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Álgebra Moderna I: $p$-Subgrupo de Sylow y el Normalizador de $H$ en $G$ 

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Cuando nació la Teoría de grupos uno de los problemas principales fue clasificar a los grupos finitos. Una manera de estudiar este problema es empezar por entender un tipo especial de grupos finitos: grupos con orden primo $p$, llamemos $G$ a este grupo. El estudio de $G$ se hace más sencillo pues sabemos que es un grupo cíclico y es isomorfo a $\z_p.$

Podemos aumentar la dificultad y considerar el caso cuando $|G| = p^t$, con $p$ primo y $t\in \n.$ Pero, ¿qué sucede si $G$ no es un $p$-grupo? Supongamos que $|G|= n = p^t m$ donde $t\in \n$ y $p$ no divide a $m.$

Dibujo de la representación de un $p$-grupo de Sylow

En esta entrada lo que haremos será intentar estudiar a un grupo cualquiera $G$ a partir de los $p$-grupos que lo conforman, que serán llamados $p$-subgrupos de $G$. Estos subgrupos pueden estar contenidos a su vez en otros $p$-subgrupos o bien ser máximos con respecto a la contención y no estar contenidos en ningún otro $p$-subgrupo. A estos $p$-subgrupos máximos se les llama $p$-subgrupos de Sylow de $G$.

Estudiar todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ para los primos que dividen al orden de $G$ nos ayuda a entender cómo es el mismo $G.$

Comencemos con subgrupos de Sylow

Definición. Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito. Decimos que $P$ es un $p$-subgrupo de $G$ si el orden de $P$ es una potencia de $p$. Además, decimos que $P$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $G$ si

  1. $P$ es un $p$-grupo;
  2. si $Q$ es un $p$-grupo con $P\subseteq Q \subseteq G$, entonces $P=Q$.

Es decir $P$ es un $p$-subgrupo de $G$ máximo con respecto a la contención.

Observación. Siempre existe los subgrupos de Sylow.

Demostración.
Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito con $|G|= n$.

Si $p \not{|} n$, entonces $\{e\}$ es un $p$-subgrupo de Sylow.

Si $p|n$, por el teorema de Cauchy existe $g\in G$ de orden $p$. Si $\left< g\right>$ no es $p$-subgrupo de Sylow, entonces existe $Q_1 \leq G$ $p$-subgrupo con $\left< g\right> \not\subseteq Q_1.$ Si $Q_1$ no es un $p$-subgrupo de Sylow debe existir $Q_2\leq G$ $p$-subgrupo con $Q_1\not\subseteq Q_2.$ Continuando de este modo, dado que $G$ es de orden finito y $1<|\left< g\right> |<|Q_1|<|Q_2|<\dots <|G|$ obtenemos un $p$-subgrupo de Sylow después de un número finito de pasos.

$\blacksquare$

Ejemplos

Ejemplo 1. Sea $G = S_4$, $|S_4| = 4! = 24 = 2^3\cdot 3$.
Entonces hay dos primos involucrados en $|S_4|$, estos son 2 y 3.

$\left< (1\, 2\, 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de $S_4$. Como no hay otra potencia de 3 que divida a $|S_4|$, no hay grupos de orden 9,27, etc. por lo que $\left< (1\, 2\, 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de Sylow de $S_4$

Por otro lado, para los $2$-subgrupos de Sylow podríamos tener subgrupos de orden $2$, $4$ y hasta $8$. De una manera intuitiva sabemos que podemos ver a $S_4$ como todas las simetrías de un cuadrado.

Notemos que no todas las permutaciones de los vértices de un cuadrado son simetrías, pero todas las simetrías de un cuadrado se pueden ver como permutaciones de sus vértices. Las permutaciones que también son simetrías son: las rotaciones por 90 grados, las reflexiones por los ejes y las reflexiones por las diagonales.

La rotación de $90$ grados, que corresponde a la permutación $(1\, 2\, 3\, 4),$ y la reflexión por el eje $x,$ que corresponde a la transposición $(2\,4)$, generan al grupo diédrico. Por lo que $\left< (1\, 2\, 3\, 4), (2\,4)\right>$ es isomorfo al grupo diédrico $D_{2(4)}$ que es de orden $8$. Así, $\left< (1\, 2\, 3\, 4), (2\,4)\right>$ es un $2$-subgrupo de Sylow de $S_4$ de orden 8.

Simetrías de un cuadraro

Ejemplo 2. Sea $G = A_4$, $|A_5| = 60 = 2^2\cdot 3 \cdot 5$.

Consideremos el grupo de Klein $\{(1), (1\,2)(3\, 4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3) \} $ que es un subgrupo de $A_5$ de orden $4$ y por lo tanto un $2$-subgrupo de Sylow de $A_5$.

El subgrupo anterior se hizo considerando todas las permutaciones que son productos de dos transposiciones disjuntas de los números $1$, $2$, $3$ y $4$, si ahora hacemos lo mismo pero considerando todas las permutaciones que son productos de dos transposiciones disjuntas de los números $2$, $3$, $4$ y $5$ obtenemos $\{(1), (2\,3)(4\,5), (2\,4)(3\,5), (2\,5)(3\,4)\}$ que es otro $2$-subgrupo de Sylow de $A_5$. Siguiendo de esta manera podríamos construir distintos $2$-subgrupos de Sylow.

Si nos tomamos un $3$-ciclo y su generado obtenemos un $3$-subgrupo de Sylow de $A_5$, por ejemplo $\left< (1\, 2\, 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de Sylow de $A_5$. Notamos que podemos elegir $3$-ciclos distintos de $ (1\, 2\, 3)$ y de su inverso y con ello crear diferentes $3$-subgrupos de Sylow de $A_5$.

Si tomamos un $5$-ciclo y su generado obtenemos un $5$-subgrupo de Sylow de $A_5$, por ejemplo $\left< (1\, 2\, 3\,4\,5)\right>$ es un $5$-subgrupo de Sylow de $A_5$. Pero también podemos tomar un $5$-ciclo que no esté en el generado $\left< (1\, 2\, 3\, 4\, 5)\right>$ y obtener otro $5$- subgrupo de Sylow de $A_5$.

Últimos preparativos

Definición. Sea $G$ un grupo, $H$ subgrupo de $G$. El normalizador de $H$ en $G$ es
\begin{align*}
N_G(H) = \{g\in G \;|\; gHg^{-1} = H \}.
\end{align*}

Representación del normalizador de $H$ en $G$.
Observemos que un elemento $g $ del normalizado de $H$ no necesariamente está en $H$.

Observación. Por construcción $H \unlhd N_G(H)$.

Lema. Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito, $H$ un $p$-subgrupo de $G$. Entonces
\begin{align*}
[ N_G(H) : H ] \equiv [ G: H ] (\text{mód }p).
\end{align*}

Demostración.
Sean $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito y $H$ un $p$-subgrupo de $G$. Consideremos $X = \{gH\;|\;g\in G\}$ y la acción de $H$ en $X$ dada por
\begin{align*}
h\cdot (gH) = hgH \quad \forall h\in H, \forall g\in G.
\end{align*}

Como $H$ es un $p$-grupo, de acuerdo al último teorema de la entrada Clase de Conjugación, Centro de $G$, Ecuación de Clase y  $p$-Grupo sabemos que
\begin{align*}
[ G:H ] = \# X \equiv \# X_H (\text{mód }p).
\end{align*}

Pero
\begin{align*}
X_H &= \{gH \in X \;|\; h\cdot(gH) = gH \quad \forall h \in H\} \\
&= \{gH \in X \;|\; hgH = gH \quad \forall h \in H\}\\
&= \{gH \in X \;|\; g^{-1}hg\in H \quad \forall h \in H\}\\
&= \{gH \in X \;|\; g^{-1}Hg\subseteq H\}\\
&= \{gH \in X \;|\; g^{-1}Hg = H\} & \text{pues $G$ es finito y en consecuencia $H$ también.}\\
&= \{gH \;|\; g\in N_{G}(H)\}\\
&= N_G(H) / H.
\end{align*}

Así, $\#X_H = [ N_G(H) : H ]$ y entonces $[ G:H ] \equiv [ N_G(H) : H] (\text{mód }p).$

$\blacksquare$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra los $2$-subgrupos de los cuaternios $Q_8.$
  2. Encuentra todos los $3$-subgrupos del grupo simétrico $S_4.$ Etiquetando los vértices del cuadrado de maneras distintas a la que viene en el ejemplo 2 de esta entrada, encuentra la mayor cantidad que puedas de $2$-subgrupos de Sylow de $S_4$.
  3. Sea $P$ un $p$-subgrupo de Sylow de un grupo finito $G$. Prueba que:
    • Cada conjugado de $P$ también es un $p$-subgrupo de Sylow.
    • $p$ no divide a $|N_g(P)/P|$.
    • Si $g\in G$ es tal que $o(g) = p^m$ para alguna $m\in\z^+$ y si $gPg^{-1} = P$, entonces $g \in P.$

Más adelante…

¡Ahora sí! Todo está listo para que en la siguiente entrada estudiemos los tres Teoremas de Sylow. Te adelanto que todos los Teoremas de Sylow se sirven de los $p$-subgrupos que vimos en esta entrada. De hecho, los relaciona con los temas que hemos visto como subgrupo normal y conjugados.

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Álgebra Moderna I: Teorema de Cauchy

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

2 respuestas

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Hemos llegado a uno de los resultados más importantes del curso: el Teorema de Cauchy. Éste nos asegura la existencia de un elemento de determinado orden en el grupo. De forma más precisa nos dice que para cada primo que divida al orden del grupo, existe un elemento con orden exactamente ese primo.

Con este resultado nos nace una nueva pregunta: ¿cómo se relaciona esto con los $p$-grupos? y otra más: ¿se puede relacionar esto con el centro de un grupo? Tal vez no parezcan preguntas que te harías directamente después de ver el teorema, pero igual las responderemos. Es especialmente interesante lo del centro de un grupo porque en ocasiones podemos concluir que ciertos grupos deben ser abelianos.

Uno de los resultados más importantes del curso

Teorema de Cauchy.
Sea $G$ un grupo finito, $p\in\z^+$ un primo que divida a $|G|.$ Entonces existe $g\in G$ de orden $p.$

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito, $p\in \z^+$ un primo tal que $p\Big| |G|.$

P.D. Existe un elemento $g \in G$ de orden $p$.

Para esta demostración, queremos usar el último teorema de la entrada anterior. Pero este sólo aplica para un conjunto finito y un $p$-grupo. Por lo que comenzaremos definiendo un conjunto finito a partir de $G$.

Consideremos
\begin{align*}
X = \{(g_1,\cdots, g_p) \,|\, g_1, \cdots, g_p \in G, g_1\cdots g_p = e\}
\end{align*}
el conjunto de las $p-$adas cuyo producto dé el neutro.

Observemos que podemos elegir las primeras $p-1$ entradas de un elemento en $X$ como sea, pero la última no porque la condición $g_1\cdots g_p = e$ nos indica que $g_p = (g_1\cdots g_{p-1})^{-1}.$ Así $\# X = |G|^{p-1}$ y como $p$ divide al orden de $G$, entonces $p|\#X$.

Sea $H = \left< (1\,2\cdots p)\right> \leq S_p$, el cual es un $p$-grupo. $H$ actúa en $X$ permutando los subíndices, es decir,
\begin{align*}
(1\;2\cdots \;p)\cdot (g_1,\cdots, g_p) = (g_2,g_3,\cdots, g_p, g_1)
\end{align*}
y en general, si $\sigma = (1\; 2 \cdots p)$, entonces para toda $j\in\z$
\begin{align*}
\sigma^j \cdot (g_1,\cdots,g_p) = (g_{\sigma^j(1)}, \cdots, g_{\sigma^j(p)}).
\end{align*}

Tenemos que observar que la acción está bien definida. Esto sucede ya que si $(g_1, \cdots, g_p) \in X$ tenemos que $g_1 = (g_2, \cdots, g_p)^{-1}$ y así $$(g_2 \cdots g_p)g_1 = e.$$

Entonces $(1\;2\cdots p)\cdot (g_1,\cdots,g_p) = (g_2,\cdots,g_p,g_1)\in X.$ Así, $H$ manda elementos de $X$ en elementos de $X$.

Por otro lado,
\begin{align*}
\text{id}\cdot (g_1,\cdots,g_p) = (g_{\text{id}(1)}, \cdots, g_{\text{id(p)}}) = (g_1,\cdots, g_p)
\end{align*}
y además
\begin{align*}
\sigma^j\cdot (\sigma^t \cdot (g_1,\cdots,g_p)) & = \sigma^j\cdot (g_{\sigma^t(1)}, \cdots, g_{\sigma^t(p)}) & \text{Aplicamos } \sigma^t\\
&= (g_{\sigma^j(\sigma^t(1))}, \cdots, g_{\sigma^j(\sigma^t(p))}) & \text{Aplicamos } \sigma^j\\
&=(g_{\sigma^{j+t}(1)}, \cdots, g_{\sigma^{j+t}(p)})\\
&=\sigma^{j+t} \cdot (g_1,\cdots, g_p) =( \sigma^j\sigma^t )\cdot (g_1,\cdots, g_p).
\end{align*}

Así, efectivamente tenemos una acción de $H$ en $X$.

Como $|H| = p$, por el teorema de la entrada anterior
\begin{align*}
\# X \equiv \# X_H (\text{mód }p).
\end{align*}
Pero recordemos que $p\mid \#X$, entonces $p\mid \# X_H.$

Ahora vamos a analizar cómo es $\# X_H$. Comencemos por entender quién es el conjunto $X_H$,
\begin{align*}
X_H &= \{ (g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \;\sigma^j\cdot (g_1,\cdots, g_p) = (g_1,\cdots, g_p) \, \forall j\}\\
&= \{(g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \;\sigma\cdot (g_1,\cdots, g_p) = (g_1,\cdots, g_p)\} &\text{si $\sigma$ fija a un elemento, también $\sigma^j$}\\
&= \{(g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \; (g_2, \cdots, g_p, g_1) = (g_1,\cdots, g_p)\} & \text{Definición de }\sigma\\
&= \{(g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \; g_1 = \cdots = g_p\} &\text{Implicación directa}.
\end{align*}

En particular, $(e,\cdots, e)\in X_H$ por lo que $\#X_H \geq 1$. Pero no puede haber exactamente un elemento en $X_H$ porque $p \Big|\#X_H$, entonces $\#X_H > 1.$ Existe entonces $(g,\cdots, g) \in X_H$ con $g\in G$ tal que $g\neq e.$

Como $(g,\cdots, g)\in X$ se tiene que $g^p = g\cdots g = e$ con $g\in G$ con $g\neq e.$

Así $g$ es un elemento en $G$ de orden $p$.

$\blacksquare$

Corolario. Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito. $G$ es un $p$-grupo si y sólo si para todo $g\in G$ el orden $o(g)$ es una potencia de $p$.

Proposición. Sea $p\in\z^+$ un primo. Si $G$ es un $p$-grupo con $G\neq\{e\}$ (no trivial) entonces $Z(G) \neq \{e\}.$

Demostración.
Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un $p$-grupo con $G\neq\{e\}.$ Por la ecuación de clase
\begin{align*}
|G| = |Z(G)| + \sum_{j=1}^k [G: C_G(x_j)]
\end{align*}
con $x_1,\cdots, x_k$ representantes de las distintas clases de conjugación con más de un elemento, por lo que
\begin{align*}
1 < \#x_j^G &= [ G: C_G(x_j) ] = \frac{|G|}{|C_G|}\Big|\; |G|.
\end{align*}

Como $|G| = p^t$, $t\in \n$, entonces $p\Big| [G: C_G(x_j)]$ para toda $j\in \{1,\cdots, k\}$.

Así
\begin{align*}
p \Big| |G| – \sum_{j = 1}^k [G: C_{G}(x_j) ]= |Z(G)|.
\end{align*}

Como $|Z(G)|$ es múltiplo de $p$ no nulo, no puede ser 1. Entonces $Z(G) \neq \{e\}.$

$\blacksquare$

¿Grupos abelianos de nuevo?

Lema. Sea $G$ un grupo. Si $G/ Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es abeliano.

Demostración.
Sea $G$ un grupo tal que $G/Z(G)$ es cíclico.

Entonces $G/Z(G) = \left<gZ(G)\right>$ con $g\in G.$

Sean $a,b\in G$. Como $aZ(G), bZ(G) \in G/Z(G) = \left<gZ(G)\right>$ entonces
\begin{align*}
aZ(G) &= g^kZ(G) & \\
bZ(G) &= g^tZ(G)& \text{con } k,t\in \z.
\end{align*}

Así,
\begin{align*}
a &= g^kz_1 &\\
b &= g^tz_2 & \text{con } k,t \in \z, z_1,z_2 \in Z(G).
\end{align*}

Entonces
\begin{align*}
ab &= (g^kz_1)(g^tz_2) = g^{k+t}z_1z_2 &\text{Como }z_1\in Z(G),\text{ entonces $z_1$ conmuta con $g^t$}\\
ba &= (g^tz_2)(g^kz_1) = g^{t+k}z_2z_1 &\text{Como }z_2\in Z(G), \text{ entonces $z_2$ conmuta con $g^k$}.
\end{align*}

Así $ab = ba$. Por lo tanto $G$ es abeliano.

$\blacksquare$

Corolario. Sea $p\in\z^+$ un primo. Si $G$ es un grupo de orden $p^2$, entonces $G$ es abeliano.

Demostración.
Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo con $|G| = p^2$.

$G$ es entonces un $p$-grupo con $G\neq \{e\}$, por la proposición previa $Z(G) \neq \{e\}.$

Como $Z(G) \leq G$, entonces $|Z(G)|\Big| |G| = p^2$, con $|Z(G)|\neq 1.$ Así que $|Z(G)| = p$ ó $|Z(G)| = p^2.$

Si $|Z(G)| = p,$ entonces
\begin{align*}
\left|G/Z(G)\right| = \frac{|G|}{|Z(G)|} = \frac{p^2}{p} = p,
\end{align*}
entonces $G/Z(G)$ es cíclico. Por el lema se tiene que $G$ es abeliano y entonces $Z(G) = G$. Esto es una contradicción porque $|G| = p^2$ y estamos suponiendo que $|Z(G)|= p$.

En consecuencia, obtenemos que $|Z(G)| = p^2$, entonces $Z(G) = G$ y así $G$ es abeliano.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Demuestra el primer corolario de esta entrada: Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito. $G$ es un $p$-grupo si y sólo si para todo $g\in G$ el orden $o(g)$ es una potencia de $p$. (Sugerencia: Usa el Teorema de Cauchy).
  2. Sea $p$ un primo, prueba que cada grupo $G$ de orden $2p$ es cíclico o isomorfo a $D_{2p}.$
  3. Prueba o da un contraejemplo: Todo grupo de orden $p^3$ con $p\in \z^+$ un primo, es abeliano.
  4. Demuestra que si $G$ es un $p$-grupo finito no abeliano tal que $|G|=p^3.$ Entonces, $Z(G) \cong \z_p.$

Más adelante…

Nos estamos encaminando a demostrar los Teoremas de Sylow, para ello todavía nos faltan un par de definiciones. En la siguiente entrada definiremos a los $p$-subgrupos de Sylow y usaremos el Teorema de Cauchy para probar que estos subgrupos siempre existen.

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Geometría Moderna II: Construcción del cuarto elemento dada la razón

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

Se analizó el concepto de razón cruzada como ${ABCD}= \lambda$ dados cuatro puntos colineales, pero existen veinticuatro permutaciones de estos cuatro puntos, por lo cual se tienen razones cruzadas para cada una de estas. El detalle está en que se pueden agrupar solo en seis tipos de razón cruzada.

Proposición

Dados cuatro puntos colineales distintos $A,B,C$ y $D$ en una recta $l$ y ${ABCD}= \lambda$.
Se tienen seis tipos de razón cruzada:

  • ${ABCD}={BADC}={CDAB}={DCBA}=\lambda$
  • ${ABDC}={BACD}={CDBA}={DCAB}=1/\lambda$
  • ${ACBD}=1- \lambda$
  • ${ACDB}=\frac{1}{1-\lambda}$
  • ${ADBC}=\frac{\lambda-1}{\lambda}$
  • ${ADCB}=\frac{\lambda}{\lambda-1}$

Construcción del cuarto elemento

Dados tres puntos $A,B,C$ colineales distintos, se requiere construir un cuarto punto $D$ colineal con ellos tal que ${ABCD}=\lambda$.

Sea $l$ cualquier recta por $C$, sobre esta tomemos dos puntos $A’$ y $B’$ tales que $CA’/CB’=\lambda$. Ahora unimos $B’$ con $B$ y $A’$ con $A$, de tal forma que $AA’ \cap BB’=D’$, y por este punto de intersección trácese la paralela a $CB’$ que interseque la recta $x$ por $D$. Es decir, $DD’ \parallel CB’ = l$.

Por Demostrar. ${ABCD}=\frac{AC}{CB}/\frac{AD}{DB}=\lambda$

Construcción del cuarto elemento dado

Demostración.

Se tiene que los triangulos $\triangle B’BC \sim \triangle D’BD$, $\triangle A’AC \sim \triangle D’AD$, por lo cual:

$\frac{B’C}{D’D}=\frac{BC}{BD}$ y $\frac{A’C}{D’D}=\frac{AC}{AD}$.

Entonces

$\frac{CB’}{D’D}=\frac{CB}{DB}$ y $\frac{CA’}{DD’}=\frac{AC}{AD}$.

Entonces

$\frac{AC}{AD}/\frac{CB}{DB}=\frac{CA’}{DD’}/\frac{CB’}{DD’}=\frac{CA’}{DD’}=\lambda$.

Por lo tanto, $\frac{AC*DB}{AD*CB}={ABCD}=\lambda$.

$\square$

Más adelante…

Se analizará la razón cruzada en la circunferencia.

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Estadística No Paramétrica: Pruebas para proporciones

Por Alondra Sierra

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Introducción

Las pruebas binomiales se caracterizan porque la distribución de la estadística de prueba tiene una distribución binomial, de la cual solo se conoce el tener “éxito” o “fracaso” en cada observación.

En esta unidad veremos distintos tipos de pruebas binomiales, así como sus aplicaciones con diferentes ejercicios. Comenzaremos en esta entrada hablando de pruebas para proporciones.

1.1 Pruebas para proporciones

Usaremos la prueba de proporciones cuando, dada una población, nos interese conocer la proporción de elementos de la población que posee cierta característica, o bien, evaluar las afirmaciones con respecto a una proporción de la población.

Partimos de una muestra aleatoria $X_1,X_2, …, X_n$ la cual clasificaremos en dos categorías, $C_1$ y $C_2$. La observación $X_i$ podría estar en $C_1$ o en $C_2$.

El número de observaciones en $C_1$ es denotado como $O_1$, mientras que para $C_2$ es $n-O_1$.

La hipótesis nula siempre será:

$H_0: p=p^*$

(En donde, $p^*$ de población es igual a alguna proporción de población $p^*$)

La hipótesis alternativa toma alguna de las siguientes formas dependiendo del problema en cuestión:

A. $H_1: p≠p^* $ (Prueba de dos colas)

B. $H_1: p < p^*$ (Prueba de cola inferior o derecha)

C. $H_1: p > p^*$ (Prueba de cola superior o izquierda)

De acuerdo a la metodología usada en (Conover, 1999), para el caso A, la región de rechazo es de tamaño $\alpha$ y corresponde a la suma de las dos colas de la distribución nula del estadístico $T$; $\alpha_1$ (cola inferior) y $\alpha_2$ (cola superior).

El estadístico de prueba $T$ será la proporción de la población que se estará evaluando, en donde, su distribución nula es la distribución binomial con parámetros $p = p^*$ la probabilidad especificada en la hipótesis nula y $n$ el tamaño de la muestra.

$T =$ Número de observaciones en $C_1$

  • Cuando $n \leq 20$ utilizamos el estadístico:

 $T \sim Bin(n,p^*)$

donde $T$ se obtiene de la Tabla de Distribución Binomial (A1).

  • Cuando $n > 20$ utilizamos la aproximación normal y en este caso se utilizan los cuantiles aproximados $X_q$ para obtener el estadístico $T$. 

$X_q = np + Z_q \sqrt{np(1 – p)}$

donde $Z_q$ se obtiene de la Tabla de Distribución Normal (A2).

Buscamos los cuantiles $t_1$ y $t_2$ como:

$P[Y \leq t_1] = \alpha_1$ 

$P[Y \leq t_2] = 1 – \alpha_2$  ó  $P[Y> t_2] = \alpha_2$

$Y \sim Bin(n, p^*)$ ó $ Y \sim X_q $

según sea el caso.

Si $T \sim X_q $, aproximamos:

  • $t_1$, el cuantil $q_1 = \frac{⍺}{2}$
  • $t_2$, el cuantil $ q_2 = 1- \frac{⍺}{2}$

Rechazamos $H_0$ sí:

$T \leq t_1$ o $T> t_2$

Al tener un valor de $T$ mayor o menor que estos cuantiles, los valores se encuentran alejados por la derecha e izquierda de la media, y por lo tanto están dentro de la región de rechazo. Por este motivo no aceptaríamos la hipótesis nula.

Para calcular el $p-value$ usamos la siguiente fórmula:

$p-value = 2 * min\{ P [ Y \leq T ], P [Y \geq T] \}$,

  • Si $n\leq20$ buscamos $T$ en la tabla A1
  • En otro caso, el $p-value$ puede obtenerse como:

$P[Y\leq t] \cong P(Z \leq \frac{t -np^* + 0.5}{\sqrt{np^*(1-p^*)}})$

y $P[Y\geq t]\cong 1-P(Z \leq\frac{t -np^* – 0.5}{\sqrt{np^*(1-p^*)}})$

donde $t$ se encuentra en la tabla A2, siendo $t$ el valor observado de $T$.

En ambos casos, si el $p-value \leq \alpha$, rechazamos la hipótesis nula con un nivel de significancia $\alpha$.

Para el caso de la cola inferior y superior, se utiliza el mismo procedimiento correspondientemente.

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos de cómo se utiliza la prueba anterior.

Problema 1. De acuerdo a la base de datos del Sector Salud, se cree que 30% de pacientes adultos mayores ya tienen aplicada la 4ta dosis de vacunación contra COVID. El mismo Sector Salud decide investigar a sus pacientes y preguntar sobre la aplicación de la vacuna. Se seleccionan aleatoriamente a 1400 pacientes adultos mayores, de los cuales 360 confirmaron haberse aplicado la dosis. Prueba usando $\alpha = 0.05$

Solución.

PRUEBA DE DOS COLAS

HIPÓTESIS:

$H_0: p = 30$%

v.s.

$H_1:p \neq 30$%

ESTADÍSTICO DE PRUEBA:

Corresponde a las 360 personas que confirmaron haberse aplicado la dosis.

$T = 360$

como el tamaño de muestra $n > 20 $

$T \sim X_q $

CUANTILES:

Buscamos $t_1$ y $t_2$ tal que:

$P[Y \leq t_1] = P[Y \leq t_\alpha] = \alpha_1$

$P[Y \geq t_2] = P[Y \geq t_1-\frac{\alpha}{2}] = \alpha_2$

con $\alpha = 0.05$ buscamos $\frac{\alpha}{2}$ y $1-\frac{\alpha}{2}$ en T2

$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.05}{2} = 0.025 \Rightarrow z =-1.96$

$1-\frac{\alpha}{2} = 1 – \frac{0.05}{2} = 0.975 \Rightarrow z =1.96$

Sustituyendo en $X_q$ para cada cuantil tenemos :

$t_1 = (1400)(0.3) -1.96 \sqrt{(1400)(0.3)(1 – 0.3)} = 386.39$

$t_2 = (1400)(0.3) +1.96 \sqrt{(1400)(0.3)(1 – 0.3)} = 453.60$

$\therefore t_1 = 386$ y $t_2 = 453$

REGIÓN DE RECHAZO:

Rechazamos $H_0$ sí $T\leq t_1$ ó $T > t_2$

$T =360 \leq t_1 =386$ ó $T =360 \ngtr t_2= 454$

como se cumple la primera condición, $T\leq t_1$ entonces Rechazamos $H_0$.

P-VALUE:

Rechazamos $H_0$ sí $p-value \leq \alpha$

$p-value = 2 * min\{ P [ Y \leq T ], P [Y \geq T] \}$

Este cálculo lo realizaremos con ayuda del software de R:

Ejemplo del cálculo en código de R

#1. Dos colas
T = 360; #Estadistico de prueba
alpha = 0.05; 
n = 1400 #Tamanio muestra
p = 0.3; #probabilidad

# cuantil t = qbinom(alpha,n,p*);
t = qbinom(alpha,n,p);

# p_value = 2*min(c(pbinom(T,n,p*), pbinom(T,n,p*,lower.tail = F)));
p_value = 2*min(c(pbinom(T,n,p), pbinom(T,n,p,lower.tail = F)));
#p_value = 2*pbinom(t,n,p);

# Rechazo H0 si p_value < alpha
if (p_value <= alpha){print("rechazo H0")
}else{print("No rechazo H0")}

El resultado de esto es:

» Rechazo $H_0$ «.

$\triangle$

Nota. Otra forma de validar en R, es con la función de proporciones que tiene R:

# Prueba de Proporciones en R
prop.test(T, n, p, alternative = c("two.sided"), conf.level = 1-alpha)

Esto da como resultado la siguiente información:

	1-sample proportions test with
	continuity correction

data:  T out of n, null probability p
X-squared = 12.042, df = 1,
p-value = 0.0005202
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.3
95 percent confidence interval:
 0.2345892 0.2810463
sample estimates:
        p 
0.2571429

donde tenemos que el $p-value = 0.0005202$, y con el cual podemos seguir Rechazando $H_0$

CONCLUSIÓN:

Como se rechazó $H_0$, podemos decir que hay información suficiente para afirmar que el 30% de los pacientes adultos mayores no tienen aplicada la 4ta dosis de vacunación contra COVID.

Problema 2. Un docente del CONAMAT, afirma que solo el 5% de sus alumnos de un grupo de 18, no pasan la prueba COMIPEMS. La dirección solicita el resultado de los 18 alumnos y solamente 3 de ellos no logran pasar el examen. Si el docente cree que la proporción de alumnos que no pasaron es mayor al número de alumnos que ya confirmaron no pasar, ¿Se puede rechazar $H_0:p=0.05$ con $alpha$ = 0.05?

Solución.

PRUEBA DE COLA SUPERIOR

HIPÓTESIS:

$H_0: p \leq 0.05$

v.s.

$H_1: p > 0.05$

ESTADÍSTICO DE PRUEBA:

Corresponde a los 3 alumnos que no lograron pasar el examen.

$T = 3$

como el tamaño de muestra $n \leq 20 $

$T \sim bin(18,0.05) $

CUANTILES:

Buscamos $t_2$ en T1 con:

$n = 18 , T=Y =3$ y $p = 0.05$

obtenemos $t_2 = 0.9891$

REGIÓN DE RECHAZO:

Rechazamos $H_0$ sí $T > t_2$

$T = 3 > t_2= 0.9891$

como sí se cumple la condición entonces Rechazamos $H_0$.

P-VALUE:

Rechazamos $H_0$ sí $p-value \leq \alpha$

Cálculo en código R

#2. Cola superior
T = 3; #Estadistico de prueba
alpha = 0.05; 
n = 18 #Tamanio muestra
p = 0.05; #probabilidad

# cuantil t = qbinom(1-alpha,n,p*);
alpha_2 =1-alpha;
t = qbinom(alpha_2,n,p);

# p_value = 1- pbinom(T,n,p*);
p_value = 1-pbinom(T,n,p);

# Rechazo H0 si p_value < alpha
if (p_value <= alpha){print("rechazo H0")
}else{print("No rechazo H0")}

El resultado de esto es:

» Rechazo $H_0$ «

CONCLUSIÓN:

Como rechazamos $H_0$, existe evidencia suficiente para afirmar lo que señala el docente.

Problema 3. La cafetería «Fast-Coffee» asegura que el 95% de sus clientes son despachados en menos de 10 minutos una vez comandada su orden. Al finalizar el día, durante el corte, se toman aleatoriamente 9 comandas de las cuáles 8 órdenes fueron entregadas en menos de 10 min. ¿Puede concluirse $\alpha$= 5% que menos del 95% de los clientes se les entregó su orden dentro del lapso señalado?

Solución.

PRUEBA DE COLA INFERIOR

HIPÓTESIS:

$H_0: p \geq 95$%

v.s.

$H_1: p < 95$%

ESTADÍSTICO DE PRUEBA:

Corresponde a las 8 órdenes entregadas en menos de 10 min.

$T = 8$

como el tamaño de muestra $n \leq 20 $

$T \sim bin(9,0.95) $

CUANTILES:

Buscamos $t_1$ en T1 con:

$n = 9 , T=Y =8$ y $p = 0.95$

obtenemos $t = 0.3698$

REGIÓN DE RECHAZO:

Rechazamos $H_0$ sí $T \leq t_1$

$T = 8 \nless t_1= 0.3698$

como no se cumple la condición entonces No Rechazamos $H_0$.

P-VALUE:

Rechazamos $H_0$ sí $p-value \leq \alpha = 0.05$

Cálculo en código R

#3. Cola inferior
T = 8; #Estadistico de prueba
alpha = 0.05; 
n = 9 #Tamanio muestra
p = 0.95; #probabilidad

# cuantil t = qbinom(alpha,n,p*);
t = qbinom(alpha,n,p);

# p_value = pbinom(T,n,p*);
p_value = pbinom(T,n,p);

# Rechazo H0 si p_value < alpha
if (p_value <= alpha){print("rechazo H0")
}else{print("No rechazo H0")}

El resultado de esto es:

«No rechazo $H_0$ «

CONCLUSIÓN:

No existe evidencia suficiente para asegurar que el 95% de los clientes son despachados en menos de 10 minutos una vez comandada su orden.

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos otro tipo de prueba binomial: la prueba de cuantiles. Esta prueba se utilizará cuando nos interese hacer inferencia sobre un cuantil específico de alguna distribución.

Ejercicios

  1. En un rancho donde se crían vacas para producir leche, se utilizó un nuevo alimento para ver si mejora la cantidad de leche producida. Se quiere verificar si la cantidad producida de leche es mayor al 15% contra la producción del mes anterior. Se toma una muestra de 200 vacas, donde solo 35 vacas fallan con la producción esperada. ¿Es posible comprobar la hipótesis con $\alpha$=0.01 ?
  2. Una empresa de salto en paracaídas asegura que el 90% de los grupos de salida a la avioneta para realizar el salto es en menos de 10 min entre cada grupo. De 25 grupos, 12 de estos salieron dentro del lapso de tiempo estimado anteriormente. ¿Se puede concluir con $\alpha$ = 0.05, que menos del 90% de las salidas entre cada grupo se hacen en 10 minutos?
  3. Una farmacéutica desarrolló una vacuna contra la Leucemia y quiere saber si tiene una efectividad mayor al 85% contra dicha enfermedad. Se toma una muestra de 100 personas a las que se les aplica dicha vacuna, de las cuales 65 personas mostraron resultados positivos contra la enfermedad. ¿Se puede concluir que la vacuna tiene una efectividad mayor al 85%? Prueba usando $\alpha$ = 0.10

Enlaces relacionados

  • A1: Tabla de distribución Binomial
  • A2: Tabla de distribución Normal
  • Conover, W. J. (1999). Practical Nonparametric statistics (3ª ed.). Second Edition. USA. Wiley & Sons

Entradas relacionadas

Álgebra Moderna I: Clase de Conjugación, Centro de $G$, Ecuación de Clase y $p$-Grupo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Esta entrada es una caja de herramientas. Continuamos sobre la línea de estudiar las propiedades de una órbita y de su orden. Primero, nos vamos a enfocar en grupos actuando sobre sí mismos, a partir de esto definiremos un nuevo conjunto al que llamamos el centro de $G$ y daremos algunas observaciones al respecto.

El segundo bloque importante de la entrada es probar la llamada ecuación de clase, una ecuación que nos permite calcular el orden de un $G$-conjunto usando otros conjuntos relacionados. Uno de estos conjuntos lo definiremos como $X_G$, el conjunto de todos los elementos de $X$ que quedan fijos sin importar el elemento de $G$ que actúa sobre ellos. Volveremos a encontrar a la órbita de los elementos en la demostración de esta ecuación.

Por último, comenzaremos a trabajar con $p$-grupos, es decir grupos de orden una potencia de un número primo y usaremos la ecuación de clase para demostrar una propiedad de los $p$-grupos.

Decimos que esta entrada es una caja de herramientas, porque no estamos introduciendo temas que vayamos a estudiar a profundidad, más bien son conceptos que nos ayudarán a llegar al tema principal de esta unidad: los Teoremas de Sylow.

Clases de conjugación, centralizadores y centro de $G$

La acción de un grupo actuando en sí mismo por conjugación es muy importante y debido a ello daremos nombres y notaciones específicas para las órbitas y estabilizadores correspondientes (que fueron estudiados de manera general en la entrada Órbita de $x$ y tipos de acciones).

Definición. Sea $G$ es un grupo actuando en sí mismo por conjugación, es decir $g\cdot x = g x g^{-1}$ para todos $g,x\in G$. Dado $x\in G$ la órbita del elemento $x$ bajo esta acción se llama la clase de conjugación de $x$ y se denota por $x^G$, esto es:
\begin{align*}
x^G=\mathcal{O}(x) &= \{g\cdot x | g\in G \} = \{gxg^{-1} | g\in G\}.
\end{align*}

Por otro lado el estabilizador de $x$ se llama el centralizador de $x$ en $G$ y se denota por $C_G(x)$, es decir:

\begin{align*}
C_G(x)=G_x &= \{g\in G|g\cdot x = x\} = \{g\in G | gxg^{-1} = x\}\\
&= \{g\in G | gx = xg\} ,
\end{align*}

siendo entonces el conjunto de todos los elementos del grupo que conmutan con $x$.

Otra colección que resultará clave en el material que desarrollaremos más adelante es el llamado centro de un grupo:

Definición. Sea $G$ un grupo, el centro de $G$, denotado por $Z(G)$, es
\begin{align*}
Z(G) = \{x\in G | xg = gx \quad \forall g\in G\}.
\end{align*}

Es decir, el centro es la colección de todos los elementos de $G$ que conmutan con todos los demás.

Observación 1. $Z(G)$ es subgrupo normal de $G$.

Demostración.
Primero, tomemos el neutro $e\in G$ y veamos que está en $Z(G)$. Como estamos hablando del neutro, se cumple que $eg = g = ge$ para toda $g\in G$, entonces $e\in Z(G)$.

Ahora, tomamos $x\in Z(G)$ entonces $xg = gx$ para toda $g\in G$. Así $g=x^{-1}gx$ para toda $g\in G$, lo que implica que $gx^{-1} = x^{-1}g$ para toda $g\in G$ por lo que $x^{-1} \in Z(G)$.

Luego, si tomamos $x,y\in Z(G)$, se tienen las siguientes igualdades por la definición del centro $(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy)$ para todo $g\in G$. Así, $xy \in Z(G)$.

Concluimos que el centro es un subgrupo.

Por último, probemos que es un subgrupo normal. Sean $x\in Z(G)$, $g\in G$, al conjugar $x$ con $g$ podemos usar la asociatividad y la definición de centro para concluir que $$gxg^{-1} = (gx)g^{-1} = (xg)g^{-1} = x(gg^{-1}) = xe = x \in Z(G).$$

Por lo tanto $Z(G)\unlhd G$.

$\blacksquare$

Observación 2. Sean $G$ un grupo y $x\in G$. Entonces $x\in Z(G)$ si y sólo si $x^G = \{x\}$.

Demostración. Sean $G$ un grupo y $x\in G$. Tenemos que
\begin{align*}
x^G = \{x\} &\Leftrightarrow gxg^{-1} = x \quad \forall g\in G &\\
&\Leftrightarrow gx = xg &\text{Multiplicamos por $g$ a la derecha}\\
&\Leftrightarrow x\in Z(G).
\end{align*}

$\blacksquare$

La observación anterior nos dice entonces que los elementos del centro son precisamente aquellos cuya clase de conjugación es trivial.

Ecuación de Clase

Para poder enunciar la ecuación de clase, que describe la carnalidad de un $G$-conjunto $X$ en términos de los índices de ciertos estabilizadores, definamos primero un cierto subconjunto de $X$:

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto finito,
\begin{align*}
X_G = \{x\in X | g\cdot x = x \; \forall g\in G\}.
\end{align*}

Es decir, $X_G$ es el conjunto de elementos de $X$ que quedan fijos sin importar qué elemento de $G$ actúe sobre ellos.

Notemos que dado $x\in X$ se tiene que $x\in X_G$ si y sólo si $g\cdot x = x$ para toda $g\in G$ y esto sucede si y sólo si $\mathcal{O}(x) = \{x\}.$ Entonces se cumple lo siguiente:

Observación 3. $x\in X_G$ si y sólo si $\mathcal{O}(x) = \{x\}.$

Así, el conjunto $X_G$ consiste de los elementos cuya órbita es trivial.

Proposición. (Ecuación de Clase)
Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto finito. Tenemos que
\begin{align*}
\#X = \#X_G + \sum_{j=1}^k [ G : G_{x_j}]
\end{align*}
con $x_1, \cdots x_k$ representantes de las distintas órbitas con más de un elemento.

En particular, si $G$ es finito y actúa en $G$ por conjugación
\begin{align*}
|G| = |Z(G)| + \sum_{j= i}^{k} [ G: C_G(x_j) ]
\end{align*}
con $x_1,\cdots x_k$ representantes de las distintas clases de conjugación con más de un elemento.

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $X$ un $G$-conjunto finito.

Sabemos que las órbitas son una partición de $X$. Sean $x_1,\cdots,x_k, x_{k+1},\cdots, x_t$ representantes de las distintas órbitas, donde $\#\mathcal(x_j) > 1$ si $j\in \{1,\cdots, k \}$ y $\#\mathcal{O}(x_j) = 1$ si $j\in \{k+1,\cdots , t\}.$ Entonces por un lado tenemos a las órbitas que tienen un sólo elemento y, por otro lado, las demás.

Por la observación 3, $X_G = \{x\in X| \# \mathcal{O}(x) = 1\} = \{x_{k+1},\cdots, x_t\}$.

Así,
\begin{align*}
\# X &= \sum_{j=1}^t \#\mathcal{O}(x_j) \\
&= \sum_{j= 1}^k \#\mathcal{O}(x_j) + \sum_{j= k+1}^t \#\mathcal{O}(x_j) &\text{Separamos la suma}\\
&= \sum_{j= 1}^k \#\mathcal{O}(x_j) + \sum_{j = k+1}^t 1 & \#\mathcal{O}(x_j) = 1 \text{ para } j \geq k+1\\
&= \sum_{j= 1}^k [ G : G_{x_j} ] + \# X_G & \text{Por la observación 3.}
\end{align*}

Si $G$ es finito y actúa en $G$ por conjugación, $X_G = Z(G)$, $\mathcal{O}(x_j) = x_j^G$ son las clases de conjugación y $G_{x_j} = C_G(x_j)$. Así
\begin{align*}
|G| = \sum_{j= 1}^k \lceil G: C_G(x_j) \rceil + |Z(G)|.
\end{align*}

$\blacksquare$

$p$-grupo

Hemos tratado con grupos finitos de orden primo, de ellos sabemos propiedades importantes como el hecho de que son cíclicos. El siguiente paso en nuestro estudio, es enfocarnos en los grupos cuyo orden es una potencia de algún primo. No todos los grupos finitos cumplen esta característica, pero los que sí, nos permiten entender a los demás.

Definición. Sea $G$ un grupo, $p\in\z^+$ un primo. Decimos que $G$ es un $p$-grupo si $|G| = p^t$ para alguna $t\in \n$.

Teorema. Sean $p\in \z^+$ un primo, $G$ un $p$-grupo, $X$ un $G$-conjunto finito. Entonces $$\#X \equiv \# X_G ( \text{mód } p).$$

Demostración.
Sean $p\in \z^+$ un primo, $G$ un $p$-grupo, $X$ un $G$-conjunto finito. Por la ecuación de clase,
\begin{align*}
\#X = \#X_G + \sum_{j=1}^k [G: G_{x_j} ]
\end{align*}
con $x_1,\cdots, x_k$ representantes de las distintas órbitas con más de un elemento. Como $G$ es un $p$-grupo, $|G| = p^t$ con $t\in \n$. Dado que el orden de los estabilizadores divide al orden de $G$ tenemos que $|G_{x_j}| \mid p^t$ y por lo tanto $|G_{x_j}| = p^{m_j}$ con $m_j\in \n, m_j \leq t.$

Entonces

\begin{align*}
1< \# \mathcal{O}(x_j) &= [G: G_{x_j} ] & \text{Por lo visto anteriormente}\\
&= \frac{|G|}{|G_{x_j}|} & \text{Propiedad del índice}\\
&= \frac{p^t}{p^{m_j}} & \text{Consecuencia de la hipótesis}\\
&= p^{t-m_j}.
\end{align*}

Así, $p$ divide a $[G: G_{x_j}]$ para toda $j\in \{1,\cdots, k\}.$ Por lo que

\begin{align*}
p \text{ divide a } \sum_{j=1}^k [G:G_{x_j}].
\end{align*}

Pero por la ecuación de clase $ \displaystyle \sum_{j=1}^k [G:G_{x_j}]= \# X – \# X_G.$

Entonces
\begin{align*}
p \text{ divide a } \# X – \# X_G.
\end{align*}

En consecuencia $\# X \equiv \#X_G( \text{mód } p).$

$\blacksquare$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Considera el grupo $S_4$ actuando sobre sí mismo por conjugación.
    • Determina las clases de conjugación de $S_4$.
    • Escribe la ecuación de clase de $S_4$.
    • Deduce el orden de cada uno de los estabilizadores $G_x$, donde $x\in S_4$.
  2. Encuentra todos los $p$-subgrupos de $S_4$.
  3. Sean $X = \{H \,|\, H \leq D_{2(4)}\}$, $G = \left< a \right>$ con $a$ la rotación de $\displaystyle \frac{\pi}{2}$. Considera la acción de $G$ en $X$ dada por $g \cdot H = gHg^{-1}$ para todo $g\in G$, $H \in X$. Encuentra $X_G$ y verifica que $\#X \equiv \# X_G (\text{mód }2)$.

Más adelante…

Ahora nuestro interés está puesto en los números primos o más bien, en la relación de los números primos con el orden de los grupos. Esta entrada te da lo que tienes que saber de $p$-grupos y más adelante veremos cómo mediante ellos se pueden estudiar otros grupos. Además, eventualmente veremos un caso especial de los $p$-grupos, llamados $p$-subgrupos de Sylow, que nos llevará (para sorpresa de nadie) a los Teoremas de Sylow.

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