Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones de números reales

Introducción

En la unidad anterior se revisó el concepto de función, sus características y diversas clasificaciones, los conocimientos adquiridos nos ayudarán a dar inicio a esta nueva unidad referente a un tipo especial de funciones que tienen como domino los números naturales y codominio los números reales, éstas son llamadas sucesiones.

En esta entrada nos enfocaremos en entender la definición y estudiar algunos ejemplos que nos permitan familiarizarnos de forma adecuada con este nuevo concepto.

Definición de sucesión

Es probable que recuerdes ejercicios del tipo «Encuentra el siguiente término de la sucesión 1.1, 4.2, 9.3, 16.4, __, 36.6». Para resolver estos problemas hacíamos uso de nuestra creatividad con el fin de poder encontrar el patrón que nos permitiera generar cada uno de los números y, para lograrlo, resultaba fundamental establecer una especie de orden: el primer término, luego el segundo, seguido del tercero, etc. En nuestro ejemplo tenemos lo siguiente:

Primer término: 1.1
Segundo término: 4.2
Tercer término: 9.3
Cuarto término: 16.4
Quinto término: __
Sexto término: 36.6

Considerando esto, es podíamos notar que la sucesión está determinada por $n^2 + \frac{n}{10}$ donde $n$ hace referencia al término $n$-ésimo. Finalmente, calculábamos el término faltante, en nuestro caso el quinto, que sería $5^2+\frac{5}{10} = 25.5$. Sin embargo, ahora estudiaremos las sucesiones desde una perspectiva distinta donde conoceremos desde un inicio esta regla de asignación que nos permite generar la sucesión y más bien nos importará determinar las características que ésta posea.

Definición. Una sucesión de números reales o sucesión en $\RR$ es una función $f$ definida en el conjunto de números naturales $\mathbb{N}$ con codominio en los reales $\RR$.

Notemos que en la definición especificamos que estamos hablando de sucesión de números reales, pues, en principio, podemos definir funciones de $\mathbb{N}$ a cualquier otro conjunto $A$, sin embargo, aquí solo trataremos el caso donde tal conjunto $A$ es el conjunto de números reales.

Retomando el ejemplo anterior y considerando la definición dada, podemos ser más formales y establecer que la anterior sucesión es una función $f: \mathbb{N} \to \RR$ donde $f(n) = n^2 + \frac{n}{10}$.

Dado que el dominio de las sucesiones siempre son los números naturales, podemos optar por una notación más práctica y denotar a las sucesiones como $\{a_n\}$. De esta forma, el primer término de nuestro ejemplo es $a_1 = 1^2+\frac{1}{10} =1.1$, el segundo término es $a_2 = 4.2$ y así sucesivamente. De forma más general, el $n$-ésimo término de la sucesión $\{a_n\}$ es $a_n = n^2 + \frac{n}{10}$.

Observación. $\{a_n\}$ denota a la sucesión en sí, mientras que $a_n$ hacer referencia al $n$-ésimo término de la sucesión.

Ejemplos de sucesiones

Ahora revisaremos algunos ejemplos de sucesiones.

Ejemplo. Sea $c \in \mathbb{R}$, la sucesión $\{a_n \}$ generada por $a_n = c$ para todo $n \in \mathbb{N}$ la llamamos sucesión constante. Así, la sucesión constante siempre toma el mismo valor y es de la forma $$c, c, \cdots, c, \cdots$$

Ejemplo. La sucesión $\{a_n\}$ generada por $a_n = 2n$ es la sucesión de números pares. Donde sus términos son $$2, 4, 6, \cdots, 2k, \cdots$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ la sucesión generada por $a_n = (-1)^n$. Los términos de la sucesión son $$-1,1,-1,\cdots, -1^k, \cdots$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ la sucesión generada por $a_n =\frac{1}{n}$. De esta forma, sus términos son $$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{k}, \cdots$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ la sucesión generada por $a_n = 2^n$. Con lo cual sus términos son $$2, 4, 16, \cdots, 2^k \cdots$$

Ejemplo. Una de las sucesiones más famosas es la sucesión de Fibonacci $\{f_n\}$ la cual se define de forma inductiva.

\begin{align*}
f_1 & = 1 \\
f_2 & = 1 \\
f_{n+1} & = f_{n-1}+f_{n} \quad \forall n \geq 2
\end{align*}

A modo ilustrativo calcularemos los primeros 5 elementos de la sucesión $\{f_n\}$.
$$f_1 = 1, \quad f_2 = 1, \quad f_3 = 1+1 = 2, \quad f_4 = 1+2 = 3, \quad f_5 = 2+3 = 5$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida inductivamente de la siguiente forma:

\begin{align*}
a_1 & = 1 \\
a_n & = n \cdot a_{n-1} \quad \forall n \geq 2
\end{align*}

De esta forma, los primeros 5 términos de la sucesión son $$1, 2, 6, 24, 120$$

Al $n$-ésimo término de esta sucesión se le denota comúnmente como $n!$ y su valor está dado por $$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1.$$ Adicionalmente, se define $0! = 1$.

Operaciones con sucesiones

Las reglas de suma, resta, producto y cociente de funciones particularmente aplican a las sucesiones pues éstas también son funciones. Considerando esto, dadas dos sucesiones $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ y si $c \in \mathbb{R}$, definimos:

  1. Suma: $\{a_n\} + \{b_n\} = \{a_n + b_n\}$

  2. Resta: $\{a_n\} – \{b_n\} = \{a_n – b_n\}$

  3. Multiplicación: $\{a_n\} \cdot \{b_n\} = \{a_n \cdot b_n\}$

  4. Multiplicación por escalar: $ c \cdot \{a_n\} = \{ c \cdot a_n \}$

  5. Cociente: Si además $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, entonces $$\frac{ \{a_n\} }{ \{b_n\} } = \left\{ \frac{a_n}{b_n} \right\}$$

A continuación veremos algunos ejemplos

Ejemplos.

  1. $\{ n^2 \} + \{ \frac{n}{10} \} = \{ n^2 + \frac{n}{10} \}$
    Términos de la sucesión: $$1.1, 4.2, 9.3, \cdots, k^2 + \frac{k}{10}, \cdots$$
  2. $\{ n \} – \{ n + 1\} = \{ -1 \}$
    Términos de la sucesión: $$-1, -1, -1, \cdots, -1, \cdots$$
  3. $\{n-1\} \cdot \{n+1\} = \{n^2-1\}$
    Términos de la sucesión: $$0, 3, 8, \cdots, k^2-1, \cdots$$
  4. $ 5 \cdot \{ n\} = \{ 5n \}$
    Términos de la sucesión: $$5, 10, 15, \cdots, 5k, \cdots$$
  5. $\frac{ \{ n \} }{ \{ (-1)^n \} } = \left\{ \frac{n}{(-1)^n} \right\}$
    Términos de la sucesión: $$-1, 2, -3, \cdots, \frac{k}{(-1)^k}, \cdots$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Considera la sucesión de Fibonacci definida en esta entrada. Encuentra $f_8$.
  • Consideremos la sucesiones $\{ a_n \}$ y $\{b_n\}$ donde $a_n = n^2-5n+10$ y $b_n = \frac{1}{n}$. Determina los primeros 8 términos de las siguientes sucesiones:
    • $\{ a_n \} \cdot \{b_n\}$
    • $\{ a_n \} + \{b_n\}$
    • $\frac{\{ a_n \}}{\{b_n\}}$
    • $8 \cdot \{ a_n \} – 10 \cdot \{ \frac{1}{b_n}\}$

Más adelante…

En la siguiente entrada se hará la revisión del concepto de sucesión convergente para lo cual veremos la definición de límite aplicado a sucesiones el cual será clave para el estudio de todos los temas subsecuentes en el curso pues será el antecesor de la definición del límite de una función bajo el cual se fundamenta el concepto de derivada de un función y, con ello, una amplia gama de aplicaciones.

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