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Geometría Analítica I: Repaso de conceptos geométricos elementales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En esta entrada empezamos a hacer un repaso de algunos conceptos geométricos elementales que probablemente has encontrado a lo largo de tu formación. Por un lado, esto puede ayudarte a recordar objetos geométricos específicos y resultados con los que ya te has encontrado. Además, es importante revisar nuevamente estos conceptos pues a partir de ahora necesitamos ser muy precisos con el lenguaje. Por ejemplo, será necesario que distingamos apropiadamente los segmentos, rectas y rayos entre ellos. Finalmente, esta entrada te ayudará a acostumbrarte a la notación que usamos en geometría, es decir, qué tipos de etiquetas le ponemos a cada tipo de objeto geométrico.

Antes de comenzar, hay una aclaración importante por hacer. El repaso que haremos de geometría es un repaso intuitivo. Más adelante, cuando asignemos coordenadas al plano y comencemos a hablar de vectores, entonces ahora sí ya estaremos definiendo nuestros conceptos geométricos de manera formal y tendremos que ser más cuidadosos con la argumentación lógica.

Objetos geométricos básicos

Puedes pensar a un punto como lo que obtienes al colocar la punta del lapiz sobre el papel. Es una figura que tiene una única posición. A los puntos usualmente los denotaremos con letras mayúsculas: $A$, $B$, $C$, $P$, $Q$, $R$, etc.

Un segmento es lo que se obtiene al unir dos puntos directamente el uno al otro. Otra manera de pensarlo es que se tiene que ir de un punto al otro de la manera «más rápida» o «más derecha» posible. A los dos puntos les llamamos los extremos del segmento. Si los nombres de los extremos de un segmento son $A$ y $B$, entonces al segmento lo nombramos $\overline{AB}$. En caso de tener que referirnos al segmento sin usar sus extremos, le podemos dar nombre con letra minúscula, por ejemplo $r, s, t$, etc.

Cuando extendemos un segmento indefinidamente más allá de los dos puntos que lo definen, obtenemos una recta. Una recta queda definida por cualesquiera dos puntos distintos en ella. Si una recta tiene a los puntos distintos $A$ y $B$, entonces llamamos $AB$ a la recta. Aunque sea imposible de apreciarlo en el papel, en pizarrón o en la pantalla de una computadora, las rectas se extienden indefinidamente. Cuando no queremos usar puntos para referirnos a las rectas, las podemos llamar con letras minúsculas como $a,b,c,\ell$, etc.

Si sólo extendemos el segmento más allá de sólo uno de los puntos que lo definen, entonces a la figura que obtenemos le llamamos un rayo. Observa que si tenemos dos puntos $A$ y $B$, entonces es distinto el rayo que extiende al segmento más allá de $B$, que el que extiende al segmento más allá de $A$. Al primero le llamamos el rayo desde $A$ por $B$ (como el que se muestra en la figura). Al segundo le llamamos el rayo desde $B$ por $A$. A los rayos, como a los segmentos, los podemos llamar con letras minúsculas como $r,s,t$,etc.

Cuando dos rectas, segmentos o rayos pasan por un mismo punto, decimos que se intersectan en dicho punto. En la siguiente figura, las rectas $\ell$ y $m$ se intersectan en el punto $P$.

Si $P$ es un punto de intersección de dos rectas distintas $\ell$ y $m$, entonces alrededor de $P$ se forman cuatro regiones. A cada una de las $4$ aperturas entre ambas rectas les llamamos un ángulo entre ellas. De manera similar podemos definir ángulos entre segmentos o rayos que se intersecten, o cualquier mezcla de estos objetos. Los ángulos usualmente los denotamos con letras griegas, como $\alpha, \beta, \gamma, \theta$, etc. (alpha, beta, gamma, theta, etc.).

También podemos referirnos a ellos mediante un punto $A$ en $\ell$, el punto $B$ de intersección y un punto $C$ en $m$, en cuyo caso nos referiremos al ángulo como $\angle ABC$.

Triángulos

Es sumamente inusual que al colocar tres puntos $A$, $B$ y $C$ suceda que haya una misma recta que pase por los tres. Cuando esto pasa, decimos que los puntos están alineados o que son colineales.

Si tomamos tres puntos no alineados $A$, $B$ y $C$, entonces podemos dibujar tres segmentos $BC$, $CA$ y $AB$. A la figura conformada por los tres puntos y los tres segmentos le llamamos un triángulo y usualmente lo denotamos por $\triangle ABC$. A $A$, $B$ y $C$ les llamamos los vértices del triángulo. A los segmentos $BC$, $CA$ y $AB$ les llamamos los lados del triángulo. Usualmente nombramos a estos lados $a,b,c$ para que cada lado use la misma letra que el vértice opuesto (pero en minúscula). A los ángulos dentro del triángulo en $A$, $B$ y $C$ les llamamos usualmente $\alpha, \beta, \gamma$.

Si quisiéramos insistir en llamar triángulo al caso en el que $A$, $B$ y $C$ están una misma recta, insistiremos en llamarlo un triángulo degenerado. En este caso, el triángulo está «apachurrado» y los segmentos que definen los puntos se enciman entre sí.

Mediciones

Parte de la raiz etimológica de la palabra geometría está relacionada con medir. En geometría, nos interesan ciertas magnitudes geométricas asociadas a objetos geométricos. Por el momento, apelaremos a la intuición que has desarrollado con anterioridad para definir estos conceptos pero, como mencionamos arriba, más adelante los formalizaremos.

La distancia entre dos puntos $A$ y $B$ es una magnitud que mide qué tan alejados están los puntos entre sí. Mientras más alejados, mayor distancia entre ellos. Un punto $A$ está a distancia $0$ de sí mismo. Es lo que solías medir con una regla: si colocas un punto en el $0$ de la regla y el otro cae en el número $d$ de la regla, entonces la distancia entre ambos puntos será $d$. Podemos referirnos a la distancia con la letra $d$ y haciendo referencia a los puntos así: $d(A,B)$.

Una magnitud estrechamente relacionada con la distancia es la longitud de un segmento, y se puede pensar exactamente como la distancia entre sus extremos. Mientras más largo sea un segmento (intuitivamente, mientras más tengamos que dibujar para hacerlo), mayor será su longitud. Nos referiremos a la longitud de un segmento $AB$ con la expresión $|AB|$.

Otra medida importante es la de ángulo, que nos indica qué tan abierta la región del msimo nombre definida por dos rectas (o segmentos, o rayos), como la definimos arriba. A mayor apertura en el vértice del ángulo, mayor será la magnitud que le asociamos. Así, típicamente no hacemos distinción entre la región y su apertura, ni en nombre, ni en notación.

Finalmente, también nos interesa una medida de qué tan grande es la región contenida en una figura geométrica en el plano. A esta medida le llamamos el área de la región.

Transformaciones geométricas

Otra noción muy importante en la geometría analítica es la de «transformación». Esto se refiere a alterar nuestros objetos geométricos de alguna manera. Típicamente, esta manera es «amigable» en algún sentido, por ejemplo, respeta distancias o proporciones. Las siguientes son las transformaciones geométricas con las que debes estar más familiarizado de manera intuitiva.

Las traslaciones consisten en mover un objeto de lugar, pero simplemente desplazándolo, sin girarlo.

Las rotaciones consisten en girar un objeto geométrico alrededor de un punto que llamamos el centro de rotación. Para saber cuánto rotamos, usamos un ángulo de rotación. En la siguiente figura puedes ver una rotación con centro $O$ y ángulo $\alpha$.

Las reflexiones consisten en tomar una recta $\ell$ y usarla como espejo, para reflejar en él el objeto que nos interesa.

También consideraremos los reescalamientos, que pueden ser expansiones o contracciones. Tras aplicarlas, obtenemos un objeto geométrico más grande o más pequeño, pero que preserva las proporciones. Para definirlas, usualmente necesitamos un centro de reescalamiento $O$ y un factor de reescalamiento $r$. A continuación se muestran algunos ejemplos con con reescalamientos $2$, $1/2$ y $-1$, con la figura de sombreado claro como el objeto original. ¡El reescalamiento de $-1$ voltea la figura alrededor de $O$!

Hay más transformaciones geométricas, como las proyecciones o cizallamientos. Sin embargo, por ahora no hablaremos de ellas.

Aunque ahora hemos platicado lo que le hace una transformación a un objeto geométrico particular, usualmente nos interesará lo que le hace a todo el plano.

Más adelante…

En esta entrada repasamos varias nociones básicas de la geometría de una manera intuitiva. Es importante que tengas esta entrada como referencia, pues los nombres que usamos ahora para objetos geométricos, propiedades geométricas y transformaciones, serán los que usaremos más adelante. En las siguientes entradas continuaremos con un repaso de los resultados geométricos principales. Este repaso seguirá siendo intuitivo. Más adelante introduciremos formalidad en nuestro estudio de la geometría analítica.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Repasa la diferencia entre rectas, segmentos y rayos.
  2. Explora la interfaz de GeoGebra para asegurarte de que sepas trazar todo lo que hemos platicado. En caso de que no encuentres la funcionalidad, averigua cómo hacerlo mediante una búsqueda en línea o mediante algún video explicativo.
  3. Copia la siguiente figura en una hoja de papel. Luego, realiza manualmente una rotación de 90 grados alrededor del punto $O$.
  1. Copia la siguiente figura en una hoja de papel. Luego, realiza manualmente una reflexión de la figura con respecto a la recta $\ell$.
  1. Ahora vamos a trasladar al gato y a la casa. Pero tienes que hacerlo repetidamente. Haz la figura en tu cuaderno de modo que quede dentro de un cuadrado de 4cm de lado. Luego, repetidamente traslada ese cuadrado 5cm a la derecha para poner todas las copias que puedas de la figura hasta que se te acabe la hoja. Entonces, las transformaciones geométricas las podemos aplicar una y otra vez.

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Geometría Analítica I: Intersección de rectas en forma normal

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Una pregunta geométrica muy natural es determinar cómo es la intersección de dos objetos geométricos, es decir, cuales son aquellos puntos que pertenecen a ambos. En el caso de las rectas, eso tiene una respuesta sencilla: la intersección de dos rectas puede ser vacía (cuando son paralelas), o bien un único punto, o bien una recta (cuando son la misma recta).

Como veremos a continuación, esto es sencillo de formalizar utilizando la forma normal de las rectas. Más aún, la forma normal nos ayudará a detectar mediante una cuenta sencilla exactamente en cuál de los casos anteriores nos encontramos. Así mismo, en caso de estar en la caso de que la intersección sea un único punto, también nos dará un procedimiento para encontrar sus coordenadas.

¿Cuándo dos vectores son paralelos?

Antes de estudiar concretamente la intersección de dos rectas, vamos a apoyarnos de la intuición que hemos desarrollado. Si tenemos rectas en forma normal correspondientes a vectores normales $u$ y $v$, entonces sabemos que las rectas son perpendiculares, respectivamente a los vectores $u$ y $v$. Si estos vectores están en la misma dirección, entonces las rectas también. Por ello, las rectas serán paralelas y entonces la intuición nos dice que o bien no se intersectarán, o bien serán la misma recta. Parece ser entonces importante encontar un criterio algebraico para saber cuándo dos vectores son paralelos o no.

Consideremos dos vectores no nulos $u=(u_1,u_2)$ y $v=(v_1,v_2)$. ¿Cuándo estos vectores son paralelos? Como los vectores están anclados en el origen, esto sucede únicamente cuando o bien $u$ es múltiplo escalar de $v$, o bien $v$ es múltiplo escalar de $u$. De esto sale el siguiente criterio algebraico:

Proposición. Tomemos dos vectores no nulos $u=(u_1,u_2)$ y $v=(v_1,v_2)$. Estos vectores son paralelos si y sólo si la expresión $u_1v_2-u_2v_1$ es igual a cero.

Demostración. Demostraremos la proposición en ambas direcciones.

$(\Rightarrow)$ Supongamos que los vectores $u=(u_1,u_2)$ y $v=(v_1,v_2)$ son paralelos. Si $u$ y $v$ son paralelos, entonces uno es un múltiplo escalar del otro. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $u = k v$ para algún escalar $k \in \mathbb{R}$. Esto significa que:

$$u_1 = kv_1 \quad \text{y} \quad u_2 = kv_2.$$

Sustituyendo estas expresiones en $u_1v_2-u_2v_1$, obtenemos:

\begin{align*} u_1v_2-u_2v_1 &= (kv_1)v_2 – (kv_2)v_1 \\ &= kv_1v_2 – kv_2v_1 \\ &= 0. \end{align*}

Por lo tanto, si $u$ y $v$ son paralelos, entonces $u_1v_2-u_2v_1 = 0$.

$(\Leftarrow)$ Ahora supongamos que $u_1v_2-u_2v_1 = 0$. Queremos demostrar que $u$ y $v$ son paralelos. La condición $u_1v_2-u_2v_1 = 0$ se puede reescribir como $u_1v_2 = u_2v_1$.

Como $v$ no es el vector nulo, tenemos los siguientes casos:

  • Caso 1: $v_1 \neq 0$. De la igualdad $u_1v_2 = u_2v_1$, podemos despejar $u_2$ como $u_2 = \frac{u_1v_2}{v_1}$. Definamos $k = \frac{u_1}{v_1}$. Entonces, $u_1 = kv_1$. Sustituyendo $u_1$ en la expresión para $u_2$: $$u_2 = \frac{(kv_1)v_2}{v_1} = kv_2.$$ Así, tenemos $u_1 = kv_1$ y $u_2 = kv_2$, lo que implica que $$u = (u_1, u_2) = (kv_1, kv_2) = k(v_1, v_2) = kv.$$ Por lo tanto, $u$ es un múltiplo escalar de $v$, y son paralelos.
  • Caso 2: $v_1 = 0$. Dado que $v \neq (0,0)$, si $v_1 = 0$, entonces $v_2 \neq 0$. La condición $u_1v_2 = u_2v_1$ se convierte en $u_1v_2 = u_2 \cdot 0$, lo que implica $u_1v_2 = 0$. Como $v_2 \neq 0$, debemos tener $u_1 = 0$. En este subcaso, los vectores son $v=(0,v_2)$ y $u=(0,u_2)$. Estos vectores son paralelos pues ambos están en el eje $y$. Más concretamente, $u=\frac{u_2}{v_2} v$.

En ambos casos, si $u_1v_2-u_2v_1 = 0$, los vectores $u$ y $v$ son paralelos.

$\square$

Así, la expresión $u_1v_2-u_2v_1$ parece ser muy importante para nuestro problema de determinar la intersección de dos rectas. En efecto, en las siguientes secciones volverá a aparecer.

Intersección de rectas en forma normal

La siguiente proposición nos dice exactamente cómo es la intersección de dos rectas una vez que las tenemos en forma normal.

Proposición. Sean $a_1,a_2$ vectores no nulos de $\mathbb{R}^2$ y $b_1,b_2$ número reales. Consideremos las siguientes dos rectas en forma normal:

\begin{align*}
\ell_1 &= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: a_1 \cdot (x,y) = b_1\} \\
\ell_2 &= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: a_2 \cdot (x,y) = b_2\}.
\end{align*}

La intersección de estas rectas tiene las siguientes posibilidades:

  • Si $a_1$ y $a_2$ no son vectores paralelos, entonces la intersección de $\ell_1$ y $\ell_2$ es única.
  • Si $a_1$ y $a_2$ son vectores paralelos, entonces $a_1=ka_2$ para algún real $k$:
    • Si $b_1=kb_2$, entonces ambas ecuaciones representan la misma recta y entonces la intersección es ella misma.
    • Si $b_1\neq kb_2$, entonces las rectas son distintas y paralelas y por lo tanto tienen intersección vacía.

Demostración. Vayamos por casos. Nombremos $a_1=(a_{11},a_{12})$ y $a_2=(a_{21},a_{22})$.

Las ecuaciones de las rectas son:

$$
\begin{cases}
a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\
a_{21}x + a_{22}y = b_2
\end{cases}
$$

Esto es un sistema de ecuaciones lineales. Analicemos las posibilidades:

  • Caso 1: $a_1$ y $a_2$ no son vectores paralelos. Según la proposición anterior, dos vectores $a_1=(a_{11},a_{12})$ y $a_2=(a_{21},a_{22})$ no son paralelos si y sólo si la expresión $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ es distinta de cero. Multiplicando la primera ecuación por $a_{21}$ y la segunda ecuación por $a_{11}$ obtenemos lo siguiente:
    \begin{align*} a_{21}(a_{11}x + a_{12}y) &= a_{21}b_1 \\ a_{11}(a_{21}x + a_{22}y) &= a_{11}b_2 \end{align*}
    Lo que resulta en el sistema equivalente:
    \begin{align*} a_{11}a_{21}x + a_{12}a_{21}y &= a_{21}b_1 \\ a_{11}a_{21}x + a_{11}a_{22}y &= a_{11}b_2 \end{align*}
    Restando la primera ecuación de la segunda, eliminamos $x$ y obtenemos:
    \begin{align*} (a_{11}a_{21}x + a_{11}a_{22}y) – (a_{11}a_{21}x + a_{12}a_{21}y) &= a_{11}b_2 – a_{21}b_1 \\ (a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21})y &= a_{11}b_2 – a_{21}b_1 \end{align*}
    Dado que $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \neq 0$, podemos despejar $y$ para obtener un valor único. De manera análoga, se puede encontrar un valor único para $x$. Esto demuestra que existe una única solución $(x,y)$ para el sistema, lo que significa que la intersección de $\ell_1$ y $\ell_2$ es única.
  • Caso 2: $a_1$ y $a_2$ son vectores paralelos, y $b_1=kb_2$ para algún $k \in \mathbb{R}$. Si $a_1$ y $a_2$ son paralelos, entonces $a_1 = ka_2$ para algún escalar $k \in \mathbb{R}$ (ya que $a_1$ y $a_2$ son vectores no nulos). Esto implica que $a_{11} = ka_{21}$ y $a_{12} = ka_{22}$. La ecuación de la recta $\ell_1$ es $a_{11}x + a_{12}y = b_1$. Sustituyendo las expresiones para $a_{11}$ y $a_{12}$ en esta ecuación, obtenemos: \begin{align*} (ka_{21})x + (ka_{22})y &= b_1 \\ k(a_{21}x + a_{22}y) &= b_1 \end{align*} Sabemos que para los puntos en $\ell_2$, se cumple $a_{21}x + a_{22}y = b_2$. Sustituyendo esto en la ecuación anterior, obtenemos $kb_2 = b_1$. Si se cumple la condición $b_1=kb_2$, entonces la ecuación de $\ell_1$ se convierte en $k(a_{21}x + a_{22}y) = kb_2$. Dado que $a_1$ es no nulo, $k$ no puede ser cero. Podemos dividir por $k$ para obtener $a_{21}x + a_{22}y = b_2$. Esta es exactamente la ecuación de la recta $\ell_2$. Por lo tanto, ambas ecuaciones representan la misma recta, y su intersección es la recta completa.
  • Caso 3: $a_1$ y $a_2$ son vectores paralelos, y $b_1 \neq kb_2$ para algún $k \in \mathbb{R}$. Similar al Caso 2, si $a_1$ y $a_2$ son paralelos, entonces $a_1 = ka_2$ para algún $k \in \mathbb{R}$. Esto lleva a que la ecuación de $\ell_1$ pueda escribirse como $k(a_{21}x + a_{22}y) = b_1$. Si existiera un punto $(x,y)$ en la intersección de $\ell_1$ y $\ell_2$, debería satisfacer ambas ecuaciones. Es decir, $a_{21}x + a_{22}y = b_2$ (por ser un punto de $\ell_2$) y $k(a_{21}x + a_{22}y) = b_1$ (por ser un punto de $\ell_1$). Sustituyendo la primera en la segunda, obtendríamos $kb_2 = b_1$. Sin embargo, la condición de este caso es que $b_1 \neq kb_2$. Esto significa que no puede haber ningún punto $(x,y)$ que satisfaga ambas ecuaciones simultáneamente. Por lo tanto, las rectas son paralelas y distintas, y su intersección es vacía.

$\square$

Ejemplo de rectas iguales

Veamos ahora ejemplos de cada una de estas posibilidades:

Ejemplo. Encuentra la intersección de las rectas dadas por las siguientes ecuaciones.

\begin{align*}
(1,-2)\cdot (x,y) = 3\\
(-2,4) \cdot (x,y) = -6.
\end{align*}

Solución. Identifiquemos los vectores normales $a_1$ y $a_2$, y los escalares $b_1$ y $b_2$:

$$a_1 = (1,-2), \quad b_1 = 3$$

$$a_2 = (-2,4), \quad b_2 = -6$$

Primero, verificamos si los vectores normales $a_1$ y $a_2$ son paralelos. Calculamos la expresión $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$:

\begin{align*} a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} &= (1)(4) – (-2)(-2) \\ &= 4 – 4 \\ &= 0. \end{align*}

Dado que la expresión es cero, los vectores $a_1$ y $a_2$ son paralelos. De hecho, por inspección notamos que $(1,-2) = -\frac{1}{2}(-2,4)$.

Notemos que también sucede que $b_1=3=-\frac{1}{2}6$. Según la proposición, las rectas son entonces la misma. Por lo tanto, la intersección de las dos rectas es la recta misma, $\ell_1$. Podemos escribir la solución como el conjunto de puntos $(x,y)$ que satisfacen $x – 2y = 3$.

$\triangle$

Ejemplo de rectas que no se intersectan

Ejemplo. Encuentra la intersección de las rectas dadas por las siguientes ecuaciones:

\begin{align*}
(3,-4)\cdot (x,y) = 3\\
(-6,8) \cdot (x,y) = -2.
\end{align*}

Solución. Identifiquemos los vectores normales $a_1$ y $a_2$, y los escalares $b_1$ y $b_2$:

$$a_1 = (3,-4), \quad b_1 = 3$$

$$a_2 = (-6,8), \quad b_2 = -2$$

Primero, verificamos si los vectores normales $a_1$ y $a_2$ son paralelos. Calculamos la expresión $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$:

\begin{align*} a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} &= (3)(8) – (-4)(-6) \\ &= 24 – 24 \\ &= 0 \end{align*}

Como obtenemos cero, los vectores $a_1$ y $a_2$ son paralelos. Esto significa que $a_1 = ka_2$ para algún escalar $k$. En efecto, $a_1= -\frac{1}{2} a_2$. Sin embargo, ahora $-\frac{1}{2} b_2 = 1 \neq 3 = b_1$. Esto significa que las rectas son paralelas y distintas.

Por lo tanto, la intersección de las dos rectas es vacía.

$\triangle$

La siguiente figura muestra ambas rectas. En efecto, las rectas parecen ser paralelas.

Ejemplo de rectas que se intersectan en un único punto

Ejemplo. Determina dónde se intersectan la recta paralela a $(3,1)$ que pasa por el punto $(1,1)$ y la recta perpendicular a $(2,2)$ que pasa por el punto $(5,-3)$.

Solución. Para poder usar los resultados de esta entrada, primero pasaremos cada una de estas ecuaciones a forma normal $a \cdot (x,y) = b$.

Recta 1: Paralela a $(3,1)$ y pasa por $(1,1)$.

Si la recta es paralela al vector $(3,1)$, su vector normal $a_1$ debe ser perpendicular a $(3,1)$. Un vector perpendicular a $(3,1)$ es, por ejemplo, $a_1 = (-1,3)$.

La ecuación de la recta es de la forma $-x + 3y = b_1$. Para encontrar $b_1$, sustituimos el punto $(1,1)$ por el que pasa la recta:

$$b_1= -(1) + 3(1) = 2.$$

Así, la primera recta en forma normal es $\ell_1 =\{(-1,3) \cdot (x,y) = 2\}$, correspondiente a la ecuación $-x+3y=2$.

Recta 2: Perpendicular a $(2,2)$ y pasa por $(5,-3)$.

Si la recta es perpendicular al vector $(2,2)$, entonces su vector normal $a_2$ es $(2,2)$.

La ecuación de la recta es de la forma $2x + 2y = b_2$. Para encontrar $b_2$, sustituimos el punto $(5,-3)$ por el que pasa la recta:

$$b_2 = 2(5)+2(-3)=4.$$

Así, la segunda recta en forma normal corresponde a la ecuación $2x+y=4$, que es equivalente a $x+y=2$. Así, podemos ponerle en forma normal como $\ell_2=\{(1,1) \cdot (x,y) = 2\}$.

De este modo, encontrar los puntos de intersección de las rectas corresponde a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} -x + 3y = 2\\ x + y = 2. \end{cases}$$

Identificamos los vectores normales $a_1 = (-1,3)$ y $a_2 = (1,1)$. Veamos si $a_1$ y $a_2$ son paralelos. Para ello, calculamos la expresión $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$:

\begin{align*} a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} &= (-1)(1) – (3)(1) \\ &= -1 – 3 \\ &= -4. \end{align*}

Dado que el resultado no es cero, los vectores $a_1$ y $a_2$ no son paralelos. Según la proposición, esto significa que la intersección de las dos rectas es un punto único, que podemos encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones. Sumando la primera ecuación con la segunda:

\begin{align*} (-x + 3y) + (x + y) &= 2 + 2 \\ 4y &= 4 \\ y &= 1. \end{align*}

Como $y$ es $1$, entonces de la segunda igualdad concluimos que $x=1$ también. Por lo tanto, las rectas se intersecan en el punto $(1,1)$.

$\triangle$

La siguiente figura muestra ambas rectas. La visualización coincide con lo que demostramos formalmente.

Más adelante…

Hemos entendido cómo se ve la intersección de rectas a partir de su forma normal. Pero la forma normal de una recta no sólo nos ayuda a hablar de la recta misma. Una pequeña variación nos permite hablar también de cada uno de los dos pedazos en los que queda dividido el plano por la recta. A cada uno de estos pedazos le llamamos semiplano. ¿Cómo se verá la intersección de semiplanos? Daremos una introducción a estas ideas en la siguiente entrada.

Tarea moral

  1. De la siguiente lista de vectores, identifica todos aquellos $u$ y $v$ que cumplan que $u$ es paralelo a $v$:
    \begin{align*}&(1,1), (3,3), (5,2), (2,5), (10,4), \\&(-5,-2), (-3,3), (2,-2), (4,0), (5,1).\end{align*}
  2. Encuentra la intersección de las siguientes parejas de rectas:
    • $2x+3y=1$ y $3x+2y=2$.
    • $15+20y=12$ y $-6x-8y=7$.
    • $x+y=1$ y $-x-y=-1$.
  3. En los resultados de esta entrada hemos pedido que los vectores $u$ y $v$ sean no nulos para que las rectas en forma normal estén bien definidas. Pero si alguno de estos vectores es cero, todavía se pueden plantear un sistema de dos ecuaciones. ¿Qué posibilidades hay para estos sistemas de ecuaciones?
  4. Si tenemos vectores $u$, $v$ y $w$ en el plano, muestra que están en una misma línea si y sólo si $u-v$ y $w-v$ son paralelos.
  5. Toma tres vectores $u$, $v$ y $w$ de modo que no estén en una misma línea. La altura desde $u$ es la recta por $u$, perpendicular a $v-w$. De manera análoga se definen las alturas por $v$ y $w$.
    • Encuentra la intersección de la altura por $u$ y la altura por $v$.
    • Encuentra la intersección de la altura por $u$ y la altura por $w$.
    • Demuestra analíticamente, con las técnicas que hemos platicado aquí, que las tres alturas pasan por un mismo punto.

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