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Álgebra Superior II: Compatibilidad del orden con las operaciones de los naturales

Por Roberto Manríquez Castillo

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Introducción

En las entradas anteriores, nos encargamos de definir con toda formalidad la estructura con la que hemos estado familiarizados desde hace mucho; sin embargo, en principio, la forma en que definimos el orden y las distintas operaciones, no parece ser que.

Para finalizar con el estudio de los números naturales, veremos las importantes relaciones que hay entre el orden que definimos para $\mathbb{N}$ en la entrada anterior, y las operaciones que hemos trabajado a lo largo de este tema. Para esto, nuevamente ocuparemos el Principio de Inducción.

Una equivalencia del orden

Aunque como mencionamos en la introducción, la forma en que definimos el orden, no parece tener mucha relación con las operaciones definidas, usando la definición de la suma, podemos dar una definición equivalente del orden en $\mathbb{N}$, en el siguiente teorema, demostramos que en efecto, ambas caracterizaciones son equivalentes.

Teorema.Si $n,m$ son números naturales, se tiene que $n<m$ si y sólo si existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que n+k=m.

Demostración. Procedamos por inducción sobre $n$.

Si $n=0$, si $0<m$, entonces $m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ y $n+m=0+m=m$. Recíprocamente, si existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que $0+k=m$, tendremos que $k=m$, por lo que $m\neq 0$ y por lo tanto $0<m$. Con esto probamos la base de inducción.

Supongamos que el resultado es válido para alguna $n$ y probemos que el resultado para $\sigma(n)$ es decir, que si $m\in\mathbb{N}$ se tiene que $\sigma(n)<m\Leftrightarrow$ existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que $\sigma(n)+k=m$.

Verifiquemos la ida de la demostración. Supongamos que $\sigma(n)<m$, entonces $n<m$, por lo que por la hipótesis de inducción concluimos que existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, como $k\neq0$, existe $k’$ tal que $\sigma(k’)=k$, entonces tenemos que

\begin{align*}
m&=n+k\\
&=n+\sigma(k’)\\
&=\sigma(n)+k’
\end{align*}

Notemos además que $k’\neq 0 $, ya que si $k’=0$, entonces $m=\sigma(n)$ lo cual es un contradicción.

Para el regreso, supongamos que existe $k\neq 0$ tal que $\sigma(n)+k=m$ y demostremos que $\sigma(n)\in m$. Como $\sigma(n)+k=m$, concluimos que $n+ \sigma(k)=m$, por lo que $n<m$ y por lo visto en la entrada de La relación de orden en los naturales, tendremos que $\sigma(n)\leq m$. Si $\sigma(n)=m$, entonces cancelando, obtenemos que $k=0$, lo cual es absurdo, entonces solo queda que $\sigma(n)<m$. Con esto concluimos la inducción y la prueba.

$\square$

El orden y las operaciones

Con el anterior resultado, es más fácil ver las relaciones que tendrán el orden con las operaciones, por ejemplo, la siguiente.

Teorema. Si $n<m$ y $l\in\mathbb{N}$, entonces $n+l<m+l$.

Demostración. Como $n<m$, entonces existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, de donde $n+l+k=m+l$, pero justo esa es la definición de que $n+l<m+l$.

$\square$

Corolario. Si $a<b$ y $c<d$, entonces $a+c<b+d$.

Demostración. Como $a<b$, entonces $a+c<b+c$, y como $c<d$, tenemos que $b+c<b+d$. Por la transitividad del orden, obtenemos el resultado.

$\square$

Finalizamos la entrada, marcando la relación entre el orden y la multiplicación.

Teorema. Si $n<m$ y $l\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $n\cdot l<m\cdot l$

Demostración. Como $n<m$ entonces existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, por lo que $nl+lk=ml$, sin embargo, como $l$ y $k$ son distintos de cero, entonces $lk$ también es distinto de cero, por lo que $nl<ml$ justo como debíamos probar.

$\square$

Más adelante…

Con esta entrada, terminamos el estudio de los números naturales, por lo que en la siguiente entrada empezaremos con el estudio de los números enteros. Sin embargo, toda la teoría que hemos desarrollado hasta el momento será la base para poder dar una definición precisa de qué son los números enteros. También nos ayudará a definir sus operaciones, así que nos encontraremos con más oportunidades para practicar nociones de los números naturales.

Hay que hacer una especial mención a los principios de inducción y de buen orden, ya que jugarán un papel crucial a la hora de estudiar las propiedades de los enteros, que nos servirán para desarrollar lo que conocemos como teoría de números.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que si $a<b$ y $c<d$, entonces $ac<bd$, no es necesario suponer que los números son distintos de cero.
  2. Si $n<m$ y $l\neq 0$, entonces $n^l<m^l$. Sugerencia, usa inducción sobre $l$.
  3. Si $n<m$ y $l\neq 0$, entonces $l^n<l^m$.
  4. Si $n<m$, entonces $n!<m!$.
  5. Demuestra que si $n,m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $(1+m)^n\geq 1+nm$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: El principio del buen orden

Por Roberto Manríquez Castillo

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Introducción

En la entrada pasada definimos una relación de orden en el conjunto de números naturales, más aun, probamos algunas propiedades de esta nueva relación, de las cuales, la más importante fue que este orden era un orden total. Ya en los ejercicios morales, vimos que podíamos restringir esta relación a cualquier número natural $n$ para definir un orden en los conjuntos con $n$ elementos.

En esta entrada definiremos una de las propiedades más importantes del orden en los naturales: el principio de buena ordenación, veremos que en cierto sentido es equivalente al principio de inducción, y daremos una breve presentación a algunos otros conjuntos que en este sentido se comportan de forma similar a los naturales.

La propiedad de buena ordenación

Pensemos en un número natural $n\neq 0$ con el orden que este hereda de $\mathbb{N}$, abusando de la notación, podemos escribir de forma ordenada a $n$ como $\{0<1<…<n-1\}$, parece ser que no habrá muchas sorpresas a la hora de estudiar a los números como conjuntos ordenados. Sin embargo, vale la pena notar que debido a lo que probamos en la sección de El tamaño de los naturales, cualquier subconjunto $A$ de $n$ será finito. Gracias a esto, y a que demostramos que el orden es total, podemos comparar todos los elementos de $A$ y fijarnos en el menor de todos ellos. Antes de formalizar esta prueba, recordaremos qué significa que un elemento de un conjunto sea mínimo.

Definición. Si $A$ es un conjunto ordenado por $\leq$, decimos que $a_0\in A$ es un elemento mínimo, si para todo $a\in A$ se tiene que $a_0\leq a$.

Ahora sí, enunciamos y demostramos nuestro primer teorema.

Teorema. Si $n\neq 0$ y $A\subseteq n$ es distinto del vacío, entonces existe $a_0$ mínimo en $A$.

Demostración. El hecho de que $A$ sea un conjunto finito no necesita más demostración que la que se mencionó en el párrafo anterior. Entonces podemos proceder por inducción sobre $m=\vert A\vert$.

Como $A\neq \emptyset$ la base de inducción se probará para $m=1$. Es decir que $A=\{a\}$, evidentemente, el elemento $a$ es el mínimo de $A$.

Supongamos ahora que si un conjunto no vacío tiene $m$ elementos, entonces tiene un elemento mínimo y supongamos que $A$ es un conjunto con $\sigma(m)$ elementos. Como $A$ es no vacío, entonces podemos elegir algún $a\in A$ arbitrario, entonces el conjunto $A\setminus\{a\}$ es un conjunto con $m$ elementos, y por la hipótesis de inducción, tiene un mínimo, llamémoslo $a’$. Como el orden en $A$ es el de los naturales, y este es total, $a’$ y $a$ son comparables, llamemos $a_0$ al mínimo entre estos dos elementos y demostremos que $a_0$ es el mínimo de $A$.

Sea $x\in A$ arbitrario, si $x=a$, ya terminamos, pues por definición $a_0\leq a$, en caso contrario $x \in A\setminus\{a\}$, pero como $a’$ es el mínimo de este conjunto, entonces $a’\leq x$, y como $a_0\leq a’$, por transitividad concluimos que $a_0\leq x$, por lo que $A$ sí tiene mínimo.

$\square$

Como mencionamos antes, la propiedad de que todos los subconjuntos de un conjunto arbitrario tengan mínimo elemento es importante, por lo que damos la siguiente definición.

Definición. Si $B$ es un conjunto ordenado por $\leq$, decimos que $B$ tiene la propiedad del buen orden si todo subconjunto no vacío de $B$ tiene un mínimo.

Entonces el teorema anterior puede ser reformulado como

Teorema. Si $n$ es un número natural, entonces $n$ está bien ordenado.

El conjunto de los números naturales está bien ordenado.

Un error lógico, sería asumir que por el teorema anterior, el conjunto de los números naturales también cumple la propiedad del buen orden, ya que a diferencia de cualquier número natural, en $\mathbb{N}$ existen conjuntos con una infinidad de elementos; sin embargo, aunque esta prueba no funcione, no se sigue que $\mathbb{N}$ no esté bien ordenado, es por esto que enunciamos el siguiente teorema.

Teorema. $\mathbb{N}$ satisface la propiedad del buen orden.

Demostración. Sea $A$ un subconjunto no vacío de números naturales, procedamos por contradicción, es decir, supongamos que $A$ no tiene elemento mínimo. Consideremos $B=\{n\in\mathbb{N}\mid m\leq n \Rightarrow m\notin A\}$, veamos que B es inductivo.

Evidentemente $0$ está en $B$, porque si no, existiría $m\leq 0$ tal que $m\in A$, como el único natural menor o igual a $0$ es $0$, tenemos que $0\in A$, pero entonces, $0$ sería un mínimo de $A$, ya que es menor o igual a todo natural.

Supongamos entonces que $n\in B$ y demostremos que $\sigma(n)\in B$, supongamos que no, entonces existirá $m\leq\sigma(n)$, tal que $m\in A$, como $m\in A$, por la definición de $B$, debe ocurrir que $n<m$ y por uno de los resultados de la entrada pasada, tenemos que $\sigma(n) \leq m$, por la antisimetría del orden, tenemos que $m=\sigma(n)$.

De nuevo usemos reducción al absurdo para probar que $\sigma(m)$ es un mínimo de $A$, si no lo fuera, existiría $a \in A$ tal que es falso que $\sigma(n)\leq a$, esto implicaría que es falso que $n<a$, es decir que $a\leq n$ y como $n\in B$, esto implicaría que $a\notin A $ lo cual es absurdo, entonces $\sigma(n)$ sí es un mínimo de $A$, pero de nuevo, esto es contradictorio con la suposición de que $A$ no tenía elemento mínimo, esta contradicción se deriva de suponer que $\sigma(n)\notin B$, entonces $\sigma(n)\in B$, por lo que el paso inductivo queda probado y $B=\mathbb{N}$.

Como $B=\mathbb{N}$, debe ocurrir que $A= \emptyset$ ya que si $a\in A$, como $a\leq \sigma(a)$, por la definición de $B$ debería pasar que $\sigma(a)\notin B$, contradiciendo que $B=\mathbb{N}$, pero desde un inicio, supusimos que $A\neq \emptyset$, esto quiere decir que suponer que $A$ no tiene mínimo es absurdo. Entonces, concluimos que $A$ sí debe de tener un elemento mínimo.

$\square$

El principio de inducción y el principio del buen orden

La idea de una prueba más corta de este resultado se da en los ejercicios morales; sin embargo, damos esta prueba para ver como el principio de inducción prueba el del buen orden. De forma análoga podemos demostrar el principio de inducción a partir del principio del buen orden.

Teorema. Supongamos cierto que $\mathbb{N}$ satisface la propiedad del buen orden, entonces, el principio de inducción también es cierto.

Demostración. Sea $A$ un conjunto inductivo, debemos de demostrar que $A=\mathbb{N}$, supongamos que no lo es, entonces $\mathbb{N}\setminus A\neq\emptyset$, por lo que, por el principio del buen orden, este conjunto tiene un elemento mínimo, sea $n$ el mínimo. Como $A$ es inductivo, $0\in A$. por lo que $n\neq 0$, entonces existe un $m$ tal que $\sigma(m)=n$, como $n$ es el mínimo, de $\mathbb{N}\setminus A$, tenemos que $m\notin \mathbb{N}\setminus A$, por lo que $m\in A$, pero como $A$ es inductivo, $\sigma(m)=n\in A$, lo cual es una contradicción, entonces, $A=\mathbb{N}$.

$\square$

En $\mathbb{N}$, existe otra formulación equivalente al principio de inducción, llamado principio de inducción fuerte, y dice que

Teorema. Si $A$ es un conjunto tal que:

  • $0\in A$.
  • Es cierto que si $n\in A$ y para todo $m\leq n$, se tiene que también $m\in A$ entonces $\sigma(n)\in A$.

Entonces $A=\mathbb{N}$.

Los detalles de la prueba se mencionan en uno de los ejercicios morales.

Conjuntos bien ordenados

Antes de estudiar otros conjuntos bien ordenados damos la siguiente proposición elemental.

Teorema. Si $A$ es un conjunto bien ordenado por $\leq$, entonces $A$ es un orden lineal.

Demostración. Sean $a,b\in A$, consideremos el conjunto $\{a,b\}\subset A$, como $A$ es un buen orden, entonces, este subconjunto tiene un elemento mínimo, es decir que $a\leq b$ ó $b\leq a$, esto quiere decir que los elementos son comparables.

$\square$

Hemos demostrado que todo número natural y el conjunto de los naturales, tienen un buen orden natural, una pregunta natural es si estos son los únicos conjuntos bien ordenados, la respuesta es que no; sin embargo hay varias cosas que analizar.

Lo primero que mencionaremos, es que todo conjunto finito $A$ y linealmente ordenado, satisface la propiedad del buen orden y más aun, se puede probar que si $\vert A\vert=n$, entonces el orden de $A$ y de $n$ son indistinguibles, detallamos esta afirmación en uno de los problemas de la tarea moral.

El caso infinito es más complicado, ya que existen muchos conjuntos numerables que pueden ordenarse de forma distinta a $\mathbb{N}$ y aun así tener la propiedad del buen orden, en realidad, es muy sencillo construirlos, como mencionamos en el siguiente teorema.

Teorema. Si $A$ es un conjunto bien ordenado bajo $\leq$, entonces $\sigma(A)$ es un conjunto bien ordenado con el orden $\leq’=\leq\cup\bigcup_{a\in \sigma(A)}(a,A)$.

Demostración. El hecho de que $\leq’$ es un orden, será un ejercicio moral, veamos que $\leq’$ está bien ordenado. Sea $B\subseteq \sigma(A)$ distinto del vacío, entonces debemos encontrar un elemento mínimo para $B$. Si $B=\{A\}$ el resultado es trivial.

Entonces supongamos que $B\neq\{A\}$ y consideremos $B\setminus \{A\}\subseteq A$, el cual es distinto del vacío. Como $A$ es un buen orden, entonces, existe $b$ elemento mínimo para este conjunto, afirmamos que $b$ también es un elemento mínimo para $B$. Para ver esto, sea $b’\in B$, si $b’\in B\setminus \{A\}\subseteq A$ el resultado se sigue de la definición de $b$, mientras que si $b’=A$, tenemos que $b’\leq A$ ya que por definición $(b’,A)\in \leq’$. Con esto finaliza la prueba.

$\square$

Aplicando el teorema anterior a $\mathbb{N}$, tenemos que $\mathbb{N}\cup\{\mathbb{N}\}$ es un buen orden con $\leq$ definido como $a\leq b$ si y solo si $a\in b$ o $a=b$, sin embargo, a diferencia de $\mathbb{N}$, este conjunto tiene un máximo, dígase $\mathbb{N}$ (ahora visto como elemento).

Otra cosa curiosa que podemos notar del conjunto $\sigma(\mathbb{N})$ es que aunque el principio del buen orden es válido, el principio de inducción no lo es, a diferencia de como pasaba en $\mathbb{N}$, en realidad, esta no es la única propiedad que perdemos, por ejemplo, en $\sigma(\mathbb{N})$, el cero no es el único elemento sin un antecesor, en realidad, esta es una de las razones por las que la prueba del principio de inducción a partir del principio del buen orden no es válida para este conjunto.

El estudio de los buenos ordenes es importante en Teoría de conjuntos y está muy relacionada con la teoría de conjuntos transitivos.

Más adelante…

Ya que hemos estudiado la propiedad más importante del orden en los naturales. solo falta ver como es que esta propiedad se relaciona con las operaciones que definimos, los resultados vistos en esta sección y en la siguiente, serán muy importantes en los siguientes temas que desarrollemos, ya que serán la base de muchos resultados, sobre todo al ver los resultados de la teoría de números en $\mathbb{Z}$, donde el orden, la inducción y el buen orden tendrán papeles fundamentales.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Si $A$ es un conjunto con $n$ elementos, y $\leq_A$ es un orden total en $A$, demuestra que existe una función $f:n \longrightarrow A$ tal que $n\leq m \Leftrightarrow f(n)\leq_A f(m)$. Sugerencia: Usa inducción sobre $n$ y después el principio del buen orden.
  2. Prueba el principio del buen orden a partir del axioma de regularidad y de la definición de $<$. Sugerencia: recuerda que el axioma de regularidad prohíbe la existencia de sucesiones infinitas de conjuntos tales que $…\in a_2\in a_1\in a_0$.
  3. Demuestra que en $\mathbb{N}$, el principio de inducción fuerte es equivalente al principio de inducción. Sugerencia: Prueba el principio de inducción fuerte a partir del débil, y el principio del buen orden a partir del fuerte.
  4. Usando la notación del último teorema, demuestra que $\leq’$ sí define una relación de orden en $\sigma(A)$.
  5. Si $A$ es un conjunto bien ordenado e infinito con $a_0$ elemento mínimo, prueba que existe una función $f:\mathbb{N}\longrightarrow A$ tal que $f(0)= a_0$ y si $n\leq m$ entonces $f(n)\leq f(m)$. Sugerencia: Usa la técnica que se ocupó a la hora de demostrar que los naturales son el conjunto infinito más pequeño.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: La relación de orden en los naturales

Por Roberto Manríquez Castillo

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Introducción

Seguramente desde que construimos de forma intuitiva el conjunto de números naturales, te diste cuenta de que nuestra forma de generar nuevos números a través de la función sucesor, nos daba una jerarquía de qué número natural iba primero, y quien era el que inmediatamente le seguía. Así, el primer natural debería de ser el $0$, el cual debería ser menor a todos los demás. Después, seguiría $\sigma(0)=1$ el cual debería ser menor al sucesor de cualquier otro número. Este razonamiento podría seguir de forma inductiva para los demás números.

En esta entrada abordaremos el problema de cómo organizar el conjunto de naturales. Hay varias formas de definir esta relación. Pero el trabajo que realizamos en las dos entradas pasadas nos permitirá atacar dos problemas de manera sencilla: el de definir el orden en $\mathbb{N}$ y el de demostrar sus propiedades.

El orden parcial en $\mathbb{N}$

Recordemos que si $n$ es un número natural distinto de cero, entonces $n=\{0,1,…,n-1\}$. Entonces de forma intuitiva podemos afirmar que cada número natural tienen por elementos a todos los naturales «menores» a él. Usando esta idea, podemos dar las siguientes dos definiciones.

Definición. Si $n,m\in \mathbb{N}$, decimos que $n$ es menor que $m$, en símbolos, $n<m$ si $n\in m$.

Definición. Si $n,m\in \mathbb{N}$, decimos que $n$ es menor o igual que $m$, en símbolos $n\leq m$ si $n\in m$ o $n=m$.

Antes de lanzarnos a probar propiedades de estas relaciones, comenzaremos con verificar la segunda de ellas define un orden parcial.

Teorema. La relación $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{N}$.

Demostración. Recordemos que según la definición de orden parcial, debemos probar que $\leq$ es reflexiva, transitiva y antisimétrica, hagamos esto por pasos.

$\leq$ es reflexiva: Si $m$ es un natural, tenemos que $m=m$, por lo que por nuestra definición, podemos escribir que $m\leq m$.

$\leq$ es transitiva: Sean $n,m,l$ naturales tales que $n\leq m$ y $m\leq l$. Debemos demostrar que $n\leq l$. Si $n=m$ o $m=l$ la conclusión es inmediata de las hipótesis. En otro caso, tenemos que que $n\in m$ y $m\in l$. Como $l$ es un número natural, es un conjunto transitivo, entonces $n\in l$, por lo que $n\leq l$.

$\leq$ es antisimétrica: Si $n,m$ son naturales tales que $n\leq m$ y $m\leq n$, debemos demostrar que $n=m$. Para ver esto, procedamos por contradicción. Supongamos que no son iguales, entonces $n\in m$ y $m\in n$. Pero como ya hemos mencionado anteriormente, el hecho de que dos conjuntos pertenezcan mutuamente al otro es contradictorio con el axioma de regularidad. Entonces debe suceder que $n=m$ como queríamos.

$\square$

Propiedades del orden en los naturales

Ya mostramos que $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{N}$. Probemos otras propiedades que esperamos que satisfaga. Empezamos con la que mencionamos en la introducción de la entrada.

Teorema. $0\leq n$ para todo natural $n$

Demostración. Si $n=0$, el resultado se sigue de manera automática. Si $n\neq 0$, el resultado se sigue de que ya demostramos que $0$ está en cada natural distinto de $0$.

$\square$

La siguiente propiedad que probaremos es que la función sucesor sí preserva el orden que definimos.

Teorema. Si $n,m\in\mathbb{N}$ y $n<m$, entonces $\sigma(n)<\sigma(m)$

Demostración. Procedamos por inducción sobre $m$. Para el caso base debemos probar que la afirmación $n<0\Rightarrow\sigma(n)<0$, es verdadera. Sin embargo, el antecedente siempre es falso, ya que $n<0$ quiere decir que $n\in\emptyset$ lo cual es absurdo. Como el antecedente siempre es falso, entonces la base de inducción es verdadera.

Supongamos que para alguna $m$ se tiene que si $n<m$, entonces $\sigma(n)< \sigma(m)$. Debemos probar que el resultado es cierto para $\sigma(m)$. Supongamos entonces que $n<\sigma(m)$. Debemos probar que $\sigma(n)<\sigma( \sigma(m))$.

Como $n<\sigma(m)$, tenemos que $n\in \sigma(m)=m\cup \{m\}$, así que tenemos dos casos: $n\in m$ o $n\in\{m\}$.

Si $n\in m$, por hipótesis inductiva $\sigma(n)\in \sigma(m)$. Como $\sigma(m)\in \sigma(\sigma(m))$ y los naturales son transitivos, tenemos $\sigma(n)\in \sigma(\sigma(m))$, es decir, $\sigma(n)< \sigma(\sigma(m))$, como queríamos.

Finalmente, si $n\in \{m\}$, entonces $n=m$, pero así $\sigma(n)=\sigma(n)\in \sigma(\sigma(m))$, de modo que $\sigma(n)<\sigma(\sigma(m))$, como queríamos.

$\square$

El orden en los naturales es total

De entre los órdenes parciales hay un tipo de órdenes especiales: aquellos en los que cualesquiera dos elementos se pueden comparar. A estos se les conoce como órdenes totales. Los resultados de esta sección muestran que la relación $\leq$ en $\mathbb{N}$ es un orden total.

Un paso intermedio para demostrar esto es ver que si un número natural es menor que otro, entonces la función sucesor «no nos puede llevar muy lejos».

Teorema. Si $n,m$ son naturales tales que $m<n$, entonces se tiene que $\sigma(m)\leq n$.

Demostración. La hipótesis es imposible cuando $n=0$, pues no hay ningún natural menor a cero. Así, $n$ debe ser sucesor de algún otro natural, digamos $n=\sigma(k)$.

De $m<\sigma(k)$ tenemos que $m\in k\cup \{k\}$, así que $m\in k$, o $m=k$. Si $m\in k$, entonces $m<k$ y por el teorema anterior tenemos que $\sigma(m)<\sigma(k)=n$. Si $m=k$, entonces $\sigma(m)=\sigma(k)=n$. En cualquier caso tenemos $\sigma(m)\leq n$.

$\square$

El anterior teorema es equivalente a la afirmación siguiente.

Corolario. Si $n,m\in\mathbb{N}$, son tales que $m<n$ pero es falso que $\sigma(m)< n$, entonces $\sigma(m)=n$.

En estos momentos es conveniente regresar a leer las dos pruebas de los teoremas anteriores, y notar que en las demostraciones, cuando suponíamos que era falso que $n<m$ nunca supusimos que $n\geq m$. Sólo apelábamos directamente a la negación de la definición. Haber usado $n\geq m$ hubiera sido un error. En primer lugar, porque aún no hemos definido el símbolo $\geq$. Y en segundo lugar, porque aún no hemos descartado una cuarta posibilidad: que $n$ y $m$ no sean comparables. En realidad esto es imposible, pero hay que demostrarlo. En $\mathbb{N}$ el orden es total y de hecho satisface la propiedad de tricotomía que enunciamos a continuación.

Teorema. Para cualesquiera $n$ y $m$ naturales se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones

  • $n=m$
  • $n< m$
  • $m< n$

Demostración. Ya hemos demostrado mediante el axioma de regularidad que estas proposiciones son mutuamente excluyentes. Sólo queda demostrar que siempre sucede por lo menos una de ellas. Demostraremos esto por inducción sobre $n$.

El caso base se reduce a probar que para cualquier $m$, se tiene que $0=m$, $0\in m$ o $m\in 0$. El primer teorema que probamos muestra que siempre se da la primera o la segunda opción.

Supongamos ahora que el resultado es cierto para alguna $n$. Debemos probarlo para $\sigma(n)$. Entonces sea $m\in\mathbb{N}$ arbitrario. Por hipótesis de inducción, $m$ es comparable con $n$, entonces podemos considerar tres casos:

$m=n$. Este caso es trivial porque entonces $m\in\sigma(n)$.

$m< n$. De nuevo tenemos que $m\in n\in \sigma(n)$, y por transitividad (del orden o de los conjuntos), tenemos que $m\in\sigma(n)$.

$n< m$. Por el teorema anterior, tenemos que en este caso, $\sigma(n)<m$ ó $\sigma(n)=m$.

De cualquier forma $\sigma(n)$ y $m$ son comparables. Esto termina la demostración.

$\square$

Para finalizar, hacemos la observación de que definir los símbolos $>$ y $\geq$ en $\mathbb{N}$ es sencillo. Simplemente, diremos que $n\geq m$ cuando $m\leq n$. Así mismo, diremos que $n>m$ cuando $m<n$.

Más adelante…

Ya empezamos a probar las propiedades del orden en $\mathbb{N}$. Sin embargo, falta ver una de las más importantes: el principio del buen orden. Esta lo veremos en la entrada siguiente. También veremos que, en cierto sentido, es equivalente al principio de inducción.

Otra cosa más que falta es ver que el orden que definimos «se comporta bien» con las operaciones de suma y producto en $\mathbb{N}$. Esto resultará de suma importancia para entradas posteriores.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que si $n\leq m$, entonces $n<\sigma(m)$.
  2. Prueba que $n\leq m$ si y sólo si $n\subseteq m$.
  3. Generaliza el teorema de que $\in$ define un orden en $\mathbb{N}$, a que $\in$ define un orden en cualquier conjunto transitivo.
  4. Demuestra que $\leq$, restringido a $n \times n$ es un orden total en el conjunto $n$.
  5. Encuentra un conjunto $A$ con tantos elementos como números naturales y una forma de ordenarlo linealmente, tal que $A$ tiene elemento máximo.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: El tamaño de los naturales y de cada natural

Por Roberto Manríquez Castillo

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Introducción

En la entrada pasada, demostramos que todo número natural es el conjunto formado por los elementos $\{0,1,…,n-1\}$. Esto nos dice intuitivamente que cada número natural $n$, tiene exactamente $n$ elementos. Pero, de modo formal, ¿qué quiere decir que un conjunto tenga $n$ elementos? Esto lo precisaremos en esta entrada. Más aun, siguiendo esta idea, definiremos que quiere decir que un conjunto sea infinito. Después, veremos las propiedades que los conjuntos finitos e infinitos tienen.

El tamaño de los conjuntos

A la hora de pensar en determinar el tamaño de un conjunto, uno podría aventurarse y empezar a contar los elementos de este uno por uno. Esta forma de aproximar el problema no sólo parece muy laboriosa, sino que también presenta el problema de que no todos los conjuntos tienen la propiedad de que se pueda enlistar a sus elementos (aunque no lo definimos aún, seguramente has escuchado que el conjunto $\mathbb{R}$ de números reales no cumple esta propiedad).

De entrada, parecería que el problema de catalogar a los conjuntos por su tamaño es más complicado de lo que parece. Sin embargo, hay una idea famosa que viene a salvar la situación.

Imagina que eres el acomodador de una sala de cine con una cantidad desconocida de asientos (incluso posiblemente infinita) y que quieres sentar en ellos a un cierto conjunto de espectadores (cuya cantidad también se desconoce). Como dijimos anteriormente, la labor de contar todos los asientos de la sala podría ser demasiado complicada. ¿Cómo podríamos cerciorarnos de que cada espectador podrá tener un asiento?

La respuesta es inusualmente sencilla. La mejor forma de cerciorarse de que todos puedan sentarse, es pidiéndoles que se sienten. Si logran hacerlo de modo que a cada asistente le toque exactamente un asiento y no sobren asientos, podremos decir que hay el mismo número de personas que de lugares.

Notemos que de esta forma no necesitamos saber de forma explícita cuántas sillas hay, ni cuantas personas asistieron a la función, para saber que hay la misma cantidad de personas que de sillas. Formalmente hablando, hemos dado una relación entre el conjunto de personas y el de asientos.

Recordemos que a una relación entre conjuntos se le llama función si a cada elemento de nuestro dominio le corresponde uno y solo un elemento del codominio. Más aún, si a todo elemento del codominio, está relacionado con uno del dominio, la función se llamará suprayectiva. Si una función satisface que los elementos del codominio se relacionan con a lo más un elemento del dominio, se le llama función inyectiva. Cuando ambas condiciones se satisfacen, diremos que la función es biyectiva.

Nota que en el ejemplo de la sala de cine, si logramos hacer que todos los asistentes se sienten sin que sobre alguna silla, entonces la función que damos es una función biyectiva. Con estas observaciones, introducimos la siguiente definición.

Definición. Diremos que dos conjuntos $A$ y $B$ tienen la misma cantidad de elementos, o la misma cardinalidad, si existe una función biyectiva entre ellos. En este caso escribimos $\vert A\vert=\vert B \vert$.

El tamaño del conjunto $\mathbb{N}$

Aunque los conjuntos finitos parecen ser más cercanos a nuestra realidad, será más interesante definir primero qué son los conjuntos infinitos. Para ello usaremos una de las propiedades «raras» que estos tienen.

Definición. Diremos que un conjunto $X$ es infinito si existe un subconjunto propio $Y$ de $X$ y una función $f:X\to Y$ biyectiva entre ambos conjuntos.

Recuerda que un subconjunto propio es cualquier subconjunto que no sea el conjunto original. En otras palabras, un conjunto es infinito si tiene el mismo tamaño que alguno de sus subconjuntos propios.

Definición. Diremos que un conjunto es finito si no es infinito.

La propiedad que usamos para caracterizar a los conjuntos infinitos fue muy novedosa cuando se enunció por primera vez. Incluso con los años fue el origen de aparentes paradojas al sentido común. Si el tema te parece interesante, puedes leer o ver algún vídeo sobre el famoso Hotel de Hilbert.

Con nuestra definición lista, empezaremos a catalogar los conjuntos que ya conocemos en finitos e infinitos.

Teorema. El conjunto $\mathbb{N}$ de números naturales es infinito.

Demostración. Para demostrar esto, consideraremos el conjunto $\mathbb{N}\setminus\{0\}$. Este es un subconjunto propio de $\mathbb{N}$. Tomemos la función $\sigma:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\setminus\{0\}$. De acuerdo con la definición de conjunto infinito hay que demostrar que $\sigma$ es biyectiva, es decir, que es inyectiva y suprayectiva.

El hecho de que el codominio esté bien definido y que $\sigma$ sea inyectiva, fue demostrado en la entrada La construcción de los naturales, a la hora de probar los axiomas de Peano. La prueba de la suprayectividad se dejó como un ejercicio moral en la entrada de Principio de inducción y teoremas de recursión, ya que se usó para la prueba del teorema de Recursión débil. De cualquier forma, a continuación damos esa prueba.

Demostraremos que $\{0\}\cup \sigma(\mathbb{N})$ es inductivo. Evidentemente $0\in\mathbb{N}$ , y si $n\in \{0\}\cup\sigma(\mathbb{N})$, entonces es trivial que $\sigma(n)\in\sigma(\mathbb{N})$. Entonces $\{0\}\cup \sigma(\mathbb{N})=\mathbb{N}$, por lo que $\sigma(n)$ sí es suprayectiva y por lo tanto biyectiva. Con esto se concluye la prueba.

$\square$

La idea de determinar si dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos usando funciones se puede extender un poco más. La usaremos a continuación para definir cuándo un conjunto tiene al menos tantos elementos como otro.

Definición. Decimos que un conjunto $A$ tiene a lo más tantos elementos como un conjunto $B$ si existe una función inyectiva $f:A\to B$. En este caso, escribimos $\vert A\vert\leq \vert B \vert$.

Todo número natural es finito

Como hemos visto, los conjuntos infinitos se comportan de forma inesperada. Sin embargo los conjuntos finitos sí se comportarán de una forma más intuitiva. El teorema siguiente ejemplifica esto.

Teorema. Si $A$ es un conjunto finito, y $f:A\to A$, entonces son equivalentes las siguientes tres afirmaciones:

  1. $f$ es biyectiva
  2. $f$ es inyectiva
  3. $f$ es suprayectiva

Demostración. Evidentemente, $1)\Rightarrow 2)$ y $1)\Rightarrow 3)$. Si logramos demostrar la equivalencia entre $2)$ y $3)$ terminaremos, pues al tener uno, tendríamos el otro y por lo tanto tendríamos ambas partes de la definición de biyectividad.

$2)\Rightarrow 3)$ Supongamos que $f$ es inyectiva y supongamos que $f$ no es suprayectiva. Entonces $f:A\to f(A)$ es una biyección de $A$ con un subconjunto propio, lo cual diría que $A$ es infinito. Esto es una contradicción, así que $f$ debe ser suprayectiva.

$3)\Rightarrow 2)$ Si $f$ es suprayectiva, entonces tiene inversa derecha, es decir, existe $g:A\to A$ tal que $f\circ g=Id_A$. A partir de esta igualdad se puede probar que $g$ es inyectiva. En efecto, si $g(a)=g(b)$, entonces $f(g(a))=f(g(b))$, pero entonces $a=b$. Por la implicación del párrafo anterior, $g$, también es suprayectiva. Pero con esto se puede mostrar que $f$ es inyectiva. Si tenemos $a$ y $b$ tales que $f(a)=f(b)$, tomemos $c$ y $d$ tales que $g(c)=a$ y $g(d)=b$. De aquí, $c=f(g(c))=f(g(d))=d$ y por lo tanto $a=g(c)=g(d)=b$.

$\square$

Sigamos estudiando propiedades de los conjuntos infinitos. El siguiente resultado es bastante intuitivo: si le quitamos un elemento a un conjunto infinito, sigue siendo infinito. La demostración es algo elaborada pues debemos hacerla a partir de nuestras definiciones.

Lema 1. Si $X$ es un conjunto infinito y $x\in X$, entonces $X\setminus \{x\}$ también es un conjunto infinito.

Demostración. Sea $f:X\to A $ una biyección de $X$ a un subconjunto propio $A$. Tenemos que considerar dos casos: que $x\notin A$ o que $x\in A$. Comencemos con el caso $x\notin A$.

Para mostrar que $X\setminus \{x\}$ es infinito, utilizaremos como subconjunto a $A\setminus\{f(x)\}$ y como función a la restricción de $f$ a $X\setminus\{x\}$. Debemos demostrar que $A\setminus\{f(x)\}$ es un subconjunto propio de $X\setminus \{x\}$ y que dicha restricción es una biyección.

Lo primero sucede ya que $$A\setminus\{f(x)\}\subsetneq A\subseteq X\setminus \{x\}.$$ El hecho de que $f:X\setminus \{x\}\to A\setminus\{f(x)\}$ sea una biyección es consecuencia directa de que originalmente $f:X\to A $ era una biyección. Los detalles quedan como tarea moral.

Si por el contrario $x\in A$, como $A\subsetneq X$ debe existir $x’\in X\setminus A$. Consideremos la función

\begin{align*}
&g: & &X & &\longrightarrow & (A\cup \{x’&\})\setminus \{x\}& \\
& & &y & &\mapsto & f(&y) &\text{ si } y\neq f^{-1}(x) \\
& & f^{-1}&(x) & &\mapsto & &x’ &
\end{align*}

Veamos que $g$ es una biyección entre $X$ y $(A\cup \{x’\})\setminus \{x\}$. Lo primero que notamos es que el codominio está bien definido ya que para todo $y\in X$ se tiene que $g(y)\neq x$ (¿por qué?).

Además es inyectiva, ya que si $g(y)=g(z)$, con $y\neq f^{-1}(x)\neq z$, entonces se tiene que $f(y)=g(y)=g(z)=f(z)$, y por la inyectividad de $f$ se tiene que $y=z$. Mientras que si $y=f^{-1}(x)$, tenemos que $g(y)=x’=g(z)$ si $z\neq f^{-1}(x)$, tendríamos que $x’=f(z)$, por lo que $x’\in A$ lo cual es absurdo, entonces $z=f^{-1}(x)=y$, así $g$ es efectivamente inyectiva.

Para probar que es suprayectiva, consideremos $z\in(A\cup \{x’\})\setminus \{x\}$. Si $z=x’$, entonces $g(f^{-1}(x))=x’$, mientras que si $z\in A\setminus \{x\}$, por la suprayectvidad de $f$, debe de existir $y$ tal que $f(y)=z$. Además $y\neq f^{-1}(x)$ ya que si lo fuera $f(f^{-1}(x))=x=z$, lo cual sería absurdo. Se tiene entonces que $g(y)=f(y)=z$.

Con esto probamos que $g$ es una biyección de $X$ a un subconjunto propio al que no pertenece $x$. Para concluir, aplicamos el primer caso.

$\square$

Usando el lema anterior es fácil dar un corolario importante sobre conjuntos finitos, cuya prueba queda como un ejercicio.

Corolario. Si $X$ es un conjunto finito, y $x$ es un conjunto arbitrario, entonces $X\cup \{x\}$ es también un conjunto finito.

Armados con este corolario, podemos dar uno de los teoremas importantes de esta entrada.

Teorema. Si $n$ es un natural, entonces $n$ es un conjunto finito.

Demostración. Procedamos por inducción. Si $n=0$, entonces $n=\emptyset$, entonces $n$ no tiene subconjuntos propios con los que pueda biyectarse, ya que no tiene subconjuntos propios. Entonces por vacuidad el vacío es finito.

Supongamos que $n$ es un natural finito. Debemos demostrar que $\sigma(n) $ es también finito. Pero como $\sigma(n)=n\cup\{n\}$, el paso inductivo es consecuencia del corolario anterior. Con esto concluimos la inducción.

$\square$

Caracterizando los conjuntos finito e infinitos

Ya probamos que cada número natural es finito y que el conjunto de todos los naturales es infinito. Lo siguiente que haremos es ver que estos conjuntos nos sirven para catalogar a todos los demás conjuntos en finitos o infinitos. Comenzamos con un lema bastante intuitivo: si con conjunto tiene un subconjunto infinito, entonces es infinito.

Lema 2. Si $X$ es infinito y $X\subset Y$ entonces $Y$ también es infinito.

Demostración. Como $X$ es infinito, existe una biyección $f$ entre $X$ y uno de sus subconjuntos propios $A$. Consideremos entonces $(Y\setminus X)\cup A\subsetneq Y$, y demos una biyección entre $Y$ y este conjunto dada por

\begin{align*}
&g: & &Y & &\longrightarrow &(Y\setminus &X)\cup A & \\
& & &y & &\mapsto & &y &\text{ si } y\notin Y\setminus X\\
& & &x & &\mapsto & f(&x) &\text{ si } x\in X
\end{align*}

Probaremos que esta función es una biyección. Primero, veamos que es inyectiva. Esto se debe a que si $g(x)=g(y)$ y $x\in X$, entonces $g(y)=g(x)=f(x)\in A\subset X$, entonces $g(y)$ está en $X$, y como $Y\setminus X$ es enviado en si mismo, debe pasar que $y$ también está en $X$, por lo que $f(y)=g(y)=f(x)$ y por la inyectividad de $f$, tenemos que $y=x$. Por el contrario, si $x\notin X$, se tiene que $g(x)=x=g(y)$ entonces $g(y)\notin X$, por lo que $y$ tampoco puede estar en $X$, así, $g(y)=y=x$.

Veamos ahora que la función es suprayectiva. Si $z\in(Y\setminus X)\cup A$, consideremos dos casos: $z\in Y\setminus X$ en cuyo caso $g(z)=z$, o $z\in A$, por lo que por la suprayectividad de $f$, debemos tener que existe $x\in X$ tal que $z=f(x)=g(x)$. Así, $g$ es suprayectiva y por lo tanto es una biyección..

$\square$

Ahora sí, pasamos a demostrar los teoremas con los que concluiremos la entrada.

Teorema. El conjunto de números naturales es el conjunto infinito más pequeño, es decir, que si $X$ es un conjunto infinito, entonces $\vert\mathbb{N}\vert\leq\vert X\vert$.

Demostración. Como $X$ es infinito, debe ser distinto del vacío. Así, existe $x_0\in X$. Consideremos el conjunto $X\setminus \{x_0\}$, por el lema 1 que demostramos, este es de nuevo infinito. Una vez más, no es vacío, entonces existe $x_1\in X\setminus \{x_0\}$, y el conjunto $X\setminus\{x_0,x_1\}=(X\setminus \{x_0\})\setminus\{x_1\}$ será de nuevo infinito. Procediendo de manera recursiva, podemos dar una función

\begin{align*}
h: &\mathbb{N} \to X \\
& n \mapsto x_n
\end{align*}

tal que todos los $x_n$ son distintos entre sí (esto se puede demostrar inductivamente). Pero entonces $h$ es una función inyectiva de $\mathbb{N}$ al conjunto $X$, que es precisamente nuestra definición de que $\vert\mathbb{N}\vert\leq \vert X\vert $.

$\square$

El regreso del teorema anterior es evidentemente cierto, es decir que si un conjunto $X$ cumple que $\vert\mathbb{N}\vert\leq \vert X\vert $, entonces $X$ es infinito. Queda como ejercicio demostrarlo.

Para finalizar la entrada, damos un resultado análogo al anterior, para conjuntos finitos.

Teorema. Si $X$ es un conjunto finito, entonces existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $\vert X\vert =\vert n\vert$.

Demostración. Si $X=\emptyset$, entonces $\vert\emptyset\vert= \vert X\vert $. Si $X$ no es vacío, entonces existe $x_0\in X$. Consideremos entonces $X\setminus \{x_0\}$. Si este conjunto es vacío, significa que $X=\{x_0\}$ y claramente podríamos biyectarlo con el conjunto $\sigma(0)=\{0\}$. Si por el contrario, $X\setminus \{x_0\}\neq \emptyset$, podemos elegir $x_1\in X\setminus \{x_0\}$ y verificar la misma condición.

Necesariamente debemos de terminar en algún momento pues, de otro modo, podremos usar el teorema de recursión para construir una función inyectiva de $\mathbb{N}$ a $X$. Esto diría que $X$ sería infinito, lo cual sería absurdo.

Entonces debe ocurrir que existe una $n$ tal que $X\setminus\{x_0,x_1,…,x_n\}$ es vacío, por lo que $X=\{x_0,x_1,…,x_n\}$, y por lo tanto podemos biyectarlo con $\sigma(n)$.

$\square$

Más adelante…

Así como los conjuntos transitivos, la teoría que se desarrolla al estudiar las cardinalidades de los conjuntos es un área de estudio importante en la teoría de conjuntos. Aunque no lo veremos a profundidad, la teoría que acabamos de desarrollar es suficiente para comparar la cardinalidad de la mayoría de los conjuntos que veamos con total precisión. Esto será cierto para, conjuntos como $\mathbb{Z}$ (el de los números enteros) o $\mathbb{Q}$ (el de los números racionales). No será sino hasta que definamos el conjunto de números reales que tendremos un conjunto con una cardinalidad estrictamente mayor que la de $\mathbb{N}$.

En la siguiente entrada definiremos el orden de los naturales, para lo cual de nuevo pensaremos a los números naturales como conjuntos. Más aún, las propiedades que estudiamos en la entrada pasada, serán de suma importancia a la hora de definir el buen orden de un conjunto. Esta es una propiedad que usamos anteriormente sin prueba, cuando demostramos el teorema de Recursión.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Supón que diriges un hotel con tantas habitaciones como números naturales. Supón que todas tus habitaciones se encuentran ocupadas, y de repente llega una persona solicitando un cuarto. ¿Cómo puedes hospedarlo sin desalojar a ningún cliente? Supón ahora que después llega un camión con tantas personas como números naturales, todas buscando un cuarto. ¿De qué forma puedes acomodarlos a ellos y a todos los clientes ya hospedados?
  2. Completa los detalles de la prueba del lema 1.
  3. Demuestra el corolario de la entrada: Si $X$ es un conjunto finito, y $x$ es un conjunto arbitrario, entonces $X\cup \{x\}$ es también un conjunto finito.
  4. Demuestra que si $X$ es tal que $\vert\mathbb{N}\vert\leq \vert X\vert $, entonces $X$ es infinito.
  5. Demuestra por inducción que si $X$ es infinito y $A$ es un subconjunto con $k$ elementos, entonces $X\setminus A$ es infinito. Si $A$ tiene tantos elementos como naturales, ¿el resultado sigue siendo cierto?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Conjuntos transitivos

Por Roberto Manríquez Castillo

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Introducción

En las últimas cuatro entradas hemos visto al conjunto de números naturales como elementos del conjunto $\mathbb{N}$. Sin embargo, no debemos olvidar que los números naturales son también conjuntos. Y al ser conjuntos, cada uno de los naturales tiene unos ciertos elementos que los caracterizan de forma unívoca.

Pensando en esto, recordemos el ejercicio 5 de la Tarea moral de las notas sobre la Construcción de los naturales:

Problema. Muestra que si $n\neq 0$, entonces $n=\{0,1,2,…,n-1\}$.

En otras palabras, como conjunto, cada natural consiste exactamente de los números naturales anteriores. Antes de empezar a leer esta entrada, y si aún no lo has hecho, te invitamos a intentar este problema. Aunque comenzaremos la siguiente sección dando una prueba, es bueno que intentes familiarizarte por tu cuenta con lo que será necesario hacer pues dicho resultado será importante para la teoría que veremos en esta entrada.

Dos propiedades de los números naturales

Para empezar, y por la importancia de la aseveración, probamos justo el ejercicio comentado en la introducción. Primero, notemos que como en la hipótesis se pide que $n\neq0$, entonces tiene sentido hablar del número $n-1$. Aunque no hemos definido a la resta en los números naturales, podemos definir a esta expresión como el único número $m$ tal que $\sigma(m)=n$

Teorema. Si $n\neq 0$, entonces $n=\{0,1,2,…,n-1\}$.

Demostración. Procedamos por inducción sobre $n$. Como el resultado es a partir de $1$, la base inductiva corresponde al caso $n=1$. Este caso es claro, ya que por definición,
\begin{align*}
1&=\sigma(0)\\&=\sigma(\emptyset)\\&=\emptyset\cup\{\emptyset\}\\&=\{0\}.
\end{align*}

Supongamos que para alguna $n$, se tiene que $n=\{0,1,…,n-1\}$, y probemos que el resultado también es cierto para $\sigma(n)$. Para ello, se usa la siguiente cadena de igualdades, en la cual te invitamos a pensar por qué se da cada igualdad: $$\sigma(n)=n\cup\{n\}=\{0,1,…,n-1\}\cup\{n\}=\{0,1,…,n-1,n\}.$$

Esto termina el paso inductivo y por lo tanto la demostración.

$\square$

Consideremos un número natural y ocupemos este resultado para examinarlo como conjunto. Para no hacer la notación muy larga, veamos como ejemplo al $4$. Por el teorema anterior, tenemos que
\begin{align*}
4&=\{0,1,2,3\}\\&=\{\emptyset,\{0\},\{0,1\},\{0,1,2\}\}.
\end{align*}

Analizando cada elemento del conjunto $4$, podemos ver que cada uno de los elementos (ya expandidos) de nuestro conjunto, es a su vez un subconjunto del $4$. Por ejemplo, uno de los elementos de $4$ es el conjunto $2=\{0,1\}$, que claramente es un subconjunto de $4$. Pensando de forma similar, no debe ser difícil convencerse, al menos de forma intuitiva, que esta propiedad será satisfecha de manera más general en los naturales.

Motivados por lo anterior, enunciamos el teorema siguiente, y damos una prueba formal usando el principio de Inducción.

Teorema. Si $n$ es un número natural y se tiene que $y\in n$, entonces $y\subseteq n$.

En este punto es muy importante recordar que $y\in n$ significa que $y$ es un elemento de $n$, mientras que $y\subseteq n$ significa que $y$ es un subconjunto de $n$, es decir, que todo elemento de $y$ también es elemento de $n$. Pasemos a la demostración.

Demostración. De nuevo procedamos por inducción. Si $n=0$, la proposición $y\in0$ es falsa, ya que $0=\emptyset$. Como el antecedente es falso, la proposición $y\in0\Rightarrow y\subseteq0$, es verdadera, y así probamos el caso base (como $y=\emptyset$, a esto también se le conoce como una prueba por vacuidad).

Supongamos que el resultado es cierto para alguna $n$, es decir que si $y\in n$, entonces $y\subseteq n$. Probemos que también es cierta la afirmación al substituir $n$ por $\sigma(n)$.

Sea $y\in \sigma(n)=n\cup\{n\}$. Por la definición de la unión hay dos casos: o bien $y\in n$, o bien $y\in \{n\}$.

Tratemos el primer caso. Si $y\in n$, entonces por la hipótesis de inducción, tenemos que $y\subseteq n$, pero por definición de $\sigma(n)$ tenemos que $n\subseteq \sigma(n)$. Como la contención de conjuntos es transitiva, concluimos que $y\subseteq \sigma(n)$.

El caso restante es $y\in\{n\}$. En este caso, el único elemento en el conjunto del lado derecho es $n$, así que debe suceder que $y=n$. De aquí es inmediata la contención buscada, pues $y=n\subseteq \sigma(n)$. En cualquier caso, obtenemos lo que que queremos. Así la inducción y la prueba concluyen.

$\square$

Conjuntos transitivos y un ejemplo

Nota que la propiedad de un conjunto $X$ si $y\in X$ entonces $y\subseteq X$, es equivalente a la propiedad de que si $z\in y\in X$ entonces $z\in X$. En general, esta propiedad no se satisface para cualquier conjunto. Es así que motivamos la siguiente definición.

Definición. Se dice que un conjunto $X$ es transitivo, si $Z\in Y\in X$ implica que $Z\in X$.

Los conjuntos transitivos son de suma importancia en la teoría de conjuntos, y probablemente conocerás más de ellos si llevas algún curso de esa materia. Un estudio profundo de estos conjuntos se sale de los fines de nuestro curso, pero podemos decir unas pocas cosas más. Con esta nueva definición podemos reformular el teorema de la sección anterior como sigue.

Teorema. Cada uno de los números naturales es un conjunto transitivo.

Como mencionamos, los conjuntos transitivos parecen ser una clase muy particular de conjuntos. Sin embargo, podemos mencionar otro conjunto transitivo de suma importancia: el conjunto $\mathbb{N}$. Esperamos que así como hicimos con los números naturales, puedas formarte una intuición de por qué esta afirmación es cierta, usando el teorema inicial.

Antes de dar la prueba, consideramos pertinente hacer mención de los límites del principio de inducción. En el teorema anterior, probamos que cada número natural es transitivo, nunca se probó que $\mathbb{N}$, fuese transitivo. De la misma forma, si en algún momento pruebas que una afirmación es cierta para cualquier número natural, esa misma afirmación podría dejar de ser cierta al considerar el caso de todo el conjunto $\mathbb{N}$. Encontraremos ejemplos de esto en entradas posteriores. Ahora sí, enunciamos el teorema.

Teorema: El conjunto $\mathbb{N}$ de números naturales es transitivo.

Demostración. Debemos probar que si $n\in \mathbb{N}$, entonces $n\subseteq \mathbb{N}$. Es decir, que todo número natural es un subconjunto de $\mathbb{N}$. Para esto, usaremos inducción sobre $n$.

Evidentemente la base es cierta ya que $0=\emptyset$ es un subconjunto de todo conjunto, en particular del de los naturales.

Supongamos que para un natural fijo $n$ sucede que $n\subseteq\mathbb{N}$ y a partir de ello probemos que $\sigma(n)$ también es un subconjunto de los naturales.

Para ver que esto es cierto, usamos que $\sigma(n)=n\cup \{n\}$. Esta es una unión de conjuntos, así que basta ver que cada uno está contenido en $\mathbb{N}$. Por un lado, $\{n\}$ está contenido en los naturales, ya que su único elemento es el número $n$, que está en $\mathbb{N}$. Por otro lado, por hipótesis de inducción, $n\subseteq\mathbb{N}$. Concluimos entonces, como queríamos, que $\sigma(n)\subseteq \mathbb{N}$.

$\square$

Nota que el teorema inicial de la sección es un refinamiento de este teorema. No sólo nos dice que los números naturales están contenidos en $\mathbb{N}$. Además, también especifica quiénes son los elementos de $n$.

Más adelante…

El teorema que demostramos al inicio de la entrada tendrá de nuevo mucha importancia en el siguiente tema. Aunque demostramos que cada número $n$ es el conjunto de los $n$ elementos menores que el, necesitamos definir qué significa que un conjunto tenga $n$ elementos. Motivados por esta idea, y por las características de los números naturales, definiremos también la idea de que un conjunto tenga una cantidad infinita de elementos. Veremos que, como podrás intuir, el conjunto $\mathbb{N}$ de todos los números naturales es en verdad un conjunto infinito y que en cierto sentido formal es el «más pequeño» de todos estos conjuntos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que $\{2,3\} $ no es un conjunto transitivo ¿Quién es el mínimo conjunto transitivo que lo contiene?
  2. Prueba que si $X$ y $Y$ son transitivos, entonces $X\cap Y$ es transitivo.
  3. Demuestra que si $X$ es transitivo, entonces $\bigcup X$ también es un conjunto transitivo.
  4. Prueba que en general que si $X$ es transitivo, entonces $\sigma (X)$ también es transitivo.
  5. Demuestra que un conjunto es transitivo si y solo si $\bigcup X\subset X$.

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