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Álgebra Moderna I: Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El temario de este curso consiste principalmente en el estudio de la Teoría de grupos, comenzamos su construcción desde las operaciones binarias, estudiamos distintos tipos de grupos y funciones entre ellos (homomorfismos) y seguimos intentando describir a los grupos. El primer gran escalón de nuestro curso fueron los Teoremas de isomorfía, luego los Teoremas de Sylow y ahora llegamos al tercero: el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Otros dos teoremas fundamentales que seguramente conoces son el Teorema fundamental del álgebra y el Teorema fundamental de la aritmética, conviene recordar el segundo. Básicamente nos dice que a todo número entero lo podemos ver como un producto de primos, además nos dice que estos primos son únicos excepto por el orden en que aparecen. Este teorema es importante porque intuitivamente nos dice que los números primos son los ladrillos básicos para construir a cualquier número.

¿Cuáles son estos mismos ladrillos para los grupos abelianos finitos? En la entrada de Producto directo interno vimos un teorema en el que para ciertos casos podemos descomponer a un grupo finito G en sus p-subgrupos de Sylow, donde cada p corresponde a un factor primo del orden del grupo. ¿Qué podría ser más fundamental que eso?

Usaremos el teorema que vimos en Producto directo interno y veremos que un grupo abeliano finito G es isomorfo a un producto directo de grupos ajenos a G en lugar de los p-subgrupos de Sylow que dependen del grupo que los contiene. ¿Qué grupos finitos relacionados con primos conocemos aparte de los p-subgrupos? Los candidatos ideales son Zn, con n una potencia de un primo, que de acuerdo a lo que hemos estudiado son abelianos y finitos.

Así, el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos nos presenta a los Zn, con n una potencia de un primo, como nuestros ladrillos elementales para describir cualquier grupo abeliano finito G.

Último lema numerado

Como prometimos en la entrada anterior, siguiendo con el desarrollo hecho por Judson, T.W. en el libro Abstract Algebra: Theory and Applications, Department of Mathematics and Statistics Stephen F. Austin State University que aparece en la bibliografía y que puede revisarse en http://abstract.ups.edu/aata/struct-section-finite-abelian-groups.html, aquí está el tercer lema numerado que usaremos para demostrar el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Lema 3. Sean pZ+ un primo y G un p-grupo abeliano. Tenemos que G es un producto directo interno de grupos cíclicos.

Demostración.
Por el segundo principio de inducción.

Sea pZ+ un primo, G un p-grupo abeliano.

Sea gG un elemento de orden máximo (podemos suponer que ge ya que si g=e, entonces G={e}).

H.I. Supongamos que todo p-grupo abeliano de orden menor que el orden de G es un producto directo interno de grupos cíclicos.

Por el lema 2, G es el producto directo de g y un subgrupo H de G. Entonces |G|=|g||H| lo que implica que |H|=|G||g| y, esto implica que |H|<|G|.

Además, H también es un p-grupo abeliano. Así que por la hipótesis de inducción H es el producto directo de grupos cíclicos.

Por lo tanto G es producto directo de grupos cíclicos, a saber g y los grupos cíclicos cuyo producto directo es H.

◼

Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos

Recordemos que los isomorfismos preservan la estructura algebraica de los grupos. Recordemos que los grupos Zn, con n una potencia de un primo, son abelianos y finitos, por lo que sólo pueden ser isomorfos a otros grupos abelianos y finitos. Más aún, todo grupo abeliano finito es isomorfo a un producto directo de este tipo de grupos.

Teorema. (Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos) Todo grupo abeliano finito G es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos de la forma Zp1α1××Zprαr con p1,,pr,α1,,αrZ+ y p1,,pr primos no necesariamente distintos.

Demostración.

Sea G un grupo abeliano finito. Por ser G abeliano todos sus subgrupos son normales, en particular sus subgrupos de Sylow.

Por el teorema de la entrada Producto directo interno, G es isomorfismo al producto directo de sus subgrupos de Sylow, y por el lema 3 cada uno de ellos es un producto directo de subgrupos cíclicos. Además, como los subgrupos de Sylow son de orden una potencia de un primo, sus subgrupos también, por lo que son isomorfos a Zpα con p,αZ+ y p un primo.

Así, G es isomorfo a un producto directo de la forma
Zp1α1××Zprαr
con p1,,pr,α1,,αrZ+, p1,,pr primos no necesariamente distintos.

◼

Apreciemos cómo la demostración de los lemas anteriores, nos facilitó la demostración de este teorema fundamental.

Ejemplo.

Sea G un grupo abeliano de orden 180=445=22325.

Entonces, de acuerdo con el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, G es isomorfo a alguno de

  • Z2×Z2×Z3×Z3×Z5,
  • Z4×Z3×Z3×Z5,
  • Z2×Z2×Z9×Z5 ó
  • Z4×Z9×Z5.

Podría ser isomorfo a cualquiera de ellos, pero para saber a cuál requeriríamos más información. De cualquier modo este primer análisis nos ayuda mucho a entender cómo debe ser el grupo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Si G es un grupo abeliano finito, definimos vk(G) como el número de elementos de G de orden k.
    Prueba que si dos grupos finitos abelianos, G y G son isomorfos si y sólo si vk(G)=vk(G) para todo entero k. (Este resultado no es cierto para grupos no abelianos).
  2. Prueba el Teorema Fundamental de la Aritmética aplicando el Teorema Fundamental de Grupos Abelianos Finitos a G=Zn, con nN.
  3. Usa el Teorema Fundamental de Grupos abelianos finitos para describir a…
    • Un grupo de orden 144.
    • Un grupo de orden 360.
    • Un grupo de orden 2783.
  4. Encuentra para cuáles nZ+ los grupos de orden n son cíclicos.
  5. Prueba que A es un grupo abeliano finito de orden n si y sólo si para cada d divisor de n, hay a lo más d elementos aA tales que ad=1A.

Más adelante…

Esta entrada fue un tema muy anticipado. Ahora comenzaremos otro tema que, aunque sea corto, es igual de importante que el Teorema fundamental de grupos finitos abelianos. De hecho, comparte que también es semejante con el Teorema fundamental de la aritmética. Comenzaremos a estudiar el Teorema de Jordan-Hölder

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Álgebra Moderna I: Lemas previos al teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Como dijimos en la primera entrada de esta unidad, uno de los temas a los que queremos llegar es el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. Para ello seguiremos el desarrollo hecho por Judson, T.W. en el libro Abstract Algebra: Theory and Applications, Department of Mathematics and Statistics Stephen F. Austin State University que aparece en la bibliografía y que puede revisarse en http://abstract.ups.edu/aata/struct-section-finite-abelian-groups.html. Así, en esta entrada presentaremos tres lemas para que sea más sencillo identificarlos y que serán útiles en la demostración del Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos en la siguiente entrada. En los tres lemas se considerará G un p-grupo abeliano y se hablará de elementos de orden máximo (o mínimo) en algún grupo refiriéndose a elementos cuyo orden es mayor (o menor) o igual que el orden de los demás elementos del grupo en cuestión.

El primer lema nos dice que si tomamos un elemento de orden máximo g en G y un p-subgrupo, tal que g no es todo G y luego tomamos un elemento de orden mínimo h en Gg, entonces el orden de h es p.

El segundo lema nos dice que si tenemos un elemento de orden máximo g en G, podemos ver a G como el producto directo interno del generado de g y un H subgrupo de G.

El tercer lema nos dice que cualquier p-subgrupo abeliano es producto directo interno de grupos cíclicos.

En esta entrada enunciamos y probamos los primeros dos lemas, el tercero está en la siguiente entrada.

El orden de un elemento mínimo

Lema 1. Sean pZ+ un primo y G un p-grupo abeliano. Sea gG un elemento de orden máximo. Si gG (g es subgrupo propio de G) y h es un elemento de orden mínimo en Gg, entonces o(h)=p y gh={e}.

Demostración.
Sean pZ+ un primo y G un p-grupo abeliano.

Por la definición de p-grupo |G|=pn para algún nN.

Sea gG de orden máximo. Como |G|=pn, sabemos que o(g) divide a |G|=pn y así o(g)=pm con mn.

Observemos que
(1)apm=e para toda aG,
ya que para toda aG, o(a)=pl con lm (debido a que o(g)=pm es máximo).

Supongamos que gG. Consideremos un elemento h de orden mínimo en Gg.

Veamos primero que o(h)=p.

Sabemos que o(h)=pt para alguna tn.

Sabemos que o(hp)=pt1<pt=o(h). Así, por la elección de h, hpg y en consecuencia tenemos que
(2)hp=gs para algún sN.

Entonces (gs)pm1=(hp)pm1=hpm=e por (1). Así,
(3)o(gs)<pm y gs no genera a g.

Sabemos que o(gs)=o(g)(s,o(g)). Si p no divide a s, como o(g) es una potencia de p tendríamos que (s,o(g))=1 y así o(gs)=o(g)=pm contradiciendo (3). Concluimos entonces que p|s es decir s=pq para algún qZ.

Consideremos a=gqh. Tenemos que
ap=gpqhp=gshp=gsgs por (2)=e.

Además, si ag tendríamos que h=agqg lo cual contradice la elección de h.

Hemos encontrado entonces un elemento ag con ap=e. Notamos que ae ya que ag, entonces a debe ser un elemento de orden p. Pero h es un elemento de orden mínimo en Gg y aGg con o(a)=p. Así, h debe ser también de orden p.

Veamos ahora que gh={e}.

Sabemos que gh es un subgrupo de h y h es de orden p, entonces gh es de orden 1 o p. Si |gh|=p tendríamos que ghh con |gh|=p=|h|, entonces gh=h lo que implica que hg. En consecuencia tendríamos que hg, lo que contradice la elección de h.

Concluimos que gh={e}.

◼

G como producto de g y un subgrupo cualquiera

Lema 2. Sean pZ+ un primo y G un p-grupo abeliano. Supongamos que gG es un elemento de orden máximo. Entonces G es el producto directo interno de g y un subgrupo H de G.

Demostración.
Sean pZ+ primo.

Realizaremos la demostración por el segundo principio de inducción.

H.I. Supongamos que para todo grupo abeliano G~ con |G~|=pk y 0k<n se tiene que si g~G~ es de orden máximo, entonces G~ es el producto directo interno de g~ y un subgrupo H~ de G~.

Sea G un p-grupo abeliano con |G|=pn para algún nN.

Sea gG de orden máximo. Como |G|=pn, sabemos que o(g) divide a |G|=pn y así o(g)=pm con mn.

Si G=g el resultado se cumple considerando H={e}.

Si gG consideremos un elemento h de orden mínimo en Gg.

Por el lema 1, sabemos que o(h)=p y que gh={e}. Sea H=h.

Observemos que gH es un elemento de orden máximo en G/H ya que por (1), (aH)pm=apmH=H para todo aG. Además (gH)o(g)=go(g)H=H por lo que o(gH)o(g)=pm, y si o(gH)<pm tendríamos que
H=(gH)pm1=gpm1H
y así gpm1gH={e}, es decir gpm1=e contradiciendo que o(g)=pm.

Concluimos así que gH es un elemento de orden máximo en G/H, con G/H un p-grupo abeliano de orden |G/H|=|G|/|H|=pnp=pn1 que es menor que el orden de G.

Por H.I. sabemos que G/H es el producto directo interno de gH y un subgrupo H~ de G/H.

Por el teorema de la correspondencia H~=K/H para algún HKG.

Veamos que G es el producto directo interno de g y K.

Veamos primero que gK={e}.

Si xgK, entonces xHgHK/H=gHH~ y como G/H es el producto directo de gH y H~, entonces gHH~={H}. Así, xH{H}, entonces xH=H lo que implica que xH.

Tenemos que xgH={e} probando que x=e. Así, gK={e}.

Veamos ahora que G=gK.

Sea yG, sabemos que yHG/H=gHH~=gHK/H. Esto implica que
yH=(gH)tkH para algunos tZ,kK=gtkH.

Entonces (gtk)1y=h^ con h^H. Así y=gtkh^. Como HK tenemos que kh^K, entonces ygK.

Concluimos que gK={e} y gK=G.

Así, G es el producto directo interno de g y K.

◼

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Considera los siguientes grupos y realiza para cada uno los ejercicios descritos a continuación:

  • S4.
  • Z11.
  • A5.
  • Q8={±1,±i,±j,±k}.
  1. Determina si los grupos anteriores son p-grupos abelianos. De no serlo, considera un p-subgrupo abeliano de ellos.
  2. Busca (en el grupo o en el p-subgrupo abeliano) un elemento g de orden máximo tal que g sea un subgrupo propio y encuentra h elemento de orden mínimo en el complemento de g tal que su orden sea p.
  3. Describe al grupo o al p-subgrupo abeliano como el producto directo interno g y un subgrupo H.

Más adelante…

Aunque estos lemas pueden parecer muy técnicos, su función es clara y se verá en la siguiente entrada. Como estos lemas ya están demostrados, la prueba del Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos es bastante directa. En la siguiente entrada enunciaremos y demostraremos el tercer lema que se requiere y por fin podremos enfrentarnos al Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

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Álgebra Moderna I: Producto directo interno

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Continuamos con el estudio del producto de grupos siguiendo el desarrollo de la sección 4.3 del libro de Grupos I de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto que se encuentra en la bibliografía del curso. En la entrada anterior definimos el producto directo externo de grupos, luego vimos unas funciones naturales y definimos los subgrupos Gi. Demostramos que para un grupo G=G1××Gn se cumple que:

  1. GiGi{1,,n}.
  2. Gi(jiGj)={eG} para toda i{1,,n}.
  3. G=i=1nGi.

En resumen, esta proposición nos dice que si G es el producto directo externo de varios grupos, también lo podemos ver como producto de subgrupos normales que cumplen el inciso 2.

En esta entrada queremos generalizar esta idea: ahora G será un grupo cualquiera, tomaremos subgrupos normales Hi, con i{1,,n} de G que cumplan estas propiedades y probaremos que G se puede ver como el producto directo externo de estos subgrupos.

En el producto directo externo, construíamos G a partir de otros grupos que pudieran incluso no estar relacionados entre sí. Ahora intentaremos describir a un grupo G como producto de algunos de sus subgrupos normales, por eso llamaremos a este concepto el producto directo interno.

Producto directo interno de subgrupos

Comencemos definiendo nuestro nuevo producto entre subgrupos normales de G.

Definición. Sean G un grupo, H1,,Hn subgrupos de G. Decimos que G es el producto directo interno de H1,,Hn si

  1. HiG para toda i{1,,n}.
  2. Hi(jiHj)={e} para toda i{1,,n}.
  3. G=i=1nHi.

Observación 5. G1××Gn es el producto directo interno de los Gi.

Observación 6. Si G es el producto directo interno de H1,,Hn, entonces xy=yx para toda xHi,yHj con ij.

Demostración.
Sea G producto directo de H1,,Hn, sean xHi,yHj, con ji, entonces
xyx1y1=x(yx1y1)Hi,
porque xHi y yx1y1Hi pues HiG.

Por otro lado,
xyx1y1=(xyx1)y1Hj,
ya que, análogamente, xyx1Hj debido a que HjG y y1Hj.

Así, xyx1y1HiHjHikiHk={e}. Entonces xyx1y1=e.

Por lo tanto xy=yx.

◼

Ejemplo. Sea G=a con o(a)=12. Busquemos subgrupos H1,,Hn para alguna nN tales que G sea el producto directo interno de estos subgrupos.

Sean H1=a3,H2=a4. Como G es abeliano, H1G,H2G. Además
H1H2={e,a3,a6,a9}{e,a4,a8}={e}.

Como
a=ae=aa12=a13=a9a4H1H2
tenemos que G=aH1H2. Por la cerradura del producto en G se tiene además que H1H2G, entonces G=H1H2.

Por lo tanto G es el producto directo interno de H1 y H2.

Observación 7. Sean G un grupo, H1,,Hn subgrupos de G. Si G es el producto directo interno de H1,,Hn, entonces
φ:H1××HnG
con φ(h1,,hn)=h1hn para toda (h1,,hn)H1××Hn es un isomorfismo.

Es consecuencia, si G es finito tenemos que |G|=|H1||Hn|.

Descomposición de G en p-subgrupos

Algunos subgrupos importantes que vimos son los p-subgrupos de Sylow, para p primo. Ahora los usaremos junto con el producto directo interno para describir a G como el producto de sus p-subgrupos de Sylow, esto nos recuerda mucho al Teorema Fundamental de la Aritmética. Siguiendo el desarrollo de la página 193 del libro de Dummit, D. S. y Foote R. M. que aparece en la bibliografía tenemos:

Teorema. Sea G un grupo finito con p1,,pt los distintos factores primos del orden de G y P1,,Pt subgrupos de Sylow de G asociados a p1,,pt respectivamente. Si PiG para toda i{1,,t}, entonces G es el producto directo interno de P1,,Pt.

Demostración.
Sea G un grupo finito de orden n. Sean p1,,pt los distintos factores primos de n con n=p1α1p2α2ptαt. Sean P1,,Pt subgrupos de G con Pi un pi-subgrupo de Sylow de G y PiG para toda i{1,,t}.

Veamos que para todo S{1,,t}, jSPj es un producto directo interno por inducción sobre #S.

Caso Base. Supongamos que #S=1,
S={i}{1,,t} y Pi es el producto directo interno de Pi.

H.I. Supongamos que si T{1,,t} con #T<#S, entonces jTPj es un producto directo interno.

Sea H=jSPj. Veamos que H es el producto directo interno de los Pj con jS.

Por hipótesis se cumplen las condiciones 1 y 3 de la definición de producto directo interno. Veamos que se cumple 2.

Sean iS, xPijSjiPj.

Como xPi, entonces o(x) divide a |Pi|.

Como xjSjiPj, entonces el orden de x divide al orden del producto: o(x)||jSjiPj|=jSji|Pj| donde la última igualdad se debe a que jSjiPj es un producto directo interno por H.I. y por la observación 7.

Pero |Pi|=piαi y jSji|Pj|=jSjipjαj con αjN+ para toda jS, entonces |Pi| y jSji|Pj| son primos relativos. Así, o(x)=1. Por lo que PijSjiPj={e}.

Hemos probado entonces que jSPj es un producto directo interno para toda S{1,,t}. En particular para S={1,,t} tenemos que j=1tPj es un producto directo interno. Por la observación 7,
|j=1tPj|=j=1t|Pj|=n=|G|
ya que P1,,Pt son subgrupos de Sylow asociados a los distintos factores primos de G.

Como j=1tPj es un subgrupo de G de orden |G| tenemos que G=j=1tPj.

Por lo tanto G es el producto directo interno de P1,,Pt.

◼

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra las observaciones 5 y 7.
    • G1××Gn es el producto directo interno de los Gi.
    • Sean G un grupo, H1,,Hn subgrupos de G. Si G es el producto directo interno de H1,,Hn, entonces
      φ:H1××HnG
      con φ(h1,,hn)=h1hn para toda (h1,,hn)H1××Hn es un isomorfismo.
  2. Regresa a la entrada de Ejemplo de Sylow y considera S4.
    • De existir, busca H1,,Hn tal que S4 sea producto directo de H1,,Hn.
    • Usando los p-subgrupos de Sylow que encontramos, describe a S4 como producto directo interno de ellos. Aplica el último teorema visto.
  3. Aplica el último teorema visto a los grupos Z6 y T=S3×Z4. Para cada uno encuentra los primos p1,,pn que conforman al orden del grupo y los P1,,Pn subgrupos de Sylow que corresponden a estos primos. Al final, representa a cada grupo como producto directo interno de estos p-subgrupos de Sylow.

Más adelante…

La descomposición de un grupo en p-subgrupos que vimos es una probada de lo que veremos en el Teorema fundamental de grupos abelianos finitos, la relación de los primos que componen al orden del grupo con los p-subgrupos del mismo grupo. Pero antes de poder enunciarlo, necesitamos enunciar algunos teoremas que nos ayudarán y que se sirven de los productos directos interno y externo que hemos estado viendo.

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Geometría Moderna II: Puntos autocorrespondientes y regla geométrica de la falsa posición

Por Armando Arzola Pérez

Introducción

Se seguirá viendo resultados y problemas relacionados con la razón cruzada, en esta entrada se abordará los Puntos autocorrespondientes y la regla geométrica de la falsa posición.

Puntos Autocorrespondientes

Sean A,B,C y A,B,C dos conjuntos de puntos en una misma línea recta, por ende para un punto cualquiera D en la recta le corresponde un punto D que nos dará como resultado {ABCD}={ABCD}.

Problema. El problema cae en la siguiente incógnita ¿Existirá un punto D que se corresponda al mismo?, de tal forma que {ABCD}={ABCD}.

Demostraremos que puede haber uno, dos o ningún punto, a este punto existente se le llamará punto autocorrespondiente con respecto a las dos razones cruzadas.

Solución. Trácese cualquier circunferencia en el plano y tómese un punto X en esta, y únanse los puntos A,B,C,A,B,C a X, y las intersecciones con la circunferencia y estas rectas se denotarán como A1,B1,C1,A1,B1,C1.

Puntos autocorrespondientes 1

Notese que tenemos un hexagono inscrito con lados A1C1, A1B1, C1A1, B1C1, B1A1, B1C1, y la existencia del punto D depende de que este hexágono cumpla el Teorema de Pascal.
El Teorema de Pascal dice que «Los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono inscrito en una circunferencia son colineales». Es de esta forma que la intersección de A1B1 y A1B1 se cortan en P, B1C1 y B1C1 en Q, A1C1 y A1C1 en R, de esta forma se tiene la recta PQ la cual corta a la circunferencia en D1 y E1.

Puntos autocorrespondientes 2

Ahora las rectas XD1 y XE1 cortarán la recta de los haces en los puntos D y E correspondientemente, estos son los dos puntos buscados. Sea S la intersección de PQ con A1A1.

Puntos autocorrespondientes 3

Entonces se tienen las siguientes igualdades:

{ABCD}=X{A1B1C1D1}

por propiedad 1 de razón cruzada de la circunferencia se tiene:

X{A1B1C1D1}=A1{A1B1C1D1}

Por razón cruzada se tiene:

A1{A1B1C1D1}={SPRD1}=A1{A1B1C1D1}

Por razón cruzada por la circunferencia:

A1{A1B1C1D1}=X{A1B1C1D1}={ABCD}

Por lo tanto, {ABCD}={ABCD} y es equivalente para E.

◻

Ahora, si PQ es tangente a la circunferencia, solo existirá un punto autocorrespondiente, y si la recta PQ no corta a la circunferencia, entonces no existe ningún punto autocorrespondiente.

Regla geométrica de la falsa posición

Esta regla viene del siguiente problema:

Problema. Construir un triángulo el cual sus lados pasan por los vértices de un triángulo dado y cuyos vértices se encuentran en los lados de otro triángulo dado.

Solución. El triángulo a encontrar debe tener sus lados, los cuales deben pasar por los vértices del triángulo PQR, y sus vértices en los lados del triángulo ABC.

Falsa posición 1

Sea un punto D en QR, trácese DA que corte a PR en E, EB que corte PQ en F, y FC que corte a QR en D, si D y D son el mismo ya tendríamos el triángulo buscado. Por lo cual se vuelve a hacer lo mismo para D1 obteniendo D1 y D2 obteniendo D2, si estos son puntos iguales ya lo tendríamos resuelto, pero no es así, por ende se construirán los puntos autocorrespondientes a partir de D,D1,D2,D,D1,D2.
Si estos puntos M y N existen, y pasamos por uno de ellos, en este caso M para construir el triángulo buscado, nos daríamos cuenta de que regresamos a M y estaría solucionado, pero como menciones estos triángulos existen si existen los puntos autocorrespondientes.

Falsa posición 2

◻

Más adelante…

Se verán tres teoremas importantes respecto al tema de Razón Cruzada, los cuales son Teoremas de Pascal, Brianchon y Pappus.

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Geometría Moderna II: Razón Cruzada por la Circunferencia

Por Armando Arzola Pérez

Introducción

Como ya se vio, la razón cruzada tiene varias propiedades, desde seis tipos de razón cruzada hasta la construcción del cuarto elemento, pero falta analizar su relación con la circunferencia.

Propiedades de razón cruzada por la circunferencia

Se abordarán 3 propiedades en relación con una circunferencia dada.

Propiedad. Sean cuatro puntos en una circunferencia (con cíclicos) cualesquiera A,B,C,D, si unimos estos puntos a dos puntos O y O que están en la misma circunferencia, entonces los haces O{ABCD} y O{ABCD} tienen iguales razones cruzadas.

Razón cruzada por la circunferencia propiedad 1

Demostración. Las razones cruzadas son:

O{ABCD}=sen(AOC)/sen(COB)sen(AOD)/sen(DOB)=k y

O{ABCD}=sen(AOC)/sen(COB)sen(AOD)/sen(DOB)=k.

Notemos la igualdad de ángulos correspondientes de los dos haces AOC=AOC, COB=COB, DOB=180DOB y AOD=180AOD.

Por lo cual los ángulos formados serán iguales o suplementarios, por ello los senos de los ángulos serán iguales.

sen(AOC)/sen(COB)sen(AOD)/sen(DOB)=sen(AOC)/sen(COB)sen(AOD)/sen(DOB)

O{ABCD}=k=k=O{ABCD}.

◻

Propiedad. Sea C(O,r) una circunferencia en la cual se tienen cuatro puntos fijos A,B,C,D por los cuales pasan tangentes por cada uno de estos y cortan la tangente en un punto variable X, entonces la razón cruzada de los cuatro puntos de intersección es una constante.

Es decir, {ABCD} es constante independientemente de X.

Razón cruzada por la circunferencia propiedad 2

Demostración. Se tiene por teorema visto de razón que {ABCD}=O{ABCD}, entonces:

O{ABCD}=sen(AOC)sen(COB)/sen(AOD)sen(DOB)

Ahora, como los lados correspondientes de los ángulos COB y CXB son perpendiculares, entonces los senos de estos ángulos son iguales, esto ocurre de igual manera para los otros ángulos de los haces O{ABCD} y X{ABCD}.

sen(AOC)sen(COB)/sen(AOD)sen(DOB)=sen(AXC)sen(CXB)/sen(AXD)sen(DXB)
O{ABCD}=X{ABCD}

Observemos que esto ocurre para cualquier X entonces X{ABCD}=X{ABCD}, y por ende se tiene {ABCD}=O{ABCD}=X{ABCD}.
Por lo tanto, {ABCD}=cte independientemente de X.

◻

Propiedad. Sea un haz el cual tiene su vértice fuera de una circunferencia C(O,r) y la cual sus cuatro líneas cortan a la circunferencia en los pares de puntos A,A, B,B, C,C y D,D. Si se tienen dos puntos distintos E y E sobre la circunferencia, entonces las razones cruzadas de los haces E{ABCD} y E{ABCD} son iguales.

Razón cruzada por la circunferencia propiedad 3

Demostración. Unamos los puntos A,B,C,D a A y A,B,C,D a A, esto nos dará las intersecciones de AB y AB en un punto X, AC y AC en un punto y, AD y AD en un punto Z, los cuales están en la polar del vértice O del haz dado, por lo cual se tiene por propiedad 1 de razón cruzada en la circunferencia:

E{ABCD}=E{ABCD}=A{ABCD}

Por propiedad de razón cruzada:

A{ABCD}={wxyz}=A{wxyz}=A{ABCD}

Y por propiedad 1 de razón cruzada en la circunferencia:

A{ABCD}=E{ABCD}

Por lo tanto, E{ABCD}=E{ABCD} .

◻

Más adelante…

Ahora se abordará el tema de la regla de la falsa proposición y los puntos autocorrespondientes, esto relacionado con la razón cruzada.

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