par. Esto concluye la prueba.

$\square$

Una de las consecuencias de la proposición anterior es que para cualquier polinomio mónico $P$ de grado $n$ en $F[X]$, existe una matriz en $M_n(F)$ tal que su polinomio característico es $P$.

Más adelante…

En la próxima entrada veremos unos últimos aspectos teóricos del polinomio característico antes de lanzarnos de lleno al teorema de Cayley-Hamilton y su demostración.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra una matriz $A$ tal que $\chi_A(X)=X^5-5X^3+X^2-2X+2$. Sugerencia: Usa el último problema.
  2. Demuestra que el polinomio característico de una matriz $A=[a_{ij}]$ triangular inferior está dado por $\prod_{i=1}^{n}(X-a_{ii})$.
  3. Demuestra que $0$ es eigenvalor de una matriz si y sólo si su determinante es cero.
  4. Calcula el polinomio característico de la siguiente matriz con entradas reales:
    \begin{align*}
    A= \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 \\ 6 & 6 & 6\\ -11 & -11 & -11\end{pmatrix}.
    \end{align*} Sugerencia: ¿Quién es $A^2$?
  5. ¿Es cierto que si $F$ es cualquier campo y $A$ es una matriz con entradas en $F$, entonces el hecho de que $\operatorname{Tr}(A)=0$ implica que $A$ sea nilpotente? Sugerencia: Piensa en $F_2$.
  6. Da una demostración alternativa al último problema de esta entrada usando inducción matemática sobre el tamaño de la matriz.

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Álgebra Lineal II: Polinomio característico

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Introducción

En el transcurso de esta unidad hemos construido varios de los objetos algebraicos que nos interesan. En primer lugar, dejamos claro qué quería decir evaluar un polinomio en una matriz o transformación lineal. Esto nos llevó a preguntarnos por aquellos polinomios que anulan a una matriz o transformación lineal. De manera natural, descubrimos que aquellos polinomios que anulan son múltiplos de un polinomio especial asociado a la matriz o transformación lineal llamado polinomio mínimo.

De manera un poco separada, comenzamos a estudiar los eigenvalores, eigenvectores y eigenespacios de una transformación lineal y en la entrada anterior nos enfocamos en varias de sus propiedades principales. Uno de los resultados clave que encontramos es que los eigenvalores de una matriz o transformación lineal son las raíces del polinomio mínimo que estén en el campo en el que estemos trabajando.

Aunque este resultado sea interesante de manera teórica, en la práctica debemos hacer algo diferente pues no es tan sencillo encontrar el polinomio mínimo de una matriz o transformación lineal. Es por esto que ahora estudiaremos con profundidad otro objeto que resultará fundamental en nuestro estudio: el polinomio característico. Ya nos encontramos con él anteriormente. Si $A$ es una matriz en $M_n(F)$, dicho polinomio en la variable $\lambda$ es el determinante $\det(\lambda I_n-A)$.

Esta entrada es más bien una introducción, así que nos enfocaremos en probar las cosas más básicas de este objeto. Lo primero, y más importante, es verificar que en efecto es un polinomio (y con ciertas características específicas). También, aprovecharemos para calcularlo en varios contextos (y campos) diferentes.

Definición de polinomio característico

Comencemos con una matriz $A\in M_n(F)$. Vimos que encontrar los eigenvalores de $A$ se reduce a encontrar las soluciones de la ecuación

\begin{align*}
\det(\lambda I_n-A)=0
\end{align*}

en $F$. Vamos a estudiar más a detalle la expresión de la izquierda.

El siguiente teorema va un poco más allá y de hecho estudia expresiones un poco más generales.

Teorema. Sean $A,B\in M_n(F)$ dos matrices. Existe un polinomio $P\in F[X]$ tal que para todo $x\in F$ se cumple

\begin{align*}
P(x)=\det(xA+B).
\end{align*}

Si denotamos a este polinomio por $P(X)=\det(XA+B)$, entonces

\begin{align*}
\det(XA+B)=\det(A)X^{n}+\alpha_{n-1}X^{n-1}+\dots+\alpha_1 X+\det B
\end{align*}

para algunas expresiones polinomiales $\alpha_1,\dots, \alpha_{n-1}$ con coeficientes enteros en las entradas de $A$ y $B$.

Demostración. Consideremos el siguiente polinomio en la variable $X$ y coeficientes en $F$, es decir, el siguiente polinomio en $F[X]$:

\begin{align*}
P(X)=\sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sign}(\sigma)\left(a_{1\sigma(1)} X+b_{1\sigma(1)}\right)\cdots \left(a_{n\sigma(n)}X+b_{n\sigma(n)}\right).
\end{align*}

Por construcción, $P$ es un polinomio cuyos coeficientes son expresiones polinomiales enteras en las entradas de $A$ y $B$. Más aún, se cumple que $P(x)=\det(xA+B)$ para $x\in F$ (podría ser útil revisar la entrada sobre determinantes para convencerte de ello). El término constante lo obtenemos al evaluar en $X=0$, pero eso no es más que $P(0)=\det(0\cdot A+B)=\det(B)$. Finalmente para cada $\sigma\in S_n$ tenemos que el primer término de cada sumando es

\begin{align*}
\operatorname{sign}(\sigma)(a_{1\sigma(1)}X+b_{1\sigma(1)})\cdots (a_{n\sigma(n)} X+b_{n\sigma(n)})
\end{align*}

Notemos que la única manera de obtener un término $X^n$ en esta expresión es cuando en cada binomio que se está multiplicando se usa el término $X$. Así, el coeficiente de $X^n$ es $\operatorname{sign}(\sigma) a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}X^{n}$.

Agrupando todos los sumandos para todas las $\sigma$ y comparando con la definición del determinante llegamos a que $$P(X)=\det(A)X^{n}+\ldots,$$ es decir el término de orden $n$ es en efecto $\det(A)$.

$\square$

Del teorema se sigue que si $A$ y $B$ tienen entradas enteras o racionales, $\det(XA+B)$ tiene coeficientes enteros o racionales respectivamente.

Enseguida podemos definir (gracias al teorema) el siguiente objeto:

Definición. El polinomio característico de la matriz $A\in M_n(F)$ es el polinomio $\chi_A\in F[X]$ definido por

\begin{align*}
\chi_A(X)=\det(X\cdot I_n-A).
\end{align*}

Una observación inmediata es que, de acuerdo al teorema, el coeficiente principal de $\chi_A(X)$ tiene coeficiente $\det(I_n)=1$. En otras palabras, acabamos de demostrar la siguiente propiedad fundamental del polinomio característico.

Proposición. El polinomio característico de una matriz en $M_n(F)$ siempre tiene grado exactamente $n$ y además es un polinomio mónico, es decir, que el coeficiente que acompaña al término de grado $n$ es igual a $1$.

Veamos un ejemplo sencillo.

Ejemplo. Si queremos calcular el polinomio característico de

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 &0\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R})
\end{align*}

entonces usamos la definición

\begin{align*}
\chi_A(X)&=\det(X\cdot I_2-A)\\&=\begin{vmatrix} X-1 & 1\\ -1 & X\end{vmatrix}\\&= X(X-1)+1.
\end{align*}

Y así los eigenvalores de $A$ son las raíces reales de $\chi_A(X)$. Es decir, tenemos que resolver

\begin{align*} 0=x(x-1)+1=x^2-x+1.\end{align*}

Sin embargo, el discriminante de esta ecuación cuadrática es $(-1)^2-4(1)(1)=-3$, el cual es un real negativo, por lo que no tenemos eigenvalores reales. Si estuviéramos trabajando en $\mathbb{C}$ tendríamos dos eigenvalores complejos:

\begin{align*}
x_{1,2}= \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.
\end{align*}

De aquí, ¿cómo encontramos los eigenvectores y eigenespacios? Basta con resolver los sistemas lineales homogéneos de ecuaciones $(A-x_1I_2)X=0$ para encontrar el $x_1$-eigenespacio y $(A-x_2)X=0$ para encontrar el $x_2$-eigenespacio.

$\square$

Algunos cálculos de polinomios característicos

Ya que calcular polinomios característicos se reduce a calcular determinantes, te recomendamos fuertemente que recuerdes las propiedades que tienen los determinantes. Sobre todo, aquellas que permiten calcularlos.

¡A calcular polinomios característicos!

Problema. Encuentra el polinomio característico y los eigenvalores de $A$ dónde $A$ es

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
2 & 0 & -1 & 0\\
0 & 7 & 0 &6\\
0 & 0 & 3 & 0
\end{pmatrix}\in M_4(\mathbb{R}).
\end{align*}

Solución. Usamos la expansión de Laplace respecto al primer renglón:

\begin{align*}
\chi_A(X)&=\det(XI_4-A)\\&= \begin{vmatrix}
X & -1 & 0 & 0\\
-2 & X & 1 & 0\\
0 & -7 & X & -6\\
0 & 0 & -3 & X\end{vmatrix}\\
&= X\begin{vmatrix} X & 1 & 0\\ -7 & X & -6\\ 0 & -3 & X\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}
-2 & 1 & 0\\ 0 & X& -6\\ 0 &-3 & X\end{vmatrix}\\
&= X(X^3-11X)-2(X^2-18)\\
&= X^4-13X^2+36.
\end{align*}

Después, para encontrar los eigenvalores de $A$ tenemos que encontrar las raíces reales de la ecuación

\begin{align*}
x^4-13x^2+36=0.
\end{align*}

Sin embargo, no hay que desalentarse por ver una ecuación de grado $4$. Si hacemos el cambio $y=x^2$ podemos llevar nuestro problema a resolver

\begin{align*}
y^2-13y+36=0.
\end{align*}

¡Es una ecuación de segundo orden! Esta la podemos resolver usando ‘la chicharronera’ y obtenemos como soluciones $y_1=4$ y $y_2=9$. Pero todavía tenemos que resolver $x^2=y_1$ y $x^2=y_2$. Al resolver estas últimas dos ecuaciones obtenemos que $x=\pm 2,\pm 3$ son los eigenvalores de $A$.

$\square$

Problema. Calcula el polinomio característico y los eigenvalores de la matriz

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 &1 \end{pmatrix}\in M_3(F_2).
\end{align*}

Solución. Nota que estamos trabajando en el campo de dos elementos $F_2$, por lo que $-1=1$. Usando la definición:

\begin{align*}
\chi_A(X)&=\det(XI_3-A)\\&= \begin{vmatrix} X-1 & 0 & -1\\ -1 & X-1 & 0\\ -1 & 0 &X-1\end{vmatrix}\\
&= \begin{vmatrix} X+1 & 0 & 1\\ 1 & X+1& 0 \\ 1 & 0 &X+1\end{vmatrix}.
\end{align*}

Aquí estamos usando repetidamente $-1=1$. Usamos otra vez la expansión de Laplace en el primer renglón para llegar a

\begin{align*}
\chi_A(X)&= (X+1)\begin{vmatrix} X+1 & 0 \\ 0 & X+1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & X+1\\ 1 & 0\end{vmatrix}\\
&= (X+1)^3-(X+1).
\end{align*}

Luego, si queremos encontrar los eigenvalores de $A$ tenemos que resolver

\begin{align*}
(x+1)^3-(x+1)=0.
\end{align*}

Si bien existen varias maneras de resolver la ecuación, podemos simplemente sustituir los únicos valores posibles de $x$ : $0$ o $1$. Sustituyendo es fácil ver que ambos satisfacen la ecuación, por lo que los eigenvalores de $A$ son $0$ y $1$.

$\square$

Más adelante…

En la próxima entrada calcularemos el polinomio característico de una variedad de matrices importantes: triangulares superiores, nilpotentes, etc. Esto nos permitirá entender mejor al polinomio característico y lidiar con muchos casos para facilitarnos los cálculos más adelante.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Demuestra que $0$ es un eigenvalor de una matriz $A$ si y sólo si $\det(A)=0$.
  • ¿Una matriz compleja de tamaño $n$ tiene necesariamente $n$ eigenvalores distintos?
  • Calcular el polinomio característico y los eigenvalores de
    \begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 &2\\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}\in M_3(F_3).
    \end{align*}
  • Usando la fórmula del determinante para matrices de tamaño $2$, encuentra un criterio simple para saber si una matriz con entradas reales de tamaño $2$ tiene dos, uno o ningún eigenvalor real.
  • Da un criterio simple para saber si una matriz de tamaño $2$ con entradas complejas tiene eigenvalores puramente imaginarios.

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Álgebra Lineal II: Propiedades de eigenvectores y eigenvalores

Por Julio Sampietro

7 respuestas

Introducción

En la entrada anterior platicamos acerca de eigenvectores, eigenvalores y eigenespacios de matrices y transformaciones lineales. Vimos algunos ejemplos básicos. En esta entrada profundizaremos en el estudio de estos objetos y exploraremos diversas de sus propiedades. Comenzaremos con algunas observaciones inmediatas. Después, veremos cómo encontrar de manera sencilla los eigenvalores de las matrices triangulares superiores. También veremos que «eigenvectores correspondientes a eigenvalores diferentes son linealmente independientes«. Finalmente, conectaremos estas nuevas ideas con un objeto que estudiamos previamente: el polinomio mínimo.

Primeras observaciones

A partir de la proposición de la entrada anterior que nos dice cómo calcular eigenvalores se desprenden algunas consecuencias sencillas pero útiles.

Por ejemplo, recuerda que el determinante de una matriz y su transpuesta es igual. En particular, si $A\in M_n(F)$ entonces

\begin{align*}
\det(\lambda I_n -\ ^{t}A)= \det(\ ^{t}(\lambda I_n- A))= \det(\lambda I_n-A).
\end{align*}

Luego $\det (\lambda I_n-A)=0$ si y sólo si $\det(\lambda I_n-\ ^{t}A)=0$. Recordando que las raíces de estos polinomios son precisamente los eigenvalores, se sigue que los eigenvalores de $A$ y $^{t}A$ son iguales.

Por otro lado, como los eigenvalores son las raíces de un polinomio de grado $n$, sabemos que hay a lo más $n$ soluciones. Entonces toda matriz tiene a lo más $n$ eigenvalores.

Esto también ocurre para transformaciones lineales en espacios de dimensión finita y lo podemos enunciar como sigue:

Corolario. Sea $V$ un espacio de dimensión finita sobre $F$ y $T:V\to V$ lineal. Entonces $T$ tiene a lo más $\dim V$ eigenvalores distintos.

Sin embargo, si el espacio no es de dimensión finita no podemos hacer tal afirmación. Si $V$ es el espacio de todas las funciones suaves (es decir con derivadas de todos los órdenes) de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y $T:V\to V$ es la función lineal que a cada función la manda en su derivada, entonces tenemos «muchos» eigenvalores. Haciendo esto más preciso, para cada real $r$ la función $e^{rx}$ es un eigenvector con eigenvalor $r$ puesto que

\begin{align*}
T(e^{rx})= \left(e^{rx}\right)’= re^{rx}.
\end{align*}

Así, tenemos al menos tantos eigenvalores como números reales. De hecho, estos son exactamente los eigenvalores de $T$, lo cual puede demostrarse mediante el teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales, que estudiarás en otro momento de tu formación matemática.

Matrices triangulares superiores

Parte del interés de «triangular» matrices (es decir, encontrar una matriz similar que sea triangular superior) está dada por la facilidad de calcular sus eigenvalores. Exploramos esto mediante los siguientes dos problemas.

Problema. Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz triangular superior en $M_n(F)$. Demuestra que los eigenvalores de $A$ son precisamente los elementos en la diagonal.

Solución. Ya establecimos que encontrar los valores propios se reduce a encontrar las raíces del polinomio $\det(\lambda I_n-A)$. Notamos que si $A$ es triangular superior, entonces $\lambda I_n-A$ también es triangular superior. Más aún, las entradas de la diagonal son simplemente $\lambda-a_{ii}$. Pero sabemos que el determinante de una matriz triangular superior es el producto de sus entradas diagonales. Así

\begin{align*}
\det(\lambda I_n -A)= (\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\cdots (\lambda -a_{nn})
\end{align*}

cuyas raíces son exactamente los elementos $a_{ii}$.

$\square$

Podemos combinar el resultado anterior con otras propiedades de matrices triangulares superiores para resolver a mano algunos problemas que de entrada parecen complicados.

Problema. Encuentra los eigenvalores de $A^{3}$ donde

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 &4 \\ 0 & 5 & 6 & 7\\ 0 & 0 & 8 & 9\\ 0 &0 &0 & 10\end{pmatrix}\in M_4(\mathbb{R}).
\end{align*}

Solución. En realidad no hace falta hacer el producto de matrices para encontrar la matriz $A^3$. Sabemos que el producto de dos matrices triangulares superiores es triangular superior y que de hecho las entradas de la diagonal son solo el producto de las entradas correspondientes. Es decir, si $[a_{ij}]$ y $[b_{ij}]$ son dos matrices triangulares superiores, las entradas de la diagonal son $a_{ii}b_{ii}$. En nuestro caso, las entradas de la diagonal son $1^3, 5^3, 8^3$ y $10^3$, y por el problema anterior, estos son precisamente los eigenvalores de $A^3$.

$\square$

Relaciones con independencia lineal y combinaciones polinomiales

El resultado principal de esta entrada es el siguiente teorema, que en particular afirma que si dos eigenvalores son distintos, sus eigenvectores son linealmente independientes. En realidad, el resultado es un poco más general y lo enunciamos a continuación

Teorema. Sean $\lambda_1,\dots, \lambda_k$ eigenvalores distintos dos a dos de una transformación lineal $T:V\to V$. Entonces los $\lambda_i$-eigenespacios están en posición de suma directa.

Demostración. Por definición, tenemos que demostrar que si tenemos una colección $\{v_i\}$ de vectores con $T(v_i)=\lambda_i v_i$ y $v_1+\dots+v_k=0$ entonces $v_1=\dots=v_k=0$. Procedemos por inducción sobre $k$.

Nuestro caso base es una tautología, pues si $k=1$ entonces tenemos que mostrar que si $v_1=0$ entonces $v_1=0$.

Asumamos que el resultado se cumple para $k-1$ y verifiquemos que se cumple para $k$. Supongamos que $v_1+\dots+v_k=0$. Aplicando $T$ de ambos lados de esta igualdad llegamos a

\begin{align*}
T(v_1+\dots+v_k)&= T(v_1)+\dots+T(v_k)\\
&=\lambda_1 v_1+\dots +\lambda _k v_k=0.
\end{align*}

Por otro lado, si multiplicamos a la igualdad $v_1+\dots+v_k=0$ por $\lambda_k$ de ambos lados llegamos a

\begin{align*}
\lambda_k v_1+\dots +\lambda _k v_k=0.
\end{align*}

Sustrayendo y factorizando estas dos igualdades se sigue que

\begin{align*}
(\lambda_k -\lambda_1)v_1+\dots +(\lambda_k-\lambda_{k-1})v_{k-1}=0.
\end{align*}

Esto es una combinación lineal de los primeros $k-1$ vectores $v_i$ igualada a cero. Luego, la hipótesis inductiva nos dice que $(\lambda_k-\lambda_i)v_i=0$ para todo $i=1,\dots, k-1$. Como $\lambda_k\neq \lambda_i$ entonces $\lambda_k-\lambda_i\neq 0$ y entonces $v_i=0$. Sustituyendo en la igualdad original, esto implica que $v_k=0$ inmediatamente.

$\square$

Enseguida veremos que si formamos un polinomio $P(T)$, entonces $P(\lambda)$ es un eigenvalor de $P(T)$ para cualquier eigenvalor $\lambda$ de $T$. Esto lo veremos en el siguiente problema.

Problema. Sea $\lambda$ un eigenvalor de $T:V\to V$ y sea $P$ un polinomio en una variable con coeficientes en $F$. Demuestra que $P(\lambda)$ es un eigenvalor de $P(T)$.

Solución. Como $\lambda$ es un eigenvalor de $T$, existe $v$ un vector no cero tal que $T(v)=\lambda v$. Inductivamente, se cumple que $T^{k}(v)=\lambda^{k} v$. En efecto

\begin{align*}
T^{k+1}(v)&=T(T^{k}(v))\\
&= T(\lambda^{k} v)\\
&= \lambda^{k}T(v)\\
&=\lambda^{k+1}v.
\end{align*}

Usando esto, si $P(X)=a_n X^{n}+\dots+a_1 X+a_0$ se tiene que

\begin{align*}
P(T)(v)&= a_nT^{n}(v)+\dots +a_1 T(v)+ a_0 v\\
&= a_n\lambda^{n}v+\dots +a_1\lambda v+a_0v\\
&= (a_n\lambda^{n}+\dots +a_1\lambda +a_0)v\\
&= P(\lambda) v.
\end{align*}

Esto muestra que $P(\lambda)$ es un eigenvalor de $P(T)$.

$\square$

Relación con el polinomio mínimo

Una consecuencia del problema previo es la siguiente proposición.

Proposición. Sea $A\in M_n(\mathbb{C})$ una matriz y $P\in \mathbb{C}[X]$ un polinomio tal que $P(A)=O_n$. Entonces cualquier eigenvalor $\lambda$ de $A$ satisface $P(\lambda)=0$.

Solución. Por el problema anterior, $P(\lambda)$ es un eigenvalor de $P(A)$, pero $P(A)=O_n$ y el único eigenvalor de la matriz cero es $0$. Luego $P(\lambda)=0$.

$\square$

De esto, podemos por fin establecer una conexión con el polinomio mínimo, que enunciamos en forma de teorema.

Teorema. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal sobre un espacio de dimensión finita sobre un campo $F$. Los eigenvalores de $T$ son precisamente las raíces en $F$ del polinomio mínimo $\mu_T$.

Demostración. Dado que $\mu_T(T)=0$, el problema que acabamos de resolver nos dice que todos los eigenvalores de $T$ son raíces de $\mu_T$.

Conversamente, supongamos que existe $\lambda$ una raíz de $\mu_T$ que no es eigenvalor. Entonces la transformación $T-\lambda \operatorname{Id}$ es invertible. Como $\mu_T(\lambda)=0$, podemos factorizar la raíz y escribir $\mu_T(X)=(X-\lambda)Q(X)$ para algún $Q\in F[X]$. Dado que $\mu_T(T)=0$ deducimos que

\begin{align*}
(T-\lambda \operatorname{Id})\circ Q(T)=0.
\end{align*}

Recordando una vez más que $T-\lambda \operatorname{Id}$ es invertible, esta ecuación implica que $Q(T)=0$. Ya que $\mu_T$ es el polinomio mínimo, por una propiedad que mostramos anteriormente obtendríamos que $\mu_T$ divide a $Q$. Pero esto se contradice con la igualdad $\mu_T(X)=(X-\lambda)Q(X)$, que nos dice que $\mu_T$ tiene grado mayor. Esto concluye la demostración.

$\square$

Ejercicios

Terminamos con un par de ejercicios para repasar el material de estas secciones. El primero de entre ellos toma prestados nombres de la probabilidad (lo lo cuál puede sugerirte en qué tipo de texto te podrías encontrar con estas matrices).

Problema. Una matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ se dice estocástica si $a_{ij}\geq 0$ para todo $i,j\in \{1,\dots, n\}$ y $\sum_{j=1}^{n} a_{ij}=1$ para todo $i\in \{1,\dots, n\}$.

Demuestra que $1$ es un eigenvalor de cualquier matriz estocástica.

Solución. Consideremos el vector $v=(1,\dots, 1)$. Nota que

\begin{align*}
A\cdot v&= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} &\dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1\\
1\\
\vdots\\
1
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
a_{11}+a_{12}+\dots+a_{1n}\\
a_{21}+a_{22}+\dots+a_{2n}\\
\vdots\\
a_{n1}+a_{n2}+\dots+a_{nn}
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
\vdots\\
1\end{pmatrix}.
\end{align*}

Es decir $A\cdot v=v$, por lo que $v$ es un eigenvector de $A$ con eigenvalor asociado $1$.

$\square$

Problema. Sea $V$ el espacio de todos los polinomios con coeficientes reales. Sea $T:V\to V$ la transformación lineal dada por $P(X)\mapsto P(1-X)$. ¿Cuáles son los eigenvalores de $T$?

Solución. Observa que
\begin{align*}T^2(P)&=T\circ T(P)\\&= T(P(1-X))\\&= P(1-(1-X))\\&= P(X).\end{align*} Así $T^2=\operatorname{Id}$, o bien $T^2-\text{Id}=0$. Luego, el polinomio mínimo $\mu_T$ tiene que dividir al polinomio $X^2-1$. Sin embargo, los únicos factores de este polinomio son $X-1$ y $X+1$. Dado que $T\neq \pm \operatorname{Id}$ se tiene que $\mu_T(X)=X^2-1$. Por el último teorema que vimos, los eigenvalores de $T$ son precisamente las raíces de $\mu_T$ en $\mathbb{R}$, es decir $\pm 1$.

$\square$

Más adelante…

En las entradas subsecuentes iremos más a fondo en el concepto de polinomio característico, para eventualmente llegar al teorema de Cayley-Hamilton. Para eso tendremos que equiparnos de bastante teoría y repasar varias propiedades de dicho polinomio.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sea $V$ el espacio de polinomios con coeficientes reales de grado a lo más $n$. Encuentra los eigenvalores de la transformación $T:P(X)\mapsto P(X)-(1+X)P'(X)$.
  • Si $V$ es el espacio de polinomios con coeficientes reales, encuentra los eigenvalores de $T:P(X)\mapsto P(3X)$.
  • Sean $A,B$ matrices en $M_n(\mathbb{C})$ tales que $AB-BA=B$. Demuestra que para todo $k\geq 1$ se cumple que $AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}$ y de esto deduce que $B$ es nilpotente: existe $m$ tal que $B^{m}=0$. Sugerencia: ¿Cuántos eigenvalores puede tener $T:X\mapsto AX-XA$?
  • ¿Puedes generalizar el último problema de la sección de matrices triangulares superiores?
  • Sea $A$ una matriz cuadrada con entradas reales. Supón que $\lambda$ es un real positivo que es eigenvalor de $A^2$. Demuestra que $\sqrt{\lambda}$ o $-\sqrt{\lambda}$ es un eigenvalor de $A$. ¿Sucederá a veces que sólo una de estas es eigenvalor?

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Seminario de Resolución de Problemas: Polinomios asociados a matrices y el teorema de Cayley-Hamilton

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Para terminar esta serie de entradas de álgebra lineal, y con ello el curso de resolución de problemas, hablaremos de polinomios especiales asociados a una matriz: el polinomio mínimo y el polinomio característico. Después, hablaremos del teorema de Cayley-Hamilton, que a grandes rasgos dice que una matriz se anula en su polinomio característico.

Estos resultados forman parte fundamental de la teoría que se aprende en un curso de álgebra lineal. En resolución de problemas, ayudan mucho para entender a los eigenvalores de una matriz, y expresiones polinomiales de matrices.

Polinomio mínimo de una matriz

Podemos evaluar un polinomio en una matriz cuadrada de acuerdo a la siguiente definición.

Definición. Si $A$ es una matriz de $n\times n$ con entradas reales y $p(x)$ es un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ de la forma $$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n,$$ definimos a la matriz $p(A)$ como la matriz $$a_0I_n+a_1A+a_2A^2+\ldots+a_nA^n.$$

De manera análoga se puede dar una definición cuando las entradas de la matriz, o los coeficientes del polinomio, son números complejos.

Cuando una matriz está diagonalizada, digamos $A=P^{-1}DP$ con $P$ invertible y $D$ diagonal, entonces evaluar polinomios en $A$ es sencillo. Se tiene que $p(A)=P^{-1} p(D) P$, y si las entradas en la diagonal principal de $D$ son $d_1,\ldots,d_n$, entonces $p(D)$ es diagonal con entradas en la diagonal principal iguales a $p(d_1),\ldots,p(d_n)$.

Dada una matriz $A$, habrá algunos polinomios $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ para los cuales $p(A)=0$. Si $p(x)$ es uno de estos, entonces cualquier eigenvalor de $A$ debe ser raíz de $p(x)$. Veamos un problema de la International Mathematics Competition de 2011 que usa esto. Es el Problema 2 del día 1.

Problema. Determina si existe una matriz $A$ de $3\times 3$ con entradas reales tal que su traza es cero y $A^2+ {^tA} = I_3$.

Sugerencia pre-solución. Busca un polinomio $p(x)$ tal que $p(A)=0$.

Solución. La respuesta es que no existe dicha matriz. Procedamos por contradicción. Si existiera, podríamos transponer la identidad dada para obtener que
\begin{align*}
A&=I _3- {^t(A^2)}\\
&=I_3-({^tA})^2\\
&=I_3-(I_3 – A^2)^2\\
&=2A^2 – A^4.
\end{align*}

De aquí, tendríamos que $A^4-2A^2+A = 0$, de modo que cualquier eigenvalor de $A$ debe ser una raíz del polinomio $$p(x)=x^4-2x^2+x=x(x-1)(x^2+x-1),$$

es decir, debe ser alguno de los números $$0,1,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}.$$

Los eigenvalores de $A^2$ son los cuadrados de los eigenvalores de $A$, así que son algunos de los números $$0,1,\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}.$$

Como la traza de $A$ es $0$, la suma de sus tres eigenvalores (con multiplicidades), debe ser $0$. Como la traza de $A^2$ es la de $I_3-{ ^tA}$, que es $3$, entonces la suma de los eigenvalores de $A$ al cuadrado (con multiplicidades), debe ser $0$. Un sencillo análisis de casos muestra que esto no es posible.

$\square$

De entre los polinomios que se anulan en $A$, hay uno especial. El polinomio mínimo de una matriz $A$ con entradas reales es el polinomio mónico $\mu_A(x)$ de menor grado tal que $\mu_A(A)=O_n$, donde $O_n$ es la matriz de $n\times n$ con puros ceros. Este polinomio siempre es de grado menor o igual a $n$.

Una propiedad fundamental del polinomio mínimo de una matriz es que es mínimo no sólo en un sentido de grado, sino también de divisibilidad.

Teorema. Sea $A$ una matriz de $n\times n$ con entradas reales. Entonces para cualquier polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ tal que $p(A)=O_n$, se tiene que $\mu_A(x)$ divide a $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$.

Veamos cómo se puede usar este resultado.

Problema. La matriz $A$ de $2\times 2$ con entradas reales cumple que $$A^3-A^2+A=O_2.$$ Determina los posibles valores que puede tener $A^2-A$.

Sugerencia pre-solución. Encuentra las posibles opciones que puede tener el polinomio mínimo de $A$ y haz un análisis de casos con respecto a esto.

Solución. La matriz $A$ se anula en el polinomio $$p(x)=x^3-x^2+x=x(x^2-x+1),$$ en donde $x^2-x+1$ tiene discriminante negativo y por lo tanto es irreducible.

El polinomio mínimo $\mu_A(x)$ debe ser un divisor de $p(x)$. Además, es de grado a lo más $2$. Esto nos deja con las siguientes opciones:

  • $\mu_A(x)=x$, de donde $A=O_2$, y por lo tanto $A^2=O_2$. De aquí, $A^2-A=O_2$.
  • $\mu_A(x)=x^2-x+1$. En este caso, tenemos que $A^2-A+I_2=0$. Así, $A^2-A=-I_2$.

Para mostrar que ambas opciones son posibles, en el primer caso usamos $A=O_2$ y en el segundo caso usamos $$A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

$\square$

Polinomio característico de una matriz

El polinomio característico de una matriz $A$ de $n\times n$ se define como $$\chi_A(x)=\det(xI_n – A).$$

Teorema. El polinomio característico de una matriz $A$ cumple que:

  • Es un polinomio mónico en $x$ de grado $n$.
  • El coeficiente del término de grado $n-1$ es la traza de $A$.
  • El coeficiente libre es $\chi_A(0)=(-1)^n\det(A)$.
  • Es igual al polinomio característico de cualquier matriz similar a $A$.

Para ver ejemplos de cómo obtener el polinomio característico y cómo usar sus propiedades, hacemos referencia a la siguiente entrada:

Propiedades del polinomio característico

En particular, para fines de este curso, es importante leer los ejemplos y problemas resueltos de esa entrada.

El teorema de Cayley-Hamilton y una demostración con densidad

Finalmente, hablaremos de uno de los resultados fundamentales en álgebra lineal.

Teorema (Cayley-Hamilton). Si $A$ es una matriz de $n\times n$ con entradas en $\mathbb{C}$ y $\chi_A(x)$ es su polinomio característico, entonces $$\chi_A(A)=O_n.$$

En realidad el teorema de Cayley-Hamilton es válido para matrices más generales. Daremos un esbozo de demostración sólo para matrices con entradas complejas pues eso nos permite introducir una técnica de perturbaciones.

Esbozo de demostración. Vamos a hacer la técnica de la bola de nieve, construyendo familias poco a poco más grandes de matrices que satisfacen el teorema.

Si $A$ es una matriz diagonal, las entradas en su diagonal son sus eigenvalores $\lambda_1,\ldots, \lambda_n$. Por la discusión al inicio de esta entrada, $\chi_A(A)$ es diagonal con entradas $\chi_A(\lambda_1),\ldots,\chi_A(\lambda_n)$, y como los eigenvalores son raíces del polinomio característico, entonces todos estos valores son $0$, y por lo tanto $\chi_A(A)=0$.

Si $A$ es diagonalizable, digamos, de la forma $A=P^{-1} D P$, entonces $A$ y $D$ tienen el mismo polinomio característico. Por la discusión al inicio de la entrada, y por el caso anterior:
\begin{align*}
\chi_A(A) &= \chi_D(A)\\
&= \chi_D(P^{-1} D P)\\
&=P^{-1}\chi_D(D) P\\
&=P^{-1}O_n P \\
&=O_n.
\end{align*}

Si $A$ tiene todos sus eigenvalores distintos, se puede mostrar que $A$ es diagonalizable. Ahora viene la idea clave del argumento de continuidad.

Pensemos al espacio métrico de matrices de $n\times n$. Afirmamos que las matrices con eigenvalores todos distintos son densas en este espacio métrico. Para ello, tomemos una matriz $A$. En efecto, como estamos trabajando en $\mathbb{C}$, existe una matriz invertible $P$ tal que $P^{-1}A P$ es triangular. Como $P$ es invertible, define una transformación continua. Los eigenvalores de $P^{-1} A P$ son sus entradas en la diagonal, y podemos perturbarlos tan poquito como queramos para hacer que todos sean distintos.

De esta forma, existe una sucesión de matrices $A_k$, todas ellas diagonalizables, tales que $A_k \to A$ conforme $k\to \infty$. El resultado se sigue entonces de las siguientes observaciones:

  • Los coeficientes del polinomio característico de una matriz dependen continuamente de sus entradas.
  • Las entradas de potencias de una matriz dependen continuamente de sus entradas.
  • Así, la función $\chi_{M}(M)$ es continua en la matriz variable $M$.

Concluimos como sigue $\chi_{A_k}(A_k)=0$, por ser cada una de las matrices $A_k$ diagonalizables. Por la continuidad de $\chi_{M}(M)$, tenemos que
\begin{align*}
\chi_A(A)&=\lim_{k\to \infty} \chi_{A_k}(A_k)\\
&= \lim_{k\to \infty} O_n \\
&= O_n.
\end{align*}

$\square$

Terminamos esta entrada con un problema que usa el teorema de Cayley-Hamilton.

Problema. Muestra que para cualesquiera matrices $X,Y,Z$ de $2\times 2$ con entradas reales se cumple que
\begin{align*}
&ZXYXY + ZYXYX + XYYXZ + YXXYZ\\
= &XYXYZ + YXYXZ + ZXYYX + ZYXXY.
\end{align*}

Sugerencia pre-solución. Muestra que las matrices reales de $2\times 2$ de traza cero conmutan con cualquier matriz de $2\times 2$.

Solución. Si $A$ es una matriz de $2\times 2$ de traza cero, su polinomio característico es
\begin{align*}
\chi_A(x)&=x^2 – \text{tr}(A) x + \det(A)\\
&=x^2 + \det(A).
\end{align*}

Por el teorema de Cayley-Hamilton, se satisface entonces que $A^2=-\det(A) I_2$, así que $A^2$ es un múltiplo de la identidad, y por lo tanto conmuta con cualquier matriz de $2\times 2$.

La identidad que queremos mostrar se puede reescribir como $$Z(XY-YX)^2 = (XY-YX)^2Z.$$

La traza de $XY$ es igual a la traza de $YX$, y como la traza es una transformación lineal, tenemos que $$\text{tr}(XY-YX)= \text{tr}(XY)-\text{tr}(YX)=0.$$ El problema se termina aplicando la discusión de arriba a la matriz $$A=XY-YX.$$

$\square$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas relacionados con el polinomio mínimo, el polinomio característico y el teorema de Cayley-Hamilton en la Sección 8.2, 8.4 y 8.5 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu. También hay más problemas relacionados con el teorema de Cayley-Hamilton en el Capítulo 4 del libro Mathematical Bridges de Andreescu, Mortici y Tetiva.