Introducción
Una función de una variable puede representarse mediante una curva en el plano. En cambio, una función de dos variables puede representarse mediante una superficie en el espacio tridimensional: cada punto del dominio determina una altura .
En varias variables la idea es esencialmente la misma, pero ahora la entrada de la función ya no es un solo número, sino un punto de .
Funciones de $\mathbb{R}^{n}$ en $\mathbb{R}$
Definición 1 . Una función $f:A\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función $f(x_{1},x_{2},…,x_{n})$ que asocia a cada n-ada ordenada $(x_{1},x_{2},…,x_{n})$ de $\mathbb{R}^{n}$ un número real $f(x_{1},x_{2},…,x_{n})$.
Ejemplo. La función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ asocia a dada pareja $(x,y)\in \mathbb{R}^{^{2}}$ el número real $x^{2}+y^{2}$.
Ejemplo. La función $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ asocia a dada terna $(x,y,z)\in \mathbb{R}^{^{3}}$ el número real $\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$.
Definición 2. El dominio de una función $f:A\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es el conjunto.
$$Dom_{f}\left\{(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}~|~f(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in\mathbb{R}\right\}$$
Ejemplo. La función $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ asocia a dada terna $(x,y,z)\in \mathbb{R}^{^{3}}$ el número real $\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ tiene como dominio el conjunto.
$$Dom_{f}=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}~|~1-x^{2}-y^{2}-z^{2}\geq0 \right\}=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}~|~1\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\right\}$$.
Ejemplo La función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ asocia a dada pareja $(x,y)\in \mathbb{R}^{^{2}}$ el número real $x^{2}+y^{2}$ en este caso el dominio es $\mathbb{R}^{2}$.
Definición 3.$ El rango de una función $f:A\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es el conjunto
$$Ran_{f}= \left\{f(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in\mathbb{R}~|~(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in\mathbb{R}^{n} \right\}$$.
Ejemplo. La función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ asocia a dada pareja $(x,y)\in \mathbb{R}^{^{2}}$ el número real $\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ en este caso el rango de la función es el conjunto
$$\left\{z\in\mathbb{R}~|~0\leq z\leq1 \right\}$$.
Definición 4. La gráfica de una función $f:A\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ es el conjunto
$$Gra_{f}=\left\{(x_{1},x_{2},…,x_{n},f(x_{1},x_{2},…,x_{n}))\in\mathbb{R}^{n+1}~|~(x_{1},x_{2},…,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}\right\}$$.
Ejemplo. La gráfica de la función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ es un paraboloide cuyo aspecto es:
Ejemplo. La gráfica de la función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$ es un paraboloide hiperbolico (silla de montar) cuyo aspecto es:
Conjuntos de Nivel
Una vez que conocemos una función, no basta con saber calcular su valor en algunos puntos. También resulta importante entender cómo se comportan sus valores cuando nos movemos por el dominio. La gráfica permite visualizar este comportamiento, pero para funciones de varias variables puede ser difícil interpretar una superficie completa. Los conjuntos de nivel ofrecen una alternativa: en lugar de estudiar simultáneamente todas las alturas de la gráfica, fijamos un valor y observamos dónde alcanza la función ese valor, mientras que los límites nos permiten comprender el comportamiento de la función en puntos particulares o en el infinito. La relación entre ambos objetos puede verse como una descripción del comportamiento local y global de una función .
Definición 5. Sea $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ y sea $c\in\mathbb{R}$. El conjunto de nivel del valor c se define como:
$$C_{N}=\left\{x\in\mathbb{R}^{n}~|~f(x)=c\right\}$$
Ejemplo. Describir el conjunto de nivel de la función $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$.
$Solución$ En este caso el conjnuto de nivel es$$C_{N}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x^{2}+y^{2}=c\right\}$$
geometricamente son circunferencias con centro el origen y radio $c$.
Ejemplo. Describir el conjunto de nivel de la función $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$.
Solución En este caso el conjnuto de nivel es$$C_{N}= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x^{2}-y^{2}=c \right\}$$
geometricamente son circunferencias con centro el origen y radio c
Ejemplo La función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ tiene como gráfica el paraboloide de revolución $z=x^{2}+y^{2}$.
Las curvas de nivel son: el vacio para $a<0$, y para $a>0$ es el conjunto $$\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|x^{2}+y^{2}=a\right\}$$, es decir un círculo de radio $\sqrt{a}$ con centro en el origen.
Ejemplo La función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x,y)=x^{2}-y^{2}$ tiene como gráfica el paraboloide hiperbolico $z=x^{2}-y^{2}$.
Las curvas de nivel son: para $a=0\Rightarrow x^2-y^2=0$ par de rectas que se cortan en el origen, y para $a=1\Rightarrow x^2-y^2 =1$ es una hiperbola paralela al eje X que lo corta en $(\pm 1,0)$, para $a=-1\Rightarrow x^2-y^2=-1$ es una hiperbola paralela al eje Y y que lo corta en $(0,\pm 1)$.
Ejemplo La función $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^2}$ tiene el siguiente conjunto de nivel:
$${(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|\sqrt{x^2+y^2+z^2}=a}$$
Las superficies de nivel son: para $a=0\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+z^2}=0$ el origen, y para $a=1\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$ es una esfera, $a=2\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+z^2}=2$ es una esfera:
La función $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z^2$ tiene el siguiente conjunto de nivel:
$$\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|x^2-y^2+z^2=a\right\}$$
Las superficies de nivel son: para $a=0\Rightarrow x^2-y^2+z^2=1$ es un hiperboloide de un manto, y para $a=1\Rightarrow x^2-y^2+z^2=1$ es un hiperboloide de un manto, $a=2\Rightarrow \sqrt{x^2-y^2+z^2}=2$ es un hiperboloide de un manto.
Límite de Funciones de $\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$
Sea $f:\Omega\subset\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$, y sea $x_{0}$ un punto de acumulación de $\Omega$. Se dice que $L\in\mathbb{R}$ es el límite de $f$ en
$x_{0}$, y se denota por: $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L$$ Si dado $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que $|f(x)-b|<\varepsilon$ cuando $x \in \Omega$, $0<|x-x_{0}|<\delta$.
Observación: Es necesarío que $x_{0}$ sea punto de acumulacion de $\Omega$.
Usando la definición de límite, demostrar que:
$$\displaystyle\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{x^{4}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0$$
Por demostrar, para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $0 < |(x,y) – (0,0)| < \delta$ entonces $\displaystyle\left| \frac{x^{4}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \right| < \varepsilon$.
Demostración. Como $x^{2} \leq x^{2}+y^{2}$ entonces $x^{4} \leq (x^{2}+y^{2})^{2}$ entonces $\displaystyle\frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \underset{(*)}{\leq} \displaystyle\frac{1}{x^{4}}$
$\therefore$ $\displaystyle\left|\frac{x^{4}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right| \underset{(*)}{\leq}
\displaystyle\left|\frac{x^{4}y^{2}}{x^{4}}\right| \leq |y^{2}|=y^{2}\leq (\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2} <
\delta^{2}$
$\therefore$ Si $\delta^{2}=\varepsilon$ entonces $\delta=\sqrt{\varepsilon}$.
Más adelante
Relacionaremos el concepto de límite con el de derivada para funciones $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ escalares.
Tarea Moral
1.- Esboza las curvas de nivel y gráficas de las siguientes funciones
a) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \rightarrow x-y+2$
b) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \rightarrow x^2+4y^2$
2.- Describe el comportamiento conforme varia $c$ de la curva de nivel $f(x,y)=c$ para cada una de las siguientes funciones
a) $f(x,y)=x^2+y^2+1$
b) $f(x,y)=1-x^2-y^2$
3.- Traza la curva de nivel (en el plano $xy$) para las siguientes funciones.
a) $f(x,y)= 4-3x+2y, c=0,1,2,3,-1,-2,-3$
b) $f(x,y)=x/y, c=0,1,2,3,-1,-2,-3$
4.- Sea $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}. (x,y) \rightarrow x^2+y^2+2$ calcular $\displaystyle\lim_{(x,y) \rightarrow (0,1)} f(x,y)$
5.- Sea $f:A \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, $x_0$ un elemento o punto fronrtera de $A \in \mathbb{R}^n$ y $b\in\mathbb{R}$ demuestra que si
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=b$ entonces $$c \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=cb$$
Enlaces
El siguiente enlace de geogebra muestra una superficie de una función que puedes modificar y un plano que atraviesa la gráfica, puedes observar la representación de conjunto de nivel donde el plano corta la gráfica.