Cálculo Diferencial e Integral II: Integración por partes

Introducción

En la sección anterior se vio el teorema de integración por cambio de variable, además de ejercicios utilizando este método de integración para la solución de algunas integrales. En esta sección veremos el teorema de la integración por partes, así como, ejercicios para ejemplificar la solución de integrales empleando este método.

Integración por partes

La integración por partes viene de que en general la integral de un producto no es el producto de las integrales, veamos el ejemplo siguiente:

Sabemos que la integral de las funciones $x$ y $x^{2}$ están dadas como:

$$\int xdx=\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +C$$ y $$ \int { { x }^{ 2 }dx=\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +C }$$

Por lo que es claro que: $$ \int { (x\cdot x)dx\neq \int { xdx } \cdot \int { xdx } }$$

Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente, en este caso, la regla que corresponde a la regla del producto para la derivación se llama regla para integración por partes para las integrales, enunciado en el siguiente teorema.

Teorema: Integración por partes

Sea $f$ y $g$ funciones, con $f’$ y $g’$ continuas, donde $f’$ y $g’$ representan la primera derivada de $f$ y $g$ respectivamente, entonces:

$$\int { f(x)\cdot g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int { f'(x)\cdot g(x)dx } }$$

Demostracion:

Por la regla del producto de la derivada de dos funciones, sabemos que:

$$\frac { d }{ dx } \left[ f(x)\cdot g(x) \right] =f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$

Integrando en ambos lados de la igualdad:

$$\Rightarrow \int { \frac { d }{ dx } \left[ f(x)\cdot g(x)dx \right] } =\int { [f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)] dx }=\int { f'(x)\cdot g(x)dx } +\int { f(x)\cdot g'(x)dx }$$

Por el teorema fundamental del Cálculo [Hipervínculo: Calculo II- Teorema fundamental del calculo] se tiene que:

$$f(x)\cdot g(x) = \int { f'(x) \cdot g(x)dx } +\int { f(x) \cdot g'(x)dx }$$

$$\Rightarrow \int f(x)\cdot g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)dx \tag{1}$$

Lo cual se demuestra este teorema.

$\square$

A esta fórmula $(1)$ se le conoce como integración por partes. Existen reglas nemotécnicas para aprenderse la fórmula anterior. Sea $u=f(x)$ y $v=g(x)$ entonces la fórmula anterior se reescribe como:

$$\int u\cdot dv =u\cdot v-\int v \cdot du \tag{2}$$

Por lo que la idea de esta integración por partes es proponer un cambio de variable $u$ de tal forma que al derivarlo y multiplicarlo por $v$ que es la antiderivada de $dv$, sea una integral más sencilla de resolver y no viceversa.

Para el caso, cuando tenemos una integral definida utilizando este método se tiene que, por el segundo teorema fundamental del Cálculo [Hipervínculo: Calculo II-Segundo Teorema fundamental del calculo] se puede evaluar la fórmula de integración por partes, suponiendo que $f’$ y $g’$ son continuas en un intervalo $[a,b]$, obtenemos:

$$\int_{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)\bigg|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)dx \tag{3}$$

La demostración a esta relación se puede basar en la demostración del teorema de integración por partes, por lo cual puede ser un ejercicio de tarea moral para mostrarlo.

Veamos unos ejemplos para ejemplificar el método de la integración por partes.

Ejemplos

  • $\int { \ln { (x) } dx }$

Tenemos que proponer un cambio de variable de tal forma que la integral resultante sea una integral más sencilla de resolver, proponemos a $u=\ln { (x) } \Rightarrow du=\frac { 1 }{ x }$ y sea $dv=1 \Rightarrow v=x$ Reemplazando estos términos en la fórmula $(2)$ tenemos que:

$$\int { \ln { (x) } dx }=x\ln { (x) }-\int { \frac { 1 }{ x } xdx }$$

Vemos que al aplicar esta fórmula conduce a una integral más sencilla y sabemos que:

$$\int { \frac { 1 }{ x } xdx }=\int { 1 dx }=x+C$$

Con $C$ la constante de integración, así:

$$\int \ln { (x) } dx=x\ln { (x) }-x+C=x\left[ \ln (x)-1\right]+C $$

  • $\int { { x }^{ 2 }{ e }^{ x }dx }$

Sea $u={ x }^{ 2 } \Rightarrow du=2x$ y $dv={ e }^{ x } \Rightarrow v={ e }^{ x }$

Sustituyendo en la fórmula $(2)$ tenemos que:

$$\int { { x }^{ 2 }{ e }^{ x }dx }={ x }^{ 2 }{ e }^{ x }-2\int x { e }^{ x }dx \tag{4}$$

Vemos que la nueva integral es menos complicada, ya que el exponente de $x$ se redujo en 1, por lo que volvemos a integrar por partes fijándonos solamente en la integral por resolver.

$\int x { e }^{ x }dx$

Sea $u=x \Rightarrow du=1$ y sea $dv={ e }^{ x } \Rightarrow v={ e }^{ x }$ por lo que:

$$\int { x { e }^{ x }dx }=x \cdot { e }^{ x } -\int { 1\cdot { e }^{ x }dx }$$

Sabemos que: $$\int { { e }^{ x }dx={ e }^{ x }+C }$$

Con $C$ la constante de integración, así:

$$\int { x { e }^{ x } dx }=x \cdot { e }^{ x }-{ e }^{ x }+C={ e }^{ x }\left[ x-1 \right] +C $$

Sustituyendo en la integral que queremos resolver $(4)$, tenemos que:

$$\int { { x }^{ 2 }{ e }^{ x }dx } = { x }^{ 2 }{ e }^{ x }-2\left[{ e }^{ x }\left[ x-1 \right] +C\right] = { x }^{ 2 }{ e }^{ x }-2x{ e }^{ x }+2{ e }^{ x }+C=e^{x} \left[x^{2}-2x+2\right]+C$$

  • $\int { { e }^{ x }\sin { (x)dx } }$

Sea $u=\sin{(x)} \Rightarrow du=\cos { (x) }$ y sea $dv={ e }^{ x } \Rightarrow v={ e }^{ x }$, obtenemos lo siguiente:

$$\int { { e }^{ x }\sin { (x)dx } }={ e }^{ x }\sin{(x)}-\int { { e }^{ x }\cos { (x)dx } }\tag{5}$$ Obtenemos una nueva integral por lo que integramos nuevamente por partes, así que nos enfocamos en solucionar esta integral:

$\int e^{x}cos(x)dx$

Sea $u=\cos{(x)} \Rightarrow du=-\sin { (x) }$ y sea $dv={ e }^{ x } \Rightarrow v={ e }^{ x }$ así obtenemos:

$$\int { e }^{ x }\cos { (x)}dx={ e }^{ x }\cos{(x)}+\int { { e }^{ x }\sin { (x)dx } }$$

Por lo que sustituimos el resultado de esta integral a la integral que queremos resolver $(5)$. Veamos lo siguiente:

$$\int { e }^{ x }\sin { (x)dx } ={ e }^{ x }\sin{(x)}-\left[ { e }^{ x }\cos{(x)}+\int { e }^{ x }\sin { (x)dx } \right]={ e }^{ x }\sin{(x)}-{ e }^{ x }\cos{(x)}-\int { e }^{ x }\sin { (x)}dx$$

Al ser una igualdad podemos pasar sumando la integral obteniendo lo siguiente:

$$2\int { { e }^{ x }\sin { (x)dx } }={ e }^{ x }\sin{(x)}-{ e }^{ x }\cos{(x)}$$

$$\Rightarrow \int { { e }^{ x }\sin { (x)dx } }=\frac {{ e }^{ x }\sin{(x)}-{ e }^{ x }\cos{(x)} }{2 }$$

  • $\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }ln(x)dx }$

Utilizamos la fórmula $(3)$ para este tipo de integrales definidas, por lo que proponemos lo siguiente:

Sea $u=ln(x) \Rightarrow du=\frac { 1 }{ x }$ y $v={ x }^{ 2 }\Rightarrow dv=\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 }$

Así, utilizando la igualdad $(3)$, obtenemos:

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }ln(x)dx }=\frac{x^{3}}{3}ln(x)\bigg|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{3}\frac{1}{x}dx$$

La integral nueva es una integral polinómica, fácil de resolver, por lo que integramos directamente obteniendo el resultado de la integral como:

$$\Rightarrow \int_{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }ln(x)dx }=\frac{x^{3}}{3}ln(x)\bigg|_{0}^{1}-\frac{1}{3}\int_{0}^{1}x^{2}dx=\left[ 0-0 \right]-\left[ \frac { 1 }{ 3 }\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \right]\bigg|_{ 0 }^{ 1 }= -\frac{1}{9}$$

Existe una regla nemotécnica en el cual se recomienda que para integrar con el método de integración por partes se puede escoger la función $u$ de acuerdo con el orden de la nomenclatura “ILATE”, que significa lo siguiente:

Inversa trigonométrica.

Logarítmicas.

Algebraicas.

Trigonométricas.

Exponencial.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Resuelve las siguientes integrales:

  1. $$\int xcos(x)dx$$
  2. $$\int ln^{2}(x)$$
  3. $$\int x^{4}e^{x}dx$$
  4. $$\int_{0}^{4}\frac{x}{e^{x}}$$
  5. $$\int_{0}^{1} \frac{1}{tan(x)}dx$$

Más adelante…

Es importante comprender estos métodos de integración, ya que veremos más métodos de integración y por consecuente en la resolución de una integral puede llegarse a aplicar varios métodos de integración al resolver una integral.

La integración por partes es muy útil cuando se puede encontrar que al hacer el cambio de variable la integral a resolver sea más sencilla que la integral original. En la siguiente entrada veremos integrales trigonométricas básicas que necesitamos saber para ver las integrales trigonométricas que contienen productos de funciones trigonométricas.

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