Introducción.

Lo que haremos en esta última entrada es utilizar el axioma de elección para probar un resultado muy conocido en Álgebra lineal, específicamente, el hecho de que todo espacio vectorial tiene una base. Para comprender algunos de los términos que utilizaremos en esta sección puedes consultar el curso de https://blog.nekomath.com/al1/

Teorema. Todo espacio vectorial tiene una base.

Demostración.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $K$. Lo que queremos mostrar es que existe un subconjunto $S$ de $V$ que genera a $V$ y que es linealmente independiente.

Si $V=\set{0}$, entonces $\emptyset$ es una base para $V$. Supongamos ahora que $V$ tiene al menos dos vectores distintos. Sea $\mathcal{F}=\set{S\subseteq V:S\ \textnormal{es un conjunto linealmente independiente}}$. Notemos que $\mathcal{F}$ es no vacío. En efecto, sea $v\in V$ un elemento distinto del vector cero. Luego, $\set{v}$ es linealmente independiente, por lo que $\set{v}\in\mathcal{F}$.

Lo que haremos ahora es probar que $\mathcal{F}$ es una familia de conjuntos de carácter finito. Sea $A$ un conjunto tal que $A\in\mathcal{F}$. Luego, $A$ es linealmente independiente y, por tanto, cualquier subconjunto de $A$ es linealmente independiente, en particular todos los subconjuntos finitos de $A$ son linealmente independientes. En consecuencia, cualquier subconjunto finito de $A$ pertence a $\mathcal{F}$. Ahora, sea $A$ un conjunto tal que todo subconjunto finito de $A$ pertenece a $\mathcal{F}$. Si $a\in A$, entonces $\set{a}\in\mathcal{F}$, por lo que $\set{a}$ es un subconjunto de $V$ linealmente independiente. En particular $a\in V$ y, por tanto, $A\subseteq V$. Ahora, sean $a_1,a_2,\ldots,a_n\in A$ cualesquiera elementos y $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ elementos en $K$ tales que \[\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\cdots+\alpha_na_n=0.\]Luego, como $A_0=\set{a_1,a_2,\ldots,a_n}$ es un subconjunto finito de $A$, entonces $A_0\in\mathcal{F}$, es decir, $A_0$ es un subconjunto de $V$ linealmente independiente y, por tanto, los escalares $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ deben ser todos $0$, ya que al ser $a_1,a_2,\ldots,a_n$ vectores linealmente independientes, la única combinación lineal de estos vectores que da como resultado al vector $0$ es la combinación lineal trivial, la cual está dada por $0a_1+0a_2+\cdots+0a_n=0$. Así pues, como los elementos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ fueron arbitrarios en $A$ concluimos que $A$ es linealmente independiente. Por tanto, $A\in\mathcal{F}$. Esto demuestra que $\mathcal{F}$ es una familia de conjuntos de carácter finito.

Ahora, por el axioma de elección toda familia no vacía de carácter finito tiene un elemento $\subseteq-$maximal. Sea $S$ un elemento $\subseteq-$maximal en $\mathcal{F}$. Resulta que $S$ es una base para $V$. En efecto y, como $S$ es linealmente independiente, sólo basta probar que $S$ genera a $V$.

Sea $v\in V$ cualquier elemento. Si $v$ no es un elemento en el subespacio generado por $S$, entonces $S\cup\set{v}$ sería un subconjunto linealmente independiente que contiene propiamente a $S$, lo cual contradice la maximalidad de $S$ con respecto a la contención en $\mathcal{F}$. Así pues, $v$ debe ser un vector en el subespacio generado por $S$, lo que muestra que $S$ genera a $V$ y, por tanto, $S$ es una base para $V$.

$\square$

Tarea moral

• Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $K$. Muestra que todo conjunto linealmente independiente está contenido en una base de $V$.
• Sea $V$ un espacio vectorial. Muestra que si $S$ es un subconjunto generador de $V$, entonces existe $\beta\subseteq S$ tal que $\beta$ es una base para $V$.
• Sea $V$ un espacio vectorial con base $\beta$. Si $S$ es un conjunto linealmente independiente, muestra que existe un subconjunto $S_1$ de $\beta$ tal que $S\cup S_1$ es una base para $V$.