Las leyes de la naturaleza no son más que los pensamientos matemáticos de Dios.
– Euclides
Introducción
Hemos comenzado a desarrollar métodos de resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El tipo de ecuaciones que queremos resolver es
En la entrada anterior vimos que la solución general
La solución homogénea está dada como
Mientras que la solución particular tiene la forma
Donde
Así, la solución general de la ecuación diferencial (
O de forma más compacta
En la entrada anterior mencionamos que hay dos métodos distintos para la obtención de la solución particular, ya presentamos el método por factor integrante, en este entrada vamos a desarrollar el método conocido como variación de parámetros.
Método de variación de parámetros
Sabemos que la solución de la ecuación diferencial homogénea
es
Este resultado nos incita a suponer que para la ecuación no homogénea
la solución particular puede tener la forma
En donde
Sustituyamos la solución propuesta (
De la última igualdad obtenemos que
Integremos ambos lados de la ecuación con respecto a
Si consideramos
Sustituyamos este resultado en la solución particular (
Si consideramos el factor integrante (
Hemos obtenido la misma expresión que usando el método por factor integrante visto en la entrada anterior.
Algunas consideraciones
La solución completa (o solución general) de la ecuación diferencial lineal (
Es posible desarrollar los métodos por factor integrante y variación de parámetros manteniendo las constantes de integración, aunque los cálculos se vuelven más extensos, sin embargo al final todas las constantes que resulten se pueden agrupar en una sola constante
Donde
El resultado (
Finalmente, como ya mencionamos antes, no se recomienda resolver ecuaciones diferenciales usando las formulas obtenidas para las soluciones, sino aplicar cada paso del método correspondiente, sin embargo, a continuación presentamos una serie de pasos que se recomiendan seguir para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Método para resolver ecuaciones lineales
Si bien es cierto que ya conocemos las formas explícitas de las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales, es conveniente seguir una serie de pasos para resolverlas. Dichos pasos se describen a continuación.
- Escribir la ecuación diferencial lineal en la forma canónica
- Calcular el factor integrante
mediante la fórmula
- Multiplicar a la ecuación diferencial en su forma canónica por el factor integrante en ambos lados de la ecuación.
- Identificar que el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de
por y sustituir.
- Integrar la última ecuación y dividir por
para obtener finalmente la solución general . En la última integración sí debemos considerar a la constante de integración.
Esta serie de pasos nos permiten obtener directamente la solución general de la ecuación diferencial lineal, es por ello que en el último paso sí debemos considerar a la constante de integración, dicha constante representa el resultado de juntar todas las contantes que podremos omitir en pasos intermedios.
Realicemos un ejemplo en el que apliquemos este algoritmo de resolución.
Ejemplo: Determinar la solución general de la ecuación diferencial
Solución: El primer paso es escribir a la ecuación diferencial en la forma canónica.
La forma canónica es
Identificamos que
El segundo paso es determinar el factor integrante.
Resolvamos la integral omitiendo la constante de integración.
Sustituimos en el factor integrante.
Por tanto, el factor integrante es
El tercer paso es multiplicar a la ecuación diferencial en su forma canónica por el factor integrante en ambos lados.
El cuarto paso es identificar que
Así que ahora podemos escribir
El quinto y último paso es integrar esta relación por ambos lados con respecto a
Resolvamos la integral.
Omitimos todas las constantes de esta integral. Sustituyendo este resultado obtenemos
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial
es
Donde
Para concluir el análisis de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, presentaremos el teorema de existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones.
Teorema de existencia y unicidad
Ya presentamos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden, podemos usar este resultado para justificar el teorema de existencia y unicidad para el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Demostración: Consideremos la ecuación diferencial
Reescribamos esta ecuación en su forma normal.
Definimos
De manera que
Debido a que en un intervalo de solución
Apliquemos este resultado a la solución general. Consideremos la condición inicial
Apliquemos la condición inicial.
De este resultado se puede despejar a
es solución del problema de valor inicial. Así, para cada
Con esto damos por concluido el desarrollo de métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, en la siguiente entrada comenzaremos a desarrollar métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden que no son lineales.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- De acuerdo al algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
- Una vez que se conoce la solución general de la ecuación diferencial
Resolver los siguientes problemas de valor inicial y analizar cada situación considerando el teorema de existencia y unicidad.
¿Que se puede concluir al respecto?.
Más adelante…
Ya sabemos resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tanto homogéneas como no homogéneas y conocemos el teorema de existencia y unicidad que justifica los métodos que hemos desarrollado.
En la siguiente entrada comenzaremos a desarrollar métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales.
Entradas relacionadas
- Página principal del curso: Ecuaciones Diferenciales l
- Entrada anterior del curso: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden – Método por factor integrante
- Siguiente entrada del curso: Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden – Ecuaciones separables y homogéneas
- Video relacionado al tema: Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante y por variación de parámetros
- Video relacionado al tema: Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»