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Teoría de los Conjuntos I: Conjunto cociente

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta entrada partimos de una relación de equivalencia y con ella definimos al conjunto cociente. Dicho conjunto tendrá como elementos a las clases de equivalencia de una relación. Además probaremos que toda relación de equivalencia induce una partición y viceversa.

Conjunto cociente

A continuación definimos un nuevo conjunto. Como parte de los ejercicios de la tarea moral, se incluye verificar que en efecto esta definición da un conjunto a partir de los axiomas.

Definición. Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$ . Definimos al conjunto cociente por la relación $R$ como el conjunto:

$A / R = {[a]_{R} : a \in A}$ .

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo.

Sea $A = {1, 2, 3, 4}$ y $R$ la relación identidad en $A$ . Sabemos que $R$ es de equivalencia en $A$ . Luego, siguiendo la definición de conjunto cociente tenemos que $A ╱ R = {[1]_{R}, [2]_{R}, [3]_{R}, [4]_{R}}$ , donde $[1]_{R} = {1}$ , $[2]_{R} = {2}$ , $[3]_{R} = {3}$ , $[4]_{R} = {4}$ .

Ejemplo.

Sean $A = {1, 2, 3, 4}$ y $R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 4), (4, 1)}$ . Se tiene que $R$ es una relación de equivalencia en $A$ . Luego, tenemos que

$A ╱ R = {[1]_{R}, [2]_{R}, [3]_{R}, [4]_{R}}$ ,

donde

$[1]_{R} = {1, 4}$ ,

$[2]_{R} = {2}$ ,

$[3]_{R} = {3}$ ,

$[4]_{R} = {4, 1}$ , pero este conjunto es igual a $[1]_{R}$ .

Por lo tanto, $A ╱ R = {[1]_{R}, [2]_{R}, [3]_{R}}$ .

Cada relación de equivalencia induce una partición

Teorema.¹ Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$ . El conjunto cociente $A ╱ R$ es una partición de $A$ .

Demostración.

Supongamos que $R$ es una relación de equivalencia en $A$ . Veamos que $A ╱ R$ es una partición de $A$ .

Sea $a \in A$ , vimos en la entrada de particiones que $[a]_{R} \neq \emptyset$ .
Sean $[a]_{R}, [b]_{R} \in A ╱ R$ tales que $[a]_{R} \neq [b]_{R}$ y veamos que $[a]_{R} \cap [b]_{R} = \emptyset$ . En la entrada anterior probamos que $a R b$ si y sólo si $[a]_{R} = [b]_{R}$ lo cual ocurre si y sólo si $[a]_{R} \cap [b]_{R} = \emptyset$ . De este modo, si $[a]_{R} \neq [b]_{R}$ , $[a]_{R} \cap [b]_{R} = \emptyset$ .
Por último, $⋃_{a \in A} [a]_{R} = A$ pues para cada $a \in A$ , $a \in [a]_{R}$ .

Este último teorema demuestra que toda relación de equivalencia induce una partición.

Las particiones inducen una relación de equivalencia

El teorema anterior nos permitió probar que cada relación de equivalencia induce una partición y de hecho, esta partición será el conjunto cociente, Podemos preguntarnos si el resultado se cumple «de regreso», en el sentido de si dada una partición podemos inducir una relación de equivalencia. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Este ejemplo es todavía algo informal, pues no hemos introducido formalmente a los números naturales, a los pares y los impares. Haremos esto más adelante. Por el momento, puedes usar lo que ya sabes de los números naturales y de su paridad.

Sea $A = {0, 1, 2, 3, \dots}$ y sean $A_{1} = {0, 2, 4, \dots}$ y $A_{2} = {1, 3, 5, \dots}$ . Resulta que $P$ es una partición de $A$ pues tanto $A_{1}$ y $A_{2}$ son conjuntos no vacíos, además $A_{1} \cap A_{2} = \emptyset$ y $A_{1} \cup A_{2} = A$ .

Queremos ver si existe la manera de relacionar a los elementos de $A$ tal que la relación que resulte sea de equivalencia. Consideremos la relación definida como sigue:

$R_{P} = {(a, b) \in A \times A : a, b \in A_{1} \lor a, b \in A_{2}}$ .

Notemos que la relación $R_{P}$ es una relación en $A$ y además relaciona a los elementos si pertenecen a un mismo conjunto de la partición.

Veamos que $R_{P}$ es una relación de equivalencia, para ello verifiquemos si es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.

Sea $a \in A$ . Si $a$ es un número par (existe $k$ tal que $a = 2 k$ ), entonces $a \in A_{1}$ y por lo tanto $(a, a) \in R_{P}$ .
Si $a$ es un número impar (existe $k$ tal que $a = 2 k + 1$ ), entonces $a \in A_{2}$ y por lo tanto $(a, a) \in R_{P}$ .
Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación reflexiva.
Supongamos que $(a, b) \in R_{P}$ y veamos que $(b, a) \in R_{P}$ .
Como $(a, b) \in R_{P}$ entonces $a, b \in A_{1}$ o $a, b \in A_{2}$ , lo que es equivalente a decir que $b, a \in A_{1}$ o $b, a \in A_{2}$ , es decir, $(b, a) \in R_{P}$ .
Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación simétrica.
Supongamos que $(a, b) \in R_{P}$ y $(b, c) \in R_{P}$ .
Como $(a, b) \in R_{P}$ entonces $a, b \in A_{1}$ o $a, b \in A_{2}$ . Luego, como $(b, c) \in R_{P}$ entonces $b, c \in A_{1}$ o $b, c \in A_{2}$ . Si $a, b \in A_{1}$ , entonces $b, c \in A_{1}$ , pues de lo contrario $b, c \in A_{2}$ y, por tanto, $b \in A_{1}$ al mismo tiempo que $b \in A_{2}$ y así, $b$ es par e impar, lo cuál no puede ocurrir. Por lo tanto, $b, c \in A_{1}$ , de modo que $a, c \in A_{1}$ y así, $(a, c) \in R_{P}$ . Análogamente, si $a, b \in A_{2}$ , entonces, $b, c \in A_{2}$ y, por tanto, $a, c \in A_{2}$ y $(a, c) \in R_{P}$ . Por lo tanto $R_{P}$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación de equivalencia.

Podemos demostrar que esto ocurre para cualquier conjunto y cualquier partición. Veamos el siguiente teorema.

Teorema.² Toda partición induce una relación de equivalencia.

Demostración.

Sea $A$ un conjunto y $P$ una partición de $A$ . Defimos a $R_{P}$ como el siguiente conjunto:

$R_{P} = {(a, b) \in A \times A : \exists p \in P tal que a, b \in p}$ .

Notemos que $R_{P}$ es una relación en $A$ pues es un subconjunto de $A \times A$ . Veamos que $R$ es de equivalencia, es decir, $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

Sea $a \in A$ . Dado que $P$ es una partición de $A$ , entonces $A = ⋃ P$ . Entonces existe $p \in P$ tal que $a \in p$ , de donde $(a, a) \in R_{P}$ . Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación reflexiva.
Supongamos que $(a, b) \in R_{P}$ y veamos que $(b, a) \in R_{P}$ .
Como $(a, b) \in R_{P}$ , existe $p \in P$ tal que $a, b \in p$ . Lo que es equivalente a decir que existe $p \in P$ tal que $b, a \in p$ , es decir, $(b, a) \in R_{P}$ . Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación simétrica.
Supongamos que $(a, b) \in R_{P}$ y $(b, c) \in R_{P}$ .
Como $(a, b) \in R_{P}$ , existe $p \in P$ tal que $a, b \in p$ . Luego, como $(b, c) \in R_{P}$ , existe $q \in P$ tal que $b, c \in q$ . Además $p = q$ pues de lo contrario, $p \neq q$ y $b \in p$ al mismo tiempo que $b \in q$ y así, $b \in p \cap q$ lo cual es una contradicción a la definición de partición. Por lo tanto, $p = q$ y así $a, c \in p$ , por lo que $(a, c) \in R_{P}$ . Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R_{P}$ es una relación de equivalencia en $A$ .

Con este último teorema hemos probado que en efecto, así como cada relación de equivalencia induce una partición, se cumple que cada partición induce una relación de equivalencia. Además, estas correspondencias son en cierto sentido «una la inversa de la otra» como explorarás en los ejercicios a continuación.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta entrada:

Demuestra mediante los axiomas que si $A$ es un conjunto y $R$ es una relación de equivalencia en $A$ , entonces $A ╱ R$ es un conjunto.
Sea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ y $R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (5, 6), (6, 5), (4, 6), (6, 4), (4, 5), (5, 4)}$ relación de equivalencia en $A$ . Determina al conjunto cociente de $A$ con respecto a $R$ .
Demuestra mediante los axiomas que $R_{P}$ del último teorema en efecto es un conjunto.
Demuestra lo siguiente, en términos de la notación usada en esta entrada:
- Si $A$ es conjunto y $R$ es relación de equivalencia en $A$ , entonces $R_{A ╱ R} = R$ .
- Si $A$ es conjunto $P$ es partición de $A$ , entonces $A ╱ R_{P} = P$ .
Si $R_{1}$ y $R_{2}$ son relaciones de equivalencia en $A$ , ya demostramos que $R_{1} \cap R_{2}$ también lo es. ¿Cómo es $A ╱ (R_{1} \cap R_{2})$ con respecto a $A ╱ R_{1}$ y $A ╱ R_{2}$ ?

Más adelante…

En la siguiente entrada introduciremos el concepto de orden parcial y de orden total. Estos son otro tipo especial de relaciones. Volveremos a usar las propiedades de reflexividad y transitividad. Sin embargo, tendremos que introducir otras como la asimetría, la antisimetría y la irreflexibilidad.

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Entrada relacionada: Álgebra Superior I: Relaciones de equivalencia y clases de equivalencia
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13,
SMM, 1998, p. 65. ↩︎
También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13,
SMM, 1998, p. 66. ↩︎

Teoría de los Conjuntos I: Funciones suprayectivas y biyectivas

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Si tenemos dos conjuntos $X$ y $Y$ y se nos pide definir una función $f : X \to Y$ lo que debemos hacer es relacionar a cada uno de los elementos de $X$ con un único elemento de $Y$ . Esta forma de proceder no garantiza que cualquier elemento de $Y$ se encuentra relacionado con algún elemento de $X$ . Aquellas funciones que sí cumplan esto último les llamaremos funciones suprayectivas y será el tema que trataremos en esta entrada.

Función suprayectiva

Definición. Sea $f : X \to Y$ una función. Si $f [X] = Y$ , entonces decimos que $f$ es suprayectiva.

Teorema. ¹Sea $f : X \to Y$ una función. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

$f$ es suprayectiva.
Para cualquier $y \in Y$ , existe $x \in X$ tal que $f (x) = y$ .
Para cualesquiera $h, k : Y \to Z$ tales que $h \circ f = k \circ f$ , se tiene que $h = k$ .

Demostración.

$1) \to 2)$

Supongamos que $f$ es suprayectiva, es decir que $f [X] = Y$ . Sea $y \in Y$ , entonces $y \in f [X]$ por lo que existe $x \in X$ tal que $f (x) = y$ . Por lo tanto, para cualquier $y \in Y$ existe $x \in X$ tal que $f (x) = y$ .

$2) \to 3)$

Sean $h, k : Y \to Z$ tales que $h \circ f = k \circ f$ . Veamos que $h = k$ . Sea $y \in Y$ , veamos que $h (y) = k (y)$ . Dado que $y \in Y$ , por hipótesis tenemos que existe $x \in X$ tal que $f (x) = y$ , por lo que $h (y) = h (f (x))$ y $k (y) = k (f (x))$ . Luego, como $(h \circ f) (x) = h (f (x)) = k (f (x)) = (k \circ f) (x)$ , tenemos que $h (y) = k (y)$ .

$3) \to 1)$

Observemos que $f [X] \subseteq Y$ , por lo que resta probar que $Y \subseteq f [X]$ . Definamos $h : Y \to {0, 1}$ y $k : Y \to {0, 1}$ funciones dadas por $h (y) = 0$ para todo $y \in Y$ y

$\begin{array}{r} k (y) = {\begin{array}{lcc} 0 & si & y \in f [X] \\ 1 & si & y \notin f [X] \end{array} \end{array}$

respectivamente.

Sea $x \in X$ , entonces $f (x) \in Y$ y así, $(h \circ f) (x) = h (f (x)) = 0$ y $(k \circ f) (x) = k (f (x)) = 0$ . Por lo tanto, $h \circ f = k \circ f$ y, por hipótesis $h = k$ .

Si tomamos $y \in Y$ , $h (y) = k (y)$ . Esto significa que $k (y) = 0$ , por lo tanto, debe ocurrir que $y \in f [X]$ .

Algunas funciones suprayectivas

Ejemplo.

La función identidad es suprayectiva. En efecto, sea $I d_{X} : X \to X$ la función identidad y sea $y \in X$ , entonces $y \in X$ satisface $I d_{X} (y) = y$ .

Por lo tanto, $I d_{X}$ es suprayectiva.

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto no vacío y $f : X \to {c}$ una función dada por $f (x) = c$ para todo $x \in X$ . Tenemos que $f$ es suprayectiva.

Dado que $c$ es el único elemento de ${c}$ , debemos encontrar que existe $x \in X$ tal que $f (x) = c$ . Como $X$ no es vacío, existe $x \in X$ y es tal que que $f (x) = c$ .

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto y $A \subseteq X$ un subconjunto propio de $X$ (distinto de $X$ y no vacío). La función característica de $A$ es una función suprayectiva.

Deseamos ver que para cualquier $y \in {0, 1}$ existe $x \in X$ tal que $χ_{A} (x) = y$ .

Caso 1: Si $y = 0$ , entonces tomemos $x \in X ∖ A$ de modo que $χ_{A} (x) = 0$ .

Caso 2: Si $y = 1$ , entonces tomemos $x \in A$ , de modo que $χ_{A} (x) = 1$ .

Por lo tanto, $χ_{A}$ es suprayectiva.

Composición de funciones y suprayectividad

Así como lo hicimos en la entrada anterior con respecto a la inyectividad, también podemos averiguar qué pasa con la composición de funciones con respecto a la suprayectividad. Tenemos el siguiente teorema.

Teorema. Sean $f : X \to Y$ y $g : Y \to Z$ funciones suprayectivas, $g \circ f$ es suprayectiva.

Demostración.

Sea $z \in Z$ , y veamos que existe $x \in X$ tal que $(g \circ f) (x) = z$ .
Dado que $g$ es suprayectiva y $z \in Z$ , entonces existe $y \in Y$ tal que $g (y) = z$ . Luego, como $f$ es suprayectiva y $y \in Y$ , entonces existe $x \in X$ tal que $f (x) = y$ , así $z = g (y) = g (f (x))$ . Por lo tanto, $g \circ f$ es suprayectiva.

Funciones biyectivas

Definición. Decimos que $f : X \to Y$ es una función biyectiva si y sólo si $f$ es inyectiva y suprayectiva.

Ejemplo.

La función identidad es biyectiva.

Verificamos en la entrada de funciones inyectivas que la función identidad es una función inyectiva, además de que en esta entrada verificamos que es suprayectiva.

Ejemplo.

Sean $X = {1, 2, 3}$ y $Y = {2, 4, 6}$ y sea $f : X \to Y$ la función dada por $f (x) = 2 x$ . Tenemos que $f$ es inyectiva pues es una función uno a uno, es decir, elementos distintos van a dar a elementos distintos. Más explícitamente $1$ va a dar a $2$ , $2$ a $4$ y $3$ a $6$ .

Además $f$ es suprayectiva, pues para cualquier $y \in Y$ , existe $x \in X$ tal que $f (x) = y$ . En efecto, esto sucede ya que para $2 \in Y$ existe $1 \in X$ tal que $f (1) = 2$ ; para $4 \in Y$ existe $2 \in X$ tal que $f (2) = 4$ y por último para $6 \in Y$ existe $3 \in X$ tal que $f (3) = 6$ .

Tarea moral

Realiza la siguiente lista de ejercicios que te ayudará a fortalecer los conceptos de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

Sean $f : X \to Y$ y $g : Y \to Z$ funciones. Demuestra que si $g \circ f$ es suprayectiva, entonces $g$ es suprayectiva.
Demuestra o da un contraejemplo del siguiente enunciado: Si $f : X \to Y$ y $g : Y \to Z$ son funciones tales que $g \circ f$ es suprayectiva, entonces $f$ es suprayectiva.
Sean $X = {1, 2, 3, \dots}$ y $Y = {3, 4, 5, \dots}$ y sea $f : X \to Y$ dada por $f (x) = 2 x + 3$ . ¿ $f$ es suprayectiva? Argumenta tu respuesta. Quizás a estas alturas tengas que ser un poco informal en términos de teoría de conjuntos, pero usa lo que conoces de las operaciones de números.

Más adelante…

Ahora que aprendimos el concepto de función inyectiva y suprayectiva tenemos las bases suficientes para hablar de funciones invertibles. Veremos funciones invertibles por la derecha e invertibles por la izquierda, cuyos conceptos resultarán equivalentes al de función suprayectiva y función inyectiva respectivamente.

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Entrada relacionada: Funciones inyectivas y suprayectivas
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998, pp. 52-53 ↩︎

Teoría de los Conjuntos I: Funciones inyectivas

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Introducción

En esta entrada abordaremos el concepto de función inyectiva. Una función inyectiva será aquella que relacione elementos distintos del dominio con elementos distintos del codominio.

Función inyectiva

Definición. Sea $f : X \to Y$ . Decimos que $f$ es una función inyectiva si para cualesquiera $x_{1}$ , $x_{2} \in X$ tales que $x_{1} \neq x_{2}$ , se tiene que $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ .

Ejemplo.

Sean $X = {1, 2, 3, 4}$ y $Y = {1, 2, 3, 4, 5}$ y sea $f : X \to Y$ una función dada por $f = {(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 5)}$ . Decimos que $f$ es inyectiva pues cada elemento de $X$ bajo la función va a dar a un elemento distinto de $Y$ , como se muestra en la siguiente imagen:

Ejemplo.

La función identidad es una función inyectiva.

En efecto, dado que $I d_{X} : X \to X$ esta dada por $I d_{X} (x) = x$ , entonces si $x_{1}, x_{2} \in X$ son tales que $I d_{X} (x_{1}) = I d_{X} (x_{2})$ , entonces tendríamos $x_{1} = I d_{X} (x_{1}) = I d_{X} (x_{2}) = x_{2}$ . Así, $x_{1} = x_{2}$ y por lo tanto $I d_{X}$ es inyectiva.

Ejemplo.

La función constante no es inyectiva si su dominio tiene más de un elemento.

Consideremos $X = {1, 2, 3}$ y $Y = {1}$ . Sea $f : X \to Y$ la función dada por $f (x) = 1$ para toda $x \in X$ . Consideremos $x_{1} = 1$ y $x_{2} = 2$ elementos de $X$ . Sabemos que $1 \neq 2$ por lo que para que nuestra función sea inyectiva esperamos que $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ , sin embargo, $f (1) = 1 = f (2)$ . Esto demuestra que, en general, las funciones constantes no son inyectivas.

Equivalencias de inyectividad

Aunque la definición de inyectividad es muy intuitiva («mandar elementos distintos a elementos distintos»), en la práctica nos conviene tener una serie de equivalencias de esta definición que podamos usar en situaciones variadas.

Teorema.¹ Sea $f : X \to Y$ una función tal que $X \neq \emptyset$ . Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

$f$ es inyectiva.
Para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in X$ si $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , entonces $x_{1} = x_{2}$ .
Para cualesquiera $h, k : Z \to X$ si $f \circ h = f \circ k$ , entonces $h = k$ .
Para cualesquiera $A, B$ subconjuntos de $X$ , se cumple que $f [B ∖ A] = f [B] ∖ f [A]$ .
Para cualesquiera $A, B$ subconjuntos de $X$ se cumple que $f [A \cap B] = f [A] \cap f [B]$ .

Demostración.

$1) \to 2)$
Supongamos que $f$ es inyectiva, esto es, para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in X$ tales que $x_{1} \neq x_{2}$ se tiene que $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ . Luego, sabemos que la implicación es equivalente a la contrapositiva por lo que podemos concluir que para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in X$ , si $f (x_{1}) = f (x_{2})$ entonces $x_{1} = x_{2}$ .

$2) \to 3)$
Supongamos que para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in X$ si $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , entonces $x_{1} = x_{2}$ y supongamos que $h, k : Z \to X$ son funciones tales que $f \circ h = f \circ k$ y veamos que $h = k$ .

Sea $z \in Z$ , entonces $h (z) \in X$ y $k (z) \in X$ , luego como $f \circ h = f \circ k$ tenemos que $(f \circ h) (z) = (f \circ k) (z)$ , de donde $f (h (z)) = f (k (z))$ y como $f$ es inyectiva entonces $h (z) = k (z)$ . Por lo tanto, $h (z) = k (z)$ para todo $z \in Z$ . Para concluir que $h = k$ notemos lo siguiente: $(z, y) \in h$ si y sólo si $h (z) = y$ , lo cual ocurre si y sólo si $k (z) = y$ , es decir, si y sólo si $(z, y) \in k$ .

$3) \to 4)$

Supongamos que para cualesquiera $h, k : Z \to X$ se cumple que si $f \circ h = f \circ k$ , entonces $h = k$ . Sean $A, B$ conjuntos tales que $A \subseteq B \subseteq X$ y veamos que $f [B ∖ A] = f [B] ∖ f [A]$ .

En la entrada de funciones vimos que siempre ocurre que $f [B] ∖ f [A] \subseteq f [B ∖ A]$ por lo que basta ver la otra contención.

Sea $y \in f [B ∖ A]$ , entonces existe $x \in B ∖ A$ tal que $f (x) = y$ . Tenemos que $x \in B$ y $x \notin A$ , de modo que $f (x) \in f [B]$ . Resta ver que $f (x) \notin f [A]$ . Supongamos que sí ocurre, es decir que $f (x) \in f [A]$ . Entonces existe $z \in A$ tal que $f (z) = f (x)$ .

Definamos $h : X \to X$ dada por $h (a) = x$ para todo $a \in X$ y $k : X \to X$ dada por $k (a) = z$ para todo $a \in X$ . Notemos que $h \neq k$ pues $z \neq x$ ya que $z \in A$ y $x \notin A$ . Luego, $(f \circ h) (a) = f (h (a)) = f (x)$ y $(f \circ k) (a) = f (k (a)) = f (z) = f (x)$ para cada $a \in A$ , por lo que $f \circ h = f \circ k$ . Así, por hipótesis se sigue que $h = k$ lo cuál es una contradicción, por lo tanto, no debe ocurrir que $f (x) \in f [A]$ . Así, $f (x) \in f [B] ∖ f [A]$ .

$4) \to 5)$

Supongamos que para cualesquiera $A, B$ subconjuntos de $X$ , se cumple que $f [B ∖ A] = f [B] ∖ f [A]$ . Veamos que $f [A \cap B] = f [A] \cap f [B]$ .

En la entrada de funciones probamos que $f [A \cap B] \subseteq f [A] \cap f [B]$ , por lo que basta ver que $f [A] \cap f [B] \subseteq f [A \cap B]$ .

Sea $y \in f [A] \cap f [B]$ , entonces $y \in f [A]$ y $y \in f [B]$ , así existe $x \in A$ tal que $f (x) = y$ . Queremos demostrar que $x \in B$ . Supongamos que no es así, es decir $x \notin B$ . Por lo tanto, $x \in A ∖ B$ y $y = f (x) \in f [A ∖ B] = f [A] ∖ f [B]$ .

Se sigue que $y \in f [A]$ y $y \notin f [B]$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, debe ocurrir que $x \in B$ , así existe $x \in A \cap B$ tal que $f (x) = y$ .

Por lo tanto, $f [A] \cap f [B] = f [A \cap B]$ .

$5) \to 1)$

Supongamos que para cualesquiera $A, B \subseteq X$ se cumple que $f [A] \cap f [B] = f [A \cap B]$ .

Sean $x_{1}, x_{2} \in X$ tales que $x_{1} \neq x_{2}$ , veamos que $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ .

Consideremos ${x_{1}}$ y ${x_{2}}$ subconjuntos de $X$ . Luego,

$\begin{aligned} \emptyset & = f [\emptyset] \\ = f [{x_{1}} \cap {x_{2}}] \\ = f [{x_{1}}] \cap f [{x_{2}}] por hipótesis \\ = {f (x_{1})} \cap {f (x_{2})} . \end{aligned}$

Luego, como ${f (x_{1})} \cap {f (x_{2})} = \emptyset$ , se tiene ${f (x_{1})} \neq {f (x_{2})}$ y por lo tanto, $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ .

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Por lo tanto, todos los enunciados anteriores son equivalentes.

Aunque existen muchas equivalencias de función inyectiva, para estas notas usaremos con mayor frecuencia la equivalencia dos del resultado anterior.

¿Qué pasa con la composición y la inyectividad?

Anteriormente vimos que la composición de funciones (pensándolas como relaciones) resulta ser una función. Podemos preguntarnos qué ocurre si las funciones que conforman a la composición son inyectivas. ¿Será que eso implica que la composición es inyectiva? Esto lo responde el siguiente teorema.

Teorema. Sean $f : X \to Y$ y $g : Y \to Z$ funciones inyectivas. Se cumple que $g \circ f$ es inyectiva.

Demostración.

Sean $f$ y $g$ funciones inyectivas y sean $x_{1}, x_{2} \in X$ tales que $(g \circ f) (x_{1}) = g (f (x_{1})) = g (f (x_{2})) = (g \circ f) (x_{2})$ . Dado que $f (x_{1}), f (x_{2}) \in Y$ y $g$ es inyectiva, entonces $g (f (x_{1})) = g (f (x_{2}))$ implica que $f (x_{1}) = f (x_{2})$ . Por la inyectividad de $f$ podemos concluir que $x_{1} = x_{2}$ . Por lo tanto, $g \circ f$ es una función inyectiva.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el tema de funciones inyectivas.

Demuestra que la función inclusión es inyectiva.
Sean $A = {1, 2, 3}$ , $B = {1, 2}$ y $C = {1, 2}$ conjuntos. Sean $f : A \to B$ y $g : B \to C$ funciones dadas por $f = {(1, 1), (2, 1), (3, 2)}$ y $g = {(1, 2), (2, 1)}$ respectivamente. Escribe al conjunto $g \circ f$ y ve si la función correspondiente es inyectiva. Argumenta tu respuesta.
Si $f \circ g$ es inyectiva, ¿es cierto que $f$ y $g$ son inyectivas? ¿Será cierto que por lo menos una de ellas siempre es inyectiva?
Demuestra que la función $\emptyset$ es inyectiva.
Demuestra que $f : X \to Y$ una función constante es inyectiva si y sólo si $X = {x}$ para algún conjunto $x$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada abordaremos el tema de funciones suprayectivas. Con este tema tendremos los conceptos necesarios para comenzar a hablar acerca de funciones biyectivas e invertibles.

Entradas relacionadas

Entrada relacionada: Álgebra Superior I: Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998, pp. 51-52. ↩︎

Teoría de los conjuntos I: Funciones (parte II)

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Introducción

En esta sección hablaremos acerca de algunas propiedades de la imagen y la imagen inversa de un conjunto bajo una función, dichas propiedades hablan de cómo se comportan estos conjuntos con respecto a la unión, la intersección y la diferencia.

Propiedades de la imagen de un conjunto

A continuación enunciamos algunas propiedades de la imagen de conjuntos bajo una función.

Teorema. Sean $X$ y $Y$ conjuntos y sea $f : X \to Y$ una función. Sean $X_{1}, X_{2} \subseteq X$ y $Y_{1}, Y_{2} \subseteq Y$ . Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Si $X_{1} \subseteq X_{2}$ , entonces $f [X_{1}] \subseteq f [X_{2}]$ ,
$f [X_{1} \cup X_{2}] = f [X_{1}] \cup f [X_{2}]$ ,
$f [X_{1} \cap X_{2}] \subseteq f [X_{1}] \cap f [X_{2}]$ ,
$f [X_{1}] ∖ f [X_{2}] \subseteq f [X_{1} ∖ X_{2}]$ ,
Si $Y_{1} \subseteq Y_{2}$ , entonces $f^{- 1} [Y_{1}] \subseteq f^{- 1} [Y_{2}]$ ,
$f^{- 1} [Y_{1} \cup Y_{2}] = f^{- 1} [Y_{1}] \cup f [Y_{2}]$ .¹

Demostración.

1) Supongamos que $X_{1} \subseteq X_{2}$ y veamos que $f [X_{1}] \subseteq f [X_{2}]$ .
Sea $y \in f [X_{1}]$ , entonces existe $x \in X_{1}$ tal que $f (x) = y$ . Dado que $X_{1} \subseteq X_{2}$ , entonces $x \in X_{2}$ cumple $f (x) = y$ , esto es $y \in f [X_{2}]$ .
Por lo tanto, $f [X_{1}] \subseteq f [X_{2}]$ .

2) Veamos que $f [X_{1} \cup X_{2}] = f [X_{1}] \cup f [X_{2}]$ .

$\subseteq$ ] Sea $y \in f [X_{1} \cup X_{2}]$ , entonces existe $x \in X_{1} \cup X_{2}$ tal que $f (x) = y$ . Entonces $x \in X_{1}$ o $x \in X_{2}$ cumple $f (x) = y$ .

Si $x \in X_{1}$ , f(x)=y entonces $y \in f [X_{1}]$ y por lo tanto $y \in f [X_{1}] \cup f [X_{2}]$ .
Si $x \in X_{2}$ , f(x)=y entonces $y \in f [X_{2}]$ y por lo tanto $y \in f [X_{1}] \cup f [X_{2}]$ .

Por lo tanto, $f [X_{1} \cup X_{2}] \subseteq f [X_{1}] \cup f [X_{2}]$ .

$\supseteq$ ] Sea $y \in f [X_{1}] \cup f [X_{2}]$ , entonces $y \in f [X_{1}]$ o $y \in f [X_{2}]$ .

Si $y \in f [X_{1}]$ , entonces existe $x \in X_{1}$ tal que $f (x) = y$ . Luego, como $X_{1} \subseteq X_{1} \cup X_{2}$ , tenemos que $x \in X_{1} \cup X_{2}$ . Por lo tanto, existe $x \in X_{1} \cup X_{2}$ tal que $f (x) = y$ , esto es $y \in f [X_{1} \cup X_{2}]$ .

Si $y \in f [X_{2}]$ , entonces existe $x \in X_{2}$ tal que $f (x) = y$ . Luego, como $X_{2} \subseteq X_{1} \cup X_{2}$ , tenemos que $x \in X_{1} \cup X_{2}$ . Por lo tanto, existe $x \in X_{1} \cup X_{2}$ tal que $f (x) = y$ , esto es $y \in f [X_{1} \cup X_{2}]$ .

Por lo tanto, $f [X_{1}] \cup f [X_{2}] \subseteq f [X_{1} \cup X_{2}]$ .

De las contenciones que demostramos tenemos que $f [X_{1}] \cup f [X_{2}] = f [X_{1} \cup X_{2}]$ .

3) Ahora veamos que $f [X_{1} \cap X_{2}] \subseteq f [X_{1}] \cap f [X_{2}]$ .

Sea $y \in f [X_{1} \cap X_{2}]$ , entonces existe $x \in X_{1} \cap X_{2}$ tal que $f (x) = y$ . Entonces $x \in X_{1}$ , y $x \in X_{2}$ y cumple $f (x) = y$ .

De donde $y \in f [X_{1}]$ y $y \in f [X_{2}]$ . Por lo tanto, $y \in f [X_{1}] \cap f [X_{2}]$ .

Así, $f [X_{1} \cap X_{2}] \subseteq f [X_{1}] \cap f [X_{2}]$ .

4) A continuación mostraremos que $f [X_{1}] ∖ f [X_{2}] \subseteq f [X_{1} ∖ X_{2}]$ .

Sea $y \in f [X_{1}] ∖ f [X_{2}]$ , entonces $y \in f [X_{1}]$ y $y \notin f [X_{2}]$ .

Dado que $y \in f [X_{1}]$ , entonces existe $x \in X_{1}$ tal que $f (x) = y$ . Luego, como $y \notin f [X_{2}]$ entonces para cualquier $a \in X_{2}$ , $f (a) \neq y$ . Resulta que $x \notin X_{2}$ pues de lo contrario $f (x) \neq y$ lo cual no puede ocurrir.

Por lo tanto, $x \in X_{1} ∖ X_{2}$ y cumple $f (x) = y$ , esto es, $y \in f [X_{1} ∖ X_{2}]$ .

5) Supongamos que $Y_{1} \subseteq Y_{2}$ y veamos que $f^{- 1} [Y_{1}] \subseteq f^{- 1} [Y_{2}]$ .
Sea $x \in f^{- 1} [Y_{1}]$ , entonces existe $y \in Y_{1}$ tal que $f (x) = y$ . Dado que $Y_{1} \subseteq Y_{2}$ , entonces $y \in Y_{2}$ y se cumple $f (x) = y$ , esto es $x \in f^{- 1} [Y_{2}]$ .
Por lo tanto, $f^{- 1} [Y_{1}] \subseteq f^{- 1} [Y_{2}]$ .

6) Finalmente veamos que $f^{- 1} [Y_{1} \cup Y_{2}] = f^{- 1} [Y_{1}] \cup f^{- 1} [Y_{2}]$ .

$\subseteq$ ] Sea $x \in f^{- 1} [Y_{1} \cup Y_{2}]$ , entonces existe $y \in Y_{1} \cup Y_{2}$ tal que $f (x) = y$ . Luego, como $y \in Y_{1} \cup Y_{2}$ se tiene que $y \in Y_{1}$ o $y \in Y_{2}$ .
Si $y \in Y_{1}$ , tenemos que $x \in f^{- 1} [Y_{1}]$ . Por lo tanto $x \in f^{- 1} [Y_{1}] \cup f^{- 1} [Y_{2}]$ .
Si $y \in Y_{2}$ , tenemos que $x \in f^{- 1} [Y_{2}]$ . Por lo tanto $x \in f^{- 1} [Y_{1}] \cup f^{- 1} [Y_{2}]$ .

$\supseteq$ ] Sea $x \in f^{- 1} [Y_{1}] \cup f^{- 1} [Y_{2}]$ , entonces $x \in f^{- 1} [Y_{1}]$ o $x \in f^{- 1} [Y_{2}]$ .
Si $x \in f^{- 1} [Y_{1}]$ , entonces existe $y \in Y_{1}$ tal que $f (x) = y$ . Así, existe $y \in Y_{1} \cup Y_{2}$ tal que $f (x) = y$ . Por lo tanto, $x \in f^{- 1} [Y_{1} \cup Y_{2}]$ .
Si $x \in f^{- 1} [Y_{2}]$ , entonces existe $y \in Y_{2}$ tal que $f (x) = y$ . Así, existe $y \in Y_{1} \cup Y_{2}$ tal que $f (x) = y$ . Por lo tanto, $x \in f^{- 1} [Y_{1} \cup Y_{2}]$ .

De las contenciones que demostramos tenemos que $f^{- 1} [Y_{1} \cup Y_{2}] = f^{- 1} [Y_{1}] \cup f^{- 1} [Y_{2}]$ .

¿Será cierto que $f [X_{1} \cap X_{2}] = f [X_{1}] \cap f [X_{2}]$ ?

Ya vimos que $f [X_{1} \cap X_{2}] \subseteq f [X_{1}] \cap f [X_{2}]$ , por lo que, al igual que con la unión, podríamos pensar que se cumple la igualdad entre los conjuntos. Sin embargo, vamos a ver que en ocasiones $f [X_{1}] \cap f [X_{2}] ⊈ f [X_{1} \cap X_{2}]$ .

Ejemplo.

Sean $X = {0, 1, 2}$ y $Y = {1, 2, 3}$ conjuntos y sea $f : X \to Y$ una función dada por el conjunto $f (x) = 2$ . Sean $X_{1} = {0, 1}$ y $X_{2} = {2}$ subconjuntos de $X$ .

Por un lado tenemos que $X_{1} \cap X_{2} = {0, 1} \cap {2} = \emptyset$ , por lo que $f [X_{1} \cap X_{2}] = f [\emptyset] = \emptyset$ .

Por otro lado, $f [X_{1}] = f [{0, 1}] = {2}$ y $f [X_{2}] = f [{2}] = {2}$ . Así, $f [X_{1}] \cap f [X_{2}] = {2}$ .

Por lo tanto, $f [X_{1}] \cap f [X_{2}] ⊈ f [X_{1} \cap X_{2}]$ .

¿Será cierto que $f [X_{1} ∖ X_{2}] = f [X_{1}] ∖ f [X_{2}]$ ?

Ya vimos que $f [X_{1}] ∖ f [X_{2}] \subseteq f [X_{1} ∖ X_{2}]$ , pero veremos que la contención de regreso no siempre es posible, es decir, $f [X_{1} ∖ X_{2}] ⊈ f [X_{1}] ∖ f [X_{2}]$ . Un ejemplo de esto se muestra a continuación.

Ejemplo.

Sean $X = {0, 1, 2}$ y $Y = {1, 2, 3}$ conjuntos y sea $f : X \to Y$ una función dada por $f (x) = 2$ . Sean $X_{1} = {0, 1}$ y $X_{2} = {1, 2}$ subconjuntos de $X$ .

Por un lado tenemos que $X_{1} ∖ X_{2} = {0, 1} ∖ {1, 2} = {0}$ , por lo que $f [X_{1} ∖ X_{2}] = f [{0}] = {2}$ .

Por otro lado, $f [X_{1}] = f [{0, 1}] = {2}$ y $f [X_{2}] = f [{1, 2}] = {2}$ . Así, $f [X_{1}] ∖ f [X_{2}] = \emptyset$ .

Por lo tanto, $f [X_{1} ∖ X_{2}] ⊈ f [X_{1}] ∖ f [X_{2}]$ .

Restricción de una función

Si ya tenemos una función que va de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ , podemos «limitar» a la función a un subconjunto de $X$ mediante la siguiente definición.

Definición. Sea $f : X \to Y$ una función y sea $A \subseteq X$ . Decimos que la restricción de $f$ en $A$ es la función $f ↾_{A} : A \to Y$ dada por $f ↾_{A} (x) = f (x)$ para todo $x \in A$ .

Aunque las funciones $f$ y $f ↾$ tengan la misma regla de correspondencia, típicamente son funciones distintas pues casi siempre tienen dominios distintos (a menos que $X = A$ ).

Ejemplo.

Sean $X = {1, 2, 3, 4}$ y $Y = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Sea $f : X \to Y$ la función dada por ${(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1)}$ . Si restringimos $f$ al subconjunto $1, 2, 3$ obtenemos la función identidad en este subconjunto. En efecto, $f ↾_{A} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}$ .

Composición de funciones

Recuerda que podemos pensar a una función $f : X \to Y$ como una «regla de correspondencia» que manda a cada elemento de $X$ a uno y sólo un elemento de $Y$ . Si tenemos otra función $g : Y \to Z$ entonces también $g$ da una «regla de correspondencia», pero para mandar elementos de $Y$ a $Z$ . Entonces, suena a que podríamos combinar a $f$ con $g$ de alguna manera para enviar elementos de $X$ a $Z$ . Esto lo hará la composición de funciones. Reescribamos la definición que teníamos de relaciones, pero ahora para funciones.

Definición. Sean $f : X \to Y$ y $g : Y \to Z$ . Definimos a la composición de $f$ con $g$ como el siguiente conjunto:

$g \circ f = {(x, z) : \exists y \in Y (f (x) = y y g (y) = z)}$ .

Observa que estamos pidiendo que si estas dos igualdades pasan, entonces $g \circ f$ tiene a la pareja $(x, z)$ . Como enuncia el siguiente teorema, esto impicará que $g \circ f$ es función, y que su regla de correspondencia será $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ .

Proposición. Si $f : X \to Y$ y $g : Y \to Z$ son funciones, entonces $g \circ f : X \to Z$ es función. Además, cumplirá que $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ para toda $x \in X$ .

Demostración.

En la sección de composición de relaciones vimos que si $f$ y $g$ son relaciones, entonces $g \circ f$ es relación, por lo que resta ver que $g \circ f$ es funcional y total.

Para ver que es funcional, supongamos que hay parejas $(x, z)$ y $(x, z^{'})$ en $g \circ f$ . Por definición, esto implica que existen $y$ y $y^{'}$ en $Y$ tales que $(x, y), (x, y^{'}) \in f$ y $(y, z), (y^{'}, z^{'}) \in g$ . Como $f$ es funcional, se tiene $y = y^{'}$ . Así, $(y, z), (y, z^{'}) \in g$ . Como $g$ es funcional, se tiene $z = z^{'}$ .

Para ver que es total, como $f$ es total, existe $y \in Y$ con $(x, y) \in f$ . Como $g$ es total, existe $z$ con $(y, z) \in g$ . Así, por definición de composisión tenemos $(x, z) \in g \circ f$ y por lo tanto $g \circ f$ es total.

El párrafo anterior justo nos dice que si $f (x) = y$ y $g (y) = z$ , entonces $(g \circ f) (x) = z = g (y) = g (f (x)) .$

Ejemplo.

Sean $f : {1, 2} \to {2, 4}$ y $g : {2, 4} \to {3, 5}$ las funciones dadas por $f (x) = 2 x$ y $g (x) = x + 1$ respectivamente (con tu entendimiento actual de $2 x$ y $x + 1$ , posteriormente formalizaremos estas operaciones). Entonces $g \circ f : {1, 2} \to {3, 5}$ está dada por:

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (2 x) = 2 x + 1$ .

Por lo que,

$(g \circ f) (1) = 2 (1) + 1 = 2 + 1 = 3$ ,
$(g \circ f) (2) = 2 (2) + 1 = 4 + 1 = 5$ .

De modo que los elementos de $g \circ f$ son $(1, 3)$ y $(2, 5)$ .

Tarea moral

Demuestra que si $X$ y $Y$ son conjuntos, $X_{1} \subseteq X$ , $Y_{1}, Y_{2} \subseteq Y$ y $f : X \to Y$ una función, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
- $f^{- 1} [Y_{1} \cap Y_{2}] = f^{- 1} [Y_{1}] \cap f^{- 1} [Y_{2}]$ ,
- $f^{- 1} [Y_{1} ∖ Y_{2}] = f^{- 1} [Y_{1}] ∖ f - 1 [Y_{2}]$ ,
- $X_{1} \subseteq f^{- 1} [f [X_{1}]]$ ,
- $f [f^{- 1} [B_{1}]] \subseteq B_{1}$ .

Demuestra que la composición de funciones es asociativa.
¿Será cierto que si $R$ es una función, entonces la relación inversa $R^{- 1}$ también es función?
¿Será cierto que si $R$ de $A$ en $B$ y $S$ de $B$ en $C$ son relaciones tal que ninguna de ellas es función, entonces $S \circ R$ nunca es función?

Más adelante…

La siguiente sección estará dedicada a funciones inyectivas. Este tipo de funciones empezarán a estudiar cómo se comportan los elementos del codominio de una función. Específicamente, las funciones inyectivas serán aquellas para las que cada elemento del codominio viene de a lo más un elemento del dominio. Este tema será de gran importancia pues en muchas ocasiones tendremos que verificar si se satisface esta propiedad.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Puedes encontrar una prueba similar de este teorema en Gómez L. C, Álgebra Superior Curso Completo. Publicaciones Fomento Editorial, 2014, pp. 49-50. ↩︎

Teoría de los Conjuntos I: Funciones

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Esta sección estará dedicada a un tipo de relaciones a las que llamaremos funciones. Este tema será de gran importancia pues utilizaremos funciones con mucha frecuencia a partir de ahora, es por ello que dedicaremos una serie de entradas para tratarlas. En esta primera parte abordaremos la definición de función, algunas de sus propiedades y ejemplos.

¿Qué es una función?

La motivación de la definición de función es la siguiente. Tomemos $A$ y $B$ conjuntos. Queremos poder asignar a cualquier elemento de $A$ uno y sólo un elemento de $B$ , de manera que inequívocamente para cada $a \in A$ podamos hablar del elemento que se le asignó en $B$ . Las relaciones ayudan a emparejar elementos de $A$ y $B$ , pero podemos tener dos problemas 1) Que no todo elemento de $A$ esté en alguna pareja de la relación o 2) Que algún elemento de $A$ quede emparejado con más de un elemento de $B$ . Por ello, la definición de función queda establecida de la siguiente manera.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Una función $f$ de $A$ en $B$ es una relación $f \subseteq A \times B$ que satisface:

Para cualquier $x \in A$ , existe $y \in B$ tal que $(x, y) \in f$ .
Para cualesquiera $a \in A$ y $b, c \in B$ , si $(a, b) \in f$ y $(a, c) \in f$ , entonces $b = c$ .

La definición anterior nos dice que dados dos conjuntos y una relación $R$ de $A$ en $B$ , esta es una función si y sólo si cada elemento del $d o m (R)$ esta relacionado con uno y sólo uno de $B$ . Como se muestra en la siguiente imagen:

Para abordar la definición desde otra perspectiva revisaremos el siguiente ejemplo que nos muestra que no toda relación es función.

Ejemplo.

Sea $A = {1, 2}$ y $B = {1, 2, 3}$ . Sea $R$ una relación de $A$ en $B$ dada por $R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}$ .

Resulta que $R$ no es función pues $(1, 1) \in R$ y $(1, 2) \in R$ , sin embargo no es cierto que $1 = 2$ .

Ahora veamos el ejemplo de una relación que si es función.

Ejemplo.

Sea $A = {1, 2, 3}$ y $B = {1, 2}$ . Sea $f$ una relación de $A$ en $B$ dada por $f = {(1, 1), (2, 1), (3, 1)}$ .

En este ejemplo tenemos que $f$ es función pues cada elemento de $A$ está relacionado con uno y sólo uno de $B$ , es decir, para cualesquiera $(a, b) \in f$ y $(a, c) \in f$ se cumple que $b = c$ .

Después de revisar estos ejemplos es importante mencionar que aunque no toda relación es función, siempre ocurrirá que una función es una relación, este último hecho se sigue de la definición de función.

Función vacía

Observa que si $X = \emptyset$ y $Y$ es un conjunto cualquiera, entonces el conjunto vacío es una función de $X$ en $Y$ . En la sección de relaciones vimos que el conjunto vacío en efecto es una relación, nos resta ver que para cualesquiera $(a, b) \in f$ y $(a, c) \in f$ se cumple que $b = c$ , sin embargo este enunciado se cumple por un argumento por vacuidad.

Por lo tanto, la relación vacía es función.

Función constante

Sean $X$ , $Y$ conjuntos y $c \in Y$ . Definimos la función $f_{c}$ de $X$ en $Y$ como $f_{c} = X \times {c}$ . Nuestra función se verá de la siguiente forma:

Función identidad

Sea $X$ un conjunto, la relación identidad es función. Recordemos que la relación identidad $I d_{X}$ esta definida como sigue:

$I d_{X} = {(x, y) \in X \times Y : x = y}$

Dado que para cualesquiera $(x, y) \in I d_{X}$ y $(x, w) \in I d_{X}$ tenemos que $x = y$ y $x = w$ por definición de la relación $I d_{X}$ , por lo tanto, $y = w$ y así concluimos que $I d_{X}$ es función.

Función característica

Sean $A$ y $X$ conjuntos tales que $A \subseteq X$ , definimos a la función característica $χ_{A}$ de $A$ en ${\emptyset, {\emptyset}}$ como $χ_{A} = {(x, {\emptyset}) : x \in A} \cup {(x, \emptyset) : x \in X ∖ A}$ .

Función inclusión

Sea $X$ un conjunto cualquiera, definimos a la función inclusión como el siguiente conjunto:

$ι_{A} = {(x, x) : x \in A}$ .

Debido a que las funciones serán recurrentes en las entradas subsecuentes, es necesario adoptar alguna notación para estos conceptos. Dada una relación $f$ de $A$ en $B$ utilizaremos la notación $f : A \to B$ para indicar que $f$ es una función. Ahora bien, si $f : A \to B$ y $x \in A$ y $y \in B$ , escribiremos $f (x) = y$ si $(x, y) \in f$ .

Dominio e imagen

De manera similar que con las relaciones trataremos las definiciones de dominio, imagen e imagen inversa, sin embargo ahora lo haremos para funciones.

Definición. Sea $f$ una función de A en B, definimos el dominio de la $f$ como:

$d o m (f) = {x \in A : \exists y \in B (f (x) = y)}$ .

Ejemplo.

Sea $A = {1, 2, 3, 4}$ y $B = {1, 2, 3, 4}$ . Sea $f : A \to B$ una función dada por el conjunto $f = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}$ .

Tenemos que,

$d o m (f) = {x \in {1, 2, 3, 4} : \exists y \in {1, 2, 3, 4} (f (x) = y)} = {1, 2, 3, 4}$ .

Definición. Sea $f$ una función de A en B, definimos la imagen de la función $r$ como:

$i m (f) = {y \in B : \exists x \in A (f (x) = y)}$ .

Ejemplo.

Sea $A = {1, 2, 3, 4}$ y $B = {1}$ . Sea $f : A \to B$ una función dada por $f (x) = 1$ para todo $x \in A$ .

Tenemos que,

$i m (f) = {y \in B : \exists x (f (x) = y)} = {1}$ .

Definición. Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $D \subseteq A$ . Definimos la imagen de $D$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f [D] = {f (x) \in B : \exists x \in D (f (x) = y)}$ .

Ejemplo.

Sea $A = {1, 2, 3, 4}$ y $B = {2, 4, 6, 8}$ . Sea $f : A \to B$ una función dada por $f (x) = 2 x$ para todo $x \in A$ . Sea $A^{'} = {2, 4} \subseteq A$ .

Tenemos que,

$f [A^{'}] = {f (x) \in B : \exists x \in A^{'} (f (x) = y)} = {4, 8}$ .

Definición. Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $B^{'} \subseteq B$ . Definimos la imagen inversa de $B^{'}$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f^{- 1} [B^{'}] = {x \in A : \exists y \in B^{'} (f (x) = y)}$ .

Ejemplo.

Sea $A = {1, 2, 3, 4}$ y $B = {2, 4, 6, 8}$ . Sea $f : A \to B$ una función dada por $f (x) = 2 x$ para todo $x \in A$ . Sea $B^{'} = {2, 4} \subseteq B$ .

Tenemos que,

$f^{- 1} [B^{'}] = {x \in A : \exists y \in B^{'} (f (x) = y)} = {1, 2}$ .

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a reforzar los conceptos de función, dominio e imagen.

Sea $f$ una función de ${1, 2}$ en ${2, 4, 5}$ dada por $f = {(1, 2), (2, 4)}$ . Describe al dominio y la imagen de $f$ .
Sean $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ y $B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ conjuntos. Responde si las siguientes relaciones son o no funciones:
1. $f_{1} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 4)}$ ,
2. $f_{2} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) (5, 5)}$ ,
3. $f_{3} = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1)}$ .

Más adelante…

La siguiente sección estará dedicada a hablar acerca de algunas de las propiedades que tiene la imagen de un conjunto bajo una función respecto a la unión, la intersección y la diferencia. Además hablaremos acerca de la composición de funciones, en esta parte retomaremos el concepto de composición de relaciones.

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Introducción

Conjunto cociente

Cada relación de equivalencia induce una partición

Las particiones inducen una relación de equivalencia

Tarea moral

Más adelante…

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Agradecimientos

Introducción

Función suprayectiva

Algunas funciones suprayectivas

Composición de funciones y suprayectividad

Funciones biyectivas

Tarea moral

Más adelante…

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Agradecimientos

Introducción

Función inyectiva

Equivalencias de inyectividad

¿Qué pasa con la composición y la inyectividad?

Tarea moral

Más adelante…

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Introducción

Propiedades de la imagen de un conjunto

¿Será cierto que f[X1∩X2]=f[X1]∩f[X2]?

¿Será cierto que f[X1∖X2]=f[X1]∖f[X2]?

Restricción de una función

Composición de funciones

Tarea moral

Más adelante…

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Introducción

¿Qué es una función?

Función vacía

Función constante

Función identidad

Función característica

Función inclusión

Dominio e imagen

Tarea moral

Más adelante…

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¿Será cierto que $f [X_{1} \cap X_{2}] = f [X_{1}] \cap f [X_{2}]$ ?

¿Será cierto que $f [X_{1} ∖ X_{2}] = f [X_{1}] ∖ f [X_{2}]$ ?