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Álgebra Superior I: Determinante de matrices y propiedades

Por Eduardo García Caballero

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Introducción

Uno de los conceptos más importantes en el álgebra lineal es la operación conocida como determinante. Si bien este concepto se extiende a distintos objetos, en esta entrada lo revisaremos como una operación que se puede aplicar a matrices cuadradas. Como veremos, el determinante está muy conectado con otros conceptos que hemos platicado sobre matrices

Definición para matrices de $2\times 2$

A modo de introducción, comenzaremos hablando de determinantes para matrices de $2\times 2$. Aunque este caso es sencillo, podremos explorar algunas de las propiedades que tienen los determinantes, las cuales se cumplirán de manera más genera. Así, comencemos con la siguiente definición.

Definición. Para una matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, definimos su determinante como
\[
\operatorname{det}(A) = ad – bc.
\]

Basándonos en esta definición, podemos calcular los determinantes
\[
\operatorname{det}
\begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}=9\cdot 2 – 3\cdot 5 = 3
\]
y
\[
\operatorname{det}
\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 12 & -9 \end{pmatrix}
=
4\cdot (-9)-(-3)\cdot 12= 0.
\]

Otra notación que podemos encontrar para determinantes es la notación de barras. Lo que se hace es que la matriz se encierra en barras verticales, en vez de paréntesis. Así, los determinantes anteriores también se pueden escribir como
\[
\begin{vmatrix} 9 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 3
\qquad
\text{y}
\qquad
\begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 12 & -9 \end{vmatrix} = 0.
\]

Primeras propiedades del determinante

El determinante de una matriz de $2\times 2$ ayuda a detectar cuándo una matriz es invertible. De hecho, esto es algo que vimos previamente, en la entrada de matrices invertibles. En ella, dijimos que una matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ es invertible si y sólo si se cumple que $ad – bc \ne 0$. ¡Aquí aparece el determinante! Podemos reescribir el resultado de la siguiente manera.

Teorema. Una matriz de la forma $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ es invertible si y sólo si $\det(A) \ne 0$. Cuando el determinante es distinto de cero, la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Otra propiedad muy importante que cumple el determinante para matrices de $2\times 2$ es la de ser multiplicativo; es decir, para matrices $A$ y $B$ se cumple que $\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)$. La demostración de esto se basa directamente en las definiciones de determinante y de producto de matrices. Hagamos las cuentas a continuación para matrices $A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}.$

Tenemos que:
\begin{align*}
\operatorname{det}(AB)
&=
\operatorname{det}
\left(
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\right)
\\[5pt]
&=
\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
(a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21})(a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22})-(a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22})(a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21})
\\[5pt]
&=
a_{11}a_{22}b_{11}b_{22} – a_{12}a_{21}b_{11}b_{22} – a_{11}a_{22}b_{12}b_{21} + a_{12}a_{21}b_{12}b_{21}
\\[5pt]
&=
(a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21})(b_{11}b_{22} – b_{12}b_{21})
\\[5pt]
&=
\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B).
\end{align*}

Interpretación geométrica del determinante de $2\times 2$

El determinante también tiene una interpretación geométrica muy interesante. Si tenemos una matriz de $2\times 2$, entonces podemos pensar a cada una de las columnas de esta matriz como un vector en el plano. Resulta que el determinante es igual al área del paralelogramo formado por estos vectores.

Por ejemplo, si consideramos la matriz
\[
\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},
\]
podemos ver que el vector asociado a su primera columna es el vector $(4,1)$, mientras que el vector asociado a su segunda columna es $(2,3)$:

Así, el paralelogramo $ABDC$ de la figura anterior formado por estos dos vectores tiene área igual a
\[
\operatorname{det}
\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
= 4\cdot 3 – 2\cdot 1 = 10.
\]

No daremos la demostración de este hecho, pues se necesita hablar más sobre la geometría del plano. Sin embargo, las ideas necesarias para este resultado pueden consultarse en un curso de Geometría Analítica I.

Definición recursiva

También nos interesa hablar de determinantes de matrices más grandes. De hecho, nos interesa hablar del determinante de cualquier matriz cuadrada. La definición formal requiere de varios conocimientos de Álgebra Lineal I. Sin embargo, por el momento podemos platicar de cómo se obtienen los determinantes de matrices recursivamente. Con esto queremos decir que para calcular el determinante de matrices de $3\times 3$, necesitaremos calcular varios de matrices de $2\times 2$. Así mismo, para calcular el de matrices de $4\times 4$ requeriremos calcular varios de matrices de $3\times 3$ (que a su vez requieren varios de $2\times 2$).

Para explicar cómo es esta relación de poner determinantes de matrices grandes en términos de matrices más pequeñas, primeramente definiremos la función $\operatorname{sign}$, la cual asigna a cada pareja de enteros positivos $(i,j)$ el valor
\[
\operatorname{sign}(i,j) = (-1)^{i+j}.
\]
A partir de la función $\operatorname{sign}$ podemos hacer una matriz cuya entrada $a_{ij}$ es $\operatorname{sign}(i,j)$. Para visualizarla más fácilmente, podemos pensar que a la entrada $a_{11}$ (la cual se encuentra en la esquina superior izquierda) le asigna el signo “$+$”, y posteriormente va alternando los signos del resto de entradas. Por ejemplo, los signos correspondientes a las entradas de la matriz de $3 \times 3$
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
\]
serían
\[
\begin{pmatrix}
+ & – & + \\
– & + & – \\
+ & – & +
\end{pmatrix},
\]
mientras que los signos correspondientes a las entradas de la matriz de $4 \times 4$
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{pmatrix}
\]
serían
\[
\begin{pmatrix}
+ & – & + & – \\
– & + & – & + \\
+ & – & + & – \\
– & + & – & +
\end{pmatrix}.
\]

Ya que entendimos cómo se construyen estas matrices, el cálculo de determinantes se realiza como sigue.

Estrategia. Realizaremos el cálculo de determinante de una matriz de $n \times n$ descomponiéndola para realizar el cálculo de determinantes de matrices de $(n-1) \times (n-1)$. Eventualmente llegaremos al calcular únicamente determinantes de matrices de $2 \times 2$, para las cuales ya tenemos una fórmula. Para esto, haremos los siguientes pasos repetidamente.

  1. Seleccionaremos una fila o columna arbitraria de la matriz original (como en este paso no importa cuál fila o columna seleccionemos, buscaremos una que simplifique las operaciones que realizaremos; generalmente nos convendrá seleccionar una fila o columna que cuente en su mayoría con ceros).
  2. Para cada entrada $a_{ij}$ en la fila o columna seleccionada, calculamos el valor de
    \[
    \operatorname{sign}(i,j) \cdot a_{ij} \cdot \operatorname{det}(A_{ij}),
    \]
    donde $A_{ij}$ es el la matriz que resulta de quitar la fila $i$ y la columna $j$ a la matriz original.
  3. El determinante de la matriz será la suma de todos los términos calculados en el paso anterior.

Veamos algunos ejemplos de cómo se utiliza la estrategia recién descrita.

Ejemplo con matriz de $3\times 3$

Consideremos la matriz de $3 \times 3$
\[
\begin{pmatrix}
3 & 1 & -1 \\
6 & -1 & -2 \\
4 & -3 & -2
\end{pmatrix}.
\]

A primera vista no hay alguna fila o columna que parezca simplificar los cálculos, por lo cual podemos proceder con cualquiera de estas; nosotros seleccionaremos la primera fila.
\[
\begin{pmatrix}
\fbox{3} & \fbox{1} & \fbox{-1} \\
6 & -1 & -2 \\
4 & -3 & -2
\end{pmatrix}.
\]

Para cada término de la primera fila, calculamos el producto
\[
\operatorname{sign}(i,j) \cdot a_{ij} \cdot \operatorname{det}(A_{i,j}),
\]
obteniendo
\begin{align*}
\operatorname{sign}(1,1) \cdot (a_{11}) \cdot \operatorname{det}(A_{11})
&= +(3)\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
\blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
\blacksquare & -1 & -2 \\
\blacksquare & -3 & -2
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&= +(3)\operatorname{det} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}
\\[5pt]
&= +(3)[(-1)(-2) – (-2)(-3)]
\\[5pt]
&= +(3)(-4)
\\[5pt]
&= -12,
\\[10pt]
\operatorname{sign}(1,2) \cdot (a_{12}) \cdot \operatorname{det}(A_{12})
&= -(1)\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
\blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
6 & \blacksquare & -2 \\
4 & \blacksquare & -2
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&= -(1)\operatorname{det}
\begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}
\\[5pt]
&=-(1)[(6)(-2) – (-2)(4)]
\\[5pt]
&=-(1)(-4)
\\[5pt]
&=4,
\\[10pt]
\operatorname{sign}(1,3) \cdot (a_{13}) \cdot \operatorname{det}(A_{13})
&= +(-1)\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
\blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
6 & -1 & \blacksquare \\
4 & -3 & \blacksquare
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&= +(-1)\operatorname{det} \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}
\\[5pt]
&= +(-1)[(6)(-3) – (-1)(4)]
\\[5pt]
&= +(-1)(-14)
\\[5pt]
&= 14.
\end{align*}

Finalmente, el determinante de nuestra matriz original será la suma de los términos calculados; es decir,
\[
\begin{pmatrix}
3 & 1 & -1 \\
6 & -1 & -2 \\
4 & -3 & -1
\end{pmatrix}
=
(-12) + (4) + (14) = 6.
\]

Ejemplo con matriz de $4\times 4$

En el siguiente ejemplo veremos cómo el escoger una fila o columna en específico nos puede ayudar a simplificar mucho los cálculos.

Consideremos la matriz
\[
\begin{pmatrix}
4 & 0 & 2 & 2 \\
-1 & 3 & -2 & 5 \\
-2 & 0 & 2 & -3 \\
1 & 0 & 4 & -1
\end{pmatrix}.
\]

Observemos que el valor de tres de las entradas de la segunda columna es $0$. Por esta razón, seleccionaremos esta columna para descomponer la matriz:
\[
\begin{pmatrix}
4 & \fbox{0} & 2 & 2 \\
-1 & \fbox{3} & -2 & 5 \\
-2 & \fbox{0} & 2 & -3 \\
1 & \fbox{0} & 4 & -1
\end{pmatrix}.
\]

El siguiente paso será calcular el producto
\[
\operatorname{sign}(i,j) \cdot a_{ij} \cdot \operatorname{det}(A_{ij}),
\]
para cada entrada de esta columna. Sin embargo, por la elección de columna que hicimos, podemos ver que el valor de $a_{ij}$ es 0 para tres de las entradas, y por tanto también lo es para el producto que deseamos calcular. De este modo, únicamente nos restaría calcular el producto
\begin{align*}
\operatorname{sign}(2,2) \cdot a_{22} \cdot \operatorname{det}(A_{22})
&=
+(3)\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
4 & \blacksquare & 2 & 2 \\
\blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
-2 & \blacksquare & 2 & -3 \\
1 & \blacksquare & 4 & -1
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&= +(3)\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
4 & 2 & 2 \\
-2 & 2 & -3 \\
1 & 4 & -1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Se queda como ejercicio al lector concluir que el resultado de este último producto es 30.

De este modo, obtenemos que
\[
\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
4 & 0 & 2 & 2 \\
-1 & 3 & -2 & 5 \\
-2 & 0 & 2 & -3 \\
1 & 0 & 4 & -1
\end{pmatrix}
= 0 + 30 + 0 + 0 = 30.
\]

Aunque esta definición recursiva nos permite calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier tamaño, rápidamente se vuelve un método muy poco práctico (para obtener el determinante de una matriz de $6 \times 6$ tendríamos que calcular hasta 60 determinantes de matrices de $2 \times 2$). En el curso de Álgebra Lineal I se aprende otra definición de determinante a través de permutaciones, de las cuales se desprenden varios métodos más eficientes para calcular determinante. Hablaremos un poco de estos métodos en la siguiente entrada.

Las propiedades de $2\times 2$ también se valen para $n\times n$

Las propiedades que enunciamos para matrices de $2\times 2$ también se valen para determinantes de matrices más grandes. Todo lo siguiente es cierto, sin embargo, en este curso no contamos con las herramientas para demostrar todo con la formalidad apropiada:

  • El determinante es multiplicativo: Si $A$ y $B$ son matrices de $n\times n$, entonces $\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B)$.
  • El determinante detecta matrices invertibles: Una matriz $A$ de $n\times n$ es invertible si y sólo si su determinante es distinto de $0$.
  • El determinante tiene que ver con un volumen: Los vectores columna de una matriz $A$ de $n\times n$ hacen un paralelepípedo $n$-dimensional cuyo volumen $n$-dimensional es justo $\det{A}$.

Más adelante…

En esta entrada conocimos el concepto de determinante de matrices, vimos cómo calcularlo para matrices de distintos tamaños y revisamos cómo se interpreta cuando consideramos las matrices como transformaciones de flechas en el plano. En la siguiente entrada enunciaremos y aprenderemos a usar algunas de las propiedades que cumplen los determinantes.

Tarea moral

  1. Calcula los determinantes de las siguientes matrices:
    • $\begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 10 & 11 \\ -1 & 9 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 31 & 38 \\ 13 & -29 \end{pmatrix}$
    • $\begin{pmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 3 & -1 & 8 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 8 & 4 \\ 0 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$
    • $\begin{pmatrix} 5 & 7 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 2 & -2 \\ 5 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{pmatrix}$
  2. Demuestra que para una matriz $A$ y un entero positivo $n$ se cumple que $\det(A^n)=\det(A)^n$.
  3. Sea $A$ una matriz de $3\times 3$. Muestra que $\det(A)=\det(A^T)$.
  4. Sea $A$ una matriz invertible de $2\times 2$. Demuestra que $\det(A)=\det(A^{-1})^{-1}$.
  5. ¿Qué le sucede al determinante de una matriz $A$ cuando intercambias dos filas? Haz algunos experimentos para hacer una conjetura, y demuéstrala.

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Álgebra Lineal I: Propiedades de determinantes

Por Ayax Calderón

6 respuestas

Introducción

Para esta entrada enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades más importantes de los determinantes tanto para transformaciones lineales como para matrices. Estas propiedades de determinantes y en general el concepto de determinante tiene numerosas aplicaciones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo de volúmenes $n-$dimensionales o el wronskiano en ecuaciones diferenciales, sólo por mencionar algunos, por eso es importante analizar a detalle el determinante de los distintos tipos de matrices y transformaciones lineales que conocemos.

Como recordatorio, veamos qué hemos hecho antes de esta entrada. Primero, transformaciones multilineales. De ellas, nos enfocamos en las que son alternantes y antisimétricas. Definimos el determinante para un conjunto de vectores con respecto a una base, y vimos que, en cierto sentido, son las únicas formas $n$-lineal alternantes en un espacio vectorial de dimensión $n$. Gracias a esto, pudimos mostrar que los determinantes para transformaciones lineales están bien definidos, y con ellos motivar la definición de determinante para matrices.

El determinante es homogéneo

La primera de las propiedades de determinantes que enunciaremos tiene que ver con «sacar escalares» del determinante.

Teorema. Sea $A$ una matriz en $M_n(F)$.

  1. Si multiplicamos un renglón o una columna de $A$ por un escalar $\lambda$, entonces su determinante se multiplica por $\lambda$.
  2. Se tiene que $\det(\lambda A)=\lambda^n A$.

Demostración. 1. Sea $A_j$ la matriz obtenida me multiplicar el $j$-ésimo renglón por $\lambda$. Siguiendo la definición de determinante vista en la entrada de ayer (determinantes de matrices) vemos que
\begin{align*}
\det A_j&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots \lambda a_{j\sigma(j)}\dots a_{n\sigma(n)}\\
&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)\lambda a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}\\
&= \lambda \det A.
\end{align*}

La demostración para la $j$-ésima columna queda como tarea moral.

2. Sea $\lamda A=[\lambda a_{ij}]$, entonces por definición tenemos

\begin{align*}
\det (\lambda A)&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)(\lambda a_{1\sigma(1)})\dots (\lambda a_{n\sigma(n)})\\
&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)\lambda^n a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}\\
&=\lambda^n \cdot \det A
\end{align*}

De manera alternativa, podemos aplicar el primer inciso $n$ veces, una por cada renglón.

$\square$

Aquí arriba hicimos la prueba explícita a partir de la definición. Una forma alternativa de proceder es notar que el determinante de una matriz es precisamente el determinante $\det$ (de vectores) con respecto a la base canónica de $F^n$ evaluada en los renglones de $A$. Al multiplicar uno de los renglones por $\lambda$, el vector entrada de $\det$ se multiplica por $\lambda$. El resultado se sigue inmediatamente de que $\det$ es una forma $n$-lineal.

El determinante es multiplicativo

Quizás de entre las propiedades de determinantes, la más importante es que es multiplicativo. Mostraremos esto a continuación.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y transformaciones lineales $T_1:V\to V$, $T_2:V\to V$. Se tiene que $$\det(T_1\circ T_2) = \det T_1\cdot \det T_2.$$

Demostración. Sea $(v_1,\dots , v_n)$ una base cualquiera de $V$. Del resultado visto en la entrada anterior y la definición de determinante, se sigue que
\begin{align*}
\det (T_1 \circ T_2)&= \det _{(v_1,\dots , v_n)}(T_1(T_2(v_1)),\dots , T_1(T_2(v_n)))\\
&=\det T_1 \cdot \det_{(v_1,\dots , v_n)}(T_2(v_1), \dots , T_2(v_n))\\
&= \det T_1 \cdot \det T_2.
\end{align*}

$\square$

Observa cómo la demostración es prácticamente inmediata, y no tenemos que hacer ningún cálculo explícito en términos de coordenadas. La demostración de que el determinante es multiplicativo para las matrices también es muy limpia.

Teorema. Sean $A$ y $B$ matrices en $M_n(F)$. Se tiene que $$\det(AB)=\det A \cdot \det B.$$

Demostración. Sean $V=F^n$, $T_1:V\to V$ la transformación lineal definida por $x\mapsto Ax$ y similarmente $T_2:V\to V$ la transformación lineal definida por $x\mapsto Bx$. Sabemos que $A, B, AB$ son las matrices asociadas a $T_1, T_2, T_1\circ T_2$ con respecto a la base canónica, respectivamente.

Recordemos que para una transformación lineal $T$ en $V$, $\det T = \det A_T$, para una matriz que la represente en cualquier base. Entonces

\begin{align*}
\det(AB)&=\det A_{T_1\circ T_2}\\
&= \det T_1\circ T_2\\
&=\det T_1 \cdot \det T_2\\
&=\det A_{T_1} \cdot \det A_{T_2} \\
&= \det A \cdot \det B.
\end{align*}

$\square$

Nota que hubiera sido muy complicado demostrar que el determinante es multiplicativo a partir de su definición en términos de permutaciones.

El determinante detecta matrices invertibles

Otra de las propiedades fundamentales del determinante es que nos ayuda a detectar cuándo una matriz es invertible. Esto nos permite agregar una equivalencia más a la lista de equivalencias de matrices invertibles que ya teníamos.

Teorema. Una matriz $A$ en $M_n(F)$ es invertible si y sólo si $\det A\neq 0$.

Demostración. Supongamos que $A$ es invertible, entonces existe $B\in M_n(F)$ tal que $AB=I_n=BA$.
Así,

$1=\det I_n = \det (AB) = \det A \cdot \det B$.

Como el lado izquierdo es $1$, ambos factores del lado derecho son distintos de $0$. Por lo tanto $\det A \neq 0.$ Nota que además esta parte de la prueba nos dice que $\det A^{-1}=(\det A)^{-1}$.

Ahora supongamos que $\det A \neq 0$. Sea $(e_1, \dots , e_n)$ la base canónica de $F^n$ y $C_1,\dots , C_n$ las columnas de $A$. Como $\det_{(e_1,\ldots,e_n)}$ es una forma lineal alternante, sabemos que si $C_1,\ldots,C_n$ fueran linealmente dependientes, la evaluación daría cero. Ya que la columna $C_i$ es la imagen bajo $A$ de $e_i$, entonces

$\det A =\det _{(e_1,\dots , e_n)}(C_1, \dots , C_n) \neq 0$.

Por lo tanto los vectores $C_1, \dots , C_n$ son linealmente independientes y así $\text{rank}(A)=n$. Se sigue que $A$ es una matriz invertible.

$\square$

Determinante de transformación y matriz transpuesta

Una cosa que no es totalmente evidente a partir de la definición de determinante para matrices es que el determinante no cambia si transponemos una matriz o una transformación lineal. Esta es la última de las propiedades de determinantes que probaremos ahora.

Teorema. Sea $A$ una matriz en $M_n(F)$. Se tiene que $$\det({^tA})=\det A.$$

Demostración. Por definición

$\det({^tA})=\displaystyle\sum_{\sigma \in S_n}\text{sign}(\sigma^{-1})a_{\sigma^{-1}(1)1 \dots a_{\sigma^{-1}(n)n}}.$

Luego, para cualquier permutación $\sigma$ se tiene

$$a_{\sigma(1)1}\dots a_{\sigma(n)n}=a_{1\sigma^{-1}(1)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)}$$

pues $a_{i\sigma^{-1}(i)}=a_{\sigma(j)j}$, donde $j=\sigma^{-1}(i)$.
También vale la pena notar que $$\text{sign}(\sigma^{-1})=\text{sign}(\sigma)^{-1}=\text{sign}(\sigma).$$

De lo anterior se sigue que

\begin{align*}
\det({^tA})&=\displaystyle\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma^{-1})a_{1\sigma^{-1}(1)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)}\\
&=\displaystyle\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}\\
&=\det A.
\end{align*}

$\square$

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $T:V\to V$ una transformación lineal. Se tiene que $$\det(^t T) = \det T.$$

Demostración. Sea $A$ la matriz asociada a $T$, entonces $^tA$ es la matriz asociada a $^tT$. Luego $$\det (^tT)=\det (^tA)=\det A = \det T.$$

$\square$

Veamos un ejemplo de un problema en el que podemos aplicar algunas de las propiedades anteriores.

Problema. Sea $A\in M_n(F)$ una matriz antisimétrica para algún $n$ impar. Demuestra que $\det(A)=0$.

Demostración. Como $A=-A^t$, entonces $\det A = \det (- {^tA})$, pero $\det A = \det ({^tA})$.
Se sigue que
\begin{align*}
\det ({^tA}) &= \det (-{^tA})\\
&=(-1)^n \det ({^tA})\\
&=-\det ({^tA}).
\end{align*}

Concluimos $\det (^tA)=0$

$\square$

Más adelante…

En esta entrada enunciamos y demostramos varias propiedades de los determinantes. Ahora, vamos a ponerlas en práctica resolviendo algunos problemas.

En las siguientes entradas, que constituyen la parte final del curso, vamos a hablar de diferentes técnicas para calcular el determinante de una matriz y obtendremos sus eigenvalores y eigenvectores. Vamos a ver cómo esto nos conduce a uno de los teoremas más importantes del curso de Álgebra Lineal I: el teorema espectral.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Muestra que al multiplicar una columna de una matriz por $\lambda$, entonces su determinante se multiplica por $\lambda$.
  • Demuestra que si una matriz tiene dos columnas iguales, entonces su determinante es igual a cero.
  • Analiza cómo es el determinante de una matriz antisimétrica $A\in M_n(F)$ con $n$ par.
  • Formaliza la frase «el determinante detecta transformaciones invertibles» en un enunciado matemático. Demuéstralo.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»