Ahora que hemos definido a la suma en el conjunto de los naturales, podemos definir el producto, pues este se refiere a sumar cierta cantidad de veces un número. De modo que el producto se definirá con ayuda de la suma.

Producto

Utilizando el teorema de recursión se puede mostrar, al igual que con la operación suma, que existe una única función $\cdot: \mathbb{N}\times\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, denotada por $\cdot(m,n)=m\cdot n$, que satisface las siguientes condiciones:

1. $0\cdot n=0$ para cualquier $n\in \mathbb{N}$,
2. $s(m)\cdot n= (m\cdot n)+m$.

Dado que seguimos trabajando con conjuntos y hemos definido una nueva operación binaria, podemos preguntarnos si esta operación conmuta, es asociativa o si cumple alguna otra propiedad tal como lo hace el producto cartesiano y la suma en los naturales. Además veremos que esta operación se distribuye con la suma. (Ver suma en los naturales).

Distributividad del producto sobre la suma

Teorema: Para cualesquiera $m,n,k\in \mathbb{N}$, $m\cdot(n+k)=m\cdot n+ m\cdot k$.

Demostración: Procederemos por inducción sobre $m$ y dejaremos fijos a $n$ y $k$.

Base de inducción: Si $m=0$, $0\cdot(n+k)=0=0+0=(0\cdot n)+(0\cdot k)$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que se cumple para $m$, es decir, $m\cdot(n+k)= (m\cdot n)+(m\cdot k)$.

Paso inductivo: Veamos que se cumple para $m+1$, es decir, $(m+1)\cdot(n+k)=(m+1)\cdot n+(m+1)\cdot k$.

\begin{align*}
(m+1)\cdot (n+ k)&=m\cdot (n+ k)+(n+ k) \tag{Definición $\cdot$}\\
&= (m\cdot n+m\cdot k)+(n+ k) \tag{Hipótesis de inducción}\\
&= ((m\cdot n)+n)+((m\cdot k)+k)\tag{Conmutatividad y asociatividad de $+$}\\
&= (m+1)\cdot n+(m+1)\cdot k \tag{Definición $\cdot$}
\end{align*}

Por lo tanto, $m\cdot(n+k)=m\cdot n+m\cdot k$ para cualesquiera $m, n, k\in \mathbb{N}$.

$\square$

Conmutatividad del producto

Para demostrar que el producto es conmutativo primero vamos a demostrar los siguientes lemas:

Lema 1: Para cualquier $n\in \mathbb{N}$, $n\cdot 0=0$.

Demostración:

Procederemos por inducción sobre $n$.

Base de inducción: Si $n=0$, tenemos que $0\cdot 0=0$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $k\cdot 0=0$.

Paso de inductivo: Veamos que se cumple para $k+1$, es decir, $(k+1)\cdot 0=0$.

\begin{align*}
(k+1)\cdot 0 &=(k\cdot 0)+0\tag{Definición $\cdot$}\\
&= 0+0\tag{Hipótesis de inducción}\\
&= 0\tag{Propiedad $+$}
\end{align*}

Por lo tanto, $n\cdot 0=0$, para cualquier $n\in \mathbb{N}$.

$\square$

Lema 2: Para cualquier $n\in \mathbb{N}$, $n\cdot 1=n$.

Demostración:

Procederemos por inducción sobre $n$.

Base de inducción: Si $n=0$, tenemos que $0\cdot 1= 0$ por la definición de $\cdot$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $k\cdot 1=k$.

Paso de inductivo: Veamos que se cumple para $k+1$, es decir, $(k+1)\cdot 1=k+1$.

\begin{align*}
(k+1)\cdot 1&=(k\cdot 1)+1\tag{Definición $\cdot$}\\
&= k+1 \tag{Hipótesis de Inducción}
\end{align*}

Por lo tanto, para cualquier $n\in \mathbb{N}$, $n\cdot 1=n$.

$\square$

Teorema: Para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, $n\cdot m=m\cdot n$.

Demostración:

Por inducción sobre $n$.

Base de inducción: Si $n=0$, entonces $0\cdot n=0=n\cdot 0$. (Lo probamos por inducción en el lema 1).

Hipótesis de inducción: Supongamos que para $k$ se cumple que $n\cdot k=k\cdot n$.

Paso inductivo: Veamos que para $k+1$ se satisface que $n\cdot (k+1)= (k+1)\cdot n$.

\begin{align*}
(k+1)\cdot n&= (k\cdot n)+n\tag{Definición $+$}\\
&= (n\cdot k)+n\tag{Hipótesis de Inducción}\\
&= (n\cdot k)+(n\cdot 1) \tag{Lema 2}\\
&= n\cdot (k+1) \tag{Distributividad}
\end{align*}

Por lo tanto, $\cdot$ es conmutativo.

$\square$

Asociatividad del producto

Teorema: Para cualesquier $m,n,k\in \mathbb{N}$, $m\cdot(n\cdot k)=(m\cdot n)\cdot k$.

Demostración: Procederemos por inducción sobre $m$ y dejaremos fijos a $n$ y $k$.

Base de inducción: Si $m=0$, $0\cdot(n\cdot k)=0=(0\cdot n)\cdot k$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que se cumple para $m$, es decir, $m\cdot(n\cdot k)= (m\cdot n)\cdot k$

Paso inductivo: Veamos que se cumple para $m+1$, es decir, $(m+1)\cdot(n\cdot k)=((m+1)\cdot n)\cdot k$.

\begin{align*}
(m+1)\cdot (n\cdot k)&=(m\cdot (n\cdot k))+(n\cdot k) \tag{Definición $\cdot$}\\
&= ((m\cdot n)\cdot k)+(n\cdot k) \tag{Hipótesis de inducción}\\
&=(k\cdot(m\cdot n))+(k\cdot n) \tag{Conmutatividad del producto}\\
&=k\cdot(m\cdot n+n) \tag{Distributividad}\\
&= (m\cdot n+n)\cdot k\tag{Conmutatividad del producto}\\
&= ((m+1)\cdot n)\cdot k\tag{Definición $\cdot$}
\end{align*}

Por lo tanto, $\cdot$ es asociativa.

$\square$

Antes de continuar con el siguiente resultado sobre producto de naturales, es importante hacer la siguiente observación, sencilla pero útil.

Observación: Si $n\in\mathbb{N}$ es un natural distinto de cero, entonces $n+m$ es un natural distinto de $0$ para todo $m\in\mathbb{N}$.

Ley de cancelación

En álgebra, cuando tenemos una ecuación como la siguiente:

$x\cdot z=y\cdot z$,

siempre que $z\not=0$, decimos que $x=y$, esto tiene una justificación y la llamaremos ley de cancelación para el producto. El teorema dice lo siguiente:

Teorema: Sean $n, m, k\in \mathbb{N}$ tal que $k\not=0$. Si $n\cdot k=m\cdot k$, entonces $n=m$.

Para probar dicho teorema utilizaremos la siguiente serie de resultados:

Proposición: Si $n,m\in\mathbb{N}$ son tales que $n\leq m$, entonces, existe $t\in\mathbb{N}$ tal que $n+t=m$.

Demostración (Proposición):

Mostraremos por inducción sobre $m$, que para todo $n\leq m$, existe $t_n\in \mathbb{N}$ tal que $n+t_n=m$.

Base de inducción: $k=0$. Si $n\leq 0$, entonces $n=0$, pues recordemos que dos números naturales $n$ y $m$ satisfacen $n\leq m$ si, y sólo si, $n\in m$ o $n=m$. Así, si $n\leq 0$, entonces $n\in 0$ o $n=0$, pero dado que el enunciado $n\in 0$ no puede ser cierto pues $0=\emptyset$ no tiene elementos, se sigue que $n=0$ tiene que ser verdadero. De este modo, si $n\leq 0$, entonces $n=0$ y tomando $t=0$ se tiene que $n+t=0+0=0$. Por lo tanto, para todo $n\leq 0$ existe $t_n\in\mathbb{N}$ tal que $n+t_n=0$. Por lo tanto, la proposición es cierta para $k=0$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $k\in\mathbb{N}$ se satisface que para todo $n\leq k$, existe $t_n\in\mathbb{N}$ tal que $n+t_n=k$.

Paso inductivo: Veamos que se cumple para $s(k)$. Sea $n\leq s(k)$. Luego, $n\in s(k)$ o $n=s(k)$. Si $n=s(k)$, entonces tomamos $t=0$ y se tiene que $n+t=s(k)+0=s(k)$. Supongamos ahora que $n\in s(k)$.

Como $n\in s(k)$, entonces $n=k$ o $n\in k$, es decir, $n\leq k$. Luego, por hipótesis de inducción, existe $t_n\in\mathbb{N}$ tal que $n+t_n=k$. De este modo, si tomamos $s(t_n)\in\mathbb{N}$ se tiene que $n+s(t_n)=s(t_n)+n=s(t_n+n)=s(k)$.

En cualquier caso para $n$ hemos concluido que existe $t_n\in\mathbb{N}$ tal que $n+t_n=s(k)$.

Por lo tanto, la proposición es verdadera.

$\square$

Proposición. Si $n\in\mathbb{N}$, entonces $n\leq n+t$ para todo $t\in\mathbb{N}$.

Demostración (Proposición).

Sea $n\in\mathbb{N}$. Probaremos por inducción sobre $t$ que $n\leq n+t$ para todo $t\in\mathbb{N}$.

Base: $t=0$. Para $t=0$ tenemos que $n+t=n+0=n$, por lo que es verdad que $n\leq n+t$.

Hipótesis de inducción: supongamos que para algún $t\in\mathbb{N}$, $n\leq n+t$.

Bajo esta hipótesis veamos que $n\leq n+s(t)$. Primero, notemos que $n+s(t)=s(t)+n$ por la conmutatividad de la suma. Luego, por definición de la suma, $s(t)+n=s(t+n)$. Dado que $s(t+n)=(t+n)\cup\set{t+n}$, entonces $n+t\in s(t+n)$. Ahora bien, por hipótesis de inducción, $n\leq n+t$, es decir, $n=n+t$ o $n\in n+t$. Si $n=n+t$, entonces $n\in s(n+t)$, ya que $n+t\in s(n+t)$, por lo que $n\leq s(n+t)=n+s(t)$.

Ahora, si $n\in n+t$, entonces, $n\in s(n+t)$ por transitividad de la pertenencia en los naturales, por lo que también se cumple que $n\leq n+s(t)$.

En cualquier caso concluimos que $n\leq n+s(t)$, lo que concluye la prueba de la proposición.

$\square$

El último resultado que veremos, antes de iniciar con la demostración de la ley de la cancelación del producto, dice lo siguiente:

Corolario: Si $n\in\mathbb{N}$ es distinto de $0$, entonces $n+t$ es distinto de $0$ para todo $t\in\mathbb{N}$.

Demostración (Corolario):

Sea $n\in\mathbb{N}$ distinto de $0$ y supongamos que $t\in\mathbb{N}$ es arbitrario. Por la proposición anterior, $n\leq n+t$, es decir, $n=n+t$ o $n\in n+t$. Si $n=n+t$, entonces $n+t$ es distinto de $0$ por la hipótesis sobre $n$. Si ahora $n\in n+t$, entonces $n+t$ es distinto de $0$, pues $n+t$ tiene un elemento, el cual es $n$, mientras que el $0$ no tiene elementos. Esto concluye la prueba.

$\square$

Ya que contamos con esta serie de resultados previos podemos dar la demostración de la ley de cancelación del producto.

Demostración: (ley de cancelación del producto)

Probaremos por inducción sobre $k$ (asumiendo $k\geq1$), que si $n$ y $m$ son dos naturales tales que $n\cdot k=m\cdot k$, entonces $n=m$.

Base: $k=1$. Si $n$ y $m$ son dos naturales tales que $n\cdot 1=m\cdot 1$, entonces $n=m$, ya que $n\cdot 1=n$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$ por un resultado visto con anterioridad.

Hipótesis de inducción: supongamos que para algún $k\in\mathbb{N}$, con $k\geq1$, si $n$ y $m$ son naturales tales que $n\cdot k=m\cdot k$, entonces $n=m$.

Veamos ahora que si $n$ y $m$ son naturales tales que $n\cdot s(k)= m\cdot s(k)$, entonces $n=m$. Supongamos pues que $n$ y $m$ son naturales tales que $n\cdot s(k)=m\cdot s(k)$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $n\leq m$. Luego, por una proposición anterior, existe $t\in\mathbb{N}$ tal que $n+t=m$.

Tomemos al natural $t$ tal que $n+t=m$ y retomemos la igualdad $n\cdot s(k)=m\cdot s(k)$. Luego, $n\cdot s(k)+t=(n\cdot k+n)+t$ por definición de producto y, por asociatividad y conmutatividad de la suma, tenemos que $(n\cdot k+n)+t=n\cdot k+(n+t)=n\cdot k+m$. Así pues, como $n\cdot s(k)+t=m\cdot s(k)+t$, entonces $m+n\cdot k=m\cdot s(k)+t=(m\cdot k+m)+t=m+(m\cdot k+t)$ y, utilizando la ley de cancelación de la suma, tenemos que $n\cdot k=m\cdot k+t$. Luego, ya sabemos que $n\cdot k=m\cdot k+t$, por lo que $n\cdot k+t\cdot k=(m\cdot k+t)+t\cdot k$, de donde $(n+t)\cdot k=m\cdot k+(t\cdot k+t)$ por distributividad del producto con respecto a la suma. En consecuencia, $m\cdot k+0=m\cdot k=m\cdot k+t\cdot k+t$ y, utilizando nuevamente la ley de la cancelación de la suma, tenemos que $0=t\cdot k+t$.

Dado que $0=t\cdot k+t$, entonces, necesariamente debe ocurrir que $t\cdot k=0$, pues de lo contrario aplicamos el Corolario anterior y tenemos que $t\cdot k+t\not=0$ lo cual es una contradicción. Por tanto, $t\cdot k=0$.

Dado que $t\cdot k=k\cdot t$ y $0\cdot t=0$, entonces $0\cdot k=t\cdot k$ y, aplicando la hipótesis de inducción, tenemos que $0=t$, por lo que $m=n+t=n+0=n$ como queríamos probar.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta sección:

• Demuestra que para cualesquiera $m,n,l\in \mathbb{N}$ tal que $l\not=0$, si $m<n$, entonces $l\cdot m<l\cdot n$.
• Demuestra que para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, si $m\cdot n=0$, entonces $m=0$ o $n=0$.
• Usa el teorema de recursión para probar la existencia y unicidad de una función que satisfaga lo siguiente:
  $0!=1$,
  $1!=1$,
  $2!=2\cdot 1$,
  $\vdots$
  $n!=n\cdot (n-1)\cdots 2\cdot 1$

Más adelante

Con esta entrada concluimos el contenido acerca de números naturales, pero todos estos nuevos conocimientos nos permitirán construir nuevos conjuntos como el de los enteros y los racionales. Además, hablaremos acerca de cardinalidad y nos será de gran ayuda conocer al conjunto de los números naturales.

Enlaces

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