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Teoría de los Conjuntos I: Conjuntos infinitos no numerables.

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Al hablar de conjuntos infinitos, resulta natural pensar que entre cualesquiera dos de ellos debería existir una manera de «emparejar» sus elementos, es decir, establecer una biyección entre tales conjuntos, ya que, al fin y al cabo, ambos contienen infinitos elementos. Esta idea puede deberse a que, cuando uno piensa en conjuntos infinitos, lo primero que viene a la mente es el conjunto de los números naturales o el de los enteros, los cuales están ordenados de una manera bastante agradable y nos resulta «fácil» ubicarlos en una recta, como si fueran números colocados sobre una cinta métrica infinita.

Sin embargo, no todos los conjuntos infinitos poseen un orden tan agradable como el de estos dos conjuntos, y muchos de ellos presentan propiedades considerablemente diferentes. Por ejemplo, algunos conjuntos infinitos pueden no tener un buen orden como el de los naturales, o quizás exista tal orden pero nos resulte extremadamente difícil de identificar.

El teorema de Cantor demuestra que, efectivamente, la idea de que se pueden emparejar los elementos de cualesquiera dos conjuntos infinitos es incorrecta. Un ejemplo específico es el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ y su conjunto potencia $\mathcal{P}(\mathbb{N})$; es imposible emparejar cada elemento de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ con uno y solo un elemento de $\mathbb{N}$. Este hecho muestra que existen conjunto infinitos más grandes que otros.

Esta entrada está dedicada precisamente a esta cuestión: exhibir conjuntos infinitos con «diferentes tamaños», específicamente, conjuntos que no sean numerables, es decir, que no sean equipotentes con $\mathbb{N}$. Como hemos venido haciendo, también emplearemos el muy importante teorema de Cantor-Schröder-Bernstein para probar ciertas equipotencias.

Conjuntos más grandes que $\mathbb{N}$

Por el teorema de Cantor sabemos que para cada conjunto $A$ se tiene $|A|<|\mathcal{P}(A)|$, es decir, que existe una función inyectiva de $A$ en $\mathcal{P}(A)$ pero no una función biyectiva. Así pues, por ejemplo, $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ además de ser un conjunto infinito, tiene «más» elementos que $\mathbb{N}$, el cual es también infinito. Esto es una muestra de que existen conjuntos infinitos que no son equipotentes. En lo subsecuente exhibiremos algunos otros conjuntos infinitos que sí se pueden biyectar con $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y que por tanto no son numerables.

Comenzaremos proporcionando ejemplos que involucran conceptos que hemos visto en la entrada anterior.

Ejemplo.

El conjunto de sucesiones en $\mathbb{N}$, que denotaremos por $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, es equipotente a $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.

Demostración.

En la entrada anterior probamos que para cada $A\subseteq\mathbb{N}$ infinito, existe una única función biyectiva $F_A:\mathbb{N}\to A$ tal que $F_A(0)=\textnormal{min}(A)$ y que $F_A(n)<F_A(n+1)$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Lo mismo mencionamos respecto a conjuntos finitos no vacíos, es decir, si $A\subseteq\mathbb{N}$ es un conjunto finito no vacío, digamos $|A|=n+1$ con $n\in\mathbb{N}$, existe una única función biyectiva $f_A:n+1\to A$ tal que $f_A(0)=\textnormal{min}(A)$ y que $f_A(m)<f_A(k)$ si y sólo si $m<k$ para cualesquiera $m,k\in n+1$.
Si $A\subseteq\mathbb{N}$ es finito, podemos extender la función $f_A$ a todo $\mathbb{N}$ de la siguiente manera: si $f_A:n+1\to A$ es la única función biyectiva que satisface $f_A(0)=\textnormal{min}(A)$ y $f_A(m)<f_A(k)$ si y sólo si $m<k$ para cualesquiera $m,k\in n+1$, definimos $F_A:\mathbb{N}\to A$ por medio de $$F_A(m)=\left\{\begin{array}{lcc}
f_A(m) & \textnormal{si}\ m\in n+1\\
\textnormal{min}(A) & \textnormal{si}\ m\notin n+1
\end{array}
\right.$$

Lo anterior nos permite asociar a cada elemento de $\mathcal{P}(\mathbb{N})\setminus\{\emptyset\}$ una única sucesión en $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ por medio de la siguiente función: definamos $F:\mathcal{P}(\mathbb{N})\setminus\{\emptyset\}\to\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ como $F(A)=F_A$ para cada $A\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$. Debido a la definición de las funciones $F_A$, en cualquier caso, ya sea que $A\subseteq\mathbb{N}$ es finito o infinito, se cumple que $F_A[\mathbb{N}]=A$; en consecuencia, si $A$ y $B$ son conjuntos no vacíos tales que $F(A)=F(B)$ tendríamos que para cada $k\in\mathbb{N}$, $F_A(k)=F_B(k)$ y, por ende, que $A=F_A[\mathbb{N}]=F_B[\mathbb{N}]=B$, lo cual muestra que $F$ es inyectiva.

Ahora bien, para cada $x\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ definamos $x+1:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ por medio de $(x+1)(n):=x(n)+1$ para cada $n\in\mathbb{N}$. La función $g:\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\to\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ definida por medio de $g(x)=x+1$ es una función inyectiva, pues si $g(x)=g(y)$ para algunas $x,y\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, entonces, $x(n)+1=y(n)+1$ para cada $n\in\mathbb{N}$ y, por tanto, $x(n)=y(n)$ para cada $n\in\mathbb{N}$, es decir, $x=y$. Observemos además que $g(x)\not=x_0$ para cada $x\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, donde $x_0(n)=0$ para cada $n\in\mathbb{N}$; en efecto, si $x\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, entonces, $g(x)(n)=(x+1)(n)=x(n)+1\not=0$ para cada $n\in\mathbb{N}$ ya que $0$ no es sucesor de ningún número natural. Así, la función $g\circ F:\mathcal{P}(\mathbb{N})\setminus\set{\emptyset}\to\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ es inyectiva y $(g\circ F)(A)\not=x_0$ para cada $A\in\mathcal{P}(\mathbb{N})\setminus\{\emptyset\}$. Por tanto la función $h:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ definida como \[h(A)=\left\{\begin{array}{lcc}
(g\circ F)(A) & \textnormal{si}\ A\not=\emptyset\\
x_0 & \textnormal{si}\ A=\emptyset
\end{array}
\right.\] es inyectiva.

Para dar una función inyectiva de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ en $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ retomaremos al conjunto de números primos $\mathbb{P}=\{p_n:n\in\mathbb{N}\}$ enumerado de tal forma que $p_n<p_{n+1}$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Definamos ahora $T:\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ por medio de $T(x)=\{p_n^{x(n)}:n\in\mathbb{N}\}$. Notemos que $T$ es una función inyectiva, pues si $T(x)=T(y)$, entonces, $\{p_n^{x(n)}:n\in\mathbb{N}\}=\{p_n^{y(n)}:n\in\mathbb{N}\}$ y así $p_n^{x(n)}=p_n^{y(n)}$ y $x(n)=y(n)$ para cada $n\in\mathbb{N}$, pues de otro modo se contradice al teorema fundamental de la aritmética. Por lo tanto, $x=y$ y $T$ es inyectiva.

Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein concluimos que $|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|$.

$\square$

Al contrario de los conjuntos finitos, existen ejemplos de conjuntos infinitos que poseen subconjuntos propios equipotentes a ellos mismos, es decir, existe una biyección entre el subconjunto propio y el conjunto original. Un ejemplo de lo anterior es el conjunto de los números naturales, pues cualquier subconjunto propio de $\mathbb{N}$ que sea infinito resulta ser numerable. A continuación vamos a proporcionar otro de estos ejemplos, pero esta vez con un conjunto infinito no numerable.

Ejemplo.

El conjunto $2^{\mathbb{N}}:=\{f\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}:f(n)\in\{0,1\}\ \textnormal{para cada}\ n\in\mathbb{N}\}$ es equipotente a $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.

Demostración.

Para demostrar la equipotencia de este ejemplo vamos a exhibir una biyección entre tales conjuntos. Para ello haremos lo siguiente, si $A\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ definimos $\chi_{A}:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ por medio de $\chi_{A}(n)=\left\{\begin{array}{lcc}
1 & \textnormal{si}\ n\in A\\
0 & \textnormal{si}\ n\in\mathbb{N}\setminus A
\end{array}
\right.$

Lo anterior nos permite establecer una función entre $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $2^{\mathbb{N}}$, función que de hecho resulta ser biyectiva. Veamos primero la inyectividad. Si para $A,B\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ se cumple $\chi_A=\chi_B$, entonces $\chi_A(n)=\chi_B(n)$ para cada $n\in\mathbb{N}$. En consecuencia, si $n\in A$, $1=\chi_A(n)=\chi_B(n)$ y por ende $n\in B$; análogamente, si $n\in B$, $1=\chi_B(n)=\chi_A(n)$ y por tanto $n\in A$. Por consiguiente $A=B$, lo que demuestra la inyectividad de la función.
Resta probar la sobreyectividad. Consideremos $\chi\in 2^{\mathbb{N}}$ un elemento arbitrario. Definamos $A:=\{n\in\mathbb{N}:\chi(n)=1\}$ y veamos que $\chi_A=\chi$. Si $n\in A$, entonces $\chi(n)=1$ por definición del conjunto $A$ y, por otro lado, $\chi_A(n)=1$ por definición de la función $\chi_A$. Si ahora $n\in\mathbb{N}\setminus A$, $\chi(n)=0$ por definición del conjunto $A$ mientras que $\chi_A(n)=0$ por definición de la función $\chi_A$. Esto muestra que $\chi(n)=\chi_A(n)$ para cada $n\in\mathbb{N}$ y por ende que $\chi=\chi_A$. Así pues, la función $F:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to2^{\mathbb{N}}$ definida por medio de $F(A)=\chi_A$ para cada $A\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ es una biyección y, por tanto, $|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=|2^{\mathbb{N}}|$.

$\square$

Como lo mencionamos previamente, ahora contamos con un ejemplo de un conjunto infinito no numerable que posee un subconjunto propio equipotente a él, específicamente $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ y $2^{\mathbb{N}}$ son equipotentes y $2^{\mathbb{N}}\subsetneq\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$. Conjuntos de este tipo, es decir, conjuntos que poseen subconjuntos propios equipotentes a ellos, reciben un nombre particular que anotamos en la siguiente definición.

Definición. Un conjunto $X$ se llama infinito según Dedekind si existe una función inyectiva $f:X\to X$ tal que $f[X]\not=X$.

Que un conjunto sea infinito según Dedekind implica que dicho conjunto es infinito. Y ya que contamos con algunos ejemplos de conjuntos infinitos que también son infinitos según Dedekind, surge de manera natural la pregunta: ¿todo conjunto infinito es infinito según Dedekind? Dicha cuestión no la podemos responder con lo que hemos visto hasta ahora y es por eso que la dejaremos para más adelante.

Una consecuencia inmediata del último ejemplo es el siguiente corolario.

Corolario. Sean $a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{N}$ naturales distintos con $n\geq1$. El conjunto $\{f\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}:f[\mathbb{N}]\subseteq\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}\}$ es equipotente a $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$.

Demostración.

Dado que $j:\{f\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}:f[\mathbb{N}]\subseteq\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}\}\to\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ definida por medio de $j(f)=f$ es una función inyectiva, basta exhibir una función inyectiva de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ en $\{f\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}:f[\mathbb{N}]\subseteq\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}\}$.

Denotemos $A:=\{f\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}:f[\mathbb{N}]\subseteq\{a_0,a_1,\ldots,a_n\}\}$. Si denotamos $B:=\{f\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}:f[\mathbb{N}]\subseteq\{a_0,a_1\}\}$, entonces $B\subseteq A$. Para cada $\chi\in2^{\mathbb{N}}$ definamos $f_\chi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ de la siguiente manera $f_\chi(n)=\left\{\begin{array}{lcc}
a_0 & \textnormal{si}\ \chi(n)=0\\
a_1 & \textnormal{si}\ \chi(n)=1
\end{array}
\right.$
A partir de la definición anterior tenemos que $f_{\chi}\in B$ para cada $\chi\in2^{\mathbb{N}}$, lo cual nos permite definir $F:2^{\mathbb{N}}\to B$ por medio de $F(\chi)=f_{\chi}$. Resulta que $F$ es una biyección. En efecto, por un lado es inyectiva ya que si $F(\chi)=F(\chi’)$, entonces $f_{\chi}(n)=f_{\chi’}(n)$ para cada $n\in\mathbb{N}$, de modo que si $\chi(n)=0$ se tiene que $a_0=f_{\chi}(n)=f_{\chi’}(n)$ y por tanto $\chi'(n)=0$; asimismo, si $\chi(n)=1$ se tiene que $a_1=f_{\chi}(n)=f_{\chi’}(n)$ por lo que $\chi'(n)=1$. Por tanto $\chi(n)=\chi'(n)$ para cada $n\in\mathbb{N}$ y así $\chi=\chi’$.
Ahora para mostrar que $F$ es sobreyectiva tomemos $f\in B$ elemento arbitrario y definamos $\chi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ por medio de $\chi(n)=\left\{\begin{array}{lcc}
1 & \textnormal{si}\ f(n)=a_1\\
0 & \textnormal{si}\ f(n)=a_0
\end{array}
\right.$
Luego, $f_{\chi}=f$, pues si $n\in\mathbb{N}$ es tal que $f(n)=a_1$ se tiene que $\chi(n)=1$ por definición de $\chi$ y así $f_{\chi}(n)=a_1$; por otro lado, si $n\in\mathbb{N}$ es tal que $f(n)=a_0$ se tiene que $\chi(n)=0$ por definición de $\chi$ y por ende $f_{\chi}(n)=a_0$. Podemos concluir entonces que $F( \chi)=f_{\chi}=f$, lo que demuestra que $F$ es sobreyectiva. Por tanto $F$ es una biyección y $|2^{\mathbb{N}}|=|B|$.
Ahora, sean $h:\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\to2^{\mathbb{N}}$ una función biyectiva (la cual sabemos que existe pues $|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|=|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=|2^{\mathbb{N}}|$) y $\iota:B\to A$ la función inclusión, es decir, $\iota(f)=f$ para cada $f\in B$. Luego, $\iota\circ h:\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\to A$ es una función inyectiva.
Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein concluimos que $|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|=|A|$.

$\square$

Observemos que el corolario muestra que existen una infinidad de subcojuntos propios de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ equipotentes a él. Dado que $|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|$, entonces $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ también posee una cantidad infinita de subconjuntos propios equipotentes a él. El siguiente ejemplo es uno de tales subconjuntos.

Ejemplo.

El conjunto $[\mathbb{N}]^{\mathbb{N}}:=\{A\subseteq\mathbb{N}:|A|=|\mathbb{N}|\}$ es equipotente a $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.

Demostración.

Dado que $[\mathbb{N}]^{\mathbb{N}}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{N})$ lo único que hace falta es exhibir una función inyectiva de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ en $[\mathbb{N}]^{\mathbb{N}}$.

Consideremos al conjunto de números primos $\mathbb{P}=\{p_n:n\in\mathbb{N}\}$ donde $p_n<p_{n+1}$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Definamos $g:\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\to[\mathbb{N}]^{\mathbb{N}}$ como $g(x)=\{p_n^{x(n)+1}:n\in\mathbb{N}\}$. Dado que para cada $x\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, $x(n)+1\not=0$ para toda $n\in\mathbb{N}$, tenemos que $\{p_n^{x(n)+1}:n\in\mathbb{N}\}$ es un conjunto infinito, por lo que $g$ tiene el codominio adecuado. Por otro lado, $g$ es inyectiva ya que si $g(x)=g(y)$, entonces $p_n^{x(n)+1}=p_n^{y(n)+1}$ para cada $n\in\mathbb{N}$ por el teorema fundamental de la aritmética y, más aún, $x(n)+1=y(n)+1$ para cada $n\in\mathbb{N}$, lo que demuestra que $x=y$. Si $h:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ es una biyección se sigue que $g\circ h:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to[\mathbb{N}]^{\mathbb{N}}$ es una función inyectiva. Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein concluimos que $|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=|[\mathbb{N}]^{\mathbb{N}}|$.

$\square$

Como un ejercicio para esta entrada dejaremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

$\mathbb{N}^{\nearrow\mathbb{N}}:=\{f\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}:f(n)<f(n+1)\ \textnormal{para cada}\ n\in\mathbb{N}\}$ es equipotente a $[\mathbb{N}]^{\mathbb{N}}$, y por tanto equipotente a $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.

Para finalizar con esta serie de ejemplos de conjuntos no numerables y equipotentes a $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ hablaremos del conjunto de números reales.
Para lo que sigue vamos a suponer que ya conocemos todas las propiedades básicas del conjunto de números reales, y si no se conocen dichas propiedades o lo que es un número real, puedes consultar cualquier libro introductorio a la teoría de conjuntos como el de Hernández1, o también puedes consultarlo en un libro de cálculo como el de Spivak2.
Además de lo dicho en el párrafo precedente, estaremos haciendo un abuso de notación escribiendo las contenciones $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$.
Dicho lo anterior tenemos la siguiente proposición.

Proposición. El intervalo abierto $(0,1)=\{r\in\mathbb{R}:0<r<1\}$ es equipotente a $\mathbb{R}$.

Demostración.

Definamos $f:\mathbb{R}\to(0,1)$ por medio de $f(x)=\left\{\begin{array}{lcc}
\frac{4x+1}{4x+2} & \textnormal{si}\ x\geq0\\
\frac{1}{2(1-2x)} & \textnormal{si}\ x<0
\end{array}
\right.$
Lo primero que se debe observar es que la función $f$ tiene el codominio adecuado, es decir, $f(x)\in(0,1)$ para cada $x\in\mathbb{R}$. Si $x\geq0$, entonces, $0<4x+1<4x+2$ y por tanto $0<\frac{4x+1}{4x+2}<1$, es decir, $f(x)\in(0,1)$; por otro lado, si $x<0$, entonces $0<-2x$ y así $1<1-2x$, lo cual implica que $0<\frac{1}{1-2x}<1$ y que $0<\frac{1}{2(1-2x)}<\frac{1}{2}<1$, es decir, $f(x)\in(0,1)$. Por tanto, $f(x)\in(0,1)$ para cada $x\in\mathbb{R}$. Es importante notar que para $x<0$ vimos que no sólo se cumple $0<f(x)<1$, sino también que $0<f(x)<\frac{1}{2}$. Por otro lado, para $x\geq0$, tenemos que $0<1+2x\leq1+4x$ por lo que $1\leq\frac{4x+1}{2x+1}$ y por tanto $\frac{1}{2}\leq\frac{4x+1}{4x+2}$; de modo que para $x\geq0$ no sólo se cumple que $f(x)\in(0,1)$, sino también que $f(x)\in[\frac{1}{2},1)$.
Veamos ahora que $f$ es una función inyectiva. Sean $x,y\in\mathbb{R}$ con $x\not=y$. Debido a que $\mathbb{R}$ posee un orden lineal podemos suponer que $y<x$. Tenemos los siguientes casos.
Caso 1. $y<0\leq x$. En este caso se tiene que $f(y)\in(0,\frac{1}{2})$ mientras que $f(x)\in[\frac{1}{2},1)$, razón por la cual $f(x)\not=f(y)$.
Caso 2. $0\leq y<x$. En este caso se tiene que $f(y)=\frac{4y+1}{4y+2}$ y $f(x)=\frac{4x+1}{4x+2}$. Luego, si ocurriera que $\frac{4y+1}{4y+2}=\frac{4x+1}{4x+2}$, entonces $(4y+1)(4x+2)=(4x+1)(4y+2)$, lo cual implica $(4y+1)(2x+1)=(4x+1)(2y+1)$, es decir, $8xy+4y+2x+1=8xy+4x+2y+1$ y por ende $2y=2x$, lo cual contradice que $x\not=y$. Por tanto, $f(x)\not=f(y)$.
Caso 3. $y<x<0$. Si ocurriera que $f(x)=f(y)$, entonces $\frac{1}{2(1-2x)}=\frac{1}{2(1-2y)}$ y por ende, $1-2x=1-2y$, de donde $x=y$ y eso contradice la elección de $x$ y $y$. Por tanto $f$ es una función inyectiva.

Veamos ahora que $f$ es sobreyectiva. Sea $r\in(0,1)$. Si $r\in(0,\frac{1}{2})$, entonces $2<\frac{1}{r}$, lo cual implica $\frac{1}{2}<\frac{1}{4r}$ y así $x:=\frac{1}{2}-\frac{1}{4r}$ es un número real menor a $0$; luego, para tal $x$ tenemos que $f(x)=\frac{1}{2(1-2x)}=\frac{1}{2(1-(1-\frac{1}{2r}))}=\frac{1}{2\cdot\frac{1}{2r}}=r$. Si ahora $r\in[\frac{1}{2},1)$, entonces $2r-1\geq0$ y $1-r>0$, por lo que $x:=\frac{2r-1}{4(1-r)}$ es un número real mayor o igual a $0$ para el cual se cumple $f(x)=\frac{4x+1}{4x+2}=\frac{4(\frac{2r-1}{4(1-r)})+1}{4(\frac{2r-1}{4(1-r)})+2}=\frac{\frac{2r-1}{1-r}+1}{\frac{2r-1}{1-r}+2}=\frac{\frac{2r-1+1-r}{1-r}}{\frac{2r-1+2-2r}{1-r}}=\frac{r}{1}=r$. Lo anterior prueba que $f$ es sobreyectiva.

Por lo tanto $f$ es una biyección y $|\mathbb{R}|=|(0,1)|$.

$\square$

Una consecuencia de la proposición anterior es el siguiente corolario.

Corolario. El intervalo $[0,1]:=\{r\in\mathbb{R}:0\leq r\leq1\}$ es equipotente a $\mathbb{R}$.

Demostración.

Dado que $[0,1]\subseteq\mathbb{R}$, basta mostrar que existe una función inyectiva de $\mathbb{R}$ en $[0,1]$. Por la proposición anterior existe una función biyectiva $f:\mathbb{R}\to(0,1)$ y así la función $F:\mathbb{R}\to[0,1]$ definida como $F(x)=f(x)$ para cada $x\in\mathbb{R}$ es inyectiva. Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein concluimos que $|\mathbb{R}|=|[0,1]|$.

$\square$

Si bien la demostración del corolario anterior fue muy rápida y utilizamos el importante teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, siempre resulta interesante determinar una biyección explícita, y precisamente en el caso del corolario anterior lo podemos hacer.

Definamos $S:=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\setminus\set{0}\}\cup\{0\}$. Definamos $g:[0,1]\to(0,1)$ por medio de $g(x)=\left\{\begin{array}{lcc}
x & \textnormal{si}\ x\notin S\\
\frac{1}{n+2} & \textnormal{si}\ x=\frac{1}{n},\ n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\\
\frac{1}{2} & \textnormal{si}\ x=0
\end{array}
\right.$

La función anterior resulta ser una biyección entre $[0,1]$ y $(0,1)$. Primero veremos que $g$ es inyectiva. Sean $x,y\in[0,1]$ con $x\not=y$. Tenemos algunos casos.

Caso 1. $x,y\notin S$. En este caso $g(x)=x\not=y=g(y)$.
Caso 2. $x\in S$, $y\notin S$. Dado que para cada $z\in S$ se tiene $g(z)\in S$, entonces, $g(x)\in S$ mientras que $g(y)=y\notin S$. Por tanto $g(x)\not=g(y)$.
Caso 3. $x\notin S$, $y\in S$. Análogo al caso $2$.
Caso 4. $x,y\in S$. Si $x=0$ y $y=\frac{1}{n}$ con $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $g(x)=\frac{1}{2}$ y $g(y)=\frac{1}{n+2}$. Como $n\geq1$ se tiene que $n+2\geq3$ y por tanto $\frac{1}{2}\not=\frac{1}{n+2}$, es decir, $g(x)\not=g(y)$. Análogamente, si $y=0$ y $x=\frac{1}{n}$ con $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, $g(x)\not=g(y)$. Supongamos ahora que $x=\frac{1}{n}$ y $y=\frac{1}{m}$ con $n,m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ con $n\not=m$.
Luego, $g(x)=\frac{1}{n+2}\not=\frac{1}{m+2}=g(y)$ pues de lo contrario tendríamos $n+2=m+2$ y $n=m$, lo cual contradice $n\not=m$.
Los cuatro casos anteriores muestran que $g$ es inyectiva.

Veamos ahora que $g$ es sobreyectiva. Sea $x\in(0,1)$. Si $x\in S$, entonces $x=\frac{1}{n}$ con $n\in\mathbb{N}$, $n\geq2$, por lo que existe $m\in\mathbb{N}$ tal que $m+2=n$; si $m=0$, entonces $x=\frac{1}{2}=g(0)$ y si $m>0$, entonces, $g(\frac{1}{m})=\frac{1}{m+2}=\frac{1}{n}=x$.
Si $x\notin S$, entonces $g(x)=x$. Por tanto, $g$ es sobreyectiva y en consecuencia una biyección. Esto muestra que $[0,1]$ y $(0,1)$ son equipotentes y, por tanto, $[0,1]$ y $\mathbb{R}$ son equipotentes. Más aún, contamos con una biyección explícita entre $[0,1]$ y $\mathbb{R}$.

Para exhibir la biyección entre $[0,1]$ y $(0,1)$ utilizamos el hecho de que $[0,1]$ contiene un conjunto numerable, específicamente el conjunto $S=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\}\cup\{0\}$. Precisamente este hecho fue el que jugó un papel fundamental, pues como veremos en la siguiente proposición, si $X$ es un conjunto infinito que contiene un conjunto numerable, entonces, para cada $A\subseteq X$ conjunto finito, se cumple $|X\setminus A|=|X|$.

Proposición. Sea $X$ un conjunto infinito tal que existe una función inyectiva $f:\mathbb{N}\to X$. Entonces, para cada $A\subseteq X$ conjunto finito, $|X\setminus A|=|X|$.

Demostración.

Como lo mostrarás en los ejercicios de esta sección, basta mostrar que para cada $x\in X$, los conjuntos $X\setminus\{x\}$ y $X$ son equipotentes.

Sea pues $x\in X$. Sea $f:\mathbb{N}\to X$ una función inyectiva y denotemos por $N$ a la imagen de $f$, esto es $N:=im(f)=\{f(n):n\in\mathbb{N}\}$.

Si $x\notin N$, definamos $g:X\to X\setminus\{x\}$ por medio de $g(y)=\left\{\begin{array}{lcc}
y & \textnormal{si}\ y\notin N\cup\{x\}\\
f(0) & \textnormal{si}\ y=x\\
f(n+1) & \textnormal{si}\ y=f(n)
\end{array}
\right.$

Comprobar que esta función es biyectiva es análogo a como lo hicimos con la función biyectiva que exhibimos entre los intervalos $[0,1]$ y $(0,1)$, por lo que lo dejaremos como un ejercicio para esta entrada.

Supongamos ahora que $x\in N$ y sea $n\in\mathbb{N}$ tal que $x=f(n)$. Para este caso definamos $h:X\to X\setminus\{x\}$ por medio de $h(y)=\left\{\begin{array}{lcc}
y & \textnormal{si}\ y\notin N\setminus\{f(m):m<n\}\\
f(m+1) & \textnormal{si}\ y=f(m),\ m\geq n
\end{array}
\right.$

Nuevamente, comprobar que esta función es biyectiva es similar a lo que hemos hecho. Esto nos permite concluir que $|X\setminus\{x\}|=|X|$ para cada $x\in X$.

$\square$

Para culminar la entrada mostraremos que $(0,1)$ y $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ son equipotentes y que por tanto $\mathbb{R}$ y $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ lo son. Esto lo escribiremos como un teorema.

Teorema. $(0,1)$ y $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ son equipotentes.

Demostración.

Primero vamos a mostrar la siguiente afirmación: para cada $r\in(0,1)$, existe una única función $\chi_r:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ que satisface $\chi_r(n)\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ para cada $n\in\mathbb{N}$ y tal que $0\leq x-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi_r(i)}{10^i}<\frac{1}{10^{n}}$.

Sea pues $r\in(0,1)$. Probaremos por inducción que para cada $n\in\mathbb{N}$ existe una única función $\chi^{(n)}_r:n+1\to\mathbb{N}$ tal que $\chi^{(n)}_{r}[n+1]\subseteq\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y $0\leq x-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi^{(n)}_{r}(i)}{10^i}<\frac{1}{10^n}$.
Para $n=0$ definamos $\chi^{(0)}_r:1\to\mathbb{N}$ por medio de $\chi^{(0)}_r(0)=0$. Luego, $0\leq r=r-\frac{\chi^{(0)}_r(0)}{10^0}<1=\frac{1}{10^0}$. Si $y:1\to\mathbb{N}$ es otra función tal que $y(0)\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y $0\leq r-\frac{y(0)}{10^0}<\frac{1}{10^0}$, entonces, $y(0)\leq r<1$ y por tanto $y(0)=0$, ya que el único natural menor a $1$ es $0$. Por tanto, $\chi^{(0)}_r=y$, lo que demuestra que para $n=0$ el enunciado es verdadero.
Supongamos que el resultado es válido para algún $n\geq0$. Sea $\chi^{(n)}_r:n+1\to\mathbb{N}$ la única función de la hipótesis. Primero vamos a demostrar la existencia de una función $\chi^{(n+1)}_r$ con las propiedades deseadas y luego probaremos su unicidad. Dado que $0\leq r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi^{(n)}_r(i)}{10^i}<\frac{1}{10^{n}}$ se sigue que $0\leq10^n(r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi^{(n)}_r(i)}{10^i})<1$. Si ocurriera que $ r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi^{(n)}_r(i)}{10^i}=0$, definimos $\chi^{(n+1)}_r:n+2\to\mathbb{N}$ como $\chi^{(n+1)}_r(i)=\left\{\begin{array}{lcc}
\chi^{(n)}_r(i) & \textnormal{si}\ i\in n+1\\
0 & \textnormal{si}\ i=n+1
\end{array}
\right.$
Definida de esa manera la función $\chi^{(n+1)}_r$ se satisfacen las hipótesis deseadas. Supongamos ahora que $0<r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi^{(n)}_r(i)}{10^i}$ y definamos $\hat{r}:=10^n(r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi^{(n)}_r(i)}{10^i})$, número real que sabemos satisface $0<\hat{r}<1$. Consideremos el conjunto $A=\{m\in\mathbb{N}:m\leq 10\hat{r}\}$, el cual es no vacío ya que $0<\hat{r}$ y por tanto $0\leq 10\hat{r}$; además, $A$ es acotado superiormente ya que $\hat{r}<1$ y por tanto $10\hat{r}<10$, de modo que si $m\in A$, entonces $m<10$. Así, existe $a=\textnormal{max}(A)$, el cual es un natural dentro del conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Por la maximalidad de $a$ se tiene que $10\hat{r}<a+1$ y así $\frac{a}{10}\leq\hat{r}<\frac{a}{10}+\frac{1}{10}$, es decir, $0\leq\hat{r}-\frac{a}{10}<\frac{1}{10}$.
Luego, dado que $\hat{r}=10^n(r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi^{(n)}_r(i)}{10^i})$ se sigue que $0\leq r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi^{(n)}_r(i)}{10^i}-\frac{a}{10^{n+1}}<\frac{1}{10^{n+1}}$. Si definimos $\chi^{(n+1)}_r:n+2\to\mathbb{N}$ por medio de $\chi^{(n+1)}_r(i)=\left\{\begin{array}{lcc}
\chi^{(n)}_r(i) & \textnormal{si}\ i\in n+1\\
a & \textnormal{si}\ i=n+1
\end{array}
\right.$

entonces $\chi^{(n+1)}_r$ es una función que satisface las condiciones deseadas. Así, hemos demostrado la existencia de una función con las características requeridas. Veamos que ésta es única. Supongamos que $\eta:n+2\to\mathbb{N}$ es otra función que satisface las mismas propiedades que $\chi_r^{(n+1)}$.
Luego, en particular, $0\leq r-\sum_{i=0}^{n+1}\frac{\eta(i)}{10^i}<\frac{1}{10^{n+1}}$ y por tanto $0\leq r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\eta(i)}{10^i}<\frac{1}{10^{n+1}}+\frac{\eta(n+1)}{10^{n+1}}\leq \frac{1}{10^{n+1}}+\frac{9}{10^{n+1}}=\frac{10}{10^{n+1}}=\frac{1}{10^n}$. De este modo, la función $\eta\upharpoonright_{n+1}:n+1\to\mathbb{N}$ satisface las mismas condiciones que la función $\chi^{(n)}_r$, y por la unicidad de esta última función se sigue que $\eta(i)=\chi^{(n)}_r(i)$ para cada $i\in n+1$. Así, la función $\eta$ coincide con la función $\chi^{(n+1)}_r$ en $n+1$, por lo que resta probar que $\eta(n+1)=\chi^{(n+1)}_r(n+1)=a$.
Sabemos que $0\leq r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi^{(n+1)}_r(i)}{10^i}-\frac{\eta(n+1)}{10^{n+1}}<\frac{1}{10^{n+1}}$ y por tanto, $0\leq 10^{n+1}(r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi^{(n+1)}(i)}{10^i})-\eta(n+1)<1$, es decir, $\eta(n+1)\leq10\hat{r}<\eta(n+1)+1$, de modo que $\eta(n+1)\in A$ y por tanto $\eta(n+1)\leq a=\chi^{(n+1)}_r(n+1)$. Podemos elegir $k\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ tal que $\eta(n+1)+k=a$ y tenemos $a=\eta(n+1)+k\leq10\hat{r}$, razón por la cual \[k\leq10\hat{r}-\eta(n+1)<(\eta(n+1)+1)-\eta(n+1)=1\] y en consecuencia, $k=0$. Por tanto, $\eta(n+1)=a=\chi^{(n+1)}_r(n+1)$. Esto demuestra la unicidad de $\chi^{(n+1)}_r$.

Por lo tanto, para cada $n\in\mathbb{N}$ existe una única función $\chi^{(n)}_r:n+1\to\mathbb{N}$ tal que $\chi^{(n)}_r[\mathbb{N}]\subseteq\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y $0\leq r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi^{(n)}_r(i)}{10^i}<\frac{1}{10^n}$. En el proceso de la demostración de la existencia y unicidad de tales funciones, mostramos además que si $\chi^{(n+1)}_r:n+2\to\mathbb{N}$ es la única función con tales propiedades, entonces, $\chi^{(n)}_r=\chi^{(n+1)}_r\upharpoonright_{n+1}$, lo que muestra que el conjunto de funciones $\mathcal{F}:=\{\chi^{(n)}_r:n\in\mathbb{N}\}$ es un sistema de funciones compatibles y, por tanto, $\chi_r=\bigcup\mathcal{F}:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ es la única función con las propieades que enunciamos en la afirmación.

Estamos entonces en condiciones de definir una función $F:(0,1)\to\{f\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}:f[\mathbb{N}]\subseteq\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\}$ por medio de $F(r)=\chi_r$. Dicha función es inyectiva, ya que si $\chi_r=\chi_{r’}$, entonces, para cada $n\in\mathbb{N}$, \[|r-r’|=|r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi_r(i)}{10^i}+\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi_{r’}(i)}{10^i}-r’|\] \[\leq|r-\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi_r(i)}{10^i}|+|\sum_{i=0}^{n}\frac{\chi_{r’}(i)}{10^i}-r’|\] \[<\frac{1}{10^n}+\frac{1}{10^n}=\frac{2}{10^n}\] lo cual muestra que $|r-r’|=0$, es decir, $r=r’$. Por tanto, existe una función inyectiva de $(0,1)$ en $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, de modo que $|(0,1)|\leq|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|=|\mathcal{P}(\mathbb{N})|$.

Ahora vamos a definir una función inyectiva de $2^{\mathbb{N}}$ en $(0,1)$. Sea $f\in2^{\mathbb{N}}$ y veamos que la sucesión de números racionales $(\sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i+1}})_{n\in\mathbb{N}}$ converge. Dado que $f(i)\in\{0,1\}$ para cada $i\in\mathbb{N}$, la sucesión $(\sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i+1}})_{n\in\mathbb{N}}$ es no decreciente. Luego, para cada $n\in\mathbb{N}$, $0\leq\sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i+1}}\leq\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{10^{i+1}}=\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{10^i}=\frac{1-\frac{1}{10^{n+2}}}{1-\frac{1}{10}}-1=\frac{1-\frac{1}{10^{n+2}}}{(\frac{9}{10})}-1<\frac{1}{(\frac{9}{10})}-1=\frac{10}{9}-1=\frac{1}{9}<1$, por lo que dicha sucesión está acotada inferiormente por $0$ y superiormente por $\frac{1}{9}$ y, por tanto, converge a algún número real en el intervalo $[0,\frac{1}{9}]$. Sea $r_f\in[0,\frac{1}{9}]$ el límite de dicha sucesión.
Si la función $f$ no es la constante cero, entonces, $r_f\in(0,\frac{1}{9}]$, ya que existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $f(N)=1$ y por tanto, para cada $n\geq N$, $\frac{1}{10^{N+1}}\leq\sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i+1}}\leq r_f$.
Dado que el número real $r_f$ es único para cada $f\in2^{\mathbb{N}}$, estamos en condiciones de definir la siguiente función: sea $G:2^{\mathbb{N}}\to[0,1)$ tal que $G(f)=\left\{\begin{array}{lcc}
r_f & \textnormal{si}\ f\not=0\\
0 & \textnormal{si}\ f=0
\end{array}
\right.$

Veamos que $G$ es inyectiva. Por la definición de $G$ sabemos que si $f\not=0$, entonces $G(f)\not=G(0)$. Ahora, sean $f,h\in2^{\mathbb{N}}$ funciones no cero tales que $r_f=G(f)=G(h)=r_h$. Veamos que $f(n)=h(n)$ para cada $n\in\mathbb{N}$.
Algo que será de utilidad para probar esto último es la desigualdad $\sum_{i=n+1}^{m}\frac{1}{10^i}<\frac{1}{2\cdot10^n}$, la cual es cierta para cualesquiera $n,m\in\mathbb{N}$ tales que $n<m$. En efecto, si $n,m\in\mathbb{N}$ con $n<m$, tenemos \[\sum_{i=n+1}^{m}\frac{1}{10^i}=\sum_{i=0}^{m}\frac{1}{10^i}-\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{10^i}=\frac{1-\frac{1}{10^{m+1}}}{1-\frac{1}{10}}-\frac{1-\frac{1}{10^{n+1}}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{1}{10^{n+1}}-\frac{1}{10^{m+1}}}{(\frac{9}{10})}=\frac{\frac{1}{10^n}-\frac{1}{10^m}}{9}\] y este número racional es menor que $\frac{1}{2\cdot10^n}$, pues $\frac{1}{10^n}-\frac{1}{10^m}<\frac{1}{10^n}<\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{10^n}$, pues $1<\frac{9}{2}$. Por tanto, para cualesquiera $n,m\in\mathbb{N}$ con $n<m$, $\sum_{i=n+1}^{m}\frac{1}{10^i}<\frac{1}{2\cdot10^n}$.

Ahora sí, veamos que $f(n)=h(n)$ para cada $n\in\mathbb{N}$.
Dado que las sucesiones de números racionales $(\sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i+1}})_{n\in\mathbb{N}}$ y $(\sum_{i=0}^{n}\frac{h(i)}{10^{i+1}})_{n\in\mathbb{N}}$ convergen al número real $r_f$, existe $m\in\mathbb{N}$ tal que para cada $n>m$, $0\leq r_f-\sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i+1}}<\frac{1}{4\cdot10}$ y $0\leq r_f-\sum_{i=0}^{n}\frac{h(i)}{10^{i+1}}<\frac{1}{4\cdot10}$. Luego, $$|\sum_{i=0}^{m+1}\frac{f(i)}{10^{i+1}}-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{h(i)}{10^{i+1}}|=|\sum_{i=0}^{m+1}\frac{f(i)}{10^{i+1}}-r_f+r_f-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{h(i)}{10^{i+1}}|$$ $$\leq|\sum_{i=0}^{m+1}\frac{f(i)}{10^{i+1}}-r_f|+|r_f-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{h(i)}{10^{i+1}}|<\frac{1}{4\cdot10}+\frac{1}{4\cdot10}=\frac{1}{2\cdot10}.$$ Por otro lado, $|\frac{f(0)-h(0)}{10}|-|\sum_{i=1}^{m+1}\frac{f(i)-h(i)}{10^{i+1}}|\leq|\sum_{i=0}^{m+1}\frac{f(i)-h(i)}{10^{i+1}}|<\frac{1}{2\cdot10}$ y así \[|\frac{f(0)-h(0)}{10}|<\frac{1}{2\cdot10}+|\sum_{i=1}^{m+1}\frac{f(i)-h(i)}{10^{i+1}}|\leq\frac{1}{2\cdot10}+\sum_{i=1}^{m+1}\frac{|f(i)-h(i)|}{10^{i+1}}.\] Dado que $|f(i)-h(i)|=\left\{\begin{array}{lcc}
1 & \textnormal{si}\ \{f(i),h(i)\}=\{0,1\}\\
0 & \textnormal{si}\ f(i)=h(i)=0\ \textnormal{o}\ f(i)=h(i)=1
\end{array}
\right.$ entonces, $|f(i)-h(i)|\leq1$ para cada $i\in\mathbb{N}$ y, como $\sum_{i=1}^{m+1}\frac{1}{10^{i+1}}=\sum_{i=2}^{m+2}\frac{1}{10^i}<\frac{1}{2\cdot10}$, se sigue que \[\frac{|f(0)-h(0)|}{10}\leq\frac{1}{2\cdot10}+\sum_{i=1}^{m+1}\frac{1}{10^{i+1}}<\frac{1}{10}\] lo cual implica que $|f(0)-h(0)|=0$, es decir, $f(0)=h(0)$. Supongamos que para algún $n\in\mathbb{N}$ hemos probado que $f(m)=h(m)$ para cada $m\leq n$ y veamos que $f(n+1)=h(n+1)$.
Sea $m\in\mathbb{N}$, $m\geq n+1$, tal que para cada $k>m$, $|r_f-\sum_{i=0}^{k}\frac{f(i)}{10^{i+1}}|<\frac{1}{4\cdot10^{n+2}}$ y $|r_f-\sum_{i=0}^{k}\frac{h(i)}{10^{i+1}}|<\frac{1}{4\cdot10^{n+2}}$.
Luego, $|\sum_{i=n+1}^{m+1}\frac{f(i)-h(i)}{10^{i+1}}|=|\sum_{i=0}^{m+1}\frac{f(i)-h(i)}{10^{i+1}}|\leq|r_f-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{f(i)}{10^{i+1}}|+|r_f-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{h(i)}{10^{i+1}}|<\frac{1}{2\cdot10^{n+2}}$. Por otro lado, \[\frac{|f(n+1)-h(n+1)|}{10^{n+2}}-|\sum_{i=n+2}^{m+1}\frac{f(i)-h(i)}{10^{i+1}}|\leq|\sum_{i=n+1}^{m+1}\frac{f(i)-h(i)}{10^{i+1}}|<\frac{1}{2\cdot10^{n+2}}\] por lo que $$\frac{|f(n+1)-h(n+1)|}{10^{n+2}}<\frac{1}{2\cdot10^{n+2}}+|\sum_{i=n+2}^{m+1}\frac{f(i)-h(i)}{10^{i+1}}|\leq\frac{1}{2\cdot10^{n+2}}+\sum_{i=n+2}^{m+1}\frac{|f(i)-h(i)|}{10^{i+1}}$$ \[\leq\frac{1}{2\cdot10^{n+2}}+\sum_{i=n+2}^{m+1}\frac{1}{10^{i+1}}=\frac{1}{2\cdot10^{n+2}}+\sum_{i=n+3}^{m+2}\frac{1}{10^i}<\frac{1}{2\cdot10^{n+2}}+\frac{1}{2\cdot10^{n+2}}=\frac{1}{10^{n+2}}\]
y en consecuencia, $|f(n+1)-h(n+1)|=0$, es decir, $f(n+1)=h(n+1)$. Por tanto, para cada $n\in\mathbb{N}$, $f(n)=h(n)$, lo que demuestra que $f=h$.
Así, la función $G$ es inyectiva y, por consiguiente, $|2^{\mathbb{N}}|\leq|[0,1)|$. Dado que $|[0,1)|=|(0,1)|$, se sigue que $|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=|2^{\mathbb{N}}|\leq|(0,1)|$. Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein concluimos que $|(0,1)|=|\mathcal{P}(\mathbb{N})|$.

$\square$

Concluimos la entrada con el siguiente corolario, cuya prueba es consecuencia del teorema anterior y el hecho que $|\mathbb{R}|=|(0,1)|$.

Corolario. $\mathbb{R}$ y $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ son equipotentes.

$\square$

Tarea moral

  1. Demuestra que el conjunto $\mathbb{N}^{\nearrow\mathbb{N}}:=\{f\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}:f(n)<f(n+1)\ \textnormal{para cada}\ n\in\mathbb{N}\}$ es equipotente a $[\mathbb{N}]^{\mathbb{N}}$.
  2. Demuestra que para cualquier conjunto infinito $X$ que contenga un conjunto numerable se cumple que $|X\setminus A|=|X|$, para cada $A\subseteq X$ conjunto finito.
  3. Sean $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$. Demuestra que $|(a,b)|=|(0,1)|$.
  4. Exhibe una biyección entre $\mathbb{R}$ y $[0,\infty):=\{r\in\mathbb{R}:r\geq0\}$.

Más adelante…

Entradas relacionadas

  1. Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13,
    SMM, 1998 ↩︎
  2. Spivak, M., Cálculo Infinitesimal (2a ed). México: Reverté, 1998. ↩︎

Teoría de los Conjuntos I: Conjuntos numerables (parte II)

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En la entrada anterior hemos mostrado algunos ejemplos de conjuntos equipotentes al conjunto de los números naturales. En algunos casos exhibimos funciones biyectivas del conjunto de los números naturales en cada uno de los respectivos conjuntos. Sin embargo, esta labor puede resultar complicada, en muchas ocasiones exhibir funciones biyectivas de un conjunto en otro presenta diversas dificultades. Debido a esto, en varias situaciones resulta muy útil aplicar el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein para mostrar que dos conjuntos son equipotentes sin necesidad de proporcionar una biyección. En esta entrada añadiremos otro par de ejemplos de conjuntos equipotentes al conjunto de los números naturales, pero haremos uso del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein para mostrar tal equipotencia.

Conjuntos numerables.

En el siguiente ejemplo aparece un conjunto que ya conocíamos y que de hecho se encuentra en la entrada anterior, se trata del conjunto de números racionales, para el cual dimos dos maneras de mostrar que es numerable.

Ejemplo.

$\mathbb{Q}$ es numerable, es decir, equipotente a $\mathbb{N}$.

Lo que haremos será mostrar que $\mathbb{Q}^{+}\cup\{0\}$ y $\mathbb{N}$ son equipotentes con ayuda del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. Luego, como $\mathbb{Q}^{-}$ y $\mathbb{Q}^{+}$ son equipotentes podremos concluir que $\mathbb{Q}$ es la unión de dos conjuntos ajenos numerables y, por tanto, que $\mathbb{Q}$ es numerable.

Ante un claro abuso de notación en lo que sigue, definamos $f:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}^{+}\cup\{0\}$ por medio de $f(n)=\frac{n}{1}$. Luego, $f$ es una función ineyctiva de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{Q}^{+}\cup\{0\}$, pues si $f(n)=f(m)$, entonces, $\frac{n}{1}=\frac{m}{1}$ lo cual implica que $n\cdot 1=m\cdot1$, es decir, $n=m$. Ahora, tenemos que exhibir una función inyectiva de $\mathbb{Q}^{+}\cup\{0\}$ en $\mathbb{N}$. Definamos $g:\mathbb{Q}^{+}\cup\{0\}\to\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ por medio de $$g\left(\frac{p}{q}\right)=\left\{\begin{array}{lcc}
(p,q) & \textnormal{si}\ \frac{p}{q}\in\mathbb{Q}^{+}\ \textnormal{y}\ p\ \textnormal{y}\ q\ \textnormal{son primos relativos}\\
(0,0) & \textnormal{si}\ \frac{p}{q}=0
\end{array}
\right.$$

Debido a que cada racional en $\mathbb{Q}^{+}$ tiene una expresión única de la forma $\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ primos relativos, entonces, $g$ está bien definida. Veamos que $g$ es inyectiva. Supongamos que $\frac{p}{q},\frac{s}{t}\in\mathbb{Q}^{+}\cup\{0\}$ son tales que $g(\frac{p}{q})=g(\frac{s}{t})$. Si $\frac{p}{q}=0$, entonces, $g(\frac{p}{q})=(0,0)$ y así $g(\frac{s}{t})=(0,0)$; luego, $\frac{s}{t}=0$, pues en caso contrario, podríamos asumir que $s$ y $t$ son primos relativos y por tanto $g(\frac{s}{t})=(s,t)\not=(0,0)$ ya que $s\not=0$. Así pues, si $\frac{p}{q}=0$, entonces, $\frac{s}{t}=0$. Análogamente, si $\frac{s}{t}=0$, entonces, $\frac{p}{q}=0$. Supongamos ahora que $\frac{p}{q}\not=0\not=\frac{s}{t}$ y que tanto $p$ y $q$ como $s$ y $t$, son primos relativos. Así, $g(\frac{p}{q})=(p,q)$ y $g(\frac{s}{t})=(s,t)$ y por consiguiente, $(p,q)=(s,t)$, de modo que $s=p$ y $q=t$, lo que demuestra que $\frac{p}{q}=\frac{s}{t}$. Por tanto, $g$ es una función inyectiva. Finalmente, si consideramos la función inyectiva $h:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ definida por medio de $h(n,m)=2^n(2m+1)$, la cual aparece en los ejercicios de la sección anterior, tendremos que $h\circ g:\mathbb{Q}^{+}\cup\{0\}\to\mathbb{N}$ es una función inyectiva. Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein concluimos que $\mathbb{Q}^{+}\cup\{0\}$ es numerable y, consecuentemente, $\mathbb{Q}$ es numerable.

$\square$

El siguiente ejemplo también aparece en la entrada anterior, pero ahora utilizaremos el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. Como bien lo vimos, dicho ejemplo nos proporciona una gran cantidad de conjuntos numerables y, al mismo tiempo, muestra una propiedad interesante del conjunto de números naturales.

Ejemplo.

Si $A\subseteq\mathbb{N}$ es un conjunto infinito, entonces, $A$ es numerable.

Demostración.

Sea $A\subseteq\mathbb{N}$ un conjunto infinito. La función $\iota:A\to\mathbb{N}$ definida por medio de $\iota(n)=n$ para cada $n\in\mathbb{N}$ es una función inyectiva. Ahora vamos a exhibir una función inyectiva de $\mathbb{N}$ en $A$.
Para cada $n\in A$ definamos $n^{\uparrow}:=\{m\in A:n<m\}$. Notemos que para cada $n\in A$, $n^{\uparrow}\not=\emptyset$, pues en caso contrario existiría $n\in A$ tal que para cada $m\in A$, $m\leq n$ y en consecuencia, $A\subseteq s(n)=n\cup\{n\}$, lo cual implicaría que $A$ es finito, contradiciendo la hipótesis sobre $A$. Así pues, por el buen orden de $\mathbb{N}$, para cada $n\in A$ existe $min(n^{\uparrow})$. Una vez hecho lo anterior elijamos $n_0=min(A)$ y definamos $g:A\to A$ por medio de $g(n)=min(n^{\uparrow})$. Por el teorema de recursión, existe una única función $f:\mathbb{N}\to A$ tal que $f(0)=n_0$ y $f(n+1)=g(f(n))$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Veamos que $f$ es una función inyectiva. Para ello, veamos que $f(n)<f(n+1)$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Sea $n\in\mathbb{N}$. Luego, $f(n+1)=g(f(n))=min(f(n)^{\uparrow})$ por lo que $f(n+1)\in f(n)^{\uparrow}$ y así $f(n)<f(n+1)$. Por lo tanto $f$ es una función inyectiva de $\mathbb{N}$ en $A$. Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein podemos concluir que $\mathbb{N}$ y $A$ son equipotentes.

$\square$

Como probarás en los ejercicios de esta entrada, la función $f:\mathbb{N}\to A$ que aparece en el ejemplo precedente es de hecho biyectiva. Por otro lado, como lo habíamos mencionado previo al ejemplo, éste nos proporciona una gran cantidad de conjuntos numerables; por mencionar algunos tenemos los conjuntos $A_n:=\{m\in\mathbb{N}:n<m\}$ para cada $n\in\mathbb{N}$, o también algunos que ya conocíamos como el conjunto de números pares $\{2k:k\in\mathbb{N}\}$, el cual ya sabíamos que era equipotente a $\mathbb{N}$, y algunos otros más interesantes, como el conjunto de números primos pues dicho conjunto es infinito. Para conocer la definición de número primo puedes consultar el siguiente enlace Álgebra Superior II: Números primos y sus propiedades.
Otra consecuencia del ejemplo anterior es el siguiente corolario.

Corolario. Si $B$ es un conjunto numerable y $A\subseteq B$ es un conjunto inifinito, entonces, $A$ es un conjunto numerable.

Demostración.

Dado que $B$ es numerable, existe una función biyectiva $g:B\to\mathbb{N}$. Luego, la restricción de $g$ al conjunto $A$, $g\upharpoonright_{A}:A\to\mathbb{N}$, es una función inyectiva y, más aún, es una biyección entre $A$ y $g[A]\subseteq\mathbb{N}$. Dado que $A$ es infinito, también lo es $g[A]$, pero por el ejemplo anterior sabemos que $g[A]$ es numerable y, en consecuencia, $A$ es numerable.

$\square$

Hasta ahora, en los dos ejemplos que hemos visto, si bien hicimos uso del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein y nos facilitó probar la equipotencia de tales conjuntos con $\mathbb{N}$, también es factible exhibir o mostrar directamente la existencia de una función biyectiva. En los ejemplos subsecuentes será más clara la utilidad e importancia del teorema de Cantro-Schröder-Bernstein, y además un tanto más interesantes, pues sin dicho teorema probar la equipotencia con $\mathbb{N}$ es bastante más complicado.

Para introducir el siguiente ejemplo es necesario mencionar un resultado importante del conjunto de números enteros, conocido como el teorema fundamental de la aritmética. Tal teorema asegura que dado cualquier número entero positivo mayor a 1, éste tiene una expresión única como producto de números primos, es decir, si $z\in\mathbb{Z}^{+}$ es cualquier entero positivo mayor a 1, existen únicos números primos $p_1,\ldots,p_n$ y únicos números naturales distintos de cero $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ tales que $z=p_1^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}=\Pi_{i=1}^{n}p_i^{\alpha_i}$. Puedes consultar el teorema fundamental de la aritmética y su prueba en el siguiente enlace Álgebra Superior II: Teorema fundamental de la aritmética e infinidad de números primos; más aún, en dicho enlace puedes encontrar la prueba de que el conjunto de números primos es inifinito y, de acuerdo al último ejemplo que enunciamos, éste conjunto es numerable.

Ejemplo.

$[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}:=\{A\subseteq\mathbb{N}:A\ \textnormal{es finito}\}$ es numerable.

Demostración.

Notemos que la función $f:\mathbb{N}\to[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}$ definida por medio de $f(n)=\{n\}$ es una función inyectiva, de modo que para aplicar el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein hace falta exhibir una función inyectiva de $[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}$ en $\mathbb{N}$.
Para construir tal función inyectiva, consideremos en primer lugar al conjunto de números primos $\mathbb{P}:=\{p\in\mathbb{Z}^{+}:p\ \textnormal{es primo}\}$. Dado que $\mathbb{P}$ puede ser visto como un subconjunto de $\mathbb{N}$, sabemos, por el ejemplo anterior, que existe una función (biyectiva) $f:\mathbb{N}\to \mathbb{P}$ tal que $f(0)=min(\mathbb{P})$ y tal que $f(n)<f(n+1)$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Así, si denotamos como $p_n:=f(n)$ para cada $n\in\mathbb{N}$, podemos escribir $\mathbb{P}=\{p_n:n\in\mathbb{N}\}$ y se satisface que $p_n<p_{n+1}$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Vamos a considerar para el resto de la prueba que $\mathbb{P}$ está enumerado de esta manera.
Ahora bien, si $A\subseteq\mathbb{N}$ es un conjunto finito y no vacío, digamos $|A|=n+1$ con $n\in\mathbb{N}$, entonces, $A$ puede ser enumerado de manera similar a como lo hicimos con $\mathbb{P}$; esto es, existe una función biyectiva (de hecho única) $f_A:n+1\to A$ tal que $f_A(0)=min(A)$ y $f_A(k)<f_A(m)$ si y sólo si $k<m$. Así, si denotamos como $a_k:=f_A(k)$ para cada $k\in n+1$, tenemos que $A=\{a_k:k\in n+1\}$ y que $a_k<a_m$ si y sólo si $k<m$. Para el resto de la prueba utilizaremos estas enumeraciones con cualquier subconjunto finito no vacío de $\mathbb{N}$, es decir, dado $A\subseteq\mathbb{N}$ no vacío, con $|A|=n+1$, escribiremos $A=\{a_k:k\in n+1\}$ y se entenderá que $a_k<a_m$ si y sólo si $k<m$.

Una vez mencionado lo anterior definamos $F:[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}\setminus\{\emptyset\}\to\mathbb{Z}^{+}$ por medio de $F(A)=\Pi_{k=0}^{n}p_k^{a_k}$ si $A=\{a_k:k\in n+1\}$, para cada $A\in[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}\setminus\{\emptyset\}$. Veamos que tal función es inyectiva. Supongamos que $A,B\in[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}\setminus\{\emptyset\}$ son conjuntos tales que $F(A)=F(B)$. Si $|A|=n+1$ y $|B|=m+1$ con $n,m\in\mathbb{N}$, y además $A=\{a_k:k\in n+1\}$ y $B=\{b_k:k\in m+1\}$, entonces, $F(A)=\Pi_{k=0}^{n}p_k^{a_k}$ mientras que $F(B)=\Pi_{k=0}^{m}p_k^{b_k}$; luego, como $\Pi_{k=0}^{n}p_k^{a_k}=\Pi_{k=0}^{m}p_k^{b_k}$ se tiene $n=m$, pues si $n<m$, entonces, $m>0$ y $b_m>0$, ya que $b_m>b_0$ y $b_0\geq0$, por lo que $p_m^{b_m}$ es una potencia positiva del primo $p_m$ que no aparece en el producto $\Pi_{k=0}^{n}p_k^{a_k}$, pero que sí aparece en el producto $\Pi_{k=0}^{m}p_k^{b_k}$, lo cual contradice el teorema fundamental de la aritmética. Análogamente, no puede ocurrir que $m<n$. Por tanto, $n=m$ y, por consiguiente, $a_k=b_k$ para cada $k\in n+1$. En consecuencia, $A=B$. Por tanto, $F$ es una función inyectiva. Finalmente, como $\mathbb{Z}^{+}$ es numerable, existe $G:\mathbb{Z}^{+}\to\mathbb{N}\setminus\set{0}$ función biyectiva y así $G\circ F:[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}\setminus\set{\emptyset}\to\mathbb{N}\setminus\set{0}$ es una función inyectiva. Por consiguiente, la función $\tilde{F}:[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}\to\mathbb{N}$ definida por medio de $$\tilde{F}(A)=\left\{ \begin{array}{lcc}
0 & \textnormal{si}\ A=\emptyset \\
(G\circ F)(A) & \textnormal{si}\ A\not=\emptyset
\end{array}
\right.$$

es inyectiva. El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein nos permite concluir que $[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}$ es numerable.

$\square$

Para el último ejemplo que trataremos en esta entrada vamos a definir lo que es una sucesión.

Definición. Si $A$ es un conjunto y $f:\mathbb{N}\to A$ es una función, diremos que $f$ es una sucesión en $A$. Por otro lado, si $n\in\mathbb{N}$ y $g:n\to A$ es una función, diremos que $g$ es una sucesión finita de longitud $n$ en $A$.

Dado un conjunto $A$ vamos a denotar como $^nA$ al conjunto de todas las sucesiones finitas de longitud $n$ en $A$.

Ejemplo.

El conjunto $\mathbb{N}^{<\mathbb{N}}:=\cup_{n\in \mathbb{N}}\ ^n\mathbb{N}$ es numerable.

Demostración.

Primero vamos a dar una función inyectiva de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$. Para cada $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ definamos $x_n:1\to\mathbb{N}$ como $x_n(0)=n$. Si $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, $x_n$ es una sucesión finita de longitud $1$ en $\mathbb{N}$, es decir, $x_n\in{^1\mathbb{N}}$. Ahora, para $n=0$ definamos $x_0:=\emptyset:0\to\mathbb{N}$ la función vacía, es decir, la única sucesión finita de longitud $0$ en $\mathbb{N}$, de modo que $x_0\in{^0\mathbb{N}}$. Una vez definidas estas sucesiones finitas vamos a considerar la función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$ dada por $f(n)=x_n$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Notemos que $f$ es inyectiva, pues si $n,m\in\mathbb{N}$ son naturales distintos podemos suponer que $n<m$; luego, si $n=0$, entonces $f(n)=f(0)=x_0=\emptyset$ mientras que $m>0$ y $f(m)=x_m=\{(0,m)\}$, de modo que $f(n)\not=f(m)$. Si ahora $0<n$, entonces también $0<m$ y $f(n)=x_n=\{(0,n)\}$ mientras que $f(m)=x_m=\{(0,m)\}$, pero dado que $(0,n)\not=(0,m)$ pues $n\not=m$, concluimos que $f(n)\not=f(m)$. Por tanto $f$ es inyectiva.

Ahora vamos a dar una función inyectiva de $\mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$ en $\mathbb{N}$. En el penúltimo ejemplo consideramos al conjunto de números primos enumerado como $\mathbb{P}=\{p_n:n\in\mathbb{N}\}$ de tal manera que $p_n<p_{n+1}$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Retomando dicha enumeración del conjunto de números primos definamos $g:\mathbb{N}^{<\mathbb{N}}\to\mathbb{N}\times\mathbb{Z}$ por medio de $$g(x)=\left\{\begin{array}{lcc}
(n+1,\Pi_{k=0}^{n}p_k^{x(k)}) & \textnormal{si}\ x\in{^{n+1}\mathbb{N}} \\
(0,0) & \textnormal{si}\ x=\emptyset
\end{array}
\right.
$$

Probar que la función $g$ es inyectiva requiere, esencialmente, del teorema fundamental de la aritmética; si $x\in{^{n+1}\mathbb{N}}$ y $y\in{^{m+1}\mathbb{N}}$ con $n\not=m$, entonces, $n+1\not=m+1$ y por ende $g(x)=(n+1,\Pi_{k=0}^{n}p_k^{x(k)})\not=(m+1,\Pi_{k=0}^{m}p_k^{y(k)})=g(y)$. Si $x=\emptyset$ y $y\in{^{n+1}\mathbb{N}}$ con $n\in\mathbb{N}$, entonces $g(y)=(n+1,\Pi_{k=0}^{n}p_k^{y(k)})\not=(0,0)=g(x)$. Por tanto, para concluir que $g$ es inyectiva, basta comprobar que si $n\in\mathbb{N}$ y $x,y\in{^{n+1}\mathbb{N}}$ son elementos distintos, entonces $g(x)\not=g(y)$, lo cual dejamos como un ejercicio al final de esta entrada.

Por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, $\mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$ es numerable.

$\square$

Tarea moral

  • Sea $A\subseteq\mathbb{N}$ conjunto inifinito. Para cada $n\in A$ definimos $n^{\uparrow}:=\{m\in A:n<m\}$. Definimos $g:A\to A$ por medio de $g(n)=\textnormal{min}(n^{\uparrow})$ y consideremos la única función $f:\mathbb{N}\to A$ tal que $f(0)=\textnormal{min}(A)$ y $f(n+1)=g(f(n))$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Demuestra que $f$ es una biyección.
  • Prueba que la función $g:\mathbb{N}^{<\mathbb{N}}\to\mathbb{N}\times\mathbb{Z}$ definida por medio de $g(x)=\left\{\begin{array}{lcc} (n+1,\Pi_{k=0}^{n}p_k^{x(k)}) & \textnormal{si}\ x\in^{n+1}\mathbb{N} \\ (0,0) & \textnormal{si}\ x=\emptyset
    \end{array}
    \right.$ es inyectiva.
  • Demuestra lo siguiente:
    $(a)$ Si $A\subseteq\mathbb{N}$ es un conjunto finito no vacío con $|A|=n+1$, $n\in\mathbb{N}$, existe una única función biyectiva $f_A:n+1\to A$ tal que $f_A(0)=\textnormal{min}(A)$ y que $f_A(m)<f_A(k)$ si y sólo si $m<k$ para cualesquiera $m,k\in n+1$.
    $(b)$ Utilizando el hecho de que $\mathbb{N}^{<\mathbb{N}}$ es numerable muestra que $[\mathbb{N}]^{<\mathbb{N}}$ es numerable. Puede que te ayude de algo el inciso $(a)$.
  • Demuestra que si $B\subseteq A$ son conjuntos tales que $B$ es numerable pero $A$ no, entonces, $A\setminus B$ no es numerable.
  • Diremos que una sucesión $x$ en $\mathbb{N}$ es semiconstante si existe $n_0\in\mathbb{N}$ tal que para cada $n\geq n_0$, $x(n)=x(n_0)$. Demuestra que si $\mathcal{S}$ es el conjunto de todas las sucesiones semiconstantes en $\mathbb{N}$, entonces $\mathcal{S}$ es numerable.

Más adelante…

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein 

Por Gabriela Hernández Aguilar

3 respuestas

Introducción

En esta entrada probaremos que dados dos conjuntos $A$ y $B$, tales que $A\preceq B$ y $B\preceq A$, entonces $A\sim B$. Si bien este resultado es muy intuitivo, matemáticamente hay algunas complicaciones. Las hipótesis nos dan funciones inyectivas de $A$ en $B$ y de $B$ en $A$. Pero necesitamos una única función de $A$ en $B$ que sea biyectiva. ¿Cómo garantizamos la existencia de la segunda a partir de las primeras?

Lema del punto fijo

Primero demostraremos un lema sobre la existencia de un punto fijo, el cual será de utilidad en la demostración del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. Este lema nos dice que dada una función de $\mathcal{P}(X)$ en sí mismo con cierta propiedad de monotonía, ésta cumple que debe fijar a algún elemento de $\mathcal{P}(X)$. Veamos la definición de monotonía que necesitamos.

Definición. Sea $f:\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$. Diremos que $f$ es una función monótona si siempre que $A\subseteq A’\subseteq X$, se cumple que $f(A)\subseteq f(A’)$. Es decir, se preserva la contención bajo $f$.

Ejemplo.

Sea $X=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y sea $f=\set{(\emptyset,\emptyset), (\set{\emptyset}, \set{\emptyset}), (\set{\set{\emptyset}}, \emptyset), (\set{\emptyset, \set{\emptyset}},\set{\emptyset})}$. Consideremos $A=\emptyset$ y $A’=\set{\emptyset}$. Tenemos que $f(A)=\emptyset$ y $f(A’)=\set{\emptyset}$, de modo que $f(A)\subseteq f(A’)$. Para cualquier otra elección de $A$ y $A’$ con $A\subseteq A’$ también se puede verificar que $f(A)\subseteq f(A’)$. Por ello, decimos que $f$ es monótona.

$\square$

Lema. Sea $\varphi:\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$ función monótona. Entonces existe $E\subseteq X$ tal que $\varphi(E)=E$, es decir, $\varphi$ deja fijo a algún elemento de $\mathcal{P}(X)$.

Demostración:

Sea $\varphi:\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$ función monótona y sea $\mathcal{L}=\set{A\in \mathcal{P}(X): \varphi(A)\subseteq A}$.

Veremos que $\mathcal{L}\not= \emptyset$. Para ello, probaremos que $X\in \mathcal{L}$. Para empezar, $X\in \mathcal{P}(X)$ pues para cualquier conjunto $X$, $X\subseteq X$. Además, se tiene que $\varphi(X)\in \mathcal{P}(X)$, por lo que $\varphi(X)\subseteq X$.

Como $\mathcal{L}$ no es vacío, podemos considerar $E=\bigcap \mathcal{L}$. Veremos que $\varphi(E)=E$, lo cual mostaremos viendo la doble contención.

$\subseteq$) Sea $K\in \mathcal{L}$. Tenemos que $E\subseteq K$. Como $\varphi$ es monotona, entonces $\varphi(E)\subseteq \varphi(K)$. Además, como $K\in \mathcal{L}$ se tiene que $\varphi(K)\subseteq K$ y por transitividad de la contención se tiene que $\varphi(E)\subseteq K$. Como esto sucede para cualquier $K\in \mathcal{L}$, se cumple entonces $\varphi(E)\subseteq E$.

$\supseteq$) Dado que $\varphi(E)\subseteq E$ y $\varphi$ es monótona se tiene que $\varphi(\varphi(E))\subseteq \varphi(E)$. Por ello, $\varphi(E)\in \mathcal{L}$ y por lo tanto, $E\subseteq \varphi(E)$.

Por lo tanto, $\varphi(E)=E$.

$\square$

Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein1

Antes de demostrar el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, enunciemos los siguientes recordatorios que usaremos en la demostración:

Recordatorio 1. Si $f:X\to Y$ es una función y se tiene $Z\subseteq Z’\subseteq X$, entonces $f[Z]\subseteq f[Z’]$.

Recordatorio 2. Sean $A,B\subseteq X$. Si $A\subseteq B$, entonces $X\setminus B\subseteq X\setminus A$.

Teorema (Cantor-Schröder-Bernstein). Si $A\preceq B$ y $B\preceq A$, entonces $A\sim B$.

Demostración:

Supongamos que $A\preceq B$ y $B\preceq A$, esto es, existe $f:A\to B$ inyectiva y existe $g:B\to A$ inyectiva.

Sea $\varphi:\mathcal{P}(A)\to \mathcal{P}(A)$ dada por $\varphi(X)=A\setminus g[B\setminus f[X]]$. Veamos que $\varphi$ es monótona.

Sean $X,X’\in \mathcal{P}(A)$ tales que $X\subseteq X’$, por el recordatorio $1$, tenemos que $f[X]\subseteq f[X´]$, luego por el recordatorio 2 tenemos que $B\setminus f[X’]\subseteq B\setminus f[X]$. Luego, por el recordatorio 1 $g[B\setminus f[X’]]\subseteq g[B\setminus f[X]]$. Finalmente, por el recordatorio $2$ se tiene que $A\setminus g[B\setminus f[X]]\subseteq A\setminus g[B\setminus f[X’]]$. Por lo tanto, $\varphi(X)\subseteq \varphi(X’)$ y así, $\varphi$ es monótona.

Luego, por el lema del punto fijo tenemos que existe $E\in \mathcal{P}(X)$ tal que $\varphi(E)=E$. De este modo:

\begin{align*}
E&= \varphi(E)\\
\text{entonces} \ E&= A\setminus g[B\setminus f[E]]\\
\text{entonces}\ A\setminus E&= g[B\setminus f[E]]
\end{align*}

Consideremos $g_1=g\upharpoonright: B\setminus f[E]\to g[B\setminus f[E]]$. Dado que $g$ es inyectiva, entonces $g_1$ es biyectiva y por lo tanto, $g_1^{-1}$ es función.

Definimos $h:A\to B$ como:

$h(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             f(x) &   si  & x\in E \\
             \\ g_1^{-1}(x) &  si & x\in A\setminus E= g[B\setminus f[E]]
             \end{array}
   \right. $

Veamos que $h$ es biyectiva.

Primero veamos que $h$ es inyectiva. Sean $x,x’\in A$ tales que $x\not=x’$, veamos que $h(x)\not= h(x’)$.

Caso 1: Si $x, x’\in E$, entonces $h(x)=f(x)\not= f(x’)=h(x’)$ pues $f$ es inyectiva.

Caso 2: Si $x, x’\in A\setminus E$, entonces $h(x)=g_1^{-1}(x)\not=g_1^{-1}(x’)=h(x)$ pues $g_1^{-1}$ es inyectiva.

Caso 3: Si $x\in E$ y $x’\in A\setminus E$, entonces $h(x)=f(x)\in f[E]$ y $h(x’)=g_1^{-1}(x’)\in B\setminus f[E]$, por lo que $h(x)\not= h(x’)$.

Por lo tanto, $h$ es inyectiva.

Ahora, veamos que $h$ es suprayectiva. Consideremos $B$ como $B= (B\setminus f[E])\cup f[E]$.

Sea $y\in B$, entonces $y\in B\setminus f[E]$ o $y\in f[E]$.

Caso 1: Si $y\in B\setminus f[E]$, entonces $g(y)\in g[B\setminus g[E]]$, por lo que $h(g(y))= g_1^{-1}(g(y))= y$.

Caso 2: Si $y\in f[E]$ existe $e\in E$ tal que $f(e)=y$. Así, $h(e)=f(e)=y$.

Por lo tanto, $h$ es suprayectiva.

Concluimos que $h$ es biyectiva y así, $A\sim B$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada:

  1. Definamos al conjunto de números pares como $P=\set{2k:\ k\in \mathbb{N}}$. En la entrada anterior ya vimos que $P\sim \mathbb{N}$. Da una demostración alternativa a esto usando el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein.
  2. Resuelve los siguientes incisos.
    • Muestra la función $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ dada por $f(x)=(x,1)$ es inyectiva, pero no suprayectiva.
    • Muestra que la función $g:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ dada por $g(a,b)=2^a3^b$ es inyectiva, pero no suprayectiva.
    • ¿Qué dice entonces el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein sobre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$?
    • ¿Es sencillo dar una función biyectiva explícita $h:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\times \mathbb{N}$?

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos qué es un conjunto finito y hablaremos un poco acerca de lo que entenderemos por cardinal de un conjunto. Daremos los primeros pasos para hablar de conjuntos infinitos. Ya platicamos un poco que intuitivamente $\mathbb{N}$ debe serlo, pero tenemos que probarlo formalmente. Un poco más adelante, veremos que hay conjuntos infinitos que no tienen la misma cardinalidad. Así, nos interesará ver que pasa con las cardinalidades de estos conjuntos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. Puedes consultar una demostración diferente del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein en el siguiente libro: K. Hrbacek, T. Jech, Introduction to Set Theory, Third Edition, Marcel Dekker Inc., 1999, p. 66-68.
    Y una segunda demostración diferente en: J.A. Amor Montaño, Teoría de conjuntos para estudiantes de ciencias, Segunda edición, Coordinación de Servicios Editoriales, Facultad de Ciencias UNAM, 2005, p. 79-80 ↩︎

Teoría de los Conjuntos I: Buenos órdenes para cualquier conjunto

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada usaremos lo que aprendimos en la entrada anterior sobre el lema de Zorn para demostrar que cualquier conjunto no vacío puede ser bien ordenado.

Ordenando buenos órdenes de subconjuntos

En esta entrada demostraremos que cualquier conjunto no vacío $X$ tiene un buen orden. Si $a\in X$, entonces $(a,a)$ es un buen orden para $\{a\}\subseteq X$, así que podemos darle un buen orden a un elemento de $X$. La intuición de nuestra prueba es que podemos ir «agrandando» un buen orden para «pocos elementos» de $X$ hasta llegar a ordenar todo $X$. Sin embargo, no podemos hacer esto paso a paso. Tendremos que hacerlo de golpe usando el lema de Zorn. Para ello, daremos una noción de cuándo «un buen orden ordena más elementos de $X$ que otro y lo extiende». Nuestro resultado se obtendrá aplicando el lema de Zorn a esta noción. Comencemos con formalizarla.

Lema. Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{B}$ la familia de todos los pares ordenados $(A,R)$ donde $A$ es un subconjunto de $X$ y $R$ es un buen orden para $A$. Definimos en $\mathcal{B}$ la relación $\leq$ como sigue: dados $(A,R),(B,R’)\in\mathcal{B}$ diremos que $(A,R)\leq(B,R’)$ si y sólo si $A\subseteq B$, $R\subseteq R’$ y para todo $x\in A$ y $y\in B\setminus A$ se cumple que $(x,y)\in R’$. Entonces, $\leq$ es una relación de orden parcial en $\mathcal{B}$.

Demostración.

Verifiquemos primero la reflexividad. Sea $(A,R)\in\mathcal{B}$. Luego, $A\subseteq A$, $R\subseteq R$ y, por vacuidad, para todo $x\in A$ y $y\in A\setminus A$ se tiene que $(x,y)\in R$, lo que muestra que $(A,R)\leq(A,R)$. Por tanto, $\leq$ es una relación reflexiva.

Verifiquemos ahora la antisimetría. Si $(A,R)\leq (B,R’)$ y $(B,R’)\leq(A,R)$, entonces, como consecuencia de la definición de $\leq$ tenemos que $A\subseteq B$, $R\subseteq R’$ y para todo $x\in A$ y $y\in B\setminus A$ se tiene que $(x,y)\in R’$; pero también, $B\subseteq A$, $R’\subseteq R$ y para todo $x\in B$ y $y\in A\setminus B$ se tiene que $(x,y)\in R$. En particular tenemos que $A\subseteq B$, $B\subseteq A$, $R\subseteq R’$ y $R’\subseteq R$, lo cual implica que $A=B$ y $R=R’$. Por tanto, $(A,R)=(B,R’)$, lo que muestra que $\leq$ es antisimétrica.

Por último mostraremos que la relación $\leq$ es transitiva. Sean $(A,R_0),(B,R_1),(C,R_2)\in\mathcal{B}$ elementos tales que $(A,R_0)\leq(B,R_1)$ y $(B,R_1)\leq(C,R_2)$. Luego, por definición de la relación $\leq$ tenemos que, $A\subseteq B$, $R_0\subseteq R_1$ y para todo $x\in A$ y $y\in B\setminus A$ se cumple que $(x,y)\in R_1$; asimismo, $B\subseteq C$, $R_1\subseteq R_2$ y para todo $x\in B$ y $y\in C\setminus B$ se cumple que $(x,y)\in R_2$. Así, como $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$, entonces $A\subseteq C$ y, también, como $R_0\subseteq R_1$ y $R_1\subseteq R_2$, entonces $R_0\subseteq R_2$. Ahora, sean $x\in A$ y $y\in C\setminus A$ cualesquiera elementos. Si $y\in B$, entonces $x\in A$ y $y\in B\setminus A$, por lo que $(x,y)\in R_1$ y, por ende, $(x,y)\in R_2$. Si $y\notin B$, entonces $y\in C\setminus B$ y dado que $x\in A\subseteq B$, entonces $(x,y)\in R_2$. En cualquier caso $(x,y)\in R_2$, lo que demuestra que $(A,R_1)\leq(C,R_2)$.

Por lo tanto $\leq$ es una relación de orden en $\mathcal{B}$.

$\square$

Ya tenemos el conjunto parcialmente ordenado $(\mathcal{B},\leq)$ al que queremos aplicar el lema de Zorn. Pero tenemos que verificar una hipótesis importante: que cada cadena tiene cota superior. Esto lo hacemos en el siguiente lema.

Lema. Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{B}$ y $\leq$ definidos como en el lema anterior. Entonces, en $(\mathcal{B}, \leq)$ toda cadena tiene una cota superior.

Demostración.

Sea $\mathcal{C}$ una cadena en $\mathcal{B}$. Definamos $f:\mathcal{C}\to\mathcal{P}(X)$ como sigue: si $(A,R)\in\mathcal{C}$, con $A\subseteq X$ y $R$ un buen orden en $A$, entonces $f((A,R))=A$. Ahora, notemos que si $A\subseteq X$ y $R$ es un buen orden en $A$, entonces $R\subseteq A\times A\subseteq X\times X$, es decir, $R$ es también una relación en $X$. Teniendo en cuenta esto definamos $g:\mathcal{C}\to\mathcal{P}(X\times X)$ como sigue: si $(A,R)\in\mathcal{C}$, con $A\subseteq X$ y $R$ un buen orden en $A$, entonces $g((A,R))=R$. Sean $Y_1:=f[\mathcal{C}]$ y $Y_2:=g[\mathcal{C}]$ y definamos $\mathcal{A}=\bigcup Y_1$ y $\mathcal{R}=\bigcup Y_2$.

Lo que haremos será probar que $\mathcal{A}$ es un subconjunto de $X$ y que $\mathcal{R}$ es un buen orden para $\mathcal{A}$, con lo cual tendríamos que $(\mathcal{A},\mathcal{R})\in\mathcal{B}$.

Primero, como $f((A,R))=A\subseteq X$ para cualquier $(A,R)\in\mathcal{C}$, entonces $Y_1=f[\mathcal{C}]$ es una familia de subconjuntos de $X$ y, por tanto, $\mathcal{A}=\bigcup Y_1$ es un subconjunto de $X$. Ahora, veamos que $\mathcal{R}$ es un buen orden en $\mathcal{A}$.

Lo primero que tenemos que mostrar es que $\mathcal{R}$ es efectivamente una relación en $\mathcal{A}$, es decir, que $\mathcal{R}$ es un subconjunto de $\mathcal{A}\times\mathcal{A}$. Sea $u\in\mathcal{R}$ un elemento arbitrario. Luego, $u\in g((A,R))=R$ para algún $(A,R)\in\mathcal{C}$. Dado que $u\in R$ y $R\subseteq A\times A$, entonces $u\in A\times A$. Además, como $(A,R)\in\mathcal{C}$, entonces $A=f((A,R))\in f[\mathcal{C}]$ y, en consecuencia, $A\subseteq\bigcup f[\mathcal{C}]=\mathcal{A}$, por lo que $A\times A\subseteq\mathcal{A}\times\mathcal{A}$. De este modo, como $u\in A\times A$ se sigue que $u\in\mathcal{A}\times\mathcal{A}$. Esto demuestra que $\mathcal{R}\subseteq\mathcal{A}\times\mathcal{A}$, es decir, $\mathcal{R}$ es una relación en $\mathcal{A}$.

Ahora veamos que $\mathcal{R}$ es una relación de orden en $\mathcal{A}$.

Sea $x\in\mathcal{A}$. Luego, $x\in f((A,R))=A$ para algún $(A,R)\in\mathcal{C}$. Como $R$ es un buen orden en $A$, entonces $(x,x)\in R$ y, dado que $R\subseteq\mathcal{R}$, se sigue que $(x,x)\in\mathcal{R}$. Esto prueba que $\mathcal{R}$ es una relación reflexiva.

Ahora, sean $x,y\in\mathcal{A}$ elementos tales que $(x,y)\in\mathcal{R}$ y $(y,x)\in\mathcal{R}$. Luego, $(x,y)\in g((A,R))=R$ y $(y,x)=g((B,R’))=R’$ para algunos $(A,R),(B,R’)\in\mathcal{C}$. Dado que $\mathcal{C}$ es una cadena, entonces $(A,R)\leq(B,R’)$ o $(B,R’)\leq(A,R)$, lo cual implica que $R\subseteq R’$ o $R’\subseteq R$. De modo que $(x,y),(y,x)\in R$ o $(x,y),(y,x)\in R’$. En cualquier caso podemos concluir que $x=y$ ya que tanto $R$ como $R’$ son relaciones de orden. Esto prueba que $\mathcal{R}$ es una relación antisimétrica.

Supongamos que $x,y,z\in\mathcal{A}$ son cualesquiera elementos tales que $(x,y),(y,z)\in\mathcal{R}$. Luego, $(x,y)\in g((A,R))=R$ y $(y,z)\in g((B,R’))=R’$ para algunos $(A,R),(B,R’)\in\mathcal{C}$. Ahora, como $\mathcal{C}$ es una cadena, entonces $(A,R)\leq(B,R’)$ o $(B,R’)\leq(A,R)$, por lo que $R\subseteq R’$ o $R’\subseteq R$. Así, $(x,y),(y,z)\in R$ o $(x,y),(y,z)\in R’$ y, por tanto, $(x,z)\in R$ o $(x,z)\in R’$ pues tanto $R$ como $R’$ son relaciones de orden. En cualquier caso $(x,z)\in\mathcal{R}$, ya que $R,R’\subseteq\mathcal{R}$. Esto prueba que $\mathcal{R}$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $\mathcal{R}$ es una relación de orden en $\mathcal{A}$.

Resta probar que $\mathcal{R}$ es un buen orden en $\mathcal{A}$. Sea pues $D\subseteq\mathcal{A}$ un conjunto no vacío. Luego, como $D\subseteq\mathcal{A}$ y $D\not=\emptyset$, entonces $D\cap f((A,R))=D\cap A\not=\emptyset$ para algún $(A,R)\in\mathcal{C}$. Luego, como $D\cap A\subseteq A$ no vacío, entonces existe el mínimo de $D\cap A$ con respecto a la relación $R$, ya que $R$ es un buen orden en $A$, es decir, existe $a_0\in D\cap A$ tal que $(a_0,x)\in R$ para todo $x\in D\cap A$. Veamos que $a_0$ es el mínimo de $D$ con respecto a la relación $\mathcal{R}$. Sea $x\in D$ cualquier elemento. Si $x\in A$, entonces $(a_0,x)\in R\subseteq\mathcal{R}$. Si ahora $x\notin A$, entonces, como $D\subseteq\mathcal{A}$, existe $(B,R’)\in\mathcal{C}\setminus\set{(A,R)}$ tal que $x\in f((B,R’))=B$. Luego, como $\mathcal{C}$ es una cadena se tiene que $(A,R)\leq(B,R’)$ o $(B,R’)\leq(A,R)$, sin embargo, no puede ocurrir que $(B,R’)\leq(A,R)$ pues de ser así tendríamos que $B\subseteq A$ y, por ende, $x\in A$ lo cual asumimos no ocurre. Así pues, necesariamente, $(A,R)\leq(B,R’)$ y, por consiguiente, $A\subseteq B$, $R\subseteq R’$ y para cualesquiera $a\in A$ y $b\in B\setminus A$ se tiene $(a,b)\in R’$. Debido a que $a_0\in A$ y $x\in B\setminus A$, entonces $(a_0,x)\in R’\subseteq\mathcal{R}$. Por lo tanto, para todo $x\in D$, $(a_0,x)\in\mathcal{R}$, lo que demuestra que $a_0$ es el mínimo de $D$ en la relación $\mathcal{R}$. Consecuentemente, $\mathcal{R}$ es un buen orden para $\mathcal{A}$.

Los argumentos anteriores nos permiten concluir que $(\mathcal{A},\mathcal{R})\in\mathcal{B}$, pues $\mathcal{A}\subseteq X$ y $\mathcal{R}$ es un buen orden para $\mathcal{A}$. Ahora, $(\mathcal{A},\mathcal{R})$ es una cota superior para $\mathcal{C}$. En efecto, si $(A,R)\in\mathcal{C}$ es cualquier elemento, entonces $A=f((A,R))\subseteq\bigcup f[\mathcal{C}]=\mathcal{A}$ y $R=g((A,R))\subseteq\bigcup g[\mathcal{C}]=\mathcal{R}$. Por último, si $x\in A$ y $y\in\mathcal{A}\setminus A$, entonces $y\in f((B,R’))=B$ para algún $(B,R’)\in\mathcal{C}$, pero dado que $\mathcal{C}$ es una cadena, entonces $(A,R)\leq(B,R’)$ o $(B,R’)\leq(A,R)$. Sin embargo, no puede ocurrir que $(B,R’)\leq(A,R)$ pues en ese caso tendríamos, en particular, que $B\subseteq A$ y por ende $y\in A$, lo que contradice la elección de $y$. Así que necesariamente, $(A,R)\leq(B,R’)$. Por consiguiente, $A\subseteq B$, $R\subseteq R’$ y para cualquier $a\in A$ y $b\in B\setminus A$, se tiene que $(a,b)\in R’$. En consecuencia, $(x,y)\in R’$ y como $R’\subseteq\mathcal{R}$, entonces $(x,y)\in\mathcal{R}$.

Por lo tanto, $A\subseteq\mathcal{A}$, $R\subseteq\mathcal{R}$ y para cualesquiera $x\in A$ y $y\in\mathcal{A}\setminus A$, $(x,y)\in\mathcal{R}$, es decir, $(A,R)\leq(\mathcal{A},\mathcal{R})$. Esto demuestra que $(\mathcal{A},\mathcal{R})$ es una cota superior para $\mathcal{C}$.

$\square$

El teorema del buen orden

Ya con los ingredientes anteriores, podemos enfocarnos en el resultado principal de esta entrada.

Teorema. (teorema del buen orden). Todo conjunto no vacío puede ser bien ordenado.

Demostración.

Sea $X$ un conjunto no vacío. Sea $\mathcal{B}$ el conjunto de todos los pares ordenados $(A,R)$ tales que $A\subseteq X$ y $R$ es un buen orden para $A$. Por uno de los lemas anteriores tenemos que $(\mathcal{B},\leq)$ es un conjunto ordenado, donde $\leq$ es la relación definida como $(A,R)\leq(B,R’)$ si y sólo si $A\subseteq B$, $R\subseteq R’$ y para todo $x\in A$ y $y\in B\setminus A$, $(x,y)\in R’$.

Antes de continuar veamos que $\mathcal{B}$ es no vacío. Como $X\not=\emptyset$, entonces existe $a\in X$. Luego, $R=\set{(a,a)}$ es un buen orden para $\set{a}$. Por tanto, $(\set{a},\set{(a,a)})\in\mathcal{B}$ y así $\mathcal{B}$ es no vacío.

Ahora, por el último lema probado, toda cadena en $\mathcal{B}$ está acotada superiormente y, como $\mathcal{B}$ es no vacío, podemos aplicar el lema de Kuratowski-Zorn y concluir que $\mathcal{B}$ tiene un elemento maximal. Sea $(A,R)$ elemento maximal de $\mathcal{B}$. Lo que probaremos es que $A=X$.

Si $X\not=A$, entonces existe $x\in X\setminus A$. Luego, definiendo $B=A\cup\set{x}$ y $R’=R\cup\set{(a,x):a\in A}\cup\set{(x,x)}$ tenemos que $R’$ es un buen orden para $B$. En efecto, primero probaremos que $R’$ es una relación de orden en $B$.

Si $u\in R’$, entonces $u\in R$ o $u\in\set{(a,x):a\in A}$ o $u=(x,x)$. Luego, como $A\subseteq B$ y $R\subseteq A\times A$, entonces $u\in A\times A\subseteq B\times B$ o $u=(a,x)\in A\times B\subseteq B\times B$ para algún $a\in A$ o $u=(x,x)\in B\times B$. En cualquier caso $u\in B\times B$ y, por tanto, $R’\subseteq B\times B$, lo que muestra que $R’$ es una relación en $B$.

Ahora, si $b\in B$, entonces $b\in A$ o $b=x$. Si $b\in A$, entonces $(b,b)\in R$ por ser $R$ una relación de orden en $A$ y, por tanto, $(b,b)\in R’$ pues $R\subseteq R’$. Si $b=x$, entonces $(b,b)\in R’$, por definición de $R’$. En cualquier caso se cumple que $(b,b)\in R’$, lo que muestra que $R’$ es una relación reflexiva.

Por otro lado, si $c,b\in B$ son tales que $(c,b)\in R’$ y $(b,c)\in R’$, entonces tenemos algunos casos:

Caso 1. $(c,b)\in R$ y $(b,c)\in R$. Luego, por ser $R$ una relación de orden se cumple que $R$ es antisimétrica, por lo que $c=b$.

Caso 2. $(c,b)\in R$ y $(b,c)\in\set{(a,x):a\in A}$. Luego, $(b,c)=(a,x)$ para algún $a\in A$ y, como $(c,b)\in R\subseteq A\times A$, entonces $(c,b)=(a_1,a_2)$ para algunos $a_1,a_2\in A$. De lo anterior se sigue que $c=a_1\in A$ pero también que $c=x\notin A$ y esto es una contradicción. Así el caso 2 no puede ocurrir.

Caso 3. $(c,b)\in R$ y $(b,c)\in\set{(x,x)}$. Este caso tampoco puede darse por las razones dadas en el caso 2.

Caso 4. $(c,b)\in\set{(a,x):a\in A}$ y $(b,c)\in\set{(a,x):a\in A}$. Luego, $(c,b)=(a_1,x)$ y $(b,c)=(a_2,x)$ para algunos $a_1,a_2\in A$. De esto se sigue que $c=a_1\in A$ y $c=x\notin A$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, el caso 5 tampoco pede darse.

Caso 5. $(c,b)\in\set{(a,x):a\in A}$ y $(b,c)\in\set{(x,x)}$. Luego, $(c,b)=(a_1,x)$ para algún $a_1\in A$ y $(c,b)=(x,x)$, por lo que $c=a_1\in A$ y $c=x\notin A$ lo cual es una contradicción. Por tanto, el caso 5 tampoco puede darse.

Caso 6. $(c,b)\in\set{(x,x)}$ y $(b,c)\in\set{(x,x)}$. En este caso se tiene que $b=x=c$.

Los 6 casos anteriores son las únicas posibilidades y, por tanto, concluimos que $b=c$. Esto muestra que $R’$ es una relación antisimétrica.

Ahora, sean $b,c,d\in B$ tales que $(b,c)\in R’$ y $(c,d)\in R’$. Luego, tenemos los siguientes casos:

Caso 1. $(b,c),(c,d)\in R$. En este caso se sigue que $(b,d)\in R\subseteq R’$ pues $R$ es transitiva.

Caso 2. $(b,c)\in R$ y $(c,d)\in\set{(a,x):a\in A}$. Luego, como $(b,c)\in R\subseteq A\times A$, entonces $b\in A$ y, por tanto, $(b,x)\in R’$. Ahora, como $(c,d)\in\set{(a,x):a\in A}$, entonces $d=x$ y, por tanto, $(b,d)\in R’$.

Caso 3. $(b,c)\in R$ y $(c,d)\in\set{(x,x)}$. Así como en el caso 2 se sigue que $(b,d)\in R’$.

Caso 4. $(b,c),(c,d)\in\set{(a,x):a\in A}$. En este caso se sigue que $c=d=x$ y, por tanto, $(b,c)=(b,d)\in R’$.

Caso 5. $(b,c)\in\set{(a,x):a\in A}$ y $(c,d)\in\set{(x,x)}$. Así como en el caso 3 se sigue que $c=d=x$ y, por tanto, que $(b,d)\in R’$.

Caso 6. $(b,c),(c,d)\in\set{(x,x)}$. Se sigue inmediatamente que $b=c=d=x$ y, por tanto, $(b,d)\in R’$.

Estos son los únicos casos posibles, pues no pueden ocurrir los siguientes casos:

Caso i. $(c,d)\in R$ y $(b,c)\in\set{(a,x):a\in A}$. En este caso se tendría que $c=x$ y que $c\in A$, lo cual no ocurre por la elección de $x$.

Caso ii. $(c,d)\in R$ y $(b,c)\in\set{(x,x)}$. Lo mismo que en el caso i.

Caso iii. $(c,d)\in\set{(a,x):a\in A}$ y $(b,c)\in\set{(x,x)}$. Lo mismo que en los casos i y ii.

En los únicos casos posibles se concluye que $(b,d)\in R’$, lo que muestra que $R’$ es una relación transitiva.

Por lo tanto $R’$ es una relación de orden en $B$. Ahora, sea $D\subseteq B$ no vacío. Si $D\cap A\not=\emptyset$, entonces $D\cap A$ tiene un elemento mínimo en $A$ respecto a la relación de orden $R$, es decir, existe $a_0\in D\cap A$ tal que $(a_0,a)\in R$ para todo $a\in D\cap A$. Luego, si $d\in D$ es cualquier elemento, entonces $d\in A$ o $d=x$. Si $d\in A$, entonces $(a_0,d)\in R\subseteq R’$ y, si $d=x$, entonces $(a_0,d)\in R’$ por definición de $R’$. Lo que demuestra que $a_0$ es el mínimo de $D$ con respecto a la relación de orden $R’$. Si ahora $D\cap A=\emptyset$, entonces, necesariamente, $D=\set{x}$ y, ciertamente, $D$ tiene mínimo, el cual es $x$. Por lo tanto, cualquier subconjunto no vacío de $B$ tiene elemento mínimo con respecto a la relación $R’$. Lo que muestra que $R’$ es un buen orden para $B$.

Luego, $(B,R’)\in\mathcal{B}$. Dado que $A\subseteq B$, $R\subseteq R’$ y para cualquier $a\in A$ y $b\in B\setminus A=\set{x}$ se tiene que $(a,b)\in R’$, se sigue que $(A,R)\leq(B,R’)$ y, sin embargo, $(A,R)\not=(B,R’)$, lo cual contradice la maximalidad de $(A,R)$ en $\mathcal{B}$.

Concluimos entonces que $A=X$ y, por tanto, $R$ es un buen orden para $X$. Por lo tanto, $X$ puede ser bien ordenado.

$\square$

Para culminar esta entrada, mostraremos que el teorema del buen orden implica el axioma de elección. La idea intuitiva es sencilla. Para un conjunto $X$, ¿cuál elemento elegimos de cada subconjunto no vacío de $X$? Pues damos un buen orden a $X$ y para cada subconjunto no vacío elegimos el mínimo.

Teorema. El teorema del buen orden implica el axioma de elección.

Demostración.

Sea $X$ un conjunto no vacío. Luego, por el teorema del buen orden, existe una relación $R$ en $X$ que es un buen orden en $X$. Definamos $e:\mathcal{P}(X)\setminus\set{\emptyset}\to X$ por medio de $e(B)=\min_R(B)$, donde $\min_R(B)$ denota al elemento mínimo del subconjunto no vacío $B$ de $A$ con respecto a la relación $R$. Dado que, por definición, el mínimo de un conjunto pertenece a dicho conjunto, concluimos que $e(B)\in B$ para todo $B\in\mathcal{P}(X)\setminus\set{\emptyset}$. Esto demuestra que $X$ tiene una función de elección.

$\square$

Resumen de últimas equivalencias

Podemos resumir la serie de resultados probados en esta entrada y la anterior mediante el siguiente teorema.

Teorema. Son equivalentes los siguientes resultados

  1. El axioma de elección.
  2. El lema de Tukey-Teichmüller.
  3. Principio maximal de Hausdorff.
  4. El lema de Kuratowski-Zorn.
  5. El teorema del buen orden.

Con esto damos por termnado esl estudio de algunas de las equivalencias más importantes del axioma de elección.

Tarea moral

  1. Sea $(X,\leq)$ un conjunto parcialmente ordenado en el que cualquier cadena tiene una cota superior. Muestra que para cada $a\in X$ existe un elemento $\leq-$maximal $x\in X$ tal que $a\leq x$.
  2. Sea $(L,\leq)$ un conjunto linealmente ordenado. Prueba que existe un conjunto $W\subseteq L$ tal que $\leq$ es un buen orden para $W$ y tal que para cada $x\in L$ existe $y\in W$ tal que $x\leq y$.
  3. Sea $X$ cualquier conjunto infinito. Prueba que $X$ puede ser bien ordenado de tal forma que $X$ no tenga máximo. Prueba también que $X$ puede ser bien ordenado de tal forma que tenga un máximo.

Más adelante…

En la siguiente y última entrada veremos una aplicación del axioma de elección relevante en álgebra lineal.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Bases para cualquier espacio vectorial

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Lo que haremos en esta última entrada es utilizar el axioma de elección para probar un resultado muy conocido en álgebra lineal: que todo espacio vectorial tiene una base. Para comprender algunos de los términos que utilizaremos en esta sección puedes consultar el curso de Álgebra Lineal I disponible aquí en el blog.

Recordatorio de definiciones

Daremos un breve recordatorio sobre qué quiere decir que un subconjunto arbitrario (finito o no) de un espacio vectorial sea generador, linealmente independiente o base.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ y $S\subseteq V$. Decimos que $S$ es generador si para cualquier $v\in V$ existe una cantidad finita de vectores $v_1,\ldots,v_n$ en $V$ y de escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ en $F$ tales que $$v=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n.$$

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ y $L\subseteq V$. Decimos que $L$ es linealmente independiente si para cualquier elección finita de vectores distintos $v_1,\ldots,v_n$ en $L$ y escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$, la igualdad $$0=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n$$ implica que $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ y $B\subseteq V$. Decimos que $B$ es una base de $V$ si $B$ es generador y linealmente independiente.

Todo espacio vectorial tiene una base

Demostraremos el siguiente resultado

Teorema. Todo espacio vectorial tiene una base.

Demostración.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Lo que queremos mostrar es que existe un subconjunto $B$ de $V$ que genera a $B$ y que es linealmente independiente.

Si $V=\set{0}$, entonces $\emptyset$ es una base para $V$. Supongamos ahora que $V$ tiene al menos dos vectores distintos. Sea $\mathcal{F}=\set{L\subseteq V:L\ \textnormal{es un conjunto linealmente independiente}}$. Notemos que $\mathcal{F}$ es no vacío. En efecto, sea $v\in V$ un elemento distinto del vector cero. Luego, $\set{v}$ es linealmente independiente, por lo que $\set{v}\in\mathcal{F}$.

Lo que haremos ahora es probar que $\mathcal{F}$ es una familia de conjuntos de carácter finito. Sea $L$ un conjunto tal que $L\in\mathcal{F}$. Luego, $L$ es linealmente independiente y, por tanto, cualquier subconjunto de $L$ es linealmente independiente, en particular todos los subconjuntos finitos de $L$ son linealmente independientes. En consecuencia, cualquier subconjunto finito de $L$ pertence a $\mathcal{F}$.

Ahora, sea $L$ un conjunto tal que todo subconjunto finito de $L$ pertenece a $\mathcal{F}$. Para cualquier elección de vectores distintos $v_1,\ldots,v_n$ tenemos entonces que $\{v_1,\ldots,v_n\}$ es linealmente independiente. Pero entonces cualquier elección de escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ tales que $$0=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n$$ cumple que $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$. Concluimos entonces que $L$ es linealmente independiente. Por tanto, $L\in\mathcal{F}$. Esto demuestra que $\mathcal{F}$ es una familia de conjuntos de carácter finito.

Ahora, por el axioma de elección (en la versión de lema de Tukey-Teichmüller) toda familia no vacía de carácter finito tiene un elemento $\subseteq$-maximal. Sea $B$ un elemento $\subseteq$-maximal en $\mathcal{F}$. Afirmamos que $B$ es una base para $V$. Como $B$ es linealmente independiente, sólo basta probar que $B$ genera a $V$.

Procedamos por contradicción y supongamos que $B$ no genera a $V$. Sea $v\in V$ que no esté en el espacio generado por $B$. Entonces $B\cup\set{v}$ sería un subconjunto de $V$ linealmente independiente que contiene propiamente a $B$ (ver, por ejemplo la última proposición en la entrada Conjuntos generadores e independencia lineal). ¡Esto contradice la maximalidad de $B$ con respecto a la contención en $\mathcal{F}$!

Así, $B$ es linealmente independientes y generador, y por lo tanto es una base de $V$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes resultados presentan algunos refinamientos del resultado mencionado. Por ejemplo, enuncian que «cualquier base parcial se puede completar» a una base, o que «de cualquier conjunto generador se puede extraer una base», etc.

  1. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $K$. Muestra que todo conjunto linealmente independiente está contenido en una base de $V$.
  2. Sea $V$ un espacio vectorial. Muestra que si $S$ es un subconjunto generador de $V$, entonces existe $\beta\subseteq S$ tal que $\beta$ es una base para $V$.
  3. Sea $V$ un espacio vectorial con base $\beta$. Si $S$ es un conjunto linealmente independiente, muestra que existe un subconjunto $S_1$ de $\beta$ tal que $S\cup S_1$ es una base para $V$.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»