Introducción
En esta entrada veremos el Cuarto Teorema de Isomorfía, para entenderlo mejor es necesario ilustrarlo con diagramas de retícula.
Sean $G$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$. Recordemos que podemos escribir todos los subgrupos de $G$ en una retícula. Como estamos considerando a todos los subgruposde $G$, el subgrupo más pequeño es el conjunto que contiene sólo al neutro $\{e_G\}$. Así, $G$ va hasta arriba del diagrama y $\{e_G\}$ al final.
Por otro lado, como $H\unlhd G$, tiene sentido considerar otro diagrama, el del grupo $G/N$. De la misma manera que en el anterior, hasta abajo colocaríamos $\{e_{G/N}\}$ que es el conjunto unitario de $\{N\}$.
Luego, como $N \unlhd G$. Podemos tomar un subgrupo $H$ de $G$ que contenga $N$ y colocarlos en el diagrama. Además, esto nos daría la existencia de $H/N \leq G/N$, entonces podríamos dar una correspondencia de $H \mapsto H/N$. Esto nos da una relación entre ambas retículas (la de $G$ y la de $G/N$):
\begin{align*}
G &\longmapsto G/N\\
H &\longmapsto H/N\\
N &\longmapsto \{e_G\} = \{N\}.
\end{align*}
La relación que existe entre la retícula desde $N$ a $G$ y la retícula de $G/N$ además de ser biyectica tiene otras propiedades, por ejemplo, si existe $N\leq K \unlhd H$, entonces $K/N \unlhd H/N$. Estas propiedades son las que veremos en el teorema que nos compete.
Enunciado y demostración del Teorema
A continuación veremos el Cuarto Teorema de Isomorfía (CTI), también conocido como Teorema de la Correspondencia.
Teorema. (Cuarto Teorema de Isomorfía)
Sea $G$ un grupo, $N$ subgrupo normal de $G$, $\pi: G \to G/N$ con $\pi(a) = aN$ (la proyección canónica) para toda $a\in G$. Consideremos
\begin{align*}
\text{Sub}_N^G &= \{H| N\leq H \leq G \}, \\
\text{Sub}_{ G/N} &= \{\mathcal{H} | \mathcal{H} \leq G/N\}.
\end{align*}
Entonces $\pi$ define una correspondencia biyectiva
\begin{align*}
F: \text{Sub}_N^G \to \text{Sub}_{ G/N}
\end{align*}
con $F(H) = \pi [H] = H/N$ para todo $H \in \text{Sub}_H^G$.
Además, si $H,K\in \text{Sub}_N^G$:
- $K\leq H$ si y sólo si $K/N \leq H/N$ y en este caso $[ H:K] = [H/N : K/N]$.
- $K \unlhd H$ si y sólo si $K/N \unlhd H/N$.
- $\left< H\cup K \right> / N = \left< H/N \cup K/N \right>$.
- $(H\cap K) / N = (H/ N) \cap (K/N)$.
Demostración.
Sean $G$ un grupo, $N\unlhd G$, $\pi:G\to G/N$ con $\pi(a) = aN$ para toda $a\in G$.
Sean
\begin{align*}
\text{Sub}_N^G &= \{H\,|\, N\leq H \leq G \}, \quad
\text{Sub}_{ G/N} = \{\mathcal{H} | \mathcal{H} \leq G/N\}.
\end{align*}
Definimos
\begin{align*}
F: \text{Sub}_N^G \to \text{Sub}_{ G/N}
\end{align*}
con $F(H) = \pi[ H] = H/N$ para todo $H \in \text{Sub}_H^G$. Donde $\pi[H]$ es la imagen directa de $H$ bajo $\pi$.
Como $\pi$ es un homomorfismo y $H\leq G$ entonces $\pi[H]\leq \pi[G ]$, es decir $H/N\leq G/N$, entonces $F$ está bien definida.
Veamos que $G$ es inyectiva, para ello probemos la primera parte del inciso 1.
Sean $H, K \in \text{Sub}_N^G$.
P.D. $K \leq H \Leftrightarrow K/N \leq H/N$.
$|\Rightarrow]$ Supongamos que $K \leq H$. Sea $x \in K/N, x = kN$ con $k\in K.$
Como $K\subseteq H$, $k\in H$ y así $x = kN \in H/N$. Por lo tanto $K/N \leq H/N$.
$[\Leftarrow|$ Supongamos que $K/N \leq H/N.$ Sea $k\in K$, tenemos las siguientes implicaciones:
\begin{align*}
k N \in K/N &\Rightarrow kN \in H/N &\text{pues } K/N \leq H/N \\
&\Rightarrow kN = hN \;\text{con } h\in H \\
& \Rightarrow k = hn\; \text{con } h\in H, n\in N &\text{por } k \in kN = hN\\
& \Rightarrow k \in H & \text{ya que } N \subseteq H.
\end{align*}
Por lo tanto $K \leq H$.
De este modo, si $H,K \in \text{Sub}_N^G $ son tales que $F(H) = F(K)$, entonces $H/N = K/N$, así
\begin{align*}
H/N \leq K/N &\Rightarrow H \leq K \\
K/N \leq H/N &\Rightarrow K \leq H,
\end{align*}
ambas implicaciones son consecuencia de lo que acabamos de probar del inciso 1 de CTI. Así, $H=K$.
Veamos que $F$ es suprayectiva. Se $\mathcal{H} \in \text{Sub}_{G/N}$, es decir $\mathcal{H} \leq G/N$. Como $\pi: G \to G/N$ es un homomorfismo y $\{N\}\leq \mathcal{H} \leq G/N$, entonces $N \leq \pi^{-1}[\mathcal{H}] \leq G$.

Nos vamos a fijar en el subgrupo $\pi^{-1} [\mathcal{H}]$, porque nos va a servir para probar la suprayectividad que buscamos.
Entonces apliquemos $F$: $$F(\pi^{-1} [\mathcal{H} ]) = \pi [\pi^{-1}[\mathcal{H}]]= \mathcal{H}$$ pues $\pi$ es suprayectiva. Así, $F$ es suprayectiva.
Probaremos ahora la segunda parte del inciso 1).
Sean $H,K\in \text{Sub}_N^G$, con $K\leq H$.
P.D. $[H: K ] = [H/N: K/N]$.
Recordemos que $[H/N : K/N]$ es la cardinalidad de $\{(hN)K/N \,|\, hN \in H/N\}$.
Para simplificar, denotaremos a $K/N$ por $K^*$ y como $\pi (h) = hN$, entonces $[H/N : K/N ]$ es la cardinalidad de $\{\pi(h)K^* | h\in H\}.$
P.D. $\{hK | h \in H \}$ y $\{\pi(h)K^*|h\in H\}$ tienen la misma cardinalidad.
Sea $f: \{hK | h \in H\} \to \{\pi(h)K^*| h\in H\}$ definida por $f(hK) = \pi(h)K^*$ para toda $h\in H$. Demostraremos que es una función biyectiva.
Primero, veamos que $f$ está bien definida. Tomemos $h, \tilde{h} \in H$. Tenemos las siguientes implicaciones:
\begin{align*}
hK = \tilde{h}K &\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} \in K \\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} N \in K/N = K^*\\
&\Rightarrow \pi(h^{–1}\tilde{h}) \in K^* & \text{definición de }\pi\\
&\Rightarrow \pi(h)^{-1} \pi(\tilde{h}) \in K^* & \pi\text{ es homomorfismo}\\
&\Rightarrow \pi(h)K^* = \pi(\tilde{h})K^*.
\end{align*}
Por lo tanto, $f$ está bien definida.
Ahora veamos que $f$ es inyectiva. Sean $hK,\tilde{h}K$ con $h,\tilde{h}\in H$, tales que $f(hK) = f(\tilde{h}K)$. Seguiremos las siguientes implicaciones,
\begin{align*}
f(hk) = f(\tilde{h}K) & \Rightarrow \pi(h)K^* = \pi(\tilde{h})K^* &\text{definición de }f \\
&\Rightarrow \pi(h)^{-1}\pi(\tilde{h}) \in K^* \\
&\Rightarrow \pi(h^{–1}\tilde{h}) \in K^* &\pi\text{ es homomorfismo}\\
&\Rightarrow h^{–1}\tilde{h}N\in K^*&\text{definición de }\pi\\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h}N = kN \text{ con } k \in K & \text{porque }K^* = K/N\\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h} = kn, k\in K, n\in N &\text{porque } h^{-1}\tilde{h}\in h^{-1}\tilde{h}N \\
&\Rightarrow h^{-1}\tilde{h}\in K &\text{pues } N\subseteq K \\
&\Rightarrow hK = \tilde{h}K.
\end{align*}
Por lo tanto $f$ es inyectiva.
Además, si tenemos $\pi(h)K^*$ con $h\in H$, entonces $\pi(h)K^* = f(hK) \in \text{Im}f$. Por lo tanto $f$ es suprayectiva.
Así,
\begin{align*}
[H:K] &= \# \{hK | h \in H\} \\
&= \#\{\pi(h)K^* | h \in H\} = [H/N:K/N].
\end{align*}
Ahora, demostraremos el inciso 2.
Sean $H,K\in \text{Sub}_N^G$.
P.D. $K \unlhd H \Leftrightarrow K/N \unlhd H/N.$
El inciso 1 (que acabamos de probar) ya nos da que $K \leq H \Leftrightarrow K/N \leq H/N.$ Entonces lo que nos resta probar es que son subgrupos normales.
$|\Rightarrow]$ Supongamos que $K\unlhd H$. Sean $x\in H/N, y \in K/N$, entonces $x = hN, y = kN$ con $h\in H, k\in K$.
Lo que queremos es considerar el conjugado $xyx^{-1}$, es decir, ver que si tomamos un elemento de $K$ módulo $N$ (al que llamamos $y$) y lo conjugamos con cualquier elemento de $H$ módulo $N$ (en este caso $x$), vuelvo a tener un elemento en $K$ módulo $N$. Esto se ve de la siguiente manera:
\begin{align*}
x y x^{-1} = (hN)(kN)(hN)^{-1} = (hN)(kN)(h^{-1}N) = hkh^{-1}N.
\end{align*}
Como $k \in K, h \in H$ y $K\unlhd H$, se tiene que $hkh^{-1} \in K$.
Así, $xyx^{-1} = hkh^{-1} N \in K/N$. Por lo que $K/N \unlhd H/N$.
$[\Leftarrow|$ Supongamos que $K/N \unlhd H/N$. Sean $k\in K, h\in H$.
Veamos qué sucede con la clase $hkh^{-1}N$:
\begin{align*}
hkh^{-1} N = (hN)(kN)(h^{-1}N) = (hN)(kN)(hN)^{-1}
\end{align*}
Es otras palabras, estamos conjugando un elemento de $kN\in K/N$ con un elemento de $kN\in K/N$. Luego, como sabemos que $K/N \unlhd H/N$ obtenemos que esta conjugación sigue estando en $K/N$. Es decir, $hkn^{-1}N\in K/N$.
Podríamos reescribir $hkh^{-1}N = \tilde{k}N$ con $\tilde{k} \in K$. Así,
\begin{align*}
hkh^{-1}N &= \tilde{k}N & \text{con }\tilde{k} \in K\\
\Rightarrow hkh^{-1} &= \tilde{k}n, \tilde{k}\in K, n\in N & \text{por } hkh^{-1} \in hkh^{-1}N = \tilde{k}N \\
\Rightarrow hkh^{-1}&\in K &\text{pues } N\subseteq K.
\end{align*}
Por lo tanto $K\unlhd H$.
$\blacksquare$
Ejemplo de CTI
Ejemplo. Tomemos el grupo diédrico (todas las simetrías de un cuadrado) $D_{2(4)} = \left<a,b \right>$, donde $a$ la rotación de $\frac{\pi}{2}$ y $b$ es la reflexión respecto al eje $x$.
Construyamos la retícula de $D_{2(4)}$: comenzamos con $D_{2(4)}$ hasta arriba, este tiene orden de 8. En el siguiente nivel colocamos los subgrupos:
\begin{align*}
\left<a^2,b\right> &= \{\text{id}, a^2, b, a^2b\}\\
\left<a\right> &= \{\text{id}, a, a^2, a^3\} \\
\left<a^2,ab\right> &= \{\text{id}, a^2, ab, a^3b\}.
\end{align*}
Cada uno de esos subgrupos tiene orden 4, en realidad esos son los únicos subgrupos de $D_{2(4)}$ que tienen orden 4. Siéntete libre de confirmar las cuentas.
Luego podemos colocar en el tercer nivel los subgrupos de orden 2:
\begin{align*}
\left< b\right> &= \{\text{id}, b\}\\
\left< a^2b\right> &= \{\text{id}, a^2b\}\\
\left< a^2\right> &= \{\text{id}, a^2\}\\
\left< ab\right> &= \{\text{id}, ab\}\\
\left< a^3b\right> &= \{\text{id}, a^3b\}.
\end{align*}
Por último, hasta abajo tenemos al unitario de la identidad $\{\text{id}\}$. Si verificamos las operaciones, nos daremos cuenta que hemos construido todo el diagrama de retícula de $D_{2(4)}$.
Para poder usar el CTI, consideremos $\left<a^2\right> \unlhd D_{2(4)}$ y concentremos nuestra atención en la parte de la retícula que se encuentra entre esos dos (marcada con rojo en la imagen).
Ahora, dibujaremos el diagrama de retícula de $D_{2(4)}/\left<a^2\right>$, éste va hasta arriba. Colocamos los cocientes respectivos en el siguiente nivel, siguiendo esta correspondencia:
\begin{align*}
\left<a^2,b\right> &\longmapsto \left<a^2,b\right> / \left<a^2\right>\\
\left<a\right> &\longmapsto \left<a\right>/ \left<a^2\right>\\
\left<a^2,ab\right> &\longmapsto \left<a^2,ab\right>/ \left<a^2\right>.
\end{align*}
Haciendo las cuentas veremos que:
\begin{align*}
\left<a^2,b\right> / \left<a^2\right> = \left<b \left<a^2\right>\right>\\
\left<a\right>/ \left<a^2\right> = \left<a \left<a^2\right>\right>\\
\left<a^2,ab\right>/ \left<a^2\right> = \left<ab \left<a^2\right>\right>.
\end{align*}
Por último, haremos una observación. Si tomamos uno de los subgrupos de de orden 2, que no sea $\left< a^2\right>$ igual podríamos aplicarle $\pi$ y seguirían cayendo en elementos de la retícula de $D_{2(4)}/\left<a^2\right>$. Por ejemplo, si tomamos $\left< a^3b\right>$, entonces:
\begin{align*}
\pi[\left< a^3b\right>] = \{\text{id}\left<a^2\right>, a^3b\left<a^2\right>\} = \left<ab\left<a^2\right>\right>.
\end{align*}
Esto haría a $\pi$ no biyectiva, pero esto no contradice el Teorema de la Correspondencia porque en realidad $\left< a^3b\right>$ ni siquiera está contemplado porque no forma parte de la retícula entre $D_{2(4)}$ y $\left<a^2\right>$.

Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Prueba los incisos 3 y 4 del Teorema de la correspondencia (Cuarto Teorema de Isomorfía).
- Encuentra la retícula de sugrupos de $\z$ que contienen a $24\z$.
- Encuentra la retícula de subgrupos de $\z/24\z$.
- Compara ambas retículas.
- Usando el diagrama reticular de subgrupos de $\z_{36}$ encuentra el de $\z_{36}/N$ donde $N = \{\bar{0}, \overline{12}, \overline{24}\}$.
Más adelante…
Con esta entrada concluimos la Unidad 3. En la siguiente unidad comenzaremos a ver cómo es posible ver a cualquier grupo como un subgrupo de permutaciones. ¿Puedes imaginártelo?
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