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Cálculo Diferencial e Integral III: Teorema del valor medio para campos escalares

Por Alejandro Antonio Estrada Franco

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Introducción

Ya hemos definido qué es el gradiente $\nabla f$ de un campo escalar $f$. Hemos visto cómo está relacionado con las derivadas direccionales. Así mismo, mostramos que conocer este gradiente nos permite dar información sobre los máximos y mínimos del campo escalar. En esta entrada mostraremos una propiedad más del gradiente: que nos ayuda a dar una generalización del teorema del valor medio de Cálculo I, pero para campos escalares. Este será un resultado fundamental para demostrar otras propiedades de los campos escalares. Como ejemplo, también damos en esta entrada un criterio suficiente para que un campo escalar sea diferenciable.

Teorema del valor medio para funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$

Para facilitar la lectura de este material, recordemos lo que nos dice el teorema del valor medio sencillo, es decir, el de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$.

Teorema. Sean $a<b$ reales. Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo $(a,b)$. Entonces existe algún punto $c\in (a,b)$ tal que $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Una vez que uno interpreta el teorema gráficamente, se vuelve muy intuitivo. Considera la siguiente figura.

Intuición geométrica del teorema del valor medio

El término $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ es la pendiente del segmento que une los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ El término $f'(c)$ va marcando la pendiente de la recta tangente a $f$ en cada punto $c$. En términos geométricos, lo que nos dice este teorema es que para algún valor de $c$, la pendiente de la recta tangente en $c$ es la pendiente del segmento entre los extremos.

Lo que haremos a continuación es dar una generalización apropiada para funciones de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$.

Teorema del valor medio para funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}$

Para generalizar el teorema del valor medio a funciones de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$, necesitaremos cambiar un poco las hipótesis. El segmento $[a,b]$ que usábamos ahora será un segmento (multidimensional) que conecte a dos vectores $\bar{x}$ y $\bar{y}$ en $\mathbb{R}^n$. La diferenciabilidad la pediremos en todo un abierto que contenga al segmento. El enunciado apropiado se encuentra a continuación.

Teorema (del valor medio para campos escalares). Sea $S$ un abierto de $\mathbb{R}^n$. Tomemos $f:S\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ un campo escalar diferenciable. Sean $\bar{x}$ y $\bar{y}$ en $S$ tales que el segmento que une a $\bar{x}$ con $\bar{y}$ se queda contenido en $S$. Entonces, existe $c \in (0,1)$ tal que $$\nabla f((1-c )\bar{x}+c \bar{y})\cdot (\bar{y}-\bar{x})=f(\bar{y})-f(\bar{x}).$$

En este caso no podemos «pasar dividiendo $\bar{y}-\bar{x}$» pues no tiene sentido dividir entre vectores. Pero en el caso $n=1$ sí se puede, y justo obtenemos de vuelta el teorema del valor medio de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$. Uno podría pensar que entonces esta es una manera alternativa de demostrar el teorema para funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$. Sin embargo, como veremos a continuación, la demostración de la versión para campos escalares usa la versión para funciones reales.

Demostración. Consideremos la función $\gamma:[0,1] \to \mathbb{R}^{n}$ dada $\gamma (t)=(1-t)\bar{x}+t\bar{y}$. Notemos que $\gamma$ es diferenciable, con $\gamma’ (t)=\bar{y}-\bar{x}$. Además, por hipótesis $f$ es diferenciable en $S$. Así, $f\circ \gamma:[0,1]\to \mathbb{R}$ también es diferenciable, y por regla de la cadena

\begin{align*}
(f\circ \gamma)'(t)&=\nabla f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\\
&=\nabla f(\gamma(t))\cdot (\bar{y}-\bar{x}).
\end{align*}

¡Pero $f\circ \gamma$ ya es una función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$! Así, podemos aplicarle el teorema del valor medio real (verifica las hipótesis como tarea moral). Al hacer esto, obtenemos que existe una $c\in (0,1)$ tal que
\begin{align*}
(f\circ \gamma)'(c) &= \frac{(f\circ \gamma)(1)-(f\circ \gamma)(0)}{1-0}\\
&=f(\bar{y})-f(\bar{x}).
\end{align*}

Usando la fórmula que obtuvimos por regla de la cadena para $(f\circ \gamma)’$ y la definición de $\gamma$ obtenemos que

$$ \nabla f((1-c)\bar{x}+c\bar{y})\cdot (\bar{y}-\bar{x})=f(\bar{y})-f(\bar{x}),$$

tal y como buscábamos.

$\square$

En el teorema anterior estamos pidiendo que $f$ sea diferenciable. Sin embargo, basta con que exista la derivada de la composición en el segmento que nos interesa y el resultado también se sigue. Es decir, tenemos la siguiente versión con una hipótesis más débil. La enunciamos pues la usaremos en la siguiente sección.

Teorema (del valor medio para campos escalares, hipótesis debilitada). Sea $S$ un abierto de $\mathbb{R}^n$. Tomemos $f:S\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ un campo escalar. Sean $\bar{x}$ y $\bar{y}$ en $S$ tales que el segmento que une a $\bar{x}$ con $\bar{y}$ se queda contenido en $S$ y tales que para toda $c\in[0,1]$ se cumple que la derivada (real) de $f((1-c)\bar{x}+c\bar{y}))$ existe. Entonces, existe $c \in (0,1)$ tal que $$\nabla f((1-c )\bar{x}+c \bar{y})\cdot (\bar{y}-\bar{x})=f(\bar{y})-f(\bar{x}).$$

La demostración es exactamente la misma.

Aplicación del teorema del valor medio

Como primera aplicación del teorema del valor medio para campos escalares mostraremos un criterio de diferenciabilidad muy útil, al que llamaremos el teorema de diferenciabilidad y derivadas parciales.

Teorema. Sea $f:S\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ un campo escalar. Supongamos que para cierto punto $\bar{a}\in S$ y cierta vecindad $B_r(\bar{a})\subset S$ existen las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_{n}}$ y son continuas en $\bar{a}$. Entonces $f$ es diferenciable en $\bar{a}$.

Demostración. Elijamos un vector $\bar{u}=u_1\hat{e}_1+\dots +u_n\hat{e}_n$ de norma $1$ y tomemos $\bar{v}=\lambda \bar{u}$ con $\lambda$ suficientemente chico como para que $\bar{a}+\bar{v}$ esté en $B_{r}(\bar{a})$. Definamos los siguientes vectores:

\begin{align*}
\bar{v}_0&=\bar{0}\\
\bar{v}_1&=u_1\hat{e}_1\\
\bar{v}_2&=u_1\hat{e}_1+u_2\hat{e}_2\\
&\vdots\\
\bar{v}_n&=u_1\hat{e}_1+u_2\hat{e}_2+\ldots+u_n\hat{e}_n=\bar{u}.
\end{align*}

Con ellos creamos la siguiente suma telescópica para expresar a $f(\bar{a}+\bar{v})-f(\bar{a})$

\begin{align}
f(\bar{a}+\bar{v})-f(\bar{a})&=f(\bar{a}+\lambda \bar{u})-f(\bar{a}) \nonumber\\
&=\sum_{k=1}^{n}[f(\bar{a}+\lambda \bar{v}_{k})-f(\bar{a}+\lambda \bar{v}_{k-1})] \label{eq:telescopica}
\end{align}

Notemos que el $k$-ésimo término de esta suma puede ser escrito como $$f(\bar{a}+\lambda \bar{v}_{k-1}+\lambda u_{k}\hat{e}_{k})-f(\bar{a}+\lambda \bar{v}_{k-1}).$$ Para simplificar, definimos $\bar{b}_{k}=\bar{a}+\lambda \bar{v}_{k-1}$ y reescribiendo el $k$-ésimo término tenemos $$f(\bar{b}_{k}+\lambda u_{k}\hat{e}_{k})-f(\bar{b}_{k}).$$

Aplicando el teorema del valor medio con hipótesis debilidada para campos escalares a los puntos $\bar{b}_{k}$ y $\bar{b}_{k}+\lambda u_{k}\hat{e}_{k}$ (verifica las hipótesis), tenemos que para cada $k$ existe $\xi_k \in (0,1)$ tal que

\begin{align*}
f(\bar{b}_{k}+\lambda u_{k}\hat{e}_{k})-f(\bar{b}_{k})&=\triangledown f((1-\xi_k )\bar{b}_{k}+\xi_k (\bar{b}_{k}+\lambda u_{k}\hat{e}_{k}))\cdot (\lambda u_{k}\hat{e}_{k})\\
&=\lambda u_{k}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{c}_{k}),
\end{align*}

en donde hemos definido $\bar{c}_k:=(1-\xi_k )\bar{b}_{k}+\xi_k (\bar{b}_{k}+\lambda u_{k}\hat{e}_{k})$, que es un punto en el segmento que une a $\bar{b}_k$ con $\bar{b}_k+\lambda u_k\hat{e}_k$.

Tenemos pues que podemos escribir al $k$-ésimo término como:

$$f(\hat{b}_{k}+\lambda u_{k}\hat{e}_{k})-f(\bar{b}_{k})=\lambda u_{k}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{c}_{k}).$$

Notemos además que si $\lambda \to 0$, entonces $\bar{b}_{k}\to \bar{a}$, $\bar{c}_{k} \to a$ y $\bar{v}\to \bar{0}$.

Escribimos entonces la ecuación \eqref{eq:telescopica} como:

\begin{equation}
\label{eq:resumen}
f(\bar{a}+\bar{v})-f(\bar{a})=\lambda \sum_{k=1}^{n}u_k\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{c}_{k})
\end{equation}

En unos momentos usaremos esta expresión. Antes de ello, estudiemos otro de los términos involucrados en la diferenciabilidad. Tenemos que:

\begin{align}
\triangledown f(\bar{a})\cdot \bar{v}&=\triangledown f(\bar{a})\cdot \lambda u \nonumber\\
&=\lambda \triangledown f(\bar{a})\cdot u \nonumber\\
&=\lambda \sum_{k=1}^{n}u_{k}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{a}) \label{eq:ppunto}.
\end{align}

Empecemos entonces a combinar lo visto hasta ahora para entender los términos en la definición de diferenciabilidad. Tenemos juntando \eqref{eq:resumen} y \eqref{eq:ppunto} que

\begin{align*}
f(\bar{a}+\bar{v})-f(\bar{a})-\triangledown f(\bar{a})\cdot v&=\lambda \sum_{k=1}^{n}u_{k}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{c}_{k})-\lambda \sum_{k=1}^{n}u_{k}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{a})\\&=\lambda \sum_{k=1}^{n}u_{k}\left[ \frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{c}_{k})-\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{a}) \right].
\end{align*}

Como mencionamos, si $\lambda \to 0$ entonces $\bar{v}\to \bar{0}$. Además, $||\bar{v}||=|\lambda|$. Así:

\[ \lim\limits_{\bar{v}\to \bar{0}} \frac{|f(\bar{a}+\bar{v})-f(\bar{a})-\triangledown f(\bar{a})\cdot \bar{v}|}{||\bar{v}||}=\lim\limits_{\lambda \to 0} \left|\sum_{k=1}^{n}\left[ \frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{c}_{k})-\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{a}) \right]u_{k}\right|.\]

Veamos qué más sucede cuando $\lambda \to 0$. Ya notamos que $\bar{c}_k\to \bar{a}$, así que usando la continuidad de las derivadas parciales tenemos:

\[ \lim\limits_{\lambda \to 0}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{c}_{k})=\lim\limits_{\bar{c}_{k}\to \bar{a}}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{c}_{k})=\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{a}).\]

Aplicando desigualdad del trángulo en la suma, el límite buscado es menor o igual a

\[ \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{k=1}^{n}\left|\left[ \frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{c}_{k})-\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(\bar{a}) \right]u_{k}\right|=0.\]

Y aquí cada sumando se va a $0$. La conclusión final es que

\[ \lim\limits_{\bar{v}\to \bar{0}}\frac{|f(\bar{a}+\bar{v})-f(\bar{a})-\triangledown f(\bar{a})\cdot \bar{v}|}{||\bar{v}||}=0,\]

de modo que $f$ es diferenciable en $\bar{a}$.

$\square$

El regreso del teorema anterior no se vale

El teorema de diferenciabilidad nos dice que si las derivadas parciales existen y son continuas, entonces la función es diferenciable. Sin embargo, el regreso de este teorema no se vale, en el sentido de que existen funciones diferenciables cuyas derivadas parciales no son continuas. En otras palabras, si las derivadas parciales no son continuas, no podemos descartar la diferenciablidad de una función.

A continuación esbozamos un ejemplo que deberás completar como tarea moral.

Ejemplo. Consideremos la función

$$f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) &\text{si $(x,y)\neq (0,0)$}\\ 0 & \text{si $(x,y)=(0,0)$}\end{cases}$$

Se puede demostrar que $f$ es diferenciable en $(0,0)$. De manera intuitiva, la función queda entre las funciones $(x,y)\to x^2+y^2$ y $(x,y)\to -x^2-y^2$. Se puede usar un argumento de acotamiento para mostrar que el plano tangente coincide entonces con el de estas funciones en $(0,0)$ que es el plano $z=0$. Verifica los detalles de tarea moral.

Así mismo, se puede ver que las derivadas parciales en $(0,0)$ existen y que de hecho se satisface $$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \frac{\partial f}{\partial y} (0,0) = 0.$$

Finalmente, se puede ver que las derivadas parciales no convergen a $0$. Fuera del $(0,0)$, tenemos por reglas de derivación que

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= 2 x \sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)-\frac{x \cos \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= 2 y \sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)-\frac{y \cos \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{align*}

Una manear de ver que estas no son contínuas es aproximándonos por un eje. Por ejemplo, puedes verificar que sobre el eje $x$, conforme $x\to 0$, tenemos que la primera parcial oscila entre $-1$ y $1$.

$\triangle$

Más adelante…

Hemos enunciado y demostrado una versión del teorema del valor medio para campos escalaras. Gracias a ella hemos podido mostrar que si un campo escalar tiene derivadas parciales continuas, entonces es diferenciable. Las aplicaciones del teorema del valor medio para campos escalares van más allá. En la siguiente entrada hablaremos de las derivadas parciales de orden superior. El teorema del valor medio para campos escalares nos permitirá demostrar que bajo ciertas condiciones, en cierto sentido estas derivadas parciales «conmutan».

Tarea moral

  1. ¿Qué dice el teorema del valor medio para campos escalares para la función $f(x,y)=\sin(x)\cos(y)$ tomando como extremos los puntos $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ y $\left(\frac{\pi}{2},0\right)$? Verifica si puedes aplicar las hipótesis.
  2. En la demostración del teorema del valor medio que dimos, verifica que la función $f\circ \gamma$ dada en efecto satisface las hipótesis del teorema del valor medio real.
  3. Supongamos que $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ es diferenciable en un abierto $S$ que contiene al segmento cuyos extremos son ciertos vectores $\bar{x}$ y $\bar{y}$ de $\mathbb{R}^n$. Supongamos que $f(\bar{x})=f(\bar{y})$. ¿Será cierto siempre que $\nabla f$ se anula en algún vector del segmento que une $x$ con $y$? Ten cuidado, pues hay un producto escalar involucrado. En caso de que no siempre sea cierto, ¿Qué es lo que sí puedes garantizar?
  4. En la demostración del teorema de diferenciabilidad, verifica que se pueden usar las hipótesis del teorema del valor medio para campos escalares con hipótesis debilitada. Necesitarás ver que la derivada real que tiene que existir es justo una parcial de las que suponemos que existen, completa los detalles. Luego, verifica que en efecto la conclusión que obtuvimos es justo la que se obtiene. Observa además que no podemos usar el teorema del valor medio para campos diferenciables con la hipótesis usual pues necesitaríamos saber que $f$ es diferenciable, lo cual es justo lo que queremos mostrar.
  5. Completa el contraejemplo al regreso del teorema de diferenciabilidad. Entre otras cosas, tienes que hacer lo siguiente:
    • Verificar que en efecto la función es diferenciable en $(0,0)$. Puedes proceder por definición o acotando como se sugiere.
    • Revisar que las parciales en $(0,0)$ en efecto existen y coinciden con lo que sabemos a partir de que el plano tangente en el origen es $(0,0)$.
    • Obtener paso a paso la fórmula que dimos para las parciales, usando lo que sabes de regla de la cadena, derivadas en $\mathbb{R}$, etc.
    • Verificar que ninguna de las dos derivadas parciales es continua, completando el argumento de que al acercarnos por los ejes tenemos oscilaciones.

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Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

¡Hoy es el día en el que comenzamos la Unidad 4!

A partir de esta unidad veremos que cada uno de los elementos de los grupos (para cualquier grupo) se puede ver como una permutación. Para fines introductorios, ilustremos qué pasa en el caso de un grupo finito. Sea $G = \{e,g_2,\dots, g_n\}$. Podemos escribir su tabla de producto ($*$):

$*$$e$$g_2$$g_3$$\cdots$$g_n$
$e$
$g_2$
$g_3$
$\vdots$
$a = g_i$$ae$$ag_2$$ag_3$$\cdots$$ag_n$
$\vdots$
$g_n$

¿Qué pasa si elegimos un elemento fijo? Fijemos $g_i$, para distinguirlo, denotémoslo como $a = g_i.$ Así, en la tabla del producto ese renglón quedaría $ae \;\; ag_2 \;\; ag_3 \;\; \cdots \;\; ag_n$. Como tanto $a = g_i$ como $e,g_2,\dots g_n$ están en $G$, ese renglón está conformado por elementos de $G$.

Podría darse el caso en que $ag_k = ag_t$ para algún $k,t\in \{1,\dots,n\}$, pero como $G$ es un grupo, podemos cancelar la $a$. Entonces $ag_k = ag_t \Leftrightarrow g_k = g_t$. Así, si suponemos que $g_k \neq g_t$ para todas $k \neq t$ con $k,t\in \{1,\dots,n\}$, en el renglón de $a$ aparecen $n$ elementos distintos. Es decir, aparecen todos los $n$ elementos de $G$ pero quizás en otro orden.

De esta manera, el efecto que tiene $a$ sobre los elementos de $G$ es de moverlos. Esto sucederá en cualquier renglón de la tabla, es decir, cualquier elemento de $G$ funciona como una permutación. Esto es importante porque nos permitirá visualizar a cualquier grupo como un grupo de permutaciones.

Ésta es la razón por la cual las permutaciones son tan importantes y por eso tenemos que estudiarlas bien.

La función tau $\tau$

Bajo la idea propuesta en la introducción de esta entrada, todo grupo se puede pensar como un subgrupo de un grupo de permutaciones. Para formalizar esta idea comenzaremos con un lema.

Lema. Sean $G$ un grupo y $a\in G$. La función $\tau_a:G \to G$ dada por $\tau_a(g) = ag$ para todo $g\in G$, es una biyección.

Demostración.
Sean $G$ un grupo y $a\in G$. Consideremos la función $\tau_a:G\to G$ con $\tau_a(g) = ag$ para todo $g\in G$.

P.D. $\tau_a$ es biyectiva.
Consideremos la función $\tau_{a^{-1}}:G\to G$ con $\tau_{a^{-1}} = a^{-1} g$, para toda $g\in G.$ Dado $g\in G$.
\begin{align*}
\tau_{a^{-1}}\circ\tau_a(g) & = \tau_{a^{-1}}(\tau_a(g)) = \tau_{a^{-1}}(ag) = a^{-1}(ag) = g\\
\tau_a\circ\tau_{a^{-1}}(g) &= \tau_a(\tau_{a^{-1}}(g)) = \tau_a(a^{-1}g) = a(a^{-1}g) = g.
\end{align*}

Donde todas las igualdades son por definición de $\tau_a$ y $\tau_{a^{-1}}$ o por propiedades de grupo.

Así, $\tau_{a^{-1}}$ es la inversa de $\tau_a$ y entonces $\tau_a$ es biyectiva.

$\blacksquare$

Observación. Si $a\neq e$, $\tau_a$ no es un homomorfismo.
La demostración queda como ejercicio. Sucederá que si $a\neq e$, entonces $\tau_a$ seguirá siendo una función biyectiva, pero no un homomorfismo.

El título de la entrada

El Teorema de Cayley es quien nos dirá exactamente lo que queremos formalizar en esta entrada.

Teorema. (Teorema de Cayley)
Todo grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$. En particular, todo grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo. De acuerdo al lema anterior, para cada $a\in G$ se tiene que $\tau_a$ es una función biyectiva de $G$ en $G$, es decir $\tau_a\in S_G$. Definimos entonces
\begin{align*}
\phi: G \to S_G \text{ con } \phi(a) = \tau_a \; \forall a\in G.
\end{align*}

Veamos que $\phi$ es un homomorfismo.
Tomemos $a,b\in G$.
P.D. $\phi(ab) = \phi(a)\circ\phi(b)$.

Dado que en todas las funciones involucradas tanto el dominio como el condominio es $G$, basta probar que $\phi(ab) $ y $\phi(a)\circ\phi(b)$ tienen la misma regla de correspondencia. Sea $g\in G$. Entonces, apliquemos la función $\phi(ab)$ a $g$. Obtenemos,
\begin{align*}
\phi(ab)(g) &= \tau_{ab}(g)\\
&= (ab)g \\
&= a(bg) \\
&= \tau_a(\tau_b(g)) \\
& = \tau_a\circ\tau_b(g) = \phi(a)\circ\phi(b)(g).
\end{align*}

Por lo tanto $\phi(ab) = \phi(a)\circ\phi(b)$, probando así que $\phi$ es un homomorfismo.

Veamos ahora que $\phi$ es un monomorfismo. Sea $a\in \text{Núc }\varphi$. Entonces,
\begin{align*}
a\in \text{Núc }\varphi \Rightarrow\; & \phi(a) = \text{id}_G & \text{Definición de Núc}\\
\Rightarrow\; & \phi(a) (g) = \text{id}_G(g) &\forall g\in G \\
\Rightarrow\; & \tau_a(g) = g & \forall g\in G\\
\Rightarrow\; &ag = g & \forall g\in G \\
\Rightarrow\; &a = e.
\end{align*}

Donde la última implicación se puede justificar considerando el caso particular $g = e$. De esta manera $\phi$ es un monomorfismo.

Así, al restringir el codominio de $\phi $ a la imagen $\text{Im }\phi$ obtenemos un isomorfismo.
Por lo tanto $G\cong \text{Im }\phi \leq S_G$. Con esto tenemos la primero parte del teorema demostrada.

En particular, si $|G| = n $ tenemos que $S_G \cong S_n$ y como $G\cong \text{Im }\phi \leq S_G\cong S_n$, entonces $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$.

$\blacksquare$

Ejemplo:

Tomemos $V = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$ el grupo de Klein, con la suma entrada a entrada módulo 2.
Sean $a_1 = (0,0), a_2 = (1,0), a_3 = (0,1), a_4 = (1,1)$. Tenemos la tabla de suma de la siguiente manera:

$+$$a_1$$a_2$$a_3$$a_4$
$a_1$$a_1$$a_2$$a_3$$a_4$
$a_2$$a_2$$a_1$$a_4$$a_3$
$a_3$$a_3$$a_4$$a_1$$a_2$
$a_4$$a_4$$a_3$$a_2$$a_1$

Entonces $\tau_{a_2}$ intercambia $a_1$ y $a_2$ e intercambia $a_3$ y $a_4$ de lugar. Viendo a $a_2$ como una permutación, correspondería a $\sigma \in S_4$ con $\sigma = (1\;2)(3\;4).$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demostrar la observación:
    Observación. Si $a\neq e$, $\tau_a$ no es un homomorfismo.
  2. Para los siguientes grupos $G$ y $g\in G$ determina cómo es la función $\tau_g:$
    • $G$ es cíclico de orden 6, $g$ un generador de $G$.
    • $G = D_{2(4)}$, $g = b$ la reflexión sobre el eje $x$.
    • $G = Q$, $g = -j$.
  3. En los diferentes inicios del ejercicio anterior, describe cómo se puede visualizar al elemento $g\in G$ como una permutación en $S_n$ con $n = |G|.$

Más adelante…

Esta entrada es la primera de la unidad 4 porque a partir de aquí vamos a abstraer aún más lo que se trabajó en el Teorema de Cayley. Aquí vimos que un grupo se puede ver como un subgrupo de permutaciones porque podemos multiplicar $g\in G$ con todos los elementos de $G$. Pero a lo largo de este curso vimos varias operaciones que están definidas a partir del producto de $G$, por ejemplo, si tenemos $aN \in G/N$ con $N$ normal en $G$, es perfectamente válido operar $gaN$. Siguiendo la lógica del Teorema de Cayley, ¿qué pasa si definimos una nueva función multiplicando las clases laterales por los elementos del grupo? ¿Será posible definir algún tipo de operación entre los elementos de un grupo y un conjunto ya no necesariamente de clases laterales? Éstas y más preguntas serán respondidas en las siguientes entradas.

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Álgebra Moderna I: Cuarto Teorema de Isomorfía

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada veremos el Cuarto Teorema de Isomorfía, para entenderlo mejor es necesario ilustrarlo con diagramas de retícula.

Sean $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$. Recordemos que podemos escribir todos los subgrupos de $G$ en una retícula. Como estamos considerando a todos los subgrupos de $G$, el subgrupo más pequeño es el conjunto que contiene sólo al neutro $\{e_G\}$. Así, $G$ va hasta arriba del diagrama y $\{e_G\}$ al final.

Por otro lado, como $H\unlhd G$, tiene sentido considerar otro diagrama, el del grupo $G/N$. De la misma manera que en el anterior, hasta abajo colocaríamos $\{e_{G/N}\}$ que es el conjunto unitario $\{N\}$.

Diagramas de retícula de $G$ y de $G/N$.

Luego, como $N \unlhd G$. Podemos tomar un subgrupo $H$ de $G$ que contenga $N$ y colocarlos en el diagrama. Además, esto nos daría la existencia de $H/N \leq G/N$, entonces podríamos dar una correspondencia de $H \to H/N$. Esto nos da una relación entre ambas retículas (la de $G$ y la de $G/N$):

\begin{align*}
G &\longrightarrow G/N\\
H &\longrightarrow H/N\\
N &\longrightarrow\{e_G\} = \{N\}.
\end{align*}

La relación que existe entre la retícula desde $N$ a $G$ y la retícula de $G/N$ además de ser biyectiva tiene otras propiedades, por ejemplo, si existe $N\leq K \unlhd H$, entonces $K/N \unlhd H/N$. Estas propiedades son las que veremos en el teorema que nos compete.

Diagramas de retícula de $G$ y de $G/N$ con correspondencia.

Enunciado y demostración del Teorema

A continuación veremos el Cuarto Teorema de Isomorfía (CTI), también conocido como Teorema de la Correspondencia.

Teorema. (Cuarto Teorema de Isomorfía)
Sean $G$ un grupo, $N$ subgrupo normal de $G$ y $\pi: G \to G/N$ con $\pi(a) = aN$ (la proyección canónica) para toda $a\in G$. Consideremos

\begin{align*}
\text{Sub}_N^G &= \{H| N\leq H \leq G \}, \\
\text{Sub}_{ G/N} &= \{\mathcal{H} | \mathcal{H} \leq G/N\}.
\end{align*}

Entonces $\pi$ define una correspondencia biyectiva
\begin{align*}
F: \text{Sub}_N^G \to \text{Sub}_{ G/N}
\end{align*}
con $F(H) = \pi [H] = H/N$ para todo $H \in \text{Sub}_H^G$.

Además, si $H,K\in \text{Sub}_N^G$:

  1. $K\leq H$ si y sólo si $K/N \leq H/N$ y en este caso $[ H:K] = [H/N : K/N]$.
  2. $K \unlhd H$ si y sólo si $K/N \unlhd H/N$.
  3. $\left< H\cup K \right> / N = \left< H/N \cup K/N \right>$.
  4. $(H\cap K) / N = (H/ N) \cap (K/N)$.

Demostración.
Sean $G$ un grupo, $N\unlhd G$ y $\pi:G\to G/N$ con $\pi(a) = aN$ para toda $a\in G$.
Sean
\begin{align*}
\text{Sub}_N^G &= \{H\,|\, N\leq H \leq G \} \quad \text{ y } \quad
\text{Sub}_{ G/N} = \{\mathcal{H} | \mathcal{H} \leq G/N\}.
\end{align*}

Definimos
\begin{align*}
F: \text{Sub}_N^G \to \text{Sub}_{ G/N}
\end{align*}
con $F(H) = \pi[ H] = H/N$ para todo $H \in \text{Sub}_H^G$. Donde $\pi[H]$ es la imagen directa de $H$ bajo $\pi$.

Como $\pi$ es un homomorfismo y $H\leq G$ entonces $\pi[H]\leq \pi[G ]$, es decir $H/N\leq G/N$, entonces $F$ está bien definida.

Veamos que $F$ es inyectiva, para ello probemos la primera parte del inciso 1.
Sean $H, K \in \text{Sub}_N^G$.
P.D. $K \leq H \Leftrightarrow K/N \leq H/N$.

$|\Rightarrow]$ Supongamos que $K \leq H$. Sea $x \in K/N, x = kN$ con $k\in K.$

Como $K\subseteq H$, $k\in H$ y así $x = kN \in H/N$. Por lo tanto $K/N \leq H/N$.

$[\Leftarrow|$ Supongamos que $K/N \leq H/N.$ Sea $k\in K$. Tenemos las siguientes implicaciones:
\begin{align*}
k N \in K/N &\Rightarrow kN \in H/N &\text{pues } K/N \leq H/N \\
&\Rightarrow kN = hN \;\text{con } h\in H \\
& \Rightarrow k = hn\; \text{con } h\in H, n\in N &\text{por } k \in kN = hN\\
& \Rightarrow k \in H & \text{ya que } N \subseteq H.
\end{align*}

Por lo tanto $K \leq H$.

De este modo, si $H,K \in \text{Sub}_N^G $ son tales que $F(H) = F(K)$, entonces $H/N = K/N$, así
\begin{align*}
H/N \leq K/N &\Rightarrow H \leq K \\
K/N \leq H/N &\Rightarrow K \leq H,
\end{align*}

ambas implicaciones son consecuencia de lo que acabamos de probar del inciso 1 de CTI. Así, $H=K$.

Veamos que $F$ es suprayectiva. Sea $\mathcal{H} \in \text{Sub}_{G/N}$, es decir, $\mathcal{H} \leq G/N$. Como $\pi: G \to G/N$ es un homomorfismo y $\{N\}\leq \mathcal{H} \leq G/N$, entonces $N \leq \pi^{-1}[\mathcal{H}] \leq G$.

Diagrama de la imagen inversa de $\mathcal{H} = \pi^{-1}[\mathcal{H}]$.

Nos vamos a fijar en el subgrupo $\pi^{-1} [\mathcal{H}]$, porque nos va a servir para probar la suprayectividad que buscamos.
Entonces apliquemos $F$: $$F(\pi^{-1} [\mathcal{H} ]) = \pi [\pi^{-1}[\mathcal{H}]]= \mathcal{H}$$ pues $\pi$ es suprayectiva. Así, $F$ es suprayectiva.

Probaremos ahora la segunda parte del inciso 1.
Sean $H,K\in \text{Sub}_N^G$, con $K\leq H$.
P.D. $[H: K ] = [H/N: K/N]$.

Recordemos que $[H/N : K/N]$ es la cardinalidad de $\{(hN)K/N \,|\, hN \in H/N\}$.

Para simplificar, denotaremos a $K/N$ por $K^*$ y como $\pi (h) = hN$, entonces $[H/N : K/N ]$ es la cardinalidad de $\{\pi(h)K^* | h\in H\}.$

P.D. $\{hK | h \in H \}$ y $\{\pi(h)K^*|h\in H\}$ tienen la misma cardinalidad.

Sea $f: \{hK | h \in H\} \to \{\pi(h)K^*| h\in H\}$ definida por $f(hK) = \pi(h)K^*$ para toda $h\in H$. Demostraremos que es una función biyectiva.
Primero, veamos que $f$ está bien definida. Tomemos $h, \tilde{h} \in H$. Tenemos las siguientes implicaciones:

\begin{align*}
hK = \tilde{h}K &\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} \in K \\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} N \in K/N = K^*\\
&\Rightarrow \pi(h^{–1}\tilde{h}) \in K^* & \text{definición de }\pi\\
&\Rightarrow \pi(h)^{-1} \pi(\tilde{h}) \in K^* & \pi\text{ es homomorfismo}\\
&\Rightarrow \pi(h)K^* = \pi(\tilde{h})K^* &\text{Pues } \pi(h)K^* = \pi(\tilde{h})K^* \Leftrightarrow \pi(h)^{-1} \pi(\tilde{h}) \in K^*.
\end{align*}
Por lo tanto, $f$ está bien definida.

Ahora veamos que $f$ es inyectiva. Sean $hK,\tilde{h}K$ con $h,\tilde{h}\in H$, tales que $f(hK) = f(\tilde{h}K)$. Seguiremos las siguientes implicaciones,

\begin{align*}
f(hk) = f(\tilde{h}K) & \Rightarrow \pi(h)K^* = \pi(\tilde{h})K^* &\text{definición de }f \\
&\Rightarrow \pi(h)^{-1}\pi(\tilde{h}) \in K^* \\
&\Rightarrow \pi(h^{–1}\tilde{h}) \in K^* &\pi\text{ es homomorfismo}\\
&\Rightarrow h^{–1}\tilde{h}N\in K^*&\text{definición de }\pi\\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h}N = kN \text{ con } k \in K & \text{porque }K^* = K/N\\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} = kn, k\in K, n\in N &\text{porque } h^{-1}\tilde{h}\in h^{-1}\tilde{h}N \\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h}\in K &\text{pues } N\subseteq K \\
&\Rightarrow hK = \tilde{h}K &\text{Pues } hK = \tilde{h}K \Leftrightarrow h^{-1}\tilde{h}\in K.
\end{align*}
Por lo tanto $f$ es inyectiva.

Además, si tenemos $\pi(h)K^*$ con $h\in H$, entonces $\pi(h)K^* = f(hK) \in \text{Im}f$. Por lo tanto $f$ es suprayectiva.

Así,
\begin{align*}
[H:K] &= \# \{hK | h \in H\} \\
&= \#\{\pi(h)K^* | h \in H\} \\
&= [H/N:K/N].
\end{align*}

Ahora, demostraremos el inciso 2.

Sean $H,K\in \text{Sub}_N^G$.
P.D. $K \unlhd H \Leftrightarrow K/N \unlhd H/N.$

El inciso 1 (que acabamos de probar) ya nos da que $K \leq H \Leftrightarrow K/N \leq H/N.$ Entonces lo que nos resta probar es que son subgrupos normales.

$|\Rightarrow]$ Supongamos que $K\unlhd H$. Sean $x\in H/N, y \in K/N$, entonces $x = hN, y = kN$ con $h\in H, k\in K$.

Lo que queremos es tomar un elemento de $K$ módulo $N$ (al que llamamos $y$) y conjugarlo con cualquier elemento de $H$ módulo $N$ (en este caso $x$) y obtener un elemento en $K$ módulo $N$. Para esto, consideremos el conjugado $xyx^{-1}.$ Al desarrollarlo obtenemos:
\begin{align*}
x y x^{-1} = (hN)(kN)(hN)^{-1} = (hN)(kN)(h^{-1}N) = hkh^{-1}N.
\end{align*}

Como $k \in K, h \in H$ y $K\unlhd H$, se tiene que $hkh^{-1} \in K$.

Así, $xyx^{-1} = hkh^{-1} N \in K/N$. Por lo que $K/N \unlhd H/N$.

$[\Leftarrow|$ Supongamos que $K/N \unlhd H/N$. Sean $k\in K, h\in H$.

Veamos qué sucede con la clase $hkh^{-1}N$:
\begin{align*}
hkh^{-1} N = (hN)(kN)(h^{-1}N) = (hN)(kN)(hN)^{-1}.
\end{align*}

Es otras palabras, estamos conjugando un elemento de $kN\in K/N$ con un elemento de $kN\in K/N$. Luego, como sabemos que $K/N \unlhd H/N$ obtenemos que esta conjugación sigue estando en $K/N$. Es decir, $hkn^{-1}N\in K/N$.

Podríamos reescribir $hkh^{-1}N = \tilde{k}N$ con $\tilde{k} \in K$. Así,

\begin{align*}
hkh^{-1}N &= \tilde{k}N & \text{con }\tilde{k} \in K\\
\Rightarrow hkh^{-1} &= \tilde{k}n, \tilde{k}\in K, n\in N & \text{por } hkh^{-1} \in hkh^{-1}N = \tilde{k}N \\
\Rightarrow hkh^{-1}&\in K &\text{pues } N\subseteq K.
\end{align*}

Por lo tanto $K\unlhd H$.

Los incisos 3 y 4 los dejamos como tarea moral.

$\blacksquare$

Ejemplo de CTI

Ejemplo. Tomemos el grupo diédrico (todas las simetrías de un cuadrado) $D_{2(4)} = \left<a,b \right>$, donde $a$ la rotación de $\frac{\pi}{2}$ y $b$ es la reflexión respecto al eje $x$.

Construyamos la retícula de $D_{2(4)}$: comenzamos con $D_{2(4)}$ hasta arriba, este tiene orden de 8. En el siguiente nivel colocamos los subgrupos:
\begin{align*}
\left<a^2,b\right> &= \{\text{id}, a^2, b, a^2b\},\\
\left<a\right> &= \{\text{id}, a, a^2, a^3\}, \\
\left<a^2,ab\right> &= \{\text{id}, a^2, ab, a^3b\}.
\end{align*}

Cada uno de esos subgrupos tiene orden 4, en realidad esos son los únicos subgrupos de $D_{2(4)}$ que tienen orden 4. Siéntete libre de confirmar las cuentas.

Luego podemos colocar en el tercer nivel los subgrupos de orden 2:
\begin{align*}
\left< b\right> &= \{\text{id}, b\},\\
\left< a^2b\right> &= \{\text{id}, a^2b\},\\
\left< a^2\right> &= \{\text{id}, a^2\},\\
\left< ab\right> &= \{\text{id}, ab\},\\
\left< a^3b\right> &= \{\text{id}, a^3b\}.
\end{align*}

Por último, hasta abajo tenemos al unitario de la identidad $\{\text{id}\}$. Si verificamos las operaciones, nos daremos cuenta que hemos construido todo el diagrama de retícula de $D_{2(4)}$.

Para poder usar el CTI, consideremos $\left<a^2\right> \unlhd D_{2(4)}$ y concentremos nuestra atención en la parte de la retícula que se encuentra entre esos dos (marcada con rojo en la imagen).

Ahora, dibujaremos el diagrama de retícula de $D_{2(4)}/\left<a^2\right>$, éste va hasta arriba. Colocamos los cocientes respectivos en el siguiente nivel, siguiendo esta correspondencia:

\begin{align*}
\left<a^2,b\right> &\longrightarrow \left<a^2,b\right> / \left<a^2\right>\\
\left<a\right> &\longrightarrow \left<a\right>/ \left<a^2\right>\\
\left<a^2,ab\right> &\longrightarrow \left<a^2,ab\right>/ \left<a^2\right>.
\end{align*}

Haciendo las cuentas veremos que:
\begin{align*}
\left<a^2,b\right> / \left<a^2\right> = \left<b \left<a^2\right>\right>\\
\left<a\right>/ \left<a^2\right> = \left<a \left<a^2\right>\right>\\
\left<a^2,ab\right>/ \left<a^2\right> = \left<ab \left<a^2\right>\right>.
\end{align*}

Construcción de los diagramas de retícula.

Por último, haremos una observación. Si tomamos el subgrupos $\left< a^3b\right>$ de orden 2 igual podríamos aplicarle la regla de correspondencia de $F$ y seguirían cayendo en elementos de la retícula de $D_{2(4)}/\left<a^2\right>$ es decir:
\begin{align*}
F(\left< a^3b\right>)=\pi[\left< a^3b\right>] = \{\text{id}\left<a^2\right>, a^3b\left<a^2\right>\} = \left<ab\left<a^2\right>\right>.
\end{align*}

En ese contexto la función con la regla de correspondencia de $F$ no sería biyectiva ya que $F(\left< a^3b\right>)=F(\left< ab\right>)$, pero esto no contradice el Teorema de la Correspondencia porque en realidad $\left< a^3b\right>$ ni siquiera está contemplado en el dominio de $F$ porque no forma parte de la retícula entre $D_{2(4)}$ y $\left<a^2\right>$.

Diagrama de retícula completo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Prueba los incisos 3 y 4 del Teorema de la correspondencia (Cuarto Teorema de Isomorfía).
  2. Encuentra la retícula de sugrupos de $\z$ que contienen a $24\z$.
    • Encuentra la retícula de subgrupos de $\z/24\z$.
    • Compara ambas retículas.
  3. Usando el diagrama reticular de subgrupos de $\z_{36}$ encuentra el de $\z_{36}/N$ donde $N = \{\bar{0}, \overline{12}, \overline{24}\}$.

Más adelante…

Con esta entrada concluimos la Unidad 3. En la siguiente unidad comenzaremos a ver cómo es posible ver a cualquier grupo como un subgrupo de permutaciones. ¿Puedes imaginártelo?

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Álgebra Moderna I: Tercer Teorema de Isomorfía

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Alguna vez te haz preguntado: ¿qué ocurre con un cociente de cocientes? Comencemos con un ejemplo para crear intuición.

Digamos que queremos que el siguiente cociente tenga sentido:
\begin{align*}
(G/K) \Big/ (H/T).
\end{align*}
Para ello, necesitamos que $K\unlhd G$, $T\unlhd H$ y además $H/T \unlhd G/K$. Lo último nos indica en particular que $H/T$ debe ser un subconjunto de $ G/K$. Como los elementos de $H/T$ son de la forma $hT$con $h\in H$ y los de $G/K$ de la forma $gK$ con $g\in G$, para que $H/T\subseteq G/K$ necesitamos primero que las clases se formen con respecto al mismo subgrupo, es decir requerimos que $T=K$. Además, todo $h\in H$ debería ser elemento de $G$, por lo que $H\subseteq G.$

Volvamos a escribir el cociente ahora con $T=K$. Esto queda,
\begin{align*}
(G/K) \Big/ (H/K).
\end{align*}
También actualicemos las necesidades:

  1. $K\unlhd G$,
  2. $K\unlhd H$ y
  3. $H/K\unlhd G/K$ con $H\subseteq G.$

Notemos que $K \subseteq H \subseteq G$ y la primera condición, $K \unlhd G$, nos da la segunda, $K\unlhd H$. También podemos pedir que $H\unlhd G$ y de esto obtendríamos la tercera necesidad, $H/K\unlhd G/K$. Además, al pedir que $H\unlhd G$ podríamos considerar al cociente $G/H$.

En esta entrada, demostraremos el tercer Teorema de Isomorfía, el cual nos respalda en afirmar, bajo las condiciones ya establecidas, que
\begin{align*}
G/H \cong (G/K) \Big/ (H/K).
\end{align*}

De esto podemos concluir que, cuando se tiene un cocientes de cocientes existe una manera de reducirlo ya que es isomorfo a un cociente más sencillo.

Enunciado del Teorema

Comenzaremos enunciando y demostrando el teorema. Como ya dijimos en la entrada del primer Teorema de Isomorfía, aquí volveremos a usarlo para probar el Tercero.

Diagrama de retícula que representa que $H\unlhd G$ y $K\unlhd G$.

Teorema. (Tercer Teorema de Isomorfía)
Sean $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ con $K\leq H$. Entonces $H/K \unlhd G/K$ y
\begin{align*}
(G/K)\, \Big/\, (H/K) \cong G/H.
\end{align*}

Demostración.
Sean $G$ un grupo, $H\unlhd G$, $K\unlhd G$ con $K \leq H$.
Como $K\unlhd G$, al conjugar elementos de $K$ con cualquier elemento de $G,$ obtenemos elementos de $K$. En particular, si conjugamos elementos de $K$ con cualquier elemento de $H,$ obtenemos elementos de $K$. Así obtenemos que $K\unlhd H$.

Ahora, usaremos el primer Teorema de Isomorfía para probar el isomorfismo buscado, para ello bastaría definir una $\varphi$ tal que $\text{Núc } \varphi = H/K$ y $\text{Im }\varphi = G/H$.

Sea $\varphi: G/K \to G/H$ con $\varphi(gK) = gH$ para toda $g\in G$.

Primero, veamos que $\varphi$ está bien definida.
Tomemos $a,b \in G$. Luego,
\begin{align*}
aK = bK &\Rightarrow b^{-1}a \in K \\
&\Rightarrow b^{-1}a\in H &\text{Porque } K \subseteq H\\
&\Rightarrow aH = bH.
\end{align*}
Esto nos dice que debido a la contención $K\subseteq H$, dos clases que son iguales con respecto a $K$, seguirán siendo iguales con respecto a $H$. Así, $\varphi$ está bien definida.

Ahora veamos que $\varphi$ es un homomorfismo. Sean $a,b\in G$. Entonces,
\begin{align*}
\varphi(aKbK) &= \varphi(abK) &\text{Producto de clases laterales}\\
&= ab H &\text{Definción de }\varphi\\
&= aHbH &\text{Producto de clases laterales}\\
&= \varphi(aK)\varphi(bK) &\text{Definción de }\varphi.
\end{align*}
Entonces $\varphi$ es un homomorfismo.

Ahora sí, comencemos a analizar su núcleo:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{gK\in G/K \,:\, \varphi(gK) = e_{G/H}\} & \text{Definición de núcleo} \\ &= \{gK\in G/K \,:\, gH = H \} &\text{Definición de $\varphi$ y neutro del cociente}\\
&= \{gK \in G/K \,:\, g\in H\} & gH = H \Leftrightarrow g\in H \\
&= H/K.
\end{align*}

Así, $\text{Núc }\varphi =H/K$ y en consecuencia $H/K \unlhd G/K.$

Veamos ahora que $\varphi$ es suprayectiva.
Sea $x\in G/H$, $x = gH$ con $g\in G$. Por definición de $\varphi$ tenemos,
\begin{align*}
x = gH = \varphi(gK) \in \text{Im }\varphi.
\end{align*}
Como siempre sucede que $\text{Im }\varphi \subseteq G/H$. Entonces $\text{Im }\varphi = G/H$.

Por el primer Teorema de Isomorfía:
\begin{align*}
(G/K)\,\Big/\, \text{Núc }\varphi \cong \text{Im }\varphi.
\end{align*}
Entonces, de acuerdo a lo que analizamos,
\begin{align*}
(G/K)\,\Big/\, (H/K) \cong G/H.
\end{align*}

$\blacksquare$

Ejemplo

Veamos ahora un ejemplo del tercer Teorema de Isomorfía.

Tomemos $G = (\r, +), H= (\z, +)$. Consideremos $n\in\z$ y $K = \left< n\right> = n\z$.

Diagrama que representa $\left< n\right>\unlhd \r$ y $\z \unlhd \r$.

Sabemos que $\z\unlhd\r$ y que $\left< n\right>\unlhd \r$ ya que $\r$ es abeliano.
Por el tercer teorema de isomorfía,
\begin{align*}
(\r/\left<n\right>)\,\Big/\, (\z/\left< n\right>) \cong \r/\z.
\end{align*}

Veamos cómo es $\z / \left<n\right>$. Sea $\varphi:\z\to\z_n$ con $\varphi(m) = \bar{m}$ para todo $m\in\z$. Por lo que tenemos estudiado de Álgebra Superior II, sabemos que $\varphi$ es un epimorfismo con $\text{Núc }\varphi = \left<n\right>$ y por el primer Teorema de Isomorfía
\begin{align*}
\z/\left<n\right> \cong \z_n.
\end{align*}

Analicemos ahora el cociente $\r/\left<n\right>$. Sea $\psi:\r \to \mathbb{C}^*$ con $\psi(x) = e^{\frac{2\pi ix}{n}}$ para toda $x\in \r$. Tenemos que $\psi$ es un homomorfismo con
\begin{align*}
\text{Núc }\psi &= \{x\in \r : \psi(x) = 1\} \\
&= \{x\in\r : e^{\frac{2\pi ix}{n}} = 1\}\\
&= \{nk : k\in\z\} \\
&= \left< n\right>.\\\\
\text{Im }\psi &= \{\psi(x) : x\in \r\} \\
&= \{e^{\frac{2\pi ix}{n}}: x\in \r\}\\
&=\{z \in \mathbb{C}:|z|=1\}\\
&= \s^1.
\end{align*}
Por el primer Teorema de Isomorfía aplicado a $\psi$ obtenemos que $\r/\left<n\right> \cong \s^1$.

Por último, veamos cómo es $\r/\z$. Sea $F:\r\to\mathbb{C}^*$ con $F(x) = e^{2\pi ix}$ para toda $x\in\r$. Tenemos que $F$ es un homomorfismo con
\begin{align*}
\text{Núc }F &= \{x\in\r : F(x) = 1\} \\
&= \{x\in\r : e^{2\pi ix} = 1\}\\
&= \{x : x\in\z\} \\
&= \z.\\\\
\text{Im }F &= \{F(x) : x\in\r\} \\
&= \{e^{2\pi ix}: x\in \r\}\\
&= \{z\in\mathbb{C} : |z| = 1\} \\
&= \s^1.
\end{align*}

Así, $\r/\z \cong \s^1$ por el primer Teorema de Isomorfía.

Recapitulando, hemos visto que
\begin{align*}
\s^1 &\cong \r/\left<n\right> \\
\z_n &\cong \z/\left<n\right>.
\end{align*}

Entonces, retomando el cociente con el que iniciamos:
\begin{align*}
(\r/\left<n\right>) \,\Big/\, (\z/\left<n\right>) \cong \r/\z \cong \s^1.
\end{align*}

donde $\s^1\cong \r/\left<n\right>$ y $\z_n\cong \z/\left<n\right>.$ Entonces, un cociente de $\s^1$ módulo un subgrupo suyo no trivial (que es isomorfo a $\z_n$), resulta ser isomorfo a $\s^1$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sean $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ con $K$ un subgrupo de $H$. Describe cómo son en general los elementos del cociente $(G/K)/(H/K)$.
  2. Sea $\z_{12}$. Considera sus subgrupos $H = \langle\bar{2}\rangle$ y $K = \langle\bar{4}\rangle$.
    • Determina en este caso qué pasa al aplicar el tercer Teorema de Isomorfía.
    • Describe cómo son los cocientes $\z_{12}/K$ y $H/K$ encontrando explícitamente su orden, el orden de sus elementos y su tabla de multiplicar.

Más adelante…

Ya vamos 3/4 de los teoremas. ¡Qué emoción! En la próxima entrada veremos el más largo de los Teoremas de Isomorfía.

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Álgebra Moderna I: Segundo Teorema de Isomorfía 

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Comencemos introduciendo la idea del Segundo Teorema de Isomorfía. Para ello tomemos $H,K$ dos subgrupos de $G$ tales que $H\unlhd G$. Por favor, apóyate en el diagrama de retícula.

Diagrama de retícula para explicar el Segundo Teorema de Isomorfía.

Observemos el cociente $HK/H$, este es posible porque $H\unlhd HK$ (como se hizo notar en la entrada anterior y esto se indica en el diagrama). Por nuestra experiencia manejando fracciones, podríamos pensar que es posible cancelar la $H$ y obtener que $HK/H \cong K$. Sin embargo, esto no es cierto porque $K$ puede tener elementos en común con $H$. Por ejemplo, si tomamos el caso cuando $H=K$ el isomorfismo $HK/H \cong K$ ya no se cumple.

¡Pero no temas! porque sí existe un isomorfismo para $HK/H$, en esta entrada el Segundo Teorema de Isomorfía nos dice que $$HK/H \cong K/(H\cap K).$$

Cabe notar que en la literatura suelen mezclarse el Segundo y el Tercer Teorema de Isomorfía entre sí. El Primer Teorema de Isomorfía siempre es el que enunciamos en la entrada pasada, pero a veces el Segundo puede ser el Tercero y viceversa. Esto lo aclaramos por si el teorema que tratamos en esta entrada no es el que te esperabas.

Segundo Teorema de Isomorfía

El segundo Teorema de isomorfía también es llamado del Teorema del Diamante por la forma del diagrama de retícula asociado.

Diagrama de retícula del STI.

Teorema. (Segundo Teorema de Isomorfía)
Sean $G$ un grupo, $H,K$ subgrupos de $G$ con $H\unlhd G$. Entonces $HK\leq G$, $H \unlhd HK$, $H\cap K \unlhd K$ y
\begin{align*}
HK/H \cong K/(H\cap K).
\end{align*}

Demostración.
Sean $G$ un grupo, $H \unlhd G$ y $K \leq G$.
Como $H \unlhd G$, entonces $HK \leq G$. Tenemos que $H\leq HK$ y como $H \unlhd G$, entonces $H \unlhd HK$.

En esta demostración queremos usar el Primer Teorema de Isomorfía. Para ello bastaría construir un homomorfismo cuyo núcleo sea $H\cap K$ y cuya imagen sea $HK/H$. Comencemos definiendo dicho homomorfismo.

Sea \(\varphi: K \to HK/H\) con $\varphi(k) = kH, \forall k\in K$.

P.D. $\varphi$ es un homomorfismo.

Sean $k, \tilde{k} \in K$. Luego,
\begin{align*}
\varphi(k\tilde{k}) &= k\tilde{k}H &\text{Definición de }\varphi\\
&= kH\tilde{k}H &\text{Producto de clases laterales}\\
&= \varphi(k)\varphi(\tilde{k}) &\text{Definición de }\varphi\text{.}
\end{align*}
Así, $\varphi$ es un homomorfismo.

Ahora veamos quién es el núcleo de $\varphi$.
Sea $\text{Núc }\varphi$ el núcleo de $\varphi$. Entonces,
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{ k\in K | \varphi(k) = e_{HK/H} \} &\text{Definición de núcleo} \\
&= \{k \in K | kH = H\} &\text{Definición de }\varphi \text{ y del neutro cociente}\\
&= \{k\in K|k\in H\} & kH = H \Leftrightarrow k \in H\\
&= H\cap K &\text{Definición de intersección de conjuntos}.
\end{align*}
De este modo, $H\cap K = \text{Núc }\varphi \unlhd K$.

Veamos ahora que $\varphi$ es suprayectiva.
Sean $x\in HK/H$, $x = hk H$ con $h\in H, k \in K$. Luego,
\begin{align*}
x &= hk H &\text{Hipótesis}\\
&= (kk^{-1})hk H &\text{Multiplicamos por en neutro} \\
&= k(k^{-1}hk) H &\text{Agrupamos}\\
&= kH & k^{-1}hk\in H.
\end{align*}
Recordemos que $k^{-1}hk\in H$ pues $H\unlhd G$.

Entonces $x = kH = \varphi(k) \in \text{Im }\varphi$. Por lo que $\varphi$ es suprayectiva y además, $\text{Im }\varphi = HK/H$.

Por el 1er Teorema de Isomorfía tenemos que,
\begin{align*}
K/\text{Núc }\varphi \cong \text{Im }\varphi
\end{align*}
entonces,
\begin{align*}
K/(H\cap K) \cong HK/H.
\end{align*}

$\blacksquare$

Un ejemplo para reforzar el STI

Consideremos $G = GL(2,\c), H = \{zI_2| z \in\c^*\}$ y $K = SL(2,\c)$. Recordemos que $K$ es el grupo lineal especial.

Dado $z \in\c^*$ y $A\in GL(2,\c)$. Entonces,
\begin{align*}
A(zI_2)A^{-1} = zAI_2A^{-1} = zI_2.
\end{align*}
Así $H \unlhd G$.

Además,
\begin{align*}
H\cap K &= \{zI_2|\det(zI_2) = 1\}\\ &= \left\{ \begin{pmatrix}
z & 0\\0 & z \end{pmatrix} : z^2 = 1\right\}\\
& = \left\{\left( \begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1 \end{array}\right), \left( \begin{array}{rr}
-1 & 0\\0 & -1 \end{array}\right) \right\} = \{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Por el Segundo Teorema de Isomofía tenemos que,
\begin{align*}
HSL(2,\c)/ H \cong SL(2,\c)/ \{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Diagrama que describe las relaciones entre los grupos del ejemplo.

Analicemos qué pasa con $HSL(2,\mathbb{C})$. Primero $HSL(2,\c) \leq GL(2, \mathbb{C})$, y si $A \in GL(2,\mathbb{C})$.
\begin{align*}
A = \left(\sqrt{\det A} \;I_2 \right) \left(\frac{1}{\sqrt{\det A}}\right)A.
\end{align*}

Como el primer término está en $H$ y el segundo está en $SL(2,\c),$ entonces $A \in H\,SL(2,\c)$.
Así, tenemos que $H\,SL(2,\c) = GL(2,\mathbb{C})$.

Reescribiendo lo que nos dice el Segundo Teorema de Isomorfía obtenemos:
\begin{align*}
GL(2,\mathbb{C})/H \cong SL(2,\mathbb{C})/\{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Diagrama actualizado

Analicemos ahora cómo es $GL(2,\c)/H$. Tomemos $A,B \in GL(2,\mathbb{C})$. Entonces,
\begin{align*}
AH = BH &\Leftrightarrow A^{-1}B\in H\\ &\Leftrightarrow A^{-1}B = \begin{pmatrix}z & 0 \\ 0 & z\end{pmatrix} \quad \text{con }z\in \c^* \\
&\Leftrightarrow B = A \begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & z \end{pmatrix} = z A \quad \text{con }z\in \c^*.
\end{align*}

Es decir, en el cociente identificamos a matrices que difieren por un escalar no nulo.

Ahora, analicemos el cociente $SL(2,\c)/\{I_2, -I_2\}$. Tomemos $A,B\in SL(2,\c)$. Entonces,
\begin{align*}
A\{I_2, -I_2\} = B\{I_2,-I_2\} &\Leftrightarrow A^{-1}B \in \{I_2, -I_2\}\\ &\Leftrightarrow A^{-1}B = \pm I_2 \\
&\Leftrightarrow B = \pm A.
\end{align*}
Es decir, identificamos a los matrices que difieren a lo mucho por su signo.

Versión intuitiva del ejemplo

Veamos ahora el ejemplo de una manera más intuitiva (con dibujos) para entender por qué esos cocientes son isomorfos.

Lo que hicimos fue tomar el grupo general lineal $GL(2,\c)$ y hacer un cociente respecto a $H$, que consiste en todas las matrices escalares con escalares no nulos. Esto hace que cada matriz $A$ se identifique con cualquier otra de la forma $zA$, con $z$ un escalar no nulo.

Diagrama de lo que sucede en $GL(2,\c).$

En el caso del grupo especial lineal $SL(2,\c)$, hicimos un cociente con $H\cap K$ que consta solamente de la identidad $I_2$ y de su inverso aditivo $-I_2$. De acuerdo con lo que analizamos, las clases de equivalencia tienen 2 elementos. Cada matriz $A$ se identifica con su inverso aditivo $-A$.

Diagrama de lo que sucede en $SL(2,\c).$

Luego, regresando a $GL(2,\c)$, si nos tomamos la matriz dada por $\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$, ésta está en la misma clase de equivalencia que $A$ ya que es de la forma $zA$ con $z=\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}}$ un escalar no nulo. Pero además, $\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ es de determinante igual a 1. Entonces, en la misma clase de equivalencia dos matrices con determinante 1:

\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A, \quad -\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A.
\end{align*}

Diagrama de que $\pm\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ están en $GL(2,\c).$

Además, éstas son las únicas dos opciones con determinante 1. Esto sucede porque ya $\text{det}(zA) = z^2 \text{det }A$ debido a las propiedades del determinante. Entonces si queremos que $zA$ sea de determinante uno, obtendríamos:
\begin{align*}
1 = \text{det}(zA) = z^2 \text{det }A &\Leftrightarrow z^2 = \frac{1}{\text{det }A} \\
&\Leftrightarrow z = \pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}}.
\end{align*}

Entonces, podemos usar alguna de esas dos matrices de determinante uno como representante de la clase de equivalencia de $A$. De la misma manera $I_2, -I_2 \in H$ tienen determinante uno, por lo que podríamos usar alguna de ellas como representante de la clase $H$.

Al trabajar en el contexto de $SL(2,\c)$ consideraríamos sólo las matrices con determinante uno, así que en la clase $H\cap K$ sólo quedarían $I_2$ y $-I_2$. De modo más general, en $GL(2,\c)$ módulo $H$ cada matriz $A$ se identifica con cualquiera de la forma $zA$, y sabemos que sólo $\pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ tienen determinante uno, así que al trabajar ahora en $SL(2,\c)$ la clase de cada matriz $A$ en $SL(2,\c)$ consistirá sólo de $\pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$, y como $\text{det }A=1$, en cada clase tendríamos sólo a la matriz y a su inverso aditivo $\pm A$ .

Diagrama completo.

Esto es lo hay de fondo cuando decimos que los cocientes son isomorfos:

\begin{align*}
GL(2,\mathbb{C})/H \cong SL(2,\mathbb{C})/\{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sean $G$ un grupo finito, $H$ y $K$ subgrupos de $G$ con $H$ normal en $G$. ¿Cuál es la cardinalidad de $HK$ en términos de la de $H$ y de la de $K$? ¿Qué sucede si $H$ no es normal?
  2. Sean $G$ un grupo finito, $S$ y $T$ subconjuntos de $G$. ¿Cuál es la cardinalidad de $ST$ en términos de la de $S$ y la de $T$?
  3. Da otra prueba del 2do Teorema de Isomorfía encontrando un homomorfismo adecuado $\varphi: HK \to K/(H\cap K)$.
  4. Sean $G= Q$ el grupo de los cuaternios, $H = \left< i \right>$, $K = \left< k \right>$. Calcula los cocientes $HK/H$ y $K/(H\cap K)$ encontrando explícitamente su orden, el orden de sus elementos y su tabla de multiplicar, y a partir de ello compara ambos cocientes.
  5. Sean $G = \z \times \z \times \z$ con la suma entrada a entrada, $H = \z\times\z\times \{0\}$, $K = \{0\}\times\z\times\z$.
    • Analiza cómo es el cociente $(H+K)/H$ entendiendo qué se requiere para que $(a,b,c) + H = (d,f,g) + H$.
    • Analiza cómo es el cociente $K/(H\cap K)$ entendiendo qué se requiere para que $(a,b,c)+H\cap K = (d,f,g)+ H\cap K$.
    • Encuentra un homomorfismo $\varphi: \{0\}\times\z\times\z \to \z$ que te permita entender cómo es el cociente $K/(H\cap K)$.

Más adelante…

Ahora ya conocemos al que llamaremos el Segundo Teorema de Isomorfía, a diferencia del PTI, éste no se usa para probar el Tercero, pero igual lo ocuparemos en las unidades siguientes.

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