El gran arquitecto parece ser un matemático; a aquellos que no saben matemáticas les resulta realmente difícil sentir la profunda belleza de la naturaleza. – Richard Feynman
Introducción
¡Hemos llegado al final de la unidad 3 del curso!.
Concluiremos presentando el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden en el caso general.
En la primera entrada de esta unidad enunciamos el teorema de existencia y unicidad en el caso general, en esta entrada retomaremos dicho teorema con la diferencia de que lo adaptaremos a la notación vectorial que ya conocemos ya que esto tiene una enorme ventaja al momento de hacer la demostración.
La demostración de este teorema, al igual que el teorema de Picard – Lindelöf, requiere de una extensa teoría preliminar. En este caso no demostraremos dicha teoría preliminar, sólo la justificaremos ya que una enorme ventaja que tenemos es que mucho de los que vimos en la primer unidad se puede extender a los sistemas de ecuaciones diferenciales, así que lo que haremos será desarrollar esta extensión generalizando los resultados para así demostrar el teorema.
Se recomienda, si lo crees necesario, revisar las tres últimas entradas de la primera unidad para recordar la teoría previa a la demostración del teorema de Picard – Lindelöf, así como la demostración misma.
Comencemos por construir el enunciado del teorema.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales
Donde las , son funciones con valores reales que dependen de las variables en un intervalo . Sabemos que
Con ayuda de estos vectores podemos definir el vector
De manera que el sistema de ecuaciones diferenciales () se puede escribir en forma vectorial como
Si el sistema de ecuaciones diferenciales () esta sujeto a valores iniciales
con , constantes, entonces tenemos un problema de valores iniciales (PVI).
Definamos, por otro lado, una región como el producto cartesiano
en donde
de tal forma que , es decir, .
Con estos resultados, el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden se puede enunciar de la siguiente forma.
Teorema: Sea el problema de valores iniciales Con . Supongamos que , y existen y son continuas en . Entonces existe un intervalo , tal que existe una única solución del problema de valores iniciales.
Este es el teorema que demostraremos.
Ecuación integral equivalente a un PVI
Como lo hicimos con el teorema de Picard – Lindelöf, es posible mostrar que el problema de valores iniciales () es equivalente a una ecuación integral. El siguiente teorema establece este resultado.
Teorema: Sea continua en un dominio que contenga a , entonces es solución del problema de valores iniciales () si y sólo si es solución de la ecuación integral
La demostración es bastante similar a la que realizamos para el caso de ecuaciones diferenciales de primer orden. Intenta hacer la demostración. A continuación presentaremos una justificación que te puede ser de ayuda en tu demostración formal.
Justificación: Consideremos el sistema
Integremos de a .
Apliquemos el teorema fundamental del cálculo.
Como , del resultado anterior se obtiene la ecuación integral ()
Este es nuestro primer resultado generalizado. Lo siguiente que haremos será generalizar las iteraciones (o iterantes) de Picard.
Iterantes de Picard
Definición: Sea el problema de valores iniciales con solución única en alguna región , dicha solución se puede construir de forma iterativa de acuerdo a la expresión En donde se define . Estas iteraciones son las llamadas iterantes de Picard.
En su forma desglosada las iterantes de Picard se pueden escribir como
Lo interesante de las iterantes de Picard es que, cumpliendo ciertas hipótesis, éstas convergen a la solución del PVI (). El siguiente teorema nos ayudará a mostrar este hecho.
Teorema: Sea con , una sucesión de funciones que converge uniformemente a una función en el intervalo y sea una función continua en un dominio , tal que , , , entonces
La demostración para el caso de ecuaciones de primer orden la hicimos como parte de la demostración del teorema de Picard – Lindelöf. Intenta generalizar dicha demostración.
Consideremos cierto este teorema, notemos lo siguiente.
Sea una sucesión de iteraciones de Picard que convergen uniformemente a una función en el intervalo y sea una función continua en , tal que y , , entonces
Usando () se obtiene la ecuación integral ().
Con este resultado mostramos que si se satisfacen las hipótesis del teorema anterior, entonces la función a la que convergen las iteraciones de Picard satisface la ecuación integral (), lo que es equivalente a que dicha función sea solución del PVI ().
Ahora bien, para que las iterantes de Picard converjan a la solución del PVI () deben satisfacer las hipótesis del teorema anterior por lo que es necesario que exista un dominio en el que y en el que la sucesión de iteraciones converja. Debemos encontrar este dominio, para hacerlo generalicemos algunos resultados más.
Funciones Lipschitzianas
Un primer resultado que usaremos es el siguiente.
Teorema: Supongamos que es una función continua en una región , tal que y y sea un intervalo en definido como con , entonces , tal que y .
En este teorema podemos describir a la región como
En esta región garantizamos que las iterantes de Picard están todas contenidas.
Un resultado más que necesitaremos tiene que ver con que sea una función lipschitziana respecto a la segunda variable. Recordando la definición que dimos para el caso de ecuaciones de primer orden, podemos definir una función lipschitziana como sigue.
Definición: Sean y . Se dice que es una función lipschitziana en respecto de la segunda variable si existe una constante , tal que es la correspondiente constante de Lipschitz.
Un resultado sumamente útil para determinar si una función es lipschitziana es el siguiente.
Teorema: Sea un dominio convexo y una función tal que , existe en y , entonces es una función lipschitziana respecto de la segunda variable en .
Lema de Gronwall: Sean y , tales que con constantes, entonces .
Este resultado no requiere de generalización, lo usaremos de esta forma.
Todo lo anterior corresponde a la teoría preliminar que debemos conocer para lograr demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Lo visto corresponde a una generalización de la teoría preliminar al teorema de Picard – Lindelöf, por lo que las demostraciones a los resultados de esta entrada serán prácticamente una generalización de las demostraciones vistas para el caso de ecuaciones de primer orden. De tarea moral intenta demostrar todos estos resultados para lograr convencerte del siguiente resultado.
Demostración del teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden
Teorema: Sea el problema de valores iniciales Con . Supongamos que , y existen y son continuas en . Entonces existe un intervalo , tal que existe una única solución del problema de valores iniciales.
Demostración: Comenzaremos por mostrar la existencia de la solución.
Consideremos las hipótesis del teorema y las dos primeras iteraciones de Picard y , sabemos que ambas son continuas en el intervalo definido en (), entonces existe , tal que
Queremos demostrar que la norma de la diferencia entre iterantes de Picard esta acotada, es decir, que y ,
La prueba la haremos por inducción. El caso ya lo vimos en (). Supongamos que es cierto para .
Esta es nuestra hipótesis de inducción. Queremos probar que
Usando la forma de la iteraciones de Picard (), notemos lo siguiente.
Como es lipschitziana con respecto de la segunda variable, entonces se satisface (), de manera que
Así,
Usemos la hipótesis de inducción ().
Esto es,
Hemos obtenido () que es lo que queríamos probar.
Como , observemos que
y sabemos que
Como , y son valores fijos, entonces es una valor fijo lo que muestra que la serie
Es decir, la serie es convergente. Consideremos la sucesión de diferencias de iterantes de Picard consecutivas , . De los resultados anteriores sabemos que
y como ,
entonces, por el criterio mayorante de Weierstrass, se tiene que
es decir, converge uniformemente en a una función, digamos . Así
también converge uniformemente en a una función, digamos . La sucesión de sumas parciales converge uniformemente en . Para en () se tiene la suma parcial como
Ya que . Para , se tiene
Así sucesivamente obtendremos que
Por lo tanto, la sucesión de iteraciones de Picard converge uniformemente en a una función , esto significa que es solución de la ecuación integral
y por lo tanto, es solución del problema de condición inicial.
Con esto queda demostrada la existencia de la solución del PVI. Concluyamos con la demostración de la unicidad.
Sea la solución del PVI () y supongamos que existe otra función que también es solución del PVI, entonces
y
Notemos lo siguiente.
En donde se ha aplicado nuevamente la propiedad de de ser lipschitziana con respecto de la segunda variable.
Definamos la función escalar
Entonces el resultado anterior se puede escribir como
Notemos que esta expresión se parece a la desigualdad () del lema de Gronwall con y . Usando este lema, se obtiene
De donde necesariamente debe ocurrir que
Por lo tanto, ambas funciones tienen que ser iguales.
Y es así como queda demostrada la unicidad de la solución. Y, por lo tanto, queda demostrado el teorema.
Con esto concluimos la tercera unidad del curso.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Demostrar formalmente los teoremas vistos en la teoría preliminar de esta entrada. Puedes guiarte de las demostraciones hechas en la primera unidad generalizando los resultados.
Más adelante…
Hemos concluido con la unidad 3 del curso.
La siguiente y última unidad del curso será un complemento de esta unidad 3, ya que hemos estudiado a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden desde una perspectiva analítica y es posible construir toda una teoría geométrica y cualitativa de estos mismos sistemas.
En la siguiente unidad estudiaremos la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Estudié matemáticas, la locura de la razón. – Benjamin Moser
Introducción
A lo largo de esta primera unidad hemos estudiado una variedad de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y hemos desarrollado distintas técnicas para resolver cada tipo de ecuación. Vimos que una sola ecuación puede tener infinitas soluciones y sólo cuando le imponemos una condición inicial es como podremos obtener una solución particular de esa ecuación diferencial. Ahora bien, si la solución existe, entonces debe ser única pero, ¿es siempre cierto esto?.
Ya presentamos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden y el teorema de existencia y unicidad para el caso de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, nuestro objetivo ahora es tener un teorema de existencia y unicidad general que pueda aplicarse a cualquier ecuación diferencial ordinaria de primer orden.
Este teorema, conocido como teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf contiene las hipótesis suficientes para garantizar que si existe una solución a un problema de valor inicial (PVI), entonces dicha solución es única.
Cabe mencionar que es posible enunciar un teorema de existencia y unicidad de tipo global y uno de tipo local. En el caso de tipo global el intervalo de existencia de la solución se conoce a priori, mientras que en uno de tipo local se asegura que existe un intervalo, en un principio desconocido, donde el PVI tiene solución única. En este curso demostraremos el resultado de tipo global y veremos que el de tipo local es consecuencia del global, además de que puedes encontrar la demostración al teorema de tipo local en la sección de videos.
Demostrar el teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf no es tarea fácil, primero será necesario desarrollar una teoría preliminar en la que estableceremos algunos conceptos nuevos y, así mismo, haremos un breve repaso sobre conceptos que conocemos y que nos serán de utilidad para demostrar dicho teorema. Esta teoría preliminar la desarrollaremos a lo largo de esta y la siguiente entrada para finalmente demostrar el teorema en la última entrada de esta primera unidad.
Comenzaremos enunciando el teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf para tenerlo presente, a pesar de que quizá algunas cosas no queden claras, el objetivo de esta teoría preliminar será comprender lo que nos quiere decir este teorema, además de brindarnos las herramientas necesarias para demostrarlo.
Bien, ¡comencemos!.
Teorema de Existencia y Unicidad de Picard-Lindelöf
El teorema global de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es el siguiente.
Teorema: Supongamos que se cumplen las siguientes tres hipótesis:
, donde es un intervalo compacto en ,
es continua en , y
es lipschitziana en respecto de la segunda variable.
En esta situación, para cada , el problema de valores iniciales (PVI) Label '1' multiply defined posee una única solución definida en el intervalo .
Además, las iterantes de Picard asociadas al PVI (), dadas por Label '2' multiply defined convergen uniformemente en el intervalo hacia la solución del PVI.
Una observación importante es que el punto puede estar en la frontera de la banda vertical , es decir, puede ser de la forma o
Podemos notar que en el enunciado se hace mención de términos que aún no conocemos, como lo son función lipschitziana e Iterantes de Picard, así que necesitamos definirlos.
Este teorema corresponde al resultado global en el que el intervalo es una banda vertical , en el caso local se considera una región limitada definida como
y la solución esta definida en el intervalo para cierta . Una vez demostrado el resultado global retomaremos el caso local.
En esta teoría preliminar veremos que el PVI () puede ser equivalente a resolver una ecuación integral, estudiaremos las funciones lipschitzianas de una y dos variables, demostraremos algunas proposiciones al respecto, demostraremos el lema de Gronwall, repasaremos algunos conceptos importantes sobre sucesiones, series y convergencia, definiremos las iteraciones de Picard y veremos algunos ejemplos. Una vez desarrollada esta teoría pasaremos a la demostración del teorema de existencia y unicidad.
Para comenzar, veamos que el PVI () se puede escribir de forma equivalente como una ecuación integral cuando la función es continua.
Ecuación integral equivalente a un PVI
Un PVI como () se puede escribir de forma equivalente como una ecuación integral en el caso en el que la función sea continua. Evidentemente este no es un curso ecuaciones integrales, pero para entender esta equivalencia definiremos lo que es una ecuación integral.
Definición: Una ecuación integral es aquella ecuación que relaciona la función incógnita con una integral y dicha relación es que la función aparece en el integrando.
Teniendo en cuenta esta definición demostremos nuestro primer teorema de esta teoría preliminar el cual refleja el hecho de que un PVI como () es equivalente a resolver una ecuación integral.
Teorema: Sean una función continua en una región y un intervalo en . Una función , con gráfica contenida en , es solución del PVI si, y sólo si, para cada , es una función continua en que verifica la ecuación integral Label '3' multiply defined
Demostración:
Supongamos que con gráfica contenida en , es solución del PVI, entonces cumple que
Como es solución de la ecuación diferencial en el intervalo , entonces debe ser continua en el mismo intervalo, así tenemos que y son continuas y por tanto y la función
también son continuas, de esta manera podemos integrar la ecuación para cualquier .
Aplicando el teorema fundamental del cálculo (regla de Barrow) en el lado izquierdo de la ecuación, tenemos
obteniendo así que verifica la ecuación integral ().
Ahora supongamos que es una función continua en y que satisface la ecuación integral
Derivemos esta expresión.
Donde se ha aplicado el teorema fundamental del cálculo. Con este resultado vemos que se ha recuperado la ecuación diferencial , mostrando así que es solución a la ecuación diferencial y además
es decir, se satisface la condición inicial , de esta manera queda demostrado que es solución del PVI.
Este resultado es muy útil en muchos resultados sobre ecuaciones diferenciales y nos será de utilidad para motivar, más adelante, la introducción a las llamadas iterantes de Picard.
Continuando con nuestra teoría preliminar, un concepto sumamente importante que estudiaremos a continuación es el de funciones lipschitzianas.
Funciones Lipschitzianas
Como estamos trabajando con la ecuación diferencial
la función es una función de dos variables, así que nos interesa estudiar las funciones lipschitzianas de dos variables, sin embargo es probable que este sea un concepto nuevo y para que sea más intuitivo entenderlo presentaremos la definición de función lipschitziana para el caso de una función de una variable y realizaremos algunos ejemplos sencillos para posteriormente definir la función lipschitziana en el caso de dos variables.
Definición: Sea . Una función se dice que es lipschitziana en (o que satisface una condición de Lipschitz en ) cuando existe una constante , tal que Label '4' multiply defined para cada par de puntos . En tal caso se dice que es una constante de Lipschitz para en .
Con esta definición observamos que si el cociente
corresponde a la pendiente de la recta secante a la gráfica de que pasa por los puntos y , de esta forma la condición de Lipschitz indica que todas estas pendientes están acotadas, es decir, existe una constante , tal que
para cada , con .
Recta secante que une a los puntos y .
No entraremos es muchos detalles para el caso de una función de una variable, pero cabe mencionar que cualquier función lipschitziana es uniformemente continua, ya que dado basta tomar y la condición de Lipschitz () para que se verifique que
Como ejemplo mostremos que toda recta es una función lipschitziana.
Ejemplo: Mostrar que la función
es una función lipschitziana, con .
Solución: Queremos probar que se cumple (). Vemos que
En donde consideramos que . En este caso se da la igualdad
probando así que la función es una función Lipschitziana.
Hay funciones uniformemente continuas que no son lipschitzianas, un ejemplo puede ser la función definida como , esta función es uniformemente continua pero no lipschitziana. Mostremos este hecho.
Ejemplo: Mostrar que la función , definida como no es lipschitziana.
Solución: Vamos a suponer que la función es lipschitziana y lleguemos a una contradicción. Si fuera lipschitziana debería satisfacer que
y para alguna . Vemos que
es decir, ( es positiva),
Si (), entonces
Este último resultado nos dice que la función esta acotada por para , sin embargo si tomamos el límite por la derecha obtenemos
Hemos llegado a una contradicción y todo ocurrió de suponer que la función era lipschitziana. Por lo tanto, a pesar de ser uniformemente continua, no es lipschitziana.
Un resultado más que no demostraremos es el siguiente teorema.
Teorema: Si es un intervalo y es derivable, con derivada acotada en , entonces es una función lipschitziana en .
Hay funciones lipschitzianas que no son derivables, por ejemplo la función definida por .
Podemos decir, entonces, que la condición de Lipschitz es una condición intermedia entre continuidad uniforme y la existencia de derivada acotada.
Con esto en mente, ahora definamos lo que es una función lipschitziana para el caso en el que la función es de dos variables. Para este caso, la condición de Lipschitz sólo afectará a una de las variables, concretamente a la segunda, importante considerar este hecho.
Definición: Sean y . Se dice que es una función lipschitziana en respecto de la segunda variable (o que satisface una condición de Lipschitz en respecto de ) cuando existe una constante , tal que Label '5' multiply defined para cada par de puntos . En tal caso se dice que es una constante de Lipschitz para en respecto a la segunda variable.
La relación () es lo que se pide que se cumpla en la tercer hipótesis del teorema de Picard – Lindelöf.
Enunciemos dos proposiciones importantes con respecto a las funciones lipschitzianas de dos variables que nos serán de utilidad a la hora de demostrar el teorema de Picard – Lindelöf.
Proposición: Supongamos que es una función lipschitziana respecto de la segunda variable en un conjunto con constante de Lipschitz y existe la función . Entonces esta acotada en y además Label '6' multiply defined ara cada .
Demostración: Sea una función lipschitziana respecto de la variable y supongamos que existe su derivada parcial con respecto a dicha variable . Por definición, para se tiene que
Label '7' multiply defined
Dado un y para suficientemente pequeño , el punto pertenece a . Sea una constante de Lipschitz de respecto de en . De acuerdo a la definición de la condición de Lipschitz se verifica que
Label '8' multiply defined
Usando () y () tenemos lo siguiente.
Esto es,
lo que significa que esta acotada en por la constante de Lipschitz .
Ahora revisemos el resultado recíproco de la proposición anterior en donde es necesario que sea un conjunto convexo.
Proposición: Si es un conjunto convexo en y , es tal que existe acotada en , entonces es una función lipschitziana respecto de la segunda variable.
Demostración: Para demostrar esta proposición haremos uso del teorema del valor medio para funciones de una variable, de aquí la necesidad de que sea convexo.
Por hipótesis, esta acotada en , sea , tal que
Label '9' multiply defined
para cada , y sean con . Como es convexo tenemos garantizado que para cada tal que el punto pertenece a , pues dicho punto pertenece al segmento que une los puntos y , con estos resultados la función
está bien definida y es derivable
para cada . Por el teorema del valor medio, existe tal que y tal que
es decir,
Esta igualdad también la podemos escribir como
Label '10' multiply defined
Por la desigualdad (), tenemos
Label '11' multiply defined
De los resultados () y () concluimos que
lo que prueba que es una función lipschitziana con respecto de la segunda variable.
Esta proposición es bastante útil, pues basta verificar que la derivada de esta acotada en un conjunto convexo para concluir que es una función lipschitziana respecto de la segunda variable. Realicemos un ejemplo.
Ejemplo: Sea . Mostrar que la función definida como
es una función lipschitziana respecto de la segunda variable.
Solución: Es claro que el conjunto es convexo y que existe la derivada de con respecto a dada por
Como
y , notamos que
Esto es,
esto muestra que la derivada de esta acotada, por la proposición anterior concluimos que la función es lipschitziana y podemos tomar como constante de Lipchitz el valor .
En este ejemplo vimos que el valor es una cota de , sin embargo cualquier número mayor a cumple también la desigualdad y por tanto también puede ser una constante de Lipschitz en . En general, una buena constante de Lipschitz puede ser
Label '12' multiply defined
De ambas proposiciones podemos realizar la siguiente caracterización de Lipschitz, bastante útil en la práctica.
Corolario: Si es un conjunto convexo en y es una función tal que existe , entonces es una función lipschitziana si, y sólo si, es acotada en .
En este corolario unimos los resultados de las dos proposiciones anteriores.
Con esto concluimos el estudio de las funciones lipschitzianas, es importante tener presente este último corolario ya que será de suma relevancia en la demostración del teorema de Picard.
Para concluir con esta entrada presentaremos una herramienta más que nos será de mucha utilidad a la hora de demostrar el teorema de Picard – Lindelöf, en particular nos ayudará a probar la unicidad de la solución al PVI (). Revisemos el Lema de Gronwall.
Lema de Gronwall
Este resultado fue desarrollado por Thomas Hakon Grönwall en 1919.
Lema de Gronwall: Sean y , tales que Label '13' multiply defined con constantes, entonces Label '14' multiply defined
Demostración: Definamos la función
Label '15' multiply defined
Notemos que
En términos de y la desigualdad () se puede escribir de la siguiente forma.
de donde,
Label '16' multiply defined
Multipliquemos ambos lados de la desigualdad por .
Label '17' multiply defined
Identificamos que el lado izquierdo de la última desigualdad corresponde a la derivada del producto de las funciones y , en efecto
Sustituimos en la desigualdad ().
Label '18' multiply defined
Integremos de a .
pero
Así,
Label '19' multiply defined
Multipliquemos ambos lados de la desigualdad por .
es decir,
Label '20' multiply defined
De la desigualdad original () sabemos que
de donde,
Label '21' multiply defined
De los resultados () y (), tenemos
lo que nos interesa es la desigualdad
haciendo un poco de álgebra obtenemos lo siguiente.
Por lo tanto,
Con esto queda demostrado que si se cumple la desigualdad (), entonces , .
Usando el lema de Gronwall podemos demostrar el siguiente corolario de manera inmediata.
Corolario: Supongamos las hipótesis del lema de Gronwall, con , entonces , .
Demostración: Debido a que se cumplen todas las hipótesis del lema de Gronwall sabemos que
Pero si , entonces
de donde se deduce que , .
Con esto concluimos la primer entrada sobre la teoría preliminar que necesitamos conocer para poder demostrar el teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Probar que la función , es una función lipschitziana
Probar que la función , es lipschitziana, con
Probar que la función , no es una función lipschitziana. Hint: Suponer que lo es, es decir y considerar la definición de derivada para llegar a una contradicción.
En los siguientes ejercicios se puede usar la definición de función lipschitziana respecto de la segunda variable o las proposiciones vistas.
Probar que la función con definida como es una función lipschitziana respecto de la segunda variable, con .
Probar que la función con definida como es una función lipschitziana respecto de la segunda variable, con .
Más adelante…
En esta entrada conocimos el teorema de existencia y unicidad de Picard – Lindelöf para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Vimos que el PVI () es equivalente a resolver la ecuación integral (), definimos a las funciones lipschitzianas de dos variables, demostramos algunos resultados al respecto y concluimos con la demostración del lema de Gronwall. Todos estos resultados los aplicaremos más adelante en la demostración del teorema de Picard – Lindelöf.
En la siguiente entrada continuaremos desarrollando esta teoría preliminar. Definiremos el concepto de aproximaciones sucesivas, mejor conocidas como iterantes de Picard, haremos un breve repaso sobre convergencia de series y sucesiones de funciones, presentaremos el resultado local del teorema de existencia y unicidad y resolveremos un ejercicio al respecto.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Ya platicamos de continuidad, diferenciabilidad e integrales, así como de otros temas de cálculo. En esta sección reuniremos varias de estas ideas a través de uno de los resultados más importantes: el teorema fundamental del cálculo. Este teorema nos exhibe la relación que hay entre la derivada y la integral, distinguiéndolas como procedimientos inversos el uno del otro.
El teorema nos dice que si tenemos una función derivable sobre un intervalo , entonces
Ahora bien, si nuestra función es derivable en , tenemos que
a lo que le sigue que
Esto nos recuerda a la constante de integración
Es decir, tenemos que .
Aquí en el blog, en la entrada «Teoremas fundamentales de los cuadraditos» damos la intuición acerca de este teorema, comenzando con el caso discreto. Puedes leerlo antes de continuar.
Usar el teorema fundamental del cálculo para obtener una identidad trigonométrica
Veamos un ejemplo. Tenemos que la derivada de la función es . Por el teorema fundamental del cálculo, la integral de en el intervalo está dada por
en donde usamos que .
Por otro lado, resolviendo la integral utilizando el cambio de variable , tenemos que
Igualando ambos valores de la integral, tenemos que . De aquí obtenemos la identidad trigonométrica pitagórica para toda .
Veamos ahora un problema en el que, mediante el problema fundamental del cálculo,
Problema. Aplicando el teorema fundamental del calculo halla
Sugerencia pre-solución.Formula un problema equivalente multiplicando y dividiendo la expresión por . Intenta identificar la expresión resultante como la derivada de otra función.
Solución. Para resolver este problema tenemos que hallar una función de tal forma que .
Para ello, tenemos que notar que
Y entonces la derivada de es igual a
Proponemos a la función
dado que
Ahora, aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos que
Segundo teorema fundamental del cálculo
Veamos una implicación del teorema fundamental del cálculo, que también se le conoce como el «segundo teorema fundamental del cálculo».
Para una función continua en el intervalo se tiene que:
Problema. Determina
Sugerencia pre-solución. Usa el segundo teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.
Solución. Como tenemos entonces que
Por otro lado, consideremos las funciones
Aplicando el teorema fundamental del cálculo y derivando tenemos que
Notemos que
Así, aplicando la regla de la cadena, tenemos que
Veamos un último problema en el que se usa la segunda forma del teorema fundamental del cálculo.
Problema: Supongamos que es una función continua para toda , la cual satisface la ecuación
donde es una constante. Encuentra la forma explícita de la función y determina el valor de la constante .
Sugerencia pre-solución.
Solución. De la ecuación, tenemos lo siguiente
Como es continua para toda , por el teorema fundamental del cálculo en su segunda forma tenemos que
y
Entonces, derivando ambos lados de la expresión original nos resulta la ecuación
de la cual se obtiene
Así, tenemos que
Sustituyendo en la ecuación (1), tenemos que
Así,
Con ello, tenemos que
Por lo tanto la función que satisface la ecuación es y el valor de la constante es .
Más problemas
Hay más ejemplos de problemas relacionados con la aplicación del teorema fundamental del cálculo en la Sección 6.9 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.