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Matemáticas Financieras: Ejemplos en aplicaciones reales

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Este apartado considera algunos casos reales en los que podemos aplicar los conocimientos adquiridos a lo largo de éstas notas. Son ejemplos que nos permiten conocer que tipo de inversiones nos convienen más, como lo es cuando queremos invertir en CETES, ante dicha situación podemos usar el conocimiento adquirido para determinar, el valor de uno de sus títulos, y poner en práctica de forma real, para conocer mejor cual es el manejo real de algunas una de las formulas, evidenciando la forma en la que se pueden utilizar de forma aplicada en alguna situación real.

Aplicación en CETES

Como se estuvo exponiendo a lo largo del desarrollo de éstas notas, las matemáticas financieras son una poderosa herramienta, que nos sirve para determinar el valor del dinero a través del tiempo. Para realizar dicho análisis, vimos una cierta cantidad de conceptos que nos permitieron comprender mejor cómo funciona el mundo de las finanzas, aspectos que la afectan como lo es la inflación, partiendo desde el ejemplo más simple de interés compuesto, hasta llegar al punto de elaborar tablas de amortización, calculo de valor de bonos, temas en los que se combinaban una enorme cantidad de conceptos para su construcción.

En este apartado, lo que se va a realizar es, mostrar algunos ejemplos con aplicaciones reales, de los conceptos que en éstas notas se estuvieron abordando, para que se pueda tener una mejor comprensión de la importancia del uso de las matemáticas financieras, en el mundo real.

Un ejemplo práctico del uso de las matemáticas financieras, en un caso real es el siguiente:

El precio de un CETE se puede calcular, conociendo su tasa de rendimiento, o su tasa de descuento, y se obtiene utilizando la siguiente ecuación*:

$$P=\frac{VN}{\left(1+\frac{i*t}{360}\right)}$$

donde:

P = Valor del CETE (redondeado a 7 decimales)

VN = Valor Nominal del título en pesos

i = Tasa de rendimiento

t = tiempo o plazo en días del CETE

Si $d$ es la tasa de descuento de un CETE se tiene que:

$$d=\frac{i}{\left(1+\frac{i*t}{360}\right)}$$

despejando $i$,

$$i=\frac{d}{\left(1-\frac{d*t}{360}\right)}$$

Al sustituir éste resultado en la primer ecuación se obtiene el precio de un CETE a partir de su tasa de descuento:

$$P=VN*\left(1-\frac{d*t}{360}\right)$$

Por lo que se tiene que el precio de un CETE está compuesto por el valor presente de su valor nominal.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. El 31 de agosto del año 2000, un inversionista compra CETES con las siguientes características:

  • Valor nominal: \$10 pesos
  • Fecha de colocación: 31 de agosto del año 2020
  • Fecha de vencimiento: 28 de septiembre del año 2020
  • Días por vencer del título: 28 días

Suponiendo que está sujeto a una tasa de rendimiento anual del 15%, obtener el valor del CETE.

Solución

Para poder obtener el precio del CETE, se puede hacer por dos caminos, el primero sería calcular el valor presente, usando la tasa de rendimiento. Mientras que la segunda forma de obtenerlo es usando la tasa de descuento que proporcione este rendimiento.

Vamos a realizar utilizando la tasa de rendimiento que nos proporcionaron, calculando su valor presente, esto es:

$$P=\frac{10}{\left(1+\frac{0.15*28}{360}\right)}$$

$$=\frac{10}{1.01205555556}=9.8808805$$

El precio del CETE será de: \$9.8808805

Ahora usando la tasa de descuento, la forma de obtener el precio del CETE quedaría:

$$d=\frac{0.15}{\left(1+\frac{0.14*28}{360}\right)}$$

$$=\frac{0.15}{1.01205555556}=0.1532=15.32%$$

Con base en esta tasa de descuento (15.32%) se determina el precio al cual el inversionista tendrá que liquidar cada uno de los CETES que adquirió. Cabe señalar que es convención del mercado redondear a diezmilésimas las tasas de rendimiento y descuento, esto origina que el precio de un CETE calculado a partir del rendimiento difiera en algunos decimales del precio calculado a partir del descuento.*

$$P=10*\left(1-\frac{0.1532*28}{360}\right)$$

$$=10*(0.98808444)=9.8808444$$

Ejercicio. Supongamos ahora, el siguiente caso: un inversionista compra CETES con las siguientes características:

  • Valor nominal: \$10 pesos
  • Fecha de colocación: 24 de Marzo de 2023
  • Fecha de vencimiento: 23 de junio de 2023
  • Duración del título: 91 días
  • Tasa de rendimiento: 4.39%

Solución

**Se obtendrá el precio, usando la tasa de rendimiento, calculando el valor presente, es decir:

$$P=\frac{10}{\left(1+\frac{0.0439*91}{360}\right)}$$

$$=\frac{10}{1.011096944444}=9.8902485$$

El precio del CETE será de: \$9.8902485

Usando la tasa de descuento equivalente al 4.39% el procedimiento para obtener el precio del título es el siguiente:

$$d=\frac{0.0439}{\left(1+\frac{0.0439*91}{360}\right)}$$

$$=\frac{0.0439}{1.011096944444}=0.0434=4.34%$$

$$P=10*\left(1-\frac{0.434*91}{360}\right)$$

$$=10*(0.98902944)=9.8902944$$

Con base en esta tasa de descuento (4.34%) se determina el precio al cual el inversionista tendrá que liquidar cada uno de los CETES que adquirió. Cabe señalar que es convención del mercado redondear a diezmilésimas las tasas de rendimiento y descuento, esto origina que el precio de un CETE calculado a partir del rendimiento difiera en algunos decimales del precio calculado a partir
del descuento.**

*Información obtenida de https://www.banxico.org.mx/mercados/d/%7B0DE0044F-662D-09D2-C8B3-4F1A8E43655F%7D.pdf

**información obtenida de: https://www.banxico.org.mx/elib/mercado-valores-gub-en/OEBPS/Rsc/anexo0201.pdf

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Matemáticas Financieras: Tablas de amortización que involucran el pago de dos o más anualidades

Por Erick de la Rosa

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Introducción

En ésta sección, se continua analizando otro tipo de anualidades y la forma en que se puede construir su respectiva tabla de amortización, considerando el caso, en el que algunas empresas, de acuerdo con su experiencia, tienen contemplado el ingreso de recursos extras, a lo largo del año.

Concepto y construcción

En la sección donde se abordo el tema de anualidades, hubo algunos casos en donde se otorgaba un crédito en el que la forma de pagarlo, el acreditado realizaba pagos en el año, pero al final de éste agregaba más pagos, ya que por ejemplo, consideraba recursos que podía tener, por concepto de aguinaldo, prestaciones, cajas de ahorro, por mencionar algunas. Para este tipo de situaciones, la tabla de amortización que puede representar el comportamiento de los pagos de dicho crédito, en general es semejante el proceso de construcción que hasta este momento se ha estado utilizando. Con la diferencia radica en la forma en que se hacen los registros de éstos pagos extras, los cuales también se harán en un mismo periodo.

Por ejemplo: Se otorga un crédito hipotecario a una empresa de refresco, la cual quiere modernizar su planta de producción, la cantidad de dicho crédito asciende a \$445,000 , para pagar en un lapso de tiempo de 3 años, mediante 12 trimestres en los que se hará un pago de \$33,573.45, los días 20 del mes. Posterior a ése tiempo, se realizarán pagos anuales por la cantidad de \$60,000 a partir del mes de diciembre.

El contrato en cuestión, entra en operación el día 20 de marzo del año 2021, acordando una tasa de interés de 4.4% fija efectiva trimestral, la cual aplicará durante toda la duración del crédito. Los pagos se realizarán en forma vencida, por lo que el primer pago se tendrá que hacer el día 20 de junio del 2021.

La ecuación de valor que se usará para resolver este problema es la siguiente:

$$445,000=X\prescript{}{12}{\mathbf{A}}_{0.044}+60,000\prescript{}{3}{\mathbf{\ddot{A}}}_{0.18342}v_{0.043}^3;$$

de donde $X=\$33,573.45$

A continuación se muestra la tabla de amortización en la que se agregó una columna, en la que se anotara las fechas en las que se realizaran los pagos. Observe que hay dos columnas para el registro de las fechas de los pagos una que corresponde a los pagos trimestrales, y otra para los pagos anuales, los cuales son pagos que se recibirán al final de año, por concepto de los aguinaldos que en dichas fechas recibe.

Tabla de amortización de N pagos iguales y uno desigual

Este tipo de amortización ocurre, en los casos que la empresa que solicita el crédito pacta que la cantidad de los pagos es ajustada a su posibilidad de pago, en lugar de aceptar la que ofrece la institución que otorga el crédito. En estos casos se hace uso del concepto de anualidades tomando la cantidad que propone el deudor, y la variable n la cual va a representar el número de pagos, para conocer su valor será despejada de la ecuación de valor. Como la cantidad propuesta por el deudor, puede que no tenga considerados pagos completos para cubrir el pago total del préstamo, es por esta razón que se recurre al pago desigual, con el que será liquidado por completo en el último pago, la deuda. Para poder conocer la cantidad a la asciende éste pago desigual, será obtenido a partir de una segunda ecuación de valor, basada en la original, donde ya se conocen la cantidad de pagos completos.

La construcción de la amortización, sigue compartiendo muchas similitudes a como se han venido elaborando en los temas anteriores, con la diferencia de que el último pago es diferente.

Por ejemplo: una empresa le otorgan un crédito de \$947,000, y de los recursos que tiene por concepto de ingresos, puede disponer de la cantidad \$87,000 de forma mensual, los cuales serán destinado al pago de dicho crédito. La tasa de interés que acordaron fue del 23.1% convertible mensualmente. Para resolver éste problema, la ecuación de valor que se va a utilizar es la siguiente:

$$947,000=87,000\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_{0.01925}$$

recordemos que el valor 0.01925, se obtiene porque se está trabajando con una tasa convertible mensual, por lo que se hace lo siguiente para poder ocuparla:

$$\frac{23.1}{12}=1.925$$

$$\frac{1.925}{100}=0.01925$$

para obtener el valor de n, se hace lo siguiente:

$$947,000=87,000\left(\frac{1-v_{0.01925}^n}{0.01925}\right)$$

$$947,000=87,000\left(\frac{1-\left(\frac{1}{(1+0.01925)^n}\right)}{0.01925}\right)$$

$$\frac{947,00}{87,000}=\left(\frac{1-\left(\frac{1}{(1+0.01925)^n}\right)}{0.01925}\right)$$

$$10.88505747=\left(\frac{1-\left(\frac{1}{(1+0.01925)^n}\right)}{0.01925}\right)$$

$$(0.01925)(10.88505747)=1-\left(\frac{1}{(1+0.01925)^n}\right)$$

$$(-1)(0.2095373563-1)=(-1)\left(-\left(\frac{1}{(1+0.01925)^n}\right)\right)$$

$$1-0.2095373563=\left(\frac{1}{(1+0.01925)^n}\right)$$

$$0.7904626437=\frac{1}{(1+0.01925)^n}$$

$$(0.7904626437)(1.01925)^n=1$$

$$(1.01925)^n=\frac{1}{0.7904626437}=1.265081921$$

$$(n)(log(1.01925))=log(1.265081921)$$

$$n=\frac{log(1.265081921)}{log(1.01925)}=12.332222$$

de dicha ecuación se nos arroja el valor de n=12.332222, lo cual se interpreta como 12 pagos por la cantidad de \$870,000 con un pago desigual, dando un total de 13 pagos. El valor del último pago, se obtiene con la siguiente ecuación:

$$947,000=87,000\prescript{}{12}{\mathbf{A}}_{0.01925}+Xv_{0.1925}^13$$

$$947,000=87,000\left(\frac{1-v_{0.01925}^12}{0.01925}\right)+Xv_{0.01925}^{13}$$

$$947,000=87,000\left(\frac{1-\left(\frac{1}{(1+0.01925)^{12}}\right)}{0.01925}\right)+X\left(\frac{1}{(1+0.01925)^{13}}\right)$$

$$947,000=87,000(10.62421639)+X(10.7804599799)$$

despejando X:

$$X=\frac{22,693.17405}{0.7804599799}$$

se obtiene el valor que estamos buscando: X=29,076.67.

A continuación se muestra la tabla de amortización:

Ejercicios resueltos

Ejercicio. La empresa de refacciones de maquilas, quiere ampliar su planta productora, para lograrlo solicito un crédito por la cantidad de \$800,000 pesos, y de acuerdo a su experiencia de ingresos anuales, puede disponer de la cantidad de \$70 mil pesos, para hacer pagos de forma mensual, con una tasa de interés convertible bimestral del 18%. El dueño de la empresa quiere saber: ¿Cuántos pagos tendría que hacer para liquidar totalmente la deuda? y también quiere conocer su tabla de amortización.

Solución

Para encontrar la solución a éste problema se hará uso de la siguiente ecuación de valor:

$$800,000=70,000\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_{0.015}$$

Recordando que el valor de la tasa es de:

$$i=\frac{18}{12}=0.015$$

ya que es una tasa efectiva convertible mensualmente.

Luego, vamos a encontrar el valor de n, variable que nos permitirá conocer la cantidad de pagos que se van a realizar.

$$800,000=70,000\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_{0.015}$$

$$\frac{800,000}{70,000}=\left(\frac{1-v_{0.015}^n}{0.015}\right)$$

$$11.42857143=\left(\frac{1-\left(\frac{1}{(1+0.015)^n}\right)}{0.015}\right)$$

$$(0.015)(11.42857143)=1-\left(\frac{1}{(1+0.015)^n}\right)$$

$$(-1)(0.1714285714-1)=\left(-\left(\frac{1}{(1.015)^n}\right)\right)(-1)$$

$$0.8285714286=\frac{1}{(1.015)^n}$$

$$(1.015)^n=\frac{1}{0.8285714286}$$

$$(n)log(1.015)=log(.8285714286)$$

$$n=\frac{log(.8285714286)}{log(1.015)}=12.63060823$$

Por lo tanto, el número de pagos a realizar es de 12.

Lo que sigue, es sustituir el valor de n en la ecuación de valor que se había planteado inicialmente, pero agregando el valor X del pago que aun no conocemos, por lo que la ecuación queda de la siguiente forma:

$$800,000=70,000\prescript{}{12}{\mathbf{A}}_{0.015}+Xv_{0.015}^{13}$$

$$800,000=70,000\left(\frac{1-\frac{1}{(1+0.015)^{12}}{0.015}\right)+X\left(\frac{1}{(1+0.015)^{13}}\right)$$

$$800,000=70,000(10.90750521)+X(0.8240270166)$$

$$800,000=763,525.3647+X(0.8240270166)$$

$$800,000-763,525.3647=X(0.8240270166)$$

$$\frac{36,474.6353}{(0.8240270166)}=X$$

$$X=44,263.88282$$

Éste valor representa la cantidad del último pago.

Finalmente, ya que se tiene todos los datos, estamos en posibilidades de hacer la construcción de la tabla de amortización, la cual se muestra a continuación.

Más adelante…

Se continuara, un poco más, abordando algunas variantes de construcción de las tablas de amortización, y ejemplificando algunas situaciones en las que se aplican, describiendo el contexto para su mejor comprensión.

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Matemáticas Financieras: Tablas de amortización para créditos que combinan varios tipos de anualidades

Por Erick de la Rosa

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Introducción

En este apartado por fin se va analizar el comportamiento de una tabla de amortización así como su construcción haciendo uso de los temas que se han venido manejando, así mismo, se verán las diferentes combinaciones que pueden haber entre ellas.

Concepto y descripción

Como se ha estado haciendo mención en temas anteriores, se pueden hacer combinaciones de las diferentes anualidades que se han estado estudiando, cada una de ellas puede ser utilizada para resolver alguna eventualidad en particular, dependiendo del contexto que se trate, por ello es importante hacer notar que, también se pueden construir tablas de amortización que describen el comportamiento de los pagos de un crédito que por su naturaleza y diseño, en determinadas ocasiones es necesario hacer que se combinen entre ellos.

Para mostrar el proceso de construcción de ésta tabla de amortización, se hará a través del siguiente ejemplo:

La empresa del señor Juan, desea dar mantenimiento a su parque vehicular, para hacerlo solicita un crédito por un monto de \$35 mil pesos, y planea hacer el contrato dando un anticipo por la cantidad de \$8,400, el saldo que falta por pagar, tiene considerado liquidarla de la siguiente manera:

El banco que le otorgo un crédito de \$26,600, se los prestó a cambio de una tasa del 38% anual, y el señor Juan realizará pagos mensuales por un monto de \$1006.7136, los cuales irán incrementando el 2% en cada periodo, durante dos años y medio.

Sin embargo, al cabo de un año y medio la empresa del señor Juan, quiere re-negociar la deuda, para que el saldo que aún falta por pagar, lo pueda liquidar en pagos mensuales iguales, situación que le cuesta una penalización por parte del banco, de una tasa de interés del 3.3%.

El señor Juan necesita conocer la tabla de amortización bajo éstas condiciones.

Para poder construir la tabla de amortización que nos pide el problema, se requiere calcular primero:

La cantidad a la que asciende el pago de primer cuota, el cual queda determinado por la siguiente expresión:

$$X=\left(\frac{26600}{\left(1-\left(\frac{1.02}{1.0272}\right)^{30}\right)}\right)(0.0272-0.02)$$

$$X=\left(\frac{26600}{\left(1-(0.9929907)^{30}\right)}\right)(0.0072)$$

$$X=\left(\frac{26600}{\left(1-(0.8097572)\right)}\right)(0.0072)$$

$$X=\left(\frac{26600}{0.1902428}\right)(0.0072)$$

$$X=1006.713653$$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Don Felipe quiera abrir una empresa de reparación de autos, para poder hacerlo solicita un crédito a un banco por la cantidad de dos millones y medio, el banco le cobra por dicho monto una tasa de interés del 1.5% mensual, y los planes del señor Felipe es poder pagarlo de la siguiente forma:

Lo realizará por 3 etapas. La primera consiste en diferir los pagos durante los primeros 3 meses, una vez transcurrido dicho tiempo, realizará 6 pagos de forma mensual y crecientes, iniciando una cantidad de \$100 mil pesos, los demás pagos se irán incrementando \20 mil pesos.

Durante la etapa 2, planea hacer 8 pagos mensuales iguales, de forma vencida, cada uno por la cantidad de \$180 mil pesos.

Por último, quiere hacer 5 pagos mensuales, los cuales irán decreciendo por una cantidad de \$15 mil pesos, y dará inicio con un pago por la cantidad de \$150 mil pesos. Una vez transcurridos 4 meses, planea hacer el último pago con el que quiere liquidar el monto que a ése momento falte.

Se requiere obtener la cantidad del último pago, así como la elaboración de la tabla de amortización.

Solución

El planteamiento gráfico de la solución a éste ejercicio se muestra a continuación:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 196.

a continuación se muestra su respectiva tabla de amortización:

Elaboración propia, extraído de Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 197

Más adelante…

Hasta este momento se cuenta con las herramientas suficientes para aplicar los conocimiento sobre lo que son las anualidades y se ejemplificó la forma en que se pueden ir combinando, en el siguiente capítulo se abordará el tipo de tablas de amortización que involucran pagos de más anualidades, los cuales suelen presentarse en situaciones en las que las empresas tienen la necesidad de asentar ingresos adicionales por motivo de incremento en ventas, como lo son las temporadas navideñas, o alguna otra fecha que represente un ingreso adicional.

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Matemáticas Financieras: Compendio de conceptos y fórmulas

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Esta sección, está pensada para tener una forma de consulta rápida, en caso de que tengan duda en alguna fórmula o que se refiere cierto concepto, puede ser usada sólo como material de recordatorio.

Fundamentos de las matemáticas financieras

Modelo de interés simple

$$M=K(1+it)$$,

se caracteriza principalmente porque los intereses no generan intereses.

Modelo de interés y descuento, compuesto

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, Pag. 92
  • Tomar en cuenta que, la tasa de interés o de descuento debe ser la misma con la periodicidad (días, meses, bimestres, trimestres, años, etc). con la que esté dado el tiempo.
  • Cuando se estén utilizando las tasas de interés $i^{(m)}$ ó tasas de descuento $d^{(m)}$, conocidas como tasas nominales, éstas siempre son manejadas en años, por lo que la periodicidad igual tendrá que ser en años.
  • Para representar tasas efectivas por m-ésimos de año, se usa la siguiente expresión:

$$\frac{i^{(m)}}{m}=i’=i_m$$

ó

$$\frac{d^{(m)}}{m}=d’=d_m$$

  • Cuando se da el caso en el que la persona que está invirtiendo, no es su deseo re-invertir los intereses, la ecuación queda de la siguiente forma:

$$\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^m-1$$

  • Recordar que en la ecuación $M=K e^{(\delta)(t)}$, la variable t, está dada en años.
  • Dos tasas de interés son equivalentes si y sólo si producen el mismo monto (o el mismo valor presente) en la misma cantidad de tiempo.

Tasas reales de interés

Valor del dinero está dado por:

$$V_t=\frac{V}{1+f}$$

Tasa de interés real estada dada por la siguiente ecuación:

$$i_r=\frac{1+i}{1+f} – 1$$

Ecuación de valor

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag.107

Además es necesario no olvidar que:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, Pag.73

Anualidades

Elaboración propia, basada en Matemáticas FInancieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 227

De donde hay que tener en cuenta las siguientes reglas:

  • Las ecuaciones que aparecen en cada una de las filas número 5 y 6, valor presente y monto, el primer pago que realizan está representado por la letra p, los pagos posteriores crecen (ecuación de la fila 5) o decrecen (ecuaciones de la fila 6) aritméticamente, con una diferencia del valor Q.
  • Las ecuaciones de las filas del 1 al 6, son tasas de interés efectivas por periodo, donde n, representa el número de periodos. En la anualidad número 3, la variable m esta dada en las misma media que n.
  • La anualidad pagadera p veces al año, se usa una tasa de interés i’, la cual es efectiva por p-ésimo año. En esta situación hay que trabajar con su respectiva tasa de equivalencia ; en caso de ser necesario.
  • En la anualidad continua, se tiene que usar una tasa de interés efectiva anual, de forma análoga, si es necesario, hay que calcular su tasa equivalente instantánea $\delta$ para aplicar de forma correcta la ecuación.
  • SI se llega a trabajar con varias anualidades, es necesario llevarlas a valor presente a una fecha de valuación.

Construcción de tablas de amortización

Amortización de créditos con pagos predeterminados

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 228

Para calcular el cualquier renglón se usa:

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 228
  • Para ésta tabla se pueden hacer uso de cualquiera de las anualidades que se vieron a lo largo de éstas notas, dependiendo del tipo de crédito que se trate.
  • La tasa
  • La tasa de interés que se utiliza, tiene que ser efectiva por periodo
  • Cuando se trate de otorgar algún enganche o periodo de gracia o diferimiento, bastaría con agregar un renglón creo al inicio de la tabla.
  • Cuando se dé el caso en el que las tasas de intereses cambien en algún plazo de la vigencia del crédito, se puede agregar más columnas para hacer notar éste movimiento y registrarlo.
  • El saldo insoluto del último periodo siempre debe de dar cero.

Amortización de créditos con abonos fijos al capital

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 229
  • La cantidad de los pagos fijos al capital, se calcular dividiendo al principio del periodo del saldo insoluto entre el número de pagos.
  • De igual forma que la tabla de amortización anterior, la tasa que se usa debe ser efectiva por periodo.
  • En caso de que los involucrados deseen hacer uso de una tasa de referencia, cada renglón podrá ser calcula una vez que se tenga ése dato.

Valuación de valores de renta fija

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 229
  • Para que el comprador conozca el valor de compra o precio del bono, el inversionista fija la tasa de rendimiento, y luego se calcula el valor presente, con esto se determina el precio.
  • La tasa de rendimiento propuesta por el inversionista, deberá ser fija por la cantidad de periodos que se vayan a pagar los dividendos.
  • La cantidad que se paga por concepto de dividendos se calcula realizando el producto de gC, donde g representa un porcentaje del valor de redención para el cual se está usando la variable C. Hay una excepción en éste calculo, y corresponde al caso en el de los bonos no redimibles, los cuales se calcular como porcentaje g de su valor nominal P
  • El valor de redención es determinado como un porcentaje de su valor nominal.
  • El precio del bono se incrementa si la tasa de rendimiento disminuye, y viceversa.

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Matemáticas Financieras: Bonos no redimibles

Por Erick de la Rosa

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Introducción

Continuamos estudiando temas de valores de renta fija, en éste apartado toca analizar el comportamiento, la forma en que operan así como sus características del tipo de bonos no redimibles.

Descripción

Los bonos no redimibles son aquellos valores que se caracterizan por no contar con una fecha fija de redención, esto quiere decir, la fecha en la que se pagará el valor valor de redención del valor. Este tipo de bonos pactan el pago de los dividendos pactando una tasa g, sobre el valor nominal de éste el cual será representado por P, y no sobre el valor de redención ya que no está determinada.

A continuación en la siguiente imagen, se muestra el comportamiento de este tipo de bonos.

Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 222

Para mostrar su comportamiento práctico, se presenta el siguiente ejemplo:

Una persona quiere jubilarse, y planea invertir sus ahorros así como su fondo de pensión (cantidad que asciende a 3 millones de pesos) en bonos que emitió el gobierno federal, con una vigencia de 5 años, un valor nominal de \$ 5 mil pesos cada uno, y que por concepto de pago de dividendos ofrece la cantidad de .72% mensualmente de forma vencida. Así mismo, promete un valor de redención la cantidad de 109%. Los bonos cuando se emiten salen al mercado con un valor de venta \$2500 y considera terminar de venderlos en 2 años, a un precio estimado de \$4,250. Además quiere planea re-invertir los dividendos percibidos, a una tasa de 9.7%. Se quiere la valuación de éste valor.

Para poder valuar este tipo de bonos, se tiene que tener el dato de la cantidad de bonos que se pueden comprar con los recursos que posee la persona que se va a jubilar. Luego hay que calcular a uno de ésos bonos la cantidad que se espera recibir por concepto de dividendos así como el rendimiento que darán al reinvertirlos.

Suponemos que los la fecha de emisión de los bonos es el día de hoy 1° de abril de 2019, y la fecha en la que culmina la venta es el dia 1° de abril de 2021. Las tasas de interés que se espera ganar es del 8.6% durante el primer año y 9.7% corresponde al segundo año, que es la tasa con la que se va a realizar el calculo de la valuación.

Para saber la cantidad de bonos que se puede adquirir se hace la siguiente operación:

$$\frac{3,000,000}{4250}=705.8823529$$

esto quiere decir que se pueden obtener una cantidad de 705 bonos con una cantidad sobran de \$3750.

La cantidad que se recibirá por concepto de pago de dividendos de forma mensual, se obtiene calculando:

$$[(5,000)(1.09)](0.0072)=\$39.24$$

Por los 2 años en los que piensa estar recibiendo dividendos se tienen 24 pagos de éstos, por lo que la cantidad con la cual estarían valuados cada bono se obtiene usando la siguiente ecuación:

$$M_{div}=39.24(0.86)^{12}+39.24(0.97)^{12}=6.4225+27.2263=33.6488$$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. La empresa de hotelera de la Señora Martha, tuvo ganancias de \$6,780,000, y quiere invertirlos durante 2 años, pero solicita una asesoría para determinar qué opción le conviene más. Las opciones que tiene son las siguientes:

Abrir una cuenta en un banco y comprar dolares, que de acuerdo a la cantidad que posee y el valor del dolar el día de valuación es de \$20 pesos. Y de acuerdo a los analistas del banco le ofrecen una tasa del 2.65 pagadera mensual, durante 2 años

Solución

La cantidad de dolares que puede comprar son:

$$\frac{6,780,000}{20}=339000$$

$$M=339,000(1+\frac{0.0265}{12})^24$$

Más adelante…

Finalmente se llego al último tema que abarca éstas notas, esperando que puedan facilitar el acceso a una mejor comprensión de los temas que hasta el momento se han expuesto. La siguiente entrada se trata de una pequeña recapitulación de todos las fórmulas principales así como su conceptos de fórmulas con la finalidad de que también cuenten con una forma de hacer una consulta rápida sobre todo cuando aún no son nuevos en el aprendizaje de estos temas o cuando sólo quieren recordar alguna fórmula.

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