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Geometría Moderna I: Circunferencias homotéticas

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

Esta es la segunda parte de la entrada anterior, donde presentamos el concepto de homotecia, en esta entrada nos enfocaremos en circunferencias homotéticas.

Homotecia de una circunferencia

Teorema 1. La homotecia de una circunferencia es una circunferencia.

Demostración. Sea $(O, r)$ una circunferencia y consideremos una homotecia con centro en $H$ y razón $k$ . Tomemos $P \in (O, r)$ , y sean $P^{'}$ y $O^{'}$ los puntos homólogos de $P$ y $O$ respectivamente.

Como $P^{'} O^{'} ∥ P O$ entonces $△ H O^{'} P^{'} \sim △ H O P$
$\Rightarrow \frac{O^{'} P^{'}}{O P} = \frac{H P^{'}}{H P} = k$
$\Rightarrow O^{'} P^{'} = k \times O P = k r$

Por lo tanto, si $P$ describe una circunferencia, su punto homologo $P^{'}$ , se mueve a una distancia fija $k r$ de un punto fijo $O^{'}$ , esto es una circunferencia con centro en $O^{'}$ y radio $r^{'} = k r$ , $(O^{'}, r^{'})$ .

Observaciones. Notemos que los respectivos centros $O$ y $O^{'}$ son puntos homólogos y que la razón entre los radios de las circunferencias homotéticas es la razón de homotecia.

Recordemos que por convención, el punto homólogo del centro de homotecia es el mismo y como el centro de homotecia es colineal con los centros de las circunferencias homotéticas, si una de las circunferencias pasa por el centro de homotecia $H$ , entonces la otra circunferencia también pasara por $H$ y ambas serán tangentes en $H$ .

Si tomamos como centro de una circunferencia el centro de homotecia entonces las circunferencias homotéticas serán concéntricas.

Un triangulo variable

Teorema 2. Si un vértice de un triángulo variable esta sobre un punto fijo, un segundo vértice esta sobre una circunferencia dada y el triángulo variable siempre es semejante a un triángulo dado, entonces el tercer vértice del triángulo describe una circunferencia.

Demostración. Sea $△ A B C$ una de las posiciones del triángulo variable, donde $B$ es el punto fijo y $C$ está en $(O, r)$ , la circunferencia dada.

Sea $C^{'} \in A B$ tal que $B C^{'} = B C$ , sobre $B C^{'}$ construimos un triángulo $△ B O^{'} C^{'}$ congruente a $△ B O C$ , de tal manera que sea posible a través de una rotación con centro en $B$ superponer $△ B O C$ con $△ B O^{'} C^{'}$ .

Como $∠ O B C = ∠ O^{'} B C^{'}$ entonces $∠ O B O^{'} = ∠ C B C^{'} = ∠ C B A$ , este último ángulo es fijo por lo que la dirección de la recta $B O^{'}$ es fija.

$B O^{'} = B O$ entonces $O^{'}$ es un punto fijo para cualquier otra posición del triángulo variable $△ A B C$ .

Como $C O^{'} = C O = r$ , entonces todos los puntos $C^{'}$ se mueven a una distancia fija $r$ de un punto fijo $O^{'}$ , por lo tanto, $C^{'}$ describe una circunferencia.

Ya que $\frac{B A}{B C^{'}} = \frac{B A}{B C}$ y esta última razón es fija, pues todos los triángulos $△ A B C$ son semejantes entre sí, $A$ y $C^{'}$ son puntos homólogos de una homotecia con centro en $B$ y razón $\frac{B A}{B C}$ , y como $C^{'}$ describe una circunferencia, entonces por el teorema 1, $A$ también describe una circunferencia.

Observación. Notemos que en el punto fijo se puede construir cualquiera de los tres ángulos dados, así, en el vértice que esta en el circulo dado tenemos otras dos elecciones, y el tercer vértice lo podemos construir a ambos lados del segmento $B C$ , con lo que en total existen $12$ circunferencias diferentes que puede describir el tercer vértice.

Homotecia entre dos circunferencias dadas

Teorema 3. Dadas dos circunferencias de centros o radios distintos, siempre es posible encontrar una homotecia entre las dos.

Demostración. Sean $(O, r)$ y $(O^{'}, r^{'})$ tal que $O \neq O^{'}$ y $r \neq r^{'}$ , tomemos $P \in (O, r)$ y tracemos por $O^{'}$ un radio $O^{'} P^{'}$ paralelo a $O P$ , sea $H = O O^{'} \cap P P^{'}$ .

Entonces $△ H O^{'} P^{'} \sim △ H O P$
$\Rightarrow \frac{H P^{'}}{H P} = \frac{H O^{'}}{H O} = \frac{O^{'} P^{'}}{O P} = \frac{r^{'}}{r}$ .

En consecuencia, la homotecia con centro en $H$ y razón $k = \frac{r^{'}}{r}$ lleva a $(O, r)$ en $(O^{'}, r^{'})$ .

Ahora consideremos $P^{″}$ el punto diametralmente opuesto a $P^{'}$ en $(O^{'}, r^{'})$ , sea $H^{'} = O O^{'} \cap P P^{″}$ , entonces $△ H^{'} O^{'} P^{″} \sim △ H^{'} O P$
$\Rightarrow \frac{H^{'} P^{″}}{H^{'} P} = \frac{H^{'} O^{'}}{H^{'} O} = \frac{O^{'} P^{″}}{O P} = \frac{r^{'}}{r} = k$ .

Así, hemos encontrado dos homotecias entre $(O, r)$ y $(O^{'}, r^{'})$ .

Observación. Si las circunferencias son concéntricas entonces solo hay una homotecia entre ellas, la que tiene como centro el centro de las circunferencias.

Si las circunferencias tienen el mismo radio entonces la única homotecia entre ellas es la que tiene como centro el punto medio del segmento que une los radios.

Corolario 1. Rectas tangentes comunes a dos circunferencias pasan por un centro de homotecia.

Demostración. Supongamos que $T T^{'}$ es una recta tangente exterior (es decir, la recta $T T^{'}$ corta al segmento $O O^{'}$ exteriormente) a dos circunferencias $(O, r)$ y $(O^{'}, r^{'})$ , donde $T \in (O, r)$ y $T^{'} \in (O^{'}, r^{'})$ .

Sea $H = O O^{'} \cap T T^{'}$ , como $O^{'} T^{'} ∥ O T$ entonces $△ H O^{'} T^{'} \sim △ H O T$
$\Rightarrow \frac{H T^{'}}{H T} = \frac{H O^{'}}{H O} = \frac{O^{'} T^{'}}{O T} = \frac{r^{'}}{r}$ .

Como el punto que divide externamente al segmento $O O^{'}$ en la razón $\frac{r^{'}}{r}$ es único, entonces $H$ es un centro de homotecia de $(O, r)$ y $(O^{'}, r^{'})$ .

Es análogo ver que las tangentes internas de dos circunferencias pasan por un centro de homotecia.

Incírculo y exírculo en homotecia

Teorema 3. Sea $△ A B C$ , considera $(I, r)$ y $(I_{b}, r_{b})$ su incírculo y $B$ -excírculo respectivamente, sean $D$ el punto de tangencia de $A C$ con $(I, r)$ y $D^{'}$ el punto diametralmente opuesto a $D$ en $(I, r)$ , sea $E = B D^{'} \cap A C$ , entonces $E$ es el punto de tangencia de $A C$ con $(I_{b}, r_{b})$ y el punto medio de $A C$ es el punto medio de $D E$ .

Demostración. Por el corolario 1, existe una homotecia con centro en $B$ y razón $\frac{r_{b}}{r}$ que lleva a $(I, r)$ en $(I_{b}, r_{b})$ , sea $X \in (I_{b}, r_{b})$ el punto correspondiente a $D^{'} \in (I, r)$ bajo esta transformación.

Entonces $I D^{'} ∥ I_{b} X$ , pero $I D^{'} ⊥ A C$ $\Rightarrow I_{b} X ⊥ A C$ y como $A C$ es tangente a $(I_{b}, r_{b})$ entonces $X \in A C$ .

Como $X \in A C$ y $X$ es colineal con $B$ y $D^{'}$ entonces $X = E$ , así, $A C$ es tangente a $(I_{b}, r_{b})$ en $E$ .

Por otro, lado sean $P$ , $Q$ los puntos de tangencia de $B C$ con $(I, r)$ y $(I_{b}, r_{b})$ respectivamente y sean $R$ , $S$ los puntos de tangencia de $A B$ con $(I, r)$ y $(I_{b}, r_{b})$ respectivamente.

Recordemos que las tangentes desde un punto externo a una circunferencia son iguales.

$B P + P C + C Q = B Q = B S = B R + R A + A S \Rightarrow P C + C Q = R A + A S$
$\Rightarrow C D + C E = A D + A E \Rightarrow 2 C E + D E = 2 A D + D E$
$\Rightarrow C E = A D$

Por lo tanto, el punto medio de $A C$ es el punto medio de $D E$ .

Concurrencia de rectas

Corolario 2. Con las mismas condiciones y notación del teorema anterior, sea $H \in A C$ el pie de la altura por $B$ , y sea $M$ el punto medio de $B H$ , entonces $E I$ y $I_{b} D$ concurren en $M$ (figura 6).

Demostración. Ya que $D^{'} D ∥ B H$ entonces $△ E B H \sim △ E D^{'} D$ ,
$\Rightarrow \frac{E B}{E D^{'}} = \frac{E H}{E D}$ .

Es decir, hay una homotecia con centro en $E$ que lleva a los puntos $D^{'}$ y $D$ a los puntos $B$ y $H$ respectivamente, esto implica que el punto medio de $D^{'} D$ es homólogo del punto medio de $B H$ .

Por lo tanto, $E$ , $I$ y $M$ son colineales.

Por otra parte, consideremos la homotecia con centro en $B$ que lleva a $(I, r)$ en $(I_{b}, r_{b})$ y sea $E^{'} \in (I_{b}, r_{b})$ el punto homólogo de $D \in (I, r)$ .

Como $(D, E^{'})$ y $(D^{'}, E)$ son pares de puntos homólogos bajo la misma homotecia, entonces $D D^{'} ∥ E^{'} E$ pero $D D^{'} ∥ H B$ $\Rightarrow E^{'} E ∥ H B$ .

Entonces $△ D E E^{'} \sim △ D H B$ .
$\Rightarrow \frac{D B}{D E^{'}} = \frac{D H}{D E}$ .

En consecuencia, existe una homotecia con centro en $D$ , y $(E, H)$ , $(E^{'}, B)$ son pares de puntos homólogos, de esto de sigue que el punto medio de $E E^{'}$ y el punto medio de $B H$ son puntos homólogos.

Ya que $E^{'} E ⊥ A C$ , entonces es diámetro de $(I_{b}, r_{b})$ , por lo que $I_{b}$ es el punto medio de $E^{'} E$ y así, $I_{b}$ , $D$ y $M$ son colineales.

Por lo tanto, $E I$ y $I_{b} D$ concurren en $M$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre la potencia de un punto con respecto a una circunferencia, es una herramienta útil que relaciona cualesquiera dos secantes a una circunferencia desde un punto en el plano, incluyendo el caso cuando una secante se vuelve tangente.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Un triángulo variable tiene un vértice sobre un punto fijo, un vértice sobre una recta fija y el triangulo permanece semejante a un triángulo dado, muestra que el tercer vértice describe una línea recta.
Considera dos circunferencias que se intersecan, por uno de los puntos de intersección traza una recta que forme una cuerda en cada circunferencia y tal que la razón entre sus longitudes sea igual a una razón dada.
Construye un triángulo semejante a un triángulo dado, de tal forma que un vértice sea un punto dado y los otros dos vértices estén sobre dos circunferencias dadas.
Construye un triangulo $△ A B C$ dado su incentro, el punto medio del lado $B C$ y el pie de la altura por $A$ .
Lema de Arquímedes. Sea $Γ_{2}$ una circunferencia internamente tangente a una circunferencia $Γ_{1}$ en un punto $H$ , considera $A B$ , una cuerda de $Γ_{1}$ que es tangente a $Γ_{2}$ en $P$ , sea $Q$ el punto medio del arco $\overset{⌢}{A B}$ (figura 7), muestra que:
$i)$ $Q$ , $P$ y $H$ son colineales,
$i i)$ $Q P \times Q H = Q B^{2}$ .

Sea $Γ_{2}$ una circunferencia internamente tangente a una circunferencia $Γ_{1}$ en un punto $H$ , considera una secante a ambas circunferencias en $A$ , $B$ , $C$ y $D$ (figura 8), prueba que $∠ A H C = ∠ B H D$ .

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Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 46-51.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 199-208.
Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 109-114.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Analítica I: Tipos de matrices

Por Paola Berenice García Ramírez

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Introducción

Hemos conocido en esta unidad las transformaciones lineales y que a partir de ellas podemos asociarles una matriz única. En la sección anterior comenzamos con las primeras operaciones entre matrices: el producto de matrices y su estrecha relación con la composición de matrices. En esta unidad veremos las matrices más representativas y sus funciones lineales a las cuales están asociadas.

Matriz identidad

No es una familia de matrices, pero es el primer tipo de matriz que debemos mencionar. La matriz identidad está asociada a la función identidad y su tamaño es de $n \times n$ , es decir el número de filas es el mismo que el de columnas. Se denota por $I$ pero como se tiene una matriz identidad para cada dimensión, se puede escribir como $I_{n}$ .

La matriz identidad se caracteriza porque todos sus elementos son ceros ( $0$ ) excepto aquellos elementos que se encuentran en la diagonal principal, que son unos ( $1$ ).

Ejemplo. Para la función identidad $f : R^{2} ⟶ R^{2}$ , su matriz identidad asociada es

$I_{2} = I_{2 \times 2} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}),$

y para la función identidad $f : R^{n} ⟶ R^{n}$ , su matriz identidad asociada es

$I_{n} = I_{n \times n} = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{array}) .$

De hecho el producto de cualquier matriz por a matriz identidad no tiene ningún efecto, ya que siempre se cumple que $A I = A$ e $I A = A$ .

Homotecias

Las homotecias son funciones de cambios de escala, porque conservan los ángulos pero no las distancias entre cualquier par de puntos. Sin embargo, todas las distancias se incrementan o disminuyen en una misma razón $k \in R$ , con $k \neq 0$ , para una función $f : R^{n} ⟶ R^{n}$ definida por $f (x) = k x$ , la cual es lineal.

La matriz asociada a estas funciones es $k I$ , es decir la matriz que sólo tiene elementos $k$ en la diagonal principal y ceros ( $0$ ) fuera de dicha diagonal. Cuando $k > 1$ aumentan las distancias (dilataciones), cuando $k < 1$ disminuyen (contraen) y en caso de que $k = 1$ , las distancias se conservan.

Ejemplo. Para el caso de una función lineal $f : R^{2} ⟶ R^{2}$ , la matriz de homotecia de $2 \times 2$ asociada es de la forma

$I_{n} = I_{n \times n} = (\begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k \end{array}),$

Ejemplo. Dada la función lineal definida por

$f (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{x}{4} \\ \frac{y}{4} \end{matrix}),$

cuya matriz asociada es

$(\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} \end{array}),$

ya que

$f (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} \end{array}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{x}{4} \\ \frac{y}{4} \end{matrix}) .$

Vemos que la función corresponde a una homotecia que reduce las distancias entre cualquier par de puntos en una razón de $\frac{1}{4}$ .

Rotaciones

Recordemos que en las rotaciones, todo el plano gira un ángulo $α$ alrededor de un punto fijo (el origen del sistema coordenado) pero permanecen invariantes el tamaño y forma de las figuras.

Las columnas de la matriz asociada a las rotaciones en $R^{2}$ con centro en el origen mediante un ángulo $α$ son:

$f (e_{1}) = (\begin{matrix} c o s α \\ s e n α \end{matrix}), y f (e_{2}) = (\begin{matrix} - s e n α \\ c o s α \end{matrix}) .$

En consecuencia las rotaciones mandan al vector canónico $e_{1}$ en un vector unitario $u$ y al vector canónico $e_{2}$ en su vector ortogonal $u^{⊥} .$

Por tanto, para una función lineal $f : R^{2} ⟶ R^{2}$ , su matriz de rotación asociada correspondiente es

$R_{α} = (\begin{array}{cc} c o s α & - s e n α \\ s e n α & c o s α \end{array}) .$

Ejemplo. Si $α = 45 °$ y queremos calcular la rotación de $45 °$ del vector $\vec{x}$ entonces la matriz en este caso será:

$\begin{aligned} R_{45 °} (\vec{x}) & = (\begin{array}{cc} c o s 45 ° & - s e n 45 ° \\ s e n 45 ° & c o s 45 ° \end{array}) \vec{x} \\ = (\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}) \vec{x} . \end{aligned}$

Un hecho importante es que una vez que hubo una rotación de ángulo $α$ y volvemos a aplicar una rotación pero de ángulo $- α$ , regresaremos a la matriz identidad. Es decir que con la ayuda de las igualdades

$c o s (- α) = c o s α y s e n (- α) = - s e n α,$

se cumple que $R_{- α} R_{α} = I$ . Este resultado lo dejaremos como ejercicio en la sección Tarea moral.

Ahora bien, si rotamos un ángulo $β$ y posteriormente un ángulo $α$ , rotamos entonces en total un ángulo $α + β$ , entonces se cumple que $R_{α} R_{β} = R_{α + β}$ , pues

$\begin{aligned} R_{α} R_{β} & = (\begin{array}{cc} c o s α & - s e n α \\ s e n α & c o s α \end{array}) (\begin{array}{cc} c o s β & - s e n β \\ s e n β & c o s β \end{array}) \\ = (\begin{array}{cc} c o s α c o s β - s e n α s e n β & - c o s α s e n β - s e n α c o s β \\ s e n α c o s β + c o s α s e n β & - s e n α s e n β + c o s α c o s β \end{array}) \\ = (\begin{array}{cc} c o s (α + β) & - s e n (α + β) \\ s e n (α + β) & c o s (α + β) \end{array}) = R_{α + β}, \end{aligned}$

obteniendo las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de la suma de ángulos como consecuencia de la composición de funciones y la multiplicación de matrices.

Reflexiones

Para ver el significado geométrico que una reflexión ejerce sobre un vector, consideremos las funciones lineales:

Sea $f : R^{2} ⟶ R^{2}$ , tal que $f (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} - x \\ y \end{matrix})$ se llama reflexión con respecto al eje $y$ .
Sea $f : R^{2} ⟶ R^{2}$ , tal que $f (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ - y \end{matrix})$ se llama reflexión con respecto al eje $x$ .
Sea $f : R^{2} ⟶ R^{2}$ , tal que $f (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} y \\ x \end{matrix})$ se llama reflexión con respecto a la recta $y = x$ .

La representación matricial de cada caso es

$R_{y} = (\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}), R_{x} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}), R_{y = x} = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}),$

respectivamente. De forma más general, las reflexiones deben parametrizarse por la mitad del ángulo de la imagen de $e_{1}$ , quien es el ángulo de la recta respecto a la cual se hace la reflexión. Con ello, la reflexión en la recta con ángulo $θ$ manda a $e_{1}$ en el vector unitario de ángulo $2 θ$ , y su matriz asociada es:

$E_{θ} = (\begin{array}{cc} c o s 2 θ & s e n 2 θ \\ s e n 2 θ & - c o s 2 θ \end{array})$

Dejaremos como ejercicio moral ver que se cumplen $E_{θ} E_{θ} = I$ y que la composición de reflexiones es $E_{α} E_{β} = R_{2 (α - β) .}$

Matrices ortogonales

Una matriz ortogonal debe cumplir ser cuadrada y su función lineal asociada debe ser ortogonal (es decir, que preserva el producto interior). Entonces, para que se cumplan dichas condiciones, recurrimos a la siguiente definición:

Definición. Una matriz A de $n \times n$ es ortogonal (la matriz de una transformación ortogonal) si y sólo si $A \cdot A^{T} = I$ .

Ejemplo. Para la matriz de reflexión con respecto a la recta $x = y$

$A = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}),$

el producto de A con su transpuesta $A^{T}$ es

$A \cdot A^{T} = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = I$

Ejemplo. Para la matriz de rotación

$B = (\begin{array}{cc} c o s α & s e n α \\ - s e n α & c o s α \end{array}),$

el producto de B con su transpuesta $B^{T}$ es

$B \cdot B^{T} = (\begin{array}{cc} c o s α & - s e n α \\ s e n α & c o s α \end{array}) (\begin{array}{cc} c o s α & s e n α \\ - s e n α & c o s α \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = I .$

De hecho las matrices ortogonales de $2 \times 2$ son: las rotaciones y las reflexiones.

Tarea moral

¿Las siguientes matrices son matrices identidad?

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}), C = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}),$

2. Demostrar que las homotecias tienen la propiedad de conmutar con cualquier otra matriz, es decir, $A (k I) = (k I) A$ , donde $k$ es una constante real, $I$ es la matriz identidad y $A$ una matriz de $n \times n$ .

3. Demostrar que la rotación de un ángulo $- θ$ nos regresa a la unidad, es decir, probar que se cumple $R_{- θ} R_{θ} = I$

4. En la sección de reflexiones de esta entrada definimos a la matriz $E_{θ}$ . Demostrar que se cumple $E_{θ} E_{θ} = I$ y que la composición de reflexiones es $E_{α} E_{β} = R_{2 (α - β) .}$

Más adelante

En la siguiente entrada vamos a conocer al grupo de matrices invertibles de $n \times n$ , el grupo general lineal de orden $n$ ; a las cuales pertenecen las matrices ortogonales. Además veremos la forma más fácil de saber si una matriz de $2 \times 2$ es invertible, mediante el determinante y su relación con los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

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Geometría Moderna I: Homotecia

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta entrada estudiamos el tema de homotecia, se trata de una transformación que lleva una figura del plano a otra semejante, con lados correspondientes paralelos y vértices correspondientes concurrentes, esto nos permite entre otras cosas, abordar algunos problemas de construcciones geométricas.

Definición 1. Considera un punto $H$ , un conjunto de puntos $F$ y $k$ un numero real, para cada $X \in F$ sea $X^{'}$ tal que $X^{'}$ , $X$ y $H$ son colineales y $\frac{H X^{'}}{H X} = k$ .

Sea $F^{'}$ el conjunto de puntos $X^{'}$ , diremos que los conjuntos $F$ y $F^{'}$ son figuras homotéticas y los puntos $X$ y $X^{'}$ son puntos homólogos.

$H$ se llama centro de homotecia, $k$ es la razón de homotecia y la relación entre $F$ y $F^{'}$ es una homotecia con centro en $H$ y razón $k$ . Por convención el centro de homotecia $H$ es su propio punto homólogo.

Si puntos homólogos de una homotecia están del mismo lado del centro de homotecia decimos que los conjuntos son directamente homotéticos y la razón de homotecia es positiva, si los puntos homólogos están en lados opuestos respecto del centro de homotecia decimos que las figuras son inversamente homotéticas y la razón de homotecia será negativa.

Homotecia de una recta

Teorema 1. La homotecia de una recta que no pasa por el centro de homotecia es una recta paralela.

Demostración. Sean $H$ y $k$ el centro y la razón de homotecia, y sea $l$ una recta que no pasa por $H$ . Tomemos tres puntos arbitrarios $P$ , $Q$ , $R \in l$ , sean $P^{'}$ , $Q^{'}$ y $R^{'}$ sus correspondientes puntos homólogos.

Como $\frac{H P^{'}}{H P} = k = \frac{H Q^{'}}{H Q}$ , por el reciproco del teorema de Tales, $P Q ∥ P^{'} Q^{'}$ .

Análogamente vemos que $Q R ∥ Q^{'} R^{'}$ y $P R ∥ P^{'} R^{'}$ .

Supongamos que $P^{'}$ , $Q^{'}$ y $R^{'}$ no son colineales, entonces $△ P^{'} Q^{'} R^{'}$ es un triángulo y así $△ P Q R$ es un triángulo con lados paralelos a los de $△ P^{'} Q^{'} R^{'}$ , lo cual es una contradicción, pues $P Q R$ es una recta.

Si fijamos $P$ y $Q$ , y tomamos $R$ como variable, entonces $P^{'}$ y $Q^{'}$ son fijos y $R^{'}$ es variable, así todos los puntos $R^{'}$ son colineales con $P^{'}$ y $Q^{'}$ .

Por lo tanto, la homotecia de una recta es una recta paralela a esta.

Definición 2. Decimos que dos polígonos $A B C D \dots$ y $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} \dots$ son semejantes si los correspondientes lados son proporcionales $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \dots$ y los ángulos correspondientes son iguales $∠ A = ∠ A^{'}$ , $∠ B = ∠ B^{'}$ , $\dots$

Corolario. Dos polígonos homotéticos son semejantes.

Demostración. Sean $A$ , $B$ y $C$ vértices de un polígono $A B C D \dots$

Por el teorema anterior, los lados del triángulo $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , formado por los puntos homólogos de $A$ , $B$ y $C$ , son paralelos a los lados correspondientes de $△ A B C$ , por lo tanto, los triángulos son semejantes y así los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales.

Polígonos homotéticos

Teorema 2. Si los lados correspondientes de dos polígonos son proporcionales y paralelos entonces los polígonos son homotéticos.

Demostración. Sean $A B C D \dots$ y $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} \dots$ dos polígonos que cumplen las condiciones dadas, sea $H$ la intersección de las rectas $A A^{'}$ y $B B^{'}$ y supongamos que $C C^{'}$ no pasa por $H$ , entonces sea $H^{'} = C C^{'} \cap B B^{'}$ .

Como $A B ∥ A^{'} B^{'}$ y $B C ∥ B^{'} C^{'}$ entonces $△ H A B \sim △ H A^{'} B^{'}$ y $△ H^{'} B C \sim △ H^{'} B^{'} C^{'}$
$\Rightarrow \frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{H B}{H B^{'}}$ y $\frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{H^{'} B}{H^{'} B^{'}}$ .

Ya que los lados correspondientes de $A B C D \dots$ son proporcionales a los de $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} \dots$ , entonces
$\frac{H B}{H B^{'}} = \frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{H^{'} B}{H^{'} B^{'}}$
$\Rightarrow \frac{H B}{H B^{'}} - 1 = \frac{H^{'} B}{H^{'} B^{'}} - 1 \Rightarrow \frac{H B - H B^{'}}{H B^{'}} = \frac{H^{'} B - H^{'} B^{'}}{H^{'} B^{'}}$
$\Rightarrow \frac{B^{'} B}{H B^{'}} = \frac{B^{'} B}{H^{'} B^{'}} \Rightarrow H B^{'} = H^{'} B^{'}$ .

Por lo tanto, $H = H^{'}$ .

Así, $A A^{'}$ , $B B^{'}$ y $C C^{'}$ son concurrentes y $\frac{H A^{'}}{H A} = \frac{H B^{'}}{H B} = \frac{H C^{'}}{H C}$ , es análogo ver que las demás rectas que unen vértices correspondientes concurren en $H$ .

Por tanto, $A B C D \dots$ y $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} \dots$ se encuentran en homotecia desde $H$ y por el corolario 1, $A B C D \dots$ y $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} \dots$ , son semejantes, la razón de homotecia es la razón de semejanza, $\frac{H A^{'}}{H A} = \frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \dots$

Observación 1. Si la razón de homotecia es 1, los lados correspondientes de las figuras $A B C D \dots$ y $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} \dots$ son congruentes y así $A A^{'} B^{'} B$ es un paralelogramo, es decir, $A A^{'}$ y $B B^{'}$ no pueden ser concurrentes.

Observación 2. En el caso particular cuando los polígonos son triángulos, solo es necesario pedir que los lados correspondientes sean paralelos, pues esto asegura la semejanza y por tanto la condición de proporcionalidad.

Rectas concurrentes

Proposición. Sea $△ A B C$ un triángulo y sean $D$ , $E$ y $F$ los puntos de tangencia del incírculo $(I, r)$ de $△ A B C$ , con los lados $B C$ , $A C$ y $A B$ respectivamente, sean $A^{'}$ , $B^{'}$ y $C^{'}$ la intersección de las rectas $A I$ , $B I$ y $C I$ con el circuncírculo del triángulo $△ A B C$ , entonces la rectas $A^{'} D$ , $B^{'} E$ y $C^{'} F$ son concurrentes.

Demostración. Notemos que $A F = A E$ , pues son las tangentes trazadas desde $A$ a $(I, r)$ , como $△ A E F$ es isósceles entonces la bisectriz de $A$ es perpendicular a $E F$ , $A I ⊥ E F$ .

Por otro lado, tenemos que $∠ C^{'} B^{'} B = ∠ C^{'} C B = \frac{∠ C}{2}$ pues abarcan el mismo arco; el ángulo $∠ B^{'} I A$ es un ángulo exterior del triángulo $△ A I B$ , entonces
$∠ B^{'} I A = ∠ B A I + ∠ I B A = \frac{∠ A + ∠ B}{2}$ .

Sea $G = A I \cap C^{'} B^{'}$ , en el triángulo $△ G I B^{'}$ tenemos que
$∠ I G B^{'} = π - (∠ C^{'} B^{'} B + ∠ B^{'} I A)$
$= π - \frac{∠ A + ∠ B + ∠ C}{2} = \frac{π}{2}$ .

Por lo tanto, $A I ⊥ B^{'} C^{'}$ $\Rightarrow E F ∥ B^{'} C^{'}$ , de manera análoga podemos ver que $E D ∥ B^{'} A^{'}$ y $D F ∥ A^{'} C^{'}$ .

De lo anterior se sigue que $△ D E F \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ , y por el teorema 2, $A^{'} D$ , $B^{'} E$ y $C^{'} F$ concurren en algún punto $H$ que es el centro de homotecia de los triángulos $△ D E F$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Inscribir un triángulo en otro triángulo dado

Problema. 1 En un triángulo dado inscribir un triángulo cuyos lados sean perpendiculares a los lados del triángulo dado.

Solución. Sea $△ A B C$ el triángulo dado, la idea es construir una homotecia desde uno de los vértices, tomemos $D \in B C$ , distinto de $B$ , $C$ y también diferente al pie de la altura por $A$ .

Por $D$ trazamos la perpendicular a $B C$ que interseca a $A C$ en $E$ , por $E$ trazamos la perpendicular a $A C$ que interseca a $A B$ en $F$ .

Por $F$ trazamos la perpendicular a $A B$ que interseca a $D E$ en $G$ .

Sea $G^{'} = B C \cap A G$ , por $G^{'}$ trazamos la paralela a $G E$ que interseca a $A C$ en $E^{'}$ , también trazamos la paralela a $G F$ por $G^{'}$ que interseca a $A B$ en $F^{'}$ .

Por construcción $E E^{'}$ , $F F^{'}$ y $G G^{'}$ concurren en $A$ , $G^{'} F^{'} ⊥ A B$ y $G^{'} E^{'} ⊥ A C$ .

Como $△ A F^{'} G^{'} \sim △ A F G$ y $△ A G^{'} E^{'} \sim △ A G E$
$\frac{A F^{'}}{A F} = \frac{A G^{'}}{A G} = \frac{A E^{'}}{A E}$ .

Por tanto, $E^{'}$ , $F^{'}$ y $G^{'}$ son puntos homólogos de $E$ , $F$ y $G$ respectivamente, con centro de homotecia en $A$ .

Por el teorema 1, $E^{'} F^{'} ∥ E F$ y así $E^{'} F^{'} ⊥ A C$ .

Observación. Notemos que construimos $D E ⊥ B C$ y tal que $E \in A C$ , pero pudimos haber construido $E \in A B$ de lo que resultaría un triangulo distinto $△ E^{'} F^{'} G^{'}$ y por lo tanto tenemos dos soluciones.

Inscribir un cuadrado en un triángulo dado

Problema 2. Dado un triángulo, inscribir un cuadrado en el triángulo dado.

Solución. Sea $△ A B C$ el triángulo dado, construimos un cuadrado exteriormente $B D E C$ sobre $B C$ , sean $D^{'} = A D \cap B C$ y $E^{'} = A E \cap B C$ .

Como $B C ∥ D E$ entonces $D^{'}$ y $E^{'}$ son puntos homólogos de $D$ y $E$ respectivamente con centro de homotecia en $A$ .

Por $D^{'}$ trazamos una paralela a $B D$ que interseca a $A B$ en $B^{'}$ y por $E^{'}$ trazamos una paralela a $C E$ que interseca a $A C$ en $C^{'}$ .

Como $B^{'} D^{'}$ es transversal a $A B$ y a $A D$ y es paralela a $B D$ entonces $\frac{A B^{'}}{A B} = \frac{A D^{'}}{A D}$ y por tanto, $B$ y $B^{'}$ son puntos homólogos, de manera similar podemos ver que $C$ y $C^{'}$ son puntos homólogos.

Como $B D E C$ y $B^{'} D^{'} E^{'} C^{'}$ son figuras homotéticas entonces, por el corolario, son semejantes, por lo tanto, $B^{'} D^{'} E^{'} C^{'}$ es un cuadrado.

Observación. Si alguno de los ángulos $∠ B$ o $∠ C$ es obtuso, entonces una de las rectas $A D$ o $A E$ intersecaría a $B C$ por fuera y no seria posible la construcción.

Así, si nuestro triángulo $△ A B C$ es obtusángulo tenemos que tomar como centro de homotecia el vértice del ángulo obtuso.

Si $△ A B C$ es acutángulo existen tres soluciones, una por cada vértice como centro de homotecia, y si es rectángulo hay dos soluciones.

Construir una secante a un triángulo dado

Problema 3. Dado un triángulo $△ A B C$ , construye $D \in A B$ y $E \in A C$ tal que $B D = D E = E C$ .

Solución. Supongamos que ya tenemos la figura requerida (figura 6). Por $A$ trazamos una paralela a $D E$ que interseca a $B E$ en $F$ , por $F$ trazamos una paralela a $A C$ que interseca a $B C$ en $G$ .

Como $A F ∥ D E$ y $F G ∥ E C$ , por el teorema de Tales, tenemos
$\frac{B A}{B D} = \frac{B F}{B E} = \frac{B G}{B C}$ .

Así que $(A, D)$ , $(F, E)$ y $(G, C)$ son pares de puntos homólogos, con centro en $B$ .

Inversamente, para construir el cuadrilátero auxiliar $B A F G$ hacemos lo siguiente (figura 7), trazamos una circunferencia con centro en $A$ y radio $A B$ , $(A, A B)$ , construimos $L \in A C$ tal que $L C = A B$ , trazamos una paralela $l_{1}$ a $B C$ por $L$ , sea $F = (A, A B) \cap l_{1}$ , trazamos una paralela $l_{2}$ a $A C$ por $F$ , sea $G = B C \cap l_{2}$ .

Como $L C G F$ es un paralelogramo entonces $F G = L C = A B = A F$ .

Finalmente, sean $E = A C \cap B F$ y $D$ la intersección de la paralela por $E$ a $A F$ con $A B$ .

Por construcción $B D E C$ y $B A F G$ son homotéticos, con centro de homotecia en $B$ , y tenemos que $\frac{B D}{B A} = \frac{D E}{A F} = \frac{E C}{F G}$ $\Rightarrow B D = D E = E C$ .

Más adelante…

Continuando con el tema de homotecia, en la próxima entrada veremos circunferencias homotéticas.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Sean $B$ , $B^{'}$ y $C$ , $C^{'}$ pares de puntos homólogos de dos figuras homotéticas $F$ y $F^{'}$ , considera $A \in F$ , por $B^{'}$ y $C^{'}$ tracemos paralelas a $A B$ y $A C$ respectivamente, sea $A^{'}$ la intersección de estas dos últimas rectas, prueba que $A$ y $A^{'}$ son puntos homólogos.
Si dos triángulos están en homotecia muestra que sus incentros, circuncentros, ortocentros y centroides son puntos homólogos, y que sus bisectrices, mediatrices, alturas y medianas son rectas homotéticas.
Dadas dos rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ que se intersecan en un punto inaccesible, trazar una recta que pase por un punto dado $P$ y la intersección de las rectas dadas (figura 8).

En un triangulo dado inscribir un triangulo cuyos lados sean paralelos a las bisectrices internas del triangulo dado.
En un triangulo dado $△ A B C$ , construir un cuadrado tal que un vértice este en la extensión de $A B$ , otro en la exención de $A C$ y los otros dos vértices en $B C$ .
Construir un triangulo $△ A B C$ dados $∠ A$ , $A B + B C$ y $A C + B C$ .

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Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 38-45.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 199-200.
Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 110-111.
Cut the Knot

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Analítica I: Introducción a transformaciones

Por Paola Berenice García Ramírez

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Introducción

Hasta ahora hemos aprendido nuevos conceptos geométricos euclidianos desde producto interior y ortogonal, normas y ángulos entre vectores hasta distancias. Pero también hemos trabajado implícitamente con diversos tipos de funciones, como son las rectas o las cónicas. Las funciones participan en todas las ramas matemáticas e incluso en muchas disciplinas científicas y sociales, por lo que al principio de la unidad brindaremos las nociones de funciones necesarias que les permitirán asimilar de mejor manera los temas que hemos visto y avanzar a los temas esenciales de ésta unidad, los cuales son Transformaciones y Matrices.

Comenzaremos con el tema de transformaciones y vamos a llamar transformación en el plano a toda función que hará corresponder a cada punto del plano otro punto del mismo; es decir, las transformaciones son operaciones geométricas que nos permiten deducir una nueva figura a partir de una que previamente tenemos. La nueva figura se llama transformada de la original.

Podemos dar un primer escenario de la clasificación de transformaciones que veremos:

Isometrías: Son cambios de posición (orientación) de una determinada figura que no alteran la forma ni tamaño de ésta. Como ejemplos en este rubro tenemos las traslaciones, las rotaciones o las reflexiones (simetrías).

En la imagen tenemos el caso de una transformación de reflexión (o simetría) con respecto al eje $x = 0$ . Observemos que cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión se encuentran a igual distancia de una recta llamada eje de simetría.

Isomorfismos: Son cambios en una figura determinada que no alteran la forma pero sí el tamaño de ésta. Entre ellas tenemos a las homotecias y las semejanzas.

La imagen muestra un ejemplo de homotecia, la cual es una transformación del espacio (en este caso el plano) que dilata las distancias con respecto a un punto de origen $O$ .

Composición de transformaciones: Es el proceso por el cual a una figura se le aplican dos o más transformaciones y éstas transformaciones pueden ser de diferente tipo. Veremos el caso de transformaciones afines.
Transformaciones ortogonales: Como las longitudes de vectores y ángulos entre ellos se definen mediante el producto interior; éste tipo de transformaciones preservan las longitudes de los vectores y los ángulos entre ellos.

Tarea moral:

Las gráficas de las funciones senoidales son contracciones y/o dilataciones de las gráficas del seno y el coseno.

$\begin{aligned} y & = A s e n (B x + C) + D, & y & = A c o s (B x + C) + D, \end{aligned}$

donde $| A |$ representa la amplitud y $| B |$ a la cantidad de veces que se repite un ciclo en el intervalo desde $0$ hasta $2 π$ . Por otro lado $C$ determina el desplazamiento horizontal de las gráficas y $D$ el desplazamiento vertical de las gráficas. Además, $\frac{2 π}{| B |}$ es el periodo de la función y nos indica la la longitud de un ciclo.

Ejercicio 1. Identificar la amplitud, el periodo y graficar las funciones:

$y = 3 s e n (2 x),$
$y = 2 c o s (x),$
$y = 2 + s e n (x)$
$y = \frac{1}{2} s e n (\frac{1}{2} x)$

Ejercicio 2. Grafiquen las siguientes funciones y analicen el efecto de las constantes con respecto a las gráficas del seno y coseno.

$y = s e n (x + π)$
$y = c o s (x + 2) + 3$

Más adelante:

La tarea moral tiene un propósito, y es que recordemos cómo una función se ve afectada al variar parámetros específicos. Con ello podremos darnos cuenta que no estamos tan enajenados al tema de transformación de funciones que estaremos trabajando en esta unidad.

En la siguiente entrada repasaremos las nociones necesarias de funciones que nos permitirán definir formalmente el concepto de transformaciones y tratar posteriormente con su clasificación.

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