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Álgebra Lineal I: Producto de matrices y composición de sus transformaciones

Por Julio Sampietro

4 respuestas

Introducción

En una entrada previa estudiamos el vínculo entre las matrices y las transformaciones lineales. Más precisamente vimos que existe una biyección entre ambos conjuntos, de manera que tener una matriz de $m\times n$ con entradas en algún campo $F$ es lo mismo que tener una transformación lineal $\varphi: F^n \to F^m$. En esta entrada, estudiaremos cómo esta correspondencia se comporta respecto a las dos operaciones ‘naturales’ en ambos: el producto de matrices y la composición de funciones.

Veremos que multiplicar matrices se corresponde con componer sus transformaciones lineales y vice versa. Esto puede explicar algunos fenómenos de la multiplicación de matrices que pueden ser extraños al principio, como la falta de conmutatividad ($AB\neq BA$) entre otros.

El producto de matrices

Sean $m,n,p$ números naturales positivos y sean $A\in M_{m,n}(F), B\in M_{n,p}(F)$ dos matrices. Es importante observar que el número de columnas de $A$ es el mismo que el de renglones de $B$. Esto es fundamental para que el producto de matrices esté definida.

Por nuestra correspondencia previa, sabemos que tanto a $A$ como a $B$ les corresponden transformaciones lineales

\begin{align*}
\varphi_{A}: F^n\to F^m \hspace{3mm} \varphi_B: F^p\to F^n
\end{align*}

Recuerda que $\varphi_A$ es la transformación que manda a $X\in F^n$ en $AX\in F^m$ y $\varphi_B$ es la transformación que manda a $Y\in F^p$ en $BY\in F^n$.

Podemos entonces preguntarnos por la composición

\begin{align*}
\varphi_A\circ \varphi_B: F^{p}\to F^m \hspace{5mm} (\varphi_A\circ \varphi_B)(X)= \varphi_A\left(\varphi_B(X)\right),
\end{align*}

la cual primero manda a un $X$ de $F^{p}$ a $BX$, y luego a este lo manda a $A(BX)$.

Como $\varphi_A$ y $\varphi_B$ son lineales, podemos verificar que la composición también lo es. Para verificar esto, si $X,Y\in F^{p}$ son arbitrarios así como $\alpha, \beta\in F$, entonces

\begin{align*}
(\varphi_A\circ \varphi_B)\left(\alpha X+\beta Y\right) &= \varphi_A\left(\varphi_B\left(\alpha X+\beta Y\right) \right)\\
&= \varphi_A\left( \alpha \varphi_B(X)+\beta \varphi_B(Y)\right)\\
&=\alpha\varphi_A\left(\varphi_B(X)\right) +\beta \varphi_A\left(\varphi_B(Y)\right)\\
&= \alpha \cdot (\varphi_A\circ \varphi_B) (X) +\beta\cdot (\varphi_A\circ \varphi_B)(Y) .
\end{align*}

Aquí la segunda igualdad se debe a que $\varphi_B$ es lineal y la tercera porque $\varphi_A$ lo es. En el resto de las igualdades estamos usando la definición de la composición.

Como $\varphi_A\circ \varphi_B$ es una transformación lineal, por el teorema de correspondencia entre matrices y transformaciones lineales, debe existir una única matriz $C\in M_{m,p}(F)$ tal que

\begin{align*}
\varphi_A\circ \varphi_B = \varphi_C.
\end{align*}

Esto motiva la siguiente (importante) definición:

Definición. El producto de dos matrices $A\in M_{m,n}(F)$ y $B\in M_{n,p}(F)$ (de nuevo, observamos que el número de renglones de $B$ y el número de columnas de $A$ deben coincidir) es la única matriz $AB\in M_{m,p}(F)$ tal que

\begin{align*}
A(B(X))=(AB)(X)
\end{align*}

Para todo $X\in F^p$.

Un truco para acordarse de la condición de compatibilidad en renglones y columnas es pensar en términos de transformaciones lineales: Sabemos que dos funciones $f$ y $g$ se pueden componer solo si el codominio de una es el dominio de la otra.

Observación. Como mencionamos previamente, podemos identificar a $F^n$ con el espacio $M_{n,1}(F)$ (esto es especialmente claro cuando escribimos un vector en columna: Tenemos $n$ renglones y una sola columna). Así, si a un vector $X\in F^n$ lo identificamos con su matriz $\widetilde{X}\in M_{n,1}(F)$ entonces podemos considerar el producto $A\widetilde{X}\in M_{m,1}(F)$, que resulta (al identificar de vuelta con $F^m$) coincide con $AX$. Es decir, pensar la aplicación $AX$ como una transformación o como un producto de matrices no afecta el resultado, aunque es recomendable (para nuestros propósitos) pensarlo como una transformación lineal.

Calculando el producto de matrices

Si bien la definición que dimos del producto tiene sentido desde una perspectiva un poco más abstracta, queremos poder calcular explícitamente el producto $AB$ sabiendo las entradas de $A$ y de $B$.

Para esto, sean $A=[a_{ij}]$ y $B=[b_{ij}]$ con tamaños como en la definición. Sea $e_1, \dots, e_p$ la base canónica de $F^p$. Entonces $(AB) e_j$ es la $j$-ésima columna de $AB$ (por una observación que hicimos aquí). Denotaremos por $C_1(A), \dots, C_n(A)$ y $C_1(B), \dots, C_p(B)$ a las columnas de $A$ y las de $B$ respectivamente. Usando la misma observación, podemos escribir

\begin{align*}
A(Be_j)&=AC_j(B)\\
&= b_{1j}C_1(A)+b_{2j}C_2(A)+\dots + b_{nj} C_n(A).
\end{align*}

Para la segunda igualdad, estamos usando la segunda parte de la observación de esta entrada. Por definición del producto, tenemos que $A(Be_j)=(AB)e_j=C_j(AB)$. Juntando esto con la igualdad anterior, tenemos

\begin{align*}
C_j(AB)= b_{1j} C_1(A)+b_{2j} C_2(A)+\dots + b_{nj} C_n(A).
\end{align*}

Estamos muy cerca de encontrar cualquier entrada $(i,j)$ del producto. Notamos que esta entrada está en la fila $i$ de $C_j(AB)$. Haciendo las operaciones entrada a entrada, obtenemos entonces que

\begin{align*}
(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j} +\dots +a_{in}b_{nj}.
\end{align*}

La discusión anterior prueba el siguiente resultado.

Teorema. (Regla del producto) Sean $A=[a_{ij}]\in M_{m,n}(F)$ y $B=[b_{ij}]\in M_{n,p}(F)$. Entonces la $(i,j)$-ésima entrada de $AB$ está dada por

\begin{align*}
(AB)_{ij}= \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} .
\end{align*}

Hubiéramos podido dar como definición de $AB$ a la matriz con las entradas que especifica el teorema, pero esto hubiera escondido la motivación detrás de la definición: A ojos del álgebra lineal, las matrices «son» transformaciones lineales y el producto, su composición.

Lo más importante a recuperar de lo que hemos platicado hasta ahora es que el producto $AB$ se puede pensar de cualquiera de las dos formas siguientes:

  • Como la transformación lineal que corresponde a la composición de las transformaciones de $A$ y $B$.
  • Como la matriz cuyas entradas están dadas por la regla del producto.

Ambas formas de ver al producto tienen ventajas y desventajas. Usaremos una o la otra según nos convenga.

Ejemplos de producto de matrices

Ejemplo 1. Si $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ son matrices en $M_2(F)$, entonces el producto existe y por el teorema tenemos que

\begin{align*}
AB= \begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11} b_{12}+ a_{12}b_{22}\\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} +a_{22}b_{22}
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Observa que si $C_1$ y $C_2$ son las dos columnas de $B$, entonces las dos columnas de $AB$ son $AC_1$ y $AC_2$. Esta es una buena forma de recordar cómo hacer el producto.

$\triangle$

Ejemplo 2. Si $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ entonces el producto $AB$ es una matriz de tamaño $3\times 2$, y está dada por

\begin{align*}
AB=\begin{pmatrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12}+ a_{12} b_{22}\\
a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22}\\
a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21} & a_{31} b_{12} +a_{32} b_{22}
\end{pmatrix}.
\end{align*}

$\triangle$

Ejemplo 3. Tomando en cuenta el ejemplo anterior con las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4\\ 5& 6\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 1& -1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ entonces

\begin{align*}
AB=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 5 \\ 5 &7 \end{pmatrix}.
\end{align*}

$\triangle$

Observa que no podemos hacer el producto $BA$, pues la cantidad de columnas de $B$ es $2$, la cantidad de filas de $A$ es $3$, y estos números no coinciden.

Ejemplo 4. Si $A=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2& 0\end{pmatrix}$ entonces podemos calcular tanto $AB$ como $BA$ y obtenemos

\begin{align*}
AB=\begin{pmatrix} 0 & 0\\
0 & 0 \end{pmatrix}=O_2 \hspace{5mm} \text{ y } \hspace{5mm} BA=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0\end{pmatrix}.
\end{align*}

$\triangle$

Propiedades básicas del producto

El último ejemplo de la sección pasada refleja dos cosas importantes del producto de matrices:

  • El producto no es conmutativo. Es decir, aunque existan ambos $AB$ y $BA$, estos no tienen por qué coincidir.
  • Aunque $A$ y $B$ no sean cero, su producto si puede serlo. En el ejemplo $A$ y $B$ eran distintas de cero pero $AB=O_2$.

Definición. Dos matrices $A,B\in M_n(F)$ conmutan si $AB=BA$.

Entonces uno tiene que tener cuidado cuando realiza manipulaciones algebraicas con matrices, pues muchas propiedades a las que estamos acostumbrados en campos dejan de ser ciertas.

Ejemplo. En un campo, uno generalmente usa las reglas para desarrollar cuadrados:

\begin{align*}
(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2, \\
(a+b)(a-b)&=a^2-b^2 .
\end{align*}

Sin embargo, trabajando con matrices estas identidades dejan de ser ciertas, y son reemplazadas por una versión menos sencilla:

\begin{align*}
(A+B)^2&= A^2+AB+BA+B^2,
\\(A+B)(A-B)&=A^2-AB+BA-B^2.
\end{align*}

Estas coinciden con las correspondientes en el campo solo si $A$ y $B$ conmutan.

$\triangle$

Sin embargo, hay buenas noticias. Aparte de la conmutatividad, muchas otras propiedades algebraicas deseables se preservan, y las resumimos en la siguiente proposición:

Proposición. La multiplicación de matrices satisface las siguientes:

  1. Asociatividad: Se cumple que $(AB)C=A(BC)$ para cualesquiera matrices $A\in M_{m,n}(F), B\in M_{n,p}(F), C\in M_{p,q}(F)$.
  2. Compatibilidad con el producto por escalares: Se cumple que $\alpha(AB)=(\alpha A)B= A(\alpha B)$ para cualesquiera $\alpha \in F, A\in M_{m,n}(F), B\in M_{n,p}(F)$.
  3. Distributividad con respecto a la suma: Se cumplen

\begin{align*}
(A+B)C&=AC+BC\\
D(A+B)&= DA+DB
\end{align*}

para cualesquiera $A,B\in M_{m,n}(F)$, $C\in M_{n,p}(F)$ y $D\in M_{p,m}(F).$

Demostración: La demostración de estas propiedades se sigue directamente de la definición, o bien haciendo los cálculos a través de la regla del producto. Probaremos la asociatividad usando la definición, para mostrar las ventajas que tiene pensar al producto como la matriz correspondiente a la composición. Tras ver la demostración, piensa en lo tedioso que sería hacer la prueba usando la regla del producto.

Para verificar la asociatividad, basta ver que las transformaciones lineales de $(AB)C$ y $A(BC)$ son iguales (vimos en ésta entrada que si dos matrices tienen la misma transformación asociada, entonces son iguales). Es decir, que para todo $X\in F^q$ se cumple que

\begin{align*}
((AB)C)X=(A(BC))X.
\end{align*}

Por definición del producto, tenemos que

\begin{align*}
((AB)C)X= (AB)(CX)= A(B(C(X)),
\end{align*}

y desarrollando análogamente $A(BC)X$ tenemos

\begin{align*}
A(BC)X= A((BC)X)= A(B(C(X)).
\end{align*}

Comparando ambas expresiones se sigue el resultado. Como mencionamos, esto se pudo haber probado usando la regla del producto, comparando la $(i,j)$-ésima entrada de $(AB)C$ y la de $A(BC)$, verificando que ambas son iguales a

\begin{align*}
\sum_{k,l} a_{ik}b_{kl} c_{lj}.
\end{align*}

$\square$

Observación. Gracias a la asociatividad del producto, podemos escribir $ABC$ en lugar de $(AB)C$ o de $A(BC)$, aligerando la notación. Esto es más útil con más factores, por ejemplo el poder escribir $ABCD$ en lugar de $(A(BC))D$ o $A(B(CD))$. Así mismo, tampoco tenemos ambigüedad al definir el producto de cualquier número de matrices. Usaremos la notación

\begin{align*}
A^n= A\cdot A\cdot \ddots \cdot A,
\end{align*}

donde el lado derecho tiene $n$ factores. Esta es la $n$-ésima potencia de una matriz cuadrada $A$. Por construcción

\begin{align*}
A^n= A\cdot A^{n-1}.
\end{align*}

Y tomaremos como convención que $A^0=I_n$ para cualquier $A\in M_n(F)$. Dejamos como tarea moral el verificar que $I_n$ actúa como un neutro para la multiplicación, es decir que para cualquier matriz $A$ de tamaño $m\times n$ se tiene

\begin{align*}
A\cdot I_n=A \hspace{2mm} \text{ y } \hspace{2mm} I_m \cdot A=A.
\end{align*}

Acabamos esta sección con un problema para practicar los conceptos vistos.

Problema. Sea $A(x)\in M_3(\mathbb{R})$ la matriz definida por

\begin{align*}
A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x& x^2\\ 0 & 1 & 2x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
\end{align*}

Demuestra que $A(x_1)A(x_2)=A(x_1+x_2)$ para cualesquiera $x_1,x_2\in \mathbb{R}$.

Solución. En este problema es más conveniente usar la regla del producto, que pensar a la composición de transformaciones. En todo problema es recomendable pensar en cuál de las formas del producto conviene más usar.

Usando la regla del producto, tenemos que

\begin{align*}
A(x_1)A(x_2)&= \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\ 0 & 1 & 2x_1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & x_2 & x_2^2\\ 0 & 1 & 2x_2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} 1 & x_2+x_1 & x_2^2+2x_1 x_2+x_1^2\\
0 & 1 & 2x_2+2x_1\\
0 & 0 & 1\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 1 & x_1+x_2 & (x_1+x_2)^2\\
0 & 1 & 2(x_1+x_2)\\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Y el lado derecho es simplemente $A(x_1+x_2)$.

$\square$

Más adelante…

Si bien en esta entrada definimos el producto de matrices y estudiamos su relación con la composición de matrices, esto no es más que el primer paso de un estudio más grande: Ahora nos podemos hacer preguntas sobre transformaciones lineales (por ejemplo, ¿será biyectiva o invertible?) y estudiarlas en términos de matrices y su producto. Más adelante en el curso entrará el concepto de determinante que jugará un papel fundamental para responder muchas de estas preguntas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Realiza la operación $$\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}^4.$$
  • Toma al vector canónico $e_i$ de $F^n$ pensado como matriz en $M_{1n}(F)$ y al vector canónico $e_j$ de $F^n$ pensado como matriz en $M_{n1}(F)$. ¿Quién es el producto de matrices $e_ie_j$? ¿Quién es el producto de matrices $e_je_i$?
  • Verifica las propiedades de compatibilidad con el producto por escalares y distributividad con respecto a la suma del producto de matrices.
  • Verifica que las matrices identidad actúan como neutro para la multiplicación de matrices.
  • Recuerda (o investiga) los axiomas de un anillo con unidad y verifica que las matrices cuadradas de tamaño $n$ forman un anillo con unidad para cualquier $n$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Matrices como transformaciones lineales

Por Julio Sampietro

10 respuestas

Introducción

En la entrada pasada introdujimos el concepto de vector en $F^n$ y el concepto de matriz en $M_{m,n}(F)$. También definimos las operaciones básicas de suma y producto escalar. En esta entrada exploraremos la relación que existe entre estos. Más precisamente, veremos cómo una matriz define una función que manda vectores en vectores, y cómo algunas de estas funciones (que resultarán ser las transformaciones lineales) nos dan una matriz. Más adelante hablaremos de espacios vectoriales en general y de transformaciones lineales entre ellos. Pero es muy importante entender estos conceptos primero en una situación concreta.

Procederemos construyendo primero la transformación asociada a una matriz. Luego, verificaremos algunas propiedades de la construcción realizada. Finalmente, veremos que hay una biyección entre matrices y transformaciones lineales.

Construir una transformación a partir de una matriz

Comencemos con un campo $F$ y una matriz $A\in M_{m,n}(F)$ con entradas $a_{ij}$, es decir

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
& \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\end{align*}

A un vector $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in F^n$ le podemos asociar un nuevo vector que denotaremos (de manera sugestiva) $AX\in F^m$ (observa el cambio de superíndice) y definimos como $$AX= \begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2 +\dots+ a_{1n} x_n \\ a_{21} x_1 +a_{22} x_2 +\dots + a_{2n} x_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 +a_{m2} x_2 + \dots +a_{mn}x_n \end{pmatrix}.$$

Así, obtenemos una función de $F^n$ a $ F^m$ que manda a cada vector $X$ de $F^n$ en el vector $AX$ de $F^m$.

Ejemplo. A la matriz $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &0 \\ 1 & 2 &3 &4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\in M_{3,4}(\mathbb{R})$$ le asociamos entonces la función $f: \mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^3$ definida por $$f\left( \begin{pmatrix} x \\ y \\z \\ w \end{pmatrix} \right) = A\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+ z\\ x+2y+3z+4w\\ w \end{pmatrix}.$$

$\triangle$

Observación. Si denotamos por $e_1, \dots, e_n$ a la base canónica de $F^n$ y $A\in M_{m,n}(F)$ tiene entradas $a_{ij}$ entonces

\begin{align*}
Ae_i&=\begin{pmatrix} a_{11}\cdot 0+\dots + a_{1i} \cdot 1+\dots +a_{1n}\cdot 0\\ a_{21}\cdot 0+\dots + a_{2i} \cdot 1+\dots + a_{2n}\cdot 0\\ \vdots \\ a_{n1}\cdot 0 +\dots + a_{ni} \cdot 1+ \dots + a_{nn}\cdot 0 \end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} a_{1i}\\ a_{2i}\\ \vdots \\ a_{mi} \end{pmatrix}=C_i.\end{align*}

Dónde, recordamos, $C_i$ es la $i$-ésima columna de $A$. Más generalmente, si $X=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\in F^n$ es cualquier vector, entonces $$AX= x_1 C_1+ \dots +x_n C_n.$$

Las sutilezas de esta asignación matriz-transformación se resumen en el siguiente resultado:

Teorema: Para cualesquiera matrices $A,B\in M_{m,n} (F)$, cualesquiera vectores $X,Y\in F^n$ cualesquiera escalares $\alpha, \beta \in F$ se cumple:

  1. $A(\alpha X +\beta Y)=\alpha AX+\beta AY$
  2. $(\alpha A+ \beta B)X= \alpha A X +\beta B X$
  3. Si $AX=BX$ para toda $X\in F^n$, entonces $A=B$.

Demostración: Escribimos $A=[a_{ij}], B=[b_{ij}]$ y $X=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ y $Y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$. Así $\alpha A+ \beta B= [\alpha a_{ij}+\beta b_{ij}]$ y $\alpha X+ \beta Y= \begin{pmatrix} \alpha x_1 + \beta y_1 \\ \alpha x_2 +\beta y_2\\ \vdots \\ \alpha x_n +\beta y_n \end{pmatrix} $

  1. Por definición, la $i$-ésima coordenada de $A(\alpha X+ \beta Y)$ es $$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}(\alpha x_j+\beta y_j)= \alpha \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j+ \beta \sum_{j=1}^{n} a_{ij} y_j.$$ Aquí estamos las propiedades distributivas en $F$. El lado derecho de la ecuación corresponde a la $i$-ésima coordenada de $\alpha AX+\beta AY$, lo que prueba el resultado.
  2. El argumento es esencialmente el mismo, el cálculo esta vez se reduce a la igualdad $$ \sum_{j=1}^{n} \left(\alpha a_{ij}+\beta b_{ij}\right) x_j = \alpha \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j +\beta \sum_{j=1}^n b_{ij} x_j.$$ Esta sabemos es verdadera por las propiedades distributivas en $F$.
  3. Por hipótesis, tenemos $A e_i = B e_i$ dónde $e_i$ denota el $i$-ésimo elemento de la base canónica de $F^n$. Por la observación anterior, esto implica que la $i$-ésima columna de $A$ es igual a la $i$-ésima columna de $B$, para todo $i$. Luego $A$ y $B$ son iguales.

$\square$

Observa que en las demostraciones (1) y (2) anteriores estamos usando las propiedades del campo $F$ para poder distribuir la suma y producto. A grandes rasgos, lo importante que estamos haciendo es ver que, gracias a que todo sucede entrada a entrada, entonces la distributividad también sucede para matrices y vectores.

La asignación que a cada matriz le asocia una función

La última condición del teorema nos dice que la asignación que manda a cada matriz $A$ a su función $\varphi_A=X\mapsto AX$ (en símbolos, la asignación $A\mapsto \varphi_A$) es inyectiva: si a dos matrices le asociamos la misma función, es porque eran la misma matriz para empezar. Esta asignación tiene como dominio el conjunto de matrices $M_{m,n} (F)$ y como codominio el conjunto de funciones $\varphi: F^n \to F^m$ que (por las parte (1) del último teorema) cumplen $$\varphi(\alpha X +\beta Y)= \alpha \varphi(X)+\beta \varphi(Y)$$ para cualesquiera $\alpha,\beta \in F$ y $X,Y\in F^n$.

A una función (o bien «transformación») $\varphi: F^n \to F^m$ que cumple esta última condición se le llama lineal. Observamos que cualquier transformación lineal satisface $\varphi(0)=0$, ya que si en la condición ponemos $\alpha=\beta=0$ tenemos que $$\varphi(0)=\varphi(0\cdot X+ 0 \cdot Y)= 0\cdot \varphi(X)+0\cdot \varphi(Y)=0.$$ En otras áreas de las matemáticas el término «lineal» denota otro tipo de transformaciones, por ejemplo las de la forma $\psi(X)=aX+b$, que nosotros llamaremos afines. Más que «función lineal» usaremos el término transformación lineal.

El siguiente teorema nos dice que la asignación $A\mapsto \varphi_A$ discutida arriba no es sólo inyectiva, si no también suprayectiva. Es decir, cualquier transformación lineal $\varphi: F^n\to F^m$ es la función asociada de alguna matriz $A\in M_{m,n}(F)$.

Teorema: Sea $\varphi: F^n\to F^m$ una transformación lineal. Existe una única matriz $A\in M_{m,n} (F)$ tal que $\varphi(X)=AX$ para toda $X\in F^n$.

Demostración: La unicidad fue establecida en el último inciso del teorema anterior, basta con verificar existencia. Sea $\varphi: F^n\to F^m$ lineal, y sea $e_1, \dots, e_n$ la base canónica para $F^n$. Construimos la matriz $A$ tal que la $i$-ésima columna $C_i$ es el vector $\varphi(e_i)\in F^m$. Así, por una observación previa, tenemos que $Ae_i= C_i = \varphi(e_i)$ para cualquier $1\leq i \leq n$.

Si $X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \in F^n$ es cualquier vector, entonces $X=x_1 e_1 +x_2 e_2 +\dots + x_n e_n$. Como $\varphi$ es lineal, entonces

\begin{align*}
\varphi(X)&=\varphi(x_1 e_1 +x_2 e_2 + \dots + x_n e_n)\\&= x_1 \varphi(e_1)+x_2 \varphi(e_2)+\dots + x_n \varphi(e_n)\\&= x_1 C_1+ x_2 C_2 +\dots + x_n C_n= AX.
\end{align*}

La última igualdad es de nuevo una consecuencia de la observación que hicimos. Luego $\varphi(X)=AX$ para toda $X\in F^n$ y queda así probado el teorema.

$\square$

Tenemos entonces una biyección entre matrices en $M_{m,n}(F)$ y transformaciones lineales $\varphi: F^n\to F^m$. En símbolos $$M_{m,n}(F) \leftrightarrow \lbrace \varphi: F^n \to F^m \mid \varphi \text{ es lineal }\rbrace.$$

Ejemplo. Ya vimos cómo obtener la transformación lineal asociada a una matriz, ahora queremos hacer el proceso inverso. Por ejemplo, si tenemos el mapeo $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ dado por $$f: (x,y,z,w) \mapsto (x+y-z, 3z-w, z+2y),$$ entonces ¿cuál es la matriz $A$ tal que $f(X)=AX$?

De acuerdo con nuestra demostración del teorema, las columnas de $A$ corresponden a las imágenes $f(e_i)$. Hacemos entonces el cálculo directo:

  • $f(e_1)= f(1,0,0,0)=(1,0,0)$
  • $f(e_2)=f(0,1,0,0)=(1,0,2)$
  • $f(e_3)= f(0,0,1,0)= (-1, 3,1)$
  • $f(e_4)= f(0,0,0,1)=(0,-1,0)$

Así $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 &3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ En realidad, pudimos habernos saltado el cálculo y solo fijarnos en los coeficientes de cada coordenada: La primer coordenada de $f(x,y,z,w)$ no es más que $x+y-z= 1\cdot x+ 1\cdot y +(-1)\cdot z +0\cdot w$, acomodando estos coeficientes $[1\ 1 \ -1 \ 0]$ en las columnas correspondientes nos da el primer renglón de $A$. De manera análoga, con la segunda coordenada recuperamos el segundo renglón y con la tercer coordenada el tercero, y así recuperamos $A$.

$\triangle$

Más adelante…

La conclusión principal de esta entrada es que para entender transformaciones lineales basta con entender las matrices con entradas en el campo. Este fenómeno será muy recurrente en el álgebra lineal, y muchos problemas de transformaciones lineales se traducen en problemas de matrices y vice-versa. ¡A veces la traducción es tan inmediata que incluso se omite!

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Encuentra la matriz de la transformación lineal que manda al vector $(x,y,z)$ de $\mathbb{R}^3$ al vector $(x+y+z,x-y+z, x + 3y, 2y-z, 8x+z)$ de $\mathbb{R}^5$.
  • Considera la matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & -2\end{pmatrix}$. Si la pensamos como transformación lineal, ¿de dónde a dónde va? ¿cómo se escribe de manera explícita $AX$ en términos de las coordenadas del vector $X$ al que se le aplica?
  • Sea $A$ la matriz del punto anterior. Sean $X=(1,2,3)$ y $Y=(3,-1,4)$. Encuentra $AX$ y $AY$. Realiza la suma $AX+AY$. Luego, por separado, realiza primero la suma $X+Y$ y usando esto encuentra el valor de $A(X+Y)$. Verifica en en efecto ambos procesos te dan el mismo resultado.
  • Explica por qué no es posible encontrar una matriz que represente a la función que manda al vector $(x,y,z,w)$ de $\mathbb{R}^4$ al vector $(x+y+z+w, xy+yz+zw+wx)$ de $\mathbb{R}^2$.
  • ¿Cuál es la matriz que representa a la transformación lineal que manda al vector $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ de $F^n$ al vector $(x_2,x_3,\ldots,x_n,x_1)$, también de $F^n$?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Problemas de sistemas de ecuaciones e inversas de matrices

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

5 respuestas

Introducción

En esta entrada resolveremos problemas relacionados con el uso del método de reducción gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones y encontrar inversas de matrices.

Problemas resueltos

Problema 1. Sea $A$ una matriz de tamaño $m\times n$ y sean $b$ y $c$ dos vectores en $\mathbb{R}^{m}$ tales que $AX=b$ tiene una única solución y el sistema $AX=c$ no tiene solución. Explica por qué tiene que ser cierto que $m>n$.

Solución. Dado que el sistema $AX=b$ es consistente, usando el teorema de existencia y unicidad podemos concluir que

  1. $\left(A’\vert b’\right)$ no tiene pivotes en la última columna,
  2. $A’$ tiene pivotes en todas sus columnas.

Sin embargo, sabemos que el sistema $AX=c$ no tiene solución. Otra vez por el teorema de existencia y unicidad, esto nos implica que $\left(A’\vert c’\right)$ tiene un pivote en la última columna. Sin embargo, ya sabíamos que $A’$ tiene pivotes en todas sus columnas, pero aún así hay espacio en $\left(A’\vert c’\right)$ para un pivote más, es decir, nos sobra espacio hasta abajo por lo que necesariamente tenemos al menos un renglón más que el número de columnas. Es decir $m\geq n+1$, y por lo tanto $m>n$.

$\triangle$

Problema 2. Determina si existen reales $w$, $x$, $y$ y $z$ tales que las matrices $$
\begin{pmatrix} x & 2\\ y & 1 \end{pmatrix}$$ y $$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ z & w \end{pmatrix}$$ sean inversas la una de la otra.

Solución. En una entrada anterior mostramos que para que dos matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo tamaño sean inversas, basta con mostrar que $AB=I$. De esta forma, haciendo el producto tenemos que el enunciado es equivalente a

\begin{align*}
\begin{pmatrix} 5x+2z & -2x+2w \\ 5y+z & -2y+w \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.
\end{align*}

Es decir, tenemos un sistema lineal

\begin{align*}
\begin{cases}
5x+2z&=1\\
-2x+2w&=0\\
5y+z&=0\\
-2y+w&=1.
\end{cases}
\end{align*}

Este es un sistema lineal de la forma $AX=b$, donde $$A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ y $$b=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

Para determinar si tiene solución, aplicamos reducción gaussiana a la matriz $(A|b)$. En los siguientes pasos estamos aplicando una o más operaciones elementales.

\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
5 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\
\to &\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ -2 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\
\to & \begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & \frac{4}{5} & 2 & \frac{2}{5} \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\
\to & \begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{5} & 2 & \frac{2}{5} \\ 0 & -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\
\to & \begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{5} & 2 & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{pmatrix} \\
\to & \begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{pmatrix}\\
\to & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{4}{5} \end{pmatrix}\\
\to & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{align*}

Ya encontramos la forma escalonada reducida $(A’|b’)$ de $(A|b)$. La última columna de $(A’|b’)$ tiene un pivote (el de la última fila). De esta forma, el sistema de ecuaciones no tiene solución.

$\triangle$

En la práctica, se pueden usar herramientas tecnológicas para para resolver algunos problemas numéricos concretos. Sin embargo, es importante tener un sólido conocimiento teórico para saber cómo aprovecharlas.

Problema 3. Determina si las siguientes matrices son invertibles. En caso de serlo, encuentra la inversa. \begin{align*}
A&=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 7 & 3 & 2 \end{pmatrix}\\
B&=\begin{pmatrix}1 & 5 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & -2 \\ -15 & 9 & -1 & 22 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Solución. Usando la calculadora de forma escalonada reducida de eMathHelp, obtenemos que la forma escalonada reducida de $A$ y $B$ son, respectivamente

\begin{align*}
A_{red}&=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\
B_{red}&=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{9}{8}\\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{5}{8} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Por uno de nuestros teoremas de caracterización, para que una matriz cuadrada sea invertible debe de suceder que su forma escalonada reducida sea la identidad. Esto nos dice que $A$ sí es invertible, pero $B$ no.

Para encontrar la inversa de $A$, consideramos la matriz extendida $(A|I_3)$, y a ella le aplicamos reducción gaussiana. Usamos de nuevo la calculadora de eMathHelp para obtener

\begin{align*}
(A_{red}|X)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{13}{27} & \frac{7}{27} & \frac{2}{27} \\
0 & 1 & 0 & \frac{35}{27} & – \frac{23}{27} & \frac{5}{27} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{7}{27} & \frac{10}{27} & – \frac{1}{27}
\end{pmatrix}.
\end{align*}

De aquí obtenemos que la inversa de $A$ es \begin{align*}A^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{13}{27} & \frac{7}{27} & \frac{2}{27} \\ \frac{35}{27} & – \frac{23}{27} & \frac{5}{27} \\ -\frac{7}{27} & \frac{10}{27} & – \frac{1}{27}\end{pmatrix}.\end{align*}

$\triangle$

Finalmente, hay algunos problemas en los que no es posible aplicar herramientas digitales, o por lo menos no es directo cómo hacerlo. Esto sucede, por ejemplo, cuando en un problema las dimensiones o entradas de una matriz son variables.

Problema 4. Sea $a$ un número real. Determina la inversa de la siguiente matriz en $M_{n}(\mathbb{R})$: $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a^2 & a & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ a^{n-2} & a^{n-3} & a^{n-4} & \cdots & 1 & 0 \\
a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & a & 1 \end{pmatrix}.$$

Solución. Recordemos que para obtener la inversa de una matriz cuadrada $A$, si es que existe, se puede aplicar a la matriz identidad las mismas operaciones elementales que se le apliquen a $A$ para llevarla a forma escalonada reducida.

¿Qué operaciones necesitamos hacer para llevar a $A$ a su forma escalonada reducida? La esquina $(1,1)$ ya es un pivote, y con transvecciones de factores $-a, -a^2,\ldots, -a^{n-1}$ podemos hacer $0$ al resto de las entradas en la columna $1$.

Tras esto, la entrada $(2,2)$ es ahora pivote de la segunda fila, y con transvecciones de factores $-a,-a^2,\ldots, -a^{n-2}$ podemos hacer $0$ al resto de las entradas en la columna $2$. Siguiendo este procedimiento, llevamos a $A$ a su forma escalonada reducida. Esto puede demostrar formalmente usando inducción.

Ahora veamos qué sucede si aplicamos estas mismas operaciones a la matriz identidad. Si aplicamos las mismas operaciones que arreglan la primer columna de $A$, pero a la matriz identidad, obtenemos

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a^2 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ -a^{n-2} & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
-a^{n-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Si ahora aplicamos las operaciones que arreglan la segunda columna de $A$, obtenemos

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -a & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & -a^{n-3} & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & -a^{n-2} & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Continuando de esta manera, en cada columna sólo nos quedará un $1$ y un $-a$. Esto puede probarse formalmente de manera inductiva. Al final, obtenemos la matriz

$$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -a & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -a & 1 \end{pmatrix},$$

en donde la diagonal principal consiste de puros unos, y la diagonal debajo de ella consiste de puras entradas $-a$.

Hay dos formas de proceder para dar una demostración formal que esta matriz encontrada es la inversa de $A$. La primera es completar las demostraciones inductivas que mencionamos. La segunda es tomar lo que hicimos arriba como una exploración del problema y ahora realizar de manera explícita el producto $AB$ o el producto $BA$.

$\triangle$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Seminario de Resolución de Problemas: Vectores en geometría

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

Anteriormente, comenzamos esta serie de entradas de geometría platicando de algunas técnicas euclideanas o sintéticas que se pueden usar para resolver problemas en el plano. Después, tomamos herramientas de la geometría analítica, las cuales nos permiten poner problemas en términos de coordenadas y ecuaciones. Lo que haremos ahora es ver varios ejemplos del uso de vectores en geometría.

A diferencia de la geometría analítica, cuando hablamos de soluciones por vectores estamos hablando de aquellas que aprovechan la estructura de espacio vectorial en $\mathbb{R}^2$. En otras palabras, usamos argumentos en los cuales pensamos a los puntos del plano como vectores, los cuales tienen una dirección y una magnitud. Los vectores tienen operaciones de suma y de producto por un escalar. Además, tienen producto punto, norma y transformaciones dadas por matrices. Apenas tocaremos la superficie del tipo de teoría que se puede usar. Un buen curso de álgebra lineal te puede dar más herramientas para resolver problemas geométricos.

Interpretar puntos como vectores

Pongamos un origen $O$ en el plano. A cada punto $P$ le corresponden ciertas coordenadas dadas por parejas de reales $(x,y)$, que identificaremos con $P$. Al origen le corresponden las coordenadas $(0,0)$. Si tenemos otro punto $Q=(w,z)$, entonces su suma es el vector $P+Q=(x+w,y+z)$. Si tomamos un real $r$, el vector $rP$ es el vector de coordenadas $(rx,ry)$.

Suma de vectores
Suma de vectores

La suma $P+Q$ se puede encontrar mediante la ley del paralelogramo: los puntos $O,P,P+Q,Q$ hacen un paralelogramo en ese orden cíclico. La resta $Q-P$ está definida por $Q+(-1)P$, y la llamamos el vector $PQ$. Geométricamente coincide con el vector que va «de $P$ a $Q$». Observa que el orden es importante y que $OP=P$.

Resta de vectores
Resta de vectores

Proposición (de la razón). Si tenemos dos puntos $P$ y $Q$ distintos y $m,n$ son reales, entonces podemos encontrar al único punto $R$ en la recta por $P$ y $Q$ tal que $$\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}$$ así: $$R=\frac{n}{m+n}P + \frac{m}{m+n} Q.$$

Punto en una recta con cierta razón
Punto en una recta con cierta razón

Veamos dos problemas en los que se usan estas ideas de vectores en geometría, en particular, la proposición de la razón.

Problema. En el triángulo $ABC$ se toman puntos $D,E,F$ sobre los segmentos $BC,CA,AB$ tales que $\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=\frac{1}{4}$. Muestra que $ABC$ y $DEF$ tienen el mismo gravicentro.

Sugerencia pre-solución. Encuentra una fórmula en términos vectoriales para el gravicentro de un triángulo $ABC$.

Solución. Tomemos un triángulo $PQR$ y pensemos a sus vértices como vectores. Afirmamos que su gravicentro $X$ es el punto correspondiente a $\frac{P+Q+R}{3}$ Demostraremos esto.

El gravicentro está a un tercio del punto medio hacia el vértice correspondiente
Razón del gravicentro en la mediana

Primero haremos un argumento de geometría sintética. El gravicentro es por definición el punto de intersección de las medianas de un triángulo. Si $L$ es el punto medio de $QR$ y $M$ es el punto medio de $RP$, entonces $X$ es el punto de intersección de $PL$ y $QM$. Tenemos que $$\frac{RL}{LQ}=1=\frac{RM}{MP},$$ así que por el teorema de Tales se tiene que la recta por $L$ y $M$ es paralela al lado $PQ$, y $\frac{LM}{PQ}=\frac{1}{2}$. Esto muestra que los triángulos $XLM$ y $XPQ$ son semejantes en razón $1$ a $2$. Por lo tanto, $\frac{LX}{XP}=\frac{1}{2}$.

Ahora hagamos el argumento vectorial, pensando a los puntos como vectores. El punto $L$ está a la mitad de $QR$, así que por la proposición de la razón, $$L=\frac{Q+R}{2}.$$ El punto $X$ cumple $\frac{LX}{XP}=\frac{1}{2}$, así que de nuevo por la proposición de la razón.
\begin{align*}
X&=\frac{2L+P}{2+1}\\
&=\frac{Q+R+P}{3}\\
&=\frac{P+Q+R}{3}.
\end{align*}

Esto es el resultado auxiliar que queríamos mostrar. Regresemos al problema.

De acuerdo al resultado auxiliar, el gravicentro de $ABC$ es $$G:=\frac{A+B+C}{3}.$$ Usando una vez más la proposición de la razón, los puntos $D$, $E$ y $F$ los podemos calcular como sigue:
\begin{align*}
D&=\frac{4B+C}{4+1}=\frac{4B+C}{5}\\
E&=\frac{4C+A}{4+1}=\frac{4C+A}{5}\\
F&=\frac{4A+B}{4+1}=\frac{4A+B}{5}.
\end{align*}

De esta forma, el gravicentro $G’$ de $DEF$ lo podemos encontrar como sigue:
\begin{align*}
G’&=\frac{D+E+F}{3}\\
&=\frac{\frac{4B+C}{5}+\frac{4C+A}{5}+\frac{4A+B}{5}}{3}\\
&=\frac{A+B+C}{3}\\
&=G.
\end{align*}

Esto termina la solución del problema.

$\square$

Problema. En el paralelogramo $ABCD$ el punto $F$ es el punto medio de $CD$. Muestra que el segmento $AF$ corta a la diagonal $BD$ en un punto $E$ tal que $\frac{DE}{DB}=\frac{1}{3}$.

Sugerencia pre-solución. Hay varias formas de hacer las cuentas en este problema, pero el uso de una notación adecuada te hará simplificar muchas operaciones.

Solución. Pensemos a los puntos de la figura como vectores. Coloquemos al punto $A$ en el origen. El punto $C$ está dado por $B+D$, de modo que $$F:=\frac{C+D}{2}=\frac{B+2D}{2}.$$

Vectores en geometría: problema de paralelogramo
Figura auxiliar para problema de paralelogramo

Para encontrar al punto $E$, notemos que está en las rectas $AF$ y $BD$. De esta forma, deben existir reales $r$ y $s$ tales que $$E=rF$$ y $$E=sB+(1-s)D.$$ Expresando $F$ en términos de $B$ y $D$ en la primer ecuación, tenemos que $$E=\frac{rB+2rD}{2}=\frac{rB}{2}+rD.$$ De ambas expresiones para $E$, concluimos que
\begin{align*}
s=\frac{r}{2}\\
1-s=r.
\end{align*}

Este sistema de ecuaciones tiene solución $r=\frac{2}{3}$, $s=\frac{1}{3}$, y por lo tanto $E=\frac{B+2D}{3}$. De aquí se obtiene $\frac{DE}{EB}=\frac{1}{2}$, o bien $\frac{DE}{DB}=\frac{DE}{DE+EB}=\frac{1}{3}$, como queríamos mostrar.

$\square$

Producto punto, norma y ángulos

Para dos vectores $P=(x,y)$ y $Q=(w,z)$ definimos su producto punto como la cantidad $P\cdot Q = xw+yz$. El productos puntos es:

  • Conmutativo: $P\cdot Q = Q\cdot P$
  • Abre sumas: $P\cdot (Q+R)=P\cdot Q + P\cdot R$
  • Saca escalares: $(rP)\cdot Q = r(P\cdot Q)$.

La norma de $P$ se define como $\norm{P}=\sqrt{P\cdot P}$, y coincide con la distancia de $P$ al origen. La norma de $PQ$ es entonces $\norm{PQ}=\sqrt{(Q-P)\cdot (Q-P)}$ y coincide con la distancia de $P$ a $Q$.

El ángulo entre dos vectores $PQ$ y $RS$ se define como el ángulo cuyo coseno es $$\frac{PQ \cdot RS}{\norm{PQ}\norm{RS}},$$ y coincide precisamente con el ángulo (orientado) geométrico entre las rectas $PQ$ y $RS$. De esta forma, las rectas $PQ$ y $RS$ son perpendiculares si y sólo si el producto punto $PQ\cdot RS$ es cero.

Problema. Sea $ABC$ un triángulo con sus vértices pensados como vectores. Sean $H$ y $O$ su ortocentro y circuncentro respectivamente. Supongamos que el circuncentro $O$ está en el origen. Muestra que $H=A+B+C$.

Sugerencia pre-solución. Trabaja hacia atrás. Define al punto $A+B+C$ y ve que las rectas que unen a los vértices con este punto en efecto son alturas. Para calcular los ángulos, usa el producto punto y sus propiedades.

Solución. Como el circuncentro equidista de $A$. $B$ y $C$, tenemos que $$\norm{A}=\norm{B}=\norm{C}.$$ Tomemos el punto $H’=A+B+C$.

Vectores en geometría para encontrar el ortocentro
Ortocentro con vectores

Calculemos el ángulo entre las rectas $BC$ y $AH’$, haciendo su producto punto:
\begin{align*}
BC\cdot AH’ &= (C-B)\cdot (H’-A)\\
&=(C-B)\cdot(C+B)\\
&=C\cdot C + C\cdot B – B\cdot C – B\cdot B\\
&=\norm{C}^2 – \norm{B}^2\\
&=0.
\end{align*}

Observa que estamos usando la linealidad y conmutatividad del producto punto. Al final usamos que $A$ y $C$ tienen la misma norma.

Esto muestra que la recta $AH’$ es la altura al lado $BC$. De manera análoga, $BH’$ y $CH’$ son las alturas a los lados $CA$ y $AB$ respectivamente. Por lo tanto, $H’$ es el ortocentro, así que $H=A+B+C$.

$\square$

Cualquier triángulo $ABC$ en el plano se puede trasladar para que su circuncentro $O$ quede en el origen. El ortocentro estará en $H=A+B+C$ y el gravicentro, como vimos antes, en $G=\frac{A+B+C}{3}$, que es un múltiplo escalar de $H$. Por lo tanto, $O$, $H$ y $G$ están alineados. Acabamos de demostrar con vectores en geometría un clásico resultado euclideano.

Teorema (recta de Euler). En cualquier triángulo $ABC$, el circuncentro $O$, el gravicentro $G$ y el ortocentro $H$ están alineados. Además, $$\frac{OG}{GH}=\frac{1}{2}.$$

Teorema de la recta de Euler
Teorema de la recta de Euler

Si el circuncentro no está en el origen, ahora podemos usar el teorema de la recta de Euler y la proposición de la razón para concluir que $G=\frac{2O+H}{3}$. Usando que $G=\frac{A+B+C}{3}$, obtenemos el siguiente corolario

Corolario. Sea $ABC$ un triángulo en el plano, $H$ su ortocentro y $O$ su circuncentro. Entonces al pensar a los puntos como vectores tenemos que $$A+B+C=2O+H.$$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas del uso de vectores en geometría en la sección 8.3 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Álgebra Lineal I: Determinantes de vectores e independencia lineal

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

4 respuestas

Introducción

En este cuarto y último bloque del curso comenzamos hablando de transformaciones multilineales y de permutaciones. Luego, nos enfocamos en las transformaciones multilineales antisimétricas y alternantes. Con la teoría que hemos desarrollado hasta ahora, estamos listos para definir determinantes de vectores, de transformaciones lineales y de matrices.

En esta entrada comenzaremos con la definición de determinantes de vectores. En la siguiente entrada hablaremos acerca de determinantes de matrices y de transformaciones lineales. Después de definir determinantes, probaremos varias de las propiedades que satisfacen. Posteriormente, hablaremos de varias técnicas que nos permitirán calcular una amplia variedad de determinantes para tipos especiales de matrices.

Determinantes de vectores

Para empezar, definiremos qué es el determinante de un conjunto de vectores en un espacio de dimensión finita con respecto a una base.

Definición. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$ y $x_1,\ldots,x_n$ vectores de $V$. Cada uno de los $x_i$ se puede escribir como $$x_i=\sum_{j=1}^n a_{ji}b_j.$$

El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a $(b_1,\ldots,b_n)$ es $$\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)},$$ y lo denotamos por $\det_{(b_1,\ldots,b_n)} (x_1,\ldots,x_n)$.

Observa que estamos sumando tantos términos como elementos en $S_n$. Como existen $n!$ permutaciones de un conjunto de $n$ elementos, entonces la suma de la derecha tiene $n!$ sumandos.

Ejemplo. Consideremos la base $b_1=1$, $b_2=1+x$ y $b_3=1+x+x^2$ del espacio vectorial $\mathbb{R}_2[x]$ de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más $2$. Tomemos los polinomios $v_1=1$, $v_2=2x$ y $v_3=3x^2$. Vamos a calcular el determinante de $v_1, v_2, v_3$ con respecto a la base $(b_1,b_2,b_3)$.

Para hacer eso, lo primero que tenemos que hacer es expresar a $v_1, v_2, v_3$ en términos de la base. Hacemos esto a continuación:
\begin{align*}
v_1&= 1\cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3\\
v_2&= -2\cdot b_1 + 2 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3\\
v_3&= 0 \cdot b_1 – 3 \cdot b_2 +3 b_3.
\end{align*}

De aquí, obtenemos
\begin{align*}
a_{11}&=1, a_{21}=0, a_{31}=0,\\
a_{12}&=-2, a_{22}=2, a_{32}=0,\\
a_{13}&=0, a_{23}=-3, a_{33}=3.
\end{align*}

Si queremos calcular el determinante, tenemos que considerar las $3!=3\cdot 2 \cdot 1 = 6$ permutaciones en $S_3$. Estas permutaciones son

\begin{align*}
\sigma_1 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\\
\sigma_2 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}\\
\sigma_3 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}\\
\sigma_4 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}\\
\sigma_5 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\\
\sigma_6 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}.
\end{align*}

Los signos de $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son, como puedes verificar, $1$, $-1$, $-1$, $1$, $-1$ y $1$, respectivamente.

El sumando correspondiente a $\sigma_1$ es
\begin{align}
\text{sign}(\sigma_1) &a_{1\sigma_1(1)}a_{2\sigma_1(2)}a_{3\sigma_1(3)}\\
&= 1 \cdot a_{11}a_{22}a_{33}\\
&=1\cdot 1\cdot 2 \cdot 3 = 6.
\end{align}

El sumando correspondiente a $\sigma_2$ es
\begin{align}
\text{sign}(\sigma_2) &a_{1\sigma_2(1)}a_{2\sigma_2(2)}a_{3\sigma_2(3)}\\
&= (-1) \cdot a_{11}a_{23}a_{32}\\
&=(-1) \cdot 1\cdot (-3) \cdot 0 = 0.
\end{align}

Continuando de esta manera, se puede ver que los sumandos correspondientes a $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son $$+6,-0,-0,+0,-0,+0,$$ respectivamente de modo que el determinante es $6$.

$\triangle$

La expresión de determinante puede parecer algo complicada, pero a través de ella podemos demostrar fácilmente algunos resultados. Consideremos como ejemplo el siguiente resultado.

Proposición. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$. El determinante de $B$ con respecto a sí mismo es $1$.

Demostración. Cuando escribimos a $b_i$ en términos de la base $b$, tenemos que $$b_i=\sum_{j=1}^n a_{ji} b_j.$$ Como la expresión en una base es única, debemos tener $a_{ii}=1$ y $a_{ji}=0$ si $j\neq i$. Ahora, veamos qué le sucede al determinante $$\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}.$$

Si $\sigma$ es una permutación tal que $\sigma(i)\neq i$ para alguna $i$, entonces en el producto del sumando correspondiente a $\sigma$ aparece $a_{i\sigma(i)}=0$, de modo que ese sumando es cero. En otras palabras, el único sumando no cero es cuando $\sigma$ es la permutación identidad.

Como el signo de la identidad es $1$ y cada $a_{ii}$ es $1$, tenemos que el determinante es
\begin{align*}
\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}&(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)} \\
&=a_{11}\cdot\ldots\cdot a_{nn}\\
&= 1\cdot\ldots\cdot 1 \\
& = 1.
\end{align*}

$\square$

El determinante es una forma $n$-lineal alternante

La razón por la cual hablamos de transformaciones $n$-lineales antisimétricas y alternantes antes de hablar de determinantes es que, en cierto sentido, los determinantes de vectores son las únicas transformaciones de este tipo. Los siguientes resultados formalizan esta intuición.

Teorema. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ sobre $F$. Entonces la transformación $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}:V^n \to F$ es una forma $n$-lineal y alternante.

Demostración. La observación clave para demostrar este resultado es que $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ se puede reescribir en términos de la base dual $b_1^\ast, \ldots, b_n^\ast$. En efecto, recuerda que $b_i^\ast$ es la forma lineal que «lee» la coordenada de un vector $v$ escrito en la base $B$. De esta forma,

\begin{align*}
\det_{(b_1,\ldots,b_n)}&(v_1,\ldots,v_n)\\
&=\sum_{\sigma\in S_n}\left(\text{sign}(\sigma) \prod_{j=1}^n b_j^\ast(v_{\sigma(j)})\right)\\
\end{align*}

Para cada permutación $\sigma$, el sumando correspondiente es una forma $n$-lineal, pues es producto de $n$ formas lineales evaluadas en los distintos vectores. Así que $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ es suma de formas $n$-lineales y por lo tanto es forma $n$-lineal.

Para mostrar que el determinante es alternante, tenemos que mostrar que es igual a $0$ cuando algún par de sus entradas son iguales. Supongamos que $i\neq j$ y que $v_i=v_j$. Tomemos $\tau$ a la transposición que intercambia a $i$ y a $j$. Cuando se compone una permutación con una transposición, su signo cambia. Así, para cualquier permutación $\sigma$, tenemos que $\sigma\tau$ tiene signo diferente.

Además, para cualquier $\sigma$ tenemos que $$a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}$$ y $$a_{1\sigma\tau(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma\tau(n)}$$ son iguales, pues $v_i=v_j$. Combinando ambas ideas, podemos emparejar a cada sumando del determinante con otro con el cual sume cero. Esto muestra que el determinante es $0$.

$\square$

Usando la teoría que desarrollamos en la entrada anterior, tenemos el siguiente corolario.

Corolario. La forma $n$-lineal $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ es antisimétrica.

Los determinantes de vectores son las «únicas» formas $n$-lineales alternantes

Ya vimos que el determinante es una forma $n$-lineal alternante. Veamos ahora por qué decimos que es «la única». El siguiente resultado dice que cualquier otra forma $n$-lineal alternante varía de $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ únicamente por un factor multiplicativo.

Teorema. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$. Si $f:V^n \to F$ es cualquier forma $n$-lineal y alternante, entonces $$f=f(b_1,\ldots,b_n)\det_{(b_1,\ldots,b_n)}.$$

Demostración. Para mostrar la igualdad del teorema, que es una igualdad de transformaciones, tenemos que ver que es cierta al evaluar en cualesquiera vectores $x_1,\ldots,x_n$. Escribamos a cada $x_i$ en términos de la base $B$: $$x_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}b_j.$$

Usando la $n$-linealidad de $f$ en cada una de las entradas, tenemos que
\begin{align*}
f(x_1,\ldots,x_n)&=\sum_{i=1}^n a_{1i} f(b_i,x_2,\ldots,x_n)\\
&=\sum_{i,j=1}^n a_{1i}a_{2i} f(b_i,b_j,x_3,\ldots,x_n)\\
&=\ldots\\
&=\sum_{i_1,\ldots,i_n = 1}^n a_{1i_1}\ldots a_{ni_n} f(b_{i_1},\ldots,b_{i_n}).
\end{align*}

Aquí hay muchos términos, pero la mayoría de ellos son $0$. En efecto, si $b_{i_k}=b_{i_l}$, como $f$ es alternante tendríamos que ese sumando es $0$. Así, los únicos sumandos que pueden ser no cero son cuando la elección de subíndices es una permutación, es decir cuando existe $\sigma$ en $S_n$ tal que para $i_k=\sigma(k)$.

Por lo tanto, podemos simplificar la expresión anterior a
$$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{\sigma \in S_n}a_{1 \sigma(1)}\ldots a_{n\sigma(n)} f(b_{\sigma(1)},\ldots,b_{\sigma(n)}).$$

Como $f$ es alternante, entonces es antisimétrica. De este modo, podemos continuar la igualdad anterior como
\begin{align*}
&=\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma) a_{1 \sigma(1)}\ldots a_{n\sigma(n)} f(b_1,\ldots,b_n)\\
&=f(b_1,\ldots,b_n) \det_{(b_1,\ldots,b_n)}(x_1,\ldots, x_n).
\end{align*}

Esto es justo lo que queríamos probar.

$\square$

Los determinantes de vectores caracterizan bases

Como consecuencia del último teorema de la sección anterior, los determinantes de vectores caracterizan totalmente a los conjuntos de vectores que son bases. A continuación enunciamos esto formalmente.

Corolario. En un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ son equivalentes las siguientes tres afirmaciones para vectores $x_1,\ldots,x_n$ de $V$:

  1. El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a toda base es distinto de $0$.
  2. El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a alguna base es distinto de $0$.
  3. $x_1,\ldots,x_n$ es una base de $V$.

Demostración. La afirmación (1) es más fuerte que la (2) y por lo tanto la implica.

Ahora, probemos que la afirmación (2) implica la afirmación (3). Como $x_1,\ldots,x_n$ son $n$ vectores y $n$ es la dimensión de $V$, para mostrar que forman una base basta mostrar que son linealmente independientes. Anteriormente, vimos que cualquier forma alternante manda vectores linealmente dependientes a $0$. Como la hipótesis de (2) es que existe alguna forma alternante que no se anula en $x_1,\ldots, x_n$, entonces deben ser linealmente independientes y por lo tanto formar una base.

Finalmente, probemos que (3) implica (1). Tomemos $B=(b_1,\ldots,b_n)$ otra base de $V$. Como $\det_{(x_1,\ldots,x_n)}$ es una forma $n$-lineal, podemos aplicar el teorema anterior y evaluar en $x_1,\ldots,x_n$ para concluir que
\begin{align*}
\det_{(x_1,\ldots,x_n)}&(x_1,\ldots,x_n)&\\
&=\det_{(x_1,\ldots,x_n)}(b_1,\ldots,b_n) \det_{(b_1,\ldots,b_n)}(x_1,\ldots,x_n).
\end{align*}

El término de la izquierda es igual a $1$, de modo que ambos factores a la derecha deben ser distintos de $0$.

$\square$

Ejemplo. En el ejemplo que dimos de polinomios vimos que el determinante de $1$, $2x$ y $3x^2$ con respecto a la base $1$, $1+x$ y $1+x+x^2$ es igual a $6$. De acuerdo al teorema anterior, esto implica que $1$, $2x$ y $3x^2$ es un conjunto linealmente independiente de polinomios, y de hecho una base.

Además, el teorema anterior también implica que sin importar que otra base $B$ de $\mathbb{R}_2[x]$ tomemos, el determinante de $1$, $2x$ y $3x^2$ con respecto a $B$ también será distinto de $0$.

$\triangle$

Más adelante…

A lo largo de esta entrada estudiamos la definición de determinantes para un conjunto de vectores y enunciamos sus principales propiedades. En las siguientes entradas vamos a hablar cómo se define el determinante para matrices y para transformaciones lineales. Después de las definiciones, pasaremos a estudiar cómo se calculan los determinantes y veremos cómo se aplican a diferentes problemas de álgebra lineal.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • ¿Cuántos sumandos tendrá el determinante de $5$ vectores en un espacio vectorial de dimensión $5$ con respecto a cualquier base? Da el número de manera explícita.
  • Verifica que en el primer ejemplo de determinantes de esta entrada, en efecto los sumandos correspondientes a $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son los que se enuncian.
  • Encuentra el determinante de los vectores $(3,1)$ y $(2,4)$ con respecto a la base $((5,1), (2,3))$ de $\mathbb{R}^2$.
  • Muestra que los vectores $(1,4,5,2)$, $(0,3,2,1)$, $(0,0,-1,4)$ y $(0,0,0,1)$ son linealmente independientes calculando por definición su determinante con respecto a la base canónica de $\mathbb{R}^4$.
  • Usa un argumento de determinantes para mostrar que los vectores $(1,4,3)$, $(2,-2,9)$, $(7,8,27)$ de $\mathbb{R}^3$ no son linealmente independientes. Sugerencia. Calcula su determinante con respecto a la base canónica.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»