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Álgebra Superior I: Suma y producto de naturales y sus propiedades

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

2 respuestas

Introducción

La función suma

Usaremos el teorema de recursión que revisamos en la entrada pasada para definir la función suma entre números naturales.

Primero, recordemos qué nos menciona este teorema:

Teorema (Recursión Débil): Sea $X$ un conjunto y $x_{0}\in X$. Supongamos que tenemos una función $f:X\to X$. Entonces existe una única función $\phi:\mathbb{N}\to X$ tal que:

  • $\phi(0)=x_{0}$
  • $\phi(\sigma(n))=f(\phi(n)).$

Ahora, definamos la función suma como sigue: La función sumar $n$ unidades a un número estará dada por $s_n:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ dada por:

  • $s_n(0) = n$
  • $s_n(\sigma(m)) = \sigma(s_n(m))$

Notación: Para cada par de números naturales $n,m$, escribiremos $$s_n(m) = n+m. $$
Y por el teorema de recursión, esta es una función bien definida. Ahora veamos cuál es esta función. La primera condición nos dice que la función evaluada en el $0$ es $n$. Ahora veamos cómo es que esta función se define para los siguientes números, nota que si aplicamos la segunda condición, obtenemos que $$s_n(\sigma(0)) = \sigma(s_n(0)).$$ Recordando cómo definimos la función sucesora, sustituimos $\sigma(0)$ por $1$ para obtener que $$s_n(1) = \sigma(s_n(0)) = \sigma(n).$$ De tal manera que $$s_n(1) = n+1 .$$ De manera similar se puede comprobar que $$s_n(2)=n+2 .$$ Y de manera recursiva, podemos demostrar que $$\begin{align*}
s_n(3) &= n+3 \\
s_n(4) &= n+4 \\
s_n(5) &= n+5 \\
&\vdots \\
s_n(m) &= n+m \\
&\vdots
\end{align*}$$ Como podrás observar, la función $s_n$ corresponde a sumarle a un número $n$ unidades. Formalmente así es como se defina la suma entre dos números. Veamos a continuación algunas propiedades de la suma. Como dato adicional, nota que para todo número natural $n$, $s_n(1)=\sigma(n)$ .

Propiedades de la suma

Proposición. La suma es asociativa, esto quiere decir, para $n,m,k \in \mathbb{N}$ se cumple que: $$ s_n(s_m(k)) = s_{n+m}(k) .$$
Demostración. Sean $n,m,k \in \mathbb{N}$. Lo que queremos demostrar es que $$n+(m+k) = (n+m)+k.$$ Para ello, nota que bastará probar que $s_n \circ s_m = s_{n+m}$. Para ello notemos que

  1. $s_n(s_m(0)) = s_n(m) = m+n$
  2. $s_n(s_m(\sigma(k))) = s_n(\sigma(s_m(k))) = \sigma(s_n(s_m(k)))$

Por otro lado, por definición de la suma:

  1. $s_{n+m}(0) = n+m$
  2. $s_{n+m}(\sigma(k)) = \sigma(s_{n+m}(k))$

Esto quiere decir que tanto $s_n \circ s_m$ como $s_{n+m}$ cumplen las dos condiciones del teorema de recursión, y este nos asegura que $$s_{n+m} = s_n \circ s_m$$ pues el teorema asegura que la función que cumple dichas dos condiciones es única.

$\square$

Proposición. La suma es conmutativa. Es decir, para $n,m,k \in \mathbb{N}$ se cumple que: $$s_n(m) = s_m(n).$$

Demostración. Sea $n \in \mathbb{N}$ . Haremos la demostración por inducción sobre $m$.
Base inductiva. Notemos que $s_n(0) = n$. Por otro lado, se puede demostrar sin mucha dificultad que $s_0(n) = n$ (se deja como tarea moral la demostración de este enunciado). De esta manera $$s_n(0) = s_0(m). $$

Hipótesis de inducción. Supongamos que $m \in \mathbb{N}$ es tal que $$s_n(m) = s_m(n). $$

Paso inductivo. Ahora demostraremos que $$s_n(\sigma(m)) = s_{\sigma(m)}(n). $$Para ello notemos que $$s_n(\sigma(m)) = \sigma(s_n(m))$$Ahora, aplicando la hipótesis de inducción, tenemos que $$\sigma(s_n(m)) = \sigma(s_m(n)). $$ Ahora, nota que $$ \begin{align*}
\sigma(s_m(n)) &= s_m(\sigma(n)) \\

& = s_m(s_1(n))\\

&= s_{m+1}(n) \\

&= s_{\sigma(m)}(n)
\end{align*}$$

Estas últimas dos igualdades son válidas debido a la asociatividad de la suma. Es una vez concluido esto último que podemos seguir la cadena de igualdades. Esto resulta en que $s_n(\sigma(m)) = s_{\sigma(m)}(n). $ Como se quería demostrar.

$\square$

La multiplicación

Cuando apenas estamos aprendiendo a sumar, alguna vez nos encontramos con una abreviación de sumar los mismos términos. Por ejemplo, nos dicen que si tenemos tres grupos de perros, cada uno con cinco perros, entonces podríamos contar el número total de perros con la siguiente expresión:

$5+5+5$

$3$ grupos de perros con $5$ perros cada uno

Quizá no es tan tardado en escribir $5+5+5$, y llegaríamos a la conclusión de que hay $15$ perros en total. Pero ahora ¿Qué pasaría si tenemos trescientos grupos de perros con cinco perros cada uno? Pues la notación se complica, pues para escribirlo, deberíamos anotar $5+5\underbrace{+\dots+}_{296 \text{ veces}}5+5$, es decir, sumar $5$ unas $300$ veces.

$300$ grupos de perros con $5$ perros cada uno

Es por esto que se llega a la noción de multiplicación, pues al considerar la primera suma, bien podemos escribir: $$5+5+5 = 3 \times 5.$$ Y la segunda suma: $$5+5\underbrace{+\dots+}_{296 \text{ veces}}5+5 = 300 \times 5 .$$

Ahora, nota que la primera suma se puede expresar como $$(5+5)+5 = (2 \times 5) + 5 $$ De manera que sabemos que $$3 \times 5 = (s(1) \times 5) + 5 .$$

De igual forma $$(s(298)\times 5) + 5 = 300 \times 5$$ Eso generalizando a cualquier número $n \in \mathbb{N}$ lo escribiríamos como $$s(n) \times 5 = (n \times 5) + 5 $$ Y para cualquier número $m \in \mathbb{N}$: $$s(n) \times m = (n \times m) + m $$

Definición de la multiplicación

Sean $n, m \in \mathbb{N}$, la multiplicación entre números naturales la definiremos como la función $\times : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que:

$$\begin{align*}
0 &\times n = 0 \\
s(n) &\times m = (n \times m) + m
\end{align*} $$

Nota que esta es una definición recursiva, pues la definición de la multiplicación del sucesor de un elemento depende de la multiplicación del mismo elemento.

Usando el hecho de que sabemos que la multiplicación con el $0$ siempre es $0$, podemos obtener una propiedad interesante al ver qué pasa cuando multiplicamos cualquier elemento con el $1$, pues resultará que la multiplicación se comportará como la identidad cuando multiplicamos con el $1$.

Proposición. Para cualquier número natural $m$, $1 \times m = m$.

Demostración. Notemos que por definición $$0 \times m = 0$$, de manera que $$1 \times m = s(0) \times m $$.

A su vez, podemos usar la otra propiedad de la multiplicación para sustituir el término $s(0)$: $$s(0) \times m = (0 \times m)+m=m $$ Llegando así al resultado deseado.

$\square$

Otra proposición interesante es que esta operación es conmutativa, y es algo que sabemos por sentido común, pues podríamos escribir que $$3 \times 5 = 5 +5+5 = 15=3+3+3+3+3=5\times 3 $$ Nuestro sentido común nos lo dice, sin embargo para demostrar esto, deberemos usar inducción matemática.

Proposición. La multiplicación de números naturales es conmutativa.

Demostración. Para esto notemos que podemos definir la multiplicación de cada número natural $m$ en términos de el teorema débil de recursividad como:
$$\begin{cases}
f_m(0) &= 0\\
f_m(n+1) &= m \times n + m
\end{cases}
$$
Ahora definamos la función $g_m(n) = n \times m$ y veamos que es la misma que $f$.
Notemos que cualquier suma de $0$ consigo misma es $0$, haciendo que $g_m(0)=0$ esto se puede demostrar por inducción y resulta una tarea que puede poner en práctica tus habilidades para este tipo de demostraciones.

Notemos que adicionalmente:
$$\begin{align*}
g_m(n+1) &= (n+1) \times m\\
&= (n \times m) + m \\
&= g_m(n)+m
\end{align*} $$
Demostrando que $g_m$ también cumple la definición de $f_m$. Como el teorema de recursión débil nos garantiza que $f_m$ es única, entonces $g_m=f_m$, esto quiere decir que $m \times n = n \times m$.

Como esto sucede para cualquier número natural $m$, entonces es cierta la siguiente afirmación: «$\forall m,n \in \mathbb{N}, m\times n = n \times m$».

$\square$

Más adelante…

Ahora que hemos visto la suma y multiplicación de los números naturales, hablaremos un poco más de los conjuntos y su relación con los números naturales introduciendo «el tamaño de los conjuntos» o «cardinalidad».

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que para todo número natural $n$, $s_n(1)=\sigma(n)$.
  2. Demuestra que para todo número natural $n$, $s_0(n)=n$.
  3. Demuestra que la multiplicación es asociativa.
  4. Demuestra que $0 \times n = n \times 0$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Funciones invertibles

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Anteriormente vimos el concepto de composición entre funciones, que nos permiten saltar entre varios conjuntos de manera sencilla, revisamos algunas de sus propiedades y dimos algunos ejemplos. Ahora nos toca profundizar un poco más en la composición de funciones analizando un caso particular de funciones: las invertibles. Que en términos simples nos permiten deshacer los efectos de las operaciones.

Revirtiendo las cosas.

Pensemos por un momento en un cubo rubik, hay distintas técnicas para armarlo, pero por ahora nos enfocaremos en sus movimientos. La forma en que se usa el cubo, es moviendo sus caras hasta que todas las caras tengan un solo color. Imagina que tienes un cubo en tus manos, si mueves la cara que está hasta arriba, tienes dos formas de hacerlo, girar en sentido de las manecillas del reloj y girar en sentido contrario a las manecillas del reloj. No pasa nada si no estás seguro de tu movimiento, pues siempre puedes deshacer un movimiento rotando la misma cara que volteaste en sentido contrario. Incluso si mueves varias caras, podrás regresar al estado original si recuerdas exactamente las caras que volteaste y la dirección, pues para deshacer los movimientos, tendrás que empezar por la última cara que volteaste y deberás girarla al sentido contrario al que le diste vuelta. Por ejemplo esta imagen indica dos movimientos a las caras y la forma de «deshacer» los movimientos.

En la imagen también marcamos los movimientos de mover las dos caras como $f$, por ahora imagínate que ese movimiento de girar las dos caras como lo muestra la imagen, se llama el movimiento $f$. Mientras que el movimiento de deshacerlas se llama $f^{-1}$. Entonces si realizamos primero el movimiento $f$, el movimiento $f^{-1}$ revierte lo que hizo la primera, volviendo al estado inicial. Así es como vamos a pensar en la reversibilidad de las funciones, una manera de «volver a armar» el cubo.

Funciones reversibles

Diremos que una función es reversible si existe una función $f^{-1}:Im(f) \rightarrow X$ tal que $f ^{-1}\circ f = Id$ donde $Id$ es la función identidad, es decir, es la única función que asigna a cada elemento a sí mismo, es decir $Id(x)=x$.

Algunas observaciones de las funciones invertibles. Sea $f:X \rightarrow Y$ una función invertible, entonces:

  • $f$ es inyectiva.

Demostración. Supongamos que no es inyectiva, entonces existen $x_1,x_2 \in X$ distintos tales que $f(x_1) = f(x_2)$. Como $f$ es invertible, entonces existe su función inversa $f^{-1}:Im(f) \rightarrow X$, en donde $$x_1 = f^{-1} \circ f(x_1) = f^{-1} \circ f(x_2) = x_2 $$ Siendo esta una contradicción, pues supusimos que eran distintos elementos. Así, la función es inyectiva.

$\square$

  • $f^{-1}$ es inyectiva.

Demostración. De manera similar a la demostración anterior, si $y_1,y_2 \in Dom(f^{-1})$ son tales que $f^{-1}(y_1) = f^{-1}(y_2)$, se tiene que al ser $f$ inyectiva, $$f(f^{-1}(y_1)) = f(f^{-1}(y_2)) \Rightarrow y_1=y_2$$ Llegando a que $f^{-1}$ es inyectiva.

$\square$

Así, te puedes dar una idea de lo que significan las funciones invertibles. Con estas proposiciones hemos probado además que la función $f^{-1}: Im(f) \rightarrow X$ es una biyección. ¿Te imaginas porqué? Pues resulta que la función $f^{-1}$ también es suprayectiva.

  • $f^{-1} \circ f = f \circ f^{-1}$

Demostración. Sabemos que $f^{-1} \circ f = Id$, entonces bastará demostrar que $f \circ f^{-1} = Id$. Para ello consideremos $y \in Dom(f^{-1})=Im(f) \subset Y$. Supongamos que $$f \circ f^{-1}(y)=w$$. Entonces $$f^{-1}(f \circ f^{-1}(y)) = f^{-1}(w). $$ Como la composición es asociativa, entonces: $$f^{-1}(f \circ f^{-1}(y)) = (f^{-1} \circ f) \circ f^{-1}(y) = f^{-1}(y) = f^{-1}(w)$$ Como $f^{-1}$ es inyectiva, entonces $y=w$.

$\square$

  • Sea $g:Im(f) \rightarrow Z$ una función invertible, entonces $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ .

Demostración. Basta notar que por la asociatividad de las funciones:

$$ \begin{align*}
(g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) &= g \circ (f \circ (f^{-1} \circ g^{-1})\\
&= g \circ ((f \circ f^{-1}) \circ g^{-1})\\
&= g \circ (Id \circ g^{-1}) \\
&= g \circ g^{-1} = Id
\end{align*}$$

$\square$

Más adelante…

Habiendo pasado por las funciones, su composición, sus propiedades y la inversa, utilizaremos estas definiciones para hablar de el tamaño de los conjuntos. Pues esta definición de funciones nos ayudan a decir «Cuántos elementos tiene un conjunto».

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que $f^{-1}$ es suprayectiva.
  2. Demuestra que $Dom(f^{-1})=Im(f)$.
  3. Demuestra que $(f \circ (g \circ h))^{-1} = h^{-1} \circ (g^{-1} \circ f^{-1})$.
  4. Da una condición suficiente para que una función no sea invertible.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Composición de funciones

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Siguiendo la conversación de las funciones, esta vez hablaremos de la composición de funciones. Este es el concepto que nos permitirá combinar más de una función para crear nuevas funciones siempre que ciertas condiciones se cumplan.

Composiciones en relaciones

Anteriormente ya hemos mencionado que sobre tres conjuntos $X,Y,Z$ se puede definir una relación composición entre dos relaciones $R$ de $x$ en $Y$ y $T$ de $Y$ en $Z$. De manera que la relación $T \circ R$ es aquella que está compuesta de elementos de la forma $(x,z) \in X \times Z$ siempre y cuando exista alguna $y$ de manera que $(x,y) \in R$ y $(y,z) in T$. Así, la relación composición está formada de elementos que pueden ir de $X$ a $Y$ mediante la relación $R$ y de ahí pueden llegar a $Z$ mediante la relación $T$. Veremos a continuación cómo podemos traducir esto a las funciones.

Composiciones en funciones

La composición de funciones será una composición de relaciones, no cambiará la definición, pues las funciones siguen siendo relaciones y hemos establecido toda una base sobre lo que son las relaciones para llegar a hablar de las funciones de forma gradual.

Piensa en el siguiente ejemplo. Supongamos tenemos una máquina $f$ que transforma las horas en minutos y otra máquina $g$ que transforma los minutos en segundos. Cuando a la máquina $f$ le pasamos de entrada «$1$ hora», nos regresará «$60$ minutos». Mientras que cuando le pasamos la entrada «$1$ minuto» a la máquina $g$ esta nos devuelve «60 segundos». Ahora nos preguntamos ¿Hay una forma de convertir las horas en segundos? O dicho de otra forma, ¿Cómo podemos construir una máquina $h$ que convierta las horas en los segundos? Nota que no tenemos directamente la máquina que nos toma las horas y las convierte en segundos, pero sí tenemos una máquina que convierte las horas en minutos y después los minutos en segundos.

Supongamos que tenemos la entrada «1 hora» entonces con la máquina $f$ podemos saber que una hora equivale a $60$ minutos. Enseguida podemos usar la máquina $G$ para saber que que los $60$ minutos equivalen a $3600$ segundos, de manera que esa es la duración de una hora. A esta máquina $h$ le llamamos la composición de $f$ con $g$.

Pensemos a estas máquinas como funciones, si consideramos $H$ como al conjunto de número de horas a considerar ($H=\{1 hr, 2 hrs, 3 hrs, \dots\}$) a $M$ como el conjunto de los minutos ($M =\{1 min, 2 mins, 3 mins, \dots\}$) y a $S$ como el conjunto de los segundos a considerar ($S=\{1 seg, 2 segs, 3 segs, \dots\}$) entonces $f:H \rightarrow M$ y $g: M \rightarrow S$ son funciones que convierten una unidad de tiempo en otra. La función $h : H \rightarrow S$ buscada es justamente la composición de las funciones $g \circ f: H \rightarrow S$.

Nota que si queremos convertir un número de horas $n \in H$ a segundos entonces bastará con notar que $n$ horas son $f(n)$ minutos, y estos a su vez son $g(f(n))$ segundos. Veamos el primer ejemplo. Nota que $f(1 hr)=60 mins$. Entonces $g(f(1hr))=g(60min)=3600segs$. Por lo cual la función que convierte las horas a segundos es componer $f$ con $g$.

Composición de funciones

Gráficamente lo que significa la composición de funciones es la siguiente imagen:

||||

Aquí podemos visualizar la función $g \circ f$ que es la función que va de $X$ a $Z$. En ella, vemos cómo es que la función $f$ va de X a Y, siendo que el dominio de $f$ queda dentro de $Y$, pues por definición, si la función $f$ va de $X$ a $Y$, entonces para cada elemento $x \in X$ sucede que existe $y \in Y$ tal que $f(x)=y$, significando que siempre $Im(f) \subset Y$ , y en nuestro caso en particular, $Y= Dom(g)$, siendo $g$ una función que va de $X$ a $Z$. Quizá lo que no es inmediato es la siguiente contención: $Im(g \circ f) \subset Im(g) \subset Z$.

Proposición. Si $f:X \rightarrow Y $ y $g: Y \rightarrow Z$ entonces $Im(g \circ f) \subset Im(g) \subset Z$

Demostración. Para esta demostración, consideremos $w \in Im(g \circ f) $ y veamos que $w \in Im(g)$. Para ello, notemos que por definición de la composición de funciones, si $w \in. Im(g \circ f)$ entonces existe $x \in X$ tal que $g \circ f(x) = w$. Es decir, $g(f(x))=w$ a su vez, como $f(x) \in Dom(g)$ entonces existe $y$ tal que $f(x)=y$ y $g(y)=w$. Ahora notemos que $y \in Dom(g)$ entonces $g(y) \in Im(g)$, es decir, $w=g(y) \in Dom(g)$. Por otro lado, por definición de función, la imagen de $g$ está contenida en $Z$. De esta manera, se tiene la contención buscada.

$\square$

Vamos a hacer algunas observaciones de esta composición de funciones.

  1. Para componer funciones, la imagen de una función debe estar contenida en el dominio de la otra. Esto significa que si queremos componer $f$ con $g$, debemos saber que todo elemento convertido por $f$ puede ser pasado a $g$. Dicho de otra manera, si queremos convertir horas a segundos, la máquina $f$ convierte las horas a minutos, y la $g$ minutos a segundos, entonces siempre tiene que pasar que $f$ devuelva minutos para poder componerse con $g$, pues acepta nada más minutos como entrada, si $f$ convirtiera horas a días, $g$ lo rechazaría, pues un día no está expresado en términos de minutos.
  2. La composición de funciones es asociativa, es decir, $(g\circ f) \circ h = g \circ (f \circ h)$.

Demostración. Consideremos $f : X \rightarrow Y$, $g : Y \rightarrow Z$ y $h : W \rightarrow X$. Para demostrar que la función es asociativa, deberíamos demostrar que apra algún $x$ arbitrario en el dominio de la composición $(W)$, se cumple que

$$ (g\circ f) \circ h(x) = g \circ (f \circ h)(x) $$

Para ello, llamemos $f \circ h = F$, $g \circ f = G$,$h(x)=y$ y $f(y)=z$. Ahora, nota por un lado que $$ g \ circ (f \circ h)(x) = g \circ F(x) = g(F(x)) = g(z)$$

Por otro lado, $(g \circ f) \circ h(x) = G \circ h(x) = G(y) = g \circ f(y) = g(z)$

Llegando a los mismos resultados, lo que debe significar que las funciones son iguales para $x$, pudiéndose generalizar para cada elemento del dominio de la composición.

$\square$

Más adelante…

Habiendo visto la composición de funciones, estamos listos para dar el siguiente paso y encontrar una clase muy particular de funciones: funciones invertibles, que serán aquellas funciones que podemos «deshacer».

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que si $f$ es suprayectiva, entonces $Im(g \circ f) = Im(g)$.
  2. Sea $f: \mathbb{R} \ rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\frac{3x+1}{2}$:
    1. Encuentra $g: \mathbb{R} \ rightarrow \mathbb{R}$ tal que $g \circ f (x)= x$
    2. Demuestra que $g \circ f = f \circ g$
  3. Da condiciones suficientes y necesarias para que $g \circ f$ sea biyectiva.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Geometría Moderna II: Circunferencias ortogonales

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

En esta entrada introduciremos un nuevo concepto: el de circunferencias ortogonales. Veremos cómo se relaciona este concepto con el de eje radical, que estudiamos en la entrada anterior.

Circunferencias ortogonales

La definición que nos interesa estudiar ahora es la siguiente.

Definición. Dos circunferencias $\mathcal{C_1}$ y $\mathcal{C_2}$ que se intersecan en un punto $P$ son ortogonales si sus tangentes en $P$ forman un ángulo recto.

Hagamos algunas observaciones de esta definición. Primero, dos circunferencias tangentes no pueden ser ortogonales pues si el punto de tangencia es $P$, entonces tienen la misma tangente en $P$. Así, las circunferencias deben intersectarse en al menos dos puntos $P$ y $Q$. Por simetría, las tangentes en $P$ son ortogonales si y sólo si las tangentes en $Q$ lo son.

Además, si los centros son $O_1$ y $O_2$, respectivamente, entonces sabemos que $O_1P$ es ortogonal a la tangente a $\mathcal{C}_1$ por $P$ y análogamente $O_2P$ es ortogonal a la tangente a $\mathcal{C}_2$ por $P$. Así, las tangentes son ortogonales si y sólo si los radios $O_1P$ y $O_2P$ lo son.

Algunas conexiones entre circunferencias ortogonales y eje radical

Veamos un primer resultado que relaciona circunferencias ortogonales y el eje radical.

Teorema. Sean $\mathcal{C_1}$ y $\mathcal{C_2}$ circunferencias de centros distintos. Si $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a ambas circunferencias, entonces su centro $O_3$ se encuentra en el eje radical de ambas.

Demostración. Denotaremos por $T_1$ a uno de los puntos de intersección de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_3$, y por $T_2$ a uno de los puntos de intersección de $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ (ver la figura a continuación). Debemos mostrar que $O_3$ está en el eje radical de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, es decir, que $$\text{Pot}(O_3,\mathcal{C}_1)=\text{Pot}(O_3,\mathcal{C}_2).$$

Circunferencias Ortogonales del primer teorema.

Como $O_3T_2$ y $O_3T_1$ son radios de $\mathcal{C}_3$, entonces $$O_3T_1^2=O_3T_2^2.$$

En la entrada de potencia de un punto vimos que podemos calcular la potencia en términos de la longitud de una tangente como sigue: $$\text{Pot}(O_3,\mathcal{C}_1)=O_3T_1^2=O_3T_2^2=\text{Pot}(O_3,\mathcal{C}_2).$$

Así, concluimos lo que queríamos, que $O_3$ está en el eje radical de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$.

$\square$

El siguiente resultado es similar, y en cierto sentido es un «regreso» del anterior.

Teorema. Sean $\mathcal{C_1}$ y $\mathcal{C_2}$ circunferencias de centros distintos. Sea $\mathcal{C}_3$ una circunferencia cuyo centro $O_3$ está en el eje radical de las dos circunferencias dadas. Si $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a $\mathcal{C}_2$, entonces también es ortogonal a $\mathcal{C}_1$.

Demostración. Tomaremos como referencia la figura anterior. A partir de las hipótesis, queremos demostrar que $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a $\mathcal{C}_1$. Sea $r_1$ el radio de $\mathcal{C}_1$. Por el teorema de Pitágoras, lo que queremos sucede si y sólo si $$O_3O_1^2-r_1^2= O_3T_1^2.$$

Dado que $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a $\mathcal{C}_2$, el triángulo $\triangle O_3T_2O_2$ es rectángulo. Por el teorema de Pitágoras se cumple entonces que $O_3O_2^2-r_2^2= O_3T_2^2$. Como $O_3$ está en el eje radical de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, y por cómo se calcula la potencia en términos de la distancia al centro y del radio, tenemos que: $$O_3O_2^2 – r_2^2=\text{Pot}(O_2,\mathcal{C}_3)=\text{Pot}(O_2,\mathcal{C}_2)=O_3O_1^2-r_1^2.$$

De este modo, $$O_3T_1^2=O_3T_2^2=O_3O_2^2-r_2^2=O_3O_1^2-r_1^2.$$

Esto es justo lo que necesitábamos para concluir que $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a $\mathcal{C}_1$.

$\square$

Posición de una circunferencia ortogonal a dos dadas con respecto a su eje radical

Veamos un resultado más, que nos habla acerca de la posición de una circunferencia en relación a otras dos a las que es tangente.

Teorema. Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ circunferencias de centros distintos $O_1$ y $O_2$. Sea $\mathcal{C}_3$ una circunferencia ortogonal a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$. La circunferencia $\mathcal{C}_3$ está posicionada con respecto a la línea de los centros $O_1O_2$ de acuerdo a los siguientes tres casos:

  1. Si $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ se intersectan en dos puntos, entonces $\mathcal{C}_3$ no intersecta a $O_1O_2$.
  2. Si $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ son tangentes, entonces $\mathcal{C}_3$ es tangente a $O_1O_2$.
  3. Si $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ no se intersectan, entonces $\mathcal{C}_3$ intersecta a $O_1O_2$ en dos puntos.

Demostración. Sea $\mathcal{C}_3$ una circunferencia ortogonal a dos circunferencias dadas $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$. Sean $r_1$, $r_2$, $r_3$ los radios de $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$, respectivamente. Sea $X$ la intersección de $O_1O_2$ con el eje radical $l$ de las circunferencias $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$. Sea $T_1$ un punto de intersección de $O_3$ con $O_1$ y $T_1$ un punto de intersección de $O_3$ con $O_2$. La figura a continuación muestra el dibujo para el primer caso.

Circunferencias Ortogonales

Dado que $\mathcal{C}_3$ es ortogonal a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$, se tienen dos triángulos rectángulos: $$\triangle O_3T_1O_1 \quad \text{y} \quad \triangle O_3XO_1.$$

Por el teorema de Pitágoras, tenemos que $$O_3T_1^2+r_1^2=O_3O_1^2=O_1X^2+O_3X^2,$$

de donde $r_1^2-O_1X^2=O_3X^2-r_3^2$. Tratemos ahora sí cada caso por separado.

Caso 1. Supongamos que $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ se intersectan en dos puntos. Mostraremos que $\mathcal{C}_3$ no intersecta a $O_1O_2$.

Como las circunferencias se intersectan en dos puntos, el eje radical es la recta que une las intersecciones. Por ello, $r_1>|O_1X|$. Usando las cuentas de arriba:

\begin{align*}
& r_1>|O_1X|\\
\Rightarrow &r_1^2>O_1X^2\\
\Rightarrow &r_1^2-O_1X^2 >0\\
\Rightarrow & O_3X^2-r_3^2>0\\
\Rightarrow & O_3X^2>r_3^2.
\end{align*}

Esto último sucede si y sólo si $|O_3X|>r_3$. Esto nos dice que $X$ está fuera de la circunferencia $\mathcal{C}_3$ y entonces dicha circunferencia no intersecta a $O_1O_2$.

Caso 2. Supongamos ahora que $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ son tangentes. Debemos demostrar que $\mathcal{C}_3$ es tangente a $O_1O_2$. En este caso, $r_1=|O_1X|$. Y entonces tenemos la siguiente cadena de implicaciones:

\begin{align*}
& r_1>=O_1X|\\
\Rightarrow &r_1^2=O_1X^2\\
\Rightarrow &r_1^2-O_1X^2 =0\\
\Rightarrow & O_3X^2-r_3^2=0\\
\Rightarrow & O_3X^2=r_3^2.
\end{align*}

Esto, junto con el hecho de que $O_3X$ es perpendicular a $O_1O_2$, implica que $O_1O_2$ es tangente a $\mathcal{C}_3$.

Caso 3. Finalmente, supongamos que $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ no se intersectan. Debemos mostrar que $\mathcal{C}_3$ sí intersecta a $O_1O_2$ en dos puntos. Para ello basta mostrar que $|O_3X|<r_3$. La suposición de que las circunferencias no se intersectan implica que $r_1<|O_1X|$.

Circunferencias Ortogonales

Una vez más procedemos con las siguientes implicaciones:

\begin{align*}
& r_1<|O_1X|\\
\Rightarrow &r_1^2<O_1X^2\\
\Rightarrow &r_1^2-O_1X^2 <0\\
\Rightarrow & O_3X^2-r_3^2<0\\
\Rightarrow & O_3X^2<r_3^2.
\end{align*}

Por ello, $|O_3X|<r_3$, como queríamos.

$\square$

Más adelante…

Hemos abordado algunos resultados de circunferencias ortogonales. Lo que haremos en la siguiente entrada es estudiar a las familiar coaxiales de circunferencias. Sabemos que cualesquiera dos circunferencias tienen un eje radical pero, ¿qué sucede tenemos más de dos circunferencias que comparten eje radical?

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Cálculo Diferencial e Integral II: Recordatorio de derivadas

Por Moisés Morales Déciga

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Introducción

Durante esta unidad se empezaron a estudiar las integrales indefinidas, como una generalización o una ampliación de la definición al empezar a considerarse como funciones, a la vez que se mencionaron e ilustraron las propiedades que éstas tienen.

Pero para poder seguir avanzando en el curso, es necesario recordar el proceso de derivación.

Muy seguramente haz escuchado que existe una relación entre la integral y la derivada, puede ser que incluso te hayan contado que la integral es la función inversa a la derivación o que son procesos opuestos y demás posibilidades.

Por otro lado, si aun no lo haz escuchado te comento que sí existe una relación entre ambos procesos pero no es formalmente correcto mencionarlo como inversos. Esto lo detallaremos más adelante.

Y como vamos a ilustrar esta relación, es necesario recordar la derivada y las reglas de derivación que se encontraron en el primer curso de cálculo.

La derivada

A partir de lo desarrollado en Cálculo I, se define coloquialmente a la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto o como la razón o velocidad de cambio de la función ante cambios de su variable independiente.

Formalmente, se define a la derivada como el siguiente límite.

$$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) \ – \ f(x)}{h} $$

Donde $f'(x)$ es la derivada de $f(x)$.

Al igual que en la entrada anterior, la derivada tiene propiedades con las cuales nos facilita su manejo al momento de operar la transformación con diferentes funciones, entre las cuales tenemos las siguientes propiedades.

Para las propiedades señaladas a continuación, es necesario considerar lo siguiente:

Sean $f$ y $g$ dos funciones derivables en $x_0$, es decir, que existe $f'(x_0)$ y $g'(x_0)$.

Derivada de suma de funciones y producto por una constante

  • $ (f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)$
  • $(cf)'(x_0) = c f'(x_0)$

Derivada de producto de funciones

  • $(f \cdot g)’ (x_0) = f(x_0) \cdot g'(x_0) + f'(x_0) \cdot g(x_0)$
  • Si $g(x_0) \neq 0$ y $g'(x_0) \neq 0$, entonces

$$\left( \frac{1}{g} \right) ^{‘} (x_0) = – g(x_0) \left( \frac{1}{(g(x_0))^{2}} \right) $$

Estas son las propiedades que se ilustraron en el curso de Cálculo I, si quieres recordar la entrada, sigue este enlace. En esta entrada se presentan unas demostraciones de las propiedades, así como unos ejemplos.

Pero en este caso, podemos utilizar la notación de la integral indefinida para mostrar las propiedades y las reglas de derivación, como se muestra adelante.

Reglas de derivación

Para todas las siguientes reglas de derivación, suponga que la función es derivable.

Multiplicación por una constante

$$ \phi(x)=cf(x), \Rightarrow \phi'(x)=cf'(x).$$

Derivada de una suma

$$\phi(x)=f(x)+g(x), \Rightarrow \phi'(x)=f'(x)+g'(x).$$

Derivada del producto

$$\phi(x)=f(x) g(x), \Rightarrow \phi'(x)=f(x)g'(x) + f'(x)g(x) .$$

Derivada de un cociente

$$\phi(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \Rightarrow \phi'(x) = \frac{g(x)f'(x) – f(x)g'(x) }{[g(x)]^2}.$$

Derivación directa

Una vez que recordamos la derivada, su definición y las reglas de derivación, podemos recordar las fórmulas de derivación para funciones particulares, lo que nos permite calcular la derivada de forma directa o inmediata.

Esto nos facilita el proceso, ya que una vez que vemos la función, sabemos de forma instantánea, cual es su diferencial.

Derivación de potencias

Este es un caso de la derivada de un producto.

En caso de tener una potencia de la forma $x^n$.

\begin{align*}
\frac{d}{dx}x^n=n \cdot x^{n-1}.
\end{align*}

En caso de tener una raíz, es decir, la función es de la forma $\sqrt[n]{x}$, también tiene un tratamiento de potencia, como se muestra adelante.

\begin{align*}
\frac{d}{dx}\sqrt[n]{x} & = \frac{d}{dx} x^{\frac{1}{n}} \\
& =\frac{1}{n} x^{({\frac{1}{n} \ – \ 1)}} .
\end{align*}

Y por último, si tenemos un caso combinado, se tiene la siguiente regla.

\begin{align*}
\frac{d}{dx}\sqrt[n]{x^m} & = \frac{d}{dx} x^{\frac{m}{n}} \\
& =\frac{m}{n} x^{({\frac{m}{n} \ – \ 1)}} .
\end{align*}

Derivación de funciones racionales

En general, es un caso de la derivada de cociente, pero también puede ser tratada como una potencia.

\begin{align*}
\frac{d}{dx} \frac{1}{{x^m}} & = \frac{d}{dx} x^{- \ m} \\
& = – \ m \ x^{- \ m – 1} \\
& =-\frac{m}{x^{m+1}}
\end{align*}

Derivación de funciones trigonométricas

$$\frac{d}{dx}sen(x)=cos(x).$$

$$\frac{d}{dx}cos(x)=-sen(x).$$

\begin{align*}
\frac{d}{dx}tan(x) & =\frac{1}{{cos^2}(x)} \\
& =sec^2(x) \\
& =1+tan^2(x).
\end{align*}

\begin{align*}
\frac{d}{dx}cot(x) & =-\frac{1}{sen^2(x)} \\
& =-cosec^2(x) \\
&=-(1+cot^2(x)).
\end{align*}

Derivación de funciones inversas trigonométricas

$$\frac{d}{dx}arcsen(x)=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}.$$

$$\frac{d}{dx}arccos(x)=-\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}.$$

$$\frac{d}{dx}arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}.$$

$$\frac{d}{dx}arccot(x)=-\frac{1}{1+x^2}.$$

Derivada de la función exponencial

$$\frac{d}{dx}a^x=log(a)a^x.$$

$$\frac{d}{dx}e^x=e^x.$$

Derivada de la función logaritmo

$$\frac{d}{dx} log(a)x=\frac{1}{x ln(a)}.$$

$$\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}.$$

Regla de la cadena

Esta regla se utiliza cuando estamos haciendo composición de funciones o la función que estamos derivado es producto de otra transformación. Esta propiedad nos especifica la derivación en estos casos.

Tenemos dos funciones $\phi$ y $g$ continuas en sus intervalos de definición, no necesariamente están definidas en el mismo intervalo.

Entonces, la función compuesta $f(x)=g[\phi(x)]$ es también continua.

Entonces, si queremos obtener la derivada de la función $f(x)$, aplicamos el siguiente teorema llamado como «regla de la cadena».

$$f'(x) = g'(\phi) \phi'(x).$$

Si quieres recordar a detalle la regla de la cadena, así como su demostración, puedes consultarlo en el siguiente enlace.

Más adelante…

Este ha sido un repaso muy corto y muy general sobre la derivada, en caso de querer recordarlo con mayor detalle o si tienes algún tema que te gustaría retomar con mayor detenimiento, puedes consultar la página de curso en el siguiente enlace, donde se enfoca en el cálculo diferencial.

Este pequeño recordatorio nos permitió introducir la diferencial a partir de la notación correspondiente de la integral indefinida, lo que nos ayuda de forma indirecta a ver la relación que tiene la derivada con la integral.

En la siguiente entrada se verá la introducción a los dos teoremas que tienen una alta importancia dentro del curso y que se emplearán en muchos cursos ya que, como su nombre lo dice, son fundamentales.

Estos teoremas explican formalmente la relación que existe entre el cálculo integral y el cálculo diferencial, así que nos van a facilitar cuando se tenga un problema que involucre ambos procesos.

Tarea moral

Encuentre las siguientes derivadas.

  1. $\ y(x) = (x^3 + 4x^2 – 7)^6.$
  2. $\ y(x) = sin^2(2x^3).$
  3. $ \ y(x) = \frac{1}{6x} + e^{2x}.$
  4. $\ y(x) = 3x cos(x^2) – (x^2+2x+1) tan(x) .$
  5. $\ y(x) = 4 ln((x-2)^2). $

Entradas relacionadas

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