Archivo de la categoría: Matemáticas

Posts de matemáticas, la ciencia más cercana a las artes.

Cálculo Diferencial e Integral II: Longitud de arco en coordenadas polares

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Deja un comentario

Introducción

En la sección anterior vimos como calcular el área de una curva que está acotada por una curva y el área entre dos curvas en coordenadas polares, en esta sección veremos como calcular la longitud de arco de una curva en coordenadas polares, la idea de calcular de la longitud es la misma para calcular la longitud de una curva en coordenadas cartesianas, en esta ocasión, lo haremos en coordenadas polares, pero para esto veamos un teorema para la longitud de arco para las curvas paramétricas.

Longitud de arco para curvas paramétricas

Teorema. Si una curva $C$ se describe mediante las ecuaciones paramétricas $x=f(t)$ y $y=g(t)$, con $\alpha \leq t \leq \beta$, donde $f’$ y $g’$ son continuas en el intervalo $[\alpha, \beta]$, entonces la longitud de $C$ que es recorrida una sola vez cuando $t$ aumenta desde $\alpha$ hasta $\beta$, se calcula como:

$$L=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dy}{dt}\right )^{2}}dt$$

Demostración:

Sea $C$ la curva en un intervalo $[\alpha, \beta]$, se divide este intervalo en $n$ subintervalos $t_{0}, \space t_{1},…., \space t_{n}$ con longitud $\Delta t$. Aproximamos la curva $C$ con polígonos con vértices $P_{0}, \space, P_{1}, \space, …., P_{n}$, como se muestra en la figura $(1)$.

Figura 1: Aproximación de polígonos (líneas negras) a una curva $C$ (curva roja).

Si el número de polígonos tiende a infinito, es decir, $n \to \infty$, entonces:

$$L=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}|P_{i-1}-P_{i}|$$

Aplicamos el teorema de valor medio a $f$ en el intervalo $[t_{i-1},t_{i}]$, encontramos un número $t^{*}_{i}$ tal que:

$$f(t_{i})-f(t_{i-1})=f'(t^{*}_{i})(t_{i}-t_{i-1})$$

Lo podemos reescribir en términos de deltas como:

$$\Delta x_{i}=f'(t^{*}_{i})\Delta t$$

Análogamente, hacemos lo mismo para $g(t)$, aplicando el teorema del valor medio encontrando un número $t^{**}_{i}$ tal que:

$$\Delta y_{i}=g'(t^{**}_{i})\Delta t$$

Por lo que la longitud la podemos escribir como:

$$L= \lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n} |P_{i-1}-P_{i}|=\lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$$

$$=\lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(f'(t^{*}_{i})\Delta t)^{2}+(g'(t^{**}_{i})\Delta t)^{2}}=\lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(f'(t^{*}_{i}))^{2}+(g'(t^{**}_{i}))^{2}}\Delta t$$

Si $f’$ y $g’$ son continuas, entonces el límite de la suma es el mismo que si $t^{*}_{i}$ y $t^{**}_{i}$ fueran iguales, por lo que:

$$L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left [ f'(t) \right ]^{2}+\left [ g'(t) \right ]^{2}}dt$$

En notación de Leibniz tenemos que:

$$L=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dy}{dt}\right )^{2}}dt \tag{1}$$

$\square$

Este teorema nos servirá para calcular la longitud de una curva en coordenadas polares.

Longitud de arco en coordenadas polares

Sea una curva polar dada por $r=f(\theta)$, en un intervalo $a \leq \theta \leq b$, podemos escribir las ecuaciones paramétricas como:

$$x=r\cos(\theta)=f(\theta)\cos(\theta) \hspace{2cm} y=r\sin(\theta)=f(\theta)\sin(\theta)$$

Derivamos respecto a $\theta$ las dos anteriores ecuaciones, por lo que:

$$\frac{dx}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\cos(\theta)-r\sin(\theta) \hspace{2cm} \frac{dy}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\sin(\theta)+r\cos(\theta)$$

Elevando al cuadrado, y sumando las derivadas, obtenemos:

$$\left ( \frac{dx}{d\theta} \right )^{2}+\left ( \frac{dy}{d\theta} \right )^{2}=\left (\frac{dr}{d\theta}\cos(\theta)-r\sin(\theta) \right )^{2}+\left (\frac{dr}{d\theta}\sin(\theta)+r\cos(\theta) \right )^{2}$$

$$=\left (\frac{dr}{d\theta}\right )^{2}\cos^{2}(\theta)-2\frac{dr}{d\theta}\cos(\theta)r\sin(\theta)+r^{2}\sin^{2}(\theta)+\left (\frac{dr}{d\theta}\right )^{2}\sin^{2}(\theta)+2\frac{dr}{d\theta}\sin(\theta)r\cos(\theta)+r^{2}\cos^{2}(\theta)$$

Utilizando que $\sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1$, entonces:

$$\left ( \frac{dx}{d\theta} \right )^{2}+\left ( \frac{dy}{d\theta} \right )^{2}=\left (\frac{dr}{d\theta}\right )^{2}+r^{2}$$

Utilizando la relación $(1)$, suponiendo que $f’$ es continua, entonces la longitud de una curva polar está dada como:

$$L=\int_{a}^{b} \sqrt{ r^{2}+\left ( \frac{dr}{d\theta}\right )^{2}}d\theta$$

Ejemplo

  • Encontrar la longitud del cardioide dado como: $r=1-\cos(\theta)$

En este caso, tenemos que:

$$r^{2}+\left ( \frac{dr}{d\theta}\right )^{2}=(1-\cos(\theta))^{2}+\sin^{2}(\theta)=1-2\cos(\theta)+\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta)=2-2\cos(\theta)$$

Así la longitud de arco es:

$$L=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2-2\cos(\theta)}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{4\sin^{2}(\frac{\theta}{2})}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{4\sin^{2}(\frac{\theta}{2})}d\theta$$

$$=2\int_{0}^{2\pi}\sin(\frac{\theta}{2})d\theta=\left [ -4\cos(\frac{\theta}{2}) \right ]\bigg|^{2\pi}_{0}=4+4=8$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentre la longitud de la curva polar dada como $r=3\sin(\theta)$, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$.
  2. Encuentre la longitud de la curva polar dada como $r=e^{2\theta)$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$.
  3. Encuentre la longitud de la curva polar dada como $r=\theta^{2}$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$.
  4. Encuentre la longitud de la curva polar de un pétalo de rosa dada como $r=\cos(2\theta)$.
  5. Encuentre la longitud de la curva polar de un cardiode dado como $r=a(1+\cos(\theta))$, $a > 0$.

Más adelante…

En esta sección vimos un teorema que nos dice como calcular la longitud de una curva dada por dos curvas paramétricas en general, aplicando este teorema, vimos que se puede utilizar para poder calcular la longitud de una curva en coordenadas polares. En la siguiente sección veremos las funciones hiperbólicas.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral II: Área en coordenadas polares

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Deja un comentario

Introducción

En la sección anterior vimos una introducción a las coordenadas polares, ahora veremos como calcular el área de una región acotada por una curva polar.

Área en coordenadas polares

Figura 1: Aproximación al área de la curva dada por $r=f(\theta)$.

Sea la curva polar $r=f(\theta)$ y los rayos $\theta=a$ y $\theta=b$ como se muestra en la figura $(1)$, con $f$ una función positiva y $0 < b-a \leq 2\pi$. Dividimos el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos $[\theta_{i-1}, \theta_{i}]$ con amplitud $\Delta \theta$, sea $\theta^{*}_{n}$ un punto medio en el intervalo $[\theta_{i-1}, \theta_{i}]$, entonces el área $\Delta A_{i}$ se aproxima al área de un circulo con un ángulo $\Delta \theta$ y radio $f(\theta^{*}_{n})$, recordando que el área del sector de un circulo es proporcional a su ángulo central:

$$A=\frac{\theta}{2\pi}\pi r^{2}=\frac{1}{2}r^{2}\theta$$

Entonces tenemos que:

$$\Delta A_{i}\approx \frac{1}{2}[f(\theta^{*}_{n})]^{2}\Delta \theta $$

Si sumamos todos los $n$ subintervalos, se tiene que:

$$\sum_{i=1}^{n}\Delta A_{i}\approx \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}[f(\theta^{*}_{n})]^{2}\Delta \theta $$

Si hacemos tender $n \to \infty$, entonces:

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}[f(\theta^{*}_{n})]^{2}\Delta \theta=\int_{a}^{b} \frac{1}{2}[f(\theta^{*}_{n})]^{2} d \theta$$

Por tanto, el área para calcular la región acotada por la curva $r=f(\theta)$ y los rayos $\theta=a$ y $\theta=b$ esta dado como:

$$A=\int_{a}^{b} \frac{1}{2}[f(\theta^{*}_{n})]^{2} d \theta \tag{1}$$

A menudo, la ecuación $(1)$ se expresa como:

$$A=\int_{a}^{b} \frac{1}{2}r^{2} d \theta $$

Ejemplos

  • Determine el área encerrada por un bucle de la rosa de cuatro hojas cuya curva esta dada como: $r=\cos(2\theta)$.
Figura 2: Grafica de la curva $r=\cos(2\theta)$.

Como queremos solo un bucle, de la figura $(2)$, vemos que los rayos $\theta=\frac{\pi}{4}$ y $\theta=-\frac{\pi}{4}$ encierran el bucle derecho de la rosa, por lo que el área la calculamos como:

$$A=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2}r^{2}d\theta=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\cos(2\theta))^{2}d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos(2\theta))^{2}d\theta$$

Utilizamos una relación para el coseno:

$$\cos^{2}(2x)=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{4}\cos(4x))$$

Por ende:

$$A=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos(2\theta))^{2}d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2}(1+\cos(4\theta))d\theta=\frac{1}{2}\left [ \theta+\frac{1}{4}\sin(4\theta) \right ]\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{8}$$

Por tanto el área de un bucle de la rosa es: $A=\frac{\pi}{8}$

  • Determinar el área de la región en el plano, acotada por la cardioide $r=2(1+\cos(\theta))$.
Figura 3: Grafica de la curva $r=2(\cos(\theta)+1)$.

Como queremos toda el área del cardioide entonces integramos de $0$ a $2\pi$, por lo que:

$$A=\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}r^{2}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}4(1+\cos(\theta))^{2}d\theta=\int_{0}^{2\pi}2(1+2\cos(\theta)+\cos^{2}(\theta))d\theta$$

Utilizamos la relación:

$$\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}$$

Por tanto:

$$\int_{0}^{2\pi} (2+4\cos(\theta)+1+\cos(2\theta)d\theta=\int_{0}^{2\pi} (3+4\cos(\theta)+\cos(2\theta)d\theta=\left [ 3\theta+4\sin(\theta)+\frac{\sin(2\theta)}{2} \right ]\bigg|_{0}^{2\pi}=6\pi$$

$\space$

El área entre dos curvas acotadas por las curvas $r_{1}=f(\theta)$ y $r_{2}=f(\theta)$, $(\theta)=a$ y $(\theta)=b$, con $f(\theta) \geq g(\theta) \geq 0$ y $0 < b-a \leq 2\pi$ se puede calcular mediante la siguiente formula:

$$\int_{a}^{b}\frac{1}{2}[f(\theta )-g(\theta )]^{2}d\theta$$

La idea de la deducción de esta formula es la misma idea al aproximar el área de una curva en coordenadas polares de esta sección, en este caso es sobre dos curvas.

En este tipo de coordenadas es un poco complicado dibujar este tipo de graficas por lo que hay algunas herramientas útiles en internet como Geogebra y Wolfram para visualizar estas curvas, incluso, si sabe programar, lo puede intentar con el lenguaje de programación de su agrado.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionado con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Deduzca la formula para calcular el área entre dos curvas en coordenadas polares.
  2. Encuentre el área de la región acotada por: $r=\sqrt{\theta}$.
  3. Encuentre el área de la región acotada por: $r=\theta^{2}$ y el sector$0\leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$.
  4. Encuentre el área de la región acotada por: $r=e^{\frac{\theta}{2}}$ y el sector$0\leq \theta \leq 2\pi$.
  5. Encuentre el área de la región acotada por: $r=\sqrt{sin(\theta)}$ y el sector$0\leq \theta \leq \pi$.
  6. Encuentre el área de la región acotada por el circulo $r=1$ y fuera del cardioide $r=1-\cos(\theta)$.

Más adelante…

En esta sección vimos como calcular el área de una curva en coordenadas polares y entre dos curvas, obsérvese que la idea de calcular estas áreas es la misma que en coordenadas cartesianas, al igual, la idea de calcular la longitud de arco en coordenadas polares será la misma que en coordenadas cartesianas, el calculo de la longitud de arco con curvas polares lo veremos en la siguiente sección.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral II: Coordenadas Polares

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Deja un comentario

Introducción

En las secciones anteriores vimos una introducción a las curvas paramétricas, así como calcular las tangentes a estas curvas. En esta sección veremos una introducción a las coordenadas polares, ya que es importante en las matemáticas y futuras materias en su estudio.

Coordenadas polares

Las coordenadas polares son un sistema coordenado bidimensional en el que un punto en este plano es determinado por una distancia y un ángulo. El origen $O$ es llamado polo, y una semirrecta desde $O$ se llama eje polar como en la figura $(1)$, este eje generalmente se traza horizontalmente a la derecha correspondiente a la parte positiva del eje $x$ en las coordenadas cartesianas.

Figura 1: Coordenadas polares.

Sea $P$ un punto cualquiera en el sistema coordenado, entonces su distancia de $O$ a $P$ es $r$ denominándose distancia radial o radio vector y $\theta$ es el ángulo entre el eje polar y la recta $OP$ denominada como ángulo polar o coordenada angular, este ángulo generalmente se mide en radianes, por lo que el punto $P$ representa el par ordenado $P(r, \theta)$ y $r$, $\theta$ se llaman coordenadas polares del punto $P$.

$\theta$ es positivo cuando se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo cuando se mide en sentido a las manecillas del reloj, mientras que $r$ siempre es mayor o igual a cero $(r \geq 0)$, en el caso del origen, el valor de $r$ es cero, pero el valor de $\theta$ se indefine, por lo que se define el valor en el origen como $(0, 0^{\circ})$.

Veamos unos ejemplos sencillos.

  • Graficar los siguientes puntos cuya coordenadas son: $A=(1, \frac{\pi}{4})$, $B=(2, 3\pi)$ y $C=(1, \frac{5\pi}{4})$

Para graficar los puntos en coordenadas polares es sencillo, nos fijamos en la coordenada angular de cada punto y partimos del eje polar, dibujando los ángulos de cada punto con su respectivo radio vector como se muestra en la figura $(2)$. Vemos en el caso del punto $B$ en donde la coordenada angular es $3\pi$ por lo que se tiene que dar una vuelta completa $(2\pi)$ más $pi$.

Figura 2: Visualización de los puntos A, B y C en coordenadas polares.

Conversión de coordenadas

Para pasar de las coordenadas cartesianas a las coordenadas polares, veamos la siguiente figura:

Figura 3: Relación entre coordenadas polares y cartesianas.

Vemos que el punto $O$ es el origen de las coordenadas cartesianas que coincide con el origen de las coordenadas polares, sea un punto cualquier $P$ con coordenadas cartesianas $P(x, y)$ y coordenadas polares $P(r, \theta)$ en el plano, formando un triángulo rectángulo y sabemos que:

$$\cos(\theta )=\frac{x}{r} \hspace{1.5cm}\sin(\theta )=\frac{y}{r}$$

Por tanto:

$$ x=r\cos(\theta )\hspace{1.5cm} y=r\sin(\theta) \tag{1}$$

A estas dos ecuaciones $(1)$ nos permite cambiar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas. Para coordenadas cartesianas a coordenadas polares tenemos la siguiente relación:

$$r^{2}=x^{2}+r^{2} \hspace{1.5cm}\tan(\theta )=\frac{y}{x}$$

Se dejará como tarea moral deducir las relaciones anteriores.

Observación: Vea que en el caso de $r$ se tiene dos soluciones, pero sabemos que se toma el valor positivo. En el caso de calcular la coordenada angular, al despejar la variable $\theta$ tendremos la función tangente inversa, el cual el dominio es $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} )$, para obtener un único valor de $\theta$ en el intervalo $[0, 2\pi)$ nos basamos en la siguiente fórmula:

$$\theta =  \left\{ \begin{array}{c}\arctan\left( \frac { y }{ x } \right) \quad ~ ~ ~~~~si~ x<0,~ y\leq 0 \\ \frac { \pi }{ 2 } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ si~ x=0,~ y>0 \\ arctan\left(\frac{y}{x}\right) +\pi~ si~ x<0 \\ \frac { 3\pi }{ 2 } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ si~ x=0,~ y<0 \\ \arctan\left( \frac { y }{ x } \right) +2\pi ~ ~ si~ x=0,~ y<0 \end{array}\right.$$

Veamos un ejemplo:

  • Convierta el punto $(2, \frac{\pi}{3})$ de coordenadas polares a coordenadas cartesianas.

Por la relación (1) tenemos que:

$x=r\cos(\theta )=2\cos(\frac{\pi}{3})=2\frac{1}{2}=1$

$y=r\sin(\theta)=2\sin(\frac{\pi}{3})=2\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Por tanto el punto en coordenadas cartesianas es: $(1, \sqrt{3})$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Convierta los siguientes puntos en coordenadas cartesianas a coordenadas polares: $(-2, 2)$, $(-3, -3)$, $(4, -2)$.
  2. Deduzca la relación para pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas polares.
  3. ¿Qué curva representa la ecuación polar $r=2$?
  4. Determinar la ecuación polar para la circunferencia $x^{2}+(y-3)^{2}=9$
  5. Bosqueje la curva $r=1+\sin(\theta)$

Más adelante…

En esta sección vimos una introducción a las coordenadas polares y como pasar de estas coordenadas a las coordenadas cartesianas y viceversa, en la siguiente sección veremos algunas figuras en estas coordenadas y calcularemos el área de una curva polar.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral II: Tangentes a curvas paramétricas

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Deja un comentario

Introducción

En esta sección veremos como calcular derivadas a las ecuaciones paramétricas que vimos en la sección anterior.

Tangentes a curvas paramétricas

Las curvas paramétricas los podemos escribir como:

$$x=f(t) \space \space \space \space y \space \space \space \space y=g(t)$$

Sustituimos la expresión para $x$ en la ecuación $y=F(x)$, por lo que:

$$y=g(t)=F(f(t))$$

Si $g$, $f$, y $F$ son derivables, entonces por la regla de la cadena tenemos que:

$$g'(t)=F'(f(t))f'(t)=F'(x)f'(t)$$

Si $f'(t)\neq 0$, entonces:

$$F'(x)=\frac{g'(t)}{f'(t)} \tag{1}$$

Por lo que la relación $(1)$ es la pendiente de la tangente de la curva $y=F(x)$ en $(x, F(x))$. Si a la ecuación anterior empleamos la notación de Leibniz entonces se tiene que:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

Donde:

$$\frac{dx}{dt} \neq 0$$

Obteniendo la segunda derivada se obtiene que:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • Encuentre la tangente a la cicloide con ecuaciones paramétricas $x=r(\theta-\sin(\theta)),$ $y=r(1-\cos(\theta))$ en el punto donde $\theta=\pi/3$.

Calculemos la derivada como:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{r\sin(\theta)}{r(1-\cos(\theta))}=\frac{\sin(\theta)}{1-\cos(\theta)}$$

Evaluamos el punto $\theta=\pi /3$ en $x$ y $y$, entonces tenemos que:

$$x=r\left ( \frac{\pi}{3}-\sin(\frac{\pi}{3}) \right )=r\left ( \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$$

$$y=r\left ( 1-\cos(\frac{\pi}{3}) \right )=\frac{r}{2}$$

Por otro lado, evaluando en la derivada:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin(\pi/3)}{1-\cos(\pi /3)}=\frac{2\sqrt{3}}{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$

Por tanto, la pendiente de la tangente es $\sqrt{3}$.

  • Encuentre la segunda derivada de la siguiente ecuación paramétrica: $x=t^{5}-4t^{3}$ y $y=t^{2}$

Calculemos la primera derivada:

$$\frac{dy}{dt}=2t$$

$$\frac{dx}{dt}=5t^{4}-12t^{2}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{ 2t }{ 5t^{4}-12t^{2} }=\frac{2}{5t^{3}-12t}$$

Ahora encontramos $\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})$:

$$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}\left ( \frac{2}{5t^{3}-12t} \right )=\frac{12(15t^{2}-12)}{(5t^{3}-12t)^{2}}=\frac{24-30t^{2}}{(5t^{3}-12t)^{2}}$$

Por lo que:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{24-30t^{2}}{(5t^{3}-12t)^{2}}}{5t^{4}-12t^{2}}=\frac{24-30t^{2}}{(5t^{3}-12t)^{2}(5t^{4}-12t^{2})}$$

$$\therefore \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{24-30t^{2}}{t(5t^{3}-12t)^{3}}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Una curva $C$ tiene como ecuaciones paramétricas $x=t^{2}$ y $y=t^{3}-3t$.
  1. Muestre que la curva $C$ tiene dos tangentes en el punto $(3,0)$.
  2. Determine los puntos en $C$ donde la tangente es horizontal o vertical.
  3. Determine donde la curva es cóncava o convexa.
  4. Bosqueje una grafica.
  • Matemáticamente explique lo siguiente:

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \neq \frac{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}$$

Más adelante…

En esta sección vimos como calcular la curva tangente de las curvas paramétricas así como calcular la segunda derivada de estas, en la siguiente sección veremos una introducción a las coordenadas polares.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral II: Curvas paramétricas

Por Miguel Ángel Rodríguez García

2 respuestas

Introducción

En esta sección veremos curvas que se pueden representar por un sistema de ecuaciones llamadas ecuaciones paramétricas, ya que formalmente estas curvas no son funciones, es decir, no cumplen el criterio de la definición de función $(y=f(x))$, por lo que solo le llamamos curvas, denotado comúnmente por la letra $C$ a estas curvas.

Curvas paramétricas

Figura 1: Curva paramétrica.

Sea $C$ una curva en el plano como en la figura $(1)$, las coordenadas de $x$ y $y$ son funciones de otra variable, generalmente denotada por la variable $t$, por tanto, podemos escribir:

$$x=f(t) \space \space \space \space y \space \space \space \space y=g(t)$$

A la variable $t$ se le conoce como parámetro, y a las ecuaciones anteriores se le conocen como las ecuaciones paramétricas de la curva $C$. Notemos que cada valor de $t$ determina un punto $(x, y)$ por lo que cuando $t$ va variando, el punto $(x,y)=(f(t), g(t))$ también va variando trazando la curva $C$.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

  • Grafica la curva definida por la siguientes ecuaciones paramétricas: $x=t^{2}-2t \space \space \space y=t+1$.

Para graficar este tipo de curvas tenemos que ir variando la variable $t$, por lo que obtenemos algunos valoras bajo las curvas paramétricas en la tabla siguiente:

txy
-28-1
-130
001
1-12
203
334
485
Tabla 1: Valores de $x$ y $y$ variando la variable $t$ bajo las curvas paramétricas.

De los valores anteriores obtenemos la curva siguiente:

Figura 2: Curva paramétrica.

De la ecuación para $y$ tenemos que:

$$t=y+1$$

Si sustituimos esta ecuación en la ecuación para $x$ entonces tenemos que:

$$x=t^{2}-2t=(y+1)^{2}-2(y+1)=y^{2}-4y+3$$

Por tanto, la curva representada por las ecuaciones paramétricas es una parábola.

  • Que curva representa las siguientes ecuaciones paramétricas: $x=\cos(t)$ y $y=\sin(t)$ con $0\leq t \leq 2\pi$

Podemos eliminar la variable $t$ elevando al cuadrado las variables $x$ y $y$, sumando estos términos obtenemos:

$$x^{2}+y^{2}=\cos^{2}(t)+\sin^{2}(t)=1$$

Por tanto, notamos que es la ecuación de una circunferencia de radio $1$ como vemos en la siguiente figura $(3)$.

Figura 3: Circunferencia de radio 1.

En algunos casos algunas curvas paramétricas forman algunas figuras espectaculares, por ejemplo, el hipocicloide definido como:

$$x=(a-b)\cos(t)+\cos(t \left ( \frac{a}{b} \right )-1)$$

$$y=(a-b)\sin(t)-\sin(t \left ( \frac{a}{b} \right )-1)$$

Donde el radio del círculo más grande es $a$ y el radio del círculo más pequeño es $b$, sea $k=\frac{a}{b}$ donde a $k$ se le conoce como el número de cúspides, por lo que al variar estos valores obtenemos las curvas siguientes:

Figura 4: Hipocicloide al variar $k$ [https://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_equation].

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invito a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Grafique las siguientes curvas paramétricas en el intervalo indicado.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $x=\sin(2t) \space \space y=\cos(2t), \space \space \space 0 \leq t \leq 2\pi$
  2. $x=2\sin(t) \space \space y=4+\cos(t), \space \space \space 0 \leq t \leq 3\pi/2$
  3. $x=t \space \space y=t^{2}, \space \space \space -2 \leq t \leq 2$
  • Elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de la curva dada como: $$x=t^{2}-2 \space \space y=5-2t, \space \space \space -3 \leq t \leq 4$$
  • Encuentre las ecuaciones paramétricas de una circunferencia de radio $r$ y centro $(h, k)$.

Más adelante…

En esta sección vimos curvas paramétricas y como graficarlas, en la siguiente sección veremos como calcular la tangente de una curva paramétrica.

Entradas relacionadas