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Teoría de los Conjuntos I: Axiomas débiles

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Introducción

A continuación hablaremos acerca de los axiomas débiles de la teoría de los conjuntos. Veremos que a partir de dichos axiomas y el esquema de comprensión, podemos deducir los axiomas de existencia, del par, de unión y de conjunto potencia. Esto resulta ser de interés pues en los sistemas axiomáticos a veces tiene ventajas considerar los axiomas más debiles que siguen dando una teoría equivalente.

Axiomas débiles

Veamos qué nos dicen los axiomas débiles de la teoría de conjuntos:

  • Axioma débil de existencia. Existe un conjunto.
  • Axioma débil del par. Para cualesquiera $a,b$ existe un conjunto $c$ tal que $a\in c$ y $b\in c$.
  • Axioma débil de unión. Para cualquier conjunto $s$ existe un conjunto $U$ tal que si $x\in a$ y $a\in s$, entonces $x\in U$.
  • Axioma débil del conjunto potencia. Para cualquier conjunto $a$ existe un conjunto $p$ tal que si $x\subseteq a$ entonces $x\in p$.

Diferencias entre axiomas débiles y los axiomas

El axioma débil de existencia nos asegura que existe al menos un conjunto, sin embargo, no necesariamente será el conjunto vacío.

Por su parte, para $a$ y $b$ conjuntos el axioma débil del par nos otorga un conjunto cuyos elementos serán $a$ y $b$, pero no necesariamente serán sus únicos elementos como en el caso del axioma del par.

Ejemplo.

Sean $a$ y $b$ conjuntos distintos y no vacíos. El axioma débil del par podría garantizarnos la existencia de, digamos, $c=\set{a, b, \emptyset}$. Tenemos que en efecto $a\in c$ y $b\in c$, sin embargo, $\emptyset\in c$. Por lo que, el conjunto que nos otorga el axioma débil del par no necesariamente resultar ser un par no ordenado que tiene exactamente a $a$ y $b$.

$\square$

El axioma débil de unión nos asegura que para cualquier conjunto $s$ existe un conjunto $U$ cuyos elementos serán los elementos de los elementos de $s$, sin embargo, $U$ puede tener elementos $x$ que no cumplan que $x\in a$ y $a\in s$.

Ejemplo.

Si $s=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, el axioma débil del par podría garantizarnos la existencia de, digamos, $U=\set{\emptyset, b}$ con $b\not=\emptyset$. Pero esto no es lo mismo que la unión como la platicamos. Por un lado, $\emptyset\in \set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\in s$, lo cual coincide con lo que hemos platicado, pero también $b\in s$, que podría darnos un elemento adicional que no teníamos.

$\square$

Finalmente, para el axioma débil del conjunto potencia pasa algo parecido. Si $a$ es un conjunto, el axioma nos otorga un conjunto $p$ cuyos elementos son aquellos que están contenidos en $a$, pero no necesariamente serán los únicos elementos del conjunto $p$.

Ejemplo.

Sea $a=\set{\emptyset}$. Quizás el conjunto garantizado por el axioma débil del conjunto potencia es $p=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$. Notemos que $\emptyset\subseteq a=\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\subseteq a=\set{\emptyset}$. Sin embargo, $\set{\set{\emptyset}}\not\subseteq a$ pues $\set{\emptyset}\in \set{\set{\emptyset}}$ pero $\set{\emptyset}\notin \set{\emptyset}$.

$\square$

Axioma débil de existencia, junto con el esquema de comprensión implican axioma de existencia.

Demostración.

Sea $A$ el conjunto que existe por axioma débil de existencia. Luego, por el esquema de comprensión tenemos que

$\set{x\in A: x\not=x}$

es conjunto.

Veamos que $\set{x\in A: x\not=x}$ no tiene elementos. Supongamos por contradicción que $\set{x\in A:x\not=x}$ tiene al menos un elemento, denotado como $y$. Entonces $y\in A$ y $y\not=y$, lo que es un absurdo pues para cualquier conjunto $z$, $z=z$. Así, $\set{x\in A:x\not=x}$ no tiene elementos, es decir, es el conjunto vacío.

$\square$

Axioma débil del par, junto con el esquema de comprensión, implican axioma del par.

Demostración.

Sean $a$ y $b$ conjuntos. Sea $c$ el conjunto que existe por axioma débil del par. Luego, por el esquema de comprensión tenemos que

$\set{x\in c: x=a\vee x=b}$

es conjunto. Resulta que los únicos elementos de $\set{x\in c:x=a\vee x=b}$ son $a$ y $b$, pues si $z\in \set{x\in c:x=a\vee x=b}$, $z$ es tal que $z\in c$ y $z=a$ o $z=b$.

Observa que al añadir la propiedad de que $x=a$ o $x=b$, eliminamos todos aquellos conjuntos en $c$ que no son $a$ y no son $b$, de esta forma a partir del axioma débil del par obtenemos al conjunto que solo tiene a $a$ y $b$.

$\square$

Axioma débil de unión, junto con el esquema de comprensión, implican axioma de unión.

Demostración.

Sea $a$ un conjunto y sea $d$ el conjunto que nos otorga el axioma débil de unión.

Luego, por el esquema de comprensión tenemos que

$U=\set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}$

es conjunto.

Observemos que los elementos de $\set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}$ coinciden con los elementos del conjunto que nos otorga el axioma de unión. Para ello, debemos verificar que se cumple lo siguiente: $x\in U$ si y sólo si existe $y\in a$ tal que $x\in y$. Así pues, si $x\in U$, entonces, $x\in d$ y existe $y\in a$ tal que $x\in y$, en consecuencia, podemos concluir que si $x\in U$, existe $y\in a$ tal que $x\in y$. Ahora bien, si tenemos un conjunto $x$ tal que existe $y\in a$ tal que $x\in y$, entonces, $x\in d$ por la propiedad que tiene el conjunto $d$ otorgado por el axioma débil de unión. De esta manera, $x\in U$, ya que $x\in d$ y existe $y\in a$ con $x\in y$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a poner en práctica lo que hemos visto en esta sección pues ahora tú tendrás que dar algunos ejemplos distintos a los de esta entrada que nos permitan diferenciar a los axiomas débiles de los axiomas que conocemos de la teoría de los conjuntos:

  • Demuestra que se puede inferir el axioma del conjunto potencia del axioma débil del conjunto potencia y el esquema de comprensión.
  • Da otros ejemplos que muestren la diferencia entre el axioma débil del par y el axioma del par.
  • Da otros ejemplos que muestren la diferencia entre el axioma débil de unión y el axioma de unión.
  • Da otros ejemplos que muestren la diferencia entre el axioma débil del conjunto potencia y el axioma del conjunto potencia.

Más adelante…

En este momento hemos sentado las bases para nuestro curso de teoría de conjuntos. En la siguiente entrada comenzaremos a hablar acerca del complemento de un conjunto. Este nuevo conjunto también se tratará de una operación entre conjuntos. Sus resultados como las leyes de De Morgan, nos serán de gran utilidad para hacer álgebra de conjuntos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: El axioma de buena fundación

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca del axioma de buena fundación. Este axioma nos permitirá mostrar que no existen conjuntos que se pertenezcan a sí mismos, y como una consecuencia, podremos dar otro argumento que muestra que la colección de todos los conjuntos no es un conjunto.

Acerca del axioma

Axioma de buena fundación. Para cualquier conjunto $X$ no vacío, existe $u\in X$ tal que $u\cap X=\emptyset$.

En los siguiente ejemplos no será necesario invocar al axioma de buena fundación pues tendremos a todos sus elementos escritos de manera explícita. Sin embargo, ayudarán a entender qué es lo que el axioma de buena fundación siempre garantiza que existe.

Ejemplos.

  • Sea $A=\set{\emptyset}$. El único elemento que tiene $A$ es $\emptyset$ y en efecto, $A\cap \emptyset=\emptyset$. Esto último ocurre pues no existe ningún conjunto $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in \emptyset$.
  • Consideremos al conjunto $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$. Veamos que existe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$. Sea $u=\emptyset\in B$. Luego, es cierto que $u\cap B=\emptyset$. Por lo tanto, existe $u=\emptyset\in B$ tal que $u$ y $B$ no tienen elementos en común.

$\square$

Observemos que en los ejemplos anteriores, el elemento mencionado por el axioma de buena fundación existe y además es único. Sin embargo, la unicidad de tal elemento no siempre es cierta, como lo demuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Tomemos $C=\set{\set{\emptyset}, \{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}\}}$. Haciendo un análisis de los elementos del conjunto $C$ tenemos lo siguiente:
– Para $\set{\emptyset}\in C$ tenemos que $\set{\emptyset}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}}}=\emptyset$ pues $\emptyset\in\set{\emptyset}$ pero $\emptyset\notin \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}}}$.
– Ahora, para $\set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}}\in C$ ocurre que $\set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}}}=\emptyset$, pues $\emptyset$ y $\set{\set{\emptyset}}$ son los únicos elementos de $\{\emptyset,\{\{\emptyset\}\}\}$ y ninguno de ellos es elemento de $C$. Por lo tanto, todos los elementos de $C$ satisfacen lo mencionado en el axioma de buena fundación, lo que muestra que puede haber más de un elemento con tales propiedades dentro de un mismo conjunto.

$\square$

Conjuntos que no existen

El axioma de buena fundación juega un papel importante para determinar que ciertos conjuntos no pueden existir. Veamos los siguientes resultados:

Teorema. Para cualquier conjunto $x$, no es cierto que $x\in x$. Es decir, ningún conjunto puede pertenecer a sí mismo.

Demostración.
Supongamos que sí existe un conjunto $x$ tal que $x\in x$. Luego, $\set{x}$ es un conjunto por el axioma de par y su único elemento es $x$. Luego, $x\cap \set{x}\not=\emptyset$ pues $x\in x\cap\set{x}$. Esto último contradice al axioma de buena fundación. Dado que la contradicción vino de suponer que existe $x$ tal que $x\in x$, resulta que no existe un conjunto que haga tal cosa.

$\square$

Teorema. Sean $a$ y $b$ conjuntos no vacíos. No existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

Demostración.
Supongamos que sí existe algún ciclo de la forma $a\in b\in a$. Luego, por el axioma de par podemos considerar al conjunto $\set{a,b}$. Dado que $\set{a,b}$ es un conjunto pequeño podemos analizar qué pasa con cada uno de sus elementos:
– Para $a\in\set{a,b}$ tenemos que $a\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $b\in a$ y $b\in \set{a,b}$,
– Si tomamos a $b\in\set{a,b}$ tenemos que $b\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $a\in b$ y $a\in \set{a,b}$.

Por tanto, para cada $u\in\{a,b\}$, $u\cap\{a,b\}\not=\emptyset$, lo que contradice al axioma de buena fundación. Así, no existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

$\square$

Diferencias entre la pertencia y la contención

Vistos estos teoremas, nos tomaremos el tiempo para establecer las diferencias que hay entre la contención y la pertenencia.

Por un lado, $a\subseteq a$ siempre ocurre para cualquier conjunto $a$, mientras que $a\in a$ ya vimos que es imposible.

Vimos que la contención es transitiva (ver Teoría de los Conjuntos I: Axioma de conjunto potencia), es decir, si $a\subseteq b$ y $b\subseteq c$, entonces $a\subseteq c$. Resulta que si $a\in b$ y $b\in c$, entonces $a\in c$ no siempre ocurre, es decir, la pertenencia no es transitiva.

Ejemplo.

Consideremos $a=\set{\emptyset}$, $b= \set{\set{\emptyset}}$ y $c=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$. Tenemos que $a\in b$ y $b\in c$, sin embargo, $a\notin c$.

$\square$

La colección de todos los conjuntos

Anteriormente, probamos con ayuda de la paradoja de Rusell que la colección que tiene como elementos a todos los conjuntos no es un conjunto. En esta sección, reforzaremos esta afirmación utilizando el axioma de buena fundación para demostrar una vez más que está colección no es un conjunto.

Proposición. Para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

Demostración.

Supongamos que $\mathcal{P}(x)\subseteq x$, entonces para cualquier $y\in \mathcal{P}(x)$, $y\in x$. Dado que $x\subseteq x$, entonces $x\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\in x$, lo cual contradice el primer teorema de la sección anterior. Por lo tanto, para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

$\square$

Se puede dar otra prueba del enunciado anterior sin utilizar el axioma de buena fundación.

Proposición. Para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

Demostración.

Sea $X$ un conjunto. Luego, $y=\set{x\in X: x\notin x}$ es un conjunto por esquema de comprensión y está contenido en $X$, por lo que $y\in \mathcal{P}(X)$. Sin embargo, $y\notin X$. En efecto, si $y\in X$ entonces $y\in y$ o $y\notin y$. Si $y\in y$, entonces $y\notin y$ y, si $y\notin y$ entonces $y\in y$. Así, $y\in y$ si y sólo si $y\notin y$, lo cuál es una contradicción. Por lo tanto, $\mathcal{P}(X)\not\subseteq X$.

$\square$

Teorema. La colección de todos los conjuntos no es conjunto.

Demostración.

Supongamos que existe un conjunto $V$ tal que para todo conjunto $x$, $x\in V$. Por axioma de conjunto potencia tenemos que $\mathcal{P}(V)$ es un conjunto. Veamos que $\mathcal{P}(V)\subseteq V$. Si $x\in\mathcal{P}(V)$, entonces, por definición del conjunto potencia, $x$ es un conjunto tal que $x\subseteq V$. En particular, $x$ es un conjunto y, por tanto, $x\in V$. Lo anterior muestra que $\mathcal{P}(V)\subseteq V$, lo cual contradice la proposición anterior.

Por lo tanto, la colección de todos los conjuntos no es un conjunto.

$\square$

La intersección del conjunto vacío

Si bien la definición de la intersección de un conjunto se hizo únicamente para conjuntos no vacíos, ocurre un hecho interesante sí aplicamos esta definición al conjunto vacío. Al contrario de un conjunto no vacío, la intersección del conjunto vacío no es un conjunto y en realidad describe a la colección de todos los conjuntos. Dejamos plasmado esto en la siguiente afirmación.

Afirmación. $\bigcap \emptyset$ no es un conjunto.1

Demostración.

Recordemos que $x\in \bigcap\emptyset$ si y sólo si para cualquier $y$ tal que $y\in \emptyset$, $x\in y$. Sea $x$ un conjunto. Luego, por vacuidad, para todo $y\in\emptyset$, $x\in y$. Consecuentemente, $x\in\bigcap\emptyset$. De acuerdo al último teorema que probamos en esta entrada podemos concluir que $\bigcap\emptyset$ no es un conjunto.

$\square$

Tarea moral

  • Prueba que para $A_0,A_1, A_2,\cdots A_n$ conjuntos, el ciclo $A_0\in A_1\in A_2\in\cdots\in A_n\in A_0$ no existe (Estrictamente hablando, esta demostración requerirá que formalicemos estos «puntos suspensivos». De cualquier forma, intenta dar una demostración inductiva con lo que sabes de este tipo de demostraciones.)
  • Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in A$ tal que $u\cap A=\emptyset$.
  • Sea $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$.
  • Da otro ejemplo de una propiedad que describa a la colección de todos los conjuntos.

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos acerca de los axiomas débiles de la teoría de los conjuntos. Asimismo veremos cómo dichos axiomas junto con el esquema de comprensión implican los axiomas que hemos visto hasta ahora. De modo que la siguiente entrada nos servirá para hacer un recordatorio sobre todo lo que hemos visto hasta este momento.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. Puedes encontrar una justificación similar de este hecho en: Gómez L. C, Introducción a la teoría intuitiva de conjuntos (cardinales y ordinales). Las prensas de ciencias, 2011, p. 4. ↩︎

Teoría de los Conjuntos I: Operaciones entre conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

A continuación definiremos algunas de las operaciones que hay entre conjuntos como lo son la unión, intersección y diferencia. Retomaremos algunos axiomas como el de unión y el esquema de comprensión, para ver que estas operaciones definen nuevos conjuntos.

Unión

Recordemos la definición de la unión de dos conjuntos.

Definición. Si $A$ y $B$ son conjuntos, entonces definimos la unión de $A$ y $B$ como:


$A\cup B=\bigcup\set{A,B}$

o bien,

$A\cup B= \set{x: x\in A\ o\ x\in B}$.

Ejemplos.

  1. Consideremos los conjuntos $A= \set{\emptyset}$ y $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$. Luego, $A\cup B=\bigcup\set{A,B} = \bigcup\set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}=B$.
  2. Ahora, consideremos $A=\set{\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\set{\set{\emptyset}}}$. Tendremos que $A\cup B=\set{\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\set{\emptyset}}}=\set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

Propiedades de la unión

Proposición. Para cualquier conjunto $A$ se tiene que $A\subseteq A\cup B$. Además, $A\cup B= B\cup A$.

Demostración.

Primero veamos que $A\subseteq A\cup B$. Supongamos que $x\in A$, entonces existe $A\in \set{A, B}$ tal que $x\in A$. Esto es, por definición de unión que $x\in \bigcup \set{A,B}=A\cup B$.

La unión es conmutativa

Para ver que $A\cup B=B\cup A$, notemos que $A\cup B=\bigcup\set{A,B}$ y $B\cup A=\bigcup \set{B, A}$. Sabemos que $\set{A, B}=\set{B, A}$ por axioma de extensión. Así, $A\cup B=B\cup A$.

$\square$

Intersección

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. La intersección de dos conjuntos estará definida como sigue:

$A\cap B=\set{x: x\in A\land x\in B}$.

La intersección de dos conjuntos nos permite obtener un conjunto cuyos elementos son aquellos que se encuentran en ambos conjuntos. En la imagen que proporcionamos arriba podemos ver que la intersección nos deja solamente a la manzana y la pera, pues están en ambos conjuntos y descarta al plátano y la naranja pues solo viven en el primer conjunto. Lo mismo hace con la fresa y la sandía que solo viven en el segundo conjunto.

Proposición. $A\cap B$ es un conjunto.

Demostración. Sean $A$ y $B$ conjuntos.

Definamos la propiedad «$P(x): x\in B$». Por el esquema de comprensión se tiene que

$\set{x\in A:x\in B}$

es un conjunto.

Luego, $\set{x\in A:x\in B}=A\cap B$. En efecto, $z\in A\cap B$ si y sólo si $z\in A$ y $z\in B$ si y sólo si $z\in \set{x\in A:x\in B}$.

Por lo tanto, $A\cap B$ es conjunto.

$\square$

Ejemplos.

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\cap B=\emptyset$ esto último debido a que no existe ningún elemento $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in\set{\set{\emptyset}}$ al mismo tiempo. De ocurrir, tendriamos que $x=\emptyset$ y $x=\set{\emptyset}$ y por lo tanto, $\emptyset=\set{\emptyset}$ lo cual sabemos que no ocurre. Por lo tanto, $A\cap B=\emptyset$.
  2. Sean $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$ conjuntos. Notemos que en este ejemplo el único elemento que está tanto en el conjunto $A$ como en el conjunto $B$ es $x=\emptyset$. De este modo, $A\cap B=\set{\emptyset}$.

$\square$

También podemos definir intersecciones arbitrarias, no sólo de dos conjuntos.

Definición. Sea $A$ un conjunto no vacío, definimos a la intersección de $A$ como la colección:

$\set{x: \forall y\in A(x\in y)}$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$, tenemos que la intersección de $A$ es $\emptyset$. En efecto, esto pasa ya que no existe ningún elemento $x$ que pertenezca a todos los elementos de $A$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $X=\set{A,B}$ con $A$ y $B$ conjuntos. Resulta que $\bigcap X= \bigcap \set{A, B}= A\cap B$. En efecto, $x\in \bigcap X$ si y sólo si para todo $y\in X$, $x\in y$ si y sólo si $x\in A$ y $x\in B$.

$\square$

El hecho de que la unión arbitraria es conjunto es resultado del axioma de la unión. No hay un axioma de la intersección, por lo que demostraremos que la intersección de un conjunto $A$ es un conjunto, siempre que $A$ no sea vacío.

Proposición. Para todo $A\not=\emptyset$, la intersección de $A$ es un conjunto.1

Demostración:

Sea $A$ conjunto no vacío, entonces $A$ tiene al menos un elemento. Sea $z\in A$, tenemos que $\set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$ es conjunto por esquema de comprensión.

Resulta que $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$ si y sólo si $a\in y$ para todo $y\in A$. En efecto, si $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$, entonces $a\in z$ y $\forall y\in A$, $a\in y$. Entonces $a\in y$ para todo $y\in A$.

Ahora, si $a\in y$ para todo $y\in A$, en particular $a\in z$ pues $z\in A$. Por tanto, $a\in \set{x\in z: \forall y\in A(x\in y)}$.

$\square$

Si observamos, para realizar la demostración anterior usamos el hecho de que $A\not=\emptyset$, por lo que podríamos preguntarnos qué pasa si $A$ es vacío. Veremos esto con detalle en la siguiente entrada.

Ahora que hemos probado que la intersección de $A$ es un conjunto cuando $A$ es no vacío, le asignaremos una notación la cual estará dada por $\bigcap A$.

Propiedades de la intersección

Teorema. Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\cap B\subseteq A$,
  2. $A\cap A=A$,
  3. $A\cap B=B\cap A$.

Demostración.

  1. Sea $x\in A\cap B$. Veamos que $x\in A$.
    Como $x\in A\cap B$ tenemos por definición de intersección que $x\in A$ y $x\in B$. En particular, $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap B\subseteq A$.
  2. Tomemos $x\in A\cap A$. Veamos que $x\in A$.
    Que $x\in A\cap A$ es equivalente a decir que $x\in A$ y $x\in A$, lo cual pasa si y sólo si $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap A=A$.
  3. $A\cap B=B\cap A$ pues $x\in A\cap B$ arbitrario si y sólo si $x\in A$ y $x\in B$, si y sólo si $x\in B$ y $x\in A$, si y sólo si $x\in B\cap A$.

$\square$

Diferencia

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. La diferencia de $A$ con $B$ estará definida como sigue:

$A\setminus B=\set{x\in A: x\notin B}$.

Por esquema de comprensión $A\setminus B$ es conjunto.

La diferencia entre dos conjuntos nos permite obtener un conjunto cuyos elementos se encuentra en el primero pero no el segundo conjunto. En la imagen anterior podemos ver que la diferencia nos deja solamente al plátano y la naranja, pues el plátano y la naranja se encuentran en el primer conjunto, pero no en el segundo. La manzana y la pera no forma parte del conjunto final pues vive en ambos conjuntos. La fresa no es elemento de la diferencia pues ni siquiera es elemento del primer conjunto.

Ejemplos.

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\setminus B=\set{\emptyset}$ pues el único elemento que cumple estar en $A$ y no pertenecer al conjunto $B$ es $\emptyset$.
  2. Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$. Luego,
    $A\setminus B=\set{x\in A:x\notin B}=\set{x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}: x\notin\set{\emptyset}}= \{\set{\emptyset}\}$.

Propiedades de la diferencia

Teorema. Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\setminus \emptyset= A$,
  2. $A\setminus A=\emptyset$,
  3. $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.

Demostración.

  1. Sea $x\in A\setminus \emptyset$. Entonces $x\in A$ y $x\notin \emptyset$. En particular $x\in A$, por lo tanto $A\setminus \emptyset\subseteq A$.
    Luego, supongamos que $x\in A$. Como $x\notin \emptyset$ es verdadero para cualquier conjunto $x$, tenemos que $x\in A$ y $x\notin \emptyset$ es verdadero. Por lo tanto, $x\in A\setminus \emptyset$ y así $A\subseteq A\setminus \emptyset$.
    De lo anterior tenemos que $A=A\setminus \emptyset$.
  2. Supongamos que $A\setminus A\not=\emptyset$, es decir, existe al menos un elemento $x\in A\setminus A$. Entonces $x\in A$ y $x\notin A$, lo cual no puede ocurrir. Dado que la contradicción provino de suponer que $A\setminus A\not=\emptyset$, concluimos que $A\setminus A=\emptyset$.
  3. Veamos que $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.
    $\subseteq$] Sea $x\in A\setminus B$, entonces $x\in A$ y $x\notin B$. Luego, como $x\notin B$ entonces $x\notin A$ o $x\notin B$ es verdadero. Lo que equivale a decir que $x\notin (A\cap B)$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin (A \cap B)$ y así, $A\setminus B\subseteq A\setminus(A\cap B)$.
    $\supseteq$] Sea $x\in A\setminus (A\cap B)$, entonces $x\in A$ y $x\notin (A\cap B)$. Lo que equivale a decir que $x\in A$ y ($x\notin A$ o $x\notin B$). Dado que $x\notin A$ no puede ocurrir pues $x\in A$, entonces $x\notin B$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin B$ y así, $A\setminus(A\cap B)\subseteq A\setminus B$.
    Por lo tanto, $A\setminus(A\cap B)= A\setminus B$.

$\square$

Proposición. $A\setminus B=\emptyset$ si y sólo si $A\subseteq B$.

Demostración.

Supongamos que $A\setminus B=\emptyset$ y supongamos que $A\nsubseteq B$ en busca de una contradicción. Como $A\nsubseteq B$, existe $x\in A$ tal que $x\notin B$, y por lo tanto, $x\in A\setminus B$, lo que contradice que $A\setminus B=\emptyset$.
Por lo tanto, $A\subseteq B$.

Ahora, si $A\subseteq B$, entonces para cualquier $x\in A$, $x\in B$, por lo que no es posible que $A\setminus B$ sea no vacío.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te servirán para poner en práctica los conocimientos que has adquirido en este sección, en la siguiente lista podrás probar las siguientes propiedades de la unión, intersección y diferencia de conjuntos:

  1. Prueba que $A\cap \emptyset=\emptyset$ para todo conjunto $A$.
  2. Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos:
    – $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$.
    – $A\cap (B\cap C)= (A\cap B)\cap C$.
  3. Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos:
    – $A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap(A\cup C)$,
    – $A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup(A\cap C)$.
  4. Si $A\subseteq C$ y $B\subseteq D$ entonces $A\cap B\subseteq C\cap D$.
  5. Demuestra que $A\setminus B=A$ si y sólo si $A\cap B=\emptyset$.
  6. Demuestra a partir de los axiomas que en efecto si $A$ es un conjunto no vacío, entonces $\cap A$ es conjunto.

Más adelante…

En la siguiente entrada retomaremos la definición de intersección de conjuntos y mencionaremos el axioma de buena fundación. Además abordaremos el tema de la colección de todos los conjuntos apoyados de este último axioma. Finalmente, veremos que la intersección del conjunto vacío resulta ser la colección de todos los conjuntos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. También puedes consultar la demostración de este resultado en: Amor, J. A., Teoría de Conjuntos para Estudiantes de Ciencias, México: Serv. Editoriales Fac. Ciencias, UNAM, 1997, p. 17. ↩︎

Teoría de los Conjuntos I: Axioma de conjunto potencia

Por Gabriela Hernández Aguilar

4 respuestas

Introducción

En esta nueva entrada recordaremos el concepto de contención y destacaremos su diferencia con el concepto de pertenencia. También abordaremos el axioma del conjunto potencia, a partir de este axioma podremos trabajar con los subconjuntos de un conjunto.

Definición de contención y algunas propiedades

Primero vamos a recordar la definición de contención.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Diremos que $A$ está contenido en $B$, en símbolos $A\subseteq B$, si para todo $x\in A$ se tiene $x\in B$.

Proposición. Sean $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Las siguientes fórmulas son verdaderas:

  1. $\emptyset\subseteq A$.
  2. $A\subseteq A$.
  3. Si $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$, entonces $A\subseteq C$.

Demostración.

  1. Para demostrar que $\emptyset\subseteq A$, observemos que para cualquier $x\in \emptyset$, se cumple que $x\in A$. Esto es cierto por vacuidad, pues no existe $x$ en $\emptyset$ que no pertenezca a $A$.
  2. Dado que para cualquier conjunto $A$, tenemos que $A=A$, entonces se cumple que $x\in A$ si y sólo si $x\in A$. En particular, si $x\in A$ entonces $x\in A$, esto es $A\subseteq A$.
  3. Supongamos que $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$. Veamos que $A\subseteq C$.
    Sea $x\in A$, entonces, como $A\subseteq B$, por la definición de contención, se sigue que $x\in B$.
    Luego, como $x\in B$ y $B\subseteq C$, entonces $x\in C$. Por lo tanto, $A\subseteq C$.

$\square$

Con estos resultados podremos decir que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, hasta de él mismo, como lo verifica la segunda propiedad. Finalmente, con la propiedad tres diremos que la contención es transitiva.

Potencia de un conjunto

Axioma del conjunto potencia. Para cualquier conjunto $X$ existe un conjunto $S$ tal que $a\in S$ si y sólo si $a\subseteq X$.

Al igual que con los conjuntos que nos otorgan los axiomas anteriores, el conjunto $S$ del axioma de conjunto potencia es único. Para que practiques las ideas que hemos visto, esto quedará como ejercicio.

Definición. Sea $A$ un conjunto, al conjunto que obtenemos a partir del axioma del conjunto potencia le llamaremos el conjunto potencia de $A$ y lo denotaremos por $\mathcal{P}(A)$.

Ejemplos.

  1. Para el conjunto $\emptyset$, tenemos que $S=\set{\emptyset}$. Dado que $\emptyset\subseteq \emptyset$ y $\emptyset$ es el único conjunto que satisface estar contenido en $\emptyset$, entonces $S=\set{\emptyset}$.
  2. Para el conjunto $\set{\emptyset}$ tenemos que $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$. En efecto, como $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\subseteq\set{\emptyset}$ y son los únicos que satisfacen la propiedad de estar contenidos en $\set{\emptyset}$, entonces $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
  3. Ahora, para el conjunto $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\emptyset}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}\subseteq S$.
    En la tarea moral deberás probar que $\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ son los únicos subconjuntos de $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, y por lo tanto $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.

$\square$

Propiedades del conjunto potencia

Proposición. Sean $A$ y $B$ conjuntos, las siguientes fórmulas son ciertas:
a) Si $A\subseteq B$, entonces $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$,
b) $A\subseteq B$ implica que $\bigcup A\subseteq \bigcup B$,
c) $\bigcup\mathcal{P}(A)= A$,
d) $\mathcal{P} (A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

Demostración.
a) Supongamos que $A\subseteq B$. Sea $x\in \mathcal{P}(A)$, por definición de potencia tenemos que $x\subseteq A$. Luego, como $A\subseteq B$ se sigue así por transitividad de la contención tenemos que $x\subseteq B$. Por lo tanto, $x\in\mathcal{P}(B)$.
Por lo tanto, $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$.

b) Supongamos que $A\subseteq B$. Sea $x\in \bigcup A$, se sigue por definición de unión que existe $y\in A$ tal que $x\in y$. Como $A\subseteq B$, entonces $y\in B$ y como $x\in y$, entonces $x\in \bigcup B$. Por lo tanto, $\bigcup A\subseteq \bigcup B$.

c) $\subseteq$] Tomemos $x\in \bigcup \mathcal{P}(A)$ y mostremos que $x\in A$. Que $x\in \bigcup\mathcal{P}(A)$ implica que existe $y\in \mathcal{P}(A)$ tal que $x\in y$. Por definición de conjunto potencia tenemos que $y\subseteq A$. De este modo, $x\in y\subseteq A$, de donde, $x\in A$ lo que prueba que $\bigcup \mathcal{P}(A)\subseteq A$.

$\supseteq$] Dado que $A\subseteq A$ entonces $A\in \mathcal{P}(A)$ para cualquier conjunto $A$. Por la última proposición de la entrada anterior, tenemos que si $A\in \mathcal{P}(A)$, entonces $A\subseteq \bigcup \mathcal{P}(A)$.

Por lo anterior tenemos que $A=\bigcup \mathcal{P}(A)$.

d) Sea $x\in \mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)$. Se sigue que $x\in \mathcal{P}(A)$ o $x\in \mathcal{P}(B)$. Evaluemos los dos casos:
– Si $x\in\mathcal{P}(A)$, entonces $x\subseteq A$ y como $A\subseteq A\cup B$, por transitividad se sigue que $x\subseteq A\cup B$ y así, $x\in \mathcal{P}(A\cup B)$.
– Si $x\in\mathcal{P}(B)$, entonces $x\subseteq B$ y como $B\subseteq A\cup B$, entonces por transitividad $x\subseteq A\cup B$ y así, $x\in \mathcal{P}(A\cup B)$.
Concluimos que $\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a distinguir la diferencia entre pertenencia y contención. Así mismo comenzarás a plantear algunos contraejemplos para probar la falsedad de algunos enunciados sobre el conjunto potencia:

  • Demuestra que los únicos subconjuntos de $\set{\emptyset}$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$.
  • Demuestra que $\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ son los únicos subconjuntos de $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
  • Di si el siguiente enunciado es verdadero o falso: Si $A\in B$ y $B\in C$, entonces $A\in C$. (Argumenta tu respuesta).
  • Calcula $\mathcal{P}(\set{\emptyset,\set{\emptyset},\set{\emptyset,\set{\emptyset}}})$.
  • Argumenta por qué para cualquier conjunto $A$, se tiene que $\mathcal{P}(A)\not=\emptyset$.
  • Da un contraejemplo para ver que $\mathcal{P} (A)\cup\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cup B)$ es falso.
  • Da un contraejemplo para ver que $\mathcal{P}(\bigcup A)= A$ es falso.
  • Demuestra que $\mathcal{P}(\emptyset)=\set{\emptyset}$.
  • Demuestra que el conjunto potencia garantizado por el axioma del conjunto potencia es único.

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos uso de los conceptos que hemos visto hasta ahora, demostraremos algunos resultados sobre unión y definiremos nuevas operaciones entre conjuntos las cuales serán unión, intersección y diferencia. Estas operaciones nos otorgarán más resultados y estudiaremos algunas de sus propiedades.

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Teoría de los Conjuntos I: Axioma del par y axioma de unión

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada abordaremos algunos axiomas de construcción: el axioma de unión y el axioma del par. Estos, junto al esquema de comprensión nos permitirán construir un montón de conjuntos nuevos. A partir de esta entrada, utilizaremos con mayor frecuencia el conjunto vacío, hasta ahora, el único conjunto que conocemos.

Axioma del par

El primer axioma que nos permitirá construir nuevos conjuntos es el axioma del par.

Axioma del par. Sean $a$ y $b$ conjuntos arbitrarios, existe $c$ un conjunto cuyos únicos elementos son $a$ y $b$.

El axioma del par nos permite construir pares no ordenados. Dados los conjuntos $a$ y $b$ resulta que $\set{a,b}=\set{b,a}$. En el caso de que $a=b$, tenemos que $c=\set{a,a}=\set{a}$, a este último conjunto le llamaremos conjunto unitario de $a$.

Ejemplo.

Consideremos al conjunto vacío. Por el axioma del par, tenemos que $\set{\emptyset}$ es conjunto. Luego, como $\set{\emptyset}$ es conjunto si volvemos a aplicar el axioma del par tendremos que $\set{\set{\emptyset}}$ es conjunto. Si aplicamos iteradamente el axioma del par tendremos que $\set{\dots \set{\emptyset}\dots}$ es conjunto.

$\square$

Si observas con cuidado hemos construido muchos conjuntos que constan de un solo elemento. Por lo que podemos preguntarnos si el axioma del par nos permite construir nuevos conjuintos o todos los que hemos obtenido son el mismo. La respuesta es que no. La proposición que sigue nos ayudará a probar que $\emptyset$ es distinto de $\set{\emptyset}$.

Proposición. $\emptyset\not= \set{\emptyset}$.

Demostración.

Para probar que $A\not=B$ basta ver que $A\not\subseteq B$ o $B\not\subseteq A$.

Para mostrar que $\set{\emptyset}\not\subseteq\emptyset$ tenemos que exhibir un conjunto $x\in\set{\emptyset}$ tal que $x\notin\emptyset$. Tenemos que $\set{\emptyset}$ es un conjunto que tiene como único elemento al conjunto $\emptyset$, es decir, $\emptyset\in\set{\emptyset}$. Luego, como $\emptyset\notin\emptyset$, se sigue que $\set{\emptyset}\not\subseteq\emptyset$.

$\square$

En la tarea moral será tu turno de probar que $\set{\emptyset}\not=\set{\set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\not=\set{\set{\set{\emptyset}}}$,…

Es importante poder ir simplificando nuestra notación. Como ya tenemos dos conjuntos que son distintos, les pondremos un nombre especial.

Definición. Llamaremos $0$ a $\emptyset$ y $1$ a $\{\emptyset\}$.

Aquí estamos usando los símbolos $0$ y $1$, que seguramente conoces mejor como números que como conjuntos. En los ejercicios de esta entrada definiremos también quiénes son $2$, $3$ y $4$. Pero, ¡no te apresures! Todavía no podemos definir a todos todos los naturales como conjuntos. Esto lo formalizaremos hasta la tercera unidad.

Por ahora podemos preguntarnos de que manera podemos definir al $3$ y $4$ pues el axioma del par solo nos permite construir conjuntos de a lo más dos elementos, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$ conjuntos. Por axioma del par tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ es conjunto.

Ahora, podemos considerar a los conjuntos $\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, tenemos que $\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ es conjunto.

Luego, $\set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$ también lo es.

De manera que, podemos construir conjuntos más y más complejos con el axioma del par pero siempre tendrán a lo más dos conjuntos como elementos.

$\square$

Axioma de la unión

Axioma de la unión. Para cualquier conjunto $A$, existe un conjunto $U$ tal que $x\in U$ si y sólo si existe $y\in A$ tal que $x\in y$.

Ejemplo.

Consideremos los conjuntos $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$, luego por axioma del par tenemos que $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ es conjunto. Veamos quién es $U$ para el conjunto $A$. Resulta que en este caso, $U=\set{\emptyset}$.

En efecto: si $x\in U$ entonces $x\in y$ para algún $y\in A$. Luego, los únicos elementos de $A$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$. Así, $x\in\emptyset$ o $x\in\set{\emptyset}$.

Si $x\in\emptyset$ entonces $x\in\set{\emptyset}$ por vacuidad. La otra posibilidad es que $x\in\set{\emptyset}$. En ambos casos, $x\in\set{\emptyset}$ y, por tanto, $U\subseteq\set{\emptyset}$.

Luego, si $x\in\set{\emptyset}\in A$ se sigue por definición de $U$ que $x\in U$. Así, $\set{\emptyset}\subseteq U$. De esta manera podemos concluir que $U=\set{\emptyset}$.

$\square$

Si ponemos atención al ejemplo anterior, va a resultar que los elementos del conjunto $U$ son los elementos de los elementos de $A$. $A$ tiene como elementos a $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$, el conjunto vacío no tiene elementos por lo que el único elemento de $U$ es el elemento de $\set{\emptyset}$ que es $\emptyset$.

El axioma de la unión nos va a permitir construir conjuntos con más de dos elementos. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos a los conjuntos $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\set{\set{\emptyset}}}$. Por axioma del par, $A= \set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\set{\emptyset}}}}$ es conjunto. Luego, $U$ para el conjunto $A$ es $U=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$. Veamos que se dan ambas contenciones.

$\subseteq$] Sea $x\in U$, entonces existe $y\in A$ tal que $x\in y$. En este caso, los únicos elementos de $A$ son $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\set{\set{\emptyset}}}$, por lo que $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ o $x\in \set{\set{\set{\emptyset}}}$.

  • Si $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, entonces $x=\emptyset$ o $x=\set{\emptyset}$. En el caso de que $x=\emptyset$, se sigue que $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$ y en caso de que $x=\set{\emptyset}$ ocurre también que $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.
  • Si $x\in \set{\set{\set{\emptyset}}}$, entonces $x=\set{\set{\emptyset}}$ y $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

Así, $U\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

$\supseteq$] Sea $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$. Entonces $x=\emptyset$ o $x=\set{\emptyset}$ o $x=\set{\set{\emptyset}}$.

  • Si $x=\emptyset$, entonces $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y, dado que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$, se sigue por definición de $U$ que $x\in U$.
  • Si $x=\set{\emptyset}$, entonces $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y nuevamente $x\in U$ por definición, ya que $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\in A$.
  • Si $x=\set{\set{\emptyset}}$, entonces $x\in \set{\set{\set{\emptyset}}}$ y como $\set{\set{\set{\emptyset}}}\in A$, $x\in U$.

Por lo tanto, $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}\subseteq U$.

$\square$

Definición. Sea $A$ un conjunto, el conjunto que nos otorga el axioma de la unión es único debido al axioma de extensión. Le llamaremos unión de $A$ y lo denotaremos como $\bigcup A$.

La definición de unión se puede particularizar a cuando queremos unir solamente dos conjuntos. Esto lo ponemos en una definición especial pues se usa muy frecuentemente.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Definimos al conjunto $A\cup B=\bigcup\set{A,B}$.

En la siguiente observación mostramos que $A\cup B$ se puede describir por medio de la colección $\set{x:x\in A\vee x\in B}$.

Observación. $x\in A\cup B$ si y sólo si $x\in A$ o $x\in B$.

Demostración.

Sea $x\in A\cup B$. Entonces, $x\in z$ para algún $z\in\set{A,B}$. Si $z=A$, entonces $x\in A$ y, si $z=B$, entonces, $x\in B$. Si ahora suponemos que $x\in A$ o $x\in B$, $x\in z$ para algún $z\in\set{A,B}$, por lo que $x\in A\cup B$.

$\square$

Ejemplo.

Consideremos ahora a los conjuntos $A= \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$ y $B= \set{\set{\set{\emptyset}}}$ construidos con el axioma de par. Tenemos que $A\cup B= \bigcup \set{\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}, \set{\set{\set{\emptyset}}}}= \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

A continuación vamos a demostrar que los elementos de un conjunto $S$ se quedan contenidos en la unión de $S$.

Proposición. Sea $A$ un conjunto tal que $A\in S$, entonces $A\subseteq \bigcup S$.

Demostración.
Supongamos que $A\in S$ y sea $x\in A$, tenemos que $x\in \bigcup S$. En efecto, para $x\in A$ arbitrario existe $y\in S$ tal que $x\in y$, a saber $y=A$. Por lo tanto, $A\subseteq S$.

$\square$

Ejemplo.

Consideremos al conjunto $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$. Resulta que $\bigcup S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.

Los elementos de $S$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ en este ejemplo se cumple que $\emptyset\subseteq \bigcup S$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq\bigcup S$.

$\square$

Tarea moral

  • Demuestra que $\set{\emptyset}\not=\set{\set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\not=\set{\set{\set{\emptyset}}}$,…
  • Sean $A$ y $B$ conjuntos, prueba que $A=B$ si y sólo si $\set{A}=\set{B}$.
  • Prueba que $\set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}}}$ es conjunto.
  • Calcula $\bigcup\set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\set{\emptyset}}}$.
  • Definimos $2=1\cup \{1\}$, $3=2\cup \{2\}$ y $4=3\cup \{3\}$.
    • Justifica mediante los axiomas que $2,3,4$ en efecto son conjuntos.
    • Verifica que $4=\{0,1,2,3\}$.
    • Muestra que $0,1,2,3,4$ son todos ellos conjuntos diferentes entre sí.

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos con el axioma del conjunto potencia, el cual nos permitirá hablar acerca del conjunto de subconjuntos de un conjunto. Con este axioma y los que hemos visto en las entradas anteriores tendremos las herramientas suficientes para abordar el álgebra de conjuntos y probar algunas contenciones importantes entre conjuntos.

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