Introducción
A continuación hablaremos acerca de los axiomas débiles de la teoría de los conjuntos. Veremos que a partir de dichos axiomas podemos deducir a los axiomas de existencia, de par, de unión y de conjunto potencia.
Axiomas débiles
Veamos que nos dicen los axiomas débiles de la teoría de conjuntos:
- Axioma débil de existencia: Existe un conjunto.
- Axioma débil del par: Para cualesquiera $a,b$ existe un conjunto $c$ tal que $a\in c$ y $b\in c$.
- Axioma débil de unión: Para cualquier conjunto $s$ existe un conjunto $U$ tal que $x\in a$ y $a\in s$, entonces $x\in U$.
- Axioma débil del conjunto potencia: Para cualquier conjunto $a$ existe un conjunto $p$ tal que si $x\subseteq a$ entonces $x\in p$.
Diferencias entre axiomas débiles y los axiomas
Notemos que hay ligeras diferencias con los axiomas que hemos visto hasta ahora, sin embargo, esto hace que no sean iguales.
El axioma débil de existencia nos asegura que existe al menos un conjunto, sin embargo, no necesariamente será el conjunto vacío.
Por su parte, para $a$ y $b$ conjuntos el axioma débil de par nos otorga un conjunto cuyos elementos serán $a$ y $b$, pero no necesariamente serán sus únicos elementos como en el caso del axioma del par.
Ejemplo:
Sean $a$ y $b$ conjuntos, existe $c=\set{a, b, \emptyset}$. Tenemos que en efecto $a\in c$ y $b\in c$, sin embargo, $\emptyset\in c$. Por lo que, el conjunto que nos otorga el axioma débil del par no necesariamente resultar ser un par no ordenado.
$\square$
El axioma débil de unión nos asegura que para cualquier conjunto $s$ existe un conjunto $U$ cuyos elementos serán los elementos de los elementos de $s$, sin embargo, $U$ puede tener elementos $x$ que no cumplan que $x\in a$ y $a\in s$.
Ejemplo:
Si $s=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $U=\set{\emptyset, b}$ con $b\not=\emptyset$ un conjunto. Por un lado, $\emptyset\in \set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\in s$, pero $b\in s$.
$\square$
Finalmente, para el axioma débil del conjunto potencia pasa algo parecido. Si $a$ es un conjunto, el axioma nos otorga un conjunto $p$ cuyos elementos son aquellos que están contenidos en $a$, pero no necesariamente serán los únicos elementos del conjunto $p$.
Ejemplo:
Sea $a=\set{\emptyset}$, tenemos que existe $p=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$. Notemos que $\emptyset\subseteq a=\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\subseteq a=\set{\emptyset}$. Sin embargo, $\set{\set{\emptyset}}\not\subseteq a$ pues $\set{\emptyset}\in \set{\set{\emptyset}}$ pero $\set{\emptyset}\notin \set{\emptyset}$.
$\square$
Axioma débil de existencia y axioma esquema de comprensión implican axioma de existencia:
Demostración:
Sea $A$ el conjunto que existe por axioma débil de existencia. Luego, por axioma esquema de comprensión tenemos que
$\set{x\in A: x\not=x}$
es conjunto.
Veamos que $\set{x: x\not=x}$ es conjunto. Para ello basta ver que $\set{x\in A: x\not=x}=\set{x:x\not=x}$.
$\subseteq$] Sea $y\in \set{x\in A:x\not=x}$, entonces $y\in A$ y $y\not=y$. Por lo tanto, $y\in \set{x:x\not=x}$.
Así, $\set{x\in A: x\not=x}\subseteq \set{x:x\not=x}$.
$\supseteq$] Supongamos que $\set{x: x\not=x}\not\subseteq\set{x\in A:x\not=x}$ en busca de una contradicción. Entonces existe $y\in \set{x:x\not=x}$ tal que $y\notin {x\in A:x\not=x}.
Dado que $y\in \set{x:x\not=x}$ tenemos que $y\not=y$ lo cuál es una contradicción y por lo tanto, debe ocurrir que $\set{x: x\not=x}\subseteq\set{x\in A:x\not=x}$.
$\square$
Axioma débil de par y axioma esquema de comprensión implican axioma de par:
Demostración:
Sean $a$ y $b$ conjuntos. Sea $c$ el conjunto que existe por axioma débil de par. Luego, por axioma esquema de comprensión tenemos que
$\set{x\in c: x=a\ o\ x=b}$
es conjunto.
Veamos que $\set{x: x=a\ o\ x=b}$ es conjunto. Para ello basta ver que $\set{x\in c: x=a\ o\ x=b}=\set{x:x\in a\ o \ x=b}$.
$\subseteq$] Sea $y\in \set{x\in c:x=a\ o\ x=b}$, entonces $y\in c$ y es tal que $y=a$ o $y=b$. Por lo tanto, $y\in \set{x:x=a\ o\ x=b}$.
Así, $\set{x\in c: x=a\ o\ x=b}\subseteq\set{x:x\in a\ o \ x=b}$.
$\supseteq$] Supongamos que $y\in \set{x: x=a\ o\ x=b}$. Entonces $y=a$ o $y=b$.
Caso 1: Si $y=a$, dado que $a\in c$ entonces $y\in c$.
Caso 2: Si $y=b$, dado que $b\in c$ entonces $y\in c$.
Por lo tanto, $y\in \set{x\in c: x=a\ o\ x=b}$ y así $\set{x: x=a\ o\ x=b}=\set{x\in c:x\in a\ o \ x=b}$.
$\square$
Axioma débil de unión y axioma esquema de comprensión implican axioma de unión:
Demostración:
Sea $a$ un conjunto y sea $d$ el conjunto que nos otorga el axioma débil de unión.
Luego, por axioma esquema de comprensión tenemos que
$\set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}$
es conjunto.
Veamos que $\set{x: \exists y\in a(x\in y)}$ es conjunto. Para ello basta ver que $\set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}=\set{x:\exists y\in a(x\in y)}$.
$\subseteq$] Sea $z\in \set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}$, entonces $z\in d$ y es tal que existe $y\in a$ tal que $z\in y$. Por lo tanto, $z\in \set{x: \exists y\in a(x\in y)}$.
Así, $\set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}\subseteq \set{x:\exists y\in a(x\in y)}$.
$\supseteq$] Supongamos que $z\in \set{x:\exists y\in a(x\in y)}$. Entonces, existe $y\in a$ tal que $z\in y$. Así, $z\in d$ y por lo tanto, $z\in \set{x\in d:\exists y\in a(x\in y)}.
Por lo tanto, $\set{x: \exists y\in a(x\in y) }=\set{x\in d:\exists y\in a(x\in y)}$.
$\square$
Tarea moral
La siguiente lista de ejercicios te ayudará a poner en práctica lo que hemos visto en esta sección pues ahora tú tendrás que dar algunos ejemplos distintos a los de esta entrada que nos permitan diferenciar a los axiomas débiles de los axiomas que conocemos de la teoría de los conjuntos:
- Demuestra que se puede inferir el axioma del conjunto potencia del axioma débil del conjunto potencia y del axioma esquema de comprensión.
- Da un ejemplo que muestre la diferencia entre el axioma débil de par y el axioma de par.
- Da un ejemplo que muestre la diferencia entre el axioma débil de unión y el axioma de unión.
- Da un ejemplo que muestre la diferencia entre el axioma débil del conjunto potencia y el axioma del conjunto potencia.
Más adelante…
En este momento hemos sentado las bases para nuestro curso de teoría de conjuntos. En la siguiente lección comenzaremos a hablar acerca del complemento de un conjunto. Este nuevo conjunto también se tratara de una operación entre conjuntos. Sus resultados como las leyes de De Morgan, nos serán de gran utilidad para hacer álgebra de conjuntos.
Enlaces
En los siguientes enlaces podrás encontrar algunas entradas que te servirán para repasar los conceptos que utilizaremos más adelante: