(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

¡Hoy es el día en el que comenzamos la Unidad 4!

A partir de esta unidad veremos cada uno de los elementos de los grupos (para cualquier grupo) se puede ver como una permutación. Para fines introductorios, ilustremos qué pasa en el caso de un grupo finito. Sea $G = \{e,g_2,\dots, g_n\}$, podemos escribir su tabla de producto ($*$):

$*$	$e$	$g_2$	$g_3$	$\cdots$	$g_n$
$e$
$g_2$
$g_3$
$\vdots$
$a = g_i$	$ae$	$ag_2$	$ag_3$	$\cdots$	$ag_n$
$\vdots$
$g_n$

¿Qué pasa si elegimos un elemento fijo? Fijemos $g_i$, para distinguirlo, denotémoslo como $a = g_i.$ Así, en la tabla del producto ese renglón quedaría $ae \;\; ag_2 \;\; ag_3 \;\; \cdots \;\; ag_n$. Como tanto $a = g_i$ como $e,g_2,\dots g_n$ están en $G$, ese renglón está conformado por elementos de $G$.

Podría darse el caso en que $ag_k = ag_t$ para algún $k,t\in \{1,\dots,n\}$, pero como $G$ es un grupo, podemos cancelar la $a$. Entonces $ag_k = ag_t \Leftrightarrow g_k = g_t$. Así, si suponemos que $g_k \neq g_t$ para todas $k \neq t$ con $k,t\in \{1,\dots,n\}$, en el renglón de $a$ aparecen $n$ elementos distintos. Es decir, aparecen todos los $n$ elementos de $G$ pero quizás en otro orden.

De esta manera, el efecto que tiene $a$ sobre los elementos de $G$ es de moverlos. Esto sucederá en cualquier renglón de la tabla, es decir, cualquier elemento de $G$ funciona como una permutación. Esto es importante porque nos permitirá visualizar a cualquier grupo como un grupo de permutaciones.

Ésta es la razón por la cual las permutaciones son tan importantes y por eso tenemos que estudiarlas bien.

La función tau $\tau$

Bajo la idea propuesta en la introducción de esta entrada, todo grupo se puede pensar como un subgrupo de un grupo de permutaciones. Para formalizar esta idea comenzaremos con un lema.

Lema.
Sea $G$ un grupo, $a\in G$. La función $\tau_a:G \to G$ dada por $\tau_a(g) = ag$ para todo $g\in G$, es una biyección.

Demostración.

Sea $G$ un grupo, $a\in G$. Consideremos la función $\tau_a:G\to G$ con $\tau_a(g) = ag$ para todo $g\in G$.

P.D. $\tau_a$ es biyectiva.
Consideremos la función $\tau_{a^{-1}}:G\to G$ con $\tau_{a^{-1}} = a^{-1} g$, para toda $g\in G.$ Dado $g\in G$.
\begin{align*}
\tau_{a^{-1}}\circ\tau_a(g) & = \tau_{a^{-1}}(\tau_a(g)) = \tau_{a^{-1}}(ag) = a^{-1}(ag) = g\\
\tau_a\circ\tau_{a^{-1}}(g) &= \tau_a(\tau_{a^{-1}}(g)) = \tau_a(a^{-1}g) = a(a^{-1}g) = g.
\end{align*}

Donde todas las igualdades son por definición de $\tau_a$ y $\tau_{a^{-1}}$ ó por propiedades de grupo.

Así, $\tau_{a^{-1}}$ es la inversa de $\tau_a$ y entonces $\tau_a$ es biyectiva.

$\blacksquare$

Observación. Si $a\neq e$, $\tau_a$ no es un homomorfismo.
La demostración queda como ejercicio. Sucederá que si $a\neq e$, entonces $\tau_a$ seguirá siendo una función biyectiva, pero no un homomorfismo.

El título de la entrada

El Teorema de Cayley es quien nos dirá exactamente lo que queremos formalizar esta entrada.

Teorema. Teorema de Cayley.
Todo grupo de $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$. En particular, todo grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo. De acuerdo al lema anterior, para cada $a\in G$ se tiene que $\tau_a$ es una función biyectiva de $G$ en $G$, es decir $\tau_a\in S_G$ Definimos entonces
\begin{align*}
\phi: G \to S_G \text{ con } \phi(a) = \tau_a \; \forall a\in G.
\end{align*}

Veamos que $\phi$ es un homomorfismo.
Tomemos $a,b\in G$.
P.D. $\phi(ab) = \phi(a)\circ\phi(b)$.

Dado que en todas las funciones involucradas tanto el dominio como el condominio es $G$, basta probar que $\phi(ab) $ y $\phi(a)\circ\phi(b)$ tienen la misma regla de correspondencia. Sea entonces $g\in G,$ apliquemos la función $\phi(ab)$ a $g$.
\begin{align*}
\phi(ab)(g) &= \tau_{ab}(g)\\
&= (ab)g \\
&= a(bg) \\
&= \tau_a(\tau_b(g)) \\
& = \tau_a\circ\tau_b(g) = \phi(a)\circ\phi(b)(g).
\end{align*}

Por lo tanto $\phi(ab) = \phi(a)\circ\phi(b)$, probando así que $\phi$ es un homomorfismo.

Veamos ahora que $\phi$ es un monomorfismo. Sea $a\in \text{Núc }\varphi$,
\begin{align*}
a\in \text{Núc }\varphi \Rightarrow\; & \phi(a) = \text{id}_G & \text{Definición de Núc}\\
\Rightarrow\; & \phi(a) (g) = \text{id}_G(g) &\forall g\in G \\
\Rightarrow\; & \tau_a(g) = g & \forall g\in G\\
\Rightarrow\; &ag = g & \forall g\in G \\
\Rightarrow\; &a = e
\end{align*}

donde la última implicación se puede justificar considerando el caso particular $g = e$. De esta manera $\phi$ es un monomorfismo.

Así, al restringir el codominio de $\phi $ a la imagen $\text{Im }\phi$ obtenemos un isomorfismo.
Por lo tanto $G\cong \text{Im }\phi \leq S_G$. Con esto tenemos la primero parte del teorema demostrada.

En particular, si $|G| = n $ tenemos que $S_G \cong S_n$ y como $G\cong \text{Im }\phi \leq S_G\cong S_n$, entonces $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$.

$\blacksquare$

Ejemplo:

Tomemos $V = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$ el grupo de Klein, con la suma entrada a entrada módulo 2.
Sean $a_1 = (0,0), a_2 = (1,0), a_3 = (0,1), a_4 = (1,1)$. Tenemos la tabla de suma de la siguiente manera:

$+$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$
$a_1$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$
$a_2$	$a_2$	$a_1$	$a_4$	$a_3$
$a_3$	$a_3$	$a_4$	$a_1$	$a_2$
$a_4$	$a_4$	$a_3$	$a_2$	$a_1$

Entonces $\tau_{a_2}$ intercambia $a_1$ y $a_2$ e intercambia $a_3$ y $a_4$ de lugar. Viendo a $a_2$ como una permutación, correspodería a $\sigma \in S_4$ con $\sigma = (1\;2)(3\;4).$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Demostrar la observación:
   Observación. Si $a\neq e$, $\tau_a$ no es un homomorfismo.
2. Para los siguientes grupos $G$ y $g\in G$ determina cómo es la función $\tau_g:$
   • $G$ es cíclico de orden 6, $g$ un generador de $G$.
   • $G = D_{2(4)}$, $g = b$ la reflexión sobre el eje $x$.
   • $G = Q$, $g = -j$.
3. En los diferentes inicios del ejercicio anterior, describe cómo se puede visualizar al elemento $g\in G$ como una permutación en $S_n$ con $n = |G|.$

Más adelante…

Esta entrada es la primera de la unidad 4 porque a partir de aquí vamos a abstraer aún más lo que se trabajó en el Teorema de Cayley. Aquí vimos que un grupo se puede ver como un subgrupo de permutaciones porque podemos multiplicar $g\in G$ con todos los elementos de $G$. Pero a lo largo de este curso vimos varias operaciones que están definidas a partir del producto de $G$, por ejemplo, si tenemos $aN \in G/N$ con $N$ normal en $G$, es perfectamente válido operar $gaN$. Siguiendo la lógica del Teorema de Cayley, ¿qué pasa si definimos una nueva función multiplicando las clases laterales por los elementos del grupo? ¿Será posible definir algún tipo de operación entre los elementos de un grupo y un conjunto ya no necesariamente de clases laterales? Éstas y más preguntas serán respondidas en las siguientes entradas.

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• Entrada anterior del curso: Cuarto Teorema de Isomorfía.
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