Geometría Analítica I: Reflexiones y pasos

Introducción

En entradas anteriores, ya estudiamos algunas isometrías, en esta ocasión, dedicaremos esta sección al estudio de las isometrías que cambian de orientación, es decir, de las que son de la forma $f(x)= E_\theta x+b$ con $E_\theta$ una matriz de reflexión.

Algunas definiciones informales

Antes de empezar con este capítulo, es importante entender a qué nos referimos con reflexiones y «pasos».

  • Reflexiones: Como ya hemos estado estudiando en otras entradas, se tiene una reflexión cuando hay un comportamiento similar a un espejo, es decir, que se tiene exactamente lo mismo y a la misma altura, pero de forma «reflejada».
  • Pasos: Entenderemos por «pasos» a la acción que realizamos al caminar y avanzar. Y, a los pasos con traslación trivial, a los que damos reflejando nuestros pasos con una línea recta.

Un teorema importante

Teorema 3.24: Una isometría que invierte orientación es un paso (con traslación trivial) o una reflexión.

Demostración

La isometría que invierte orientación, como ya mencionamos al inicio, es de la forma $f(x)= E_\theta x+b$ con $E_\theta$ matriz de reflexión.

  • Puntos fijos

Primero vamos a ver si hay puntos fijos, para esto, debemos analizar el siguiente determinante:

\begin{equation}det(I-E_\theta)=det\begin{pmatrix} 1-\cos(2\theta) & – \sin(2\theta) \\
– \sin(2\theta) & 1+\cos(2\theta)\end{pmatrix}\end{equation}

De donde obtenemos:

\begin{equation}det(I-E_\theta)=1-\cos^2(2\theta)-\sin^2(2\theta)=1-1=0\end{equation}

Esto significa que no hay una solución única, es decir, que no tiene solución o tiene muchas soluciones.

  • Análisis de soluciones

Si $b=0$, entonces $f$ es una reflexión y las soluciones son los puntos de la recta espejo: l.

Veamos cuáles son los puntos de la recta l satisfacen la ecuación anterior que encontramos. Si $u=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ es el vector unitario que genera a l, entonces:

\begin{equation}E_\theta u=\begin{pmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\
\sin(2\theta) & -\cos(2\theta)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos(\theta)\\
\sin(\theta) \end{pmatrix}\end{equation}

Donde, después de aplicar las funciones trigonométricas, llegamos a:

\begin{equation}E_\theta u=\begin{pmatrix} \cos(2\theta-\theta)\\
\sin(2\theta-\theta) \end{pmatrix}=u\end{equation}

Esto implica que $E_\theta(tu)=t(E_\theta u)=tu$ son todos los puntos de la recta l que satisfacen que $(I-E_\theta) x=0$.

Si para alguna $b$, el sistema $(I-E_\theta)x=b tiene una solución en particular, $c$, entonces toda la recta l$+c$ tiene soluciones para el sistema y se trata de una reflexión con espejo l$+c$, es decir, se trata de un «paso».

Pero, ¿cuáles son estas $b$ para las que hay solución?

Encontremos estas $b$ pensando de forma geométrica.

Observemos que, para cualquier $x \in \mathbb R^2$, la expresión $(I-E_\theta)x=x-E_\theta x$ indica el vector que va de $E_\theta x$ a $x$ y que es perpendicular al «espejo».

Si vemos a $(I-E_\theta)$ como función, encontraremos que es la proyección ortogonal a $l^T$, lo que implica que su imagen sea $l^T$.

De lo anterior, podemos concluir que la isometría $f(x)=E_\theta x+b$ solo tiene puntos fijos si $b\in l^T$

  • Otra forma de escribir la isometría

Finalmente, observemos que, cualquier $b \in \mathbb R^2$ puede ser escrito como suma de sus componentes respecto a la base normal $u, u^T$, es decir, como: $b-b1+b2$

Entonces podemos escribir la la isometría como:

\begin{equation}f(x)=(E_\theta x+b_2)+b_1\end{equation}

Con lo que concluimos la demostración.

Tarea moral

  1. Demuestra que si $f$ es una isometría que invierte orientación, entonces $f^2=f\circ f$ es una traslación.
  2. Con la notación usada en esta sección, demuestra usando coordenadas e identidades trigonométricas, que $(I-E_\theta) u^T=2u^T$
  3. Si $f(x)=E_\theta x+b$. Encuentra y argumenta geométricamente una expresión para $f^{-1}$.

Más adelante…

No te pierdas la siguiente sección de estudio en la que analizaremos las homotecias y semejanzas.

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