Ahora que hemos comenzado a revisar las funciones trigonométricas de seno y coseno, en esta entrada veremos las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. De igual manera, revisaremos las funciones inversas y su representación gráfica.
Hablemos de la tangente y la cotangente
Recordemos de la entrada anterior las definiciones:
Para la función tangente tenemos que su gráfica se vería como:
Observación: La tangente presenta asíntotas en los valores con .
Y su rama principal la consideramos definida en el dominio:
Y para la función cotangente su gráfica sería:
Observación:La cotangente presenta asíntotas en los valores con .
Para esta función consideraremos como su rama principal en el siguiente dominio: .
Ahora la secante y la cosecante
Ya vimos que están definidas como:
Comencemos con la gráfica para la función secante:
Observación: La secante presenta asíntotas en los valores con .
Notemos que esta función se encuentra definida sobre cada cresta y por debajo de cada valle de la función :
Tomaremos como domino donde la función es invertible a:
Para la función cosecante vemos que se encuentra definida sobre cada cresta y por debajo de cada valle de la función :
Observación: La cosecante presenta asíntotas en los valores con .
Para esta función consideraremos al dominio donde es invertible a:
¿Quiénes son las funciones inversas?
Para poder visualizar las gráficas de cada una de las funciones trigonométricas utilizaremos el método descrito previamente de reflejar la gráfica de la función respecto de la función identidad en el dominio donde es biyectiva o invertible.
Comenzaremos con la inversa de la función en el dominio :
A la llamaremos arcoseno de : geométricamente esta función nos da el arco cuyo seno es valor.
Procederemos de la misma manera con en el dominio :
Ahora a la llamaremos arcocoseno de : y su interpretación geométrica sería el arco cuyo coseno es el valor .
Dejaremos como ejercicio de Tarea moral realizar la gráfica para la función inversa de en el dominio : la función arcotangente nos da el arco cuya tangente es el valor .
Más adelante
En la siguiente entrada veremos al conjunto de funciones exponenciales y logarítmicas, sus representaciones gráficas, la relación que existe entre ellas y algunos resultados que cumplen, como las leyes de los exponentes y las leyes de los logaritmos.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En esta entrada presentaremos las razones trigonométricas respecto de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, estas pueden ser vistas como funciones si consideramos el ángulo como una variable, veremos como extender estas funciones a ángulos de cualquier magnitud y algunas identidades trigonométricas.
Razones trigonométricas
Definiciones. Consideremos un triángulo rectángulo donde es la hipotenusa y sea , decimos que es el cateto opuesto a y es el cateto adyacente a .
Definimos las razones trigonométricas respecto del ángulo como sigue:
El seno del ángulo como y lo denotamos como . El coseno del ángulo como y lo denotamos como . La tangente del ángulo como y lo denotamos como . La cosecante del ángulo como como y lo denotamos como . La secante del ángulo como y lo denotamos como . La cotangente del ángulo como y lo denotamos como .
Figura 1
Si consideramos el ángulo complementario a , , entonces de las definiciones se siguen las siguientes relaciones:
, , , .
, , , .
Círculo trigonométrico
Consideremos un círculo con centro en de radio , por trazamos dos rectas perpendiculares e , tomamos un punto en el cuadrante formado por el rayo derecho y el rayo superior y trazamos las proyecciones , de a las rectas , respectivamente.
El triángulo es rectángulo y su hipotenusa , si consideramos el ángulo entonces y .
Figura 2
Tracemos la tangente a por , la intersección entre y , tomemos como la intersección entre la tangente y entonces y los triángulos y son semejantes por lo tanto y .
Ahora trazamos la tangente a por , la intersección de con , tomamos como la intersección de la tangente con entonces , por lo tanto y así y son semejantes, por lo tanto, y .
Con esta construcción podemos extender las definiciones de función trigonométrica para ángulos agudos a ángulos de cualquier magnitud trasladando el punto alrededor de la circunferencia y tomando las proyecciones de , e a las rectas e respectivamente que tomaremos como positivas si se encuentran en los rayos derecho y superior o negativas si se encuentran en los rayos izquierdos e inferior de las rectas , respectivamente.
De esta manera todas las razones trigonométricas quedan determinadas por el valor de y .
Teorema 1,identidad pitagórica. Sea entonces, .
Demostración. Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo , (figura 2).
.
Ley extendida de senos
Teorema 2, ley extendida de los senos. Sean y su circuncírculo, etiquetemos , , y , , las longitudes de sus lados, entonces .
Demostración. Tracemos el punto diametralmente opuesto a , entonces , pues subtienden el mismo arco.
es un ángulo recto, pues es diámetro, por lo tanto .
Por lo tanto, .
Figura 3
De manera análoga podemos ver que y .
Por lo tanto, .
Corolario. El seno de un ángulo inscrito en una circunferencia de diámetro es igual a la cuerda que abarca dicho ángulo.
Demostración. Se sigue de sustituir en el teorema anterior.
Ley de cosenos
Teorema 3, ley de cosenos. Sean , , , y , , las longitudes de sus lados, entonces se da la siguiente igualdad: .
Demostración. Trazamos el pie de la perpendicular a desde y aplicamos el teorema de Pitágoras a y de donde obtenemos
Figura 4
Sustituimos en y obtenemos .
Por otro lado .
Así que .
De manera similar se puede ver que y .
El seno de la suma
Teorema 4, el seno de la suma de dos ángulos. Sean y ángulos agudos entonces .
Demostración. Sea cíclico tal que es diámetro del circuncírculo, y .
Figura 5
Como consecuencia del corolario tenemos que , ademas y son triángulos rectángulos pues es diámetro.
Teorema 5, el coseno de la suma de dos ángulos. Sean y ángulos agudos tales que entonces .
Demostración. Sea cíclico tal que es diámetro del circuncírculo, y .
Figura 6
Como y son triángulos rectángulos y tenemos que (teorema 4), , , , (corolario).
Por el teorema de Ptolomeo, aplicado a obtenemos: (teorema 1) .
.
Por lo tanto, .
Seno y coseno del ángulo medio
Teorema 6, el seno y el coseno del ángulo medio. Sea un ángulo agudo entonces y .
Demostración. Sea cíclico tal que es diámetro y .
Figura 7
Ya que y son triángulos rectángulos podemos ver que , , , , (corolario).
Aplicando Ptolomeo y el teorema 4 obtenemos: .
Por lo tanto,
De donde se sigue que .
Ahora sustituimos la identidad pitagórica en la ecuación y obtenemos: .
Más adelante…
En la siguiente entrada estudiaremos algunas propiedades relacionadas con el incírculo y los excÍrculos de un triángulo, así como también sobre sus centros y radios.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
A partir de un triangulo equilátero deriva los valores de las seis razones trigonométricas para los ángulos y , A partir de un triángulo rectángulo isósceles deduce los valores de las seis razones trigonométricas para el ángulo .
Recordemos que consideramos la magnitud de un ángulo central como positiva, si recorremos el arco de circunferencia que subtiende dicho ángulo en el sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativa en caso contraio, muestra que para cualquier valor de se cumple que: , , , , .
Sean y ángulos agudos tales que , muestra geométricamente: el seno de la diferencia de dos ángulos, , el coseno de la diferencia de dos ángulos, .
Sean y ángulos agudos prueba que: , .
Sea , por traza cualquier recta que corte a en , muestra que .
Figura 8
Demuestra que si y entonces y .
Sea con , , , , , , demuestra las siguientes formulas para calcular el área de : , .
Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 69-78.
Cárdenas, S., Notas de Geometría. México: Ed. Prensas de Ciencias, 2013, pp 55-62.
Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 89-95.
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»