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Teoría de los Conjuntos: Órdenes parciales y órdenes estrictos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

La sensación que quizás te quedó tras discutir las relaciones de equivalencia es que una relación de equivalencia establece cuándo elementos de un conjunto son «iguales» o «similares». Ahora introduciremos otros tipos de relaciones que nos harán pensar cuándo para dos elementos de un conjunto uno es «mayor» o «mejor» que otro bajo cierto criterio de comparación.

Antisimetría y orden parcial

Definición. Sea $R$ una relación sobre un conjunto $A$. Decimos que $R$ es una relación antisimétrica si y sólo si para cualesquiera $a,b\in A$ tales que $(a,b)\in R$ y $(b,a)\in R$ se tiene que $a=b$.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo.

Sea $A$ un conjunto y sea $R$ la relación en $A$ definida como:

$aRb\ \text{si y sólo si} \ a\subseteq b$.

Veamos que $R$ es antisimétrica. En efecto, sean $a, b\in A$ tales que $(a,b)\in R$ y $(b,a)\in R$, entonces por definición de $R$ tenemos que $a\subseteq b$ y $b\subseteq a$. Por lo tanto, $a=b$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $A$ un conjunto. Tenemos que $Id_A$ es una relación antisimétrica pues, si $(a,b)\in Id_A$ y $(b,a)\in Id_A$, entonces, $a=b$ por definición de $Id_A$.

$\square$

Para la siguiente definición es necesario recordar el concepto de relación reflexiva y transitiva que puedes encontrar en el la entrada de relaciones de equivalencia.

Definición. Sea $R$ una relación en $A$. Si $R$ es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva, entonces decimos que $R$ es un orden parcial en $A$. Para abreviar, diremos que $(A, R)$ es un orden parcial.

Ejemplo.

Si $A=\emptyset$, entonces la relación $\emptyset$ es un orden parcial en $A$. En efecto, se cumplen las tres propiedades que necesitamos:

  1. Como no hay $a\in A$, entonces $a\in A$ implica $(a,a)\in \emptyset$ por vacuidad. Por lo tanto, $\emptyset$ es una relación reflexiva.
  2. Como no hay elementos en $\emptyset$, entonces por vacuidad si $(a,b)\in \emptyset$ y $(b,a)\in \emptyset$, entonces $a=b$. Por lo tanto, $\emptyset$ es una relación antisimétrica.
  3. Como no hay elementos en $\emptyset$, entonces por vacuidad si $a,b,c\in A$ tales que $(a,b)\in \emptyset$ y $(b,c)\in \emptyset$, entonces $(a,c)\in \emptyset$. Por lo tanto, $\emptyset$ es una relación transitiva.

$\square$

Ejemplo.

Si $A$ es un conjunto y $R$ es la relación en $A$ definida como sigue:

$aRb\ \text{si y sólo si} \ a\subseteq b$,

entonces $R$ es un orden parcial. En efecto, se cumplen las tres propiedades que necesitamos:

  1. Sea $a\in A$, entonces $(a, a)\in R$ pues $a\subseteq a$ para cualquier conjunto $a$. Por lo tanto, $R$ es una relación reflexiva.
  2. Sean $a,b\in A$ tales que $(a,b)\in R$ y $(b,a)\in R$. Ya probamos que esto implica $a=b$. Por lo tanto, $R$ es una relación antisimétrica.
  3. Sean $a,b,c\in A$ tales que $(a,b)\in R$ y $(b,c)\in R$, entonces $a\subseteq b$ y $b\subseteq c$ respectivamente. Luego, $a\subseteq b$ y $b\subseteq c$ implican que $a\subseteq c$. Por lo tanto, $(a,c)\in R$ y así, $R$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R$ es un orden parcial.

$\square$

Cuando una relación $R$ es un orden parcial, entonces la expresión $aRb$ se comporta como el símbolo $\leq$. Por ello, usualmente nos referiremos a los órdenes parciales usando este símbolo e intuitivamente pensaremos que una relación parcial nos permite decir cuando un elemento es menor o igual que otro.

Orden estricto

Si los órdenes parciales «se comportan como $\leq$», ¿qué tipo de relaciones «se comportan como $\lt$? Esto es lo que discutiremos a continuación. Primero necesitamos introducir dos nociones.

Definición. Sea $R$ una relación sobre un conjunto $A$. Decimos que $R$ es una relación asimétrica si y sólo si para cualesquiera $a,b\in A$ tales que $(a,b)\in R$ entonces no es cierto que $(b,a)\in R$.

Ejemplo.

Sean $A=\set{1,2,3}$ y $R=\set{(1,2), (1,3)}$. Se tiene que $R$ es una relación asimétrica. En efecto, $(1,2)\in R$ pero $(2,1)\notin R$ y $(1,3)\in R$ pero $(3,1)\notin R$.

$\square$

Definición. Sea $R$ una relación sobre un conjunto $A$. Decimos que $R$ es una relación irreflexiva si y sólo si para cualquier $a\in A$ se tiene que $(a,a)\notin R$.

Ejemplo.

Sean $A=\set{1,2,3}$ y $R=\set{(1,2), (1,3)}$. Se tiene que $R$ es una relación irreflexiva. En efecto, pues para cualquier elemento en $A$ en este caso $1, 2$ y $3$ se cumple que $(1,1)\notin R$, $(2,2)\notin R$ y $(3,3)\notin R$.

$\square$

Del ejemplo anterior podemos inferir que si $R$ es una relación asimétrica, entonces $R$ es irreflexiva. Vamos a demostrar esto último en la siguiente proposición.

Proposición. Sea $A$ un conjunto y $R$ una relación en $A$. Si $R$ es asimétrica, entonces $R$ es irreflexiva.

Demostración.

Vamos a probar que si $R$ no es irreflexiva, entonces no es asimétrica. Si $a\in A$ cumple que $(a,a)\in A$, entonces no es posible tener simultáneamente $(a,a)\in A$ y $(a,a)\notin A$, es decir, $R$ no es asimétrica.

$\square$

Definición. Sea $R$ una relación en $A$. Si $R$ es una relación asimétrica y transitiva decimos que $R$ es un orden estricto en $A$. Para abreviar, diremos $(A, R)$ es un orden estricto.

Ejemplo.

Sea $A$ un conjunto cualquiera (no necesariamente vacío). Veamos que la relación $\emptyset$ es un orden estricto.

Si $A=\emptyset$, se cumple por vacuidad que $\emptyset$ es una relación asimétrica y transitiva. Por lo tanto, $\emptyset$ es un orden estricto.

Supongamos ahora que $A\not=\emptyset$, verifiquemos las propiedades de asimetría y transitividad.

  1. Sean $a,b\in A$ tales que $(a,b)\in \emptyset$ entonces $(b,a)\notin \emptyset$ se satisface por vacuidad. Por lo tanto, $\emptyset$ es una relación asimétrica.
  2. Sean $a,b,c\in A$ tales que $(a,b)\in \emptyset$ y $(b,c)\in \emptyset$. Como esto nunca sucede, por vacuidad implica que $(a,c)\in \emptyset$. Por lo tanto, $\emptyset$ es una relación transitiva.

$\square$

Dado que estamos ordenando elementos de un conjunto, usualmente usaremos $<$ para denotar a una relación de orden estricto, ya que esta es irreflexiva.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá fortalecer tu entendimiento del tema de ordenes parciales y el de órdenes parciales estrictos.

  1. Si $A \not=\emptyset$, prueba que la pareja $(A,\emptyset)$ no es un orden parcial.
  2. Demuestra que si $A$ es un conjunto y $R$ es la relación $\subset$ en $A$, entonces $(A, R)$ es un orden parcial estricto.
  3. Argumenta por qué el concepto de no reflexividad es distinto al de irreflexividad. Además, encuentra un ejemplo de una relación que no sea ni reflexiva ni irreflexiva.
  4. Para cada una de las siguientes proposiciones, demuéstrala o da un contraejemplo.
    • Si $R$ es una relación asimétrica, entonces es antisimétrica.
    • Si $R$ es una relación antisimétrica, entonces es asimétrica.
  5. Sea $<$ un orden parcial estricto en un conjunto $A$. Muestra que $<\cup \{(a,a): a\in A\}$ es un orden parcial en $A$.

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos a los órdenes totales. Para hablar de tales órdenes retomaremos a los órdenes parciales y a los órdenes parciales estrictos. Además platicaremos del orden lexicográfico horizontal y vertical, los cuales se definen en el producto cartesiano de dos conjuntos ordenados.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Órdenes parciales y totales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

En la entrada pasada, hemos introducido algunos tipos de relaciones de un conjunto en sí mismo. En esta entrada y en la siguiente, veremos algunos ejemplos de este tipo de relaciones, y lo haremos con un concepto que puede que te suene muy familiar desde algunas ideas básicas de los números: el órden.

Ordenes

En la vida cotidiana muchas veces nos surge la necesidad de comparar distintas cosas. Por ejemplo, podemos comparar qué tan lejos está un lugar a comparación de otros. Podemos decir que si una plaza comercial nos queda a dos kilómetros, está más cerca de un parque que queda a tres kilómetros de distancia. ¿Por qué pasa esto? Pues nosotros tenemos alguna noción de que dos kilómteros es menor distancia que tres. O al comparar el tamaño del disco duro de alguna computadora, podemos decir que $512$ Gb es mejor que $256$ Gb, puesto que el de $512$ tiene una mayor capacidad del de $256$. ¿Ves como es que usamos las palabras de mayor y menor? Cuando nosotros estamos usando la noción de ser mayor que o menor que, estamos hablando de un orden. Que es un tipo de relación entre un conjunto consigo mismo, por ahora veremos dos tipos de órdenes entre conjuntos: el orden parcial y el orden total.

Órdenes parciales

Piensa en la relación de $\mathbb{Z}^2$ dada por «ser menor o igual a», es decir la relación:

$$ \leq = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x \text{ es menor o igual a } y\}$$

Por ejemplo, $(1,2) \in \leq$ pues $1$ es menor o igual a $2$. Si dos elementos $x,y$ están relacionados mediante $\leq$, simplemente escribiremos $x\leq y$ en lugar de $(x,y) \in \leq$. Veamos algunas propiedades que tiene esta relación:

  1. $\leq$ es simétrica. Nota que para cualquier $x \in \mathbb{Z}$ sucede que $x=x$, en general $x \leq x$, pues la relación $\leq$ está dada por «ser menor o igual», y $x$ es igual a sí mismo.
  2. $\leq$ es antisimétrica. Para ver esto, nota que si sucede al mismo tiempo que $x \leq y$ y $y \leq x$, entonces estamos diciendo que $x$ es igual o menor a $y$ al mismo tiempo que $y$ es menor o igual a $x$. De tal forma que sucede que $$(x<y \lor x=y) \land (y<x \lor y=x) \Leftrightarrow (x<y \land y<x) \lor (x=y).$$ Nota que la primera condición no se cumple, entonces tiene que pasar que $x=y$
  3. $\leq$ es transitiva. Considera tres números $x,y,z \in \mathbb{Z}$ Y nota que si $x \leq y \land y \leq z$ entonces $x \leq z$.

Es por estas propiedades que decimos que la relación $\leq$ es un orden parcial.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ consigo misma. Diremos que $R$ es un orden parcial sobre $X$ si $R$ es relfexica, antisimétrica y transitiva a la vez.

Otro ejemplo de un orden parcial es la relación de inclusión $\subset$ dentro de los subconjuntos de algún conjunto $X$. Pues recordemos que esta relación está dada por «estar contenido en». Ahora, considera $A,B,C \in \mathcal{P}(X)$, entonces:

  • $\subset$ es reflexiva. Nota que como $A=A$, entonces $A \subset A$.
  • $\subset$ es antisimétrica. Si $A \subset B \land B \subset A$, entonces:$$\forall x ((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in A)).$$ La cual es una equivalencia de $$\forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B) .$$ Es decir $A=B$.
  • $\subset$ es transitiva. Si $A \subset B \land B \subset C$ entonces:
    $$\begin{align*}
    \forall x((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in C))
    \end{align*}$$ Y recordemos que podemos aplicar la regla de inferencia usada en demostraciones directas para demostrar que esto significa que
    $$\begin{align*}
    \forall x((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in C)) &\Rightarrow \forall x(x \in A \Rightarrow x \in C)\\
    &\Leftrightarrow A \subset C.
    \end{align*}$$

Órdenes totales

Ahora, vamos a ver el siguiente concepto que es el de órdenes totales, que en pocas palabras son órdenes parciales con la propiedad de la tricotomía. Veamos de qué trata.

Cuando estemos hablando de un órden total, necesitamos que además de ser un orden parcial, tengamos siempre alguna forma de comparar los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, cuando tengamos dos números enteros $x,y$ siempre podemos decir que $x < y \lor x=y \lor x>y$, es decir, se cumple la propiedad de la tricotomía.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ en sí misma. Diremos que $R$ tiene la propiedad de la tricotomía, si para cada par de elementos $x,y \in X$ pasa que $x=y$ ó $(x,y) \in R$ ó $(y,x) \in R$.

Esta última definición hace que se nos permita poder «comparar» los elementos de $X$, siempre podemos decir cuál es el orden entre cada par de elementos. Piénsalo como un: si una relación tiene la tricotomía, entonces podemos siempre saber cómo se relacionan todos los elementos entre sí. Un orden total será un orden parcial que tiene esta propiedad.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ en sí misma. Diremos que $R$ es un orden total si es parcial y tiene la propiedad de la tricotomía.

Algunos ejemplos de órdenes totales son:

  • El orden de $\leq$ en $\mathbb{Z}^2$.
  • Las letras del abecedario con el orden usual. $A<B<C<\dots<Z$
  • Las palabras del diccionario forman un orden de acuerdo a cómo son las letras en las palabras, por ejemplo, si buscamos la palabra «oso», esta vendrá antes que la palabra «ratón», pues antes viene la letra «o» que la «r». A su vez, «casa» viene antes que la palabra «caspa», pues todas las letras «cas» son iguales, pero «a» viene antes que la «p». A este orden se le conoce como el orden lexicográfico. Si quieres saber más, revisa la tarea moral.

Otras definiciones sobre el orden

Dentro de un conjunto $X$ total o parcialmente ordenado mediante una relación $\leq$, podemos tener elementos especiales que tendrán nombres particulares. Como por ejemplo:

Definición. Sea $X$ un conjunto con un orden parcial $\leq$ y $x \in X$. Diremos que:

  • $x$ es un elemento maximal si para cualquier $y \in X$ distinta que $x$ no se cumple que $y \leq x$.
  • $x$ es un elemento minimal si para cualquier $y \in X$ distinta que $x$ no se cumple que $x \leq y$.
  • $x$ es un elemento máximo si para cualquier $y \in X$ se cumple que $y \leq x$.
  • $x$ es un elemento mínimo si para cualquier $y \in X$ se cumple que $x \leq y$.

Lo que nos quieren decir estas definiciones es que un elemento es maximal (o minimal) si no existe algún elemento por «arriba (o debajo)» de $x$. Es decir que no podemos encontrar un elemento que esté «después (o antes)» con respecto al orden $\leq$. Lo que nos dice un elemento máximo (o mínimo) es que todo elemento va a ser «menor o igual (mayor o igual)» a $x$. Si lo piensas, pueden sonar a definiciones muy parecidas, y de hecho siempre que un elemento sea máximo (o mínimo), será maximal (o minimal), pero el inverso puede no ser cierto.

La diferencia entre maximal y máximo está en que un máximo $x$ nos indica que siempre podemos comparar cualquiera otro de los elementos $y$ con el máximo y siempre resultará que $y \leq x$. Mientras que un maximal solo nos dice que no existirá un elemento $y$ tal que $x \leq y$, es decir no encontraremos una comparación en el que $x$ resulte ser menor. Lo mismo pasará con el minimal y mínimo.

Por ejemplo, piensa en el conjunto $X=\{1,2,3\}$ y el orden parcial $\leq = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(2,3)\}$. Nota que aquí $3$ es un máximo, pues pasa que $1 \leq 3, 2 \leq 3, 3 \leq 3 $, pero $1$ es minimal, pues $1 \leq 3$ y como $2$ no se compara con $1$, entonces se cumple que no existe algún elemento por «debajo» de él. De la misma manera, $2$ es minimal.

Ahora, considera otro orden parcial sobre el mismo conjunto, dado por $\leq* = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(1,2)\}$. Y nota que ahora sucede que bajo este orden, $1$ es mínimo y $2,3$ son elementos maximales.

Más adelante…

En esta entrada nos hemos enfocado en dos tipos de orden, que son los parciales y totales, y estos no solo serán útiles en este curso, pues será un concepto recurrente en temas de cálculo, geometría y demás materias. Por ahora, introdujimos este concepto y pasaremos a otro que igual se usarán mucho, que son las relaciones de equivalencia, que nos permite «partir conjuntos» de acuerdo a elementos que se relacionen entre sí.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Define la relación de orden lexicográfico $\leq_{lex}$ en $\mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^2$ en donde $(x,y) \leq_{lex} (w,z)$ si $x \leq y \lor (x=y \land (b \leq d))$. Muestra que $\leq_{lex}$ es un orden total.
  2. Demuestra que si un conjunto con un orden parcial tiene máximo (o mínimo), este es único.
  3. Considera al conjunto $X=\{1,2,3,6,18\}$ y a la relación $|$ «dividir a » dada por:
    $$\begin{align*}
    |=\{&(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(1,18),\\
    &(2,2),(2,6),(2,18),(3,3),(3,6),\\
    &(3,18),(6,6),(6,18),(18,18)\}.
    \end{align*}$$ Y resuelve lo siguiente:
    • Demuestra que $X$ es un orden parcial pero no total.
    • Encuentra el elemento mínimo.
    • Encuentra el elemento máximo.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior II: El orden en los enteros

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

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Introducción

En las entradas anteriores introdujimos al conjunto de los números enteros, así como sus operaciones de suma y producto. Lo que haremos ahora es ver cómo ordenar a los elementos en $\mathbb{Z}$. Lo haremos de una forma similar a la que hicimos lo de las operaciones: usando las nociones que ya teníamos definidas en $\mathbb{N}$.

Como recordatorio, en $\mathbb{N}$ dijimos que $a<b$ cuando $a\in b$. De esta noción de «menor que» dimos la noción de «menor o igual que», diciendo que $a\leq b$ cuando ya sea que $a<b$ o bien $a=b$. Vimos que esta relación $\leq$ define un orden parcial en $\mathbb{N}$ que además es tricotómico. Quizás los resultados más importantes para trabajar con esta noción de desigualdad fue ponerla en términos de suma de elementos en $\mathbb{N}$:

  • En $\mathbb{N}$ se cumple que $a<b$ si y sólo si existe un natural $k>0$ tal que $a+k=b$.
  • En $\mathbb{N}$ se cumple que $a\leq b$ si y sólo si existe un natural $k$ tal que $a+k=b$.

Con esto en mente, veamos ahora cómo construir un orden en $\mathbb{Z}$. Antes de hacer eso, conviene primero pensar en números positivos, negativos y el cero.

Los positivos, los negativos y el cero en $\mathbb{Z}$

Ya sabemos que la identidad aditiva en $\mathbb{Z}$ es la clase $\overline{(0,0)}$, que también se puede pensar como la clase $\overline{(a,a)}$ para cualquier $a$ en $\mathbb{N}$. Si tenemos cualquier otra clase $\overline{(a,b)}$, por tricotomía del orden en $\mathbb{N}$ nos quedan sólo otras dos opciones: o bien $a<b$, o bien $b<a$. Esto nos ayudará a definir la noción de positividad y negatividad.

Definición. Sea $\overline{(a,b)}$ un entero. Diremos que ${(a,b)}$ es:

  • Cero si $a=b$,
  • Positivo si $a>b$ y
  • Negativo si $a<b$.

Una vez más, por la tricotomía del orden en $\mathbb{N}$, siempre sucede exactamente una de las posibilidades anteriores. Es importante ver que esta definición está bien hecha, es decir, que no depende de la clase de equivalencia que se eligió. Por ejemplo, si $\overline{(a,b)}$ es positivo, sucede que $a>b$. Si tomamos $(c,d)$ tal que $(a,b)\sim (c,d)$, nos gustaría ver que también sucede $c>d$. Esto se debe a que $a+d=b+c$. Si tuviéramos $c\leq d$, entonces nos pasaría que $a+d>b+c$ y tendríamos una contradicción. Así, por tricotomía debe pasar $c>d$. El caso de la negatividad se verifica de manera análoga.

Recuerda que el inverso aditivo de un entero $\overline{(a,b)}$ es el entero $-\overline{(a,b)}=\overline{(b,a)}$. Así, si $\overline{(a,b)}$ es positivo, entonces su inverso aditivo es negativo y viceversa.

Definición. Usaremos la letra $P$ para referirnos al conjunto de todos los enteros positivos. Usaremos $-P$ para referirnos al conjunto de todos los enteros negativos.

¿Cómo se comportan estas definiciones con las operaciones que ya tenemos en $\mathbb{Z}$? Ahora tenemos todo lo necesario para poder formalizar oraciones como «negativo por negativo es positivo», o «positivo más positivo es positivo.

Proposición. En $\mathbb{Z}$ se cumple todo lo siguiente:

  • Si $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ están en $P$, entonces su suma está en $P$ y su producto también.
  • Si $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ están en $-P$, entonces su suma está en $-P$ y su producto está en $P$.

Demostración. Todas estas afirmaciones se traducen a proposiciones que debemos demostrar en $\mathbb{N}$. En el caso de la primera, debemos ver que si $a>b$ y $c>d$, entonces $a+c>b+d$ y que $ac+bd>ad+bc$. Lo primero es sencillo, pues sale de la compatibilidad de $>$ con la suma de $\mathbb{N}$. Demostremos entonces que $ac+bd>ad+bc$.

Como $a>b$, existe un natural $k>0$ tal que $a=b+k$. Como $c>d$, existe un natural $l>0$ tal que $c=d+l$. Haciendo estas substituciones de $a$ y $c$ en $ac+bd>ad+bc$, obtenemos la siguiente cadena de desigualdades que son equivalentes a lo que debemos demostrar:

\begin{align*}
ac+bd&>ad+bc\\
(b+k)(d+l)+bd&>(b+k)d+b(d+l)\\
bd+bl+kd+kl+bd&>bd+kd+bd+bl.
\end{align*}

La última de estas desigualdades se cumple pues a la izquierda tenemos todos los sumandos que del lado derecho, y además el sumando $kl$ que como $k>0$ y $l>0$, entonces cumple $kl>0$.

Las demostraciones para cuando los elementos son negativos quedan como tarea moral.

$\square$

Al conjunto de enteros positivos también se le conoce en ocasiones como $\mathbb{Z}^+$, y al de enteros positivos también se le conoce como $\mathbb{Z}^-$.

El orden en $\mathbb{Z}$

Estamos listos para definir el orden en $\mathbb{Z}$. Aprovecharemos que ya podemos restar para poner la definición de orden en términos de esta operación.

Definición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ diremos que $\overline{(c,d)}<\overline{(a,b)}$ si $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es un entero positivo.

En realidad la expresión $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es simplemente $\overline{(a+c,b+d)}$, así que otra forma de escribir la condición de la definición es simplemente pedir que $a+c>b+d$. Como siempre sucede que o bien $a+c>b+d$, o que $a+c<b+d$, o que $a+c=b+d$ (y sólo una de ellas), entonces de manera inmediata obtenemos la tricotomía en $\mathbb{Z}$.

Proposición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ siempre sucede exactamente alguna de las siguientes:

  • $\overline{(a,b)}<\overline{(c,d)}$
  • $\overline{(c,d)}<\overline{(a,b)}$
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$

Como en el caso de los naturales, a partir de la definición de «menor estricto» es sencillo obtener la noción de «menor o igual».

Definición. Para $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ elementos en $\mathbb{Z}$ diremos que $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$ si o bien $\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$ es un entero positivo, o bien $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$.

Lo anterior es equivalente a pedir que $a+c\geq b+d$.

Proposición. La relación $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{Z}$.

Demostración. Es inmediato que esta relación $\leq$ es reflexiva, pues $\overline{(a,b)}\leq \overline{(a,b)}$ se obtiene de manera inmediata de la segunda parte de la definición.

Para ver que es antisimétrica, si tuviéramos $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$ y $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$, entonces tendríamos las desigualdades $a+c\geq b+d$ y $b+d\geq a+c$, que por la antisimetría en $\mathbb{N}$ implican que $a+c=b+d$, que justo es $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$.

Finalmente, para ver que $\leq$ es una relación transitiva, comenzamos con enteros $\overline{(a,b)}, \overline{(c,d)}, \overline{(e,f)}$ tales que $\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(c,d)}\leq \overline{(a,b)}$.

De la primer desigualdad obtenemos $c+f\geq e+d$ y de la segunda obtenemos que $a+d\geq b+c$. Sumando ambas desigualdades, obtenemos que $c+f+a+d\geq b+c+e+d$. De aquí podemos deducir que $a+f\geq b+e$. Esto precisamente nos dice que $\overline{(e,f)}\leq \overline{(a,b)}$, como queríamos.

$\square$

Las dos proposiciones anteriores se pueden resumir en el siguiente enunciado.

Teorema. La relación $\leq$ es un orden total en $\mathbb{Z}$.

Compatibilidad del orden con las operaciones en $\mathbb{Z}$

Lo último que nos queda por mencionar es cómo se comporta la relación $\leq$ en $\mathbb{Z}$ con sus operaciones de suma y producto. A continuación mencionamos algunas de las propiedades que se cumplen, aunque hay varias cosas más que se pueden demostrar.

Proposición. En $\mathbb{Z}$ se cumple lo siguiente:

  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}\leq \overline{(g,h)}$, entonces $$\overline{(a,b)}+\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}+\overline{(g,h)}.$$
  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es positivo, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)}.$$
  • Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es negativo, entonces $$\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(a,b)}\overline{(e,f)}$$

Demostración.

  • Las hipótesis se pueden escribir como $a+d\leq b+c$ y $e+h\leq f+g$. Sumando ambas y asociando de un modo que nos convenga, obtenemos que $(a+e)+(d+h)\leq (b+f)+(c+g)$. Esto lo que nos dice es que $\overline{(a+e,b+f)}\leq $\overline{(c+g,d+h)}$, que es precisamente lo que queríamos demostrar.
  • Por la hipótesis, tenemos que $\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}$ es positivo y que $\overline{(e,f)}$ también. Por lo que ya vimos antes, el producto de estos dos enteros debe ser entonces positivo. Por distributividad, este producto es $\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}-\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}$. Así, $\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)},$ como queríamos.
  • Por la hipótesis, tenemos que $\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}$ es positivo y que $\overline{(e,f)}$ es negativo. Entonces $\overline{(f,e)}=-\overline{(e,f)}$ es positivo. Por lo que ya vimos antes, el producto de estos dos enteros debe ser entonces positivo. Por distributividad, este producto es $\overline{(c,d)}\overline{(f,e)}-\overline{(a,b)}\overline{(f,e)}$. Esta expresión se puede escribir de manera alternativa como $\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}-\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}$. Como es positiva, obtenemos justo lo que queríamos.

$\square$

En los ejercicios de la tarea moral explorarás más propiedades de la relación $\leq$ y cómo interactúa con las operaciones en $\mathbb{Z}$.

Más adelante…

Ya tenemos todo lo que necesitamos en los enteros: su definición, sus operaciones y su noción de orden. Sin embargo, aún tenemos una gran dificultad: es muy difícil escribirlos. Cada que queremos referirnos a un entero, debemos usar la clase de equivalencia de una pareja de naturales. Nos gustaría que los enteros fueran algo mucho más intuitivo: los naturales y sus negativos. Lo que haremos en la siguiente entrada es ver cómo formalizar esta idea para que podamos, finalmente, abandonar la notación de parejas de naturales y relaciones de equivalencia. Esto será bastante útil para después entrar en muchas otras propiedades que nos interesan de los enteros como la noción de divisibilidad y otras propiedades aritméticas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Completa las demostraciones de las nociones de positivo, negativo y orden en $\mathbb{Z}$ están bien definidas.
  2. Demuestra que la suma de dos enteros negativos es un entero negativo y que su producto es un entero positivo. Haz una demostración que funcione en general, pero luego verifícalo «a mano» para los enteros $\overline{(3,7)}$ y $\overline{(9,11)}$.
  3. En la entrada dimos la definición formal de $<$ y de $\leq$ en $\mathbb{Z}$, pero aún no hemos definido ni usado los símbolos $>$ y $\geq$ en $\mathbb{Z}$. Formaliza una definición para ellos. Demuestra que $\geq$ también es un orden total en $\mathbb{Z}$.
  4. Demuestra que en $\mathbb{Z}$, si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ es negativo, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\geq \overline{(c,d)}\overline{(e,f)}.$$
  5. Determina si la siguiente propiedad del producto y el orden en $\mathbb{Z}$ siempre es verdadera, o bien si hay ocasiones en las que falla: «Si $\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}\leq \overline{(g,h)}$, entonces $$\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\leq \overline{(c,d)}\overline{(g,h)}.»

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»