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Teoría de los Conjuntos I: Suma en los naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Como lo dijimos en la entrada anterior, buscamos la manera de definir a la suma en el conjunto de los naturales y esto nos lo permitirá el teorema de recursión. En esta nueva entrada presentaremos la definición formal de la suma y demostraremos algunas de las propiedades que satisface.

Suma de naturales

El teorema de recursión nos garantiza que la siguiente definición es correcta.

Definición. Dado $n\in \mathbb{N}$ fijo pero arbitrario, la función sumar $n$ es la una única función $f_n:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tal que $f_n(0)=n$ y $f_n(s(m))=s(f_n(m))$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$.

Está definición nos dice cómo sumar a un número natural con un $n$ fijo. Sin embargo, usualmente entendemos a la suma como una operación binaria, que toma dos sumandos y nos da un resultado. A continuación hacemos esto.

Definición. Definimos a la suma de los naturales como la función $+: \mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tal que $+(m,n)=f_m(n)$ para cualesquiera $n,m\in \mathbb{N}$. Definimos también la notación $m+n:=+(m,n)$.

Como la función $+$ está basada en las funciones $f_n$, obtenemos de manera inmediata que se satisfacen las siguientes propiedades:

  1. $0+n=n$ para cualquier $n\in \mathbb{N}$,
  2. $s(m)+n=s(m+n)$ para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$.

¿Habrá otra función que satisfaga esto?

Teorema. La función $+$ es la única función de $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ en $\mathbb{N}$ que satisface las propiedades 1) y 2) de arriba.

Demostración.

Sea $+$ la función que definimos arriba y supongamos que existe $h:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ que satisface $h(0,n)=n$ y $h(s(m), n)= s(h(m,n))$ para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$. Veamos que $+=h$.

Definamos para cada $n\in\mathbb{N}$ la función $h_n:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ por medio de $h_n(0)=h(n,0)$ y $h_n(m)=h(n,m)$. Notemos que para todo $n\in\mathbb{N}$, $h_n(0)=n$ y $h_n(s(m))=h(n,s(m))=s(h(n,m))=s(h_{n}(m))$, y por el teorema de recursión se sigue que $h_n=f_n$.

Así, para $n,m\in\mathbb{N}$ arbitrarios, $+(m,n)=f_n(m)=h_n(m)=h(n,m)$ y en consecuencia, $+=h$.

$\square$

Dado que seguimos trabajando con conjuntos y hemos definido una nueva operación binaria, podemos preguntarnos si esta operación conmuta, es asociativa o si cumple alguna otra propiedad algebraica. Notaremos que para demostrar estas propiedades ocuparemos en todo momento el principio de inducción.

Asociatividad de la suma

Teorema. Para cualesquiera $m,n,k\in \mathbb{N}$, se tiene que $m+(n+k)=(m+n)+k$.

Demostración.

Procederemos por inducción sobre $m$ y dejaremos fijos a $n$ y $k$.

Base de inducción. Si $m=0$, $0+(n+k)=n+k=(0+n)+k$.

Hipótesis de inducción. Supongamos que se cumple para $m$, es decir, $m+(n+k)= (m+n)+k$.

Paso inductivo. Veamos que se cumple para $s(m)$, es decir, $s(m)+(n+k)=(s(m)+n)+k$.

\begin{align*}
s(m)+(n+k)&=s(m+(n+k)) \tag{Definición $+$}\\
&= s((m+n)+k) \tag{Hipótesis de inducción}\\
&= s(m+n)+k\tag{Definición $+$}\\
&= (s(m)+n)+k\tag{Definición $+$}.
\end{align*}

Por lo tanto, $+$ es asociativa.

$\square$

Conmutatividad de la suma

Ahora vamos a ver que la suma conmuta, para ello demostraremos los siguientes lemas:

Lema 1. Para cualquier $m\in \mathbb{N}$, se tiene que $0+m=m+0$.

Demostración.

Procederemos por inducción sobre $m$.

Base de inducción. Si $m=0$, tenemos que $0+0=0=0+0$.

Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $0+k=k+0$.

Paso de inductivo. Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, $0+s(k)=s(k)+0$.

\begin{align*}
s(k)+0 &=s(k+0)\tag{Definición $+$}\\
&= s(0+k)\tag{Hipótesis de inducción}\\
&= s(k)\tag{Definición $+$}\\
&= 0+s(k)\tag{Definición $+$}.
\end{align*}

Por lo tanto, $0+m=m+0$, para cualquier $m\in \mathbb{N}$.

$\square$

Lema 2. Para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, se tiene que $s(n)+m=n+s(m)$.

Demostración.

Procederemos por inducción sobre $m$.

Base de inducción. Si $n=0$, tenemos que $s(0)+m=s(0+m)= s(m)=0+s(m)$.

Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $s(k)+m=k+s(m)$.

Paso de inductivo. Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, $s(s(k))+m=s(k)+s(m)$.

\begin{align*}
s(s(k))+m &=s(s(k)+m) \tag{Definición $+$}\\
&= s(k+s(m)) \tag{Hipótesis de Inducción}\\
&= s(k)+s(m) \tag{Definición $+$}.
\end{align*}

Por lo tanto, para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, se tiene que $s(n)+m=n+s(m)$.

$\square$

Proposición. Para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, se tiened que $n+m=m+n$.

Demostración.

Por inducción sobre $m$.

Base de inducción. Si $m=0$, entonces $n+0=0+n$. (Lo probamos por inducción en el primer lema 1).

Hipótesis de inducción. Supongamos que para $k$ se cumple que $n+k=k+n$.

Paso inductivo. Veamos que para $s(k)$ se satisface que $n+s(k)= s(k)+n$.

\begin{align*}
s(k)+n&= s(k+n)\tag{Definición $+$}\\
&= s(n+k)\tag{Hipótesis de Inducción}\\
&= s(n)+k\tag{Definición $+$}\\
&= n+s(k)\tag{Lema 2}.
\end{align*}

Por lo tanto, $+$ es conmutativa.

$\square$

Ley de cancelación

En álgebra, cuando tenemos una ecuación como la siguiente:

$x+5=y+5$,

dado que $5=5$, entonces ponemos $x=y$. Esto tiene una justificación y la llamaremos ley de cancelación de la suma. El teorema dice lo siguiente:

Teorema. Si se tienen números naturales $n,m,k$ tales que $n+k=m+k$, entonces $n=m$.

Demostración.

Demostraremos que si $n\not=m$, entonces $n+k\not=m+k$. Procederemos por inducción sobre $k$.

Base de inducción. Supongamos que $n\not=m$. Luego, $n+0=0+n=n$ y $m+0=0+m=m$ y así, $n+0=n\not=m=m+0$.

Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$, se satisface que si $n\not=m$, entonces $n+k\not=m+k$.

Paso inductivo. Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, si $n\not=m$, entonces $n+s(k)\not=m+s(k)$.

Supongamos que $n\not=m$. Luego,

\begin{align*}
n+s(k)&= s(n)+k\tag{Lema 2}\\
&= s(n+k)\tag{Definición $+$}\\
&\not= s(m+k)\tag{Hipótesis de inducción e inyectividad de $s$}\\
&= s(m)+k\tag{Definición $+$}\\
&= m+s(k)\tag{Lema 2}.
\end{align*}

Por lo tanto, se cumple la ley de cancelación para la suma.

$\square$

Como último resultado de esta entrada, probaremos que $s(m)=m+1$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$.

Teorema. Para cualquier $m\in \mathbb{N}$, se tiene que $s(m)=m+1$.

Demostración.

Procederemos por inducción sobre $m$.

Base de inducción. Si $m=0$, entonces $s(0)=1=0+1$.

Hipótesis de inducción. Supongamos que para $k\in \mathbb{N}$ se cumple que $s(k)=k+1$.

Paso inductivo. Veamos que la propiedad se satisface para $s(k)$, es decir, $s(s(k))= s(k)+1$.

\begin{align*}
s(k)+1&= s(k+1)\tag{Definición $+$}\\
&= s(s(k))\tag{Hipótesis de inducción}.
\end{align*}

Por lo tanto, $s(m)=m+1$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$.

$\square$

A partir de este momento usaremos el hecho de que $s(m)=m+1$.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido de esta entrada.

  1. Verifica totalmente a partir de las definiciones que $2+2=4$.
  2. Reflexiona sobre por qué sí se tiene que usar inducción para demostrar que $n+0=n$ para todo número natural $n$, pero no es necesario usar inducción para demostrar que $0+n=n$ para todo número natural $n$.
  3. Demuestra que si $n,m\in \mathbb{N}$ tales que $n\not=m$, entonces $s(n)\not= s(m)$.
  4. Demuestra usando el principio de inducción que para cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$, se tiene que $m + n \geq n$.
  5. Prueba que para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$ tales que $m+n=0$, se cumple que $m=0$ y $n=0$.
  6. Demuestra usando únicamente las definiciones dadas que no existe un entero $n$ tal que $4+n = 2$.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos al producto en el conjunto de los números naturales. Al igual que en la definición de la suma, podremos notar que usaremos un proceso recursivo para definir esta operación.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Buen orden en los naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada demostraremos que el conjunto de los números naturales es un conjunto bien ordenado.

Resultados previos

A continuación demostraremos el siguiente lema que nos dice que la intersección de dos números naturales resulta ser un número natural.

Lema. Si $n,m\in \mathbb{N}$, entonces $n\cap m\in \mathbb{N}$.

Demostración.

Sean $n,m\in \mathbb{N}$.

$n\cap m$ es un conjunto transitivo: En la entrada de construcción de números naturales se demostró que intersección de conjuntos transitivos es transitivo. Como $n$ y $m$ son naturales, entonces son transitivos. Así, $n\cap m$ también lo es.

$n\cap m$ es un orden total con la pertenencia:

Notemos la relación de pertenencia en $n\cap m$ es la relación $\in_{n\cap m}=\in_n\cap((n\cap m)\times(n\cap m))$. En efecto, si $x\in_{n\cap m}y$, entonces, $x\in y$ y $x,y\in n\cap m$; en particular, $x\in y$ y $x,y\in n$, es decir, $x\in_ny$. Esto muestra que $\in_{n\cap m}\subseteq \in_n\cap((n\cap m)\times(n\cap m))$. Por otro lado, si $x\in_n y$ y $x,y\in n\cap m$, entonces, $x\in y$ y $x,y\in n\cap m$, es decir, $x\in_{n\cap m}y$. Esto demuestra la igualdad mencionada.

–Asimetría de $\in_{n\cap m}$.

Sean $z,w\in n\cap m$ tales que $z\in_{n\cap m} w$. Dado que $z\in_{n\cap m}w$, entonces $z\in_nw$. De este modo, $w\notin_{n\cap m} z$, ya que de lo contrario, $w\in_n z$, lo cual contradice que $\in_n$ sea una relación asimétrica. Por lo tanto, $\in_{n\cap m}$ es asimétrica.

–Transitividad de $\in_{n\cap m}$.

Sean $z,w,y\in n\cap m$ tales que $z\in_{n\cap m} w$ y $w\in_{n\cap m} y$. Entonces, $z\in_n w$ y $w\in_n y$, por lo que $z\in_n y$ por la transitividad de $\in_n$. Así pues $z\in_n y$ y $z,y\in n\cap m$, y en consecuencia $z\in_{n\cap m}y$.

– $\in_{n\cap m}$-comparables.

Sean $z,w\in n\cap m$. En particular, $z,w\in n$. Luego, por ser $(n, \in_n)$ un orden total, $z\in_n w$ o $w\in_n z$ o $z=w$. En consecuencia, $z\in_{n\cap m}w$ o $w\in_{n\cap m}z$ o $z=w$. Por lo tanto, los elementos de $n\cap m$ son $\in_{n\cap m}$-comparables.

Cualquier subconjunto $B$ no vacío de $n\cap m$ tiene elemento mínimo y máximo.

Veamos que $B$ tiene mínimo. Lo del máximo quedará como uno de los ejercicos. Dado que $B\subseteq n\cap m$, entonces, en particular, $B\subseteq n$. Dado que $n$ es un número natural y $B$ es un subconjunto no vacío de $n$, $B$ tiene mínimo con respecto a $\in_n$.

Sea $a=\min(B)$ con respecto a $\in_n$. Luego, $a\in_nx$ para todo $x\in B\setminus\set{a}$. Así pues, si $x\in B\setminus\set{a}$ es cualquier elemento, entonces, $a\in_n x$ y, como $a,x\in n\cap m$ pues $B\subseteq n\cap m$, se sigue, $a\in_{n\cap m}x$. Por lo tanto, $a=\min(B)$ en el orden $\in_{n\cap m}$.

Por lo tanto, si $n,m\in \mathbb{N}$, entonces $n\cap m\in \mathbb{N}$.

$\square$

En la tarea moral te corresponde probar que cualquier subconjunto no vacío de $n\cap m$ tiene elemento máximo.

Antes de demostrar nuestro resultado principal, probaremos otros dos resultados auxiliares.

Lema. Si $n, m$ son naturales distintos $n\subsetneq m$, entonces $n\in m$.

Demostración.

Sean $n,m\in \mathbb{N}$ distintos tales que $n\subsetneq m$. Como, $m\setminus n\subseteq m$ y $m\setminus n\not=\emptyset$, existe $k=\min(m\setminus n)$ con respecto a $\in_{m}$.

Afirmación. $k=n$.

Demostración de la afirmación.

$\subseteq$) Sea $y\in k$, entonces $y\in m$ por ser $m$ un conjunto transitivo. Luego, $y\in n$, pues de lo contrario $y\in m\setminus n$ y así, $y$ sería un elemento en $m\setminus n$ tal que $y\in k$, pero esto es imposible pues $k=\min(m\setminus n)$. Por lo tanto, $y\in n$ y, por ende, $k\subseteq n$.

$\supseteq$) Sea $y\in n$. Como $n\subseteq m$, entonces $y\in m$. Ahora, por ser $m$ un natural, $m$ está ordenado totalmente por la pertenencia. Así que, $y,k\in m$, o bien $y\in k$ o bien $k\in y$ o bien $y=k$. No puede ocurrir que $k\in y$, pues de ser así se tendría que $k\in n$ ya que $y\in n$ y $n$ es transitivo por ser un número natural. Así, tendríamos $k\notin m\setminus n$, lo cual contradice la elección de $k$. Ahora, no puede ocurrir que $k=y$, pues nuevamente tendríamos que $k\in n$ y ya vimos que esto conduce a una contradicción. Luego, tiene que ocurrir que $y\in k$. Esto demuestra que $n\subseteq k$.

Por lo tanto, $n=k$ y, en consecuencia, $n\in m$.

$\square$

Lema. Si $n$ y $m$ son naturales, entonces $n\in m$ o $m\in n$ o $n=m$, es decir, $n,m$ son $\in$-comparables.

Demostración.

Sean $n,m\in\mathbb{N}$. Tenemos los siguientes casos:

Caso 1. Si $n=m$ no hay más que probar.

Caso 2. $n\not=m$.

Consideremos a la intersección $n\cap m$. Luego, $n\cap m\subseteq m$ y $n\cap m\subseteq n$. Si $n\cap m=m$, entonces $m\subseteq n$, pero $m\not=n$, por lo que $m\subsetneq$ y por el lema anterior tenemos que $m\in n$. Si $n\cap m=n$, entonces $n\subseteq m$, pero $n\not=m$, por lo que $n\subset m$ y, en consecuencia, $n\in m$.

Por tanto, si $n\not=m$, entonces $n\in m$ o $m\in n$. En consecuencia, cualesquiera dos números naturales son $\in$-comparables.

$\square$

Los naturales están bien ordenados

Estamos listos para probar el resultado principal de esta entrada.

Teorema. $(\mathbb{N}, \leq)$ es un conjunto bien ordenado.

Demostración.

Veamos primero que $\leq$ en $\mathbb{N}$ es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Luego, veremos que $\mathbb{N}$ es un conjunto bien ordenado con $\leq$.

– Reflexividad.

Sea $n\in \mathbb{N}$. Dado que $n=n$ se cumple que $n\leq n$.

– Antisimetría.

Sean $n,m\in \mathbb{N}$. Supongamos que $n\leq m$ y $m\leq n$. Como $n\leq m$, sabemos que $n\in m$ o $n=m$. El caso $n\in m$ lleva a una contradicción, pues como $m\leq n$ entonces o $m=n$ (y llegamos a la contradicción $n\in n$) o $m\in n$ (y llegamos a la contradicción $n\in m$ y $m\in n$). Así, $n=m$.

Los argumentos anteriores muestran que $\leq$ es una relación antisimétrica en $\mathbb{N}$.

– Transitividad.

Sean $n,m,l\in \mathbb{N}$. Supongamos que $n\leq m$ y $m\leq l$. Veamos que $n\leq l$
Dado que $n\leq m$, entonces $n\in m$ o $n=m$ y como $m\leq l$, entonces $m\in l$ o $m=l$.
Caso 1: Si $n\in m$ y $m\in l$, entonces $m\subseteq l$ por ser $l$ un conjunto transitivo y así, $n\in l$.
Caso 2: Si $n\in m$ y $m=l$, entonces $n\in l$.
Caso 3: Si $n=m$ y $m\in l$, entonces $n\in l$.
Caso 4: Si $n=m$ y $m=l$, entonces $n=l$.
En cualquier caso ocurre que $n\in l$ o $n=l$, es decir, $n\leq l$.

Por lo tanto, $\leq$ es una relación transitiva. Estas propiedades nos permiten concluir que $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{N}$.

Para mostrar que $\mathbb{N}$ es un conjunto bien ordenado con $\leq$, sólo resta probar que cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ tiene elemento mínimo con respecto a $\leq$.

– Buen orden.

Sea $B\not=\emptyset$ tal que $B\subseteq \mathbb{N}$ y veamos que $B$ tiene elemento mínimo. Dado que $B\not=\emptyset$, podemos fijar $x\in B$. Luego, $x\in \mathbb{N}$ y por tanto $s(x)\in \mathbb{N}$. Consideremos $s(x)\cap B$ conjunto no vacío pues $x\in s(x)$ y $x\in B$. Notemos además que $s(x)\cap B$ es subconjunto no vacío de $s(x)$, por lo que $s(x)\cap B$ tiene elemento mínimo con respecto a $\in$ en $s(x)$.

Sea $k=\min(s(x) \cap B)$. Afirmamos que $k=\min(B)$ en $\leq$. En efecto, si $n\in B$, entonces $n\in s(x)\cap B$ o $n\notin s(x)$; si $n\in s(x)\cap B$, entonces $n=k$ o $k\in n$ pues $k=\min(s(x)\cap B)$ con respecto a $\in$. Supongamos ahora que $n\notin s(x)$. Por un lema visto en esta entrada, y dado que $n$ y $s(x)$ son naturales tales que $n\notin s(x)$ , entonces $s(x)\in n$ o $s(x)=n$. Si $n=s(x)$, entonces $k\in n$ pues $k\in s(x)$. Finalmente, si $s(x)\in n$, entonces $s(x)\subseteq n$ por ser $n$ conjunto transitivo y, en consecuencia, $k\in n$, ya que $k\in s(x)$. En cualquier caso tenemos que $k\leq n$, lo que demuestra que $k=\min(B)$ con respecto a la relación $\leq$ definida en $\mathbb{N}$.

Por lo tanto, $(\mathbb{N}, \leq)$ es un conjunto bien ordenado.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta sección:

  1. Sea $X$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$, demuestra que $\bigcap X\in \mathbb{N}\cap X$. (Nota que esta es una generalización del primer lema que probamos en esta entrada).
  2. Muestra que cualquier subconjunto no vacío de $n\cap m$ tiene elemento máximo.

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos una breve pausa en funciones compatibles. Esto nos servirá más adelante para probar el teorema de recursión. Dicho teorema será de utilidad para definir recursivamente a la suma y el producto en el conjunto de los números naturales.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Construcción de los números naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Hasta ahora solo hemos usado los conjuntos $0$, $1$, $2$, $3$ y $4$ que definimos en la entrada de axioma del par y axioma de unión, pero es momento de hablar de números naturales de manera más general y rigurosa. En esta entrada comenzaremos a hacer esto, enunciando algunas propiedades conjuntistas que esperamos que tengan los números naturales. Sin embargo, no dejaremos de lado la noción intuitiva que ya tenemos.

Construcción

Al principio del curso hablamos acerca de los primeros axiomas de la teoría de los conjuntos. A partir de ellos obtuvimos un conjunto $\emptyset$ que no tiene elementos, y además probamos que era el único conjunto con esta propiedad. Por comodidad, a este conjunto también le pusimos el «nombre» o «etiqueta» $0$. Después, aplicamos el axioma del par para a partir de $0$ conseguir al conjunto $\{\emptyset\}$ al que llamamos $1$. En los ejercicios, hablamos de cómo a partir de los axiomas se pueden construir también a $2:=1\cup \{1\}= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, a $3:=2\cup \{2\}=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$, y también a $4:=3\cup \{3\}$.

Por supuesto, también se pueden construir otros conjuntos que no «siguien este patrón», por ejemplo, aplicando dos veces el axioma del par se puede construir al conjunto $\set{\set{\emptyset}}$.

Si nos fijamos en la cantidad de elementos que tienen los conjuntos $0,1,2,3,4$, notamos que las etiquetas son muy precisas y coinciden con nuestra intuición, pues por ejemplo el $0$ es el vacío que tiene cero elementos, el $1$ es $\{\emptyset\}$ que tiene un sólo elemento que es $\emptyset$, etc. De hecho, parte del ejercicio de la entrada mencionada pedía ver que $4=\{0,1,2,3\}$, que en efecto tiene cuatro elementos. Pero puede haber otros conjuntos distintos que también tengan la misma cantidad que estos conjuntos. Por ejemplo, el conjunto $\set{\set{\emptyset}}$ también tiene un elemento (tiene sólo a $\set{\emptyset}$), pero no es el mismo conjunto que $1$.

Parte de lo que queremos lograr al construir los números naturales formalmente es asociar a cada «número que usamos para contar» un conjunto con esa cantidad de elementos. Lo mencionado arriba debe dejarnos la idea de que puede haber muchas maneras de hacer esto. Por ejemplo, una posible manera sería formalizar la siguiente construcción:

\begin{align*}
0 &-\emptyset\\
1&-\set{\set{\emptyset}}\\
2&-\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}\\
3&-\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}}\\
\vdots
\end{align*}

Otra posible manera sería formalizar la siguiente construcción, que se parece más a cómo hemos estado utilizando las etiquetas $0,1,2,3,4$:

\begin{align*}
0 &-\emptyset\\
1&-\set{\emptyset}\\
2&-\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\\
3&-\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}\\
\vdots
\end{align*}

Debido a que hay muchas maneras de lograr nuestro objetivo, podemos poner algunas condiciones adicionales. Hablaremos de ellas en el transcurso de estas entradas. Estas propiedades adicionales que requeriremos nos llevarán a que la construcción apropiada es la segunda presentada aquí arriba.

Conjuntos transitivos

Para definir formalmente a los números naturales comenzaremos definiendo una de las características que tendrá cada uno de los números naturales.

Definición. Sea $x$ un conjunto. Decimos que $x$ es un conjunto transitivo si para cualquier $y\in x$ se cumple que $y\subseteq x$.

Observa que si $x$ es transitivo en la definición que acabamos de dar, entonces si $z\in y$ y $y\in x$, entonces $z\in x$.

Ejemplo.

Nos gustaría que cada número natural sea transitivo y nos gustaría que $0$, como lo definimos, sea número natural. En efecto lo es pues, en este caso, $0=\emptyset$ y entonces por vacuidad se cumple que si $y\in \emptyset$, se tiene que $y\subseteq \emptyset$.

$\square$

Ejemplo.

También el conjunto que definimos como $1$ es transitivo. Recordemos que $1=\set{\emptyset}$. El único elemento de $1$ es $y=\emptyset$, así que para ver que $x$ es transitivo basta ver que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$, lo cuál sabemos que es cierto. Por lo tanto, $1$ es un conjunto transitivo.

$\square$

Ejemplo.

Sea $x=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$. Tenemos que $x$ no es transitivo. En efecto, se tiene que $\set{\set{\emptyset}}\in x$ pero $\set{\set{\emptyset}}\not\subseteq x$ dado que $\set{\emptyset}\in \set{\set{\emptyset}}$ pero $\set{\emptyset}\notin x$. Por lo tanto, $\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$ no es un conjunto transitivo.

$\square$

Equivalencias de conjuntos transitivos

A continuación veremos algunas equivalencias para que conjunto sea transitivo.

Proposición. Sea $x$ un conjunto. Entonces, $x$ es un conjunto transitivo si y sólo si $x\subseteq \mathcal{P}(x)$.

Demostración.

Comencemos suponiendo que $x$ es transitivo. Veremos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$. Sea $y\in x$. Como $x$ es un conjunto transitivo, se tiene que $y\subseteq x$ y por lo tanto, $y\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\subseteq \mathcal{P}(x)$.

Ahora, supongamos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$ y veamos que $x$ es un conjunto transitivo. Sea $y\in x$. Tenemos que $y\in \mathcal{P}(x)$ y así, $y\subseteq x$. Por lo tanto, $x$ es un conjunto transitivo.

$\square$

Otra equivalencia que tendrás que demostrar como parte de los ejercicios es la siguiente.

Proposición. Un conjunto $x$ es transitivo si y sólo si $\bigcup x\subseteq x$.

Otros resultados para conjuntos transitivos

Para concluir esta entrada veremos algunos resultados para conjuntos transitivos, esta vez con respecto a la intersección y la unión.

Proposición. Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, entonces $x\cap y$ es un conjunto transitivo.

Demostración.

Sean $x$ y $y$ conjuntos transitivos. Veamos que $x\cap y$ es un conjunto transitivo, es decir, para cada $z\in x\cap y$ se cumple que $z\subseteq x\cap y$.

  1. Como $x$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in x$ se cumple que $z\subseteq x$.
  2. Como $y$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in y$ se cumple que $z\subseteq y$.

De $1$ y $2$ podemos concluir que para cualquier $z\in x\cap y$ se satisface que $z\subseteq x\cap y$. Por lo tanto, $x\cap y$ es transitivo.

$\square$

Hay una segunda demostración de la proposición anterior, usando álgebra de conjuntos y la primera caracterización de la sección anterior.

Demostración. Como $x$ y $y$ son transitivos, tenemos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$ y $y\subseteq \mathcal{P}(y)$. Así, por propiedades que hemos demostrados de intersección, $$x\cap y \subseteq \mathcal{P}(x) \cap \mathcal{P}(y) \subseteq \mathcal{P}(x\cap y).$$

Así, $x\cap y \subseteq \mathcal{P}(x\cap y)$ y por lo tanto $x\cap y$ es transitivo.

$\square$

La transitividad también se preserva al unir conjuntos.

Proposición. Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, entonces $x\cup y$ es un conjunto transitivo.

Demostración.

Sean $x$ y $y$ conjuntos transitivos. Veamos que $x\cup y$ es un conjunto transitivo, es decir, para cada $z\in x\cup y$ se cumple que $z\subseteq x\cup y$.

  1. Como $x$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in x$ se cumple que $z\subseteq x$.
  2. Como $y$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in y$ se cumple que $z\subseteq y$.

De $1$ y $2$ podemos concluir que para cualquier $z\in x\cup y$ se satisface que $z\subseteq x\cup y$. Por lo tanto, $x\cup y$ es transitivo.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitira reforzar el concepto de conjunto transitivo.

  1. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son transitivos?
    1. $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$,
    2. $\set{\set{\emptyset}}$,
    3. $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.
  2. Verifica que, por definición, cada uno de los conjuntos $0,1,2,3,4$ que ya definimos son transitivos.
  3. Demuestra que $(\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}, \in)$ es un conjunto totalmente ordenado.
  4. Demuestra que $x=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tiene elemento máximo y elemento mínimo en el orden $\in_x$.
  5. Demuestra la segunda equivalencia de la sección de conjuntos transitivos, es decir, que $x$ es transitivo si y sólo si $\bigcup x\subseteq x$.
  6. Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, ¿será cierto que $x\setminus y$ siempre es un conjunto transitivo?, ¿será cierto que $x\triangle y$ siempre es un conjunto transitivo? Da una demostración o encuentra un contraejemplo en cada caso.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos la definición formal y rigurosa de qué es un número natural. Además demostraremos algunas de sus propiedades.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»