Archivo de la etiqueta: triángulo antipedal

Geometría Moderna I: Puntos de Brocard

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

En esta entrada hablaremos sobre un par de puntos conjugados isogonales del triángulo, los puntos de Brocard, que surgen de una construcción particular de circunferencias tangentes a los lados del triángulo.

Puntos de Brocard

Definición y notación. Dado un triángulo $△ A B C$ , considera $Γ (B C)$ la circunferencia tangente a $B C$ en $B$ que pasa por $A$ , $Γ (C A)$ la circunferencia tangente a $C A$ en $C$ que pasa por $B$ , $Γ (A B)$ la circunferencia tangente a $A B$ en $A$ que pasa por $C$ . Llamaremos a este conjunto de circunferencias, grupo directo de circunferencias.

De manera análoga, la circunferencia $Γ (C B)$ tangente a $B C$ en $C$ que pasa por $A$ , la circunferencia $Γ (A C)$ tangente a $C A$ en $A$ que pasa por $B$ y la circunferencia $Γ (B A)$ tangente a $A B$ en $B$ que pasa por $C$ , seran referidas como grupo indirecto de circunferencias.

Teorema 1. Las tres circunferencias del grupo directo (indirecto) asociado a un triángulo tienen un punto en común, al punto de concurrencia $Ω$ $(Ω^{'})$ se le conoce como primer (segundo) punto de Brocard.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $Ω = Γ (B C) \cap Γ (C A)$ , considera $D \in \overset{⌢}{A B}$ arco de $Γ (B C)$ , recorrido en ese sentido.

Como $∠ C B A$ es un ángulo semiinscrito de $Γ (B C)$ entonces $∠ B D A = ∠ C B A$ , por lo tanto, $∠ A Ω B = π - ∠ B$ .

De manera análoga vemos que $∠ B Ω C = π - ∠ C$ .

En consecuencia,
$∠ C Ω A = 2 π - (∠ A Ω B) - (∠ B Ω C)$
$= 2 π - (π - ∠ B) - (π - ∠ C) = ∠ B + ∠ C$
$= π - ∠ A$ .

Por otra parte, como $∠ B A C$ es un ángulo semiinscrito de $Γ (A B)$ , entonces todos los puntos en el arco $\overset{⌢}{C A}$ , recorrido en ese sentido, subtienden un ángulo $∠ A$ con la cuerda $C A$ , por lo tanto, el arco $\overset{⌢}{A C}$ es el lugar geométrico de los puntos que subtienden con la cuerda $C A$ un ángulo igual a $π - ∠ A$ .

En conclusión $Ω \in Γ (A B)$ .

La demostración es análoga para el caso del grupo indirecto.

Corolario 1. Los dos puntos de Brocard son los únicos puntos dentro de un triángulo $△ A B C$ que tienen la siguiente propiedad:
$i)$ $∠ B A Ω = ∠ C B Ω = ∠ A C Ω$ ,
$i i)$ $∠ Ω^{'} A C = ∠ Ω^{'} C B = ∠ Ω^{'} B A$ .

Demostración. $i)$ $∠ B A Ω$ y $∠ C B Ω$ son ángulos inscrito y semiinscrito respectivamente de $Γ (B C)$ que abarcan el mismo arco, por lo tanto son iguales.

De manera análoga vemos que $∠ C B Ω = ∠ A C Ω$ .

Por otro lado supongamos que existe un punto $F$ dentro de $△ A B C$ tal que $∠ B A F = ∠ C B F = ∠ A C F$ , considera el circuncírculo de $△ A B F$ , como $∠ C B F$ es igual al ángulo inscrito $∠ B A F$ , entonces $B C$ debe ser tangente al circuncírculo de $△ A B F$ en $B$ , por lo tanto, $F \in Γ (B C)$ .

De manera análoga vemos que $F \in Γ (C A)$ y $F \in Γ (A B)$ por lo tanto $F$ coincide con $Ω$ .

$i i)$ Se muestra de manera similar.

Ángulo de Brocard

Corolario 2. Los puntos de Brocard son puntos conjugados isogonales.

Demostración. Si $X$ es el conjugado isogonal de $Ω$ entonces (figura 1)
$∠ B A Ω = ∠ X A C$ ,
$∠ C B Ω = ∠ X B A$ ,
$∠ A C Ω = ∠ X C B$ .

Pero $∠ B A Ω = ∠ C B Ω = ∠ A C Ω = ω$ , por lo tanto, el conjugado isogonal de $Ω$ respecto a $△ A B C$ cumple que $∠ X A C = ∠ X B A = ∠ X C B$ .

Como $Ω^{'}$ es el único punto que tiene esa propiedad dentro de $△ A B C$ entonces $X = Ω^{'}$ .

Definición 2. Los segmentos $A Ω$ , $A Ω^{'}$ ; $B Ω$ , $B Ω^{'}$ ; $C Ω$ , $C Ω^{'}$ , se conocen como rayos de Brocard y el ángulo $∠ B A Ω = ∠ Ω^{'} A C = ω$ se conoce como ángulo de Brocard.

Definición 3. Los lados del triángulo anticomplementario de un triángulo dado (las rectas paralelas a los lados de un triángulo por los vértices opuestos), se llaman exmedianas del triángulo dado.

Teorema 2. Una exsimediana, una exmediana y un rayo de Brocard, cada una por un vértice distinto de un triángulo dado, son concurrentes.

Demostración. En $△ A B C$ sea $B Ω$ el rayo de Brocard que pasa por el primer punto de Brocard y $D$ la intersección de este rayo con la exmediana por $A$ .

Como $A D ∥ B C$ entonces $∠ C A D = ∠ C$ y $∠ A D B = ∠ C B Ω = ω = ∠ A C Ω$ , por lo tanto, $A Ω C D$ está inscrito en $Γ (A B)$ .

Por el corolario 1, $∠ C Ω A = ∠ B + ∠ C$ , esto implica que $∠ A D C = ∠ A$ , por lo tanto, $∠ D C A = ∠ B$ .

Como resultado $C D$ es exsimediana de $△ A B C$ , es decir, es tangente al circuncírculo de $△ A B C$ en $C$ .

Corolario 3. El ángulo de Brocard $ω$ de un triángulo $△ A B C$ satisface la siguiente igualdad $\cot ω = \cot ∠ A + \cot ∠ B + \cot ∠ C$

Demostración. En la figura anterior sean $H_{a}$ , $H_{d}$ las proyecciones de $A$ y $D$ en $B C$ , como $∠ D C A = ∠ B$ entonces $∠ H_{d} C D = ∠ A$ , por lo tanto,
$\cot ω = \frac{B H_{d}}{D H_{d}}$
$= \frac{B H_{a}}{D H_{d}} + \frac{H_{a} C}{D H_{d}} + \frac{C H_{d}}{D H_{d}}$
$= \frac{B H_{a}}{A H_{a}} + \frac{H_{a} C}{A H_{a}} + \frac{C H_{d}}{D H_{d}}$
$= \cot ∠ B + \cot ∠ C + \cot ∠ A$ .

Construcción de un triángulo dado su ángulo de Brocard

Problema. Construye un triángulo, dados un lado, un ángulo y $ω$ , su ángulo de Brocard.

Solución. Sea $∠ B^{'} A C^{'}$ el ángulo dado, en $A C^{'}$ tomamos un punto $C$ arbitrario, sobre $C A$ y con vértice en $C$ abrimos un ángulo igual a $ω$ en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, hacemos lo mismo pero esta vez sobre $A B$ en y vértice en $A$ .

La intersección de los segundos lados de los ángulos construidos será $Ω$ , el primer punto de Brocard, ahora sobre $Ω C$ construimos el lugar geométrico de los puntos que subtienden un ángulo igual a $ω$ con los puntos $Ω$ y $C$ , el cual es un arco de circunferencia.

Este arco puede intersecar a $A B^{'}$ en dos puntos $B$ y $B^{″}$ , entonces obtenemos $△ A B C$ y $△ A C B^{″}$ , sin embargo, estos dos triángulos son semejantes, si este arco no interseca a $A B$ entonces no hay solución.

$△ A B C$ es semejante al triangulo requerido, el cual puede ser construido a partir del lado dado.

Triángulo circunscrito de ceva de los puntos de Brocard

Teorema 3.
$i)$ Los rayos de Brocard intersecan otra vez al circuncírculo del triángulo, en tres puntos que forman un triángulo congruente con el triángulo original,
$i i)$ este triángulo puede ser obtenido rotando el triángulo original un ángulo igual a dos veces su ángulo de Brocard con centro en el circuncentro,
$i i i)$ el primer (segundo) punto de Brocard del triángulo original es el segundo (primer) punto de Brocard del triángulo rotado.

Demostración. Sea $Ω$ el punto positivo de Brocard de $△ A B C$ , consideremos $B^{'}$ , $C^{'}$ , $A^{'}$ las segundas intersecciones de $A Ω$ , $B Ω$ , $C Ω$ con el circuncírculo de $△ A B C$ .

Entonces,
$∠ B^{'} A^{'} C^{'} = ∠ B^{'} A^{'} C + ∠ C A^{'} C^{'} = ∠ B^{'} A C + ∠ C B C^{'} = ∠ B^{'} A C + ω = ∠ B A C$ .

Igualmente vemos que $∠ B = ∠ B^{'}$ y $∠ C^{'} = ∠ C$ .

Como $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ son semejantes y están inscritos en el mismo circulo, entonces son congruentes.

Por otro lado, $∠ A O A^{'} = 2 ∠ A C A^{'} = 2 ω$ .

Finalmente $∠ Ω A^{'} C^{'} = ∠ C A^{'} C^{'} = ∠ C B C^{'} = ω$ .

Similarmente, $∠ Ω C^{'} B^{'} = ω = ∠ Ω B^{'} A^{'}$ .

Por lo tanto $Ω$ es el segundo punto de Brocard de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Corolario 4. Los dos puntos de Brocard de un triángulo son equidistantes del circuncentro del triángulo.

Demostración. Si partimos esta vez del triángulo $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ y hacemos una rotación un ángulo igual a $2 ω$ con centro en $O$ en el sentido de las manecillas del reloj, entonces su segundo punto de Brocard coincidirá con el segundo punto de Brocard de $△ A B C$ .

Ya que el segundo punto de Brocard de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , es el primer punto de Brocard de $△ A B C$ , entonces estos puntos son equidistantes a $O$ .

Triángulo pedal de los puntos de Brocard

Corolario 5. El triángulo pedal del primer (segundo) punto de Brocard es semejante a su triángulo de referencia, además el primer (segundo) punto de Brocard es el mismo para ambos triángulos.

Demostración. En la figura anterior, sean $Ω_{a}$ , $Ω_{b}$ , $Ω_{c}$ , las proyecciones de $Ω$ en $B C$ , $C A$ , $A B$ , respectivamente.

En la entrada anterior mostramos que para cualquier punto $ω$ , su triángulo pedal $△ Ω_{a} Ω_{b} Ω_{c}$ , es semejante a su triángulo circunscrito de Ceva respecto de $△ B^{'} C^{'} A^{'}$ .

Por el teorema anterior, $△ A B C ≅ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ , por lo tanto $△ Ω_{c} Ω_{a} Ω_{b} \sim △ A B C$ .

Por otro lado, como $Ω_{c} B Ω_{a} Ω$ es cíclico entonces
$∠ Ω Ω_{c} Ω_{a} = ∠ Ω B Ω_{a} = ω$ .

Igualmente vemos que $∠ Ω Ω_{a} Ω_{b} = ω = ∠ Ω Ω_{b} Ω_{c}$ .

La prueba es análoga para el caso del segundo punto de Brocard.

Corolario 6. Los triángulos pedales de los dos puntos de Brocard de un triángulo son congruentes.

Demostración. Como los dos puntos de Brocard de un triángulo son conjugados isogonales, entonces sus triangulo pedales tienen el mismo circuncírculo y como son semejantes, entonces son congruentes.

Más adelante…

Continuando con el tema de geometría de Brocard, en la siguiente entrada hablaremos de la circunferencia de Brocard, veremos que los puntos de Brocard están en esta circunferencia y que estos permiten la construcción de un triángulo que es semejante y esta en perspectiva con el triángulo original.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Prueba que $\cot ω = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 (△ A B C)}$ .
Muestra que el valor del ángulo de Brocard $ω$ de un triángulo es a lo mas $\frac{π}{6}$ .
Muestra que los triángulos antipedales de los puntos de Brocard son semejantes a su triangulo de referencia.
Construye un triángulo dados dos lados indefinidos y un punto de Brocard.
Muestra que un rayo de Brocard, una mediana y una simediana, cada uno por un vértice distinto de un triángulo, son concurrentes.

Entradas relacionadas

Ir a Geometría Moderna I.
Entrada anterior del curso: Rectas isogonales.
Siguiente entrada del curso: Circunferencia de Brocard.
Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 274-278.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 263-270.
Honsberger, R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington: The Mathematical Association of America, 1995, pp 99-106.
Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 71-73.
Aref, M. y Wernick, W., Problems and Solutions in Euclidean Geometry. New York: Dover, 2010, pp 188-191.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Rectas isogonales

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Deja un comentario

Introducción

En esta ocasión hablaremos sobre un tipo mas general de pares de rectas que las medianas y simedianas, estas son las rectas isogonales, esto nos permitirá hablar sobre pares de puntos mas generales que el centroide y el punto simediano, nos referimos a los puntos conjugados isogonales y a sus triángulos pedales.

Rectas isogonales

Definición 1. Dos rectas que pasan por el vértice de un ángulo tales que una es la reflexión de la otra respecto a la bisectriz del ángulo, se llaman rectas isogonales.

Teorema 1. Las distancias a los lados de un ángulo desde dos puntos en dos rectas que pasan por el vértice del ángulo son inversamente proporcionales si y solo si las rectas son isogonales.

Demostración. Si $A P$ y $A Q$ son dos rectas isogonales respecto del ángulo $∠ B A C$ , considera $P_{c}$ , $Q_{c}$ , las proyecciones de $P$ y $Q$ en $A B$ , y $P_{b}$ , $Q_{b}$ , las proyecciones de $P$ y $Q$ en $A C$ .

Como $A P$ , $A Q$ son isogonales entonces $∠ B A P = ∠ Q A C$ y tenemos las siguientes semejanzas $△ A P P_{c} \sim △ A Q Q_{b}$ , $△ A P P_{b} \sim △ A Q Q_{c}$ por lo tanto,
$\frac{P P_{c}}{Q Q_{b}} = \frac{A P}{A Q} = \frac{P P_{b}}{Q Q_{c}}$ .

Ahora supongamos que las distancias a los lados del ángulo, desde $P$ y $Q$ , son inversamente proporcionales.

Notemos que los cuadriláteros $A P_{c} P P_{b}$ , $A Q_{c} Q Q_{b}$ son cíclicos, por lo tanto, los pares de ángulos $∠ B A C$ , $∠ P_{b} P P_{c}$ y $∠ B A C$ , $∠ Q_{b} Q Q_{c}$ son suplementarios, entonces $∠ P_{b} P P_{c} = ∠ Q_{b} Q Q_{c}$ .

Por hipótesis tenemos que $P P_{c} \times Q Q_{c} = P P_{b} \times Q Q_{b}$
$\Rightarrow \frac{P P_{c}}{Q Q_{b}} = \frac{P P_{b}}{Q Q_{c}}$ .

Por criterio de semejanza LAL, $△ P P_{b} P_{c} \sim △ Q Q_{c} Q_{b}$ , y como $A P_{c} P P_{b}$ , $A Q_{c} Q Q_{b}$ son cíclicos, entonces
$∠ B A P = ∠ P_{c} P_{b} P = ∠ Q Q_{c} Q_{b} = ∠ Q A C$ .

Por lo tanto $A P$ y $A Q$ son isogonales.

Puntos conjugados isogonales

Teorema 2. Si tres cevianas de un triángulo son concurrentes, entonces sus rectas isogonales respecto de los ángulos del triángulo son concurrentes, los puntos de concurrencia se llaman conjugados isogonales respecto al triángulo considerado.

Si en $△ A B C$ , $A P$ , $B P$ , $C P$ son tres cevianas concurrentes, consideremos $Q$ la intersección de las isogonales $B Q$ , $C Q$ de $B P$ y $C P$ respectivamente, sean $P_{a}$ , $P_{b}$ , $P_{c}$ ; $Q_{a}$ , $Q_{b}$ , $Q_{c}$ , las proyecciones de $P$ y $Q$ en $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente.

Por el teorema 1, $\frac{P P_{a}}{P P_{c}} = \frac{Q Q_{c}}{Q Q_{a}}$ y $\frac{P P_{b}}{P P_{a}} = \frac{Q Q_{a}}{Q Q_{b}}$ .

Como resultado, $P P_{c} \times Q Q_{c} = P P_{a} \times Q Q_{a} = P P_{b} \times Q Q_{b}$ .

Por el teorema 1, $P$ y $Q$ están sobre rectas isogonales repecto de $∠ B A C$ .

Proposición 1. Dados un ángulo y un punto, la recta que une las proyecciones del punto a los lados del ángulo, es perpendicular a la isogonal a la recta que une el vértice del ángulo con el punto dado.

Demostración. En la entrada simediana probamos la misma proposición, pero para simedianas y medianas, la demostración permanece igual para el caso general.

Corolario. Dados un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , las perpendiculares desde los vértices del triángulo a los lados del triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ , concurren en el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Demostración. Aplicamos la proposición anterior a los tres ángulos del triángulo y recordamos que las tres isogonales a $A P$ , $B P$ y $C P$ son concurrentes (figura 2).

Proposición 2. El conjugado isogonal de un punto respecto a un triángulo es un punto al infinito si y solo si el punto se encuentra en el circuncírculo del triángulo.

Demostración. Sean $△ A B C$ , y $P$ un punto, recordemos que el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ degenera en una recta, la recta de Simson, sí y solo si $P$ esta en el circuncírculo de $△ A B C$ .

Por la proposición 1, las rectas isogonales a $A P$ , $B P$ , $C P$ , respecto de los ángulos de $△ A B C$ son perpendiculares a los lados del triángulo pedal, por lo tanto estas rectas son paralelas si y solo si las proyecciones de $P$ en los lados de $△ A B C$ son colineales.

Ya que las rectas paralelas se intersecan en un punto ideal y las isogonales a $A P$ , $B P$ , $C P$ se intersecan en el conjugado isogonal a $P$ , se tiene el resultado.

Circulo pedal de conjugados isogonales

Proposición 3. Las proyecciones a los lados de un ángulo desde dos puntos en dos rectas isogonales son cíclicos y el centro de la circunferencia es el punto medio entre $P$ y $Q$ .

Demostración. En la demostración del teorema 1, vimos que se tienen la siguientes semejanzas, $△ A P P_{c} \sim △ A Q Q_{b}$ , $△ A P P_{b} \sim △ A Q Q_{c}$ , es decir,
$\frac{A P_{c}}{A Q_{b}} = \frac{A P}{A Q} = \frac{A P_{b}}{A Q_{c}}$
$\Rightarrow A P_{c} \times A Q_{c} = A P_{b} \times A Q_{b}$ .

Por el teorema de las cuerdas, $P_{c} Q_{b} P_{b} Q_{c}$ es un cuadrilátero cíclico.

Por otra parte, en $△ P_{c} Q_{c} P$ , la mediatriz de $P_{c} Q_{c}$ es paralela a $P_{c} P$ y pasa por el punto medio de $P_{c} Q_{c}$ , por lo tanto pasa por el punto medio de $P Q_{c}$ .

En $△ P Q_{c} Q$ la mediatriz de $P_{c} Q_{c}$ es paralela a $Q_{c} Q$ y pasa por el punto medio de $P Q_{c}$ por lo tanto pasa por el punto medio de $P Q$ .

Igualmente vemos que la mediatriz de $P_{b} Q_{b}$ pasa por el punto medio de $P Q$ .

Como $P_{c} Q_{c}$ y $P_{b} Q_{b}$ son cuerdas de la circunferencia sus mediatrices se intersecan en el centro, por lo tanto este coincide con el punto medio de $P Q$ .

Teorema 3. Los triángulos pedales de dos puntos que son conjugados isogonales respecto a un triángulo tienen el mismo circuncírculo y su centro es el punto medio entre los puntos isogonales, esta circunferencia se conoce como circulo pedal de los puntos conjugados isogonales.

Demostración. Sean $O$ el punto medio de $P Q$ y $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ , $△ Q_{a} Q_{b} Q_{c}$ , los triángulos pedales de $P$ y $Q$ .

Por la proposición anterior, $Q_{c} P_{C} Q_{b} P_{b}$ es cíclico, con centro en $O$ , $Q_{c} P_{c} P_{a} Q_{a}$ es cíclico con centro en $O$ , $P_{b} P_{a} Q_{a} Q_{b}$ es cíclico con centro en $O$ .

Como estas tres circunferencias son concéntricas y tienen el mismo radio, son la misma.

Teorema 4. Dado un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el circuncírculo del triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ , corta a los lados de $△ A B C$ en los vértices del triángulo pedal del conjugado isogonal de $P$ respecto a $△ A B C$ .

Demostración. Si $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ es el triángulo pedal de $P$ (figura 5), sean $Q_{a} \in B C$ , $Q_{b} \in C A$ , $Q_{c} \in A B$ , las otras tres intersecciones de $Γ (O)$ , el circuncírculo de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ con $△ A B C$ , consideremos $Q$ el conjugado isogonal de $P$ respecto $△ A B C$ y $O M ∥ P P_{a}$ , con $M \in P_{a} Q$ .

Como $O M ∥ P P_{a}$ y pasa por el punto medio de $P Q$ entonces $M$ es el punto medio de $P_{a} Q$ .

Como $O M ⊥ P_{a} Q_{a}$ y pasa por $O$ entonces es la mediatriz de $P_{a} Q_{a}$ y por lo tanto biseca a $P_{a} Q_{a}$ .

Ya que $O M$ biseca a $P_{a} Q_{a}$ y $P_{a} Q$ entonces $O M ∥ Q Q_{a}$ .

Por lo tanto, $Q Q_{a} ⊥ B C$ , igualmente vemos que $Q Q_{b} ⊥ C A$ , $Q Q_{c} ⊥ A B$ .

En consecuencia, $△ Q_{a} Q_{b} Q_{c}$ es el triángulo pedal de $Q$ .

Proposición 4. Dado un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el centro del circuncírculo del triángulo cuyos vértices son las reflexiones de $P$ respecto de los lados de $△ A B C$ , es el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Demostración. Sean $P_{a}^{'}$ , $P_{b}^{'}$ , $P_{c}^{'}$ , las respectivas reflexiones de $P$ respecto de $B C$ , $C A$ y $A B$ , considera $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Por construcción, $P$ es el centro de homotecia entre $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ y $△ P_{a}^{'} P_{b}^{'} P_{c}^{'}$ con razón de homotecia $2$ , por lo tanto, sus respectivos circuncírculos y sus circuncentros también están en homotecia con centro en $P$ y razón $2$ .

En consecuencia, si $O$ es el circuncentro de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ , entonces el circuncentro de $△ P_{a}^{'} P_{b}^{'} P_{c}^{'}$ se encuentra en la reflexión $Q$ , de $P$ respecto de $O$ .

Por el teorema 3, $Q$ el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Triángulo antipedal

Definición 2. Dado un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el triángulo $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ formado por las perpendiculares a $A P$ , $B P$ , $C P$ , por los vértices de $△ A B C$ se llama triángulo antipedal de $P$ respecto de $△ A B C$

Notemos que $△ A B C$ es el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Proposición 5. Sean $△ A B C$ y $P$ un punto, entonces el triángulo antipedal de $P$ respecto de $△ A B C$ y el triángulo pedal del conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ son homotéticos.

Demostración. Sea $Q$ el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ , consideremos $Q_{a} \in B C$ , $Q_{b} \in C A$ , $Q_{c} \in A B$ , las proyecciones de $Q$ en lados de $△ A B C$ .

Por la proposición 1, la isogonal $C P$ , de $C Q$ , es perpendicular a $Q_{a} Q_{b}$ entonces $A^{'} B^{'} ∥ Q_{a} Q_{b}$ (figura 7).

Igualmente vemos que $B^{'} C^{'} ∥ Q_{b} Q_{c}$ y $C^{'} A^{'} ∥ Q_{c} Q_{a}$ .

Por lo tanto, existe una homotecia entre $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ y $△ Q_{a} Q_{b} Q_{c}$ .

Área del triangulo pedal

Teorema 5, de Euler. Sean $△ A B C$ y $P$ un punto, considera $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ y $(O, R)$ el circuncírculo de $△ A B C$ , entonces podemos calcular el área de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ mediante la siguiente formula:
$(△ P_{a} P_{b} P_{c}) = \frac{| R^{2} - O P^{2} |}{4 R^{2}} (△ A B C)$ .

Demostración. Sean $D$ , $E$ , $F$ las segundas intersecciones de $A P$ , $B P$ , $C P$ con $(O, R)$ , veamos que $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ y $△ D E F$ son semejantes.

Tomando en cuenta que $P P_{c} P_{b} A$ y $P B P_{a} P_{c}$ son cíclicos tenemos:
$∠ D F E = ∠ D F P + ∠ P F E$
$= ∠ D A C + ∠ C B E = ∠ P A P_{b} + ∠ P_{a} B P$
$= (π - ∠ P_{b} P_{c} P) + (π - ∠ P P_{c} P_{a})$
$= 2 π - ∠ P_{b} P_{c} P_{a} = ∠ P_{a} P_{c} P_{b}$ .

De manera similar vemos que $∠ E D F = ∠ P_{b} P_{a} P_{c}$ y $∠ F E D = ∠ P_{c} P_{b} P_{a}$ , $\Rightarrow △ P_{a} P_{b} P_{c} \sim △ D E F$ .

Al triángulo $△ D E F$ se le conoce como triángulo circunscrito de Ceva de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Recordemos que podemos calcular el área de un triángulo como el producto de sus lados entre cuatro veces su circunradio, si $R_{p}$ es el circunradio de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ , entonces

$\begin{matrix} (1) & \frac{(△ P_{a} P_{b} P_{c})}{(△ A B C)} = \frac{P_{a} P_{b}}{A B} \times \frac{P_{b} P_{c}}{B C} \times \frac{P_{c} P_{a}}{C A} \times \frac{R}{R_{p}} . \end{matrix}$

Con el fin de calcular la última ecuación, consideremos los siguientes argumentos.

Como $△ P_{a} P_{b} P_{c} \sim △ D E F$ entonces $\frac{R}{R_{p}} = \frac{D E}{P_{a} P_{b}}$ .

Ya que $A B D E$ es cíclico, entonces $△ P A B \sim △ P E D$ , esto es
$\frac{P A}{P E} = \frac{A B}{E D}$ .

También, como $P P_{c} P_{b} A$ y $P B P_{a} P_{c}$ $P P_{a} C P_{b}$ son cíclicos y aplicando la ley extendida de los senos tenemos,
$P_{b} P_{c} = P A \sin ∠ A$ y $P_{c} P_{a} = P B \sin ∠ B$ .

Ahora, aplicamos la ley extendida de los senos en $△ A B C$ ,
$\frac{\sin ∠ A}{B C} = \frac{1}{2 R} = \frac{\sin ∠ B}{A C}$ .

Finalmente, la potencia de $P$ respecto de $(O, R)$ es $P B \times P E = | R^{2} - O P^{2} |$ .

Sustituyendo lo anterior en $(1)$ obtenemos:

$\frac{(△ P_{a} P_{b} P_{c})}{(△ A B C)} = \frac{P_{a} P_{b}}{A B} \times \frac{P A \sin ∠ A}{B C} \times \frac{P B \sin ∠ B}{C A} \times \frac{D E}{P_{a} P_{b}}$
$= \frac{P E}{P A} \times \frac{P A \times P B}{(2 R) (2 R)}$
$= \frac{| R^{2} - O P^{2} |}{4 R^{2}}$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre un par de puntos conjugados isogonales en particular, se trata de los puntos de Brocard, que tienen algunas propiedades especiales dentro de un triángulo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que:
$i)$ el ortocentro y el circuncentro de un triángulo son conjugados isogonales,
$i i)$ el incentro y los excentros de un triángulo son sus propios conjugados isogonales.
Sea $P$ un punto dentro de un triangulo $△ A B C$ , considera a $Q$ su conjugado isogonal, muestra que $∠ B P C + ∠ B Q C = π + ∠ B A C$ .
Sean $P$ y $Q$ puntos conjugados isogonales respecto a un triangulo $△ A B C$ , prueba que $\frac{A P \times A Q}{A B \times A C} + \frac{B P \times B Q}{B A \times B C} + \frac{C P \times C Q}{C A \times C B} = 1$ .
Sean $△ A B C$ y $P$ un punto en su interior, considera $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ el triángulo pedal de $P$ respecto $△ A B C$ , supón que $P_{a} P_{b} ⊥ P_{a} P_{c}$ , muestra que el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ es el ortocentro de $△ A P_{b} P_{c}$ .
En la figura 7, muestra que el producto de los triángulos homotéticos es igual al cuadrado del área de $△ A B C$ .

Entradas relacionadas

Ir a Geometría Moderna I.
Entrada anterior del curso: Circunferencias de Lemoine.
Siguiente entrada del curso: Puntos de Brocard.
Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 267-273.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 95-108.
Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 169-176.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 153-157.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

El blog de Leo

Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

Archivo de la etiqueta: triángulo antipedal

Geometría Moderna I: Puntos de Brocard

Introducción

Puntos de Brocard

Ángulo de Brocard

Construcción de un triángulo dado su ángulo de Brocard

Triángulo circunscrito de ceva de los puntos de Brocard

Triángulo pedal de los puntos de Brocard

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Fuentes

Agradecimientos

Geometría Moderna I: Rectas isogonales

Introducción

Rectas isogonales

Puntos conjugados isogonales

Circulo pedal de conjugados isogonales

Triángulo antipedal

Área del triangulo pedal

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Fuentes

Agradecimientos