Archivo del Autor: Roberto Manríquez Castillo

Álgebra Superior II: La construcción de los naturales

Introducción

En la entrada pasada presentamos los axiomas de Peano como una forma de abordar el problema de por qué los naturales se comportan como nuestra intuición nos indica. Sin embargo, también vimos que esta solución no respondía la pregunta de por qué existen los naturales dentro de la formalización matemática con la que estamos trabajando. Por esta razón, introdujimos la definición del sucesor de un conjunto arbitrario y empezamos a iterarla en el conjunto vacío para generar una lista de conjuntos, que relacionamos con los números naturales que conocemos.

Por último, notamos que ocupar esta idea, al menos de forma directa, nos llevaría al problema de nunca acabar de definir a todos los números naturales y, por lo tanto, no poder definir en sí el conjunto de los naturales.  Es por eso que en esta entrada acabaremos, de una vez por todas, con el problema de definir con precisión el conjunto de números naturales y ver que, en efecto, esta construcción que haremos se apega a no sólo a nuestra intuición, sino también a los axiomas de Peano.

Conjuntos inductivos

Antes de empezar con la tarea de definir a los números naturales, recordamos la definición del sucesor de un conjunto.

Definición: Si A es un conjunto, definimos el sucesor de A, como \sigma(A):=A\cup \{A\}.

Como mencionamos en las notas pasadas, buscamos que

    \[\mathbb{N}=\{\emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),…\},\]

por lo que \mathbb{N}, satisfaría dos propiedades que englobamos en la siguiente definición.

Definición: Diremos que un conjunto S es inductivo si cumple que:

  1. \emptyset\in\mathbb{N} y
  2. si X\in S, entonces \sigma(X)\in S.

Notemos que estas dos propiedades son muy similares a los dos primeros axiomas de Peano.

Hay que remarcar que aunque no sabemos que exista un conjunto tal que sus elementos son \emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),…, en caso de que sí existiera, sería un hecho que tal conjunto sería inductivo.

Otro posible ejemplo de un conjunto inductivo podría verse como

    \[\{...\sigma(\sigma(\{\{\emptyset\}\})), \sigma(\{\{\emptyset\}\}), \{\{\emptyset\}\},\emptyset,\sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),...\}.\]

Intuitivamente podemos notar que si S es un conjunto inductivo, entonces, \mathbb{N}\subset S, por lo que uno podría aventurarse y definir a los naturales como \{x:  x \text{ está en todo conjunto inductivo}\}. Sin embargo, los axiomas que de teoría de conjuntos que tenemos hasta ahora no nos permiten saber si existe un conjunto así.

A pesar de que como se dijo, el hacer esto no es correcto, la idea es muy interesante y útil, ya que motiva la siguiente proposición acerca de la intersección de conjuntos inductivos.

Proposición: Si B\neq\emptyset es un conjunto tal que todos sus elementos son inductivos, entonces \bigcap {B} es también un conjunto inductivo.

Demostración. Como B\neq\emptyset, sabemos que la intersección sí es un conjunto. Veamos que este conjunto es inductivo.

Antes de hacer esto recordemos que por definición, los elementos de \bigcap{B} son precisamente, todos los x tales que x\in Y para todo Y\in B.

Para ver que \bigcap B es inductivo, necesitamos verificar que cumpla las dos características de la definición:

  1. \emptyset\in\bigcap B: Sea Y\in B arbitrario, como los elementos de B son inductivos, \emptyset\in Y, y como Y es arbitrario, podemos concluir que \emptyset está en todos los elementos de B, pero esta es la definición de que \emptyset\in \bigcap B.
  2. x\in \bigcap B \Rightarrow \sigma(x)\in \bigcap B: Sea x\in \bigcap B, veamos que \sigma(x)\in \bigcap B. Sea Y\in B, como x\in\bigcap B, entonces x\in Y y como Y es inductivo, \sigma(x)\in Y. De nuevo, como Y es arbitrario, se sigue que \sigma(x) está en todos los elementos de B, por lo que \sigma(x)\in\bigcap B.

Con esto demostramos que \bigcap B es inductivo.

\square

En otras palabras, «la intersección arbitraria de conjuntos inductivos es un conjunto inductivo».

El axioma del infinito

Por todo lo escrito anteriormente, y meditando el hecho de que si partimos de los primeros axiomas de la teoría de conjuntos, sólo podemos crear conjuntos con una cantidad finita de elementos, parece ser que la existencia de un conjunto como los naturales, no podrá ser deducida con las herramientas que tenemos. Esto en efecto es así. Por ello, debemos introducir un nuevo axioma de la teoría de conjuntos.

Axioma del infinito: Existe un conjunto inductivo.

El axioma del infinito no nos garantiza inmediatamente la existencia de \mathbb{N}, ya que como se vio en el ejemplo, \mathbb{N} no es el único conjunto inductivo. Sin embargo, esta es la última pieza que necesitamos para poder construir a los naturales. Hacemos esto a continuación.

Sea A algún conjunto inductivo (que nos garantiza el axioma del infinito), y consideremos B=\{X\subset A \mid X \text{ es inductivo}\} (¿por qué B es un conjunto?). Notemos que A\in B por lo que B es no vacío, por lo tanto, podemos pensar en su intersección, \bigcap B. Como los elementos de B son conjuntos inductivos, por la proposición anterior concluimos que \bigcap B es inductivo. A esta intersección la denotaremos como \mathbb{N}_{A}. ¡Ya apareció por primera vez el símbolo de números naturales! Pero tiene algo adicional: usamos un subíndice A ya que a primera vista, su construcción depende del conjunto inductivo A con el que empezamos. Sin embargo, justamente, el paso siguiente será ver que \mathbb{N}_{A} no depende de A.

Para ello, primero hacemos la observación de que si Y\subset A es inductivo, entonces \mathbb{N}_{A}\subset Y, la cual te dejamos corroborar usando las propiedades de la intersección. Dicho esto, probamos lo siguiente.

Proposición: Si C es otro conjunto inductivo, entonces \mathbb{N}_{A}= \mathbb{N}_{C}.

Demostración. Consideremos \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C}, el cual sabemos que es un conjunto inductivo. Como \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C} \subset A, por la observación anterior, concluimos que \mathbb{N}_{A} \subset \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C}. Como la intersección está contenida en cada intersecando, \mathbb{N}_{A} \subset \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C}\subset\mathbb{N}_{A}, por lo que \mathbb{N}_{A} = \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C}. Haciendo las mismas observaciones para \mathbb{N}_{C}, concluimos que \mathbb{N}_{A} = \mathbb{N}_{A} \cap \mathbb{N}_{C}= \mathbb{N}_{C}, con lo que concluimos la prueba.

\square

Como sabemos ahora que el conjunto \mathbb{N}_{A} no depende del conjunto A inductivo con el que empecemos, finalmente podemos definir al conjunto de números naturales.

Definición: Si A es algún conjunto inductivo, definimos \mathbb{N}:=\mathbb{N}_{A}, definimos 0:=\emptyset y la función sucesor como \sigma:\mathbb{N}\to \mathbb{N} tal que \sigma(n)=n\cup \{n\}.

Un modelo para los axiomas de Peano

Para concluir esta entrada veremos que los números naturales que hemos construido en la sección anterior se comportan justo como dicen nuestra intuición y los axiomas de Peano. En realidad, la construcción de la función sucesor y del conjunto \mathbb{N} fue siempre motivada por estas ideas, por lo que no deberá ser difícil probar que en verdad todo funciona como queremos.

Teorema: El conjunto \mathbb{N} junto con 0 y \sigma, satisfacen los cinco axiomas de Peano.

Demostración. Veamos que se verifican los cinco axiomas de Peano.

0\in\mathbb{N}: como \mathbb{N} es inductivo, 0=\emptyset\in\mathbb{N}.

Si n\in \mathbb{N}, entonces \sigma(n)\in\mathbb{N}: Si n\in\mathbb{N}, como \mathbb{N} es inductivo, se sigue que \sigma(n)\in\mathbb{N}.

Para toda n\in\mathbb{N} se tiene que \sigma(n)\neq 0: Como \sigma(n)=n\cup\{n\}, tenemos que n\in\sigma(n) por lo que \sigma(n)\neq\emptyset=0.

Si \sigma(n)=\sigma(m), entonces n=m: Como \sigma(n)=\sigma(m) y n\in\sigma(n), n\in\sigma(m)= m\cup\{m\}, de donde n\in\{m\} o n\in m. Si n\in \{m\}, entonces n=m y concluimos.

Si n\in m, veamos que podemos decir de m, procediendo análogamente, podemos notar que m=n o m\in n, en el primer caso, llegamos a lo que queremos, si se da el segundo caso habremos demostrado que n\in m\in n lo cual contradice el axioma de Regularidad.

Si S\subset\mathbb{N} tal que 0\in S y n\in S \Rightarrow \sigma(n)\in S, entonces S=\mthbb{N}: Notemos que las hipótesis de S, implican que este es un conjunto inductivo, por lo que \mathbb{N}=\mathbb{N}_{S}\subset S\subset \mathbb{N} por lo que en efecto, ambos conjuntos son iguales.

\square

Notemos que todos los axiomas salieron de forma casi inmediata de la definición de \mathbb{N} o de la definición de \sigma, justo como esperábamos.

Tarea moral

  • Completa los detalles sobre por qué el conjunto B, de los conjuntos inductivos de A, sí existe. Necesitarás usar un axioma muy específico de la teoría de conjuntos.
  • Demuestra que si x\subset y\subset\sigma(x), entonces y=x o y=\sigma(x).
  • Si aún no estás tan acostumbrado a las intersecciones arbitrarias, considera la definición de \mathbb{N}':=\{x\in A:  x \text{ está en todo conjunto inductivo}\} ¿Cómo se relaciona el axioma del Infinito, con el hecho de que esto sí es un conjunto?
  • Esboza una demostración de que \mathbb{N}'=\mathbb{A}.
  • Usa el Principio de Inducción para demostrar que si n\neq 0, entonces n=\{0, 1, 2, …, n-1\}.

Más adelante…

Ya que construimos a los números naturales, y vimos que en verdad funcionan como esperábamos, nuestro siguiente objetivo, será definir una suma, un producto y un orden en este conjunto. Así como lo hicimos con los axiomas de Peano, veremos que nuestras definiciones coincidirán con las propiedades que conocemos.

Para hacer esto seguiremos pensando en la definición conjuntista que hemos dado de los naturales y no sólo en los axiomas de Peano. Aunque sí nos basaremos fuertemente en ellos, sobre todo en el quinto axioma. A este lo conocemos como principio de inducción y tendrá su mayor aplicación a la hora de demostrar el teorema de la recursión, el cual a su vez la herramienta que tendremos para definir la suma y producto en los naturales.

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Álgebra Superior II: Introducción al curso y a los números naturales

Introducción

El curso de Álgebra Superior I tuvo como principal objetivo darte las herramientas necesarias para poder entender a grandes rasgos, la teoría que sustenta las primeras asignaturas con las que te encuentras a nivel universitario en tu trayectoria matemática. Por esta razón, en el temario se incluyeron los temas de lógica, teoría de conjuntos, inducción matemática y espacios vectoriales. Sin embargo, quedaron abiertas algunas preguntas, por ejemplo: ¿cómo sabemos que los conjuntos con los que trabajamos existen?, ¿qué es en el fondo el conjunto de números reales que usamos en los espacios vectoriales? o ¿por qué funciona el principio de inducción?

En este sentido, el curso de Álgebra Superior II es la continuación de Álgebra Superior I, ya que el objetivo de este curso será responder estas preguntas que el anterior semestre quedaron sin responder. Con esto en mente, usaremos las herramientas de la teoría de conjuntos que desarrollamos con anterioridad para estudiar qué son los números naturales, los enteros y hasta los complejos. Haremos una escala en cada tema para poder entender a profundidad las características con las que hemos estado familiarizados desde antes de la carrera y conocer otras propiedades que te servirán a lo largo de tu Licenciatura.

En la parte final del curso, introduciremos otras estructuras con las que seguramente ya estarás familiarizado gracias al curso de Cálculo Diferencial e Integral I: el anillo de polinomios con coeficientes reales (o complejos). Como en el caso de los temas anteriores, nos detendremos a estudiar las propiedades que caracterizan a este conjunto y las similitudes que podemos encontrar con algunos de los sistemas numéricos, como los números enteros.

La intuición detrás de formalizar a los números naturales

Seguramente, desde la primaria aprendiste a contar y con el pasar del tiempo, la idea de los números naturales y las características que se necesitan para contar “de uno en uno” se han hecho muy familiares en tu mente. A grandes rasgos, cuando contamos tenemos mente a los números

    \[0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots.\]

De hecho, las propiedades de estos números probablemente son tan familiares que ya no reparas en ello a la hora de contar. Al cero le sigue el uno. Al uno le sigue el dos. Y así sucesivamente. Esto resulta práctico a la hora de contar, pero algo impráctico a la hora de establecer fundamentos matemáticos de los números naturales. Por esta razón, tomémonos un momento para pensar en las propiedades que satisface este sistema numérico.

La primera característica en la que podemos pensar es que los números naturales cuentan con un elemento especial de entre todos los demás números, el primero de todos ellos. Dependiendo del contexto, el 0 (y no el 1) es considerado como el primer número natural y coincide con la intuición de que podemos «tener cero cosas», es decir, ninguna. Es importante que sepas que en cierto contextos (por ejemplo, otros cursos o áreas de las matemáticas) podría no serlo. La recomendación es que siempre uses la convención del área o comunidad con la que estés trabajando. En este curso el número 0 siempre será un número natural.

Otra característica con la que seguramente estamos muy familiarizados es que si bien los números naturales tienen un comienzo (en nuestro caso, el 0), por otra parte nunca terminan. No importa hasta qué número podamos haber contado, siempre podemos dar un paso más y avanzar al siguiente número. Cuando tenemos un natural, decimos entonces que siempre tiene un sucesor a este último número. Sabemos que sólo hay un sucesor para cada número.

Otra característica clave de los números naturales es que, a la hora de contar, nunca regresamos a un número por el cual ya pasamos; es decir, bajo ninguna circunstancia contamos 107, 108, 109, 37,…. Para enunciar esto formalmente, lo diremos en dos partes. Primero, el 0 no es el sucesor de ningún número y segundo, en ninguna circunstancia, un número es el sucesor de dos números diferentes.

Existe una quinta propiedad, tal vez más sutil que las anteriores, y es que si empezamos a contar desde el cero y vamos contando de uno en uno, entonces podremos alcanzar cualquier número natural, siempre que el tiempo lo permita.

Resulta que estas propiedades intuitivas son suficientes para definir muchas otras operaciones en los números naturales y para obtener una gran cantidad de propiedades. Es por esta razón que conviene incluirlas en nuestra formalización de los naturales, como discutimos a continuación.

Los axiomas de Peano

 A finales del siglo XIX, los matemáticos empezaron a notar que a partir de algunas propiedades tan elementales como las que discutimos arriba, se podían probar las leyes de la aritmética que conocemos, y en 1889, Giuseppe Peano, basado en las propiedades que acabamos de enunciar, dio un conjunto de axiomas que usó para estudiar sistemáticamente a los números naturales. Estos axiomas son:

  1. 0 es un número natural.
  2. Si n es un número natural, entonces existe un único natural, denotado \sigma(n) al que llamamos su sucesor.
  3. Para todo número natural, \sigma(n)\neq0.
  4. Si n,m son números naturales, tales que \sigma(n)=\sigma(m), entonces n=m.
  5. Si S es un subconjunto de números naturales tal que: 0 está en S, y para todo n en S, se cumple que \sigma(n) está también en S, entonces S es el conjunto de todos los naturales.

Nota que cada una de las cinco propiedades coinciden con una de las propiedades intuitivas que mencionamos antes.

Encontrando los primeros naturales

El logro de Peano fue muy importante, ya que permitió reducir la teoría de los números naturales a solo cinco axiomas; sin embargo, aún quedan abiertas las preguntas ¿qué son los números naturales? y ¿cómo sabemos que existen? Aunque se hayan mencionado las propiedades de un objeto, no necesariamente tiene que existir tal objeto. Este fue el gran problema al que se enfrentaron los matemáticos cuanto intentaron definir a un conjunto al que pertenecen todos los conjuntos.

Es por esta razón que debemos fundamentar la construcción de los números naturales en teoría que ya tengamos desarrollada. Por esta razón, a partir de este punto se aparece la teoría de los conjuntos, la cual nos permitirá definir formalmente lo que significan los símbolos que diariamente ocupamos (como el 0), para después ver que en efecto estos conjuntos satisfacen los axiomas de Peano.

Definición: 0:=\emptyset.

Cuando ponemos :=, quiere decir que estamos definiendo algo, típicamente un símbolo. Cuando veas algo así aparecer, puedes pensar que significa «esta es la primera vez que usamos el símbolo 0, y lo que querrá decir es el conjunto vacío». Podemos pensar en esta definición como una simple ocurrencia de notación; sin embargo, es curioso notar que, pensando intuitivamente, \emptyset tiene en efecto cero elementos. Más adelante veremos que los demás números naturales también satisfacen esta intuitiva coincidencia.

Definición: Dado un conjunto A arbitrario, definimos el sucesor de A como \sigma(A):=A\cup\{A\}.

Notemos que en realidad \sigma no es en el sentido estricto una función ¿por qué? Más bien, lo que estamos haciendo es explicar a qué nos referimos con el símbolo \sigma(A).

Considerando que hemos construido el primer número natural (el 0) y hemos dado una forma de construir sucesores, parece una buena idea considerar

    \[\sigma(0)=\sigma(\emptyset)=\emptyset\cup\{\emptyset\}=\{\emptyset\}\]

Y definir 1:= \{\emptyset\}, análogamente podemos pensar que

    \[2:=\sigma(1)=\sigma(\{\emptyset\})=\{\emptyset\}\cup\{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\]

Y continuar así, efectivamente, estos conjuntos coinciden con la intuición de tener respectivamente 1 y 2 elementos.

Los «disfraces» de los números naturales

Actualmente usamos el sistema de numeración arábigo y sabemos exactamente qué quieren decir los «dibujos» 1, 2, 3, 4, etc. Si fueramos romanos, estaríamos usando los «dibujos» I, II, III, IV, etc. De manera estricta, los «dibujos» no son lo mismo que «el concepto que representan». Es decir, en el fondo, 2 y II son «disfraces distintos para el mismo concepto». Pero ninguno de esos «dibujos» es el concepto mismo, ni vive de manera formal en la teoría que estamos construyendo.

Lo que sí vive en la teoría que construimos es el \{\emptyset,\{\emptyset\}\}, pues a partir de los axiomas se puede garantizar su existencia. Por supuesto, en el curso usaremos los «disfraces» habituales de estos conceptos, de modo que casi siempre escribiremos 2, 7, 51, etc. Sin embargo, es crucial que en todo momento tengas en cuenta que cuando escribimos esos «dibujos», en el fondo están las construcciones formales que hemos estado realizando.

Tarea Moral

  • Prueba a partir de sólo los axiomas de Peano, que n\neq \sigma (n) para todo n\in\mathbb{N}.
  • ¿Qué axiomas de Peano satisface el conjunto \sigma(\mathbb{N}), es decir, el conjunto de los números a partir del 1?
  • ¿Cómo será un conjunto y una función que satisfagan los axiomas 1), 2), 4) y 5) de Peano, pero que no satisfaga el 3)? ¿Puedes construir formalmente un conjunto y una función así?
  • A partir de la definición de \sigma(n) que dimos, demuestra que para todo número natural n se satisface que n\in\sigma(n) y que n\subset\sigma(n).
  • Demuestra que si A es un conjunto, entonces \sigma(A) es un conjunto. Para ello, tendrás que recordar los axiomas de teoría de conjuntos.

Más adelante

Hemos empezado a definir a los números naturales a partir del 0 (el conjunto vacío) y la función sucesor \sigma; sin embargo, la realidad es que el proceso que hemos descrito debe ser refinado, ya que si continuamos así, jamás acabaremos de definir la infinidad de números naturales que queremos que existan. Incluso asumiendo que los podemos definir a todos, un segundo problema que se origina es el intentar unirlos en un solo conjunto, justamente el conjunto de los números naturales. Uno podría intentar ocupar el principio de inducción para resolver el problema; sin embargo, recordemos que por el momento sólo contamos con los axiomas de la teoría de conjuntos, y aún no sabemos que el principio de inducción (visto como en álgebra superior I, o como axioma de Peano) sea válido. Entonces, necesitaremos pensar cómo resolver el problema desde otra perspectiva.

Más aún, queda el problema de ver que los número naturales que definamos sí satisfagan los axiomas de Peano, para que a partir de ello podamos comenzar a introducir otras propiedades aritméticas y de orden.

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