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Álgebra Moderna I: Teorema de Jordan-Hölder

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Éste es un momento emotivo. Hemos llegado a la última entrada del curso. Así que sin mucho preámbulo comencemos a hablar del tema que nos compete.

El Teorema de Jordan-Hölder nos dice que cada par de series de composición de un grupo $G$ siempre son del mismo tamaño y con factores de composición isomoforfos entre sí. De nuevo, es un teorema que nos describe cómo es un grupo y los subgrupos que lo conforman.

Debido a que los factores de composición son grupos simples, obtenemos una descomposición del grupo $G$ en elementos mínimos (en el sentido de que no tienen una subestructura del mismo tipo) y de nuevo, podemos hacer una analogía con el Teorema fundamental de la aritmética, aunque esto se ve mejor cuando $G = \z_n.$

Por último, así como el Cuarto teorema de isomorfía justifica que los factores de composición son simples, en la demostración del Teorema de Jordan-Hölder usamos mucho el Segundo teorema de isomorfía para justificar la isomorfía que existe entre los factores de composición, así que es recomendable repasarlo.

El último teorema del curso

Teorema. (de Jordan – Hölder) Sean $G$ un grupo finito y
\begin{align*}
G & = G_1 \unrhd G_2 \unrhd \cdots \unrhd G_{s+1} = \{e\}\\
G & = H_1 \unrhd H_2 \unrhd \cdots \unrhd H_{t+1} = \{e\}
\end{align*}
dos series de composición de $G$. Entonces $s = t$ y existe una permutación $\sigma \in S_t$ tal que para toda $i\in\{1,2,\dots ,s\}$
\begin{align*}
G_i/G_{i+1} \cong H_{\sigma(i)}/ H_{\sigma(i)+1}.
\end{align*}

Demostración.

Sea $G$ un grupo finito.
Por inducción sobre $|G|$.

H.I. Supongamos que el resultado se cumple si el orden del grupo es menor que $|G|.$

Sean
\begin{align*}
G & = G_1 \unrhd G_2 \unrhd \cdots \unrhd G_{s+1} = \{e\}\\
G & = H_1 \unrhd H_2 \unrhd \cdots \unrhd H_{t+1} = \{e\}
\end{align*}
dos series de composición de $G$.

Caso 1. $G_2 = H_2$, entonces
\begin{align*}
G_2 \unrhd \cdots \unrhd G_{s+1} = \{e\}\\
H_2 \unrhd \cdots \unrhd H_{t+1} = \{e\}
\end{align*}
son series de composición de $G_2$.

Dado que $G_1/G_2$ es simple, en particular $G_1/G_2\neq \{e_{G_1/G_2}\}$ y así $G=G_1\neq G_2$. En consecuencia $G_2\leq G$ y $|G_2|<|G|$ y por H.I. $s-1 = t-1$ y existe $\sigma\in S_{t-1}$ tal que
\begin{align*}
G_i/ G_{i+1} \cong H_{\sigma(i)} / H_{\sigma(i) + 1} \quad \forall i\in\{2,\dots,t\}.
\end{align*}

Como $G_1 = G = H_1$ y $G_2 = H_2$, entonces $G_1/G_2 = H_1/H_2$.

Así, $s=t$ y $\alpha\in S_t$ con $\alpha(1) = 1$, $\alpha(i) = \sigma(i)$ para $i\in\{2,\dots, t\}$ cumple que
\begin{align*}
G_i/G_{i+1} \cong H_{\alpha(i)} / H_{\alpha(i)+1} \quad \forall i \in \{1,\dots, t\}.
\end{align*}

Caso 2. $G_2 \neq H_2$

Como $G_2 \unlhd G$ y $H_2 \unlhd G$ se tiene que $G_2H_2 \unlhd G$.

Además
\begin{align*}
G_2 &\leq G_2H_2 \unlhd G \\
H_2 &\leq G_2H_2 \unlhd G.
\end{align*}

Como $G/G_2$ es simple, por el ejercicio 2 de Grupos simples y series de grupos se tiene que $G_2$ es un subgrupo normal de $G$ máximo. Así, $G_2H_2 = G$ ó $G_2H_2 = G_2$. Análogamente $G_2H_2 = G$ ó $G_2H_2 = H_2$. Pero si $G_2H_2 = G_2$ y $G_2H_2 = H_2$ tendríamos que $G_2=H_2$, lo que es una contradicción. Por lo tanto \begin{equation}\label{ec1}G_2H_2 = G.\end{equation}

Como $G_2\unlhd G$ entonces usamos el 2do Teorema de Isomorfía y nos dice que $G_2\cap H_2 \unlhd H_2$ y

\begin{align*}
G_2H_2/G_2 \cong H_2/(G_2\cap H_2).
\end{align*}

Pero, como también $H_2 \unlhd G$, el 2do teorema de isomorfía también nos dice que $G_2 \cap H_2 \unlhd G_2$ y
\begin{align*}
G_2H_2/H_2 \cong G_2/(G_2\cap H_2).
\end{align*}

Por (\ref{ec1}) tenemos que $G = G_2H_2$ obteniendo así que

\begin{align*}
G/G_2 &\cong H_2/(G_2\cap H_2)\\
G/H_2 &\cong G_2/(G_2\cap H_2).
\end{align*}

Diagrama de retícula para el Segundo Teorema de Isomorfía.

Como $G/G_2$ es simple, $H_2/(G_2\cap H_2)$ también lo es. Así, $G_2\cap H_2$ es un subgrupo normal máximo de $H_2$.

Análogamente como $G/H_2$ es simple, $G_2/(G_2\cap H_2)$ también lo es. Así, $G_2 \cap H_2$ es un subgrupo normal máximo de $G_2$.

Sea $K_3 = G_2\cap H_2$. Consideremos una serie de composición para $K_3$
\begin{align*}
K_3 \unrhd K_4 \unrhd \cdots \unrhd K_{r+1} = \{e\}.
\end{align*}

Tenemos las siguientes series de composición
\begin{align}
G &= G_1\unrhd G_2 \unrhd \cdots \unrhd G_{s+1} = \{e\} \\
G &= G_1 \unrhd G_2 \unrhd K_3 \unrhd K_4 \unrhd \cdots \unrhd K_{r+1} = \{e\} \\
G &= H_1 \unrhd H_2 \unrhd K_3 \unrhd K_4 \unrhd \cdots \unrhd K_{r+1} = \{e\} \\
G &= H_1 \unrhd H_2 \unrhd \cdots \unrhd H_{t+1} = \{e\}
\end{align}

Por el caso 1 aplicado a $(2)$ y $(3)$, $s= r$ y los factores de composición de
\begin{align*}
G_2 &\unrhd \cdots \unrhd G_{s+1} = \{e\}\\
G_2 &\unrhd K_3 \unrhd K_4 \unrhd \cdots \unrhd K_{r+1} = \{e\}
\end{align*}
son isomorfos salvo por el orden en el que están colocados.

Por el caso 1 aplicado a $(4)$ y $(5)$, $r=t$ y los factores de composición de
\begin{align*}
H_2 &\unrhd K_3 \unrhd K_4 \unrhd \cdots \unrhd K_{r+1} = \{e\}\\
H_2 &\unrhd \cdots \unrhd H_{t+1} = \{e\}
\end{align*}
son isomorfos salvo por el orden en el que están colocados.
Tenemos entonces que $s = t$.

Consideremos $G_i/G_{i+1}$ con $i\in\{2,\dots,t\}$:

Si $G_i/G_{i+1} \cong K_j/K_{j+1}$ con $j\in \{3,\dots, t\}$, entonces sabemos que existe $l\in\{2,\dots, t\}$ tal que $K_j/K_{j+1} \cong H_l/H_{l+1}.$

Por otro lado si $G_i/ G_{i+1} \cong G_2/K_3$, entonces $G_2/K_3=G_2/(G_2\cap H_2) \cong G/H_2=H_1/H_2.$

Entonces, para $i\in\{2,\dots,t\}$ se tiene que $G_i/G_{i+1}$ es isomorfo a $ H_l/H_{l+1}$ para alguna $l\in\{1,2,\dots, t\}$.

Finalmente consideremos el cociente $G/G_2$. Tenemos que $G/G_2\cong H_2/(G_2\cap H_2)=H_2/K_3 \cong H_m/H_{m+1}$, para alguna $m\in \{2,\dots, t\}$.

Por lo tanto para $i\in\{1,2,\dots,t\}$ se tiene que $G_i/G_{i+1}$ es isomorfo a $ H_l/H_{l+1}$ para alguna $l\in\{1,2,\dots, t\}$.

Así, los factores de composición de las series $(1)$ y $(4)$ son isomorfos salvo por el orden en que aparecen.

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que el Teorema de Jordan-Hölder induce el Teorema fundamental de la aritmética.
    1. Toma el grupo cíclico $\z_n$ con $n \in \z$ no necesariamente primo.
    2. Encuentra el orden de un subgrupo máximo de $\z_n$.
    3. Observa la forma de las series de composición de $\z_n$.
    4. Usa el teorema de Jordan-Hölder para concluir el Teorema fundamental de la aritmética.

Más adelante…

Nuestro curso abarca hasta este teorema, pero el estudio del álgebra continúa en un curso de Álgebra Moderna II donde se estudia la Teoría de anillos y la Teoría de Galois. Estas dos teorías son igualmente interesantes y apasionantes y tienen muchas aplicaciones.

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Álgebra Moderna I: Segundo Teorema de Isomorfía 

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Comencemos introduciendo la idea del Segundo Teorema de Isomorfía. Para ello tomemos $H,K$ dos subgrupos de $G$ tales que $H\unlhd G$. Por favor, apóyate en el diagrama de retícula.

Diagrama de retícula para explicar el Segundo Teorema de Isomorfía.

Observemos el cociente $HK/H$, este es posible porque $H\unlhd HK$ (como se hizo notar en la entrada anterior y esto se indica en el diagrama). Por nuestra experiencia manejando fracciones, podríamos pensar que es posible cancelar la $H$ y obtener que $HK/H \cong K$. Sin embargo, esto no es cierto porque $K$ puede tener elementos en común con $H$. Por ejemplo, si tomamos el caso cuando $H=K$ el isomorfismo $HK/H \cong K$ ya no se cumple.

¡Pero no temais! porque sí existe un isomorfismo para $HK/H$, en esta entrada el Segundo Teorema de Isomorfía nos dice que $$HK/H \cong K/(H\cup K).$$

Cabe notar que en la literatura suelen mezclarse el Segundo y el Tercer Teorema de Isomorfía entre sí. El Primer Teorema de Isomorfía siempre es el que enunciamos en la entrada pasada, pero a veces el Segundo puede ser el Tercero y viceversa. Esto lo aclaramos por si el teorema que tratamos en esta entrada no es el que te esperabas.

Segundo Teorema de Isomorfía

El segundo Teorema de isomorfía también es llamado del Teorema del Diamante por la forma del diagrama de retícula asociado.

Diagrama de retícula del STI.

Teorema. (2do Teorema de Isomorfía)
Sean $G$ un grupo, $H,K$ subgrupos de $G$ con $H\unlhd G$. Entonces $HK\leq G$, $H \unlhd HK$, $H\cap K \unlhd K$ y
\begin{align*}
HK/H \cong K/(H\cap K).
\end{align*}

Demostración.
Sean $G$ un grupo, $H \unlhd G$, $K \leq G$.
Como $H \unlhd G$, entonces $HK \leq G$. Tenemos que $H\leq HK$ y como $H \unlhd G$, entonces $H \unlhd HK$.

En esta demostración queremos usar el Primer Teorema de Isomorfía. Para ello bastaría construir un homomorfismo cuyo núcleo sea $H\cap K$ y cuya imagen sea $HK/H$. Comencemos definiendo dicho homomorfismo:

Sea
\begin{align*}
\varphi: K \to HK/H
\end{align*}
con $\varphi(k) = kH, \forall k\in K$.

P.D. $\varphi$ es un homomorfismo.

Sean $k, \tilde{k} \in K$,
\begin{align*}
\varphi(k\tilde{k}) = k\tilde{k}H = kH\tilde{k}H = \varphi(k)\varphi(\tilde{k}).
\end{align*}
Así, $\varphi$ es un homomorfismo.

Ahora veamos quién es el núcleo de $\varphi$:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{ k\in K | \varphi(k) = e_{HK/H} \} \\
&= \{k \in K | kH = H\} \\ &= \{k\in K|k\in H\} = H\cap K.
\end{align*}
De este modo, $H\cap K = \text{Núc }\varphi \unlhd K$.

Veamos ahora que $\varphi$ es suprayectiva.
Sea $x\in HK/H$, $x = hk H$ con $h\in H, k \in K$.
\begin{align*}
x = hk H = (kk^{-1})hk H = k(k^{-1}hk) H = kH
\end{align*}
ya que $k^{-1}hk\in H$ pues $H\unlhd G$.

Entonces $x = kH = \varphi(k) \in \text{Im }\varphi$. Por lo que $\varphi$ es suprayectiva y además, $\text{Im }\varphi = HK/H$.

Por el 1er Teorema de Isomorfía,
\begin{align*}
K/\text{Núc }\varphi \cong \text{Im }\varphi
\end{align*}
entonces
\begin{align*}
K/(H\cap K) \cong HK/H.
\end{align*}

$\blacksquare$

Un ejemplo para reforzar del STI

Consideremos $G = GL(2,\c), H = \{zI_2| z \in\c^*\}$ y $K = SL(2,\c)$. Recordemos que $K$ es el grupo lineal especial.

Dado $z \in\c^*$ y $A\in GL(2,\c)$,
\begin{align*}
A(zI_2)A^{-1} = zAI_2A^{-1} = zI_2.
\end{align*}
Así $H \unlhd G$.

Además,
\begin{align*}
H\cap K &= \{zI_2|\det(zI_2) = 1\}\\ &= \left\{ \begin{pmatrix}
z & 0\\0 & z \end{pmatrix} : z^2 = 1\right\}\\
& = \left\{\left( \begin{array}{rr}1 & 0\\0 & 1 \end{array}\right), \left( \begin{array}{rr}
-1 & 0\\0 & -1 \end{array}\right) \right\} = \{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Por el Segundo Teorema de Isomofía,
\begin{align*}
HSL(2,\c)/ H \cong SL(2,\c)/ \{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Diagrama que describe las relaciones entre los grupos del ejemplo.

Analicemos qué pasa con $HSL(2,\mathbb{C})$. Primero $HSL(2,\c) \leq GL(2, \mathbb{C})$, y si $A \in GL(2,\mathbb{C})$.
\begin{align*}
A = \left(\sqrt{\det A} \;I_2 \right) \left(\frac{1}{\sqrt{\det A}}\right)A.
\end{align*}

Como el primer término está en $H$ y el segundo está en $SL(2,\c)$, entonces $A \in H\,SL(2,\c)$.
Así, tenemos que $H\,SL(2,\c) = GL(2,\mathbb{C})$.

Reescribiendo lo que nos dice el Segundo Teorema de Isomorfía obtenemos:
\begin{align*}
GL(2,\mathbb{C})/H \cong SL(2,\mathbb{C})/\{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Diagrama actualizado

Analicemos ahora cómo es $GL(2,\c)/H$. Tomemos $A,B \in GL(2,\mathbb{C})$,
\begin{align*}
AH = BH &\Leftrightarrow A^{-1}B\in H\\ &\Leftrightarrow A^{-1}B = \begin{pmatrix}z & 0 \\ 0 & z\end{pmatrix} \quad \text{con }z\in \c^* \\
&\Leftrightarrow B = A \begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & z \end{pmatrix} = z A \quad \text{con }z\in \c^*
\end{align*}

es decir, en el cociente identificamos a matrices que difieren por un escalar no nulo.

Ahora, analicemos el cociente $SL(2,\c)/\{I_2, -I_2\}$. Tomemos $A,B\in SL(2,\c)$,
\begin{align*}
A\{I_2, -I_2\} = B\{I_2,-I_2\} &\Leftrightarrow A^{-1}B \in \{I_2, -I_2\}\\ &\Leftrightarrow A^{-1}B = \pm I_2 \\
&\Leftrightarrow B = \pm A
\end{align*}
es decir, identificamos a los matrices que difieren a lo mucho por su signo.

Versión intuitiva del ejemplo

Veamos ahora el ejemplo de una manera más intuitiva (con dibujos) para entender por qué esos cocientes son isomorfos.

Lo que hicimos fue tomar el grupo general lineal $GL(2,\c)$ y hacer un cociente respecto a $H$, que consiste en todas las matrices escalares con escalares no nulos. Esto hace que cada matriz $A$ se identifique con cualquier otra de la forma $zA$, con $z$ un escalar no nulo.

Diagrama de lo que sucede en $GL(2,\c).$

En el caso del grupo especial lineal $SL(2,\c)$, hicimos un cociente con $H\cap K$ que consta solamente de la identidad $I_2$ y de su inverso aditivo $-I_2$. De acuerdo con lo que analizamos, las clases de equivalencia tienen 2 elementos. Cada matriz $A$ se identifica con su inverso aditivo $-A$.

Diagrama de lo que sucede en $SL(2,\c).$

Luego, regresando a $GL(2,\c)$, si nos tomamos la matriz dada por $\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$, ésta está en la misma clase de equivalencia que $A$ ya que es de la forma $zA$ con $z=\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}}$ un escalar no nulo. Pero además, $\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ es de determinante igual a 1. Entonces, en la misma clase de equivalencia dos matrices con determinante 1:

\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A, \quad -\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A.
\end{align*}

Diagrama de que $\pm\frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ están en $GL(2,\c).$

Además, éstas son las únicas dos opciones con determinante 1. Esto sucede porque ya $\text{det}(zA) = z^2 \text{det }A$ debido a las propiedades del determinante. Entonces si queremos que $zA$ sea de determinante uno, obtendríamos:
\begin{align*}
1 = \text{det}(zA) = z^2 \text{det }A &\Leftrightarrow z^2 = \frac{1}{\text{det }A} \\
&\Leftrightarrow z = \pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}}.
\end{align*}

Entonces, podemos usar alguna de esas dos matrices de determinante uno como representante de la clase de equivalencia de $A$. De la misma manera $I_2, -I_2 \in H$ tienen determinante uno, por lo que podríamos usar alguna de ellas como representante de la clase $H$.

Al trabajar en el contexto de $SL(2,\c)$ consideraríamos sólo las matrices con determinante uno, así que en la clase $H\cap K$ sólo quedarían $I_2$ y $-I_2$. De modo más general, en $GL(2,\c)$ módulo $H$ cada matriz $A$ se identifica con cualquiera de la forma $zA$, y sabemos que sólo $\pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$ tienen determinante uno, así que al trabajar ahora en $SL(2,\c)$ la clase de cada matriz $A$ en $SL(2,\c)$ consistirá sólo de $\pm \frac{1}{\sqrt{\text{det }A}} A$, y como $\text{det }A=1$, en cada clase tendríamos sólo a la matriz y a su inverso aditivo $\pm A$ .

Diagrama completo.

Esto es lo hay de fondo cuando decimos que los cocientes son isomorfos:

\begin{align*}
GL(2,\mathbb{C})/H \cong SL(2,\mathbb{C})/\{I_2, -I_2\}.
\end{align*}

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $G$ un grupo finito, $H$ y $K$ subgrupos de $G$ con $H$ normal en $G$. ¿Cuál es la cardinalidad de $HK$ en términos de la de $H$ y de la de $K$? ¿Qué sucede si $H$ no es normal?
  2. Sea $G$ un grupo finito, $S$ y $T$ subconjuntos de $G$. ¿Cuál es la cardinalidad de $ST$ en términos de la de $S$ y la de $T$?
  3. Da otra prueba del 2do Teorema de Isomorfía encontrando un homomorfismo adecuado $\varphi: HK \to K/(H\cap K)$.
  4. Sean $G= Q$ el grupo de los cuaternios, $H = \left< i \right>$, $K = \left< k \right>$. Calcula los cocientes $HK/H$ y $K/(H\cap K)$ encontrando explícitamente su orden, el orden de sus elementos y su tabla de multiplicar, y a partir de ello compara ambos cocientes.
  5. Sean $G = \z \times \z \times \z$ con la suma entrada a entrada, $H = \z\times\z\times \{0\}$, $K = \{0\}\times\z\times\z$.
    • Analiza cómo es el cociente $(H+K)/H$ entendido qué se requiere para que $(a,b,c) + H = (d,f,g) + H$.
    • Analiza cómo es el cociente $K/(H\cap K)$ entendiendo qué se requiere para que $(a,b,c)+H\cap K = (d,f,g)+ H\cap K$.
    • Encuentra un homomorfismo $\varphi: \{0\}\times\z\times\z \to \z$ que te permita entender cómo es el cociente $K/(H\cap K)$.

Más adelante…

Ahora ya conocemos al que llamaremos el Segundo Teorema de Isomorfía, a diferencia del PTI, éste no se usa para probar el Tercero, pero igual lo ocupando en las unidades siguientes.

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