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Álgebra Moderna I: Ejemplo de Sylow

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Siendo la última entrada de la Unidad 4, está dedicada a un ejemplo que se justifica usando el Tercer Teorema de Sylow que vimos en la entrada anterior. Por lo mismo, es mucho más corta de lo que estamos acostumbrados, pero es importante para reforzar el conocimiento antes aprendido.

Ilustrando el TTS

Veamos un ejemplo del Tercer Teorema de Sylow.

Ejemplo.

Tomemos $G = S_4$ y veamos la factorización en primos del orden de $G$, $|G| = 24 = 2^3\cdot 3$.

Primero, consideremos al $3$. Notamos que $\left< (1\;2\; 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de Sylow ya que tiene $3$ elementos y no podemos encontrar subgrupos de Sylow de $9, 27$ u otra potencia de $3$, porque esta no dividiría al orden de $G$.

Ahora nos preguntamos ¿cuál es la cantidad de $3$-subgrupos de Sylow, denotada por $r_3$? Bueno, por el Tercer Teorema de Sylow sabemos que se cumple:

\begin{align*}
r_3 \,| \, 2^3 \cdot 3 \, \text{ y } \, r_3\equiv 1 \text{(mód }3).
\end{align*}

Como $3 \equiv 0\text{(mód }3)$, entonces $r_3$ no es un múltiplo de $3$, así que $r_3$ tiene que ser un divisor de $2^3 = 8$ congruente con uno módulo $3$, por lo que $r_3 \in \{1, 4\}$.

Pero podemos encontrar $\left< (2\; 3\; 4)\right>$, otro $3$-subgrupo de Sylow diferente al anterior, así que $ r_3 = 4$. Los otros $3$-subgrupos de Sylow son $\left<(1\;3\;4)\right>$ y $\left<(1\;2\;4)\right>$.

Ahora nos fijamos en el primo $2$. Por el TTS, la cantidad de $2$-subgrupos de Sylow ($r_2$) tiene que cumplir,
\begin{align*}
r_2\,| \,2^3 \cdot 3 \, \text{ y } \, r_2\equiv 1 \text{(mód }2).
\end{align*}

La condición del módulo nos indica que $r_2$ es impar, por lo que tiene que ser divisor de $3$ para además se cumpla la primera condición, esto nos deja con $r_2 \in \{1,3\}.$

Busquemos estos $2$-subgrupos de Sylow. Sabemos que cada $2$-subgrupo de Sylow tiene orden igual a la máxima potencia de $2$ que divide a $|G|$, esto es 8. Sabemos que si tenemos un cuadrado y numeramos los vértices, podemos codificar cada simetría del cuadrado con una permutación de $S_4$. Recordemos que no toda permutación de $S_4$ es una simetría, pero sí al revés.

Las simetrías de un cuadrado son $8$ en total y estas simetrías pueden ser generadas por la combinación de una rotación y la reflexión con respecto al eje $x$. Como hay $8$ simetrías del cuadrado y éstas pueden ser codificadas en permutaciones de $S_4$, tendremos un subgrupo de $S_4$ de orden $8$, es decir, un $2$-subgrupo de Sylow.

Supongamos que numeramos los vértices de un cuadrado $1,\,2,\,3,\,4$ como en la imagen, entonces la rotación estará dada por $(1\;2\;3\;4)$ y la reflexión con respecto al eje $x$ sería $(2\;4)$. Así, el $2$-subgrupo de Sylow que obtenemos es $\left<(1\;2\;3\;4), (2\;4)\right>$.

Simetrías del cuadrado $1,\,2,\,3,\,4$ usando $\left<(1\;2\;3\;4), (2\;4)\right>.$

Estamos buscando todos los $2$-subgrupos de Sylow posibles, como $r_2 \in \{1,3\}$ bien podíamos pensar que $\left<(1\;2\;3\;4), (2\;4)\right>$ es el único. Pero podemos nombrar los vértices del cuadrado de manera distinta para que las simetrías de $S_4$ que le correspondan cambien y encontremos otro $2$-subgrupo de Sylow.

Numerando los vértices del cuadrado $2,\,1,\,3,\,4$ como en la imagen, encontramos que la simetrías están generadas por la rotación $(2\;1\;3\;4)$ y la reflexión $(1\;4)$. Así $\left<(2\;1\;3\;4), (1\;4)\right>$ es otro $2$-subgrupo de Sylow.

Si nos damos cuenta, lo único que hicimos en este cuadrado fue intercambiar los vértices $1$ y $2$ del cuadrado. Esto nos da un subgrupo diferente al anterior porque ese cambio no es una simetría del cuadrado.

Simetrías del cuadrado $2,\,1,\,3,\,4$ usando $\left<(2\;1\;3\;4), (1\;4)\right>.$

Pero $r_2 = 1$ o $r_2 = 3$, así que no puede haber sólo dos $2$-subgrupos de Sylow, deben ser $3$. Nos queda entonces otro $2$-subgrupo de Sylow por encontrar. Análogamente, tomamos el cuadrado numerando los vértices $1, \, 3, \, 2, \, 4$, donde sólo intercambiamos los vértices $3$ y $4$ del cuadrado original. En este caso nos encontramos que sus simetrías son generadas por $\left< (1\;3\;2\;4), (3\; 4)\right>$ y este es el último $2$-subgrupo de Sylow que nos faltaba.

Simetrías del cuadrado $1, \, 3, \, 2, \, 4$ usando $\left< (1\;3\;2\;4), (3\; 4)\right>.$

Así, encontramos todos los subgrupos de Sylow de $S_4$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Considera el grupo de los cuaternios $Q_8$, ¿cuántos y cuáles son sus $2$-subgrupos de Sylow?
  2. Busca los $2$ y $3$-subgrupos de Sylow de $\z_6.$
  3. Sean $a, b \in G : = S_3 \times \z_4$, donde $a = ((1\; 2\; 3), [2])$ y $b = ((1\; 3), [1]).$ Considere el subgrupo $T : = \left< a, b \right> \leq G.$ Prueba que $$T = \left< a,b : a^6 = 1_G, b^2 = a^3 = (ab)^2\right>$$ y que $T$ es un grupo no abeliano con $12$ elementos.
    La notación anterior se lee como $T$ es el generado por los elementos $a$ y $b$ tales que $a^6 = 1_G, \,b^2 = a^3 = (ab)^2$.

Más adelante…

Con esta entrada no sólo concluimos en tema de los Teoremas de Sylow, si no también la unidad 4 del curso. ¡Felicidades! Sigue avanzando, ya casi acabamos.

En la siguiente unidad planeamos estudiar el Teorema Fundamental de los Grupos abelianos finitos. Pero para ello comenzaremos viendo una forma sencilla de construir nuevos grupos a partir de una cantidad finita de grupos previos.

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Álgebra Moderna I: Teoremas de Sylow

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la entrada anterior definimos a los $p$-subgrupos de Sylow de un grupo $G$ como un $p$-subgrupo de $G$ tal que no estuviera contenido en otro $p$-subgrupo de $G$. En esta entrada estudiaremos los Teoremas de Sylow que hablan, como su nombre nos indica, de los $p$-subgrupos de Sylow que definimos antes.

El primero trata sobre del orden de los $p$-subgrupos de Sylow, que es la máxima potencia de $p$ que divide al orden del grupo $G$. El segundo habla de la relación entre los $p$-subgrupos de Sylow y establece que todo par de $p$-subgrupos son conjugados. El tercero describe de modo aproximado la cantidad de $p$-subgrupos de Sylow que hay en un grupo $G$. No nos da un número exacto, pero nos da alguna información al respecto.

Ahora, prepárate para leer el nombre de Sylow aún más veces.

Primer Teorema de Sylow

Teorema (1er Teorema de Sylow). Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito con $|G|=p^t m$, $t\in\n^+, m\in \n^+, p\not{|}m.$ Entonces

  1. para cada $i\in\{1,\cdots,t\}$, $G$ contiene un subgrupo de orden $p^i$.
  2. Todo subgrupo de $G$ de orden $p^i$ con $i\in\{1,\cdots,t-1\}$ es un subgrupo normal de algún subgrupo de $G$ de orden $p^{i+1}$.

Demostración.
Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito con $|G|=p^tm$, $t,m\in \n^+$, $p\not{|}m$.

P.D. Para toda $i\in\{1,\cdots,t\}$ existe $P_i \leq G$ con $|P_i| = p^{i}$ y de forma que $P_i \unlhd P_{i+1}$ para toda $i\in\{1,\cdots,t-1\}$.
De hecho, con esto quedarían probados los dos incisos del PTS (Primer Teorema de Syow).

Primero necesitamos un subgrupo de orden $p$. Éste se tiene gracias al Teorema de Cauchy. Así, podemos afirmar que $G$ tiene un subgrupo de orden $p$.
Ahora, si $i\in\{1,\cdots, t-1\}$ y $H$ es un subgrupo de orden $p^{i}$ veamos que podemos construir un subgrupo de $G$ de orden $p^{i+1}$ tal que $H$ sea normal a él:

Sabemos que $p$ divide a $ [ G : H ]$ y como $[ G : H ] \equiv [ N_G(H) : H ] (\text{mód } p)$ entonces
\begin{align*}
p\text{ divide a } [ N_G(H) : H ] = \left| N_G(H) \Big{/}H \right|.
\end{align*}

Entonces por Cauchy, el grupo cociente $N_G(H)\Big{/}H$ tiene un subgrupo de orden $p$, y por el teorema de la correspondencia es de la forma $\tilde{H}/H$ con $H\leq \tilde{H} \leq N_G(H)$. Así,

\begin{align*}
&p = \left| \tilde{H} \Big/ H \right| = \frac{|\tilde{H}|}{|H|} = \frac{\tilde{H}}{p^{i}}
\\& \Rightarrow \frac{|\tilde{H}|}{p^{i}} = p
\\&\Rightarrow |\tilde{H}| = p^{i+1}
\end{align*}
pero $H\unlhd N_G(H)$ por construcción del normalizador y $ \tilde{H} \leq N_G(H)$, entonces $H \unlhd \tilde{H}.$

Ilustración de por qué $H\unlhd \tilde{H}$.

De esta manera, dado un subgrupo de orden $p^i$ podemos encontrar un subgrupo de orden $p^{i+1}$ tal que el primero sea normal en el segundo. Entonces, considerando $P_1$ un subgrupo de $G$ de orden $p$, existe $P_2$ un subgrupo de $G$ de orden $p^2$ tal que $P_1\unlhd P_2$ y a partir de $P_2$ podemos hallar $P_3$ un subgrupo de $G$ de orden $p^3$ tal que $P_2\unlhd P_3$ y así sucesivamente.

Concluimos entonces que existen $P_1,\cdots, P_t$ subgrupos de $G$ con $|P_i| = p^{i}$ para toda $i\in \{1,\cdots, t\}$ tales que $P_1 \unlhd P_2 \unlhd \cdots \unlhd P_t$.

$\blacksquare$

En consecuencia, el PTS nos dice qué tamaño tienen los $p$-subgrupos de Sylow, una incógnita que no habíamos resuelto. Esto se ilustra en el siguiente corolario.

Corolario. Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito con $|G| = p^tm$, $t,m,\in \n^+$ y $p\not{|}m$. Los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ tienen orden $p^t$.

Segundo Teorema de Sylow

Antes de enunciar y probar el STS (Segundo Teorema de Sylow) vamos a dar una observación.

Observación. Los conjugados de un $p$-subgrupo de Sylow son también $p$-subgrupos de Sylow.

Demostración.
Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito, $|G| = p^tm$ con $t,m\in\n^+$, $p\not{|}m.$

Al tomar $P$ un $p$-subgrupo de Sylow de $G$, por el corolario del PTS sabemos que $|P| = p^t$.

Ahora, al conjugarlo mediante $g\in G$ se tiene que $gPg^{-1} \leq G$ con $|gPg^{-1}| = |P| = p^t$. Así, $gPg^{-1}$ es un $p$-grupo y debido a que su orden es la máxima potencia de $p$ que divide a $|G|$ se tiene que es un $p$-subgrupo de Sylow.

$\blacksquare$

Esta observación nos dice que todos los conjugados de un $p$-subgrupo de Sylow son igual un $p$-subgrupo de Sylow, pero el STS va más allá y nos dice que conjugando $p$-subgrupos de Sylow podemos encontrar todos los $p$-subgrupos de Sylow de un grupo $G$.

Teorema (2do Teorema de Sylow). Sean $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito. Todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ son conjugados en $G$.

Demostración.

Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito, $P$ y $Q \; p$-subgrupos de Sylow de $G$.

Sea $X = \{gP \;|\; g\in G\}$. Para comenzar definimos $q\cdot(gP) = qgP$ para todas $q\in Q,g\in G.$ Ésta es una acción de $Q$ en $X$. Como $Q$ es un $p$-grupo, por el último teorema de la entrada Clase de Conjugación, Centro de $G$, Ecuación de Clase y  $p$-Grupo sabemos que
\begin{align*}
\#X\equiv\#X_Q (\text{mód } p).
\end{align*}

Como $p$ no divide a $[ G: P ]$ y $[ G: P ] = \# X$, entonces $p$ tampoco divide a $\# X_Q$. En particular $\#X_Q \neq 0$ y así $X_Q \neq \emptyset$.

Pero
\begin{align*}
X_Q &= \{gP \;|\; q\cdot (gP) = gP \quad \forall q\in Q\}\\
&= \{gP \;|\; qgP = gP \quad \forall q\in Q\} \\
&= \{gP \;|\; g^{-1}qg \in P\quad \forall q\in Q\} \\
&= \{gP \;|\; g^{-1}Qg \subseteq P\} & \text{porque es para toda }q\in Q\\
&= \{gP \;|\; g^{-1}Qg = P\}.
\end{align*}

donde la última igualdad se da porque $g^{-1}Qg$ y $P$ son $p$-subgrupos de Sylow y entonces tienen el mismo orden, la máxima potencia de $p$ que divide al orden de $G$.

Así, $\{gP \;|\;g^{-1}Qg = P\}\neq \emptyset$ y en consecuencia existe $g\in G$ tal que $g^{-1}Qg = P$.

Por lo tanto $P$ y $Q$ son conjugados en $G$.

$\blacksquare$

Tercer Teorema de Sylow

Teorema (3er Teorema de Sylow). Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito y $r_p$ el número de $p$-subgrupos de Sylow de $G$. Entonces

  1. $r_p \equiv 1 (\text{mód } p)$.
  2. $r_p$ divide a $ |G|$.

Demostración.
Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito y $r_p$ el número de $p$-subgrupos de Sylow de $G$.

  1. Sea $X = \{P_1,\cdots, P_{r_p}\}$ la colección de todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$. Definimos $g\cdot P_i = gP_ig^{-1}$ para todas $g\in P_1$ e $i\in\{1,\cdots, r_p\}$, que es una acción de $P_1$ en $X$ ya que $ gP_ig^{-1}$ es nuevamente un $p$-subgrupo de Sylow por la observación previa. Como $P_1$ es un $p$-grupo, por el último teorema de la entrada Clase de Conjugación, Centro de $G$, Ecuación de Clase y  $p$-Grupo sabemos que
    \begin{align*}
    \#X \equiv \# X_{P_1} (\text{mód } p).
    \end{align*}
    Pero por la construcción de $X$, tenemos que $$r_p = \#X\equiv \# X_{P_1} (\text{mód } p).$$
    Ahora, veamos que $\#X_{P_1} = 1$ y para ello analicemos quién es $X_{P_1}$
    \begin{align*}
    X_{P_1} &= \{P_i \in X \;|\; g\cdot P_i = P_i \quad \forall g\in P_1\} \\
    &= \{P_i \in X \;|\; gP_ig^{-1}=P_i \quad \forall g\in P_1\}.
    \end{align*}
    Así, para toda $P_i \in X_{P_1}$ se tiene que $P_1 \leq N_G(P_i)$ y también $P_i \leq N_G(P_i)$.
    Entonces $P_1$ y $P_i$ son $p$-subgrupos de Sylow de $N_G(P_i).$
    Por el 2do Teorema de Sylow, $P_1$ y $P_i$ son conjugados en $N_G(P_i)$, es decir existe $g\in N_G(P_i)$ tal que
    \begin{align*}
    P_1 &= gP_ig^{-1} \\
    &= P_i &\text{pues } g\in N_G(P_i).
    \end{align*}
    Concluimos entonces que $P_1$ es el único elemento en $X_{P_1}$ y así $\#X_{P_1} = 1$. Por lo tanto $r_p \equiv 1 (\text{mód } p)$.
  2. Sea $X = \{P_1, \cdots, P_{r_p}\}$ la colección de todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$.
    Definimos $g\cdot P_i = gP_ig^{-1}$ para todas $g\in G$ e $i\in\{1,\cdots, r_p\}$, que es una acción de $G$ en $X$.
    Por el segundo teorema de Sylow sabemos que $P_1,\dots , P_{r_p}$ son conjugados de $P_1$, entonces $$ \mathcal{O}(P_1)=\{g\cdot P_1|g\in g\}=\{gP_1g^{-1}|g\in g\}=\{P_1,\dots , P_{r_p}\}=X$$ es decir, la acción es transitiva.
    Entonces obtenemos que $r_p = \# \mathcal{O}(P_1)$. Pero, sabemos que $$\# \mathcal{O}(P_1) = [ G : G_{P_i} ] = \frac{|G|}{|G_{P_i}|}$$
    que es un divisor de $|G|$. Por lo tanto $r_p$ es un divisor de $ |G|$.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Demuestra el corolario del PTS: Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito con $|G| = p^tm$ con $t,m,\in \n^+$ y $p\not{|}m$. Los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ tienen orden $p^t$.
  2. Sean $p\in \z^+$ un número primo, $G$ un grupo y $P$ un $p$-subgrupo de Sylow de $G$. Demuestra que $P$ es el único $p$-subgrupo de Sylow de $G$ si y sólo si $P \unlhd G.$
  3. Sea $p\in \z^+$ un número primo. Da un ejemplo de un grupo finito $G$ que tenga tres $p$-subgrupos de Sylow $P$, $Q$ y $R$ tales que $P\cap Q = \{1\}$ y $P\cap R \neq \{1\}.$
    (Sugerencia: Considera $S_3\times S_3.$)
  4. Sean $p\in \z^+$ un número primo y $G$ un grupo finito. Considera $Q$ un $p$-subgrupo de $G$ tal que $Q \unlhd G$. Prueba que $Q \leq P$ para cada $p$-sugrupo de Sylow $P$ de $G$.
    (Sugerencia: Usa el hecho de que cualquier otro $p$-subgrupo de Sylow de $G$ es conjugado de $P$.)
  5. Sean $p\in \z^+$ un número primo y $G$ un grupo finito. Para cada primo $p$ divisor del orden de un grupo finito $G$, escoge un $p$-subgrupo de Sylow $Q_p$. Prueba que $$G = \left< \bigcup_p Q_p\right>.$$(Sugerencia: Usa el orden de los subgrupos generados por los subgrupos de Sylow.)

Más adelante…

En esta entrada abarcamos los tres Teoremas de Sylow, se colocaron los tres en esta entrada para que fuera más fácil consultarlos. Sin embargo, esto hace a la entrada un poco larga, así que la siguiente estará dedicada a algunos ejemplos de la aplicación de estos teoremas.

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Álgebra Moderna I: $p$-Subgrupo de Sylow y el Normalizador de $H$ en $G$ 

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Cuando nació la Teoría de grupos uno de los problemas principales fue clasificar a los grupos finitos. Una manera de estudiar este problema es empezar por entender un tipo especial de grupos finitos: grupos con orden primo $p$, llamemos $G$ a este grupo. El estudio de $G$ se hace más sencillo pues sabemos que es un grupo cíclico y es isomorfo a $\z_p.$

Podemos aumentar la dificultad y considerar el caso cuando $|G| = p^t$, con $p$ primo y $t\in \n.$ Pero, ¿qué sucede si $G$ no es un $p$-grupo? Supongamos que $|G|= n = p^t m$ donde $t\in \n$ y $p$ no divide a $m.$

Dibujo de la representación de un $p$-grupo de Sylow

En esta entrada lo que haremos será intentar estudiar a un grupo cualquiera $G$ a partir de los $p$-grupos que lo conforman, que serán llamados $p$-subgrupos de $G$. Estos subgrupos pueden estar contenidos a su vez en otros $p$-subgrupos o bien ser máximos con respecto a la contención y no estar contenidos en ningún otro $p$-subgrupo. A estos $p$-subgrupos máximos se les llama $p$-subgrupos de Sylow de $G$.

Estudiar todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ para los primos que dividen al orden de $G$ nos ayuda a entender cómo es el mismo $G.$

Comencemos con subgrupos de Sylow

Definición. Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito. Decimos que $P$ es un $p$-subgrupo de $G$ si el orden de $P$ es una potencia de $p$. Además, decimos que $P$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $G$ si

  1. $P$ es un $p$-grupo;
  2. si $Q$ es un $p$-grupo con $P\subseteq Q \subseteq G$, entonces $P=Q$.

Es decir $P$ es un $p$-subgrupo de $G$ máximo con respecto a la contención.

Observación. Siempre existe los subgrupos de Sylow.

Demostración.
Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito con $|G|= n$.

Si $p \not{|} n$, entonces $\{e\}$ es un $p$-subgrupo de Sylow.

Si $p|n$, por el teorema de Cauchy existe $g\in G$ de orden $p$. Si $\left< g\right>$ no es $p$-subgrupo de Sylow, entonces existe $Q_1 \leq G$ $p$-subgrupo con $\left< g\right> \not\subseteq Q_1.$ Si $Q_1$ no es un $p$-subgrupo de Sylow debe existir $Q_2\leq G$ $p$-subgrupo con $Q_1\not\subseteq Q_2.$ Continuando de este modo, dado que $G$ es de orden finito y $1<|\left< g\right> |<|Q_1|<|Q_2|<\dots <|G|$ obtenemos un $p$-subgrupo de Sylow después de un número finito de pasos.

$\blacksquare$

Ejemplos

Ejemplo 1. Sea $G = S_4$, $|S_4| = 4! = 24 = 2^3\cdot 3$.
Entonces hay dos primos involucrados en $|S_4|$, estos son 2 y 3.

$\left< (1\, 2\, 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de $S_4$. Como no hay otra potencia de 3 que divida a $|S_4|$, no hay grupos de orden 9,27, etc. por lo que $\left< (1\, 2\, 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de Sylow de $S_4$

Por otro lado, para los $2$-subgrupos de Sylow podríamos tener subgrupos de orden $2$, $4$ y hasta $8$. De una manera intuitiva sabemos que podemos ver a $S_4$ como todas las simetrías de un cuadrado.

Notemos que no todas las permutaciones de los vértices de un cuadrado son simetrías, pero todas las simetrías de un cuadrado se pueden ver como permutaciones de sus vértices. Las permutaciones que también son simetrías son: las rotaciones por 90 grados, las reflexiones por los ejes y las reflexiones por las diagonales.

La rotación de $90$ grados, que corresponde a la permutación $(1\, 2\, 3\, 4),$ y la reflexión por el eje $x,$ que corresponde a la transposición $(2\,4)$, generan al grupo diédrico. Por lo que $\left< (1\, 2\, 3\, 4), (2\,4)\right>$ es isomorfo al grupo diédrico $D_{2(4)}$ que es de orden $8$. Así, $\left< (1\, 2\, 3\, 4), (2\,4)\right>$ es un $2$-subgrupo de Sylow de $S_4$ de orden 8.

Simetrías de un cuadraro

Ejemplo 2. Sea $G = A_4$, $|A_5| = 60 = 2^2\cdot 3 \cdot 5$.

Consideremos el grupo de Klein $\{(1), (1\,2)(3\, 4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3) \} $ que es un subgrupo de $A_5$ de orden $4$ y por lo tanto un $2$-subgrupo de Sylow de $A_5$.

El subgrupo anterior se hizo considerando todas las permutaciones que son productos de dos transposiciones disjuntas de los números $1$, $2$, $3$ y $4$, si ahora hacemos lo mismo pero considerando todas las permutaciones que son productos de dos transposiciones disjuntas de los números $2$, $3$, $4$ y $5$ obtenemos $\{(1), (2\,3)(4\,5), (2\,4)(3\,5), (2\,5)(3\,4)\}$ que es otro $2$-subgrupo de Sylow de $A_5$. Siguiendo de esta manera podríamos construir distintos $2$-subgrupos de Sylow.

Si nos tomamos un $3$-ciclo y su generado obtenemos un $3$-subgrupo de Sylow de $A_5$, por ejemplo $\left< (1\, 2\, 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de Sylow de $A_5$. Notamos que podemos elegir $3$-ciclos distintos de $ (1\, 2\, 3)$ y de su inverso y con ello crear diferentes $3$-subgrupos de Sylow de $A_5$.

Si tomamos un $5$-ciclo y su generado obtenemos un $5$-subgrupo de Sylow de $A_5$, por ejemplo $\left< (1\, 2\, 3\,4\,5)\right>$ es un $5$-subgrupo de Sylow de $A_5$. Pero también podemos tomar un $5$-ciclo que no esté en el generado $\left< (1\, 2\, 3\, 4\, 5)\right>$ y obtener otro $5$- subgrupo de Sylow de $A_5$.

Últimos preparativos

Definición. Sea $G$ un grupo, $H$ subgrupo de $G$. El normalizador de $H$ en $G$ es
\begin{align*}
N_G(H) = \{g\in G \;|\; gHg^{-1} = H \}.
\end{align*}

Representación del normalizador de $H$ en $G$.
Observemos que un elemento $g $ del normalizado de $H$ no necesariamente está en $H$.

Observación. Por construcción $H \unlhd N_G(H)$.

Lema. Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito, $H$ un $p$-subgrupo de $G$. Entonces
\begin{align*}
[ N_G(H) : H ] \equiv [ G: H ] (\text{mód }p).
\end{align*}

Demostración.
Sean $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito y $H$ un $p$-subgrupo de $G$. Consideremos $X = \{gH\;|\;g\in G\}$ y la acción de $H$ en $X$ dada por
\begin{align*}
h\cdot (gH) = hgH \quad \forall h\in H, \forall g\in G.
\end{align*}

Como $H$ es un $p$-grupo, de acuerdo al último teorema de la entrada Clase de Conjugación, Centro de $G$, Ecuación de Clase y  $p$-Grupo sabemos que
\begin{align*}
[ G:H ] = \# X \equiv \# X_H (\text{mód }p).
\end{align*}

Pero
\begin{align*}
X_H &= \{gH \in X \;|\; h\cdot(gH) = gH \quad \forall h \in H\} \\
&= \{gH \in X \;|\; hgH = gH \quad \forall h \in H\}\\
&= \{gH \in X \;|\; g^{-1}hg\in H \quad \forall h \in H\}\\
&= \{gH \in X \;|\; g^{-1}Hg\subseteq H\}\\
&= \{gH \in X \;|\; g^{-1}Hg = H\} & \text{pues $G$ es finito y en consecuencia $H$ también.}\\
&= \{gH \;|\; g\in N_{G}(H)\}\\
&= N_G(H) / H.
\end{align*}

Así, $\#X_H = [ N_G(H) : H ]$ y entonces $[ G:H ] \equiv [ N_G(H) : H] (\text{mód }p).$

$\blacksquare$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra los $2$-subgrupos de los cuaternios $Q_8.$
  2. Encuentra todos los $3$-subgrupos del grupo simétrico $S_4.$ Etiquetando los vértices del cuadrado de maneras distintas a la que viene en el ejemplo 2 de esta entrada, encuentra la mayor cantidad que puedas de $2$-subgrupos de Sylow de $S_4$.
  3. Sea $P$ un $p$-subgrupo de Sylow de un grupo finito $G$. Prueba que:
    • Cada conjugado de $P$ también es un $p$-subgrupo de Sylow.
    • $p$ no divide a $|N_g(P)/P|$.
    • Si $g\in G$ es tal que $o(g) = p^m$ para alguna $m\in\z^+$ y si $gPg^{-1} = P$, entonces $g \in P.$

Más adelante…

¡Ahora sí! Todo está listo para que en la siguiente entrada estudiemos los tres Teoremas de Sylow. Te adelanto que todos los Teoremas de Sylow se sirven de los $p$-subgrupos que vimos en esta entrada. De hecho, los relaciona con los temas que hemos visto como subgrupo normal y conjugados.

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Álgebra Moderna I: Teorema de Cauchy

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

2 respuestas

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Hemos llegado a uno de los resultados más importantes del curso: el Teorema de Cauchy. Éste nos asegura la existencia de un elemento de determinado orden en el grupo. De forma más precisa nos dice que para cada primo que divida al orden del grupo, existe un elemento con orden exactamente ese primo.

Con este resultado nos nace una nueva pregunta: ¿cómo se relaciona esto con los $p$-grupos? y otra más: ¿se puede relacionar esto con el centro de un grupo? Tal vez no parezcan preguntas que te harías directamente después de ver el teorema, pero igual las responderemos. Es especialmente interesante lo del centro de un grupo porque en ocasiones podemos concluir que ciertos grupos deben ser abelianos.

Uno de los resultados más importantes del curso

Teorema de Cauchy.
Sea $G$ un grupo finito, $p\in\z^+$ un primo que divida a $|G|.$ Entonces existe $g\in G$ de orden $p.$

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito, $p\in \z^+$ un primo tal que $p\Big| |G|.$

P.D. Existe un elemento $g \in G$ de orden $p$.

Para esta demostración, queremos usar el último teorema de la entrada anterior. Pero este sólo aplica para un conjunto finito y un $p$-grupo. Por lo que comenzaremos definiendo un conjunto finito a partir de $G$.

Consideremos
\begin{align*}
X = \{(g_1,\cdots, g_p) \,|\, g_1, \cdots, g_p \in G, g_1\cdots g_p = e\}
\end{align*}
el conjunto de las $p-$adas cuyo producto dé el neutro.

Observemos que podemos elegir las primeras $p-1$ entradas de un elemento en $X$ como sea, pero la última no porque la condición $g_1\cdots g_p = e$ nos indica que $g_p = (g_1\cdots g_{p-1})^{-1}.$ Así $\# X = |G|^{p-1}$ y como $p$ divide al orden de $G$, entonces $p|\#X$.

Sea $H = \left< (1\,2\cdots p)\right> \leq S_p$, el cual es un $p$-grupo. $H$ actúa en $X$ permutando los subíndices, es decir,
\begin{align*}
(1\;2\cdots \;p)\cdot (g_1,\cdots, g_p) = (g_2,g_3,\cdots, g_p, g_1)
\end{align*}
y en general, si $\sigma = (1\; 2 \cdots p)$, entonces para toda $j\in\z$
\begin{align*}
\sigma^j \cdot (g_1,\cdots,g_p) = (g_{\sigma^j(1)}, \cdots, g_{\sigma^j(p)}).
\end{align*}

Tenemos que observar que la acción está bien definida. Esto sucede ya que si $(g_1, \cdots, g_p) \in X$ tenemos que $g_1 = (g_2, \cdots, g_p)^{-1}$ y así $$(g_2 \cdots g_p)g_1 = e.$$

Entonces $(1\;2\cdots p)\cdot (g_1,\cdots,g_p) = (g_2,\cdots,g_p,g_1)\in X.$ Así, $H$ manda elementos de $X$ en elementos de $X$.

Por otro lado,
\begin{align*}
\text{id}\cdot (g_1,\cdots,g_p) = (g_{\text{id}(1)}, \cdots, g_{\text{id(p)}}) = (g_1,\cdots, g_p)
\end{align*}
y además
\begin{align*}
\sigma^j\cdot (\sigma^t \cdot (g_1,\cdots,g_p)) & = \sigma^j\cdot (g_{\sigma^t(1)}, \cdots, g_{\sigma^t(p)}) & \text{Aplicamos } \sigma^t\\
&= (g_{\sigma^j(\sigma^t(1))}, \cdots, g_{\sigma^j(\sigma^t(p))}) & \text{Aplicamos } \sigma^j\\
&=(g_{\sigma^{j+t}(1)}, \cdots, g_{\sigma^{j+t}(p)})\\
&=\sigma^{j+t} \cdot (g_1,\cdots, g_p) =( \sigma^j\sigma^t )\cdot (g_1,\cdots, g_p).
\end{align*}

Así, efectivamente tenemos una acción de $H$ en $X$.

Como $|H| = p$, por el teorema de la entrada anterior
\begin{align*}
\# X \equiv \# X_H (\text{mód }p).
\end{align*}
Pero recordemos que $p\mid \#X$, entonces $p\mid \# X_H.$

Ahora vamos a analizar cómo es $\# X_H$. Comencemos por entender quién es el conjunto $X_H$,
\begin{align*}
X_H &= \{ (g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \;\sigma^j\cdot (g_1,\cdots, g_p) = (g_1,\cdots, g_p) \, \forall j\}\\
&= \{(g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \;\sigma\cdot (g_1,\cdots, g_p) = (g_1,\cdots, g_p)\} &\text{si $\sigma$ fija a un elemento, también $\sigma^j$}\\
&= \{(g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \; (g_2, \cdots, g_p, g_1) = (g_1,\cdots, g_p)\} & \text{Definición de }\sigma\\
&= \{(g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \; g_1 = \cdots = g_p\} &\text{Implicación directa}.
\end{align*}

En particular, $(e,\cdots, e)\in X_H$ por lo que $\#X_H \geq 1$. Pero no puede haber exactamente un elemento en $X_H$ porque $p \Big|\#X_H$, entonces $\#X_H > 1.$ Existe entonces $(g,\cdots, g) \in X_H$ con $g\in G$ tal que $g\neq e.$

Como $(g,\cdots, g)\in X$ se tiene que $g^p = g\cdots g = e$ con $g\in G$ con $g\neq e.$

Así $g$ es un elemento en $G$ de orden $p$.

$\blacksquare$

Corolario. Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito. $G$ es un $p$-grupo si y sólo si para todo $g\in G$ el orden $o(g)$ es una potencia de $p$.

Proposición. Sea $p\in\z^+$ un primo. Si $G$ es un $p$-grupo con $G\neq\{e\}$ (no trivial) entonces $Z(G) \neq \{e\}.$

Demostración.
Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un $p$-grupo con $G\neq\{e\}.$ Por la ecuación de clase
\begin{align*}
|G| = |Z(G)| + \sum_{j=1}^k [G: C_G(x_j)]
\end{align*}
con $x_1,\cdots, x_k$ representantes de las distintas clases de conjugación con más de un elemento, por lo que
\begin{align*}
1 < \#x_j^G &= [ G: C_G(x_j) ] = \frac{|G|}{|C_G|}\Big|\; |G|.
\end{align*}

Como $|G| = p^t$, $t\in \n$, entonces $p\Big| [G: C_G(x_j)]$ para toda $j\in \{1,\cdots, k\}$.

Así
\begin{align*}
p \Big| |G| – \sum_{j = 1}^k [G: C_{G}(x_j) ]= |Z(G)|.
\end{align*}

Como $|Z(G)|$ es múltiplo de $p$ no nulo, no puede ser 1. Entonces $Z(G) \neq \{e\}.$

$\blacksquare$

¿Grupos abelianos de nuevo?

Lema. Sea $G$ un grupo. Si $G/ Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es abeliano.

Demostración.
Sea $G$ un grupo tal que $G/Z(G)$ es cíclico.

Entonces $G/Z(G) = \left<gZ(G)\right>$ con $g\in G.$

Sean $a,b\in G$. Como $aZ(G), bZ(G) \in G/Z(G) = \left<gZ(G)\right>$ entonces
\begin{align*}
aZ(G) &= g^kZ(G) & \\
bZ(G) &= g^tZ(G)& \text{con } k,t\in \z.
\end{align*}

Así,
\begin{align*}
a &= g^kz_1 &\\
b &= g^tz_2 & \text{con } k,t \in \z, z_1,z_2 \in Z(G).
\end{align*}

Entonces
\begin{align*}
ab &= (g^kz_1)(g^tz_2) = g^{k+t}z_1z_2 &\text{Como }z_1\in Z(G),\text{ entonces $z_1$ conmuta con $g^t$}\\
ba &= (g^tz_2)(g^kz_1) = g^{t+k}z_2z_1 &\text{Como }z_2\in Z(G), \text{ entonces $z_2$ conmuta con $g^k$}.
\end{align*}

Así $ab = ba$. Por lo tanto $G$ es abeliano.

$\blacksquare$

Corolario. Sea $p\in\z^+$ un primo. Si $G$ es un grupo de orden $p^2$, entonces $G$ es abeliano.

Demostración.
Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo con $|G| = p^2$.

$G$ es entonces un $p$-grupo con $G\neq \{e\}$, por la proposición previa $Z(G) \neq \{e\}.$

Como $Z(G) \leq G$, entonces $|Z(G)|\Big| |G| = p^2$, con $|Z(G)|\neq 1.$ Así que $|Z(G)| = p$ ó $|Z(G)| = p^2.$

Si $|Z(G)| = p,$ entonces
\begin{align*}
\left|G/Z(G)\right| = \frac{|G|}{|Z(G)|} = \frac{p^2}{p} = p,
\end{align*}
entonces $G/Z(G)$ es cíclico. Por el lema se tiene que $G$ es abeliano y entonces $Z(G) = G$. Esto es una contradicción porque $|G| = p^2$ y estamos suponiendo que $|Z(G)|= p$.

En consecuencia, obtenemos que $|Z(G)| = p^2$, entonces $Z(G) = G$ y así $G$ es abeliano.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Demuestra el primer corolario de esta entrada: Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito. $G$ es un $p$-grupo si y sólo si para todo $g\in G$ el orden $o(g)$ es una potencia de $p$. (Sugerencia: Usa el Teorema de Cauchy).
  2. Sea $p$ un primo, prueba que cada grupo $G$ de orden $2p$ es cíclico o isomorfo a $D_{2p}.$
  3. Prueba o da un contraejemplo: Todo grupo de orden $p^3$ con $p\in \z^+$ un primo, es abeliano.
  4. Demuestra que si $G$ es un $p$-grupo finito no abeliano tal que $|G|=p^3.$ Entonces, $Z(G) \cong \z_p.$

Más adelante…

Nos estamos encaminando a demostrar los Teoremas de Sylow, para ello todavía nos faltan un par de definiciones. En la siguiente entrada definiremos a los $p$-subgrupos de Sylow y usaremos el Teorema de Cauchy para probar que estos subgrupos siempre existen.

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Geometría Moderna II: Construcción del cuarto elemento dada la razón

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

Se analizó el concepto de razón cruzada como ${ABCD}= \lambda$ dados cuatro puntos colineales, pero existen veinticuatro permutaciones de estos cuatro puntos, por lo cual se tienen razones cruzadas para cada una de estas. El detalle está en que se pueden agrupar solo en seis tipos de razón cruzada.

Proposición. Dados cuatro puntos colineales distintos $A,B,C$ y $D$ en una recta $l$ y ${ABCD}= \lambda$.
Se tienen seis tipos de razón cruzada:

  • ${ABCD}={BADC}={CDAB}={DCBA}=\lambda$
  • ${ABDC}={BACD}={CDBA}={DCAB}=1/\lambda$
  • ${ACBD}=1- \lambda$
  • ${ACDB}=\frac{1}{1-\lambda}$
  • ${ADBC}=\frac{\lambda-1}{\lambda}$
  • ${ADCB}=\frac{\lambda}{\lambda-1}$

Construcción del cuarto elemento

Dados tres puntos $A,B,C$ colineales distintos, se requiere construir un cuarto punto $D$ colineal con ellos tal que ${ABCD}=\lambda$.

Sea $l$ cualquier recta por $C$, sobre esta tomemos dos puntos $A’$ y $B’$ tales que $CA’/CB’=\lambda$. Ahora unimos $B’$ con $B$ y $A’$ con $A$, de tal forma que $AA’ \cap BB’=D’$, y por este punto de intersección trácese la paralela a $CB’$ que interseque la recta $x$ por $D$. Es decir, $DD’ \parallel CB’ = l$.

Por demostrar ${ABCD}=\frac{AC}{CB}/\frac{AD}{DB}=\lambda$.

Construcción del cuarto elemento dado

Demostración. Se tiene que los triangulos $\triangle B’BC \sim \triangle D’BD$, $\triangle A’AC \sim \triangle D’AD$, por lo cual:

$\frac{B’C}{D’D}=\frac{BC}{BD}$ y $\frac{A’C}{D’D}=\frac{AC}{AD}$.

Entonces

$\frac{CB’}{D’D}=\frac{CB}{DB}$ y $\frac{CA’}{DD’}=\frac{AC}{AD}$.

Entonces

$\frac{AC}{AD}/\frac{CB}{DB}=\frac{CA’}{DD’}/\frac{CB’}{DD’}=\frac{CA’}{DD’}=\lambda$.

Por lo tanto, $\frac{AC*DB}{AD*CB}={ABCD}=\lambda$.

$\square$

Más adelante…

Se analizará la razón cruzada en la circunferencia.

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