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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios repetidos

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En las últimas entradas hemos revisado el método de valores y vectores propios para resolver sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Revisamos los casos cuando la matriz asociada tiene valores propios reales y todos distintos, y cuando tiene valores complejos. Para el primer caso las funciones $e^{\lambda_{i} t}\textbf{v}_{i}$ son soluciones linealmente independientes, donde $\lambda_{i}$ es un valor propio y $\textbf{v}_{i}$ es un vector propio asociado a $\lambda_{i}, \; \forall i \in \{1,…,n\}$. La solución general es la combinación lineal de dichas soluciones. Para el caso de valores propios complejos vimos que de una solución compleja $e^{\lambda_{i} t}\textbf{v}_{i}$ podíamos encontrar dos soluciones reales: la parte real y la parte imaginaria de dicha solución. Además estas soluciones resultaron ser linealmente independientes por lo que no fue difícil hallar la solución general al sistema de esta forma.

Vamos a terminar de revisar el método de valores y vectores propios analizando el caso cuando la matriz $\textbf{A}$ asociada al sistema tiene valores propios repetidos, tanto si es diagonalizable como si no lo es.

Iniciaremos con el caso cuando es $\textbf{A}$ es diagonalizable. Veremos que es bastante sencillo hallar $n$ vectores propios linealmente independientes ya que si $\lambda_{i}$ es un valor propio con multiplicidad $k$, entonces existirán $k$ vectores propios linealmente independientes asociados a dicho valor propio. Por lo tanto, podremos encontrar $n$ soluciones linealmente independientes al sistema y la solución general será la combinación lineal de estas.

Finalizaremos con el caso cuando $\textbf{A}$ no es diagonalizable, donde no existirán $n$ vectores propios linealmente independientes ya que para algún valor propio $\lambda_{i}$ con multiplicidad $k$ no existirán $k$ vectores propios linealmente independientes. Sin embargo, con ayuda de la exponencial de la matriz $\textbf{e}^{t \textbf{A}}$ y el concepto de vector propio generalizado podremos encontrar $k$ soluciones linealmente independientes correspondientes al valor propio $\lambda_{i}$. Nuevamente la solución general será la combinación lineal de las $n$ soluciones generadas de esta manera.

Método de valores y vectores propios para matrices diagonalizables con valores propios repetidos

Analizamos el caso cuando la matriz $\textbf{A}$ asociada al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ es diagonalizable y tiene valores propios repetidos. Resolvemos un par de sistemas para ejemplificar el caso correspondiente.

Método de valores y vectores propios para matrices no diagonalizables

En el primer video analizamos de manera general el caso cuando la matriz asociada al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ no es diagonalizable. Definimos el concepto de vector propio generalizado y con ayuda de la exponencial $\text{e}^{t \textbf{A}}$ generamos la solución general al sistema. En el segundo video resolvemos un par de ejemplos referentes al caso analizado.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿Es posible tener una matriz $\textbf{A}$ de tamaño $3 \times 3$ con valores propios complejos repetidos?
  • Prueba que si $\lambda$ es un valor propio complejo con multiplicidad $k$ de $\textbf{A}$, entonces su conjugado $\bar{\lambda}$ tiene multiplicidad $k$.
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\textbf{X}.$$
  • Resuelve el problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\ 3 & 1 & 3\\ 3 & 3 & 1\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ 2 & -3 & 1\\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}\textbf{X}.$$

Más adelante

Con esta entrada terminamos de analizar el método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Una vez que logramos resolver tales sistemas, es tiempo de estudiar el caso no homogéneo.

Como ya sabemos, la solución general a estos sistemas serán la suma de la solución general al sistema homogéneo correspondiente mas una solución particular al sistema no homogéneo. El método por el cual encontraremos esta solución particular será el de variación de parámetros, el cual estudiaremos en la siguiente entrada.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios complejos

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio del método de valores y vectores propios para resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes, de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Vimos que si somos capaces de encontrar $n$ vectores propios de la matriz $\textbf{A}$ linealmente independientes, entonces las funciones de la forma $e^{\lambda t}\textbf{v}$, donde $\lambda$ es un valor propio con vector propio asociado $\textbf{v}$, son soluciones linealmente independientes, y por tanto la combinación lineal de estas será la solución general del sistema. También estudiamos el caso cuando $\textbf{A}$ tiene todos sus valores propios reales y distintos.

En esta entrada nos dedicaremos a estudiar el caso cuando $\textbf{A}$ tiene valores propios complejos. Dado que $e^{\lambda t}\textbf{v}$ es una solución compleja al sistema, entonces la solución general sería una función con valores complejos. Sin embargo nosotros queremos soluciones con valores reales, por lo que debemos hallar una forma de generar soluciones de esta forma.

Lo primero será ver que las partes real e imaginaria de una solución compleja al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ serán soluciones reales al mismo sistema. Además este par de soluciones serán linealmente independientes. Así, seremos capaces de encontrar un conjunto linealmente independiente de $n$ soluciones reales al sistema mediante el método de valores y vectores propios que nos ayuda a encontrar soluciones de la forma $e^{\lambda t}\textbf{v}$.

Finalizaremos la entrada con tres ejemplos, uno de ellos el problema del oscilador armónico, el cual revisamos en el siguiente video y que tiene asociado una ecuación diferencial de segundo orden. Resolveremos el mismo problema pero ahora mediante un sistema de ecuaciones homogéneo.

Método de valores y vectores propios. Raíces complejas del polinomio característico

Encontramos dos soluciones reales al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ dada una solución compleja de la forma $e^{\lambda t}\textbf{v}$ donde $\lambda$ es un valor propio complejo con vector propio asociado $\textbf{v}$. Las soluciones reales serán las partes real e imaginaria de la solución compleja. Además las dos soluciones reales serán linealmente independientes.

El oscilador armónico y más ejemplos

En el primer video resolvemos un par de ejemplos de sistemas cuya matriz asociada tiene valores propios complejos. En el segundo video resolvemos el problema del oscilador armónico sin fricción y sin fuerzas externas mediante un sistema de ecuaciones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Supongamos que $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ es un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes de 4 ecuaciones, y supongamos que $\lambda$, $\bar{\lambda}$, $\mu$ y $\bar{\mu}$ son los valores propios complejos de $\textbf{A}$ con vectores propios $\textbf{v}$, $\bar{\textbf{v}}$, $\textbf{w}$ y $\bar{\textbf{w}}$, respectivamente. Prueba que si $\textbf{Y}_{1}(t)$, $\textbf{Z}_{1}(t)$ son las partes real e imaginaria de $e^{\lambda t}\textbf{v}$, y si $\textbf{Y}_{2}(t)$, $\textbf{Z}_{2}(t)$ son las partes real e imaginaria de $e^{\mu t}\textbf{w}$ entonces $\textbf{Y}_{1}(t)$, $\textbf{Z}_{1}(t)$, $\textbf{Y}_{2}(t)$ y $\textbf{Z}_{2}(t)$ son soluciones linealmente independientes al sistema.
  • Supongamos que $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ es un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes de 3 ecuaciones. ¿Es posible que la matriz $\textbf{A}$ tenga tres valores propios complejos?
  • Demuestra que la matriz $\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a\end{pmatrix}$, con $b\neq0$ tiene valores propios complejos.
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}\textbf{X}.$$
  • Resuelve el problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 2 & -6\\ 2 & 1\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}.$$

Más adelante

En la próxima entrada concluimos el estudio al método de valores y vectores propios estudiando el caso cuando $\textbf{A}$ es una matriz diagonalizable con valores propios repetidos, y también el caso cuando $\textbf{A}$ no es diagonalizable, es decir, cuando $\textbf{A}$ no tiene $n$ vectores propios linealmente independientes, por lo que no se pueden generar $n$ soluciones linealmente independientes al sistema en la forma que lo hemos venido haciendo. En este caso debemos introducir un concepto nuevo, que es el de vector propio generalizado, y modificar el método de valores y vectores propios para encontrar las $n$ soluciones linealmente independientes al sistema.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal I: Reducción gaussiana en sistemas lineales AX=b

Por Julio Sampietro

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Introducción

Ya usamos el algoritmo de reducción gaussiana para estudiar sistemas de ecuaciones homogéneos. En esta entrada aplicamos lo que hemos aprendido de este método para resolver sistemas de ecuaciones no homogéneos.

Para hacer esto, adaptaremos la técnica para sistemas homogéneos (que en realidad, no es muy diferente) y la usamos para probar un resultado muy importante, llamado el teorema de existencia y unicidad. Damos unos cuantos ejemplos y concluimos con la prometida demostración de la unicidad de la forma escalonada reducida.

Adaptando el vocabulario

Consideramos un sistema lineal $AX=b$ con $A\in M_{m,n}(F)$ y $b\in F^{m}$, con variables $x_1, \dots, x_n$ que son las coordenadas de $X\in F^{n}$. Para resolver el sistema consideramos la matriz aumentada $\left(A\vert b\right)$ obtenida de $A$ al añadir al vector $b$ como columna hasta la derecha.

Ejemplo. Si

\begin{align*}
A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\
-1 & 0 &1 \end{pmatrix} \text{ y } b= \begin{pmatrix} 12 \\ 14 \end{pmatrix}
\end{align*}

entonces

\begin{align*}
\left(A\vert b\right)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 12\\ -1 & 0 & 1 & 14\end{pmatrix}\end{align*}

$\triangle$

Las operaciones elementales del sistema se traducen entonces en operaciones elementales en la matriz aumentada, por lo que para resolver el sistema podemos primero llevar a la matriz aumentada a su forma escalonada y reducida y después resolver el sistema más sencillo. Esto lo podríamos hacer siempre y cuando al realizar operaciones elementales en la matriz aumentada no se modifique el conjunto de soluciones del sistema. Esto lo garantiza la siguiente proposición.

Proposición. Sea el sistema lineal $AX=b$. Supongamos que la matriz $\left(A’\vert b’\right)$ se obtiene a partir de la matriz $\left( A\vert b\right)$ realizando una sucesión finita de operaciones elementales. Entonces los sistemas $AX=b$ y $A’X=b’$ son equivalentes, es decir, tienen el mismo conjunto de soluciones.

Demostración: Como ya hemos visto anteriormente, realizar operaciones elementales en $\left(A \vert b\right)$ es equivalente a realizar operaciones elementales en las ecuaciones del sistema $AX=b$, pero ya sabemos que estas no alteran el conjunto de soluciones, pues son reversibles (es decir, podemos siempre deshacer los cambios).

$\square$

El teorema de existencia y unicidad

Llegamos ahora a otro resultado clave de nuestro estudio de ecuaciones. Es una caracterización que responde a nuestras preguntas: ¿Hay soluciones? ¿Son únicas? Además, nos puede sugerir cómo encontrarlas.

Teorema. (De existencia y unicidad) Supongamos que la matriz $\left(A\vert b\right)$ ha sido llevada a su forma escalonada reducida $\left(A’\vert b’\right)$ por operaciones elementales.

  1. (Existencia de soluciones) El sistema $AX=b$ es consistente si y sólo si $\left(A’\vert b’\right)$ no tiene ningún pivote (de filas) en su última columna.
  2. (Unicidad de soluciones) Si el sistema es consistente, entonces tiene una única solución si y sólo si $A’$ tiene pivotes (de filas) en cada columna.

Demostración:

  1. Supongamos que $\left(A’\vert b’\right)$ tiene un pivote en su última columna. Debemos ver que el sistema $AX=b$ no tiene solución. Para esto, basta ver que el sistema $A’X=b’$ no tiene solución, pues es un sistema equivalente.

    Si el pivote aparece en el $i$-ésimo renglón entonces este es de la forma $(0, \dots, 0, 1)$, pues recordemos que los pivotes son iguales a $1$ en la forma escalonada reducida. Entonces entre las ecuaciones del sistema $A’X=b’$ tenemos una de la forma $0 x_1′ +\dots +0 x_n’=1$, que no tiene solución alguna. Así el sistema $A’X=b’$ no es consistente, y por tanto $AX=b$ tampoco lo es.

    Conversamente, supongamos que $\left(A’ \vert b’\right)$ no tiene un pivote en su última columna. Digamos que $A’$ tiene pivotes en las columnas $j_1<\dots <j_k \leq n$ y sean $x_{j_1}, \dots, x_{j_k}$ las correspondientes variables pivote y todas las demás variables son libres. Dando el valor cero a todas las variables libres obtenemos un sistema en las variables $x_{j_1}, \dots, x_{j_k}$. Este sistema es triangular superior y se puede resolver empezando por la última ecuación, encontrando $x_{j_k}$, luego $x_{j_{k-1}}$ y así sucesivamente. Así encontramos una solución, por lo que el sistema es consistente. Esta solución encontrada también es una solución a $AX=b$, pues es un sistema equivalente.
  2. Como le podemos dar cualquier valor escalar a las variables libres, el argumento del párrafo anterior nos dice que la solución es única si y sólo si no tenemos variables libres, pero esto pasa si y sólo si los pivotes llegan hasta la última columna de $A’$.

$\square$

Ten cuidado. En la primer parte, la condición se verifica con $(A’|b)$. En la segunda parte, la condición se verifica con $A’$.

Encontrando y contando soluciones

Por simplicidad, asumamos que $F=\mathbb{R}$, es decir que nuestro campo de coeficientes del sistema $AX=b$ es el de los números reales. Procedemos como sigue para encontrar el número de soluciones del sistema:

  1. Consideramos la matriz aumentada $\left(A\vert b\right)$.
  2. Llevamos esta matriz a su forma escalonada reducida $\left(A’\vert b’\right)$.
  3. Si esta matriz tiene un renglón de la forma $(0, \dots, 0, 1)$, entonces el sistema es inconsistente.
  4. Si no tiene ningún renglón de esa forma, vemos si todas las columnas de $A’$ tienen al pivote de alguna fila:
    • Si en efecto todas tienen pivote, entonces el sistema tiene una única solución.
    • Si no todas tienen pivote, entonces nuestro sistema tiene una infinidad de soluciones.

En el caso en el que hay una o una infinidad de soluciones, además podemos decir exactamente cómo se ven esas soluciones:

  • Haciendo las variables libres iguales a cero (si es que hay), obtenemos una solución $X’$ al sistema $AX=b$.
  • Usamos reducción gaussiana para encontrar todas las soluciones al sistema homogéneo $AX=0$.
  • Finalmente, usamos el principio de superposición. Todas las soluciones a $AX=b$ son de la forma $X’$ más una solución a $AX=0$.

Problema. Consideremos la matriz

\begin{align*}
A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & 4 &4 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Dado $b\in \mathbb{R}^3$, encuentra condiciones necesarias y suficientes en términos de las coordenadas de $b$ para que el sistema $AX=b$ sea consistente.

Solución: Dado $b$ con coordenadas $b_1, b_2$ y $b_3$, la matriz aumentada es

\begin{align*}
\left( A\vert b\right) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 1 & 1 & b_2 \\ 2 & 4 & 4 & b_3\end{pmatrix}.
\end{align*}

Para obtener su forma escalonada reducida sustraemos dos veces el primer renglón del tercero y luego dos veces el segundo del primero, obteniendo así:

\begin{align*}
\left( A\vert b\right) \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &b_1-2b_2\\ 0 & 1 & 1 & b_2\\ 0 & 0 & 0 &b_3-2b_1\end{pmatrix}.
\end{align*}

Por el teorema anterior, el sistema $AX=b$ es consistente si y sólo si esta matriz no tiene pivotes en la última columna, es decir, necesitamos que la entrada de hasta abajo a la derecha sea cero. Así, el sistema es consistente si y sólo si $b_3-2b_1=0$ o, dicho de otra manera, si y sólo si $b_3=2b_1$.

$\triangle$

Unicidad de la forma escalonada reducida

Concluimos esta entrada con una demostración de la unicidad de la forma escalonada reducida, usando que si dos matrices $A$ y $B$ que difieren por una sucesión finita de operaciones elementales entonces los sistemas $AX=0$ y $BX=0$ son equivalentes. La demostración que presentamos (corta y elegante) se debe a Thomas Yuster, publicada en el año 1983.

Teorema. La forma escalonada reducida es única.

Demostración: Procedemos por inducción sobre $n$, el número de columnas de $A\in M_{m,n}(F)$. El resultado es claro para $n=1$, pues solo tenemos una columna cero o una columna con un $1$ hasta arriba. Supongamos pues que el resultado se cumple para $n-1$, y demostremos que se cumple para $n$. Sea $A\in M_{m,n}(F)$ y sea $A’\in M_{m,n-1}(F)$ la matriz que se obtiene al quitarle la $n$-ésima columna.

Supongamos que $B$ y $C$ son ambas matrices distintas en forma escalonada reducida obtenidas de $A$. Dado que una sucesión de operaciones elementales que llevan a $A$ a una forma escalonada reducida también llevan a $A’$ a una forma escalonada reducida (si a una matriz escalonada reducida le cortamos una columna, sigue siendo escalonada reducida), podemos aplicar la hipótesis de inducción y concluir que si $B$ y $C$ son distintas entonces difieren en la columna que quitamos y solo en esa.

Sea $j$ tal que $b_{jn}\neq c_{jn}$ (por nuestra discusión previa, existe esta entrada, ya que asumimos que $B\neq C$). Si $X$ es un vector tal que $BX=0$ entonces $CX=0$, ya que $A,B$ y $C$ son matrices equivalentes. Luego $(B-C)X=0$. Como $B$ y $C$ difieren solo en la última columna, la $j$-ésima ecuación del sistema se lee $(b_{jn}-c_{jn})x_n=0$, pues los coeficientes previos son cero. Así, $x_n=0$ siempre que $BX=0$ o $CX=0$. Se sigue que $x_n$ no es una variable libre para $B$ y $C$, por lo que ambas tienen un pivote en la última columna. Como ambas están en forma escalonada reducida, entonces la última columna tiene necesariamente un $1$ en la entrada de hasta abajo y puros ceros en otras entradas, es decir, $B$ y $C$ tienen la misma última columna, una contradicción a nuestras suposiciones.

Se sigue que entonces $B=C$ y queda probado por contradicción el paso inductivo, lo que prueba el teorema.

$\square$

Más adelante…

El método que describimos en esta entrada es muy flexible y poderoso. Permite resolver sistemas de ecuaciones de la forma $AX=b$ de manera metódica. Esto no quiere decir que ya entendamos todo lo que hay que saber de sistemas lineales. Una vez que hayamos introducido los conceptos de espacio vectorial y subespacio, podremos describir con más precisión cómo son las soluciones a un sistema lineal. Además, más adelante, veremos otras formas en las que se pueden resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes. En particular, veremos la regla de Cramer.

Por ahora, nos enfocaremos en una aplicación más de la reducción gaussiana: encontrar inversas de matrices. Veremos esto en la siguiente entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Determina cuántas soluciones tiene el sistema $AX=b$ con
    \begin{align*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 &1\\ 2& -4 & 7\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\text{ y } b=\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\-1\end{pmatrix}\end{align*}
  • Si $A$ tiene estrictamente más renglones que columnas y $b$ es un vector que no tiene ninguna entrada cero, ¿puede el sistema $AX=b$ ser consistente?
  • Si $A$ tiene estrictamente más columnas que renglones, ¿puede el sistema $AX=0$ tener una única solución?
  • Si $A\in M_{m,n}(F)$ es una matriz diagonal, ¿que puedes decir de la consistencia y la unicidad de soluciones del sistema $AX=b$?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Forma escalonada reducida

Por Julio Sampietro

10 respuestas

Introducción

En esta entrada tratamos la forma escalonada reducida de una matriz, que es básicamente una forma «bonita» de expresar una matriz que nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales. Luego nos adentramos en la parte de operaciones elementales, que es el primer paso para desarrollar un algoritmo (que luego veremos es la reducción gaussiana) que nos permite llevar a cualquier matriz a su forma escalonada reducida.

En otras palabras, en esta entrada vemos cómo resolver un caso fácil de un sistema de ecuaciones. Más adelante veremos que en realidad cualquier caso puede llevarse al caso fácil con un algoritmo relativamente fácil.

¿Qué es la forma escalonada reducida?

Sea una matriz $A$ con entradas en un campo $F$. Si $R$ es un renglón de $A$, diremos que $R$ es una fila cero si todas sus entradas son cero. Si $R$ no es una fila cero, el término principal de $R$ o bien el pivote de $R$ es la primera entrada distinta de cero de la fila. Diremos que $A$ está en forma escalonada reducida si $A$ tiene las siguientes propiedades:

  1. Todas las filas cero de $A$ están hasta abajo de $A$ (es decir, no puede seguirse una fila distinta de cero después de una cero).
  2. El término principal de una fila no-cero está estrictamente a la derecha del término principal de la fila de encima.
  3. En cualquier fila distinta de cero, el término principal es $1$ y es el único elemento distinto de cero en su columna.

Ejemplo. La matriz $I_n$ está en forma escalonada reducida, así como la matriz cero $O_n$. La matriz

\begin{align*}
A= \begin{pmatrix} 1 &-1 & 0 &2\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}

está en forma escalonada reducida. El término principal de la primer fila es $1$ y está en la primer columna. El término principal de la segunda fila también es $1$, y se encuentra más a la derecha que el término principal de la fila anterior. Además, es la única entrada distinta de cero en su columna.

Sin embargo, la matriz ligeramente distinta

\begin{align*}
B= \begin{pmatrix} 1 &-1 & 5 &2\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}

no está en forma escalonada reducida ya que el término principal del segundo renglón no es la única entrada distinta de cero en su columna.

$\triangle$

¿Cómo la forma escalonada reducida nos permite resolver sistemas de ecuaciones?

¿Cual es la importancia de la forma escalonada con respecto al problema de resolver sistemas de ecuaciones? Veremos que cualquier matriz se puede poner (de manera algorítmica) en forma escalonada reducida y que esta forma es única. También veremos que si $A_{red}$ es la forma escalonada reducida de una matriz, entonces los sistemas $AX=0$ y $A_{red}X=0$ son equivalentes. Además, veremos que resolver el sistema $A_{red} X=0$ es muy fácil de resolver precisamente por estar en forma escalonada reducida.

Ejemplo. Resolvamos el sistema $AX=0$ donde $A$ es la matriz que dimos anteriormente, que está en forma escalonada reducida. El sistema asociado es

\begin{align*}
\begin{cases}
x_1 -x_2+2x_4&=0\\
x_3-x_4&=0
\end{cases}.
\end{align*}

De la segunda igualdad podemos expresar $x_3=x_4$ y de la primera $x_1=x_2-2x_4$. Así, podemos escoger $x_2$ y $x_4$ «libremente» y obtener $x_3$ y $x_1$ con estas ecuaciones (tenemos, de cierta manera, dos «parámetros libres»), por lo que nuestras soluciones se ven de la forma

\begin{align*}
(a-2b, a, b,b )
\end{align*}

con $a,b\in F$.

$\triangle$

En general si $A$ es una matriz en forma escalonada reducida, veamos cómo resolver el sistema $AX=0$. Las únicas ecuaciones importantes son las que resultan de renglones distintos de cero (pues las otras solo son $0=0$) y al estar en forma escalonada reducida, todos los renglones cero están hasta el final. Supongamos que el $i$-ésimo renglón de $A$ es distinto de cero y su término principal está en la $j$-ésima columna, así el término principal es $a_{ij}=1$. La $i$-ésima ecuación del sistema lineal entonces es de la forma

\begin{align*}
x_j +\sum_{k=j+1}^{n} a_{ik} x_k =0.
\end{align*}

Llamamos a $x_j$ la variable pivote del renglón $L_i$. Así, a cada renglón distinto de cero le podemos asociar una única variable pivote. Todas las demás variables del sistema son llamadas variables libres. Uno resuelve el sistema empezando desde abajo, expresando sucesivamente las variables pivote en términos de las variables libres. Esto nos da la solución general del sistema, en términos de las variables libres, que pueden tomar cualquier valor en $F$.

Si $y_1, \dots, y_s$ son las variables libres, entonces las soluciones del sistema son de la forma

\begin{align*}
X= \begin{pmatrix}
b_{11} y_1 + b_{12} y_2 + \dots+ b_{1s} y_s\\
b_{21} y_1+ b_{22} y_2 +\dots+b_{2s} y_s\\
\vdots\\
b_{n1} y_1 +b_{n2} y_2+ \dots + b_{ns} y_s\end{pmatrix}
\end{align*}

para algunos escalares $b_{ij}$. Esto también se puede escribir como

\begin{align*}
X= y_1 \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ \vdots \\ b_{n1}\end{pmatrix}+\dots + y_s \begin{pmatrix} b_{1s} \\ b_{2s}\\ \vdots \\ b_{ns} \end{pmatrix} .
\end{align*}

Llamamos a

\begin{align*}
Y_1= \begin{pmatrix} b_{11}\\ b_{21}\\ \vdots \\ b_{n1}\end{pmatrix}, \dots, Y_s= \begin{pmatrix} b_{1s} \\ b_{2s} \\ \vdots \\ b_{ns}\end{pmatrix}
\end{align*}

las soluciones fundamentales del sistema $AX=0$. La motivación para su nombre es fácil de entender: $Y_1, \dots, Y_s$ son soluciones del sistema $AX=0$ que ‘generan’ todas las otras soluciones, en el sentido que todas las soluciones del sistema $AX=0$ se obtienen a través de todas las combinaciones lineales de $Y_1, \dots, Y_s$ (correspondiendo a todos los valores posibles de $y_1, \dots, y_s$).

Un ejemplo para aterrizar los conceptos

Sea $A$ la matriz en forma escalonada reducida dada como sigue

\begin{align*}
A= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 &-1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1& 0 & 0 &-1\\ 0 & 0 &0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{align*}

y consideremos el sistema homogéneo asociado $AX=0$. Este se puede escribir como

\begin{align*}
\begin{cases}
x_1+x_2-x_5+2x_7&=0\\
x_3+3x_5+x_7&=0\\
x_4-x_7&=0\\
x_6&=0
\end{cases}.
\end{align*}

Las variables pivote son $x_1, x_3, x_4$ y $x_6$, ya que los términos principales aparecen en las columnas $1,3,4$ y $6$. Eso nos deja a $x_2, x_5$ y $x_7$ como variables libres.

Para resolver el sistema, empezamos con la última ecuación y vamos «subiendo», expresando en cada paso las variables pivote en términos de las variables libres. La última ecuación nos da $x_6=0$. Después, obtenemos $x_4=x_7$, posteriormente $x_3=-3x_5-x_7$ y $x_1= -x_2+x_5-2x_7$. Nunca nos va a pasar que tengamos que expresar a una variable pivote en términos de otra variable pivote, por la condición de que cada pivote es la única entrada no cero en su columna.

Para expresar las soluciones en términos vectoriales, hacemos lo siguiente.

\begin{align*}
X&=\begin{pmatrix}
-x_2+x_5 -2x_7\\
x_2\\
-3x_5-x_7\\
x_7\\
x_5\\
0 \\
x_7
\end{pmatrix}\\ &= x_2\cdot \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +x_5\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+x_7 \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 0 \\ -1\\ 1 \\ 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Los tres vectores columna que aparecen del lado derecho de la igualdad son entonces las soluciones fundamentales del sistema $AX=0$. Todas las soluciones están entonces dadas por la expresión de la derecha, donde $x_2, x_5$ y $x_7$ pueden tomar cualquier valor en $F$.

Una moraleja sobre el número de soluciones

El número de soluciones fundamentales del sistema $AX=0$ es igual al número total de variables menos el número de variables pivote. Deducimos que el sistema $AX=0$ tiene como única solución a $X=0$ si no hay variables libres. Esto es lo mismo que decir que el número de variables pivote es igual al número de columnas de $A$.

Combinando las observaciones anteriores con el principio de superposición obtenemos el siguiente y muy importante resultado.

Teorema.

  1. Un sistema lineal homogéneo que tiene más variables que ecuaciones tiene soluciones no triviales. Si el campo de coeficientes es infinito (como por ejemplo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
  2. Un sistema lineal consistente $AX=b$ que tiene más variables que ecuaciones tiene al menos dos soluciones, y si el campo es infinito, tiene infinitas soluciones.

¿Cómo llevar una matriz a su forma escalonada reducida? Operaciones elementales

Ahora regresamos al problema de transformar una matriz dada en una matriz con forma escalonada reducida. Para resolver este problema introducimos tres tipos de operaciones que pueden aplicarse a las filas de una matriz. Veremos que gracias a estas operaciones, uno puede transformar cualquier matriz en una en forma escalonada reducida.

Estas operaciones surgen de las manipulaciones cuando resolvemos sistemas lineales: las operaciones más naturales que hacemos cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales son:

  1. multiplicar una ecuación por un escalar distinto de cero;
  2. añadir una ecuación (o mejor aún, un múltiplo de una ecuación) a otra ecuación diferente;
  3. intercambiar dos ecuaciones.

Observamos que estas operaciones son reversibles: si por ejemplo, multiplicamos una ecuación por un escalar $a\neq 0$, podemos multiplicar la misma ecuación por $\frac{1}{a}$ para recuperar la ecuación original. Queda claro que realizando una cantidad finita de estas operaciones en un sistema obtenemos un sistema con el mismo conjunto de soluciones que el sistema original (en nuestra terminología más barroca, un sistema nuevo equivalente al original). Estas operaciones en el sistema pueden verse como operaciones directamente en la matriz. Más precisamente:

Definición. Una operación elemental en las filas de una matriz $A$ en $M_{m,n}(F)$ es una operación de uno de los siguientes tipos:

  1. cambio de filas: intercambiar dos renglones de la matriz $A$,
  2. reescalar una fila: multiplicar una fila de la matriz $A$ por un escalar $c$ en $F$ distinto de cero,
  3. transvección: reemplazar una fila $L$ por $L+cL’$ para algún escalar $c$ en $F$ y otra fila $L’$ de $A$ diferente a $L$.

La discusión previa muestra que si $A$ es una matriz y $B$ se obtiene a partir de $A$ al aplicar una sucesión finita de operaciones elementales entonces $A\sim B$ (recordamos que esa notación solo nos dice que los sistemas $AX=0$ y $BX=0$ son equivalentes).

Correspondiendo a estas operaciones definimos las matrices elementales:

Definición. Una matriz $A\in M_n(F)$ es una matriz elemental si se obtiene de $I_n$ al realizar una operación elemental.

Ejemplo 1. La matriz

\begin{align*}
B= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{align*}

es una matriz elemental, pues se obtiene al intercambiar el primer y segundo renglón de $I_3$.

Observamos que las matrices elementales son cuadradas. Tenemos entonces tres tipos de matrices elementales:

  1. Matrices de transposición: aquellas que resultan de intercambiar dos renglones de $I_n$.
  2. Matrices de dilatación: aquellas obtenidas de $I_n$ multiplicando uno de sus renglones por un escalar distinto de cero.
  3. Matrices de transvección: son las que obtenemos de $I_n$ al añadir el múltiplo de un renglón a otro renglón.

Una sencilla, pero crucial observación es la siguiente:

Proposición. Sea $A\in M_{m,n}(F)$ una matriz. Realizar una operación elemental en $A$ es equivalente a multiplicar a $A$ por la izquierda por la matriz elemental en $M_{m}(F)$ correspondiente a la operación.

Demostración: Si $E$ es una matriz de $m\times m$ y $A\in M_{m,n}(F)$, entonces la $i$-ésima fila de $EA$ es $e_{i1} L_1+ e_{i2} L_2+\dots + e_{im} L_m$ donde $L_1, \dots, L_m$ son las filas de $A$ y $e_{ij}$ es la $(i,j)-$ésima entrada de $E$. El resultado se sigue de las definiciones y haciendo caso por caso, de acuerdo al tipo de operación elemental que se trate.

Por ejemplo, si la operación es un intercambio de filas, entonces $E$ es una matriz de transposición en donde, digamos, se intercambiaron la fila $k$ y la fila $l$. Por lo que mencionamos arriba, las filas $L_i$ con $i\neq k$ y $i\neq l$ permanecen intactas, pues $e_{ij}=1$ si $i=j$ y $0$ en otro caso, de modo que la $i$-ésima fila de $EA$ es simplemente $L_i$. Para la fila $k$ de $EA$, tenemos que $e_{kl}=1$ y si $i\neq k$, entonces $e_{ki}=0$. De esta forma, tendríamos que dicha fila es $L_l$. El análisis de la $l$-ésima fila de $EA$ es análogo.

Los detalles de la demostración anterior, así como las demostraciones para operaciones de reescalamiento y transvección, quedan como tarea moral.

$\square$

Ejemplo 2. Consideremos la matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}$. Vamos a efectuar la transvección que suma $2$ veces la primer fila a la última.

Si la aplicamos a la matriz $A$ nos queda $$A’=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & 9 & 0 \end{pmatrix}.$$

Para obtener la matriz elemental correspondiente a la transvección, tenemos que aplicársela a la identidad $I_3$. Tras hacer esto nos queda $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 &1 \end{pmatrix}.$$

Y en efecto, como afirma la proposición, tenemos que esta matriz que obtuvimos sirve para «aplicar» la transvección pues puedes verificar que si la multiplicamos por la izquierda, tenemos que:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & 9 & 0 \end{pmatrix}.$$

$\triangle$

Más adelante…

En la entrada de reducción gaussiana terminaremos de probar que toda matriz puede llevarse mediante operaciones elementales a una matriz en forma escalonada reducida. Más aún, obtendremos un algoritmo sencillo que siempre nos permitirá hacerlo. En el transcurso de este algoritmo siempre tendremos matrices equivalentes entre sí, de modo que esta será una herramienta fundamental para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • En el ejemplo concreto que hicimos, verifica que en efecto las soluciones fundamentales que obtuvimos son solución al sistema. Verifica también que la suma de las tres también es una solución al sistema. Luego, elige los valores que tú quieras para $x_2,x_5,x_7$ y verifica que esa también es una solución
  • ¿Será cierto que la transpuesta de una matriz en forma escalonada reducida también está en forma escalonada reducida? ¿Será cierto que la suma de dos matrices en forma escalonada reducida también es de esta forma?
  • Termina los detalles de la demostración de la última proposición.
  • Demuestra que toda matriz elemental es invertible, y que su inversa también es una matriz elemental.
  • ¿Es cierto que la transpuesta de una matriz elemental es una matriz elemental?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida

Por Ayax Calderón

2 respuestas

Introducción

En esta entrada nos encargaremos de resolver algunos problemas de sistemas de ecuaciones lineales y de dar algunos ejemplos más de matrices en forma escalonada reducida.

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Para cuáles números reales $a$ se tiene que el siguiente sistema es consistente?. Resuelve el sistema para estos casos.

\begin{align*}
\begin{cases}
x + 2y &=1\\
4x+8y &=a.
\end{cases}
\end{align*}

Solución. Tomando la primera ecuación y multiplicandola por $4$ vemos que

\begin{align*}
4x+8y=4
\end{align*}

De lo anterior se sigue que el único número real $a$ para el cuál el sistema es consistente es $a=4$, pues en otro caso tendríamos ecuaciones lineales que se contradicen entre sí.

Cuando $a=4$, tenemos entonces una única ecuación $x+2y=1$. Para encontrar todas las soluciones a esta ecuación lineal, podemos fijar el valor de $y$ arbitrariamente como un número real $r$. Una vez fijado $y$, obtenemos que $x=1-2y=1-2r$. Así, el conjunto de soluciones es $$\{(1-2r,r): r \in \mathbb{R}\}.$$

$\triangle$

Problema 2. Encuentra todos $a,b\in\mathbb{R}$ para los cuales los sistemas

\begin{align*}
\begin{cases}
2x + 3y &=-2\\
x – 2y &=6
\end{cases}
\end{align*}
y
\begin{align*}
\begin{cases}
x + 2ay &=3\\
-x – y &=b
\end{cases}
\end{align*}
son equivalentes.

Solución. Para resolver el primer sistema tomamos la segunda ecuación y despejamos $x$:
\begin{align*}
x=6+2y.
\end{align*}
Sustituyendo lo anterior en la primera ecuación se tiene
\begin{align*}
2(6+2y)+3y&=-2\\
12+7y&=-2\\
7y&=-14\\
y&=-2.
\end{align*}
Luego sustituimos el valor de $y$ para encontrar $x$
\begin{align*}
x&=6+2y\\
&=6+2(-2)\\
&=2.
\end{align*}
Ahora, para encontrar los valores de $a$ y $b$, sustituimos los valores de $x$ y $y$ que encontramos en el primer sistema y de esta forma garantizamos que ambos sistemas tendrán el mismo conjunto de soluciones, es decir, son equivalentes.
\begin{align*}
\begin{cases}
x + 2ay &=3\\
-x – y &=b
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
2 + 2a(-2) &=3\\
-2 – (-2) &=b
\end{cases}
\end{align*}
De la segunda ecuación es inmediato que $b=0$.
Por otro lado, despejando $a$ de la primera ecuación se tiene
\begin{align*}
2-4a&=3\\
-4a&=1\\
a&=-\frac{1}{4}
\end{align*}
Concluimos que los sistemas son equivalentes cuando
\begin{align*}
a=-\frac{1}{4}, \hspace{4mm} b=0.
\end{align*}

$\triangle$

Más ejemplos de forma escalonada reducida

Para finalizar con esta entrada veremos más ejemplos de matrices que están en forma escalonada reducida y de matrices que no lo están.

Ejemplo 1. La matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 3 & 1\\
1 & 0 & 2 & 2\\
3 & 1 & 7 & 0\\
1 & 2 & 4 & -1\end{pmatrix}
\end{align*}
no está en forma escalonada reducida, pues todas las entradas de la primera columna son distintas de cero.
En cambio, la matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}
sí está en forma escalonada reducida. Queda como tarea moral verificar que esto es cierto.

$\triangle$

Ejemplo 2. La matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & -5 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}
no está en forma escalonada reducida, pues hay filas cero por encima de filas no cero. Otro problema que tiene es que el pivote de la tercer fila no es igual a $1$.


En cambio
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
\end{align*}
sí está en forma escalonada reducida.

$\triangle$

Ejemplo 3. La matriz $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ no está en forma escalonada reducida pues el pivote de la segunda fila está más a la izquierda que el de la primera. Sin embargo, si intercambiamos las filas, la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ sí está en forma escalonada reducida.

$\triangle$

Más adelante veremos un método para llevar una matriz a su forma escalonada reducida y veremos que esto es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»