Introducción
Alguna vez te haz preguntado: ¿qué ocurre con un cociente de cocientes? Comencemos con un ejemplo para crear intuición.
Digamos que queremos que el siguiente cociente tenga sentido:
\begin{align*}
(G/K) \Big/ (H/T).
\end{align*}
Para ello, necesitamos que $K\unlhd G$, $T\unlhd H$ y además $H/T \unlhd G/K$. Lo último nos indica que tiene que pasar que $H/T \subseteq G/K$. En este caso, los elementos se verían $hT \in H/T$ y $gK \in G/K$, la contención nos lleva a que $T=K$.
Volvamos a escribir el cociente ahora con $T=K$,
\begin{align*}
(G/K) \Big/ (H/K).
\end{align*}
También actualicemos las necesitades:
- $K\unlhd G$,
- $K\unlhd H$ y
- $H/K\subseteq G/K$.
Nos fijemos en la tercera: $H/K\subseteq G/K$. Los elementos en estos conjuntos son $hK\in H/K$ y $gK\in G/K$. Como podemos ver, si queremos que la contención entre cocientes se cumpla, necesariamente necesitaríamos que $H\subseteq G$.
Entonces nos quedamos con que $K \subseteq H \subseteq G$. Para que el cociente de cocientes se cumpla podemos pedir la primera condición, $K \unlhd G$. Ésta nos da la segunda, $K\unlhd H$. También podemos pedir que $H\unlhd G$ y de esto obtendríamos la tercera necesidad, $H/K\subseteq G/K$. Además, como pedimos que $H\unlhd G$ podemos considerar al cociente $G/H$.
En esta entrada, demostraremos el Tercer Teorema de Isomorfía, el cual nos respalda en afirmar, bajo las condiciones ya establecidas, que
\begin{align*}
G/H \cong (G/K) \Big/ (H/K).
\end{align*}
De esto podemos concluir que, tener cocientes de cocientes no nos sirve de mucho porque es isomorfo a un cociente más sencillo. Como una especia de reducción de cocientes.
Enunciado del Teorema
Comenzaremos enunciando y demostrando el teorema. Como ya dijimos en la entrada del Primer Teorema de Isomorfía, aquí volveremos a usarlo para probar el Tercero.
Teorema. (Tercer Teorema de Isomorfía)
Sean $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ con $K\leq H$. Entonces $H/K \unlhd G/K$ y
\begin{align*}
(G/K)\, \Big/\, (H/K) \cong G/H.
\end{align*}
Demostración.
Sean $G$ un grupo, $H\unlhd G$, $K\unlhd G$ con $K \leq H$.
Como $K\unlhd G$, quiere decir que al conjugar elementos de $K$ con elementos de $G$, sigue siendo elemento de $K$. En particular, si conjugamos elementos de $K$ con elementos de $H$, así obtenemos que $K\unlhd H$.
De nuevo, usaremos el Primer Teorema de Isomorfía, para ello necesitamos definir una $\varphi$ tal que $\text{Núc } \varphi = H/K$ y $\text{Im }\varphi = G/H$.
Sea $\varphi: G/K \to G/H$ con $\varphi(gK) = gH$ para toda $g\in G$.
Primero, veamos que $\varphi$ está bien definida.
Tomemos $a,b \in G$.
\begin{align*}
aK = bK &\Rightarrow b^{-1}a \in K \\
&\Rightarrow b^{-1}a\in H &\text{Porque } K \subseteq H\\
&\Rightarrow aH = bH.
\end{align*}
Esto nos dice que debido a la contención $K\subseteq H$, dos clases que son iguales con respecto a $K$, seguirán siendo iguales con respecto a $H$. Así $\varphi$ está bien definida.
Ahora veamos que $\varphi$ es un homomorfismo. Sean $a,b\in G$
\begin{align*}
\varphi(aKbK) = \varphi(abK) = ab H = aHbH = \varphi(aK)\varphi(bK)
\end{align*}
entonces $\varphi$ es un homomorfismo.
Ahora sí, comencemos a analizar su núcleo:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{gK\in G/K \,:\, \varphi(gK) = e_{G/H}\} & \text{Definición de núcleo} \\ &= \{gK\in G/K \,:\, gH = H \} &\text{Neutro del cociente}\\
&= \{gK \in G/K \,:\, g\in H\} & gH = H \Leftrightarrow g\in H \\
&= H/K
\end{align*}
Así $\text{Núc }\varphi = H/K \unlhd G/K$.
Veamos ahora que $\varphi$ es suprayectiva.
Sea $x\in G/H$, $x = gH$ con $g\in G$. Por definición de $\varphi$ tenemos,
\begin{align*}
x = gH = \varphi(gK) \in \text{Im }\varphi.
\end{align*}
Como siempre sucede que $\text{Im }\varphi \subseteq G/H$. Entonces $\text{Im }\varphi = G/H$.
Por el primer teorema de isomorfía:
\begin{align*}
(G/K)\,\Big/\, (\text{Núc }\varphi) \cong \text{Im }\varphi
\end{align*}
entonces, de acuerdo a lo que analizamos,
\begin{align*}
(G/K)\,\Big/\, (H/K) \cong G/H.
\end{align*}
$\blacksquare$
Ejemplo
Veamos ahora un ejemplo del Tercer Teorema de Isomorfía.
Tomemos $G = (\r, +), H= (\z, +)$. Consideremos $n\in\z$ y $K = \left< n\right> = n\z$.
Sabemos que $\z\unlhd\r$, $\left< n\right>\unlhd \r$ ya que $\r$ es abeliano.
Por el 3er Teorema de Isomorfía,
\begin{align*}
(\r/\left<n\right>)\,\Big/\, (\z/\left< n\right>) \cong \r/\z.
\end{align*}
Veamos cómo es $\z / \left<n\right>$. Sea $\varphi:\z\to\z_n$ con $\varphi(m) = \bar{m}$ para todo $m\in\z$. Por lo que tenemos estudiado de Álgebra Superior II, sabemos que $\varphi$ es un epimorfismo con $\text{Núc }\varphi = \left<n\right>$ y por el 1er Teorema de Isomorfía
\begin{align*}
\z/\left<n\right> \cong \z_n.
\end{align*}
Analicemos $\r/\left<n\right>$. Sea $\psi:\r \to \mathbb{C}^*$ con $\varphi(x) = e^{\frac{2\pi ix}{n}}$ para toda $x\in \r$. Tenemos que $\psi$ es un homomorfismo con
\begin{align*}
\text{Núc }\psi &= \{x\in \r : \psi(x) = 1\} = \{x\in\r : e^{\frac{2\pi ix}{n}} = 1\}\\
&= \{nk : k\in\z\} = \left< n\right>.\\
\text{Im }\psi &= \{\psi(x) : x\in \r\} = \{e^{\frac{2\pi ix}{n}}: x\in \r\}\\
&=\{z \in \mathbb{C}:|z|=1\} = \s^1.
\end{align*}
Por el 1er Teorema de Isomorfía aplicado a $\psi$ obtenemos que $\r/\left<n\right> \cong \s^1$.
Por último, veamos cómo es $\r/\z$. Sea $F:\r\to\mathbb{C}^*$ con $F(x) = e^{2\pi ix}$ para toda $x\in\r$. Tenemos que $F$ es un homomorfismo con
\begin{align*}
\text{Núc }F &= \{x\in\r : F(x) = 1\} = \{x\in\r : e^{2\pi ix} = 1\}\\
&= \{x : x\in\z\} = \z\\
\text{Im }F &= \{F(x) : x\in\r\} = \{e^{2\pi ix}: x\in \r\}\\
&= \{z\in\mathbb{C} : |z| = 1\} = \s^1.
\end{align*}
Así $\r/\z \cong \s^1$ por el 1er Teorema de Isomorfía.
Recapitulando, hemos visto que
\begin{align*}
\s^1 &= \r/\left<n\right> \\
\z_n &= \z/\left<n\right>.
\end{align*}
Entonces, retomando el cociente con el que iniciamos:
\begin{align*}
\s^1\Big/\z_n \to (\r/\left<n\right>) \,\Big/\, (\z/\left<n\right>) \cong \r/\z \cong \s^1.
\end{align*}
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Sea $G$ un grupo, $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ con $K$ un subgrupo de $H$. Describe cómo son en general los elementos del cociente $(G/K)/(H/K)$.
- Sea $\z_{12}$, considera sus subgrupos $H = \left<\bar{2}\right>$ y $K = \left<\bar{4}\right>$.
- Determina en este caso qué pasa al aplicar el Tercer Teorema de Isomorfía.
- Describe cómo son los cocientes $\z_{12}/K$ y $H/K$ encontrando explícitamente su orden, el orden de sus elementos y su tabla de multiplicar.
Más adelante…
Ya vamos 3/4 de los teoremas. ¡Qué emoción! En la próxima entrada veremos el más largo de los Teoremas de Isomorfía.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Moderna I.
- Entrada anterior del curso: Segundo Teorema de Isomorfía.
- Siguiente entrada del curso: Cuarto Teorema de Isomorfía.
- Resto de cursos: Cursos.