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Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones trigonométricas (Parte 2)

Por Karen González Cárdenas

Introducción


Ahora que hemos comenzado a revisar las funciones trigonométricas de seno y coseno, en esta entrada veremos las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. De igual manera, revisaremos las funciones inversas y su representación gráfica.

Hablemos de la tangente y la cotangente

Recordemos de la entrada anterior las definiciones:

tan(θ)=sen(θ)cos(θ)cot(θ)=cos(θ)sen(θ)

Para la función tangente tenemos que su gráfica se vería como:

Observación: La tangente presenta asíntotas en los valores x=kπ2 con kZ.

Y su rama principal la consideramos definida en el dominio:
tan:(π2,π2)R

Y para la función cotangente su gráfica sería:

Observación: La cotangente presenta asíntotas en los valores x=kπ con kZ.

Para esta función consideraremos como su rama principal en el siguiente dominio:
cot:(0,π)R.

Ahora la secante y la cosecante

Ya vimos que están definidas como:
sec(θ)=1cos(θ)csc(θ)=1sen(θ).

Comencemos con la gráfica para la función secante:

Observación: La secante presenta asíntotas en los valores x=kπ2 con kZ.

Notemos que esta función se encuentra definida sobre cada cresta y por debajo de cada valle de la función cos(θ):

Tomaremos como domino donde la función es invertible a:
D=[0,π2)(π2,π].

Para la función cosecante vemos que se encuentra definida sobre cada cresta y por debajo de cada valle de la función sen(θ):

Observación: La cosecante presenta asíntotas en los valores x=kπ con kZ.

Para esta función consideraremos al dominio donde es invertible a:
D=[π2,0)(0,π2].

¿Quiénes son las funciones inversas?

Para poder visualizar las gráficas de cada una de las funciones trigonométricas utilizaremos el método descrito previamente de reflejar la gráfica de la función respecto de la función identidad en el dominio donde es biyectiva o invertible.

Comenzaremos con la inversa de la función f(x)=sen(x) en el dominio Df=[π2,π2]:

A f1(x) la llamaremos arcoseno de x:
f1(x)=arcsen(x),
geométricamente esta función nos da el arco cuyo seno es x valor.

Procederemos de la misma manera con g(x)=cos(x) en el dominio Dg=[0,π]:

Ahora a g1 la llamaremos arcocoseno de x:
g1(x)=arccos(x)
y su interpretación geométrica sería el arco cuyo coseno es el valor x.

Dejaremos como ejercicio de Tarea moral realizar la gráfica para la función inversa de h(x)=tan(x) en el dominio Dh=(π2,π2):
h1(x)=arctan(x),
la función arcotangente nos da el arco cuya tangente es el valor x.

Más adelante

En la siguiente entrada veremos al conjunto de funciones exponenciales y logarítmicas, sus representaciones gráficas, la relación que existe entre ellas y algunos resultados que cumplen, como las leyes de los exponentes y las leyes de los logaritmos.

Tarea moral

  • Obtener la gráfica de las siguientes funciones:
    • f(x)=tan(x)
    • f(x)=2sec(x)+1
    • f(x)=arctan(x)
    • f(x)=3csc(x)

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Trigonometría

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

En esta entrada presentaremos las razones trigonométricas respecto de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, estas pueden ser vistas como funciones si consideramos el ángulo como una variable, veremos como extender estas funciones a ángulos de cualquier magnitud y algunas identidades trigonométricas.

Razones trigonométricas

Definiciones. Consideremos un triángulo rectángulo ABC donde AB es la hipotenusa y sea α=BAC, decimos que BC es el cateto opuesto a α y AC es el cateto adyacente a α.

Definimos las razones trigonométricas respecto del ángulo α como sigue:

El seno del ángulo α como c.opuestohipotenusa y lo denotamos como sinα=BCAB.
El coseno del ángulo α como c.adyacentehipotenusa y lo denotamos como cosα=ACAB.
La tangente del ángulo α como c.opuestoc.adyacente y lo denotamos como tanα=BCAC.
La cosecante del ángulo α como como hipotenusac.opuesto y lo denotamos como cscα=ABBC.
La secante del ángulo α como hipotenusac.adyacente  y lo denotamos como secα=ABAC.
La cotangente del ángulo α como c.adyacentec.opuesto y lo denotamos como cotα=ACBC.

Figura 1

Si consideramos el ángulo complementario a α, β=CBA, entonces de las definiciones se siguen las siguientes relaciones:

sinα=cosβ, cosα=sinβ, tanα=sinαcosα, tanαtanβ=1.

cscα=secβ, secα=cscβ, cotα=cosαsinα, cotαcotβ=1.

Círculo trigonométrico

Consideremos (O,1) un círculo con centro en O de radio 1, por O trazamos dos rectas perpendiculares x e y, tomamos un punto P(O,1) en el cuadrante formado por el rayo derecho Ox y el rayo superior Oy y trazamos las proyecciones X, Y de O a las rectas x, y respectivamente.

El triángulo OPX es rectángulo y su hipotenusa OP=1, si consideramos el ángulo XOP=γ entonces
sinγ=PX y
cosγ=OX.

Figura 2

Tracemos la tangente a (O,1) por Q, la intersección entre x y (O,1), tomemos R como la intersección entre la tangente y OP entonces RQPX y los triángulos OPX y ORQ son semejantes por lo tanto
tanγ=PXOX=RQOQ=RQ y
secγ=OPOX=OROQ=OR.

Ahora trazamos la tangente a (O,1) por S, la intersección de y con (O,1), tomamos T como la intersección de la tangente con OP entonces STx, por lo tanto γ=STO y así OPX y TOS son semejantes, por lo tanto,
cscγ=OPPX=OTOS=OT
cotα=OXPX=STOS=ST.

Con esta construcción podemos extender las definiciones de función trigonométrica para ángulos agudos a ángulos de cualquier magnitud trasladando el punto P alrededor de la circunferencia (O,1) y tomando las proyecciones de P, X e Y a las rectas x e y respectivamente que tomaremos como positivas si se encuentran en los rayos derecho y superior o negativas si se encuentran en los rayos izquierdos e inferior de las rectas x, y respectivamente.

De esta manera todas las razones trigonométricas quedan determinadas por el valor de sinγ=PX y cosγ=OX.

Teorema 1, identidad pitagórica. Sea 0γ<2π entonces, sin2γ+cos2γ=1.

Demostración. Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPX, (figura 2).

1=PX2+OX2=sin2γ+cos2γ.

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Ley extendida de senos

Teorema 2, ley extendida de los senos. Sean ABC y (O,R) su circuncírculo, etiquetemos BAC=α, CBA=β, ACB=γ y a=BC, b=AC, c=AB las longitudes de sus lados, entonces
sinαa=sinβb=sinγc=12R.

Demostración. Tracemos D el punto diametralmente opuesto a C, entonces BDC=α, pues subtienden el mismo arco.

CBD es un ángulo recto, pues CD es diámetro, por lo tanto sinα=sinBDC=aCD.

Por lo tanto, sinαa=12R.

Figura 3

De manera análoga podemos ver que
sinβ=b2R y
sinγ=c2R.

Por lo tanto, sinαa=sinβb=sinγc=12R.

◼

Corolario. El seno de un ángulo inscrito en una circunferencia de diámetro 1 es igual a la cuerda que abarca dicho ángulo.

Demostración. Se sigue de sustituir 2R=1 en el teorema anterior.

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Ley de cosenos

Teorema 3, ley de cosenos. Sean ABC, BAC=α, CBA=β, ACB=γ y a=BC, b=AC, c=AB las longitudes de sus lados, entonces se da la siguiente igualdad:
c2=a2+b22abcosγ.

Demostración. Trazamos D el pie de la perpendicular a BC desde A y aplicamos el teorema de Pitágoras a ABD y ADC, de donde obtenemos

(1)c2=AD2+(aDC)2=AD2+a22a(DC)+DC2,
b2=AD2+DC2
(2)AD2=b2DC2.

Figura 4

Sustituimos (2) en (1) y obtenemos c2=b2+a22a(DC).

Por otro lado cosγ=DCb bcosγ=DC.

Así que c2=a2+b22abcosγ.

De manera similar se puede ver que
a2=b2+c22bccosα y
b2=a2+c22accosβ.

◼

El seno de la suma

Teorema 4, el seno de la suma de dos ángulos. Sean α y β ángulos agudos entonces sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.

Demostración. Sea ◻ABCD cíclico tal que BD=1 es diámetro del circuncírculo, DBA=α y CBD=β.

Figura 5

Como consecuencia del corolario tenemos que AC=sin(α+β), ademas BAD y DCB son triángulos rectángulos pues DB es diámetro.

Se sigue que
AB=cosα,
CD=sinβ,
AD=sinα y
BC=cosβ.

El teorema de Ptolomeo nos dice que
(3)AC×BD=AB×CD+BC×AD.

Por lo tanto, sin(α+β)=cosαsinβ+sinαcosβ.

◼

El coseno de la suma

Teorema 5, el coseno de la suma de dos ángulos. Sean α0 y β ángulos agudos tales que α+β<π2 entonces cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ.

Demostración. Sea ◻ABCD cíclico tal que BC=1 es diámetro del circuncírculo, CBD=α y DBA=β.

Figura 6

Como BAC y BDC son triángulos rectángulos y BC=1 tenemos que
AC=sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα (teorema 4),
BD=cosα,
AB=cos(α+β),
CD=sinα,
AD=sinDCA=sinβ (corolario).

Por el teorema de Ptolomeo (3), aplicado a ◻ABCD obtenemos:
cos(α+β)sinα+sinβ
=(sinαcosβ+sinβcosα)cosα
=sinαcosβcosα+sinβcos2α
=sinαcosβcosα+(sinβ)(1sin2α) (teorema 1)
=sinαcosβcosαsinβsin2α+sinβ.

cos(α+β)sinα=sinαcosβcosαsinβsin2α.

Por lo tanto, cos(α+β)=cosβcosαsinβsinα.

◼

Seno y coseno del ángulo medio

Teorema 6, el seno y el coseno del ángulo medio. Sea α0 un ángulo agudo entonces
sinα2=1cosα2 y cosα2=1+cosα2.

Demostración. Sea ◻ABCD cíclico tal que BC=1 es diámetro y CBD=DBA=α2.

Figura 7

Ya que BAC y BDC son triángulos rectángulos podemos ver que
AC=sinα,
BD=cosα2,
AB=cosα,
CD=sinα2,
AD=sinDCA=sinα2 (corolario).

Aplicando Ptolomeo (3) y el teorema 4 obtenemos:
cosαsinα2+sinα2=sinαcosα2
=sin(α2+α2)cosα2=2sinα2cos2α2.

Por lo tanto, 2sinα2cos2α2=sinα2(cosα+1)  
(4)cos2α2=cosα+12.

De donde se sigue que cosα2=cosα+12.

Ahora sustituimos la identidad pitagórica en la ecuación (4) y obtenemos:
1sin2α2=cosα+12

sinα2=1cosα2.

◼

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos algunas propiedades relacionadas con el incírculo y los excÍrculos de un triángulo, así como también sobre sus centros y radios.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. i) A partir de un triangulo equilátero deriva los valores de las seis razones trigonométricas para los ángulos π3 y π6,
    ii) A partir de un triángulo rectángulo isósceles deduce los valores de las seis razones trigonométricas para el ángulo π4.
  2. Recordemos que consideramos la magnitud de un ángulo central como positiva, si recorremos el arco de circunferencia que subtiende dicho ángulo en el sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativa en caso contraio, muestra que para cualquier valor de α se cumple que:
    i) sin(α)=sinα,
    ii) cos(α)=cosα,
    iii) sin(πα)=sinα,
    iv) cos(πα)=cosα,
    v) sec2α=1+tan2α.
  3. Sean α y β ángulos agudos tales que αβ, muestra geométricamente:
    i) el seno de la diferencia de dos ángulos, sin(αβ)=sinαcosβsinβcosα,
    ii) el coseno de la diferencia de dos ángulos, cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ.
  4.  Sean α y β ángulos agudos prueba que:
    i) sinαcosβ=sin(α+β)+sin(αβ)2,
    ii) cosαsinβ=sin(α+β)sin(αβ)2.
  5. Sea ABC, por A traza cualquier recta que corte a BC en L, muestra que BLLC=ABsinBALACsinLAC.
Figura 8
  1. Demuestra que si sinαsinβ=sinδsinγ y α+β=δ+γ<π entonces α=δ y β=γ.
  2. Sea ABC con a=BC, b=AC, c=AB, α=BAC, β=CBA, γ=ACB, demuestra las siguientes formulas para calcular el área de ABC:
    i) (ABC)=acsinβ2=absinγ2=bcsinα2,
    ii) (ABC)=a2sinβsinγ2sin(β+γ)=b2sinαsinγ2sin(α+γ)=c2sinαsinβ2sin(α+β).

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 69-78.
  • Cárdenas, S., Notas de Geometría. México: Ed. Prensas de Ciencias, 2013, pp 55-62.
  • Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 89-95.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»