Introducción

Un ejemplo importante de transformaciones ortogonales

Una clase importante de transformaciones ortogonales es la de las simetrías ortogonales. Sea $V$ un espacio euclidiano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $V=W\oplus W^{\mathrm{\perp }}$, por lo que podemos definir la simetría $s_W$ sobre $W^{\mathrm{\perp }}$ con respecto a $W$. Recuerda que cualquier $v\in V$ se puede escribir como $v=w+w^{\mathrm{\perp }}$, con $(w,w^{\mathrm{\perp }})\in W\times W^{\mathrm{\perp }}$, entonces $$s_W(v)=w-w^{\mathrm{\perp }},$$ de manera que $s_W$ fija puntualmente a $W$ y $-s_W$ fija puntualmente a $W^{\mathrm{\perp }}$.

Para garantizar que $s_W$ es una transformación ortogonal, bastará con verificar que $||s_W(v)||=||v||$ para todo $v\in V$, o equivalentemente
$$||w-w^{\mathrm{\perp }}||=||w+w^{\mathrm{\perp }}||\mathrm{\forall }(w,w^{\mathrm{\perp }})\in W\times W^{\mathrm{\perp }}.$$ Pero por el teorema de Pitágoras se tiene que si elevemos ambos lados a cuadrado se obtiene $||w|{|}^2+||w^{\mathrm{\perp }}|{|}^2$ y se sigue el resultado deseado.

Las simetrías ortogonales se pueden distinguir fácilmente entre las transformaciones ortogonales, pues estas son precisamente las transformaciones ortogonales auto-adjuntas.

Caracterización sobre bases ortonormales

Problema. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una tranformación lineal. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $T$ es ortogonal.
2. Para cualquier base ortonormal $e_1,\dots ,e_n$ de $V$, los vectores $T(e_1),\dots ,T(e_n)$ forman una base ortonormal de $V$.
3. Existe una base ortonormal de $e_1,\dots ,e_n$ de $V$ tal que $T(e_1),\dots ,T(e_n)$ es una base ortonormal de $V$.

Solución. Supongamos que 1. es cierto y sea $e_1,\dots ,e_n$ una base ortonormal de $V$. Entonces para cada $i,j\in [1,n]$ tenemos
$$⟨T(e_i),T(e_j)⟩=⟨e_i,e_j⟩.$$
Se sigue que $T(e_1),\dots ,T(e_n)$ es una familia ortonormal, y como $dimV=n$, entonces es una base ortonormal de $V$. Entonces 1. implica 2. y claramente 2. implica 3.
Supongamos que 3. es cierto. Sea $x\in V$ y escribamos $x=x_1{e}_1+x_2{e}_2+\cdots +x_n{e}_n$. Como $e_1,\dots ,e_n$ y $T(e_1),\dots ,T(e_n)$ son bases ortonormales de $V$, tenemos
$$||T(x)|{|}^2=||x_{1}T(e_1)+\cdots +x_{n}T(e_n)|{|}^2=x_1^2+\cdots +x_n^2=||x|{|}^2.$$
Por lo tanto $||T(x)||=||x||$ para todo $x\in V$ y $T$ es ortogonal.

El grupo de transformaciones ortogonales en el plano

Definición. Diremos que una isometría $T$ es una isometría positiva si $detT=1$. Por otro lado, diremos que $T$ es una isometría negativa si $detT=-1$ En términos geométricos, las isometrías positivas preservan la orientación del espacio, mientras que las isometrías negativas la invierten.

Definición. Sea $B=\{e_1,\dots ,e_n\}$ una base ortonormal de un espacio euclidiano $V$. Si $B^{\prime }=\{f_1,\dots ,f_n\}$ es otra base ortonormal de $V$, entonces la matriz de cambio de base de $B$ a $B^{\prime }$ es ortogonal y por lo tanto $detP\in \{-1,1\}$. Diremos que $B^{\prime }$ está orientada positivamente con respecto a $B$ si $detP=1$ y conversamente diremos que $B^{\prime }$ está orientada negativamente con respecto a $B$ si $detP=-1$.

Si $V={\mathbb{R}}^n$ está equipado con el producto interior usual, entonces siempre tomamos como $B$ a la base canónica y sólo decimos que una base ortonormal es positiva o negativa.

Observación. El polinomio característo de la matriz
$$\left(\begin{array}{ccccc}{I}_p& 0& 0& \dots & 0\\ 0& -I_q& 0& \dots & 0\\ 0& 0& R_{{\theta }_1}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & R_{{\theta }_k}\end{array}\right)$$
es
$$(x-1{)}^p(x+1{)}^q\cdot {\displaystyle \prod _{i=1}^k(x^2-2\cos {\theta }_{i}x+1).}$$
Las raíces complejas del polinomio $x^2-2\cos {\theta }_{i}x+1$ son $e^{i\theta }$ y $e^{-i\theta }$, y tienen modulo $1$. Por lo tanto, todos los eigenvalores complejos de una matriz ortogonal tienen módulo $1$.

Estudiando el grupo ortogonal en dimensiones pequeñas

Empezamos analizando el caso de dimensión $2$. Sea $A\in M_2(\mathbb{R})$ una matriz dada por
$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$ que satisface $A^{t}A=I_2$. Sabemos que $detA\in \{-1,1\}$, así que consideramos ambos casos.

Si $detA=1$, entonces la inversa de $A$ simplemente es
$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$
y como $A$ es ortogonal, entonces $A^{-1}={}^{t}A$, por lo que $a=d$ y $b=-c$, lo que nos dice que $A$ es de la forma
$$A=\left(\begin{array}{cc}a& -c\\ c& a\end{array}\right).$$
Más aún, tenemos que $a^2+c^2=1$, por lo que existe un único $\theta \in (-\pi ,\pi ]$ tal que $A=\cos \theta$ y $c=\sin \theta$. Por lo tanto
$$A=R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right).$$
La transformación lineal correspondiente es
$$\begin{array}{rl}T:{\mathbb{R}}^2& \to {\mathbb{R}}^2\\ (x,y)& \mapsto (\cos \theta x–\sin \theta y,\sin \theta x+\cos \theta y)\end{array}$$
y geométricamente corresponde a una rotación de ángulo $\theta$. Además
$$\begin{array}{}\text{(1)}& R_{{\theta }_1}\cdot R_{{\theta }_2}=R_{{\theta }_1+{\theta }_2}=R_{{\theta }_2}\cdot R_{{\theta }_1}.\end{array}$$
Una consecuencia importante es que la matriz asociada a $T$ con respecto a cualquier base ortonormal positiva de ${\mathbb{R}}^2$ aún es $R_{\theta }$, pues la matriz de cambio de base de la base canónica a la nueva base ortonormal positiva sigue siendo una rotación. Análogamente, si en el argumento anterior tomamos una base ortonormal negativa, entonces la matriz asociada a $T$ es $R_{-\theta }$. La relación $\text{(1)}$ también muestra que para calcular el ángulo de la composición de dos rotaciones basta con tomar la suma de los ángulos y restar un múltiplo adecuado de $2\pi$ tal que el ángulo obtenido quede en el intervalo $(-\pi ,\pi ]$.

Si $detA=-1$. Entonces
$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-d& b\\ c& -a\end{array}\right)$$ y como $A$ es ortogonal, entonces $d=-a$ y $b=c$. También tenemos que $a^2+b^2=1$, por lo que existe un único número real $\theta \in (-\pi ,\pi ]$ tal que $a=\cos \theta$ y $b=\sin \theta$. Entonces
$$A=S_{\theta }:=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right).$$
Notemos que $S_{\theta }$ es simétrica y ortogonal, por lo tanto $S_{\theta }^2=I_2$ y que la transformación correspondiente es
$$\begin{array}{rl}T:{\mathbb{R}}^2& \to {\mathbb{R}}^2\\ (x,y)& \mapsto (cos\theta x+\sin \theta y,\sin \theta x-\cos \theta y)\end{array}$$
es una simetría ortogonal. Para encontrar la recta con respecto a la cual $T$ es una simetría ortogonal, bastará con resolver el sistema $AX=X$. El sistema es equivalente a
$$\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\cdot x=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\cdot y$$ y por lo tanto la recta $AX=X$ está generada por el vector
$$e_1=(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right),\sin \left(\frac{\theta }{2}\right))$$ y la correspondiente recta ortogonal está generada por el vector
$$e_2=(-\sin \left(\frac{\theta }{2}\right),\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)),$$
y los vectores $e_1,e_2$ forman una base ortonormal de ${\mathbb{R}}^2$ para la cual la matriz asociada a $T$ es
$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
y además $$S_{{\theta }_1}\cdot S_{{\theta }_2}=R_{{\theta }_1-{\theta }_2}$$
lo que significa que la composición de dos simetrías ortogonales es una rotación. Similarmente tenemos que
$$S_{{\theta }_1}{R}_{{\theta }_2}{R}_{{\theta }_1}{S}_{{\theta }_2}=S_{{\theta }_1+{\theta }_2},$$
por lo que la composición de una rotación y una simetría ortogonal es una simetría ortogonal.

Gracias a todo lo anterior, estamos listos para enunciar el siguiente teorema:

Teorema. Sea $A\in M_2(\mathbb{R})$ una matriz ortogonal.

1. Si $detA=1$, entonces
   $$A=R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
   para único número real $\theta \in (-\pi ,\pi ]$, y la correspondiente transformación lineal $T$ sobre ${\mathbb{R}}^2$ es una rotación de ángulo $\theta$. Cualesquiera dos matrices de esa forma conmutan y la matriz asociada a $T$ con respecto a cualquier base ortonormal positiva de ${\mathbb{R}}^2$ es $R_{\theta }$.
2. Si $detA=-1$, entonces
   $$A=S_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$$
   para un único número real $\theta \in (-\pi ,\pi ]$. La matriz $A$ es simétrica y la correspondiente transformación lineal sobre ${\mathbb{R}}^2$ es la simetría ortogonal con respecto a la recta generada por el vector $(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right),\sin \left(\frac{\theta }{2}\right))$.

El grupo de transformaciones ortogonales en el espacio

En la entrada anterior estudiamos el grupo de transformaciones ortogonales en dimensión $2$.

Ahora estudiaremos el caso $\dim V=3$, para esto haremos uso del teorema de clasificación de la entrada anterior, así como el estudio que hicimos para el caso de dimensión $2$. Siguendo la misma idea que desarrollamos en el teorema de clasificiación, consideramos enteros $p,q,k$ tales que $$p+q+2k=3,$$ por lo que necesariamente $p\ne 0$ o $q\ne 0$. También podemos probar esto de manera máss directa, observando que el polinomio caracterísitico de $T$ es de grado $3$, por lo que debe tener una raíz real, y por ende un eigenvalor real, el cual será igual a $1$ o $-1$, pues tiene módulo $1$.

Intercambiando $T$ con $-T$ se tiene que simplemente se intercambian los papeles de $p$ y $q$. Supongamos que $p\ge 1$, esto significa que $T$ tiene al menos un punto fijo $v$. Entonces $T$ fija la recta $D=span(v)$ e induce una isometría sobre el plano ortogonal a $D$. Esta isometría se puede clasificar con el último teorema de la entrada anterior. Por lor tanto, hemos reducido el caso de dimensión $3$ al caso de dimensión $2$. Podemos ser más explicitos si consideramos los siguientes casos.

• $id\in \{T,-T\}$.
• Tenemos que $\dim \ker (T-id)=2$. Si $e_2,e_1$ es una base ortonormal del plano $\ker (T-id)=2$ y completamos a una base ortonormal de $V$ $\{e_1,e_2,e_3\}$, entonces $T$ fija puntualmente al subespacio generado por $e_2,e_3$ y deja invariante a la recta generada por $e_1$. Por lo tanto la matriz asociada a $T$ con respecto a la base ortonormal es
  $$\left(\begin{array}{ccc}t& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
  para algun número real $t$, el cual forzosamente es $-1$, pues sabemos que debe ser $1$ o $-1$, pero si fuera $1$, entonces $T$ sería la indentidad. Por lo tanto $T$ es una simetría ortogonal con respecto al plano $\ker (T-id)$. Además, $detT=-1$, por lo que $T$ es una isometría negativa.
• Tenemos que $\dim \ker (T-id)$ es la recta generado por algún vector $e_1$ de norma $1$. Completamos $e_1$ a una base ortonormal $\{e_1,e_2,e_3\}$ . Entonces la isometría $T$ inducida sobre es subespacio generado por $\{e_2,e_3\}$ no tiene puntos fijos, ya que todos los puntos fijos de $T$ están sobre $span(e_1)$, por lo tanto $T$ es una rotación de ángulo $\theta$, para un único $\theta \in (-\pi ,\pi ]$. Además, la matriz asociada a $T$ con respecto a la base ortonormal es
  $$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right).$$
  Diremos que $T$ es la rotación de ángulo $\theta$ alrededor del eje $\mathbb{R}{e}_1$. Notemos que $detT=1$, por lo que $T$ es una isometría positiva. Además, el ángulo $\theta$ satisface $$1+2\cos \theta =Tr(A),$$,aunque, al ser el coseno una función par, $-\theta$ también satisface la ecuación anterior. Para encontrar a $\theta$ necesitamos hallar a $\sin \theta$. Para ello verificamos que
  $$\underset{(e_1,e_2,e_3)}{det}(e_1,e_2,T(e_2))=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& \cos \theta \\ 0& 0& \sin \theta \end{array}\right|=\sin \theta .$$
• Supongamos que $\ker (T-id)=\{0\}$. Una posibilidad es que $T=-id$. Supongamos que $T\ne id$. Como $T$ o $-T$ tienen un punto fijo y $T$ tiene puntos fijos, entonces necesariamente $-T$ tiene un punto fijo. Sea $e_1$ un vector de norma $1$ fijado por $-T$, por lo tanto $T(e_1)=-e_1$. Completando $e_1$ a una base ortonormal de $V$ dando un argumento similar al del caso anterior, obtenemos que la matriz asociada a $T$ con respecto a la base ortonormal es
  $$\left(\begin{array}{ccc}1-& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=R_{\theta }\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
  para algún $\theta \in (-\pi ,\pi ]$. Por lo tanto $T$ es la composición de una rotación de ángulo $\theta$ y una simetría ortogonal con respecto al eje de rotación. También notemos que $detT=-1$, por lo que $T$ es una isometría negativa.
  También podemos mirarlo desde el punto de vista de las matrices. Consideremos una matriz ortogonal $A\in M_3(\mathbb{R})$ y la transformación lineal asociada
  $$\begin{array}{rl}T:V& \to V\\ X& \mapsto AX\end{array}$$, donde $V={\mathbb{R}}^3$ está equipado con el producto interior usual. Excluiremos los casos triviales $A=\pm I_3$. Para estudiar la isometría $T$, primero revisamos si esta es positiva o negativa, calculando el determinante.
  Supongamos que $T$ es positiva. Ahora veremos si $A$ es simétrica. Para ellos consideremos los siguentes dos casos:
• Si $A$ es simétrica, entonces $A^2=I_3$ (pues $A$ es ortogonal y simétrica) y por lo tanto $T$ es una simetría ortogonal. Afirmamos que $T$ es una simetría ortogonal con respecto a una recta. En efecto, como $A^2=I_3$, todos los eigenvalores de $A$ son $1$ o $-1$. Más aún, los eigenvalores no son iguales, ya que estamos excluendo los casos $A=\pm I_3$, y el producto de ellos es 1, pues $detA=1$. Por lo tanto, un eigenvalor es igual a $1$ y los otros dos son iguales a $-1$. Se sigue que la matriz asociada a $T$ con respecto a la base ortonormal $\{e_1,e_2,e_3\}$ es
  $$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$ y $T$ es la simetría ortogonal con respecto a la recta generado por $e_1$. Para encontrar esta recta de manera explícita, necesitamos calcular $\ker (A-I_3)$ resolviendo el sistema $AX=X$.
• Si $A$ no es simétrica, entonces $A$ es una rotación de ángulo $\theta$ ara un único $\theta \in (-\pi ,\pi ]$. Podemos encontrar el eje de rotación resolviendo el sistema $AX=X$: si $A{e}_1=e_1$ para algún vector $e_1$, entonces el eje de rotación está generado por $e_1$. Para encontrar el ángulo de rotación usamos la siguiente ecuación
  $$\begin{array}{}\text{(2)}& 1+2\cos \theta =Tr(A),\end{array}$$
  la cual determina a $\theta$ en valor absoluto (pues $\theta$ y $-\theta$ son soluciones por la paridad del coseno). Ahora escogemos un vector $e_2$ ortogonal a $e_1$ y de norma $1$ y definimos $e_3=(u_2{v}_3-u_3{v}_2,u_3{v}_1-u_1{v}_3,u_1{v}_2-u_2{v}_1)$, donde $e_1=(u_1,u_2,u_3)$ y $e_2=(v_1,v_2,v_3)$. Entonces $e_1,e_2,e_3$ es una base ortonormal positiva de ${\mathbb{R}}^3$ y $\underset{(e_1,e_2,e_3)}{det}(e_1,e_2,A{e}_2)$ nos da el valor de $\sin \theta$, con lo cual podremos determinar a $\theta$ de manera única. En la práctica bastará con encontrar el signo de $\underset{(e_1,e_2,e_3)}{det}(e_1,e_2,A{e}_2)$, ya que esto nos dará el signo de $\sin \theta$, lo cual determina $\theta$ de manera única gracias a la ecuación $\text{(2)}$.

Finalmente, si se supone que $T$ es negativa, entoces $-T$ es positiva y por lo tanto todo el estudio que acabamos de hacer se puede aplicar a $-T$.

Para finalizar, veremos un ejemplo concreto.

Ejemplo. Demuestra que a matriz
$$A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ -2& 1& 2\\ 1& -2& 2\end{array}\right)$$ es ortogonal y estudia su isometría correspondiente en ${\mathbb{R}}^3$.

Solución. El cálculo para verificar que $A$ es ortogonal es muy sencillo y se deja como tarea moral. Luego vemos que $detA=1$, por lo que la isometría asociada es positiva. Como $A$ no es simétrica, se sigue que $T$ es una rotación. Para encontrar el eje necesitamos resolver el sistema $AX=X$, el cual es equivalente a
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}2x+2y+z& =3x\\ -2x+y+2z& =3y\\ x-2y+2z& =3z\end{array}\end{array}$$ y entonces $x=z$ y $y=0$. Por lo tanto, el eje de rotación está generado por el vector $(1,0,1)$. Normalizandolo obtenemos el vector
$$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1),$$ que genera al eje de $T$.
sea $\theta$ el ángulo de rotación, tal que
$$1+2\cos \theta =Tr(A)=\frac{5}{3},$$ y por lo tanto
$$cos\theta =\frac{1}{3}.$$
Falta determinar el signo de $\sin \theta$. Para ello, escogemos un vector ortogonal a $e_1$, digamos $$e_2=(0,1,0)$$ y calculamos el signo de
$$det(e_1,e_2,A{e}_2)=\frac{1}{3\sqrt{2}}\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& -2\end{array}\right|=-\frac{4}{3\sqrt{2}}<0,$$ por lo que $\sin \theta <0$ y finalmente $\theta =-\arccos \frac{1}{3}$.

Más adelante…

Tarea moral

1. Verifica que la matriz $A$ del ejemplo anterior es ortogonal.
2. Encuentra la matriz asociada a la simetría ortogonal en ${\mathbb{R}}^3$ con respecto a la recta generada por el vector $(1,2,3)$.
3. Encuentra la matriz asociada a la simetría ortogonal en ${\mathbb{R}}^3$ con respecto al plano generad por los vectores $(1,1,1)$ y $(0,1,0)$.
4. Sea $V={\mathbb{R}}^3$.¿En qué casos una rotación sobre $V$ conmuta con una simetríai ortogonal?

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