Introducción

Con esta sección acabamos el curso de Cálculo Diferencial e Integral II, por lo que daremos una breve introducción a funciones de varias variables ya que su siguiente curso de Cálculo Diferencial e Integral III se enfoca en varias variables. Comencemos definiendo una función en varias variables.

Funciones en varias variables

Definición: Una función $f:D\subset \mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}^{m}$ es que a cada punto $X \space \epsilon \space D$ le corresponde un único punto $Y \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$ lo cual se denota como $Y=f(X)$ y que llamaremos la imagen del punto $X$ mediante la función $f$.

Observemos que a $X$ se define como:

$$X=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …., x_{n})$$

y la función $f$:

$$f(X)=(f_{1}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}), f_{2}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}), …., f_{m}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}))$$

Donde cada $f_{i}$ con $i=1,….,m$ es la componente i-esima de la función $f$, asi:

$$f=(f_{1},…., f_{m})$$

Ejemplos

• Sea $f:D\subset \mathbb{R}^{3}\mapsto \mathbb{R}^{2}$ definida como:

$$f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2}, \frac{\sin(xy)}{x-y})$$

Donde $D={(x,y,z) \space\epsilon \space \mathbb{R}^{3}}$ con $\space x \neq y$. Las componentes de $f$ son:

$$f_{1}(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\space \space \space \space \space \space \space f_{2}(x,y,z)=\frac{\sin(xy)}{x-y}$$

• Sea $f:\mathbb{R}^{3}\mapsto \mathbb{R}^{3}$ definida como $f(x,y,z)=(x^{2}, y^{2}, x^{2}-z^{2})$ por lo que las componentes de $f$ son:

$$f_{1}(x,y,z)=x^{2}\space \space \space \space f_{2}(x,y,z)=y^{2} \space \space \space \space f_{3}(x,y,z)=x^{2}-z^{2}$$

El conjunto $\mathbb{R}^{n}$ tiene estructura de espacio vectorial si definimos las operaciones de suma y producto por escalares como sigue:

• Dados $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}, Y=(y_{1}, ….., y_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$,

$$X+Y=(x_{1}, …., x_{n})+(y_{1}, …., y_{n})=(x_{1}+y_{1}, …., x_{n}+y_{n})$$.

• Dados $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}, \lambda \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$,

$$\lambda X=\lambda (x_{1}, …., x_{n})=(\lambda x_{1}, …., \lambda x_{n})$$.

Por eso mismo, a $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$ se les denomina vectores.

Definición:

Si $m=1$ se dice que la función $f: D \subseteq \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}$ es una función real o campo escalar de n-variables.

Si $m>1$ se dice que la función $f: D \subseteq \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}$ es una función vectorial o un campo vectorial de n-variables y m-componentes.

Veamos la definición de una grafica en varias variables.

Definición: Sea $f: D \subset \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}$. Se define la gráfica de la función $f$ como:

$$Gr(f)={(x_{1}, …., x_{n},y) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n+1}: (x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space D, y=f(x_{1}, …., x_{n}) }$$

Cuando $n=1$ la representación de $f$ nos proporciona una curva en $\mathbb{R}^{2}$, en el caso cuando $n=2$ nos proporciona una superficie en $\mathbb{R}^{3}$.

Curvas de nivel

En general, para una función de dos variables no es facil graficarla por lo que tenemos que recurrir a otras tecnicas para graficar estas funciones, una tecnica se le conoce como curvas de nivel el cual consiste en que la función se igual a una constante.

$$f(x,y)=k$$

Donde $k$ es una constante.

Gráficamente lo que se esta haciendo es que a la grafica de la función $f(x,y)$ la estamos cortando en «rebanadas» para cada valor de $k$ distinta por lo que veremos para cada corte, una parte de la grafica de la función $f(x,y)$.

Veamos el siguiente ejemplo.

De la figura $(1)$ tenemos la función de dos variables $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ que es el cono azul de la figura $1$, si le hacemos unos cortes por dos planos con valores $k=2$ y $k=4$ obtendremos que las curvas de nivel (viéndolos desde la perspectiva de arriba) se notan como circunferencias como se muestran en la figura $(2)$.

Análogamente a este método de graficar funciones de dos variables, para tres variables se puede hacer lo mismo el cual se le conoce como el método de curvas de superficies.

Otro concepto importante para esta introducción a varias variables es la topología, lo que es usual en una variable el concepto de una función dentro de un intervalo abierto, cerrado, propio o impropio, se extiende estos concepto para funciones de varias variables. Como esta sección es una pequeña introducción a funciones de varias variables no se verán estos conceptos pero si se recomienda tener un poco de noción de estos conceptos de topología.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionado con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Encuentra el dominio y el rango de la función $f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$
2. Sea la función $f(x,y)=x^{2}+3y^{2}$, hallas las curva de nivel con $k=1,2 \space y \space 3$
3. Obtén la grafica de la función $z=x^{2}-y^{2}$
4. Hallar las superficies de nivel de la función $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$ con $k=0$ y $k=-1$

Más adelante…

En esta entrada vimos una introducción a las funciones de varias variables como paso para estudiar estas funciones de varias variables con mas detenimiento en el curso de Cálculo Diferencial e Integral III, así como se estudio las funciones de una variable.

Con esta entrada concluimos el curso de Cálculo Diferencial e Integral II.

Entradas relacionadas

• Ir a Cálculo Diferencial e Integral II.
• Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral II: Funciones hiperbólicas – El blog de Leo (nekomath.com)
• Siguiente entrada del curso:

Introducción

En la entrada anterior revisamos las principales propiedades que satisface el conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}.$$ En particular vimos que el conjunto de soluciones al sistema homogéneo forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales de matrices. Gracias a esta propiedad logramos encontrar la solución general a dichos sistemas, tanto homogéneos como no homogéneos.

Con esto en mente, podemos comenzar a resolver algunos sistemas lineales. Los más sencillos son los sistemas con coeficientes constantes, es decir, sistemas donde la matriz $\textbf{A}$ es una matriz conformada por constantes. En esta entrada revisaremos el método más sencillo disponible para resolver dichos sistemas, que será el de eliminación de variables.

El método de eliminación de variables consiste, como su nombre lo indica, en tratar de eliminar las variables dependientes $x_{i}(t)$ hasta quedarnos únicamente con una de ellas dentro de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes. Para eliminar las variables utilizaremos la linealidad del sistema, por lo que podremos realizar operaciones elementales entre las ecuaciones del sistema, es decir, podremos sumar ecuaciones y multiplicar por escalares.

Una vez que llegamos a la ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes, debemos resolverla para encontrar la función $x_{i}(t)$ con la que nos quedamos. Con esta función conocida, podremos ir encontrando las demás funciones que resuelven el problema. Además, como $x_{i}(t)$ es solución general a la ecuación diferencial de orden superior, entonces todas las soluciones involucrarán constantes arbitrarias $c_{1}, c_{2},…,c_{n}$. Por lo tanto, $$\textbf{X}=\begin{pmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ \vdots \notag \\ x_{n}(t) \end{pmatrix}$$ será la solución general al sistema.

Antes de comenzar debemos advertir que, dado que el método depende de la resolución de una ecuación diferencial de orden superior, no es conveniente utilizarlo para resolver sistemas de más de tres ecuaciones diferenciales.

Método de eliminación de variables

En el primer video resolvemos de forma general el sistema lineal de dos ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes por el método de eliminación de variables. Luego, en el segundo video utilizamos el método desarrollado en el primer video para resolver un par de ejemplos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

• $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 7x+3y \\ \dot{y} &= 2x-y \end{alignedat}$

• $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= x-5y \\ \dot{y} &= y \end{alignedat}$

Resuelve los siguientes problemas de condición inicial:

• $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 2x+10y \\ \dot{y} &= -x-y \end{alignedat} \, \, \, \, ; \, \, \, \, \begin{alignedat}{4} x(0) &= 0 \\ y(0) &= 1 \end{alignedat}.$

• $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 3x-4y+e^{t} \\ \dot{y} &= x-y-e^{t} \end{alignedat} \, \, \, \, ; \, \, \, \, \begin{alignedat}{4} x(0) &= 1 \\ y(0) &= -1 \end{alignedat}.$

Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones:

• $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 2x+y+z \\ \dot{y} &= x-y-z \\ \dot{z} &= 3x+y-2z \end{alignedat}$

Recuerda que aunque no resolvimos ecuaciones diferenciales de tercer orden, los métodos que desarrollamos para ecuaciones de segundo orden se pueden extender a ecuaciones de orden superior.

Más adelante

Ya hemos resuelto algunos sistemas lineales con coeficientes constantes, aunque su solución dependió de nuestros conocimientos acerca de las ecuaciones de orden superior con coeficientes constantes. Necesitamos nuevas herramientas para poder resolver los mismos sistemas sin tener que resolver una ecuación de orden superior.

En la próxima entrada hablaremos de la exponencial de una matriz, veremos cómo definir este nuevo término y por supuesto estudiaremos sus principales propiedades. La exponencial de una matriz estará fuertemente relacionada con la forma como resolveremos más adelante los sistemas lineales con coeficientes constantes.

¡Hasta la próxima entrada!

Notas relacionadas

• Ir a Ecuaciones Diferenciales I
• Entrada anterior del curso: Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden
• Siguiente entrada del curso: La exponencial de una matriz

• Notas escritas relacionadas con el tema: Método de eliminación de variables

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Introducción

Bienvenidos a la tercera unidad del curso de Ecuaciones diferenciales ordinarias, donde estudiaremos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Un sistema de ecuaciones es una familia de ecuaciones diferenciales de la forma $$\begin{alignedat}{4} \dot{x}_{1} &= F_{1}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ \dot{x}_{2} &= F_{2}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ & \; \; \vdots \notag \\ \dot{x}_{n} &= F_{n}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \end{alignedat}$$ donde $t$ es la variable independiente, cada $x_{i}$ es una variable dependiente de $t$ y cada $F_{i}$ es una función que depende de las $n+1$ variables.

Los sistemas de ecuaciones aparecen con frecuencia en problemas de física o biología, en los que el fenómeno en cuestión involucra más de una variable. Estas variables interactúan entre sí, por lo que la razón de cambio de éstas depende tanto del tiempo como de las variables restantes.

Vamos a estudiar propiedades que cumple el conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo, y posteriormente resolveremos estos sistemas desde un punto de vista matricial, por lo que tus conocimientos de Álgebra lineal serán de utilidad.

En esta entrada definiremos lo que es un sistema de ecuaciones de primer orden, así como también una solución. Hablaremos del problema de condición inicial y enunciaremos el teorema de existencia y unicidad, el cual es la base para desarrollar toda la teoría alrededor de los sistemas lineales. Escribiremos el sistema de ecuaciones en forma matricial, y finalizaremos haciendo un cambio de variable para transformar una ecuación de orden $n\geq 2$ en un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales de primer orden. Con esta transformación podremos encontrar soluciones a ecuaciones de cualquier orden resolviendo su sistema de ecuaciones asociado.

Como te habrás dado cuenta, en el sistema de ecuaciones escrito al inicio, para denotar a la derivada de una función utilizaremos la siguiente notación: $$\dot{y}=y’=\frac{dy}{dt}.$$

Además, denotaremos por $x_{1}, x_{2},…,x_{n}$ a las variables dependientes de $t$. Para los sistemas de dos o tres ecuaciones diferenciales denotaremos $x$, $y$, $z$ a las variables dependientes de $t$, salvo que esta notación cause confusión.

Vamos a comenzar.

Sistemas de ecuaciones de primer orden y ejemplos

En el primer video de esta entrada damos las definiciones de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución al sistema, diremos cuándo el sistema es lineal, no lineal, homogéneo o no homogéneo. Finalizamos dando dos ejemplos de problemas donde aparecen sistemas de ecuaciones de primer orden.

Problema de condición inicial y el teorema de existencia y unicidad

En el segundo video hablamos un poco de los problemas de condición inicial y enunciamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden, tanto la versión general como la versión para sistemas lineales homogéneos. Mas adelante daremos una demostración de la segunda versión.

Sistemas de ecuaciones en forma matricial y transformación de una ecuación de orden superior en un sistema de ecuaciones de primer orden

En el último video, damos la notación matricial para los sistemas de ecuaciones de primer orden. Además, transformamos una ecuación de orden $n\geq 2$ en un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales haciendo un sencillo cambio de variable.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

• Transforma las ecuaciones $a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0$ y $a\dddot{y}+b\ddot{y}+c\dot{y}+dy=0$, donde $a$,$b$,$c$,$d$ son constantes y $a\neq0$ en sistemas de ecuaciones de primer orden, y escribe el sistema en forma matricial.

• Transforma la ecuación diferencial no lineal $$\ddot{y}+\cos{y}=t$$ en un sistema de ecuaciones de primer orden.

• Considera la ecuación $$a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0.$$ Prueba que si $$\textbf{X}=\begin{pmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{pmatrix}$$ es solución al sistema de ecuaciones $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{c}{a} & -\frac{b}{a} \end{pmatrix} \textbf{X}$$ entonces $y(t)=x_{1}(t)$ es solución a la ecuación diferencial.

• Prueba que si $y(t)$ es solución a la ecuación diferencial $$a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0$$ entonces $$\textbf{X}=\begin{pmatrix} y(t) \\ \dot{y}(t) \end{pmatrix}$$ es solución al sistema de ecuaciones $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{c}{a} & -\frac{b}{a} \end{pmatrix} \textbf{X}.$$

Más adelante

Una vez que hemos establecido las definiciones básicas, la notación y el teorema de existencia y unicidad, vamos a estudiar propiedades que cumple el conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones. Estas propiedades son en su mayoría análogas a las que enunciamos y probamos para ecuaciones diferenciales de segundo orden, por lo que será fácil abordarlas.

¡Hasta la próxima!

Entradas relacionadas

• Ir a Ecuaciones Diferenciales I
• Entrada anterior del curso: Método de la transformada de Laplace
• Siguiente entrada del curso: Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden

• Notas escritas relacionadas con el tema: Sistemas de ecuaciones diferenciales

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»