Cálculo Diferencial e Integral II: Propiedades de la integral indefinida

Por Moisés Morales Déciga

Introducción

En la entrada anterior se dio el paso de generalizar la integral. Ya no solo considerarla como un valor, si no como una función.

Al momento de precisar esta generalización, pudimos encontrar el paralelismo que existe con la integral definida, lo podemos ver de la siguiente forma.

$$\text{Integral Definida} \Rightarrow \int \limits_a^b f(u) \ du.$$

$$\text{Integral Indefinida} \Rightarrow \int \limits_a^x f(u) \ du.$$

Como lo mencionamos anteriormente, la diferencia reside en el intervalo de integración, como se observa arriba sería el límite superior.

Pero, sin perdida de generalidad, se puede considerar el límite inferior o ambos, ya que el hecho de que sea indefinida es que no tiene un inicio o fin especifico, si no que estos dependen de una variable.

Entonces, el resultado de la integral no es un número real, ahora es una función que depende de la variable $x$, en este caso.

Y, dado que esta es nuestra única diferencia, se puede hacer analogía con las propiedades propuestas con la integral definida.

I. Aditividad

Considere un intervalo de integración $[a,x]$, y un punto $c$ dentro de este intervalo. $a<c<x.$

Entonces, la integral se puede separar de la siguiente forma.

$$ \int \limits_a^x f(u) \ du = \int \limits_a^c f(u) \ du + \int \limits_c^x f(u) \ du.$$

En este caso, se genera una integral definida y una integral indefinida.

Ejemplo:

Sea $f(u)$ la siguiente función.

$$f(u) =\left\lbrace\begin{array}{c} u^2 \ \ [0, 3] \\ sin(u) \ \ (3,10] \end{array}\right.$$

Se pueden tener diferentes casos al momento de pedir la integral de la función, ya que se puede partir el intervalo dependiendo del valor de $x$.

a) Si $ 0 \leq x \leq 3.$

Entonces, la integral de $f(u)$ se plantea como sigue.

$$\int \limits_0^x u^2 \ du.$$

Ya que es la parte donde la función tiene el dominio que se quiere integrar.

b) Si $ 3 < x \leq 10.$

Entonces la integral se ve de la siguiente manera.

$$\int \limits_3^x sin(u) \ du.$$

Y tenemos el mismo argumento que en el caso anterior.

c) Si $x \in [0,10] \ y \ x > 3.$

En este caso la $x$ corre en todo el intervalo y está condicionado que $x$ tiene que ser mayor que 3, entonces la integral se ve de la siguiente manera.

$$\int \limits_0^x f(u) \ du = \int \limits_0^3 u^2 \ du + \int \limits_3^x sin(u) \ du.$$

Y este caso, como se mencionó en la propiedad de la Aditividad, genera una integral definida y una integral indefinida.

d) Si $x \in [0,10] .$

Este caso solo condiciona a que el valor de $x$ tiene que estar dentro del dominio de la función, por lo que la integral queda de la siguiente manera.

$$ \int \limits_a^x f(u) \ du .$$

Y que se podrá dar solución en el momento en que se defina el valor de $x$.

II. Suma

Sea $h(u)$ una función tal que:

$$h(u) = f(u) + g(u).$$

Donde $f(u)$ y $g(u)$ también son funciones. Entonces, para calcular la integral de $h(x)$, tenemos la siguiente propiedad.

$$\int \limits_a^x h(u) \ du = \int \limits_a^x [f(u) \ + \ g(u)] \ du = \int \limits_a^x f(u) \ du + \int \limits_a^x g(u) \ du. $$

Entonces, la integral de una suma, es la suma de las integrales.

III. Producto por una constante

Sea $h(u)$ una función tal que $h(u)= c \cdot f(u)$, donde $c$ es cualquier real y $f(u)$ una función. Entonces,

$$\int \limits_a^x h(u) \ du = \int \limits_a^x c \cdot f(u) \ du = c \int \limits_a^x f(u) \ du.$$

Las constantes que se encuentran multiplicando a una función pueden entrar y salir de la integral.

IV. Linealidad

Sean $f(x)$ y $h(x)$ dos funciones y sean $\alpha$ y $\beta$ dos números reales. Entonces:

$$\int \limits_a^x [\alpha \ f(u) + \beta \ g(u)] \ du = \alpha \int \limits_a^x f(u) \ du + \beta \int \limits_a^x g(u) \ du.$$

Esta propiedad contiene a las dos anteriores (suma y producto), lo que la hace sumamente útil y provoca que se mencione en múltiples ocasiones.

Más adelante…

Ya que tenemos estás propiedades, podemos simplificar el proceso para desarrollar la integral y poder descomponerla en integrales más simples ó, en caso contrario, podemos aplicarlas para poder simplificarlas (reducirlas) o encontrar una sustitución adecuada para que se pueda integrar con mayor facilidad.

En la siguiente sección, tendremos un recordatorio de derivadas. Esto es necesario ya que existe una relación importante entre la derivada y la integral. Es posible que para este momento de tu formación, haz escuchado que la integral es el proceso contrario a o la inversa de la derivación.

Entonces, para poder explicar esta relación entre ambos procesos, es necesario recordar como funciona la derivada, que significa y como se calcula.

Tarea moral

Utiliza la propiedad de linealidad.
$$\int \limits_a^x \alpha \ \left[ f(u) \ – \ g(u) + 1 \right] \cdot \beta \ h(u) \ du.$$
Aplique las reglas correspondientes para expandir la forma de la integral, para los diferentes casos.
$$f(x) = \left\lbrace\begin{array}{c} 3x^2 \ – \ x + 13 \ \ [0, 5] \\ \frac{7}{x} \ \ (5,10] \end{array}\right.$$
i) Integral indefinida para cualquier $x$ entre 5 y 9.
ii) Integral indefinida para cualquier $x$ entre 0 y 5.
ii) Integral indefinida para cualquier $x$ entre 3 y 8, pasando por el 5.
Aplique las reglas correspondientes para dejar en una sola integral la siguiente integral.
$$1/7 \int \limits_a^x u^6 \ du \ – \ 7 \int \limits_a^x cos(u) \ du \ + \ 8 \int \limits_a^x \frac{1}{u+1} \ du.$$

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Cálculo Diferencial e Integral II: La integral como función del límite superior, integral indefinida.

Por Moisés Morales Déciga

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Introducción:

En la primera unidad del curso, hemos definido la integral mediante las sumas de Riemann considerando los distintos comportamiento que estas pueden tener.

Vimos que hacer en los casos sencillos donde se tienen funciones bien portadas como las continuas, acotadas, monótonas, etc. Pero también se vieron casos más interesantes, por ejemplo, como cuando son continuas en subintervalos, y estos podían ser finitos o infinitos, como las funciones escalonadas o la función de Dirichlet.

En estos ejemplos se mostraba la integrabilidad o la no integrabilidad de la función. Pero a pesar de que los ejemplos podían ser contrastantes entre sí, todos compartían una característica y era que se encontraban definidos dentro de un intervalo cerrado.

Esto era, que la función se encontraba dentro de un segmento del eje de las abscisas el cual tenía un inicio y un fin bien determinado.

En esta nueva unidad se tendrá una generalización de este proceso. Ya no se considerarán intervalos con un inicio y fin, ahora trabajaremos la integral en un intervalo que el inicio o el fin (o ambos) dependerán de una variable, por lo que será un intervalo no definido.

A este nuevo fenómeno de generar la integral en un intervalo no definido se le conocerá como integral indefinida.

Integral Indefinida

En la unidad anterior se determinó que el valor de la integral depende del intervalo de integración o de los límites de integración donde teníamos la siguiente representación $[a,b]$.

Y se decía que el límite inferior era el punto $a$ y el límite superior era el punto $b$ y entre esos dos puntos se tenía la curva de la función y la integral era el área contenida bajo esa curva.

Ahora, consideremos el límite inferior como un número fijo $\alpha$, que no es un número particular, es decir, que puede ser cualquiera. Y el límite superior será una variable denotada con $x$. Teniendo la siguiente notación.

$$ \phi (x) =\int \limits_{\alpha}^{x} f(u) \ du.$$

Así que la función $\phi(x)$ se denomina como la integral indefinida de la función $f(x)$.

De forma que la función $\phi(x)$, es una función que depende de $x$.

Esto cambia la percepción de la integral ya que, anteriormente, solo se concebía la integral como un número (que era el área bajo la curva). Pero ahora la integral ya no solo es un escalar, a partir de este momento, podemos mostrar que la integral también es una función que puede depender de una variable independiente.

De manera análoga, se puede hacer que el límite inferior sea variable y, por lo tanto, que ambos límites puedan variables o dependan de otra función.

De una forma geométrica, se puede ver de la siguiente manera.

Así que la integral indefinida $ \phi (x) $ está dada por el área sombreada en rojo, que se encuentra delimitada por la curva en azul $y=f(u)$ dentro del intervalo $[\alpha , x]$.

Entonces, hasta que no se determine un valor para $x$, el valor de la integral irá cambiando.

Se debe recordar que el signo del área se determina por el cuadrante en el que se encuentra, como se vio en la Unidad 1.

Observación: Cualquier integral definida es un caso particular de una integral indefinida $\phi(x)$.

En el momento en que se define el valor de $\alpha$ y de $x$, recuperamos un intervalo definido y tenemos una integral definida.

Las reglas básicas para la integral que se vieron, tienen su generalización con integrales indefinidas, por ejemplo, la suma:

\begin{align*}
\int \limits_a^b f(u) \ du & = \int \limits_a^\alpha f(u) \ du + \int \limits_\alpha^b f(u) \ du \\ &= – \int \limits_\alpha^a f(u) \ du + \int \limits_\alpha^b f(u) \ du \\ & = \phi(b) \ – \ \phi(a) .
\end{align*}

De esta forma queda una integral definida en términos de integrales indefinidas.

Así, se puede expresar cualquier integral indefinida con límite inferior $\alpha’$ en términos de $\phi(x)$:

$$ \int \limits_{\alpha’}^x f(u) \ du = \phi(x) \ – \ \phi({\alpha’}) . $$

En donde $\phi({\alpha’}) $ es una constante, así que, sin pérdida de generalidad, se puede concluir que cualquier integral definida difiere de la integral indefinida $\phi(x)$ por una constante.

$$ \int \limits^x f(u) \ du = \phi(x) + C.$$

Donde a $C$ se le conoce como la constante de integración.

Continuidad de la integral indefinida

En la unidad anterior, al momento de trabajar con funciones continuas nos era sencillo generar las sumas de Riemann ya que se encontraba la función dentro del intervalo bien definida en todo momento. No presentaba saltos extraños o, como era continua, no presentaba discontinuidades en ningún tramo del intervalo o de cualquier partición de este.

En este caso, hemos dicho que la integral indefinida también es una función. Entonces, es importante conocer cuales son las características de esta nueva función.

En este caso, vamos a mostrar que la integral de una función continua, también es continua, entonces:

Sea $f(x)$ función continua en el intervalo $[a,b]$ y sea $\alpha$ un punto dentro del intervalo, i.e. $\alpha \in [a,b]$. Se define la integral indefinida como:

$$\phi(x) = \int \limits_\alpha^x f(u) \ du.$$

Teorema: La integral indefinida $\phi(x)$ de una función $f(x)$ continua, es asimismo, continua.

Demostración:

Sea $x, y$ dos valores dentro del intervalo donde la función es continua.

Por el teorema del valor medio se tiene que:

\begin{align*}
\phi(y) \ – \ \phi(x) & = \int \limits_x^y f(u) \ du \\ &
= f(\xi) (y \ – \ x).
\end{align*}

Donde $\xi$ es algún valor en el intervalo con puntos extremos $x$ y $y$.

Ahora, por la continuidad de $f$, obtenemos lo siguiente:

\begin{align*}
\lim_{y \rightarrow x} \phi(y) & = \lim_{y \rightarrow x} [\phi(x) + f(\xi) (y \ – \ x) ] \\&
= \ \lim_{y \rightarrow x} \phi(x) + \lim_{y \rightarrow x} f(\xi) (y \ – \ x) \\ &
= \ \phi(x) \ + \ f(\xi) \ \lim_{y \rightarrow x} (y \ – \ x) \\ &
= \ \phi(x) + f(\xi) \cdot 0
\end{align*}

$$\therefore \lim_{y \rightarrow x} \phi(y) = \phi(x).$$

Lo que muestra que $\phi$ es continua.

Adicionalmente, si lo vemos dentro de cualquier intervalo cerrado, obtenemos lo siguiente:

$$|\phi(y) \ – \ \phi(x)| \leq M \ |y \ – \ x|.$$

donde $M$ es el máximo de $|f|$ en el intervalo, de modo que $\phi$ es aún Lipschitz-continua.

Si quieres recordar continuidad, sigue este link.

$\square$

Durante la demostración se recordó el teorema del valor medio, mostrando la siguiente ecuación:

\begin{align*}
\phi(y) \ – \ \phi(x) & = \int \limits_x^y f(u) \ du \\ &
= f(\xi) (y \ – \ x).
\end{align*}

Observación: Si $f(x)$ es una función positiva en todo el intervalo $[x,y]$, se obtiene que $\phi(x)$ es una función creciente.

$$\phi(y) = f(\xi) (y \ – \ x) > \phi(x).$$

Más adelante…

Teniendo definidas las integrales indefinidas, podremos revisar las propiedades que estas integrales tienen y teoremas que son de alta importancia, tanto en cálculo como en las demás asignaturas.

Este paso de trabajar con integrales indefinidas nos da una mayor libertad al momento de trabajar con funciones. Anteriormente, al trabajar con integrales definidas, teníamos plena conciencia de que punto a que punto se necesitaba integrar, lo que, al momento de evaluar o de integral solo encontramos un número; pero ahora que trabajamos con integrales indefinidas.

Y como estamos ampliando la definición de la integral, es necesario mostrar las propiedades que esta extensión genera ya que, si consideramos estas propiedades se nos podrá facilitar el manejo de de esta transformación de funciones.

Estas propiedades las veremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

Escribe las siguientes integrales definidas como integrales indefinidas.
- $ \int \limits_3^{12} x^3 \ dx $
- $ \int \limits_1^5 ln(t) \ dt $
- $ \int \limits_{-\pi}^{\pi} sin(\theta) \ d \theta $
Sea $f(x)$ una función continua y se cumple que $f(x) = \int \limits_0^x f(t) \ dt$.
Demuestra que $f(x)$ es idénticamente 0.

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Matemáticas Financieras: Perpetuidades

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Al momento se trabajó con el concepto general de anualidad, anualidad vencida, anticipada y diferida, así como algunas de sus combinaciones entre ellas, ejemplos de cómo se presentan en la vida cotidiana, y la forma en que resultan muy útiles, para poder encontrar una solución. Sin embargo, aún falta considerar el caso en el que los pagos pueden ser de forma ininterrumpida, por decirlo así: los pagos serían un tiempo «infinito», lo anterior, tiene efecto sobre el capital, el cual, bajo estas condiciones, provoca que nunca se acabe.

Definición del concepto de perpetuidad, descripción y valor presente

Éste concepto, se parece mucho a las anualidades, desde el punto de vista que consisten en una serie de pagos iguales, en los que, en teoría el tiempo tiende al infinito, esto es, la duración del plazo esta continua siempre, en otras palabras, no está definido el término del plazo, mientras la causa subsista, mientras alguna empresa continúe operando, dicha operación continuará existiendo. Un ejemplo de éste tipo de casos se da cuando quieren constituir un fondo, un premio como lo es el premio nobel, o podría ser el caso de los dividendos que otorgan las empresas cuya operación es indefinida, la asignación de becas, en todos esos casos la característica en las que coinciden es, que siempre haya recursos de los cuales disponer, para que nunca se quede en cero los fondos.

Comportamiento gráfico de una perpetuidad. Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 152

La forma en que será denotada una perpetuidad está dada por la expresión:

$$\prescript{}{\infty}{\mathbf{A}}_i.$$

Por otra parte, la notación usada para los conceptos de las anualidades anticipadas, vencidas, y diferidas será el mismo con el cual se han venido representando cada una respectivamente, sin embargo; para fines prácticos de éste concepto, será incluido el símbolo $\infty$ como subíndice, que como ya se mencionó hace corresponde al uso de una perpetuidad. En lo que respecta a las demás variables permanecerán con la misma denotación. Es importante hacer mención que el concepto de perpetuidad, se puede combinar con los conceptos que ya se han estado trabajando, y que se desarrollarán más adelante, recordemos algunos conceptos que serán utilizados para su construcción.

El valor presente de una anualidad vencida se calcula con la siguiente expresión:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i=\frac{1-v^n}{i}$$

nos vamos a enfocar en la parte derecha de la igual, específicamente al que contiene a la $n$, el cual corresponde al $v^n$, analizando lo que le ocurre cuando se hace tender a $n$ a infinito. Partiendo de que:

$$v^n=\frac{1}{(1+i)^n}.$$

Cuando $(1+i)^n$, si se hace tender $n$ a infinito, el comportamiento dicha expresión es de una progresión geométrica, por lo que el cociente que allí se expresa, al tener que el denominador se hace tender a infinito, entre algo pequeño, el resultado será cero. Esto hace transformar dicha expresión en:

$$\prescript{}{\infty}{\mathbf{A}}_i=\frac{1-v^{\infty}}{i}=\frac{1-0}{i}=\frac{1}{i}.$$

Ahora, si en vez de un peso, se cambia dicha cantidad por $X$, la expresión queda:

$$\prescript{}{\infty}{\mathbf{A}}_i=\frac{X}{i}$$

dicha ecuación representa el valor presente de una perpetuidad vencida.

De ésa ecuación que se acaba de obtener, se despeja $X$, se obtiene la expresión para calcular el capital inicial, la cual queda denotada por:

$$X=\prescript{}{\infty}{\mathbf{A}}_i i.$$

Monto

De acuerdo con las características que tiene el concepto de perpetuidad, el monto de éste tiende a ser infinito, ya que realizando el siguiente proceso se tiene:

$$\prescript{}{\infty}{\mathbf{S}}_{i}=\frac{(1+i)^{\infty}-1}{i}=\frac{\infty-1}{i}=\infty$$

esto ocurre toda vez que $(1+i)$ resulta ser siempre mayor que $1$, para cualquier $i$ positiva, además de que está elevada a una potencia $\infty$ lo que hace que el resultado sea infinito. Aunado a lo anterior está el hecho de que cualquier cifra infinita, dividida entre cualquier número, el resultado continúa siendo infinito.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una fundación desea crear un fondo que cuente con recursos suficientes para solventar los gastos de 3 becas que serán asignadas a 3 estudiantes, de manera tal que cuando ellos terminen sus estudios, siga habiendo fondos, para seguir beneficiando a otros 3 estudiantes más. La beca consiste en una cantidad \$2,000 mensuales para cada uno. Se desea saber de ¿cuánto debe ser el capital que se requiere aportar para, si están considerando una cantidad de 8% efectiva anual?

Solución

De forma similar a la que se ha resuelto en otros ejercicios, lo primero que se va a realizar es obtener la tasa efectiva mensual equivalente al 8% efectivo anual.

$$(i+i)=(1.08)^{\frac{1}{12}}=0.006434.$$

Una vez hecho esto, la ecuación que se va a utilizar para resolverlo es la siguiente:

$$\prescript{}{\infty}{\mathbf{A}}_{0.006434}=X=\frac{3(2000)}{0.006434}=\$932,545.8502.$$

Por tanto, la cantidad requerida para la constitución de dicho fondo es: \$932,545.8502.

Ejercicio. La familia Godínez, quiere generar un fondo de un millón de pesos, que garantice la educación de su hijo, si al día que se decide crearlo, tiene una edad de 20 años, necesita saber ¿cuánto debería ahorrar semanalmente para asegurar el dinero suficiente para que garantice los gastos cuando su hijo ingrese a la universidad, él señor Godínez calcula hacer dicho ahorro por unos 20 años. La tasa que se estará invirtiendo dichas aportaciones será del 8% efectiva anual.

Solución

Recordemos primero que para fines prácticos, un año tiene 52 semanas, de allí se obtiene: $(52)(20)=1040$, que es la cantidad de semanas que deberá ahorrar durante 20 años.

Luego se debe obtener la tasa equivalente semanal, para ello se realiza lo siguiente:

$$(i+i)=(1.08)^{\frac{1}{52}}=0.001481.$$

Para calcular la cantidad que necesita ahorrar el señor Godínez, se requiere hacer uso de la siguiente ecuación:

$$1,000,000=X\prescript{}{1040}{\mathbf{S}}_{0.0014811}.$$

Despejando la variable $X$ se tiene:

$$X=\frac{1,000,000}{\prescript{}{1040}{\mathbf{S}}_{0.0014811}}$$

$$=\frac{1,000,000}{\frac{(1+0.001484)^{1040}}{0.001484}}$$

$$=\frac{1,000,000}{2,471.897844}=\$404.55.$$

La cantidad semanal que necesita ahorrar es de: $$\$404.55.$$

Más adelante…

Se continuará estudiando las variantes de las anualidades que aún faltan por ver, como lo son las anualidades crecientes, éstas son utilizadas cuando las empresas, deciden ir incrementando el capital que se va abonando para liquidar una deuda, con la finalidad de pagar menos intereses, por ejemplo.

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Matemáticas Financieras: Anualidades diferidas

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Éste tipo de anualidades, se presentan cuando las personas hacen la solicitud de un crédito, y éste considera un periodo de «gracia», el cual es un tiempo considerable que les otorgan por ejemplo mientras se hacen de una buena cartera de clientes, considerando el hecho de que, al ser una nueva empresa, no va a ser posible generar ingresos desde el día uno. Sin embargo, dicho periodo, sí está generando intereses, pero aun con eso, le permite a la persona que adquirió el crédito el no tener que estar pagando de forma inmediata dicha deuda.

Descripción y valor presente

Las anualidades diferidas son al tipo de anualidades en las que no se realizan los pagos desde el primer periodo, sino después de haber transcurrido el periodo de gracia que se haya pactado, el cual puede ser un período o más. Un ejemplo de éste tipo de créditos, son las promociones que sacan en el buen fin, «disfrute hoy de su pantalla, coche, o lo que sea que estén vendiendo y pague hasta enero del siguiente año».

De acuerdo a lo anterior, una anualidad diferida, es la que establece un plazo en el que no se va a realizar ningún pago, a dicho periodo se le conoce como diferimiento, y una vez transcurrido éste, se da inicio a la realización de los pagos de la forma conocida como una anualidad.

Comportamiento de una anualidad diferida. Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 148.

Una anualidad diferida es denotada por:

$$\prescript{}{m/n}{\mathbf{A}}_i=v_i^{m+1}+v_i^{m+2}+…+v_i^{m+n-2}+v_i^{m+n-1}+v_i^{m+n}$$

$$\prescript{}{m/n}{\mathbf{A}}_i=v_i^m(v_i^1+v_i^2+…+v_i^{n-2}+v_i^{n-1}+v_i^n)$$

$$\prescript{}{m/n}{\mathbf{A}}_i=v_i^m\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i$$

$$V=X\prescript{}{m/n}{\mathbf{A}}_i$$

$$V=X\prescript{}{m/n}{\mathbf{A}}_i=Xv_i^m\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i.$$

Reglas para su uso

$m$ y $n$ son número enteros y se miden en la misma temporalidad, esto es, si n son semanas, m serán también semanas
Los pagos se realizan de forma vencida, esto quiere decir que el primer pago se realizará al final del primer periodo que aparezca, una vez que haya concluido el periodo de gracia o periodo de diferimiento.
La tasa de interés deberá ser efectiva por periodo, para los $n$ pagos, así como los $m$ periodos que conformen el periodo de diferimiento.

Monto

Para obtener el monto de una anualidad diferida, de forma semejante a las dos anualidades vistas anteriormente (anticipadas y vencidas), se continua tomando como referencia para su valuación, la fecha en la que realizo el último pago.

En la siguiente imagen, se muestra lo que se acaba de mencionar:

Comportamiento del monto en una anualidad diferida. Elaboración propia, basado de Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 150

La expresión con la que se va a denotar una anualidad diferida es:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i=(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+…+1$$

de donde se obtiene:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i=\frac{(1+i)^n-1}{i}.$$

De forma análoga a las anteriores anualidades, ésta expresión denota los pagos con valor de \$1.00, para hacerlo de forma más general se considera pagos de cantidad $X, y la expresión queda:

$$M=X\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i=X\frac{(1+i)^n-1}{i}.$$

En este momento, ya se tienen 3 tipos de anualidades, por lo que ya se cuenta con el material necesario para resolver problemas que involucran combinaciones entre ellas.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una persona necesita un crédito por \$80,000 para reparar su vehículo, ya que es modelo antiguo y lo quiere volver un coche clásico. El banco decide otorgarle el crédito, y además le otorga un periodo de gracia por 4 meses, comenzando a pagar a partir del final del quinto mes. La deuda debe ser pagada en 24 mensualidades. Se desea saber la cantidad que tendrán dichas mensualidades, con una tasa del 1.5% efectivo mensual.

Solución

Aplicando el modelo de la ecuación de valor se tiene:

$$80,000=X\prescript{}{4/24}{\mathbf{A}}_{0.015}$$

$$X=\frac{80,000}{\prescript{}{4/24}{\mathbf{A}}_{0.015}}$$

$$X=\frac{80,000}{v_{0.015}^{4}}\prescript{}{4/24}{\mathbf{A}}_{0.015}$$

$$X=\frac{80,000}{(0.9421847)(20.03038)}=4239.01.$$

La cantidad que deben de pagar cada mes es de \$4239.

Ejercicio. Supongamos que una persona contrata un crédito por \$100,000 y lo quiere liquidar en 10 mensualidades vencidas con pagos de \$4000, posteriormente realizará pagos durante 8 mensualidades iguales, que serán pagadas luego de un periodo de gracia de 6 meses. Se necesita saber ¿Cuánto es el monto de las 8 mensualidades, a una tasa de interés del 1.3% mensual?

Solución

Éste es un claro ejemplo que combina 2 anualidades, una vencida y la otra diferida. En la siguiente imagen se ilustra el modelo que se va a tomar para su respectiva solución.

Aplicación combinación de 2 anualidades (vencida y diferida) para resolver problemas. Elaboración propia, basado de Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 151

El monto que se obtendrá es de \$8859.28.

Más adelante…

En las siguientes secciones se continuará otros tipos de anualidades, su combinación entre ellas, la forma en que se aplican para la resolución de problemas.

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Matemáticas Financieras: Anualidades anticipadas y valor presente

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Las anualidades anticipadas, se comportan de forma semejante a las anualidades vencidas. Dichas anualidades, tiene su uso principal en el ramo de los seguros, ya que la mayoría de las veces, los pagos que involucran las primas, se realizan de forma anticipada, en pocas palabras, éste tipo de anualidades se usan cuando se requieren al inicio de cada periodo.

Descripción de las anualidades anticipadas y valor presente

Se utilizan cuando se desean hacer pagos por adelantado, las reglas para su correcta aplicación son las mismas, que para las anualidades vencidas. Serán denotadas por:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{A}}}_i=1+v_i^1+v_i^2+…+v_i^{n-2}+v_i^{n-1}$$

$$\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{A}}}_i=\frac{1-v^n}{1-v}.$$

Observación. Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{A}}}_i=1+\prescript{}{n-1}{\mathbf{\ddot{A}}}_i$$

ésta expresión relaciona las anualidades anticipadas con las vencidas, ya que nos muestra como el valor presente de una anualidad vencida de n-1 pagos de un peso, se le suma el peso que debe pagarse en la fecha de valuación, y con esto se logra obtener el valor presente de una anualidad anticipada.

Ahora, si sustituimos el valor de la anualidad que se acaba de mostrar se tiene:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{A}}}_i=1+\frac{1-v_i^{n-1}}{i}.$$

Generalizando los pagos a una cantidad \$X, la expresión queda:

$$V=X\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{A}}}_i=X(1+\prescript{}{n-1}{\mathbf{\ddot{A}}}_i)$$

$$V=X\left(1+\frac{1-v_i^{n-1}}{i}\right).$$

Comportamiento de una anualidad anticipada
Elaboración propia, basada en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 144.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. La gerencia de una plaza de artesanías, quiere ampliar sus locales, y acepta un financiamiento por parte de unos inversionistas con una tasa de interés del 12%, para que los arrendatarios paguen por adelantado, a lo largo de un año. Uno de sus inversionistas decide comprar con un préstamo que le otorgó el banco a una tasa del 8.3%. Se desea saber la cantidad que se debe de pagar al arrendador si la renta de sus locales es de \$14,700?.

Solución

La solución se obtiene calculando primero de la tasa anual, la tasa equivalente efectiva mensual, es decir:

$$(1+0.12)^{\frac{1}{2}}=(1+i)$$

de donde se obtiene el valor de $i=0.9489.$

Cómo las rentas se pagan al inicio de mes, entonces se trata de una anualidad anticipada, por lo que se aplica el siguiente modelo:

$$X=14700\prescript{}{12}{\mathbf{\ddot{A}}}_{0.009489}=14700\left(1+\frac{1-v_{0.009489}^{11}}{0.009489}\right)$$

$$X=14700(10.398566)=152858.92$$

La cantidad que se debe pagar es de: \$152,858.92.

Monto

El monto en una anualidad, es la suma de los pagos periódicos valuados, cada uno, en la fecha que fue realizado el último pago. El proceso para obtenerlo es análogo al que fue usado para obtener el cálculo de las anualidades vencidas, el cual consiste en «traer» todos los pagos a la fecha en la que fue realizado el último.

La fecha de valuación, se toma cuando se realiza el último pago porque no es necesario desarrollar una nueva ecuación, y también porque en la práctica real, difícilmente se encontrará algún caso en donde se tome en cuenta una fecha más allá de la última fecha de pago. De esta forma la expresión queda como sigue:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{S}}}_i=\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i(1+i)$$

$$\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i=1(1+i)^{n-1}+1(1+i)^{n-2}+1(1+i)^{n-3}+…+1(1+i)^{2}+1(1+i)^{1}+1$$

$$\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i=\frac{(1+i)^n-1}{i}$$

$$M=X.$$

Se llegó a la misma expresión debido a que tomó la fecha del último pago, lo importante. En el caso de la anualidad vencida se hizo al final del periodo, mientras en el de la anticipada se hizo al principio, lo que importa destacar es que la operación que se está realizando, respecto al número de pagos, no es alterada ya que la fecha de valuación es la misma.

Ejercicio. En el mes de mayo de 2022 una empresa depositará cada mes una cantidad de dinero, con el fin de adquirir mercancía para vender en la temporada del buen fin. Situación que llevará a cabo desde el 31 de enero del siguiente año con una duración de 10 meses más. ¿Cuánto deberá ahorrar si las compras que desea hacer, ascienden a un valor de \$35000, considerando que el banco le ofreció una tasa de interés del 7.75% nominal, pagadero mensualmente.

Solución

Tomando en consideración la fecha última en la que realizó su depósito, la cual viene a ser el 30 de noviembre. Luego el número de depósitos que realizará dan un total de 11, y la tasa que se va a utilizar es (0.0775)(12)=0.00645833. Una vez identificados éstos datos, se construye la ecuación de valor la cual nos queda:

$$350,000=\prescript{}{11}{\mathbf{S}}_{0.00645833}$$

de donde:

$$X=\frac{350,000}{\prescript{}{11}{\mathbf{S}}_{0.00645833}}=\frac{350 000}{11.362123}$$

$$X=30 804.10$$

la empresa debe de ahorrar la cantidad de \$30 804.10

Una persona comienza a ahorrar la cantidad de \$300 pesos al inicio de cada mes, y quiere saber, cuál será la cantidad que tendrá ahorrada, luego de haber transcurrido 2 años, si la institución en la que la deja depositada le otorga una tasa de interés del 7% mensual.

Solución

La ecuación que se va a utilizar para resolver el problema es la siguiente:

$$M=X(1+i)\left(\frac{(1+i)^n-1}{i}\right)$$

Sustituyendo los valores que tenemos en la ecuación de valor, la expresión nos queda de la siguiente forma:

$$M=300\prescript{}{24}{\mathbf{\ddot{S}}}_{0.07}$$

$$M=300(1+0.07)\left(\frac{(1+0.07)^{24}-1}{0.07}\right)$$

$$M=300(1.07)\left(\frac{4.072366953}{0.07}\right)$$

$$M=300(1.07)(58.17667076)=18674.7113$$

La cantidad que tendrá ahorrada será de \$18674.71.

Más adelante…

Se continuará trabajando con estos conceptos de anualidades, explorando otros tipos que existen, y no sólo eso, sino que se comenzarán a combinar cada una de ellas, pues nos daremos cuenta que la vida real, tiene una enorme cantidad de variantes para realizar operaciones comerciales, las cuales con el paso del tiempo han surgido como una forma de resolver dichos dilemas, que aparecen a la hora de hacer una operación financiera.

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