Teoría de los Conjuntos I: Lenguaje de la Teoría de los Conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Antes de comenzar con nuestro curso de Teoría de los Conjuntos I, dedicaremos esta entrada para hablar acerca de lógica de primer orden. Esto lo haremos únicamente con el fin de que veas como se van construyendo las fórmulas del lenguaje de la Teoría de los Conjuntos. Dichas fórmulas las utilizaremos en distintos momentos a lo largo de este curso.

Necesariamente, esta entrada será breve, pues todas las precisiones de lógica se ven en un curso de esta materia, y todas las precisiones de teoría de conjuntos es parte de lo que esperamos entender en este curso.

Lenguaje de la Teoría de los Conjuntos 1

Definición. El lenguaje de la teoría de los conjuntos consiste en:

Simbolos lógicos:

  1. Variables $x, y, z$
  2. Conectivos lógicos $\neg$, $\land$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$
  3. Cuantificadores $\forall$, $\exists$
  4. Parentesis (,)

Simbolos no lógicos:

  1. Símbolos de predicado $\in$ y $=$.

Es importante decir que todas las variables de nuestro lenguaje representarán conjuntos y los símbolos de predicado representarán relaciones entre estos conjuntos.

Las fórmulas atómicas son de la forma: $x\in y$ y $x=y$.

A partir de aquí, podemos formar más fórmulas, ya que si $\phi$ y $\varphi$ son fórmulas, entonces $\neg \phi$, $\phi \land \varphi$, $\phi \vee \varphi$, $\phi \rightarrow \varphi$, $\phi \leftrightarrow \varphi$ tambien lo son.

Ejemplo.

$\neg (x=y)$, $(x\in y)\land (x=y)$, $(x\in y)\vee (x\in z)$, $(x\in z)\rightarrow (x=z)$, $(x\in z)\leftrightarrow (y\in w)$ son fórmulas de la teoría de conjuntos.

$\square$

Si $\varphi$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos, entonces $\exists x \varphi$ y $\forall x \varphi$ también lo son.

Ejemplo.

  • Dado que $(x\in y)\vee (x\in z)$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos. Entonces, $\forall x((x\in y) \vee (x\in z))$ también lo es.
  • $\forall x((x\in y) \rightarrow \neg(x\in z))$ es fórmula de la teoría de conjuntos.
  • $\exists x(x\in y)$ es fórmula de la teoría de conjuntos.

$\square$

Las fórmulas del lenguaje de la teoría de los conjuntos nos permiten:

  1. Describir propiedades que pueden o no satisfacer conjuntos dados de antemano.
  2. Expresar relaciones entre dos o más conjuntos.

A partir de ahora, a aquellas fórmulas que describen una característica particular de un conjunto $x$ les llamaremos propiedades y las denotaremos con $P(x)$, $Q(x)$, $P_1(x)$, $P_2(x)$, etcétera.

Dado que las fórmulas que podemos ir construyendo con el lenguaje de la teoría de los conjuntos se vuelven muy complejas, vamos a abreviarlas para facilitar su escritura.

Abreviaturas.

  • $\neg(x\in y)$ lo escribiremos como $x\notin y$.
  • $\neg(x=y)$ lo escribiremos como $x\not= y$.
  • $\forall x((x\in y)\rightarrow (x\in z))$ lo escribiremos como $y\subseteq z$.
  • Si $\varphi$ es una fórmula dada, $\forall x(x\in y\rightarrow \varphi)$ y $\exists x(x\in y\land \varphi)$ las escribiremos como $\forall x\in y \varphi$ y $\exists x\in y \varphi$, respectivamente.

Tarea moral

Construye 10 fórmulas del lenguaje de la teoría de los conjuntos. Utiliza cuantificadores y conectivos lógicos.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos inicio al curso de Teoría de los Conjuntos I. Comenzaremos hablando de los primeros axiomas de Zermelo-Fraenkel, estos axiomas son los de existencia, de comprensión y de extensión. El primero de ellos nos permitirá siquiera asegurar la existencia de un conjunto.

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Los siguientes enlaces te servirán para revisar con mejor detalle el tema:

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. Puede consultar más información sobre esto en Fernández de Castro M., Villegas Silva L. (2011). Lógica Matemática II: Clásica, Intuicionista y Modal (1.ª ed.) Universidad Autónoma Metropolitana. p. 151-152. ↩︎

Cálculo Diferencial e Integral II: Método de sustitución o cambio de variable

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En las unidades anteriores, se dieron las bases para la integración de funciones, así como, la integración de funciones con rigurosidad matemática. En esta unidad se estudiaran varias técnicas de integración para determinar integrales sin demasiada rigurosidad matemática y aunque no se estudiaran todas las técnicas de integración se verán las más relevantes.

Método de sustitución o cambio de variable

La integración por sustitución o cambio de variable, que como bien se menciona, es una técnica de integración que necesita uno o más cambios de variables adecuados en el integrando, de tal forma que la integral sea más sencilla de resolver. Comenzamos enunciando el teorema siguiente, la integración por sustitución.

Teorema: Método de sustitución

Sea $g$ una función derivable y con derivada continua, sea $f$ una función continua en un intervalo. Supón además que $F$ es una antiderivada de $f$ entonces:

$$\int_{a}^{b}f(g(x)) \cdot g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du= F(g(x)){\bigg|}_{ a }^{ b } $$

Demostración:

Por hipótesis, $F$ es primitiva de $f$, entonces por el segundo teorema fundamental del Cálculo [ Hipervinculo: Calculo II-Segundo Calculo fundamental del calculo] tenemos que:

$$\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du = F(g(b))-F(g(a)) \tag{1}$$

Por otro lado, dado que $f$ es continua, entonces tiene una antiderivada $F$, la función compuesta $f\circ g$ está definida, ya que $g$ es una función, como $g$ es diferenciable, tenemos que, por la regla de la cadena y la definición de antiderivada obtenemos que:

$$\frac { d }{ dx } (F(g(x))=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x) \tag{2}$$

Integramos de $a$ hasta $b$, nos fijamos en el lado derecho e izquierdo de la ecuación $(2)$ como sigue:

$$\int_{a}^{b} \frac { d }{ dx } (F(g(x))dx=\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g'(x) dx $$

Utilizamos nuevamente el teorema fundamental del Cálculo, obteniendo lo siguiente:

$$\int _{ a }^{ b }{ f(g(x)) \cdot g'(x)dx=F(g(b))-F(g(a)) } \tag{3}$$

Observamos las ecuaciones $(1)$ y $(3)$, vemos que se obtuvo la igualdad deseada, por lo que:

$$\int _{ a }^{ b }{ f(g(x)) \cdot g'(x)=F(g(b))-F(g(a)) } = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$$

$\square$

Puede quedar no muy claro el cómo utilizar este teorema, por lo que a continuación se ejemplificara con varios ejercicios el método de sustitución.

Ejemplos:

  • $\int { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 2 }(2x)dx }$

Se hace un cambio de variable para resolver esta integral, cabe destacar que el símbolo para el cambio de variable puede ser cualquiera que guste, por ejemplo cualquier letra del alfabeto o incluso una carita feliz, en la literatura es común utilizar los símbolos de $u$ y $v$ para tales cambios de variable.

Para resolver esta integral, proponemos a $u = {x}^{2}+1$, por lo que, al derivar, se obtiene: $du = 2x dx$, así, al sustituir estas variables, el integrando queda de la siguiente forma:

$$\int u^{2}du$$

Vemos que al hacer el cambio de variable la integral es más sencilla, ya que sabemos que en general cualquier polinomio de grado $n$ se integra como:

$$\int { { x }^{ n }dx } =\frac { { x }^{ n+1 } }{ n } +C$$

Donde $C$ es la constante de integración, siguiendo con el ejercicio:

$$\int { { u }^{ 2 }du= \frac { { u }^{ 3 } }{ 3 } +C } $$

Volviendo a la variable original $x$, la resolución de la integral es:

$$\int { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 2 }(2x)dx } = \frac { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 3 } }{ 3 } +C $$

Obsérvese que este integral se puede resolver también multiplicando los factores y utilizar la linealidad de la integral, pero esto es un poco más laborioso. Así vemos que este método nos ayuda a resolver integrales fácilmente.

  • $\int { \frac { 2x-9 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } } } dx$

A simple vista esta integral puede ser complicada y necesitar de otros métodos, pero veamos que no es necesario.

Proponemos como cambio de variable: $u={ x }^{ 2 }-9x+1$, la derivada es: $du=(2x-9)dx$, por lo que la integral se reescribe como:

$$\int { \frac { du }{ \sqrt { u } } }=\int { { u }^{ -1/2 }du }$$

Esta integral se resuelve como:

$$\int { { u }^{ -1/2 }du }=\frac { { u }^{ -1/2+1 } }{ -\frac{1}{2}+1 } +C={ 2u }^{ 1/2 }+C$$

Volviendo a la variable original, el resultado es:

$$\int { \frac { 2x-9 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } } } dx=2\sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } +C$$

  • $\int { \frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }+2x } dx }$

Proponemos como cambio de variable: $u={x}^{2}+2x \Rightarrow du=(2x+2)dx=2(x+1)dx$

Vemos en el integrando que solo está el término $x+1$, por lo que en la relación de la diferencia de $u$, al ser una igualdad, pasamos el $2$ dividiendo como sigue:

$$\Rightarrow \frac { du }{ 2 } =\left(x+1 \right) dx$$

Por lo que reescribimos la integral y la resolvemos:

$$\int \frac { 1 }{ u } \frac{du}{2}=\frac { 1 }{ 2 } ln\left| u \right| +C$$

Volviendo a la variable original, se obtiene que la resolución de la integral es:

$$\int { \frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }+2x } dx }=\frac { 1 }{ 2 } ln\left| { x }^{ 2 }+2x \right| +C $$

  • $\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { { e }^{ 3/x } }{ { x }^{ 2 } } dx }$

Vemos en este caso que tenemos una integral definida. Proponemos como cambio de variable: $$u=\frac { 3 }{ x } \Rightarrow du=-3{ x }^{ -2 }dx$$

Al hacer un cambio de variable en las integrales con límites de integración, se tiene que cambiar los límites de integración como sigue: Si $x=1 \Rightarrow u=3$, si $x=3 \Rightarrow u=1$, así la integral se reescribe como:

$$\int _{ 3 }^{ 1 }{\left ( -\frac { 1 }{ 3 }\right ) { e }^{ u }du }$$

Resolviendo esta integral, sabemos que al cambiar los límites de integración se cambia el signo de la integral [ Hipervinculo: Calculo II-Tema que contiene el cambio de signo al cambiar los límites de integración], entonces tenemos que:

$$\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { 1 }{ 3 } { e }^{ u }du}={ \left[ \frac { 1 }{ 3 } { e }^{ u }du \right] }{\bigg|}_{ 1 }^{ 3 }=\frac { 1 }{ 3 } \left( { e }^{ 3 }-{ e } \right)$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Resuelve las siguientes integrales utilizando el método de sustitución:

  1. $$\int \sqrt { 2x+1 }dx$$
  2. $$\int 3{ x }^{ 2 }\sqrt { { x }^{ 3 }-2 } dx$$
  3. $$\int \frac { { x }^{ 2 }+x+1 }{ { x }^{ 2 }+1 } dx $$ Hint: Hacer la división de polinomios.
  4. $$\int _{ -2 }^{ 3 } x \cos { {( x }^{ 2 }+3)}dx$$
  5. $$\int _{ 0 }^{ \pi /4 } \sqrt { 1+\cos(4x)} dx$$ Hint: Utilizar la identidad ${ \cos }^{2 }(\theta) =\frac { 1+\cos { (2\theta) } }{ 2 }$ y utilizar un cambio de variable.

Más adelante…

Como se mencionó anteriormente, esta técnica de integración facilita resolver algunas integrales utilizando uno o más cambios de variables apropiados para poder resolver la integral como se vio en esta sección, pero en otros casos no se pueden resolver integrales solo utilizando el cambio de variable, en la siguiente sección veremos otro método de integración llamado integración por partes.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Integración de funciones racionales por fracciones parciales

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos el método de sustitución trigonométrica que es un método que utiliza sustituciones con funciones básicas trigonométricas para poder resolver ciertos tipos de integrales, en esta sección mostraremos como integrar cualquier función racional como una suma de fracciones más simples llamadas fracciones parciales y que son más fáciles de integrar, a este método se le denomina el método por fracciones parciales.

Método de las fracciones parciales

Considérese una función racional: $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

Donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios de grado $n$ y $m$ respectivamente, es posible reescribir el polinomio $f(x)$ si el grado de $P(x)$ es menor que el grado de $Q(x)$, es decir, $n < m$.

Al reescribir la función $f(x)$ como combinación lineal de más polinomios se le conoce como método de fracciones parciales, así, al integrar la función $f(x)$ se integran estos polinomios facilitando la integración en algunos casos.

A continuación veremos los casos en los que se puede utilizar este método

Caso 1: El denominador $Q(x)$ es un producto de factores lineales distintos

Como los factores del polinomio $Q(x)$ son productos de factores lineales distintos, entonces podemos escribir a $Q(x)$ como: $(a_{1}x+b_{1})(a_{2}x+b_{2})….(a_{k}x+b_{k})$ donde ningún factor se repite y ningún factor es un múltiplo constante de otro, entonces existen constantes $A_{1}, A_{2}…., A_{k}$ tales que:

$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}+\frac{A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}+….+\frac{A_{k}}{a_{k}x+b_{k}}$$

Veamos el ejemplo siguiente.

  • $\int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx$

Notamos que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, pero para utilizar el caso anterior podemos reescribir el denominador como sigue:

$$x^{2}-5x+6=(x-3)(x-2)$$

Lo cual los factores son lineales, entonces podemos usar las fracciones parciales como:

$$\frac{1}{x^{2}-5x+6}=\frac{1}{(x-3)(x-2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-2)}=\frac{A(x-2)+B(x-3)}{(x-3)(x-2)}$$

Tenemos que identificar los valores de las variables $A$ y $B$.

Observamos la igualdad, vemos que se debe tener que tanto los denominadores y los numeradores de ambos lados de la igualdad deben ser iguales respectivamente, por lo que:

$$1=A(x-2)+B(x-3)=Ax-2A+Bx-3B=x(A+B)-2A-3B$$

$$1= x(A+B)-2A-3B $$

Vemos que: $A+B=0$ ya que no hay un factor de $x$ en el lado izquierdo de la igualdad $\Rightarrow A=-B$

Por otro lado: $1=-2A-3B=-2(-B)-3(B) \Rightarrow B=-1 \Rightarrow A=1$

Por lo que la integral se reescribe como:

$$\int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx=\int \frac{1}{(x-3)}-\frac{1}{(x-2)}dx=\int \frac{1}{(x-3)}dx-\int \frac{1}{(x-2)}dx$$

Estas integrales se pueden resolver por el método de sustitución, quedando como resultado:

$$\int \frac{1}{(x-3)}dx-\int \frac{1}{(x-2)}dx=ln(x-3)-ln(x-2)+C$$

$$\therefore \int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx =ln(x-3)-ln(x-2)+C$$

Caso 2: El denominador es un producto de factores lineales algunos de los cuales se repiten

Suponga que el primer factor lineal: $a_{1}x+b_{1}$ se repite $k$ veces, es decir, el factor lineal está elevado a la $k$, por lo que podemos usar las fracciones parciales como:

$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}+\frac{A_{2}}{(a_{1}x+b_{1})^{2}}+….+\frac{A_{k}}{(a_{1}x+b_{1})^{k}}$$

Veamos un ejemplo.

  • $\int \frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}dx$

Vemos que el denominador es de grado mayor que el nominador y que el factor $(x-4)$ se repite dos veces, utilizando lo visto del caso $(2)$ y el caso $(1)$, tenemos que:

$$\frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4)^{2}}$$

Hacemos la suma de las fracciones:

$$\frac{A(x-4)^{2}}{x(x-4)^{2}}+\frac{Bx(x-4)}{x(x-4)^{2}}+\frac{Cx}{x(x-4)^{2}}=\frac{A(x-4)^{2}+Bx(x-4)+Cx}{x(x-4)^{2}}$$

Vemos que:

$5x^{2}-36x+48=A(x-4)^{2}+Bx(x-4)+Cx=A(x^{2}-8x+16)+Bx(x-4)+Cx=x^{2}(A+B)+x(-8A-4B+C)+16A$

$\Rightarrow 5=A+B$

$-36=-8A-AB+C$

$48=16A$

Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas tenemos que:

$$A=3 \Rightarrow B=2 \Rightarrow C=-4$$

Así la integral se reescribe como:

$$\int \frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}dx=\int \left (\frac{3}{x}+\frac{2}{x-4}-\frac{4}{(x-4)^{2}} \right )dx=\int \frac{3}{x}dx+\int \frac{2}{x-4}dx-\int \frac{4}{(x-4)^{2}}dx$$

Resolvemos estas integrales por el método de sustitución resultando:

$$\int \frac{5x^{2}-36x+48}{x(x-4)^{2}}dx=3ln(x)+2ln(x-4)+\frac{4}{x-4}+C$$

Caso 3: El denominador contiene un factor cuadrático irreducible, ninguno de los cuales se repite

Si el denominador $Q(x)$ tiene un factor $ax^{2}+bx+c$ irreducible, entonces se tendrá un término de la forma;

$$\frac{1}{Q(x)}=\frac{Ax+B}{ax^{2}+bx+c}$$

Veamos un ejemplo donde se use este caso, pero sin integrar la función $f(x)$, ya que esta entrada se haría un poco larga y tediosa.

  • $\frac{4x^2-8x+1}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}$

Combinando lo visto del caso $1$ y caso $3$ tenemos que:

$$\frac{4x^2-8x+1}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{Bx+C}{(x^{2}-2x+3)}=\frac{A(x^{2}-2x+3)+(Bx+C)(x+2)}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}$$

$\Rightarrow 4x^2-8x+1=A(x^{2}-2x+3)+(Bx+C)(x+2)=Ax^{2}-2Ax+3A+Bx^{2}+2Bx+Cx+2C$

$\Rightarrow 4x^2-8x+1=x^{2}(A+B)+x(-2A+2B+C)+3A+2C$

$\Rightarrow 4=A+B$

$-8=-2A+2B+C$

$1=3A+2C$

Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones y 3 variables tenemos que:

$$A=3 \Rightarrow B=1\Rightarrow C=-4$$

Así podemos reescribir la división polinómica como:

$$\frac{4x^2-8x+1}{(x+2)(x^{2}-2x+3)}=\frac{3}{x+2}+\frac{x-4}{x^{2}-2x+3}$$

Caso 4: El denominador contiene un factor cuadrático irreducible que se repite $k$ veces

Si $Q(x)$ tiene un factor $ax^{2}+bx+c$ irreducible y se repite $k$ veces, entonces se tendrá la siguiente forma:

$$\frac{1}{Q(x)}=\frac{A_{1}x+B_{1}}{ax^{2}+bx+c}+\frac{A_{2}x+B_{2}}{(ax^{2}+bx+c)^{2}}+….+\frac{A_{k}x+B_{k}}{(ax^{2}+bx+c)^{k}}$$

Veamos un ejemplo utilizando este caso sin integrar.

  • $\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^{2}+1)^{2}}$

De los casos anteriores tenemos que:

$$\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^{2}+1)^{4}}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}+\frac{Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{A(x^{2}+1)^{2}+(Bx+C)x(x^{2}+1)+x(Dx+E)}{x(x^{2}+1)^{2}}$$

$\Rightarrow 1-x+2x^2-x^3=A(x^{2}+1)^{2}+(Bx+C)x(x^{2}+1)+x(Dx+E)=A(x^{4}+2x^{2}+1)+B(x^{2}+Cx)(x^2+1)+Dx^{2}+Ex$

$=Ax^{4}+2Ax^{2}+A+Bx^{4}+Bx^{2}+C^{3}+Cx+Dx^{2}+Ex=(A+B)x^{4}+Cx^{3}+x^{2}(2A+B+D)+(C+E)x+A$

$\Rightarrow 0=A+B$

$-1=C$

$2=2A+B+D$

$1=C+E$

$1=A$

Resolviendo este sistema de ecuaciones con 5 incógnitas y 5 ecuaciones, vemos que: $A=1$ y $C=-1 \Rightarrow B=1$, $D=1$ y $E=0$

Así tenemos que:

$$\frac{1-x+2x^2-x^3}{x(x^{2}+1)^{4}}=\frac{1}{x}+\frac{-x-1}{x^{2}+1}+\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Resolver las siguientes integrales:

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\int \frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx$$
  2. $$\int \frac{6x+7}{(x+2)^{2}}dx$$
  3. $$\int \frac{2x^{2}-4x-8}{(x^{2}-x)(x^2+4)}dx$$
  4. $$\int \frac{5x^{2}+20x+6}{x^{3}+2x^{2}+x}dx$$
  5. $$\int \frac{4x}{(x^{2}+1)(x^{2}+2x+3)}dx$$

Más adelante…

Aunque el método de fracciones parciales es un poco laborioso, es un gran método para resolver este tipo de integrales con funciones racionales, utilizando también el método de fracciones parciales en el cual se divide en 4 casos diferentes para que la función racional sea más sencilla de integrar. En la siguiente sección comenzaremos a ver algunos métodos numéricos para la integral.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Sustitución Trigonométrica

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En las últimas dos secciones anteriores vimos integrales trigonométricas que contiene producto de potencias de las funciones trigonométricas básicas, en esta sección veremos integrales que se resuelven con sustituciones utilizando las funciones trigonométricas, veamos como.

Método de sustitución trigonométrica

El método de sustitución trigonométrica consiste en resolver integrales que contienen términos de la forma:

  • $$\sqrt{a^{2}-x^{2}}$$
  • $$\sqrt{x^{2}-a^{2}}$$
  • $$\sqrt{x^{2}+a^{2}}$$

Para hacer estas sustituciones con las funciones trigonométricas básicas se debe ver cada caso según corresponda.

Caso 1: Integrales de la forma: $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$

Figura 1: Triángulo de referencia para la sustitución $x=a\sin(\theta)$

Podemos auxiliarnos con un triángulo rectángulo como vemos en la figura $(1)$, y recordar un poco de trigonometría básica, recordemos que en un triángulo rectángulo:

$$\sin(\theta)=\frac{Cateto \space opuesto}{Hipotenusa}=\frac{x}{a}\Rightarrow a \cdot \sin\theta=x $$

Podemos hacer la sustitución:

$$x=a \cdot \sin(\theta) \tag{1}$$

Por otro lado:

$$\cos(\theta)=\frac{Cateto \space adyacente}{Hipotenusa}=\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a} \Rightarrow \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a \cdot \cos(\theta) \tag{2}$$

Estas son las sustituciones que debemos de hacer para integrales del tipo $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$, en este punto talvez pueda ser un poco confuso de utilizarlas, así que veamos el ejemplo siguiente.

  • $\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{9-x^{2}}}$

Vemos que lo que está adentro de la raíz es similar al del caso $(1)$, por lo que podemos hacer la siguiente figura:

Figura 2: Triángulo para el ejercicio 1.

De la figura $(2)$ y de la relación $(1)$, podemos escribir:

$$\frac{x}{3}=\sin(\theta) \Rightarrow x=3\sin(\theta) \Rightarrow dx=3\cos(\theta)d\theta$$

Elevamos al cuadrado la variable $x$ como:

$$x^{2}=9\sin^{2}(\theta)$$

Por otro lado, utilizando la relación $(2)$ tenemos que:

$$\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}=\cos(\theta) \Rightarrow \sqrt{9-x^{2}}=3\cos(\theta)$$

Así sustituimos estas variables en la integral obteniendo lo siguiente:

$$\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{9-x^{2}}}=\int \frac{3\cos(\theta)d\theta}{9\sin^{2}(\theta)3\cos(\theta)}=\frac{1}{9}\int \frac{1}{\sin^{2}(\theta)}d\theta=\frac{1}{9}\int csc^{2}(\theta)d\theta$$

La resolución de esta integral se utiliza los métodos de integrales trigonométricas vistos en esta entrada, por lo que:

$$\frac{1}{9}\int \csc^{2}(\theta)d\theta=\frac{1}{9}(-\cot(\theta))+C$$

Volvemos a la variable original $x$, reescribimos a la función cotangente como: $$\cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$$

Con los cambios de variable que hicimos, tenemos que:

$$\cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=\frac{\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}}{\frac{x}{3}}=\frac{{\sqrt{9-x^{2}}}}{{x}}$$

Así la resolución de la integral es:

$$\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{9-x^{2}}}= -\frac{1}{9}\frac{{\sqrt{9-x^{2}}}}{{x}}+C$$

Caso 2: Integrales de la forma $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$

Figura 3: Triángulo de referencia para la sustitución $x=a\sec(\theta)$

Análogamente, nos auxiliamos de un triángulo rectángulo como vemos en la figura $(3)$, recordamos que:

$$\sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}=\frac{Hipotenusa}{Cateto \space adyacente}=\frac{x}{a} $$

Podemos hacer la sustitución:

$$x=a \cdot \sec(\theta) \tag{3}$$

Por otro lado:

$$\tan(\theta)=\frac{Cateto \space opuesto}{Cateto \space adyacente}=\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a} \Rightarrow \sqrt{x^{2}-a^{2}}=a \cdot \tan(\theta) \tag{4}$$

Por lo que estas son las sustituciones que debemos hacer en este caso, veamos un ejemplo.

  • $\int \frac{dx}{\sqrt{25x^{2}-4}}$

Nos fijamos en el radicando y notamos que es similar al caso $(2)$, pero vemos que tenemos un problema con el número que va multiplicando $x^{2}$, ya que se quiere que sea de la forma: $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$, por lo que podemos rescribir el radical como sigue: $$\sqrt{25x^{2}-4}=\sqrt{25(x^{2}-\frac{4}{25}})=5\sqrt{x^{2}-\left (\frac{2}{5} \right )^{2}} \tag{5}$$.

Así podemos hacer la siguiente figura:

Figura 4: Triángulo para el ejercicio 2.

De la figura $(4)$ y de la relación $(3)$, hacemos la sustitución:

$$x=\frac{2}{5}\sec(\theta) \Rightarrow dx=\frac{2}{5}\sec(\theta)\tan(\theta)d\theta$$

Por otro lado, utilizando la relación $(4)$, tenemos que:

$$\frac{\sqrt{x^{2}-(\frac{2}{5})^{2}}}{\frac{2}{5}}=\tan(\theta) \Rightarrow \sqrt{x^{2}-\left ( \frac{2}{5} \right )^{2}}=\frac{2}{5}\tan(\theta)$$

Sustituyendo en la integral tenemos que:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{25x^{2}-4}}=\int \frac{\frac{2}{5}\sec(\theta)\tan(\theta)}{5(\frac{2}{5}\tan(\theta))}d\theta=\frac{1}{5}\int \sec(\theta )d\theta$$

Recordemos que el 5 que está multiplicando en el divisor viene de la relación $(5)$.

Sabemos que la solución de esta integral está dada como:

$$\int \sec(\theta )d\theta = ln|\sec(\theta)+\tan(\theta )|+C$$

Por lo que:

$$\frac{1}{5}\int \sec(\theta )d\theta=\frac{1}{5}ln|\sec(\theta)+\tan(\theta )|+C$$

Volviendo a la variable original $x$, el resultado de la integral es:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{25x^{2}-4}}=\frac{1}{5}ln\bigg|\frac{5x}{2}+\frac{5\sqrt{x^{2}-\left (\frac{2}{5} \right )^{2}}}{2}\bigg|+C$$

Caso 3: Integrales de la forma $\sqrt{x^{2}+a^{2}}$

Figura 5: Triángulo de referencia para la sustitución $x=a\tan(\theta)$

Análogamente, nos auxiliamos de un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura $(5)$, sabemos que: $$\tan(\theta)=\frac{Cateto \space opuesto}{Cateto \space adyacente}=\frac{x}{a}$$

Podemos hacer la sustitución:

$$x=a \cdot \tan(\theta) \tag{6}$$

Por otro lado:

$$\sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}=\frac{Hipotenusa}{Cateto \space adyacente}=\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a} \Rightarrow \sqrt{x^{2}+a^{2}}=a \cdot \sec(\theta) \tag{7}$$

Veamos el siguiente ejemplo para ejemplar este caso.

  • $\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}$

Podemos expresar el integrando de la siguiente forma:

$$\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}=\int \frac{dx}{(\sqrt{x^{2}+1})^{3}}$$

Figura 6: Triángulo para el ejercicio 3.

Vemos que es igual al caso $(3)$, por lo que nos ayudamos de la figura $(6)$ y utilizando la relación $(6)$, tenemos que:

$$\frac{x}{1}=\tan(\theta) \Rightarrow dx=\sec^{2}(\theta)d\theta$$

Por otro lado, utilizando la relación $(7)$, se tiene que:

$$\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{1}=\sec(\theta) \Rightarrow (\sqrt{x^{2}+1})^{3} =\sqrt[3]{x^{2}+1}=\sec^{3}(\theta)$$

Sustituyendo en la integral tenemos que:

$$\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}=\int \frac{\sec^{2}(\theta )d\theta}{\sec^{3}(\theta )}=\int \frac{1}{\sec(\theta )}d\theta=\int \cos(\theta)d\theta=\sin\theta+C$$

Para regresar a la variable $x$ volvemos a auxiliarnos de la figura $(6)$, recordemos que:

$$\sin(\theta)=\frac{Cateto \space opuesto}{Hipotenusa}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$$

Así:

$$\int \frac{dx}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+C$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Resolver las siguientes integrales:

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}}dx$$
  2. $$\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+1}}dx$$
  3. $$\int \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}dx$$
  4. $$\int \sqrt{x^{2}+x}dx$$
  5. $$\int_{0}^{2\sqrt{3}} \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}dx$$
  6. $$\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{\sqrt{x^{2}-3}}{x}dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos el método de sustitución trigonométrica viendo las condiciones para poder aplicar este método auxiliándonos con triángulos rectángulos en el cual nos ayuda a resolver integrales fácilmente, por lo que en esta entrada vimos que se pueden resolver integrales utilizando las funciones trigonométricas. En la siguiente sección veremos el método de fracciones parciales para poder integrar polinomios que tengan el grado del numerador menor que el del denominador.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales trigonométricas – Productos de potencias de tan(x) y sec(x)

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos integrales que involucran producto de potencias de funciones senos y cosenos, ahora veremos integrales trigonométricas en donde el integrando son potencias de las funciones trigonométricas tangente y secante.

Integrales trigonométricas-Producto de potencias de $tan(x)$ y $sec(x)$

Para resolver este tipo de integrales lo dividiremos por caso, entonces la integral a resolver es el siguiente:

$$\int \sec^{m}(x)\tan^{n}(x)dx$$

Donde $m$ y $n \space \epsilon \space \mathbb{Z}^{+}$. Para esta integral vamos a obtener 4 casos distintos:

Caso 1: Si $m$ es par y positiva

Entonces a $m$ lo podemos reescribir como $m=2k$ con $k$ $\epsilon$ $\mathbb{N}$, así, la integral la reescribimos como:

$$\int \sec^{m}(x)\tan^{n}(x)dx=\int \sec^{m-2}(x)\sec^{2}(x)\tan^{n}(x)dx=\int \sec^{2(k-1)}(x)\sec^{2}(x)\tan^{n}(x)dx$$

$$=\int \left ( \sec^{2}(x) \right )^{k-1}\sec^{2}(x)\tan^{n}(x)$$

Recordemos que:

$$\tan^{2}(x)+1=\sec^{2}(x) \tag{1}$$

Sustituyendo en el integrando tenemos que:

$$ \int \sec^{m}(x)\tan^{n}(x)dx =\int (\tan(x)+1)^{k-1}(x)\sec^{2}(x)\tan^{n}(x)dx$$

Para resolver esta integral hacemos el siguiente cambio de variable:

$$u=\tan(x)$$

Veamos un ejemplo para aplicar este caso.

  • $\int \sec^{4}(3x)\tan^{3}(3x)dx$

Vemos que $m$ es par y positiva, entonces podemos reescribir la integral utilizando la relación $(1)$ como:

$$\int \sec^{4}(3x)\tan^{3}(3x)dx=\int \sec^{2}(3x)\sec^{2}(3x)\tan^{3}(3x)dx=$$

$$=\int (\tan(3x)+1)^{2}\sec^{2}(3x)\tan^{3}(3x)dx$$

Hacemos el cambio de variable.

Sea $u=\tan(3x) \Rightarrow du=3\sec^{2}(3x)dx \Rightarrow \frac{du}{3}=\sec^{2}(3x)dx$

$$\Rightarrow \int \sec^{4}(3x)\tan^{3}(3x)dx=\frac{1}{3}\int (u^{2}+1)u^{3}du = \frac{1}{3}\int (u^{5}+u^{3})du $$

$$= \frac{1}{3}(\frac{u^{6}}{6}+\frac{u^{4}}{4}+C)$$

Volvemos a la variable original, así el resultado de la integral es:

$$\int \sec^{4}(3x)\tan^{3}(3x)dx=\frac{\tan^{6}(3x)}{18}+\frac{\tan^{4}(3x)}{12}+C$$

Caso 2: Si $n$ es impar y positiva

Entonces a $n$ lo podemos reescribir como $n=2k+1$ con $k \space \epsilon \space \mathbb{N}$ entonces la integral la reescribimos como:

$$\int \sec^{m}(x)\tan^{n}(x)dx=\int \sec^{m-1}(x)\tan^{n-1}(x)\sec(x)\tan(x)dx=\int \sec^{m-1}(x)\tan^{2k}(x)\sec(x)\tan(x)dx$$

Utilizamos la siguiente relación como:

$$\tan^{2}(x)=\sec^{2}(x)-1 \tag{2}$$

$$ \Rightarrow \int \sec^{m-1}(x)(\tan^{2}(x))^{k}\sec(x)\tan(x)dx=\int \sec^{m-1}(x)(\sec^{2}(x)-1)^{k}\sec(x)\tan(x)dx$$

Para resolver esta integral hacemos el siguiente cambio de variable:

$$u=\sec(x)$$

Veamos un ejemplo para aplicar este caso.

  • $\int \tan^{3}(\frac{\pi x}{2})\sec^{2}(\frac{\pi x}{2})dx$

Vemos en este caso que $n$ es impar y positiva, por lo que reescribimos el integrando utilizando la relación $(2)$ como:

$$\int \tan^{3}(\frac{\pi x}{2})\sec^{2}(\frac{\pi x}{2})dx= \int \tan^{2}(\frac{\pi x}{2})\sec(\frac{\pi x}{2})\tan(\frac{\pi x}{2})\sec(\frac{\pi x}{2})dx$$

$$=\int (\sec^{2}(\frac{\pi x}{2})-1)\sec(\frac{\pi x}{2})\tan(\frac{\pi x}{2})\sec(\frac{\pi x}{2})dx$$

Hacemos el cambio de variable.

Sea $u=\sec(\frac{\pi x}{2}) \Rightarrow du=\frac{\pi}{2}\sec(\frac{\pi x}{2})\tan(\frac{\pi x}{2}) \Rightarrow \frac{2}{\pi}du=\sec(\frac{\pi x}{2})\tan(\frac{\pi x}{2})$, sustituyendo tenemos que:

$$\frac{2}{\pi } \int (u^{2}-1)udu=\frac{2}{\pi } \int (u^{3}-u)du=\frac{2}{\pi }(\frac{u^4}{4}-\frac{u^2}{2})+C$$

Así:

$$\int \tan^{3}(\frac{\pi x}{2})\sec^{2}(\frac{\pi x}{2})dx=\frac{\sec^{4}(\frac{\pi x}{2})}{2\pi}-\frac{\sec^{2}(\frac{\pi x}{2})}{\pi}+C$$

Caso 3: Si no hay factores de $sec(x)$, $n$ es par y positiva

Entonces reescribimos a $n$ como $n=2k$, así se tiene que la integral la reescribimos utilizando la relación $(2)$ como:

$$\int \tan^{n}(x)dx=\int \tan^{2k}(x)dx=\int \tan^{2k-2}(x)\tan^{2}(x)dx=$$

$$=\int \tan^{2k-2}(x)(\sec^{2}(x)-1)dx=\int \tan^{2k-2}(x)\sec^{2}(x)dx-\int \tan^{2k-2}(x)dx$$

Repetimos el mismo procedimiento cuantas veces sea necesario, es decir, cuando las integrales sean más sencillas de resolver o sea una integral directa. Veamos un ejemplo:

  • $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\tan^{4}(x)dx$

Vemos que no hay factores de $\sec(x)$, $n$ es par y positiva, entonces:

$$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\tan^{4}(x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\tan^{2}(x)\tan^{2}(x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(\sec^{2}(x)-1)\tan^{2}(x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\sec^{2}(x)\tan^{2}(x)dx-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\tan^{2}(x)dx$$

Para la primera integral vemos que estamos en el caso $(1)$ por lo que podemos hacer el siguiente cambio de variable:

Sea $u=\tan(x) \Rightarrow du=\sec^{2}(x)dx$ Revisemos los límites de integración, si $x=0 \Rightarrow u=\tan(0)=0$, si $x=\frac{\pi }{4} \Rightarrow u=\tan(\frac{\pi }{4})=1$.

Para la segunda integral utilizamos la relación $(2)$, así, se tiene que:

$$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\tan^{4}(x)dx=\int_{0}^{1}u^{2}du-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(\sec^{2}(x)-1)dx=\int_{0}^{1}u^{2}du-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\sec^{2}(x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}1dx$$

$$=\frac{u^{3}}{3}\bigg|_{0}^{1}-\tan(x)\bigg|_{0}^{\frac{\pi }{4}}+x\bigg|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\left(\frac{1}{3}-0 \right) – \left(1-0 \right)+ \left (\frac{\pi }{4}-0 \right )=\frac{\pi }{4}-\frac{2}{3}$$

Caso 4: Si no hay factores de tan(x) y $m$ es impar

Donde $n=2k+1$, para este caso solo se tiene que integrar por partes.

$$\int \sec^{n}(x)dx=\int \sec^{2k+1}(x)dx$$

Veamos un ejemplo donde se aplique este caso.

  • $\int \sec^{3}(x)dx$

Lo podemos reescribir como:

$$\int \sec^{3}(x)dx=\int \sec^{2}(x)\sec(x)dx$$

Integramos por partes:

Sea $u=\sec(x) \Rightarrow du=\sec(x)\tan(x)$ y sea $dv=\sec^{2}(x) \Rightarrow v=\tan(x)$, asi:

$$\int \sec^{3}(x)dx=\sec(x)\tan(x)-\int \sec(x)\tan^{2}(x)dx=\sec(x)\tan(x)-\int \sec(x)(\sec^{2}(x)-1)dx$$

$$= \sec(x)\tan(x)-\int (\sec^{3}(x)-\sec(x))dx=\sec(x)\tan(x)-\int \sec^{3}(x)dx+\int \sec(x)dx$$

Podemos pasar sumando la primera integral como:

$$\Rightarrow 2\int \sec^{3}(x)dx=\sec(x)\tan(x)+\int \sec(x)dx$$

La segunda integral es una integral que ya habíamos visto:

$$\int \sec(x)dx=ln(\sec(x)+\tan(x))+C$$

$$\Rightarrow \int \sec^{3}(x)dx=\frac{1}{2}\sec(x)\tan(x)+\frac{1}{2}ln(\sec(x)+\tan(x))+C$$

Con este último ejemplo se terminan los casos para resolver este tipo de integrales, sin embargo, análogamente a estos casos, se pueden resolver integrales que contienen productos de potencia de cot(x) y csc(x).

Integrales con términos de productos de potencias de cot(x) y csc(x)

Integrales de la forma: $$\int \csc^{m}(x)\cot^{n}(x)dx$$

Se pueden determinar mediante los métodos similares que vimos en esta sección para resolver integrales con términos de productos de potencias de \cot(x) y csc(x) utilizando la siguiente identidad:

$$1+\cot^{2}(x)=\csc^{2}(x)$$

Y con sus respectivos cambio de variables $u=\cot(x)$ y $u=\csc(x)$, según sea el caso que corresponda.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Resuelve las siguientes integrales:

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\int \tan^{6}(x)\sec^{4}(x)dx$$
  2. $$\int \frac{\tan^{3}(x)}{\sqrt{\sec(x)}}dx$$
  3. $$\int \tan^{3}(x)dx$$
  4. $$\int \sec^{5}(x)dx$$
  5. $$\int \csc^{4}(3x)\cot^{3}(3x)dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos como resolver integrales de productos de potencias de $\tan(x)$ y $\sec(x)$ en el cual se dividió por casos, así mismo, del mismo método, se pueden resolver las integrales de productos de potencias de $\cot(x)$ y $\csc(x)$ utilizando la relación entre esas mismas funciones y los cambios de variable correspondientes. En la siguiente sección veremos otro método de integración llamado integración por sustitución trigonométrica.

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