Ahora que hemos comenzado a revisar las funciones trigonométricas de seno y coseno, en esta entrada veremos las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. De igual manera, revisaremos las funciones inversas y su representación gráfica.
Hablemos de la tangente y la cotangente
Recordemos de la entrada anterior las definiciones:
Para la función tangente tenemos que su gráfica se vería como:
Observación: La tangente presenta asíntotas en los valores $x=\frac{k \pi}{2}$ con $k \in \mathbb{Z}$.
Y su rama principal la consideramos definida en el dominio: $$tan: \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow \r$$
Y para la función cotangente su gráfica sería:
Observación:La cotangente presenta asíntotas en los valores $x=k \pi$ con $k \in \mathbb{Z}$.
Para esta función consideraremos como su rama principal en el siguiente dominio: $$cot: (0,\pi) \rightarrow \r$$.
Ahora la secante y la cosecante
Ya vimos que están definidas como: \begin{align*} sec(\theta)&= \frac{1}{cos(\theta)} & csc(\theta)&= \frac{1}{sen(\theta)}. \end{align*}
Comencemos con la gráfica para la función secante:
Observación: La secante presenta asíntotas en los valores $x=\frac{k \pi}{2}$ con $k \in \mathbb{Z}$.
Notemos que esta función se encuentra definida sobre cada cresta y por debajo de cada valle de la función $cos(\theta)$:
Tomaremos como domino donde la función es invertible a: $$D= \left[0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\pi \right].$$
Para la función cosecante vemos que se encuentra definida sobre cada cresta y por debajo de cada valle de la función $sen(\theta)$:
Observación: La cosecante presenta asíntotas en los valores $x=k \pi$ con $k \in \mathbb{Z}$.
Para esta función consideraremos al dominio donde es invertible a: $$D= \left[-\frac{\pi}{2}, 0 \right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2} \right].$$
¿Quiénes son las funciones inversas?
Para poder visualizar las gráficas de cada una de las funciones trigonométricas utilizaremos el método descrito previamente de reflejar la gráfica de la función respecto de la función identidad en el dominio donde es biyectiva o invertible.
Comenzaremos con la inversa de la función $f(x)=sen(x)$ en el dominio $D_{f}=\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$:
A $f^{-1}(x)$ la llamaremos arcoseno de $x$: $$f^{-1}(x)=arcsen(x),$$ geométricamente esta función nos da el arco cuyo seno es $x$ valor.
Procederemos de la misma manera con $g(x)=cos(x)$ en el dominio $D_{g}=[0,\pi]$:
Ahora a $g^{-1}$ la llamaremos arcocoseno de $x$: $$g^{-1}(x)=arccos(x)$$ y su interpretación geométrica sería el arco cuyo coseno es el valor $x$.
Dejaremos como ejercicio de Tarea moral realizar la gráfica para la función inversa de $h(x)= tan(x)$ en el dominio $D_{h}= \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$: $$h^{-1}(x)= arctan(x),$$ la función arcotangente nos da el arco cuya tangente es el valor $x$.
Más adelante
En la siguiente entrada veremos al conjunto de funciones exponenciales y logarítmicas, sus representaciones gráficas, la relación que existe entre ellas y algunos resultados que cumplen, como las leyes de los exponentes y las leyes de los logaritmos.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Siguiendo la revisión de algunas relaciones de un conjunto en sí mismo, ahora vamos a hablar de un tipo especial de relaciones, que se llamarán de equivalencia. Este es un concepto que aparece frecuentemente en las matemáticas y es un tipo de relación que permite «agrupar» distintos elementos de un conjunto según alguna propiedad que tengan.
Relación de equivalencia
La relación que veremos en esta entrada es la de equivalencia. Para entender propiedades de este tipo de relaciones, consideremos al conjunto de todas las personas $X$ y la relación $\sim$ como:$$\sim = \{(x,y) \in X^2:x\text{ tiene el mismo cumpleaños que }y\}.$$ Y como es costumbre, escribiremos $x \sim y$ si $(x,y) \in \sim$. Esta relación será de equivalencia, y antes de definirla, vamos a hacer algunas observaciones de ella.
Observa que este tipo de relación nos permite «agrupar» a las personas según su cumpleaños, pues al haber $365$ días en el año, cada persona $x$ tendrá su cumpleaños en alguno de esos días. Nota que podríamos hablar de «el subconjunto» de $X$ formado de las personas las cuales cumplen años el $14$ de febrero, y esto lo haríamos con ayuda de la relación $\sim$, pues considerando alguna persona $x$ que cumpla años ese día, podríamos considerar a todas las personas $y$ tales que $x \sim y$. Y todas las personas que estén relacionadas con $x$, serán las que tienen su cumpleaños ese día. Retomaremos esta idea de las «agrupaciones» más adelante, lo importante ahora es que veas que este tipo de relaciones (aún no hemos dicho qué significa que sea de equivalencia o porqué esta es una relación de equivalencia) nos permiten «agrupar» elementos de un conjunto según los elementos que se relacionan entre sí.
Ahora, veamos algunas propiedades que tiene esta relación que la hará de equivalencia:
$\sim$ es reflexiva. Nota que toda persona $x$ cumple el mismo día años que la persona $x$. Esto es porque estamos hablando de la misma persona.
$\sim$ es simétrica. Considera dos personas $x,y$ relacionadas ($x \sim y$). Entonces es cierto que $x$ tiene el mismo cumpleaños que $y$. Pero también es cierto que $y$ tiene el mismo cumpleaños que $x$, de esta manera $y \sim x$.
$\sim$ es transitiva. Ahora supón que $x \sim y$ y que $y \sim z$. Entonces es cierto que $x$ y $y$ comparten cumpleaños, pero como $y \sim z$ entonces $z$ tiene el mismo cumpleaños que $y$ y esto solo puede significar que $x$ tiene el mismo cumpleaños que $z$, pues no puede suceder que $y$ tenga dos cumpleaños distintos.
Estas son las propiedades que decimos que cumple una relación de equivalencia.
Definición. Sea $X$ un conjuntos y $\sim$ una relación de $X$ en sí mismo. Diremos que $\sim$ es una relación de equivalencia si $\sim$ es reflexiva, simétrica y transitiva.
Este es un concepto que se aparecerá muchas veces en distintas áreas de las matemáticas, veamos a continuación algunos ejemplos de relaciones de equivalencia, no importa que ahora no sepas muy bien qué son estos conceptos, lo importante es que veas que aparecen en distintas áreas de las matemáticas:
En $\mathbb{R}$, la relación $x \sim y \Leftrightarrow |x|=|y|$ es de equivalencia.
Si $X=\{a,b,c\}$ y $\sim=\{(a,a),(b,b),(a,b),(b,a),(c,c)\}$, entonces $\sim$ es una relación de equivalencia.
En el espacio de matrices reales $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, la siguiente es una relación de equivalencia: $A \sim B \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq 0(A = \lambda B)$.
En espacios topológicos, la relación $X \sim Y \Leftrightarrow X \text{ es homeomorfo a } Y$ es una relación de equivalencia.
La congruencia entre triángulos, es una relación de equivalencia.
Diremos que un número entero $x$ es congruente con $y$ módulo $n$ si el residuo de dividir $x$ entre $n$ es el mismo que el residuo de dividir $y$ entre $n$ y lo escribiremos como $x \equiv_n y$. $\equiv_n$ es una relación de equivalencia.
Algunos ejemplos de relaciones que no son de equivalencia:
La relación «ser menor o igual» en números enteros $\leq$ no es de equivalencia.
La relación «ser padre/madre de» no es una relación de equivalencia.
Si $X=\{a,b,c\}$ y $\sim=\{(a,a),(a,b),(b,a),(c,c)\}$, entonces $\sim$ no es de equivalencia.
Clases de equivalencia
Volvamos al ejemplo de la relación $\sim$ «tener el mismo cumpleaños». Ahora veremos porqué desde el principio hemos dicho que las relaciones de equivalencias nos ayudan a «agrupar» elementos de un conjunto de acuerdo a los elementos que se relacionan con él. Considera de nuevo el ejemplo de las personas que cumplen años el $14$ de febrero. La relación $\sim$ nos ayuda a encontrar a todas las personas que cumplen años ese día. Pues solo tendríamos que considerar una persona que cumpla años ese día y enseguida encontrar todas las personas que se relacionan con esta persona. Claramente este grupo, será distinto al grupo de personas que cumple años el $17$ de Junio, y a su vez estos do serán distintos al grupo de personas que cumplen el $10$ de Enero. En total podríamos «partir» el conjunto de personas $X$ en $365$ grupos de acuerdo al día en que cumplen años.
Si partimos de una persona $x$, entonces podemos considerar el conjunto $$[x]_{\sim}=\{y \in X: x \sim y\}.$$ Este conjunto representa a todas las personas que tienen el mismo cumpleaños que $x$, y recordando lo que dijimos en el párrafo anterior, si $x$ cumple el $14$ de febrero, entonces $[x]_{\sim}$ es el conjunto de personas que cumplen años ese día. Pues con esto en mente, hemos llegado al siguiente concepto: clase de equivalencia.
Definición. Sea $\sim$ una relación de equivalencia en $X$ y $x \in X$. La clase de equivalencia de $x$ es: $$[x]_{\sim}=\{y \in X: x \sim y\}.$$
Algunas veces cuando estemos hablando de una relación de equivalencia $\sim$ y no haya ambigüedad en qué relación de equivalencia estemos hablando, es común únicamente escribir $[x]$ para la clase de equivalencia del elemento $x$ en lugar de escribir $[x]_\sim$.
Veamos a continuación algunas propiedades que tienen estas clases de equivalencia que nos permiten asegurar que «parten» un conjunto agrupando sus elementos en distintos subconjuntos.
Proposición. Sea $\sim$ una relación de equivalencia en $X$ y $x,y \in X$. Son equivalentes:
$x \sim y$
$[x]=[y]$
$[x] \cap [y] \neq \emptyset$
Demostración.
$(1) \Rightarrow (2)$ Para demostrar la igualdad entre conjuntos, demostraremos que cada clase equivalencia está contenida en la otra.
$\subset )$ Sea $w \in [x]$. Por definición del conjunto, $w \sim x$ y por hipótesis, $x \sim y$. Ahora, como $\sim$ es de equivalencia, entonces $w \sim y$. De esta forma, $w \in [y]$.
$\supset )$ De manera análoga a la contención anterior, si $w \in [y]$ entonces $w \sim y \land w \sim x$ de manera que $w \in [x]$.
$(2) \Rightarrow (3)$. Notemos que si $[x]=[y]$ entonces $[x] \cap [y]=[x]$ y $x \in [x]$, de esta manera, la intersección no es vacía.
$(3) \Rightarrow (1)$. Como $[x] \cap [y] \neq \emptyset$ entonces existe un elemento $w \in [x] \cap [y]$. De esta forma $x \sim w \land y \sim w$. Como $\sim$ es una relación de equivalencia, entonces $x \sim y$.
$\square$
Corolario. Sea $\sim$ una relación de equivalencia en $X$ y $x,y \in X$. Entonces $[x]=[y] \lor [x] \cap [y] = \emptyset.$
Demostración. Sean $x,y$ dos elementos de $X$. Entonces tenemos dos casos para $x,y$.
Caso 1) $x \sim y$. En este caso, por la proposición anterior, $[x]=[y]$.
Caso 2) $x \not \sim y$. Notemos que en este caso $[x]\cap [y]= \emptyset$, pues si no fuera cierto, la intersección no sería vacía y por la proposición anterior, esto significaría que $x \sim y$, contradiciendo la hipótesis de este caso.
$\square$
Particiones
El siguiente concepto nos permite hablar de «partir» un conjunto en distintos subconjuntos. En términos simples, una partición será una forma de dividir un conjunto en subconjuntos que no comparten elementos en común entre sí. Por ejemplo, considera a los números enteros. Podemos dividir el conjunto en dos particiones: el de los número pares y el de los impares. Denotemos al conjunto de los números pares como $P$ y al de los impares como $I$ entonces:
$P \cap I=\emptyset$
$P \cup I = \mathbb{Z}$
Entonces podemos observar algunos puntos para definir qué es una partición:
Cada uno de los subconjuntos que forman la partición son no vacíos. Nota que tanto $P$ como $I$ tienen al menos un elemento.
La intersección entre cada una de los subconjuntos de la partición es vacía. Esto significa que las particiones no comparten elementos, en el ejemplo, es claro que ningún número par es impar y viceversa.
La unión de los subconjuntos de la partición forman de nuevo el conjunto. Esto significa que todo elemento del conjunto pertenece a una única partición, en nuestro ejemplo esto significa que cualquier número entero es impar o es par, no ambos al mismo tiempo.
Estas son las tres propiedades que pediremos para definir una partición.
Definición. Sea $X$ un conjunto y $F = \{X_i\}_{i \in \mathcal{F}}$ una colección de subconjuntos, entonces diremos que $F$ es una partición de $X$ si:
Para cada $X_i \in F, X_i \neq \emptyset$.
Para $X_i,X_j \in F$ dos subconjuntos distintos, $X_i \cap X_j = \emptyset$.
$\bigcup F = X$
Resulta que esta definición no es al azar, pues cada relación de equivalencia induce una partición.
Proposición. Sea $\sim$ una relación de equivalencia sobre un conjunto $X$. Entonces las distintas clases de equivalencia forman una partición.
Demostración. Denotemos a $P$ como el conjunto de todas las clases de equivalencia de $X$, es decir $$P = \{[x]: x \in X\}$$. Ahora demostraremos que $P$ es una partición. Para ello, notemos que:
Cada elemento de la partición $P$ es distinta al vacío. Observemos que si $[x] \in P$ entonces existe al menos un elemento en esa clase de equivalencia, de manera explícita, $x \in [x]$.
Si $[x], [y] \in P$ son dos clases distintas, entonces $[x] \cap [y]$ es vacía. Este punto sale directamente del corolario demostrado anteriormente, pues $[x]=[y]$ o $[x] \cap [y]=\emptyset$.
$\bigcup P = X$. De manera clara sucede que $\bigcup P \subset X$, pues cada elemento de $P$ es un subconjunto de $X$, y la unión de subconjuntos de un conjunto siempre está contenida en el conjunto. Para demostrar que $X \subset \bigcup P$, notemos que si $x \in X$, entonces $x \in [x]$ y $[x] \in P$, de esta manera, $x \in \bigcup P$.
De esta manera, $P$ es una partición.
$\square$
Este concepto de relaciones de equivalencia aparece muy seguido en distintas ramas de las matemáticas, será importante conforme avances en tu carrera del área matemática, pues muchas veces será útil ver que algunas relaciones son de equivalencias de manera en que sabremos que son particiones y podremos ver el conjunto en sus distintas partes de acuerdo a la relación.
Más adelante…
En la siguiente entrada volveremos a hablar de relaciones entre conjuntos que en un inicio, no deben ser el mismo. Y el siguiente tipo de relación será fundamental, pues es el concepto de función entre dos conjuntos. No solo aparecerá aquí, sino que es una base para hablar en otras materias como en cálculo, geometría, entre otras.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Demuestra que la relación «ser igual a» $=$ en $\mathbb{Z}^2$ es una relación de equivalencia.
Demuestre que la relación «ser menor o igual» en números enteros no es una relación de equivalencia.
Demuestra que cualquier orden parcial no es una relación de equivalencia.
Demuestra que si $x \in [y]_{\sim} \Leftrightarrow [x]_{\sim}=[y]_{\sim}$.
Siguiente entrada del curso: Problemas de órdenes parciales y relaciones de equivalencia
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Dados un ángulo y una circunferencia nos podemos preguntar si podemos calcular la magnitud del ángulo dado con algún ángulo que tenga como vértice el centro de la circunferencia dada. En esta entrada estudiaremos algunos resultados que nos permitirán establecer dicha relación.
Definición 1. Un ángulo central en una circunferencia es un ángulo formado por dos radios.
Denotamos a una circunferencia con centro en $O$ como $\Gamma (O)$.
Ángulo inscrito
Definición 2. Decimos que un segmento es una cuerda de una circunferencia si sus extremos pertenecen a la circunferencia y el segmento no contiene al centro de la circunferencia, si contiene al centro entonces es un diámetro.
Un ángulo inscrito en una circunferencia es un ángulo formado por dos cuerdas o una cuerda y un diámetro que tienen un extremo en común sobre la circunferencia.
Teorema 1, de la medida del ángulo inscrito. Un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia.
Demostración. Sea $\angle CBA$ un ángulo inscrito en $\Gamma (O)$.
Caso 1. $BC$ es diámetro, entonces $\triangle AOB$ es isósceles y por tanto $\angle BAO = \angle CBA$.
Figura 1
Como $\angle COA$ es un ángulo exterior de $\triangle AOB$ entonces es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él, $\Rightarrow \angle COA = \angle CBA + \angle BAO = 2\angle CBA$ $\Rightarrow \angle CBA = \dfrac{\angle COA}{2}$.
Caso 2. Ambos lados del ángulo son cuerdas, trazamos el diámetro $BO$ y consideramos $D = BO \cap \Gamma (O)$.
Si $AB$ y $BC$ están en un mismo lado respecto de $BD$ (izquierda figura 2), entonces $\angle CBA = \angle DBA – \angle DBC$ y por el caso 1, $\Rightarrow \angle CBA = \dfrac{\angle DOA}{2} – \dfrac{\angle DOC}{2} = \dfrac{\angle COA}{2}$.
Figura 2
Si $AB$ y $BC$ están en lados distintos respecto de $BD$ (derecha figura 2), entonces $\angle CBA = \angle CBD + \angle DBA$ y por el caso 1, $\Rightarrow \angle CBA = \dfrac{\angle COD}{2} + \dfrac{\angle DOA}{2} = \dfrac{\angle COA}{2}$.
$\blacksquare$
Ángulo semiinscrito
Definición 3. Decimos que una recta es tangente a una circunferencia en un punto si la recta es perpendicular al radio que pasa por el punto.
Definición 4. Decimos que un ángulo es semiinscrito en una circunferencia, si el ángulo está formado por una recta tangente a la circunferencia y una cuerda que tiene como extremo el punto de tangencia.
Teorema 2, de la medida del ángulo semiinscrito. Un ángulo semiinscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia.
Demostración. Sea $\angle CBA$ un ángulo inscrito en $\Gamma (O)$, con $AB$ tangente a $\Gamma (O)$ en $B$, consideremos $D = BO \cap \Gamma (O)$.
Por otro lado, consideremos $A’ \in AB$ pero del lado opuesto a $A$ respecto de $B$, entonces, $\angle A’BC = \angle ABD + \angle DBC = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\angle DOC}{2}$ $= \dfrac{\angle BOD}{2} + \dfrac{\angle DOC}{2} = \dfrac{\angle BOC}{2}$.
$\blacksquare$
Ángulo interior
Definición 5. Si el vértice de un ángulo está en el interior de una circunferencia decimos que el ángulo es interior a la circunferencia.
Teorema 3, de la medida del ángulo interior. Un ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma del ángulo central que abarca el mismo arco que el ángulo interior y del ángulo central que abarca el mismo arco que el opuesto por el vértice.
Demostración. Sea $\angle ABC$ un ángulo interior a $\Gamma (O)$ con $A$, $C \in \Gamma (O)$, consideremos $A’ = AB \cap \Gamma (O)$ y $C’ = CB \cap \Gamma (O)$.
Figura 4
Como $\angle ABC$ es un ángulo exterior de $\triangle A’BC$ es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él, además $\angle AA’C$ y $\angle A’CC’$ son inscritos y por el teorema 1, $\Rightarrow \angle ABC = \angle AA’C + \angle A’CC’ = \dfrac{\angle AOC + \angle A’OC’}{2}$.
$\blacksquare$
Ángulo exterior (lados secantes)
Definición 6. Una recta secante a una circunferencia es una recta que la interseca en dos puntos distintos.
Definición 7. Decimos que un ángulo es exterior a una circunferencia si su vértice se encuentra fuera de la circunferencia y los lados que forman el ángulo son tangentes o secantes a la circunferencia.
Teorema 4, de la medida del ángulo exterior. Un ángulo exterior a una circunferencia es igual a la mitad de la diferencia de los ángulos centrales que abarcan arcos cuyos extremos son las intersecciones de cada lado del ángulo con la circunferencia.
Caso 1. Ambos lados del ángulo son secantes a la circunferencia.
Demostración. Sea $\angle BAC$ un ángulo exterior a $\Gamma (O)$.
Supongamos que $B$, $C \in \Gamma (O)$ y consideremos $B’ = AB \cap \Gamma (O)$ y $C’ = AC \cap \Gamma (O)$.
Veamos primero el caso particular en el que $CC’$ es diámetro entonces $\angle BC’C$ es un ángulo exterior de $\triangle AC’B$, por tanto, $\angle BC’C = \angle A + \angle C’BB’$
Figura 5
Como $\angle BC’C$ y $\angle C’BB’$ son ángulos inscritos, por el teorema 1, $\Rightarrow \angle A = \angle BC’C – \angle C’BB’ = \dfrac{\angle BOC – \angle C’OB’}{2}$.
Para el caso general sean $D$ y $E$ las intersecciones de $AO$ con $\Gamma (O)$.
Si $B$ y $C$ están en lados distintos respecto de $DE$ (izquierda figura 6), entonces $\angle A = \angle BAE + \angle EAC$, y por el caso particular, $\Rightarrow \angle BAE = \dfrac{\angle BOE – \angle DOB’}{2}$ y $\angle EAC = \dfrac{\angle EOC – \angle C’OD}{2}$ $\Rightarrow \angle A = \dfrac{\angle BOE + \angle EOC – (\angle C’OD + \angle DOB’)}{2} = \dfrac{\angle BOC – \angle C’OB’}{2}$.
Figura 6
Si $B$ y $C$ están en el mismo lado respecto de $DE$ (derecha figura 6), entonces $\angle BAC = \angle BAE – \angle CAE$ y por el caso particular, $\angle BAE = \dfrac{\angle BOE – \angle DOB’}{2}$ y $\angle CAE = \dfrac{\angle COE – \angle DOC’}{2}$ $\Rightarrow \angle A = \angle BAC = \dfrac{(\angle BOE – \angle COE) – (\angle DOB’ – \angle DOC’)}{2} = \dfrac{\angle BOC – \angle C’OB’}{2}$.
$\blacksquare$
Ángulo exterior (lados tangentes)
Caso 2. Ambos lados del ángulo son tangentes a la circunferencia.
Demostración. Sea $\angle BAC$ un ángulo exterior a $\Gamma (O)$.
Supongamos que $B$, $C \in \Gamma (O)$ y consideremos $D$ y $E$ las intersecciones de $AO$ con $\Gamma (O)$.
Figura 7
Como $\angle BDE$ y $\angle EDC$ son ángulos exteriores de $\triangle ADB$ y $\triangle ADC$ respectivamente, entonces $\angle BDE = \angle BAD + \angle DBA$ y $\angle EDC = \angle DAC + \angle ACD$ $\Rightarrow \angle A = \angle BAD + \angle DAC = (\angle BDE – \angle DBA) + (\angle EDC – \angle ACD)$ $ = (\angle BDE + \angle EDC) – (\angle ACD + \angle DBA) = \angle BDC – (\angle ACD + \angle DBA)$
$\angle ACD$ y $\angle DBA$ son ángulos semiinscritos y $\angle BDC$ es un ángulo inscrito, por los teoremas 1 y 2 tenemos $\angle ACD = \dfrac{\angle COD}{2}$, $\angle DBA = \dfrac{\angle DOB}{2}$ y $\angle BDC = \dfrac{\angle BOC}{2}$, $\Rightarrow \angle A = \dfrac{\angle BOC – (\angle COD + \angle DOB)}{2} = \dfrac{\angle BOC – \angle COB}{2}$.
$\blacksquare$
Caso 3. Un lado del ángulo es tangente a la circunferencia y el otro es secante.
La demostración de este caso queda como ejercicio.
Ejemplos
Proposición 1. Dos ángulos ya sean inscritos o semiinscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales.
Demostración. Por los teoremas 1 y 2, un ángulo inscrito y un ángulo semiinscrito son iguales a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco, si dos ángulos abarcan el mismo arco entonces el ángulo central es el mismo para ambos y por transitividad son iguales.
$\blacksquare$
Figura 8
Teorema 5, de Tales. Sean $A$, $B$ y $C$ puntos distintos en una circunferencia entonces $BC$ es diámetro si y solo si $A$ es un ángulo recto.
Demostración. Sea $\Gamma (O)$ la circunferencia a la que pertenecen $A$, $B$ y $C$, el resultado se sigue del hecho de que el ángulo central que abarca el mismo arco que $\angle A$ es $\angle BOC$ y aplicar el teorema del ángulo inscrito.
$\blacksquare$
Figura 9
Problema. Dado un círculo $\Gamma$ construir su centro.
Solución. Construimos dos ángulos rectos inscritos en la circunferencia, tomando dos puntos distintos como vértice.
Por el teorema de Tales, las intersecciones de los lados de cada ángulo formaran dos diámetros distintos de la circunferencia y su intersección será el centro de la circunferencia.
$\blacksquare$
Figura 10
Proposición 2. Las rectas tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales.
Demostración. Sean $\Gamma (O)$ y $A$ un punto exterior, por $A$ trazamos $AB$ y $AC$ tangentes a $\Gamma (O)$ en $B$ y en $C$ respectivamente (figura 7).
Consideremos los radios $OB$ y $OC$ entonces $OB = OC$, y por definición de tangencia, $OB \perp AB$ y $OC \perp AC$.
Los triángulos rectángulos $\triangle AOB$ y $\triangle AOC$ tienen a $AO$ como lado en común, por criterio de congruencia hipotenusa-cateto $\triangle AOB \cong \triangle AOC$, por tanto, $AB = AC$.
$\blacksquare$
Más adelante…
Apoyándonos de los resultados vistos aquí, en la siguiente entrada daremos una caracterización de arco de circunferencia y veremos la circunferencia de Apolonio.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Sean $A$ y $C$ dos puntos fijos en una circunferencia, muestra que para cualesquiera dos puntos $B$ y $D$ en la misma circunferencia se tiene que $\angle ABC = \angle ADC$ o $\angle ABC$ y $\angle CDA$ son suplementarios.
Prueba que una recta es tangente a una circunferencia si y solo si la recta y la circunferencia tienen un solo punto en común.
Demuestra el teorema 4 en el caso en el que el un lado del ángulo exterior es secante a la circunferencia y el otro es tangente, es decir, en la figura 11 muestra que $\angle BAC = \dfrac{\angle BOC – \angle COD}{2}$.
Figura 11
Dados una circunferencia y un punto fuera de ella, construye las rectas tangentes a la circunferencia dada trazadas desde el punto dado.
Sean $\triangle ABC$, $K$ la intersección de la altura trazada desde $A$ con el circuncírculo de $\triangle ABC$ y $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$, muestra que $BC$ biseca a $HK$.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En la entrada anterior definimos la exponencial de una matriz $\textbf{A}$ de coeficientes constantes, denotada por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, demostramos sus principales propiedades, y estudiamos la relación que guarda con el sistema lineal de ecuaciones $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ y su matriz fundamental de soluciones. Con esta herramienta a nuestra disposición, podremos enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes.
Como mencionamos en la entrada anterior, nuestra meta es tratar de generalizar la fórmula para soluciones a ecuaciones lineales de primer orden con condición inicial, la cual es de la forma $$y(t)=e^{-\int p(t) dt} \left[\int e^{\int p(t) dt}q(t)+k_{0}\right]$$ para cierta constante $k_{0}$, y encontrar una solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\textbf{C}$$ que se vea de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{e}^{-\int \textbf{A}(t) dt} \left[\int \textbf{e}^{\int \textbf{A}(t) dt}\textbf{Q}(t)+\textbf{B}\right].$$
El teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden nos garantiza la existencia de tal solución. Además, una vez que definimos la exponencial de una matriz, ya no nos sorprenderá la notación de la fórmula anterior. Dividiremos el teorema y su demostración en dos casos: para sistemas homogéneos y para sistemas no homogéneos.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes
En el primer video demostramos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes
En el segundo video demostramos el mismo teorema pero ahora para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(1)=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$
Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$$
Más adelante
Una vez que hemos encontrado formas explícitas para las soluciones a sistemas lineales con coeficientes constantes $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$, debemos encontrar algún método para calcular eficientemente $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$, sin pasar por el complicado camino de calcular cada serie que conforma a la exponencial de $t\textbf{A}$. El método que desarrollaremos es una aplicación de los eigenvalores y eigenvectores (o valores y vectores propios) que quizá hayas visto en cursos de álgebra lineal.
Es por eso que, aunque no estamos en un curso de álgebra lineal, haremos un alto en el camino y revisaremos de manera muy breve estos conceptos y demás herramientas que utilizaremos muy pronto. Iremos relacionando los conceptos con los temas que nos interesan, que son los de hallar una matriz fundamental de soluciones, la exponencial de una matriz, y por supuesto resolver sistemas lineales de primer orden.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
También recordemos que tenemos la siguiente equivalencia:
$360°$ es equivalente a $2\pi$.
A lo largo de esta entrada veremos las principales características de este conjunto de funciones, sus gráficas y algunas identidades trigonométricas.
Identidades trigonométricas Pitagóricas
Si tomamos a la circunferencia unitaria y un triángulo rectángulo como en la imagen:
Observamos que al sustituir el valor hip $=1$ en las definiciones anteriores para el $sen\theta$ y el $cos\theta$ tenemos: \begin{align*} sen\theta&=\frac{\text{cat op}}{\text{1}} & cos\theta&=\frac{\text{cat ad}}{\text{1}}\\ &= \text{cat op} & &=\text{cat ad}\\ &= b & &=a\ \end{align*}
Dadas las igualdades obtenidas e hip$=1$ al sustituir para el resto de las funciones tenemos: \begin{align*} tan\theta &= \frac{sen\theta}{cos\theta} & cot\theta &=\frac{cos\theta}{sen\theta}\\ sec\theta &=\frac{1}{cos\theta} & csc\theta&=\frac{1}{sen\theta} \end{align*}
Recordemos el conocido Teorema de Pitágoras que nos da una relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo: $$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$$
Si lo aplicamos al triángulo rectángulo obtenido en la imagen anterior donde: \begin{align*} a&= cos\theta & b&=sen\theta & c&=1 \end{align*} entonces tenemos la siguiente igualdad: \begin{equation} cos^{2}\theta + sen^{2}\theta =1. \end{equation} Si dividimos $(1)$ entre $cos^{2}\theta$ obtenemos: \begin{equation*} \frac{cos^{2}\theta}{ cos^{2}\theta}+ \frac{sen^{2}\theta}{cos^{2}\theta} =\frac{1}{cos^{2}\theta}. \end{equation*} Que simplificando sería: \begin{equation} 1+ tan^{2}\theta=sec^{2}\theta. \end{equation}
Ahora bien si decidimos dividir $(1)$ entre $sen^{2}\theta$: \begin{equation*} \frac{cos^{2}\theta}{sen^{2}\theta} + \frac{sen^{2}\theta}{sen^{2}\theta} =\frac{1}{sen^{2}\theta}. \end{equation*} Que finalmente sería: \begin{equation} cot^{2}\theta +1= csc^{2}\theta. \end{equation}
Las igualdades $(1)$, $(2)$ y $(3)$ son llamadas Identidades Pitagóricas: \begin{align*} cos^{2}\theta + sen^{2}\theta &=1,\\ 1+ tan^{2}\theta &=sec^{2}\theta,\\ cot^{2}\theta +1&= csc^{2}\theta.\\ \end{align*}
Otras identidades trigonométricas
Otras identidades trigonométricas que son de utilidad son las de suma de ángulos: \begin{align*} cos( \alpha + \beta)&=cos(\alpha) cos(\beta) – sen(\alpha) sen(\beta),\\ sen(\alpha + \beta)&= cos(\alpha) sen(\beta) + cos(\beta) sen(\alpha). \end{align*} Para la resta de ángulos tendríamos un par similar: \begin{align*} cos( \alpha -\beta)&=cos(\alpha) cos(\beta) + sen(\alpha) sen(\beta),\\ sen(\alpha – \beta)&= cos(\alpha) sen(\beta) – cos(\beta) sen(\alpha). \end{align*} Ahora veremos cómo obtener las identidades para los ángulos dobles: \begin{align*} cos(2\alpha)&= cos(\alpha + \alpha)\\ &= cos(\alpha) cos(\alpha) – sen(\alpha) sen(\alpha)\\ &= cos^{2}\alpha – sen^{2}\alpha \end{align*} Por lo tanto tendríamos para el coseno de $2\alpha$: \begin{equation} cos(2\alpha)=cos^{2}\alpha – sen^{2}\alpha. \end{equation} Si procedemos análogamente para el seno de $2\alpha$: \begin{align*} sen(2\alpha)&= sen(\alpha + \alpha)\\ &= cos(\alpha) sen(\alpha) + cos(\alpha) sen(\alpha)\\ &= 2sen(\alpha) cos(\alpha) \end{align*} Así concluimos que: \begin{equation} sen(2\alpha)=2sen(\alpha) cos(\alpha). \end{equation} También tenemos un par de identidades que relacionadas con el $sen^{2}\theta$ y el $cos^{2}\theta$: \begin{align*} sen^{2}\theta &= \frac{1}{2}(1-cos(2\theta)), & cos^{2}\theta& =\frac{1}{2}(1+ cos(2\theta)).\\ \end{align*} Se dejará como ejercicios en la Tarea moral obtener este par de igualdades.
Simetrías
Retomando la imagen anterior, si ahora reflejamos al triángulo respecto al eje $x$, tenemos lo siguiente:
donde observamos los siguiente: \begin{align*} \beta &= – \theta & c_{2}&=1 & b_{2}=sen(-\theta)\\ \end{align*}
Así al considerar a los puntos $p_{1}$ y $p_{2}$ tenemos que estarían definidos de la siguiente manera: \begin{align*} p_{1}&=(cos(\theta), sen(\theta)) & p_{2}&=(cos(-\theta), sen(-\theta))\\ \end{align*} Resaltamos para $p_{2}$ que: $$p_{2}=(cos(-\theta), sen(-\theta))=(cos(\theta), -sen(\theta)).$$ de esta igualdad podemos determinar si las funciones seno y coseno son pares o impares, este ejercicio formará parte de la Tarea moral.
Función periódica
Definición (función periódica): Decimos que una función $f$ es periódica si existe $N \in \r$ tal que para todo $x \in D_{f}$ cumple que: $$f(x)=f(x+ N)$$ y $|N|$ se llama periodo de $f$. En la siguiente imagen observamos que $\alpha = \pi$ por lo que tendríamos que el nuevo triángulo agregado es en realidad el original rotado:
Así tendríamos la siguiente definición para los puntos $p_{1}$ y $p_{3}$:
Si rotamos el triángulo ahora $\alpha = 2\pi$ tenemos que $p_{4}$ estaría definido como: $$p_{4}=(cos(\theta + 2\pi), sen(\theta+ 2\pi)).$$
¡Y observamos que obtenemos el triángulo original! Consecuentemente tenemos las siguientes igualdades: \begin{align*} sen(\theta)&=sen(\theta+2\pi),\\ cos(\theta)&=cos(\theta+ 2\pi). \end{align*} Aplicando la definición decimos que las funciones seno y coseno son periódicas con periodo $N=2\pi$. En las gráficas de las funciones observamos el comportamiento anterior, cada $2 \pi$ se comienzan a repetir los valores:
Observación: Vemos que para todo $x \in \r$ ocurre: $$-1 \leq sen(x) \leq 1$$ $$-1 \leq cos(x) \leq 1$$ por lo que las funciones seno y coseno son acotadas.
Consideraremos los siguientes dominios donde cada una de las funciones cumple ser inyectiva : \begin{align*} sen: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \rightarrow [-1,1] \end{align*}
En la próxima entrada, continuaremos con las definiciones de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. Por lo tanto, realizaremos un análisis similar al dado para las funciones seno y coseno.
Tarea moral
Obtener las siguientes identidades trigonométricas:
$$sen^{2}\theta = \frac{1}{2}(1-cos(2\theta)).$$
$$cos^{2}\theta =\frac{1}{2}(1+ cos(2\theta)).$$
$$tan(\alpha + \beta)=\frac{tan(\alpha) + tan(\beta)}{-tan(\alpha)tan(\beta)}.$$ Sugerencia.-Considera la igualdad: $$tan\theta=\frac{sen\theta}{cos\theta}$$
Determina si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las opciones anteriores:
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