$\mathit{\text{ MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

En secciones anteriores vimos que las sucesiones de Cauchy no siempre son convergentes en un espacio métrico, pero cuando todas lo son decimos que el espacio es completo.

Si tenemos un espacio que no es completo, intuitivamente podemos pensar en agregar puntos a los que las sucesiones de Cauchy converjan, produciendo así, un espacio métrico más grande que sí sea completo. Habrá que tener cuidado en definir adecuadamente las distancias con los nuevos elementos. Podríamos preguntarnos entonces si dicha completación es posible, y más aún, si es única.

Comencemos con la siguiente:

Definición. Completación de un espacio métrico: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Diremos que un espacio métrico completo $(X^{\ast },d^{\ast })$ es una completación del espacio $X$ si cumple que:

1. $X$ es subespacio métrico de $X^{\ast }.$ Así $d$ es la métrica restringida en $X.$
2. $X$ es denso en $X^{\ast },$ es decir $\bar{X}=X^{\ast }.$

Ejemplo: El espacio métrico $(\mathbb{R},|\cdot |)$ es una completación de $(\mathbb{Q},|\cdot |).$

Proposición: Todo espacio métrico $(X,d)$ tiene una completación y esta completación es única, salvo una aplicación isométrica que envía los puntos de $X$ en sí mismos. (Aquí vimos la definición de isometría).

Prueba unicidad

Considera $X$ un espacio métrico y dos completaciones $(X^{\ast },d^{\ast })$ y $(X^{\ast \ast },d^{\ast \ast })$ de este espacio. Para probar que son iguales salvo isometrías debemos demostrar que existe una isometría biyectiva entre ambas completaciones. La isometría se construye como sigue:

Sea $x^{\ast }\in X^{\ast },$ como $X^{\ast }$ es completación de $X$ entonces, de acuerdo con la definición $\bar{X}=X^{\ast },$ en consecuencia $x^{\ast }\in \bar{X}$ y existe una sucesión $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de puntos en $X,$ que converge a $x^{\ast }.$ (Resultado visto en Convergencia). Nota que la convergencia permite concluir que $(x_n)$ es de Cauchy en $X^{\ast }$ (pues $X\subset X^{\ast }$) y por tanto también lo es en $X,$ debido a que la completación debe preservar las distancias para cualesquiera dos puntos de $X.$

Como también $X\subset X^{\ast \ast }$ se sigue que los términos de $(x_n)$ también pertenecen a $X^{\ast \ast }$ que, al ser completo, implica que $x_n\to x^{\ast \ast }$ para algún $x^{\ast \ast }\in X^{\ast \ast },$ (pues si la sucesión es de Cauchy en $X$ también lo es en la completación $X^{\ast \ast }$).

Afirmación: El punto $x^{\ast \ast }$ no depende de la sucesión elegida $(x_n)$ que converge en $x^{\ast }.$ Esto es, cualquier otra que también converja en $x^{\ast }$ en el espacio $X^{\ast },$ igualmente convergerá a $x^{\ast \ast }$ en el espacio $X^{\ast \ast }.$ ¿Por qué? $\text{(Ejercicio como tarea moral).}$
Para cada $x^{\ast }\in X^{\ast }$ sea $\varphi (x^{\ast })=x^{\ast \ast }.$ Demostraremos que $\varphi$ es la isometría buscada:

Se cumple que para todo $x\in X,\varphi (x)=x.$ ¿Por qué? $\text{(Ejercicio como tarea moral).}$ Por otra parte, si suponemos que tenemos sucesiones $(x_n),(y_n)$ cuyos términos están en $X,$ tales que:

$x_n\to x^{\ast }$ en $X^{\ast }$ y $x_n\to x^{\ast \ast }$ en $X^{\ast \ast };$
$y_n\to y^{\ast }$ en $X^{\ast }$ y $y_n\to y^{\ast \ast }$ en $X^{\ast \ast }$

entonces:

$d^{\ast }(x^{\ast },y^{\ast })=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{d}^{\ast }(x_n,y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,y_n)$

así mismo

$d^{\ast \ast }(x^{\ast \ast },y^{\ast \ast })=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{d}^{\ast \ast }(x_n,y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,y_n)$ ¿Por qué? $\text{(Ejercicio como tarea moral).}$

Por lo tanto,

$$\begin{array}{rl}{d}^{\ast }(x^{\ast },y^{\ast })& =d^{\ast \ast }(x^{\ast \ast },y^{\ast \ast })\\ & =d^{\ast \ast }(\varphi (x^{\ast }),\varphi (y^{\ast })).\end{array}$$

Lo cual demuestra que $\varphi$ es una isometría. ¿Por qué se le puede considerar biyectiva? $\text{(Ejercicio como tarea moral).}$

Prueba existencia

Antes de probar la existencia veamos la siguiente:

Definición. Sucesiones equivalentes: Sean $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ y $(x_n^{\prime }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sucesiones de Cauchy en el espacio métrico $X.$ Si ocurre que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,x_n^{\prime })=0$ diremos que las sucesiones son equivalentes y lo denotaremos como:
$$(x_n)\sim (x_n^{\prime })$$

Se deja como $\text{ejercicio como tarea moral}$ probar que esta relación es de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva). Para recordar, te recomendamos visitar Álgebra Superior I: Relaciones de equivalencia y clases de equivalencia.

Con esto se define un conjunto de clases de equivalencia, agrupando según la relación, las sucesiones de Cauchy en $X.$ Veremos que es una completación de $X.$ Probablemente esto cause confusión en este momento, pues mientras $X$ es un conjunto de puntos, la completación que proponemos tiene como elementos conjuntos de sucesiones de Cauchy. No obstante, aunque el tipo de elementos entre ambos conjuntos parezcan muy diferentes, en las próximas líneas veremos que la magia del isomorfismo admitirá considerarlos equivalentes.

Sean $[(x_n)]$ y $[(y_n)]$ dos clases de equivalencia y sean $(x_n)$ y $(y_n)$, respectivamente, representantes de clase. Definimos la distancia entre ambas clases como:
$$d^{\ast }([(x_n)],[(y_n)])=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,y_n).$$

Entonces se considera la distancia entre un término de la sucesión $(x_n)$ y el término correspondiente en $(y_n).$ Hablar de que existe el límite de las distancias cuando $n\to \mathrm{\infty }$ indica que en algún momento, la distancia entre pares de términos se estabiliza.

Por supuesto que habrá que demostrar que este límite existe y que esta distancia es invariante, no depende del representante de clase elegido en cada clase de equivalencia.

Probemos primero que la sucesión dada por $(d(x_n,y_n){)}_{n\in \mathbb{N}}$ es convergente en $\mathbb{R}$. Bastará con demostrar que es de Cauchy.

Sea $\epsilon >0.$ Como $(x_n),(y_n)$ son de Cauchy, existen $N_1$ y $N_2\in \mathbb{N}$ tales que

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \text{si }n,m\ge N_1\text{ entonces }d(x_n,x_m)<{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}\text{(2)}& \text{si }n,m\ge N_2\text{ entonces }d(y_n,y_m)<{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}.\end{array}$$

Sea $N=\text{máx}\{N_1,N_2\}.$ Se sigue que $\mathrm{\forall }n,m\ge N$ se cumple que:
$$\begin{array}{rlr}|d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)|& =|d(x_n,y_n)-d(x_n,y_m)+d(x_n,y_m)-d(x_m,y_m)|& \text{(sumando un cero estratégico)}\\ & \le |d(x_n,y_n)-d(x_n,y_m)|+|d(x_n,y_m)-d(x_m,y_m)|& \text{(desigualdad del triángulo)}\end{array}$$

Es sencillo probar que si $u,v,w$ son elementos de un espacio métrico $(Y,d_Y)$ se satisface que

$$\begin{array}{}\text{(3)}& |d_Y(u,v)-d_Y(u,w)|\le d_Y(v,w).\text{ (Ejercicio como tarea moral).}\end{array}$$

Con este resultado es posible continuar con la cadena de igualdades:

$$\begin{array}{rl}|d(x_n,y_n)-d(x_n,y_m)|+|d(x_n,y_m)-d(x_m,y_m)|& \le d(y_n,y_m)+d(x_n,x_m)\\ & \le \frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}& \text{(desigualdades (1) y (2) )}\\ & =\epsilon \end{array}$$

Entonces la sucesión $(d(x_n,y_n){)}_{n\in \mathbb{N}}$ es de Cauchy en $\mathbb{R}$ y converge cuando $n\to \mathrm{\infty }.$

Ahora demostremos que la distancia entre clases no depende del representante elegido. Sean $(x_n)\sim (x_n^{\prime })$ y sean $(y_n)\sim (y_n^{\prime })$. En efecto
$$d^{\ast }([(x_n)],[(y_n)])\mathbf{\text{=}}{d}^{\ast }([(x_n^{\prime })],[(y_n^{\prime })])$$
pues al calcular la diferencia entre estas magnitudes tenemos:

$$\begin{array}{rlr}|d^{\ast }([(x_n)],[(y_n)])\mathbf{\text{-}}{d}^{\ast }([(x_n^{\prime })],[(y_n^{\prime })])|& =|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,y_n)-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n^{\prime },y_n^{\prime })|& \text{(por definición)}\\ & =|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(d(x_n,y_n)-d(x_n^{\prime },y_n^{\prime }))|& \text{(propiedad de límites)}\\ & =|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(d(x_n,y_n)-d(x_n,y_n^{\prime })+d(x_n,y_n^{\prime })-d(x_n^{\prime },y_n^{\prime }))|& \text{(sumando un cero estratégico)}\\ & =|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(d(x_n,y_n)-d(x_n,y_n^{\prime }))+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(d(x_n,y_n^{\prime })-d(x_n^{\prime },y_n^{\prime }))|& \text{(propiedad de límites)}\\ & \le |\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(d(x_n,y_n)-d(x_n,y_n^{\prime }))|+|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(d(x_n,y_n^{\prime })-d(x_n^{\prime },y_n^{\prime }))|& \text{(desigualdad del triángulo)}\\ & \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|(d(x_n,y_n)-d(x_n,y_n^{\prime }))|+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|(d(x_n,y_n^{\prime })-d(x_n^{\prime },y_n^{\prime }))|& \text{(propiedad de límites y }|\cdot |\text{)}\\ & \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(y_n,y_n^{\prime })+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,x_n^{\prime })& \text{(desigualdad (3) )}\\ & =0+0& \text{(por ser sucesiones equivalentes)}\\ & =0\end{array}$$

Por lo tanto la distancia entre clases está bien definida.

El conjunto de clases de equivalencias de sucesiones es un espacio métrico

Sean $[(x_n)],[(y_n)],[(z_n)]$ clases de equivalencia de la relación descrita arriba. Se satisfacen los axiomas:

1. $d^{\ast }([(x_n)],[(y_n)])=0$ si y solo si $[(x_n)]=[(y_n)]$
2. $d^{\ast }([(x_n)],[(y_n)])=d^{\ast }([(y_n)],[(x_n)])$
3. $d^{\ast }([(x_n)],[(y_n)])\le d^{\ast }([(x_n)],[(z_n)])+d^{\ast }([(z_n)],[(y_n)])$

Dejaremos como $\text{ejercicio como tarea moral}$ probar $1)$ y $2)$
Para probar $3)$ partimos de tomar representantes de clase $(x_n)\in [(x_n)],(y_n)\in [(y_n)]\text{ y }(z_n)\in [(z_n)].$ Lo siguiente es consecuencia de la desigualdad del triángulo en $d$ y la distancia entre clases definida.

$$\begin{array}{rlrl}& & d(x_n,y_n)& \le d(x_n,z_n)+d(z_n,y_n)\\ & \Rightarrow & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,y_n)& \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,z_n)+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(z_n,y_n)\\ & \Rightarrow & d^{\ast }([(x_n)],[(y_n)])& \le d^{\ast }([(x_n)],[(z_n)])+d^{\ast }([(z_n)],[(y_n)]).\end{array}$$

Que es lo que queríamos demostrar.

o bien, si no convergen en $X$ lo harán en un punto “afuerita” de $X,$ (en la cerradura respecto al espacio completo que lo contiene). Esta misma idea nos deja imaginar la distancia entre clases como la distancia entre esos “puntos de convergencia.”

El conjunto de clases de equivalencia es una completación de $X$

Sea $X^{\ast }$ el conjunto de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en $X.$ Definimos $\varphi :X\to X^{\ast }$ tal que para cada punto $x\in X,$ $\varphi (x)$ es la clase de sucesiones de Cauchy que convengen en $x.$

Sean $x,y\in X$ y dos sucesiones $(x_n),(y_n)$ en $X$ tales que:
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x\text{ y }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=y.$$
Entonces se cumple que:
$$\begin{array}{rlr}d(x,y)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,y_n)& \text{(ejercicio)}\\ & =d^{\ast }([(x_n)],[(y_n)]).\end{array}$$

Por lo tanto $\varphi$ es una isometría entre $X$ y $X^{\ast }$

Ahora que podemos considerar a $X$ como $\varphi (X),$ demostremos que $\overline{\varphi (X)}=X^{\ast }.$ En consecuencia, el espacio métrico $(X^{\ast },d^{\ast })$ será isométrico al espacio métrico $(\overline{\varphi (X)},d^{\ast }).$

Sea $[(x_n)]\in X^{\ast }$ y sea $\epsilon >0.$
Buscamos demostrar que existe un elemento de $\varphi (X)$ en la bola de radio $\epsilon$ con centro en $[(x_n)],$ es decir, que su distancia a $[(x_n)]$ sea menor que $\epsilon .$

Sea $(x_n)$ un representante de clase de $[(x_n)]$. Como es de Cauchy, existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $\mathrm{\forall }n,m\ge N$ se cumple que
$$d(x_n,x_m)<\epsilon .$$

Entonces si consideramos la sucesión constante $(x_N),$ donde todos sus términos son $x_N,$ se sigue:
$$d^{\ast }([(x_N)],[(x_n)])=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_N,x_k)<\epsilon$$
Lo cual demuestra que $[(x_N)]\in \varphi (X)$ está en la bola de radio $\epsilon$ con centro en $[(x_n)].$ Por lo tanto $\overline{\varphi (X)}$ es denso en $X^{\ast }.$

$X^{\ast }$ es completo

Sea $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $X^{\ast }.$ Si todos los términos de la sucesión están en $\varphi (X)$ entonces cada una de las clases, términos de $(x_n),$ converge en puntos de $X$ formando así una sucesión de Cauchy en $X.$

Luego, por como fue construido $X^{\ast },$ la sucesión converge a su clase de equivalencia $[(x_n)]$ en $X^{\ast }.$
En el caso general, si la sucesión en $X^{\ast }$ es de la forma $(x_n^{\ast }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ donde cada $(x_n^{\ast })$ es una clase de equivalencia que no necesariamente tiene una sucesión constante de puntos en $X$, dada la densidad de $X$ (visto como $\varphi (X)),$ para cada $n\in \mathbb{N}$ es posible elegir $x_n\in X$ tal que $x_n\in B(x_n^{\ast },\frac{1}{n}).$ Queda como $\text{ ejercicio }$ argumentar que la sucesión $(x_n)$ es de Cauchy y por tanto, vista como sucesión de clases, converge a algún $x^{\ast }\in X^{\ast }$. $\text{ Argumenta también }$ por qué podemos concluir que $(x_n^{\ast })$ también converge a $x^{\ast }.$

Con esto queda demostrada la proposición.

Más adelante…

Seguiremos trabajando con la convergencia de sucesiones, pero ahora tendrán, como términos, los valores asignados en un punto por una sucesión de funciones. Hablaremos de los valores a los que una sucesión de funciones converge y veremos los términos de límite puntual y límite uniforme.

Tarea moral

1. Argumenta los detalles que quedaron pendientes en la demostración de la completación de un espacio métrico.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$\mathit{\text{ MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

Dedicaremos esta entrada a la presentación de un teorema que ha dado resultados importantes en el estudio de los espacios métricos completos. Para comenzar, necesitamos imaginar la pertenencia de los elementos de un conjunto cuando seleccionamos, arbitrariamente, bolas abiertas en el espacio métrico. El primer concepto dice lo siguiente:

Definición. Conjunto denso. Sean $(X,d)$ un espacio métrico y $A\subset X.$ Decimos que $A$ es un conjunto denso en $X$ si $\bar{A}=X.$

Nota que esto es equivalente a decir que todas las bolas abiertas de $X$ tienen puntos en $A.$

Ejemplo: En el espacio métrico euclidiano de los números reales, el conjunto $\mathbb{Q}$ es denso.

Aunque basta con encontrar una bola abierta en $X$ ajena al conjunto $A$ para demostrar que $A$ no es denso, presentamos un tipo de conjunto que no solo no lo es sino que no lo es en «ninguna parte» de $A.$

Definición. Conjunto nunca denso. Sean $(X,d)$ un espacio métrico y $A\subset X.$ Si para toda bola abierta $B\subset X$ existe una bola abierta contenida $B^{\prime }\subset B$ que no tiene puntos de $A$ diremos que $A$ es un conjunto nunca denso (o denso en ninguna parte).

Con estos conceptos ya podemos entender el teorema prometido.

Teorema de Baire. Si $(X,d)$ es un espacio métrico completo, entonces no puede representarse como la unión numerable de conjuntos nunca densos.

Demostración:
Sea $X$ un espacio métrico completo. Considera el conjunto $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n,$ donde para cada $n\in \mathbb{N}$ el conjunto $A_n\subset X$ es nunca denso en $X.$ Construiremos una sucesión de bolas cerradas encajadas como sigue: (Concepto visto en entrada anterior).
Sea $B_0$ una bola cerrada de radio $1.$ Como $A_1$ es nunca denso, existe una bola cerrada $B_1$ de radio menor que $\frac{1}{2}$ tal que $B_1\subset B_0$ y $B_1\cap A_1=\mathrm{\varnothing }.$ Proponemos como ejercicio al lector argumentar por qué seleccionar dicha bola es posible.
De igual manera, como $A_2$ es nunca denso existe una bola cerrada $B_2$ de radio menor que $\frac{1}{3}$ tal que $B_2\subset B_1$ y $B_2\cap A_2=\mathrm{\varnothing }.$

Si continuamos recursivamente, terminaremos construyendo una sucesión de bolas cerradas encajadas $(B_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ cuyos radios tienden a $0$. En la entrada anterior vimos que, al ser $X$ completo la intersección de estas bolas tiene un punto, de hecho $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n=\{x\}$ para algún $x\in X.$ Este punto no pertenece a ningún conjunto $A_k,k\in \mathbb{N},$ pues al estar en la intersección de todas las bolas cerradas, particularmente $x\in B_k$ que, recordemos es ajeno a $A_k,$ por lo tanto $x\notin A_k.$ Entonces tenemos un punto $x\in X$ tal que $x\notin \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n$ concluyendo así que $X\ne \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n.$

A partir de este teorema podemos concluir la siguiente:

Proposición: Todo espacio métrico completo $X$ sin puntos aislados es no numerable.

Demostración:
Recordemos que un punto aislado $x\in X$ es aquel que tiene una bola abierta cuyo único elemento de $X$ es $x.$ Si $X$ no tiene puntos aislados, entonces todos sus puntos son de acumulación. Es sencillo probar que para cada $x\in X$ el conjunto $\{x\}$ es nunca denso (ejercicio).

Si la unión de todos los conjuntos de puntos $\bigcup _{x\in X}\{x\}=X$ fuera numerable tendríamos un espacio completo que contradiga el teorema de Baire. Por lo tanto, si $X$ es completo y sin puntos aislados, entonces es no numerable.

Ejemplo: El espacio euclidiano $\mathbb{R}$ es completo y sin puntos aislados, por lo tanto es no numerable.

El teorema de Baire ha dado resultados fundamentales en el análisis. Los siguientes tres teoremas pueden consultarse en:
Kesavan, S., Functional Analysis (2a ed.). Chennai, India: Editorial Springer, 1996. Pág. 99 y 106.

Teorema de Banach-Steinhaus o de acotación uniforme. Sea $V$ un espacio de Banach y $W$ un espacio lineal normado. Sea $I$ un conjunto indexado para cada $i\in I$ sea $T_i\in \mathcal{L}(V,W).$ Entonces existe $M>0$ tal que

$\Vert T_i\Vert \le M$, para todo $i\in I$

o bien $\underset{i\in I}{sup}\Vert T_i(x)\Vert =\mathrm{\infty }$ para todo $x\in G_{\delta }\subset V.$

Teorema de la función abierta. Sean $V,W$ espacios de Banach y sea $T\in \mathcal{L}(V,W)$ suprayectivo. Entonces $T$ es una función abierta, esto es, si $A\subset V$ es abierto en $V$ entonces $T(A)\subset W$ es abierto en $W.$

Corolario. (También llamado teorema de la función inversa). Sean $V,W$ espacios de Banach y sea $T\in \mathcal{L}(V,W)$ biyectivo, entonces $T$ tiene inversa $T^{-1}$ y esta es continua.

El teorema de la función inversa también es conocido como el teorema de Banach sobre el operador inverso como puede observarse en el problema 3 de Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Introductory Real Analysis. New York: Dover Publications Inc, 1975. Pág 238. En la página 229 del libro mencionado encontraremos también el:

Teorema Banach: Sea $A$ un operador lineal invertible y acotado que hace un mapeo de un espacio de Banach $E$ en otro espacio de Banach $E_1,$ entonces el operador inverso $A^{-1}$ también es acotado.

También recomendamos visualizar la conferencia
Pichardo, Roberto. «¿Teoría de Conjuntos?, ¡Pero si es bien fácil!». Instituto de Matemáticas de la UNAM. Publicado el 24 de marzo del 2017. YouTube video 59:57
https://www.youtube.com/watch?v=hLFit88zTYk

Roberto Pichardo comienza a describir la Hipótesis del Continuo en el minuto 14 hasta contarnos que esta es equivalente a la igualdad $c:=|\mathbb{R}|={\mathcal{N}}_{\mathcal{1}}.$ El teorema de Baire permite mostrar que

$$\begin{array}{r}{\mathcal{N}}_{\mathcal{1}}\le cov(\mathcal{M})\le c\\ {\mathcal{N}}_{\mathcal{1}}\le non(\mathcal{M})\le c\\ {\mathcal{N}}_{\mathcal{1}}\le add(\mathcal{M})\le c\end{array}$$

Y en consecuencia, esos tres cardinales son iguales.

Más adelante…

Descubriremos que aunque un espacio no sea completo, es posible extenderlo a uno donde sí lo sea. tendremos así la llamada «completación de un espacio métrico.»

Tarea moral

1. ¿Es un conjunto nunca denso un conjunto denso?
2. Da un ejemplo de un conjunto denso que no sea nunca denso.
3. En la demostración del teorema de Baire, argumenta por qué es posible elegir las bolas con el radio indicado.
4. Demuestra que un conjunto $A$ es nunca denso, si y solo si $Int(\bar{A})=\mathrm{\varnothing }.$
5. Prueba que si $x\in X$ con $X$ espacio métrico es un punto de acumulación, entonces $\{x\}$ es nunca denso.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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