(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
El temario de este curso consiste principalmente en el estudio de la Teoría de grupos, comenzamos su construcción desde las operaciones binarias, estudiamos distintos tipos de grupos y funciones entre ellos (homomorfismos) y seguimos intentando describir a los grupos. El primer gran escalón de nuestro curso fueron los Teoremas de isomorfía, luego los Teoremas de Sylow y ahora llegamos al tercero: el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.
Otros dos teoremas fundamentales que seguramente conoces son el Teorema fundamental del álgebra y el Teorema fundamental de la aritmética, conviene recordar el segundo. Básicamente nos dice que a todo número entero lo podemos ver como un producto de primos, además nos dice que estos primos son únicos excepto por el orden en que aparecen. Este teorema es importante porque intuitivamente nos dice que los números primos son los ladrillos básicos para construir a cualquier número.
¿Cuáles son estos mismos ladrillos para los grupos abelianos finitos? En la entrada de Producto directo interno vimos un teorema en el que para ciertos casos podemos descomponer a un grupo finito
Usaremos el teorema que vimos en Producto directo interno y veremos que un grupo abeliano finito
Así, el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos nos presenta a los
Último lema numerado
Como prometimos en la entrada anterior, siguiendo con el desarrollo hecho por Judson, T.W. en el libro Abstract Algebra: Theory and Applications, Department of Mathematics and Statistics Stephen F. Austin State University que aparece en la bibliografía y que puede revisarse en http://abstract.ups.edu/aata/struct-section-finite-abelian-groups.html, aquí está el tercer lema numerado que usaremos para demostrar el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.
Lema 3. Sean
Demostración.
Por el segundo principio de inducción.
Sea
Sea
H.I. Supongamos que todo
Por el lema 2,
Además,
Por lo tanto
Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos
Recordemos que los isomorfismos preservan la estructura algebraica de los grupos. Recordemos que los grupos
Teorema. (Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos) Todo grupo abeliano finito
Demostración.
Sea
Por el teorema de la entrada Producto directo interno,
Así,
con
Apreciemos cómo la demostración de los lemas anteriores, nos facilitó la demostración de este teorema fundamental.
Ejemplo.
Sea
Entonces, de acuerdo con el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos,
, , ó .
Podría ser isomorfo a cualquiera de ellos, pero para saber a cuál requeriríamos más información. De cualquier modo este primer análisis nos ayuda mucho a entender cómo debe ser el grupo.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Si
es un grupo abeliano finito, definimos como el número de elementos de de orden .
Prueba que si dos grupos finitos abelianos, y son isomorfos si y sólo si para todo entero . (Este resultado no es cierto para grupos no abelianos). - Prueba el Teorema Fundamental de la Aritmética aplicando el Teorema Fundamental de Grupos Abelianos Finitos a
, con . - Usa el Teorema Fundamental de Grupos abelianos finitos para describir a…
- Un grupo de orden
- Un grupo de orden
- Un grupo de orden
- Un grupo de orden
- Encuentra para cuáles
los grupos de orden son cíclicos. - Prueba que
es un grupo abeliano finito de orden si y sólo si para cada divisor de , hay a lo más elementos tales que
Más adelante…
Esta entrada fue un tema muy anticipado. Ahora comenzaremos otro tema que, aunque sea corto, es igual de importante que el Teorema fundamental de grupos finitos abelianos. De hecho, comparte que también es semejante con el Teorema fundamental de la aritmética. Comenzaremos a estudiar el Teorema de Jordan-Hölder
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Moderna I.
- Entrada anterior del curso: Lemas previos al Teorema fundamental de los grupos abelianos.
- Siguiente entrada del curso: Grupos simples y series de grupos.
- Resto de cursos: Cursos.