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Cálculo Diferencial e Integral II: Métodos Numéricos de Integración – Regla de Simpson

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos dos métodos numéricos de integración: el método del punto medio y el método del trapecio. Otra regla de aproximación numérica a las integrales se llama regla de Simpson, el cual consiste en usar parábolas (como se muestra en la figura $1$) en lugar de segmentos de rectas para aproximarse a una curva.

Método de la regla de Simpson

Comencemos deduciendo la regla de Simpson.

Sea una curva dada por $f(x)$ en el plano en un intervalo $[a, b]$, dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos de igual longitud dado como:

$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$

En el que esta vez se requiere que $n$ sea un número par.

Figura 1: Regla de Simpson con aproximaciones parabólicas a la función $f(x)$.

La ecuación de una parábola está dada como:

$$y=Ax^{2}+Bx+C \tag{1}$$

Por lo que su área en el intervalo $[-h, h]$ es:

$$Área=\int_{-h}^{h}(Ax^{2}+Bx+C)dx=\left [ A\frac{x^{3}}{3}+B\frac{x^{2}}{2}+Cx+D \right ]\bigg{|}_{-h}^{h}$$

$$=\left [ A\frac{h^{3}}{3}+B\frac{h^{2}}{2}+Ch+D \right ]- \left [ A\frac{(-h)^{3}}{3}+B\frac{ (-h) ^{2}}{2}+C (-h) +D \right ]$$

$$=\left [ A\frac{h^{3}}{3}+B\frac{h^{2}}{2}+Ch+D \right ]+\left [ A\frac{h^{3}}{3}-B\frac{h^{2}}{2}+Ch-D \right ] $$

$$=\frac{2Ah^{3}}{3}+2Ch=h\frac{(2Ah^{2}+6C)}{3} \tag{2}$$

De la figura $1$ vemos que una de las curvas pasa por los puntos $(-h, y_{0})$, $(0, y_{1})$ y $(h, y_{2})$, evaluando estos puntos en la ecuación cuadrática $(1)$ se obtiene lo siguiente:

$$y_{0}=Ah^{2}-Bh+C$$

$$y_{1}=C$$

$$y_{2}=Ah^{2}+Bh+C$$

Si sumamos estas relaciones como:

$$y_{0}+4y_{1}+y_{2}= Ah^{2}-Bh+C +4C+ Ah^{2}+Bh+C= 2Ah^{2}+6C $$

Podemos expresar el área $(2)$ en términos de $y_{0}$, $y_{1}$ y $y_{2}$, como:

$$A_{1}=\frac{h}{3}(y_{0}+4y_{1}+y_{2})$$

Que es el área debajo de la parábola que pasa por los puntos $(x_{0}=-h, y_{0})$, $(x_{1}=0, y_{1})$ y $(x_{2}=h, y_{2})$, imaginemos que la segunda parábola intercepta en los puntos: $(x_{2}, y_{2})$, $(x_{3}, y_{3})$ y $(x_{4}, y_{4})$ entonces el área de esta segunda parábola es:

$$A_{2}=\frac{h}{3}(y_{2}+4y_{3}+y_{4})$$

Si sumamos todas las áreas hasta un n-esima parábola que se aproxima a la función $f(x)$, tendremos que el área total es:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx S_{n}=\frac{h}{3}(y_{0}+4y_{1}+y_{2})+\frac{h}{3}(y_{2}+4y_{3}+y_{4})+…+\frac{h}{3}(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n})$$

$$=\frac{h}{3}(y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3}+…+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n})$$

Vemos que hay un patrón en los coeficientes:

$$1, \space 4, \space2, \space4, \space2 \space…. \space 2, \space4, \space1$$

Por lo que la regla de Simpson se define como:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{\Delta x}{3}(y_{0}+4y_{1}+y_{2})+\frac{\Delta x}{3}(y_{2}+4y_{3}+y_{4})+…+\frac{\Delta x}{3}(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n})$$

$$=\frac{\Delta x}{3}(y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3}+…+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n}) \tag{3}$$

Con $\Delta x=\frac{b-a}{n}$, $n$ un número par, y los puntos $x_{i}$ los calculamos como:

$$x_{0}=a$$

$$x_{1}=a+\Delta x$$

$$…..$$

$$x_{n-1}=a+(n-1)\Delta x$$

$$x_{n}=b \tag{4}$$

Cota de error para la regla de Simpson

Para la estimación de la cota de error en la regla de Simpson, suponga que $|f^{4}(x)|\leq K$ para $a\leq x\leq b$ con $|f^{4}(x)|$ el valor absoluto de la cuarta derivada de la función. Si $E_{s}$ es el error relacionado con la regla de Simpson, entonces la cota de error para la regla de Simpson es:

$$E_{s}\leq\frac{K(b-a)^{5}}{180n^{4}}$$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

  • Usar la regla de Simpson para aproximar la integral $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$ con $n=10$.

Tenemos que $n=10$, $a=1$ y $b=2$ lo que implica que $\Delta x=\frac{b-a}{n}=0.1$.

Por la regla de Simpson $(3)$ y calculando los puntos $x_{i}$ $(4)$ tenemos que:

$$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\approx\ S_{10}=\frac{\Delta x}{3}\left [ f(1)+4f(1.1)+2f(1.2)+…+2f(1.8)+4f(1.9)+f(2) \right ]$$

$$=\frac{0.1}{3}\left [ \frac{1}{1}+\frac{4}{1.1}+\frac{2}{1.2}+\frac{4}{1.3}+\frac{2}{1.4}+\frac{4}{1.5}+\frac{2}{1.6}+\frac{4}{1.7}+\frac{2}{1.8}+\frac{4}{1.9}+\frac{1}{2}+ \right ]\approx 0.693150$$

Comparando este resultado con lo obtenido con la regla del punto medio y regla del trapecio, la regla de Simpson nos da una aproximación mucho mejor respecto a estos dos métodos, pues resulta que la regla de Simpson son promedios ponderados de la regla del punto medio y regla del trapecio, se puede demostrar que:

$$S_{2n}=\frac{1}{3}T_{n}+\frac{2}{3}M_{n}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invito a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestre que: $S_{2n}=\frac{1}{3}T_{n}+\frac{2}{3}M_{n}$
  2. ¿Qué tan grande debe de ser n para que al utiliza la regla de Simpson al aproximar la integral $\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$, sea exacta hasta dentro de 0.0001?
    1. Use la regla de Simpson con n=10 para aproximar la integral $\int_{0}^{1} e^{x^{2}}dx$
    2. Estime el error con esta aproximación
    1. Estimar la integral con n=3: $\int_{0}^{2} x^{3}dx$
    2. En este caso, ¿la regla de Simpson es exacta? ¿Porque?

Más adelante…

En esta sección vimos la regla de Simpson que consiste en otro método de aproximación numérica para las integrales por medio de parábolas y que es este método es un promedio ponderado de los métodos del punto medio y del trapecio. Aunque existen más métodos numéricos para aproximar integrales, solo veremos estos métodos. En la siguiente sección veremos el teorema del valor medio para las integrales.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Método de sustitución o cambio de variable

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En las unidades anteriores, se dieron las bases para la integración de funciones, así como, la integración de funciones con rigurosidad matemática. En esta unidad se estudiaran varias técnicas de integración para determinar integrales sin demasiada rigurosidad matemática y aunque no se estudiaran todas las técnicas de integración se verán las más relevantes.

Método de sustitución o cambio de variable

La integración por sustitución o cambio de variable, que como bien se menciona, es una técnica de integración que necesita uno o más cambios de variables adecuados en el integrando, de tal forma que la integral sea más sencilla de resolver. Comenzamos enunciando el teorema siguiente, la integración por sustitución.

Teorema: Método de sustitución

Sea $g$ una función derivable y con derivada continua, sea $f$ una función continua en un intervalo. Supón además que $F$ es una antiderivada de $f$ entonces:

$$\int_{a}^{b}f(g(x)) \cdot g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du= F(g(x)){\bigg|}_{ a }^{ b } $$

Demostración:

Por hipótesis, $F$ es primitiva de $f$, entonces por el segundo teorema fundamental del Cálculo [ Hipervinculo: Calculo II-Segundo Calculo fundamental del calculo] tenemos que:

$$\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du = F(g(b))-F(g(a)) \tag{1}$$

Por otro lado, dado que $f$ es continua, entonces tiene una antiderivada $F$, la función compuesta $f\circ g$ está definida, ya que $g$ es una función, como $g$ es diferenciable, tenemos que, por la regla de la cadena y la definición de antiderivada obtenemos que:

$$\frac { d }{ dx } (F(g(x))=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x) \tag{2}$$

Integramos de $a$ hasta $b$, nos fijamos en el lado derecho e izquierdo de la ecuación $(2)$ como sigue:

$$\int_{a}^{b} \frac { d }{ dx } (F(g(x))dx=\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g'(x) dx $$

Utilizamos nuevamente el teorema fundamental del Cálculo, obteniendo lo siguiente:

$$\int _{ a }^{ b }{ f(g(x)) \cdot g'(x)dx=F(g(b))-F(g(a)) } \tag{3}$$

Observamos las ecuaciones $(1)$ y $(3)$, vemos que se obtuvo la igualdad deseada, por lo que:

$$\int _{ a }^{ b }{ f(g(x)) \cdot g'(x)=F(g(b))-F(g(a)) } = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$$

$\square$

Puede quedar no muy claro el cómo utilizar este teorema, por lo que a continuación se ejemplificara con varios ejercicios el método de sustitución.

Ejemplos:

  • $\int { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 2 }(2x)dx }$

Se hace un cambio de variable para resolver esta integral, cabe destacar que el símbolo para el cambio de variable puede ser cualquiera que guste, por ejemplo cualquier letra del alfabeto o incluso una carita feliz, en la literatura es común utilizar los símbolos de $u$ y $v$ para tales cambios de variable.

Para resolver esta integral, proponemos a $u = {x}^{2}+1$, por lo que, al derivar, se obtiene: $du = 2x dx$, así, al sustituir estas variables, el integrando queda de la siguiente forma:

$$\int u^{2}du$$

Vemos que al hacer el cambio de variable la integral es más sencilla, ya que sabemos que en general cualquier polinomio de grado $n$ se integra como:

$$\int { { x }^{ n }dx } =\frac { { x }^{ n+1 } }{ n } +C$$

Donde $C$ es la constante de integración, siguiendo con el ejercicio:

$$\int { { u }^{ 2 }du= \frac { { u }^{ 3 } }{ 3 } +C } $$

Volviendo a la variable original $x$, la resolución de la integral es:

$$\int { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 2 }(2x)dx } = \frac { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 3 } }{ 3 } +C $$

Obsérvese que este integral se puede resolver también multiplicando los factores y utilizar la linealidad de la integral, pero esto es un poco más laborioso. Así vemos que este método nos ayuda a resolver integrales fácilmente.

  • $\int { \frac { 2x-9 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } } } dx$

A simple vista esta integral puede ser complicada y necesitar de otros métodos, pero veamos que no es necesario.

Proponemos como cambio de variable: $u={ x }^{ 2 }-9x+1$, la derivada es: $du=(2x-9)dx$, por lo que la integral se reescribe como:

$$\int { \frac { du }{ \sqrt { u } } }=\int { { u }^{ -1/2 }du }$$

Esta integral se resuelve como:

$$\int { { u }^{ -1/2 }du }=\frac { { u }^{ -1/2+1 } }{ -\frac{1}{2}+1 } +C={ 2u }^{ 1/2 }+C$$

Volviendo a la variable original, el resultado es:

$$\int { \frac { 2x-9 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } } } dx=2\sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } +C$$

  • $\int { \frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }+2x } dx }$

Proponemos como cambio de variable: $u={x}^{2}+2x \Rightarrow du=(2x+2)dx=2(x+1)dx$

Vemos en el integrando que solo está el término $x+1$, por lo que en la relación de la diferencia de $u$, al ser una igualdad, pasamos el $2$ dividiendo como sigue:

$$\Rightarrow \frac { du }{ 2 } =\left(x+1 \right) dx$$

Por lo que reescribimos la integral y la resolvemos:

$$\int \frac { 1 }{ u } \frac{du}{2}=\frac { 1 }{ 2 } ln\left| u \right| +C$$

Volviendo a la variable original, se obtiene que la resolución de la integral es:

$$\int { \frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }+2x } dx }=\frac { 1 }{ 2 } ln\left| { x }^{ 2 }+2x \right| +C $$

  • $\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { { e }^{ 3/x } }{ { x }^{ 2 } } dx }$

Vemos en este caso que tenemos una integral definida. Proponemos como cambio de variable: $$u=\frac { 3 }{ x } \Rightarrow du=-3{ x }^{ -2 }dx$$

Al hacer un cambio de variable en las integrales con límites de integración, se tiene que cambiar los límites de integración como sigue: Si $x=1 \Rightarrow u=3$, si $x=3 \Rightarrow u=1$, así la integral se reescribe como:

$$\int _{ 3 }^{ 1 }{\left ( -\frac { 1 }{ 3 }\right ) { e }^{ u }du }$$

Resolviendo esta integral, sabemos que al cambiar los límites de integración se cambia el signo de la integral [ Hipervinculo: Calculo II-Tema que contiene el cambio de signo al cambiar los límites de integración], entonces tenemos que:

$$\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { 1 }{ 3 } { e }^{ u }du}={ \left[ \frac { 1 }{ 3 } { e }^{ u }du \right] }{\bigg|}_{ 1 }^{ 3 }=\frac { 1 }{ 3 } \left( { e }^{ 3 }-{ e } \right)$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Resuelve las siguientes integrales utilizando el método de sustitución:

  1. $$\int \sqrt { 2x+1 }dx$$
  2. $$\int 3{ x }^{ 2 }\sqrt { { x }^{ 3 }-2 } dx$$
  3. $$\int \frac { { x }^{ 2 }+x+1 }{ { x }^{ 2 }+1 } dx $$ Hint: Hacer la división de polinomios.
  4. $$\int _{ -2 }^{ 3 } x \cos { {( x }^{ 2 }+3)}dx$$
  5. $$\int _{ 0 }^{ \pi /4 } \sqrt { 1+\cos(4x)} dx$$ Hint: Utilizar la identidad ${ \cos }^{2 }(\theta) =\frac { 1+\cos { (2\theta) } }{ 2 }$ y utilizar un cambio de variable.

Más adelante…

Como se mencionó anteriormente, esta técnica de integración facilita resolver algunas integrales utilizando uno o más cambios de variables apropiados para poder resolver la integral como se vio en esta sección, pero en otros casos no se pueden resolver integrales solo utilizando el cambio de variable, en la siguiente sección veremos otro método de integración llamado integración por partes.

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