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Geometría Moderna I: Ángulos en la circunferencia

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

4 respuestas

Introducción

Dados un ángulo y una circunferencia nos podemos preguntar si podemos calcular la magnitud del ángulo dado con algún ángulo que tenga como vértice el centro de la circunferencia dada. En esta entrada estudiaremos algunos resultados que nos permitirán establecer dicha relación.

Definición 1. Un ángulo central en una circunferencia es un ángulo formado por dos radios.

Denotamos a una circunferencia con centro en $O$ como $\Gamma (O)$.

Ángulo inscrito

Definición 2. Decimos que un segmento es una cuerda de una circunferencia si sus extremos pertenecen a la circunferencia y el segmento no contiene al centro de la circunferencia, si contiene al centro entonces es un diámetro.

Un ángulo inscrito en una circunferencia es un ángulo formado por dos cuerdas o una cuerda y un diámetro que tienen un extremo en común sobre la circunferencia.

Teorema 1, de la medida del ángulo inscrito. Un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia.

Demostración. Sea $\angle CBA$ un ángulo inscrito en $\Gamma (O)$.

Caso 1. $BC$ es diámetro, entonces $\triangle AOB$ es isósceles y por tanto $\angle BAO = \angle CBA$.

Figura 1

Como $\angle COA$ es un ángulo exterior de $\triangle AOB$ entonces es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él,
$\Rightarrow \angle COA = \angle CBA + \angle BAO = 2\angle CBA$
$\Rightarrow \angle CBA = \dfrac{\angle COA}{2}$.

Caso 2. Ambos lados del ángulo son cuerdas, trazamos el diámetro $BO$ y consideramos $D = BO \cap \Gamma (O)$.

Si $AB$ y $BC$ están en un mismo lado respecto de $BD$ (izquierda figura 2), entonces
$\angle CBA = \angle DBA – \angle DBC$ y por el caso 1,
$\Rightarrow \angle CBA = \dfrac{\angle DOA}{2} – \dfrac{\angle DOC}{2} = \dfrac{\angle COA}{2}$.

Figura 2

Si $AB$ y $BC$ están en lados distintos respecto de $BD$ (derecha figura 2), entonces
$\angle CBA = \angle CBD + \angle DBA$ y por el caso 1,
$\Rightarrow \angle CBA = \dfrac{\angle COD}{2} + \dfrac{\angle DOA}{2} = \dfrac{\angle COA}{2}$.

$\blacksquare$ 

Ángulo semiinscrito

Definición 3. Decimos que una recta es tangente a una circunferencia en un punto si la recta es perpendicular al radio que pasa por el punto.  

Definición 4. Decimos que un ángulo es semiinscrito en una circunferencia, si el ángulo está formado por una recta tangente a la circunferencia y una cuerda que tiene como extremo el punto de tangencia.

Teorema 2, de la medida del ángulo semiinscrito. Un ángulo semiinscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia.

Demostración. Sea $\angle CBA$ un ángulo inscrito en $\Gamma (O)$, con $AB$ tangente a $\Gamma (O)$ en $B$, consideremos $D = BO \cap \Gamma (O)$.

Figura 3

$\angle DBC$ es inscrito, por el teorema 1, $\angle DBC = \dfrac{\angle DOC}{2}$
$\Rightarrow \angle CBA = \angle DBA – \angle DBC = \dfrac{\pi}{2} – \dfrac{\angle DOC}{2}$
$= \dfrac{\angle DOB}{2} – \dfrac{\angle DOC}{2} = \dfrac{\angle COB}{2}$.

Por otro lado, consideremos $A’ \in AB$ pero del lado opuesto a $A$ respecto de $B$, entonces,
$\angle A’BC = \angle ABD + \angle DBC = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\angle DOC}{2}$
$= \dfrac{\angle BOD}{2} + \dfrac{\angle DOC}{2} = \dfrac{\angle BOC}{2}$.

$\blacksquare$ 

Ángulo interior

Definición 5. Si el vértice de un ángulo está en el interior de una circunferencia decimos que el ángulo es interior a la circunferencia.

Teorema 3, de la medida del ángulo interior. Un ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma del ángulo central que abarca el mismo arco que el ángulo interior y del ángulo central que abarca el mismo arco que el opuesto por el vértice.

Demostración.  Sea $\angle ABC$ un ángulo interior a $\Gamma (O)$ con $A$, $C \in \Gamma (O)$, consideremos $A’ = AB \cap \Gamma (O)$ y $C’ = CB \cap \Gamma (O)$.

Figura 4

Como $\angle ABC$ es un ángulo exterior de $\triangle A’BC$ es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él, además $\angle AA’C$ y  $\angle A’CC’$ son inscritos y por el teorema 1,
$\Rightarrow \angle ABC = \angle AA’C + \angle A’CC’ = \dfrac{\angle AOC + \angle A’OC’}{2}$.

$\blacksquare$ 

Ángulo exterior (lados secantes)

Definición 6. Una recta secante a una circunferencia es una recta que la interseca en dos puntos distintos.

Definición 7. Decimos que un ángulo es exterior a una circunferencia si su vértice se encuentra fuera de la circunferencia y los lados que forman el ángulo son tangentes o secantes a la circunferencia.

Teorema 4, de la medida del ángulo exterior. Un ángulo exterior a una circunferencia es igual a la mitad de la diferencia de los ángulos centrales que abarcan arcos cuyos extremos son las intersecciones de cada lado del ángulo con la circunferencia.

Caso 1. Ambos lados del ángulo son secantes a la circunferencia.

Demostración. Sea $\angle BAC$ un ángulo exterior a $\Gamma (O)$.

Supongamos que $B$, $C \in \Gamma (O)$ y consideremos $B’ = AB \cap \Gamma (O)$ y $C’ = AC \cap \Gamma (O)$.

Veamos primero el caso particular en el que $CC’$ es diámetro entonces $\angle BC’C$ es un ángulo exterior de $\triangle AC’B$, por tanto,
$\angle BC’C = \angle A + \angle C’BB’$

Figura 5

Como $\angle BC’C$ y $\angle C’BB’$ son ángulos inscritos, por el teorema 1,
$\Rightarrow \angle A = \angle BC’C – \angle C’BB’ = \dfrac{\angle BOC – \angle C’OB’}{2}$.

Para el caso general sean $D$ y $E$ las intersecciones de $AO$ con $\Gamma (O)$.

Si $B$ y $C$ están en lados distintos respecto de $DE$ (izquierda figura 6), entonces
$\angle A = \angle BAE + \angle EAC$, y por el caso particular,
$\Rightarrow \angle BAE = \dfrac{\angle BOE – \angle DOB’}{2}$ y $\angle EAC = \dfrac{\angle EOC – \angle C’OD}{2}$
$\Rightarrow \angle A = \dfrac{\angle BOE + \angle EOC – (\angle C’OD + \angle DOB’)}{2} = \dfrac{\angle BOC – \angle C’OB’}{2}$.

Figura 6

Si $B$ y $C$ están en el mismo lado respecto de $DE$ (derecha figura 6), entonces
$\angle BAC = \angle BAE – \angle CAE$ y por el caso particular, 
$\angle BAE = \dfrac{\angle BOE – \angle DOB’}{2}$ y $\angle CAE = \dfrac{\angle COE – \angle DOC’}{2}$
$\Rightarrow \angle A = \angle BAC = \dfrac{(\angle BOE – \angle COE) – (\angle DOB’ – \angle DOC’)}{2} = \dfrac{\angle BOC – \angle C’OB’}{2}$.

$\blacksquare$ 

Ángulo exterior (lados tangentes)

Caso 2. Ambos lados del ángulo son tangentes a la circunferencia.

Demostración. Sea $\angle BAC$ un ángulo exterior a $\Gamma (O)$.

Supongamos que $B$, $C \in \Gamma (O)$ y consideremos $D$ y $E$ las intersecciones de $AO$ con $\Gamma (O)$.

Figura 7

Como $\angle BDE$ y $\angle EDC$ son ángulos exteriores de $\triangle ADB$ y $\triangle ADC$ respectivamente, entonces
$\angle BDE = \angle BAD + \angle DBA$ y $\angle EDC = \angle DAC + \angle ACD$
$\Rightarrow \angle A = \angle BAD + \angle DAC = (\angle BDE – \angle DBA) + (\angle EDC – \angle ACD)$
$ = (\angle BDE + \angle EDC) – (\angle ACD + \angle DBA) = \angle BDC – (\angle ACD + \angle DBA)$

$\angle ACD$ y $\angle DBA$ son ángulos semiinscritos y $\angle BDC$ es un ángulo inscrito, por los teoremas 1 y 2 tenemos
$\angle ACD = \dfrac{\angle COD}{2}$, $\angle DBA = \dfrac{\angle DOB}{2}$ y $\angle BDC = \dfrac{\angle BOC}{2}$,  
$\Rightarrow \angle A = \dfrac{\angle BOC – (\angle COD + \angle DOB)}{2} = \dfrac{\angle BOC – \angle COB}{2}$.

$\blacksquare$ 

Caso 3. Un lado del ángulo es tangente a la circunferencia y el otro es secante.

La demostración de este caso queda como ejercicio.

Ejemplos

Proposición 1. Dos ángulos ya sean inscritos o semiinscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia son iguales.

Demostración. Por los teoremas 1 y 2, un ángulo inscrito y un ángulo semiinscrito son iguales a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco, si dos ángulos abarcan el mismo arco entonces el ángulo central es el mismo para ambos y por transitividad son iguales.

$\blacksquare$ 

Figura 8

Teorema 5, de Tales. Sean $A$, $B$ y $C$ puntos distintos en una circunferencia entonces $BC$ es diámetro si y solo si $A$ es un ángulo recto.

 Demostración. Sea $\Gamma (O)$ la circunferencia a la que pertenecen $A$, $B$ y $C$, el resultado se sigue del hecho de que el ángulo central que abarca el mismo arco que $\angle A$ es $\angle BOC$ y aplicar el teorema del ángulo inscrito.

$\blacksquare$ 

Figura 9

Problema. Dado un círculo $\Gamma$ construir su centro.

Solución. Construimos dos ángulos rectos inscritos en la circunferencia, tomando dos puntos distintos como vértice.

Por el teorema de Tales, las intersecciones de los lados de cada ángulo formaran dos diámetros distintos de la circunferencia y su intersección será el centro de la circunferencia.

$\blacksquare$ 

Figura 10

Proposición 2. Las rectas tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales.

Demostración. Sean $\Gamma (O)$ y $A$ un punto exterior, por $A$ trazamos $AB$ y $AC$ tangentes a $\Gamma (O)$ en $B$ y en $C$ respectivamente (figura 7).

Consideremos los radios $OB$ y $OC$ entonces $OB = OC$, y por definición de tangencia, $OB \perp AB$ y $OC \perp AC$.

Los triángulos rectángulos $\triangle AOB$ y $\triangle AOC$ tienen a $AO$ como lado en común, por criterio de congruencia hipotenusa-cateto $\triangle AOB \cong \triangle AOC$, por tanto, $AB = AC$.

$\blacksquare$ 

Más adelante…

Apoyándonos de los resultados vistos aquí, en la siguiente entrada daremos una caracterización de arco de circunferencia y veremos la circunferencia de Apolonio.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sean $A$ y $C$ dos puntos fijos en una circunferencia, muestra que para cualesquiera dos puntos $B$ y $D$ en la misma circunferencia se tiene que $\angle ABC = \angle ADC$ o $\angle ABC$ y $\angle CDA$ son suplementarios.
  2.  Prueba que una recta es tangente a una circunferencia si y solo si la recta y la circunferencia tienen un solo punto en común.
  3. Demuestra el teorema 4 en el caso en el que el un lado del ángulo exterior es secante a la circunferencia y el otro es tangente, es decir, en la figura 11 muestra que
    $\angle BAC = \dfrac{\angle BOC – \angle COD}{2}$.
Figura 11
  1. Dados una circunferencia y un punto fuera de ella, construye las rectas tangentes a la circunferencia dada trazadas desde el punto dado.
  2. Sean $\triangle ABC$, $K$ la intersección de la altura trazada desde $A$ con el circuncírculo de $\triangle ABC$ y $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$, muestra que $BC$ biseca a $HK$.
Figura 12

Entradas relacionadas

Fuentes

  • Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 133-140.
  • Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 34-40.
  • Wikipedia
  • Geometría interactiva

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior definimos la exponencial de una matriz $\textbf{A}$ de coeficientes constantes, denotada por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, demostramos sus principales propiedades, y estudiamos la relación que guarda con el sistema lineal de ecuaciones $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ y su matriz fundamental de soluciones. Con esta herramienta a nuestra disposición, podremos enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes.

Como mencionamos en la entrada anterior, nuestra meta es tratar de generalizar la fórmula para soluciones a ecuaciones lineales de primer orden con condición inicial, la cual es de la forma $$y(t)=e^{-\int p(t) dt} \left[\int e^{\int p(t) dt}q(t)+k_{0}\right]$$ para cierta constante $k_{0}$, y encontrar una solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\textbf{C}$$ que se vea de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{e}^{-\int \textbf{A}(t) dt} \left[\int \textbf{e}^{\int \textbf{A}(t) dt}\textbf{Q}(t)+\textbf{B}\right].$$

El teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden nos garantiza la existencia de tal solución. Además, una vez que definimos la exponencial de una matriz, ya no nos sorprenderá la notación de la fórmula anterior. Dividiremos el teorema y su demostración en dos casos: para sistemas homogéneos y para sistemas no homogéneos.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes

En el primer video demostramos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes

En el segundo video demostramos el mismo teorema pero ahora para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(1)=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$$

Más adelante

Una vez que hemos encontrado formas explícitas para las soluciones a sistemas lineales con coeficientes constantes $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$, debemos encontrar algún método para calcular eficientemente $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$, sin pasar por el complicado camino de calcular cada serie que conforma a la exponencial de $t\textbf{A}$. El método que desarrollaremos es una aplicación de los eigenvalores y eigenvectores (o valores y vectores propios) que quizá hayas visto en cursos de álgebra lineal.

Es por eso que, aunque no estamos en un curso de álgebra lineal, haremos un alto en el camino y revisaremos de manera muy breve estos conceptos y demás herramientas que utilizaremos muy pronto. Iremos relacionando los conceptos con los temas que nos interesan, que son los de hallar una matriz fundamental de soluciones, la exponencial de una matriz, y por supuesto resolver sistemas lineales de primer orden.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones trigonométricas (Parte 1)

Por Karen González Cárdenas

1 respuesta

Introducción

De las clases en el bachillerato recordarás las siguientes definiciones, utilizando el triángulo rectángulo de la imagen siguiente:


\begin{align*}
sen\theta&=\frac{\text{cat op}}{\text{hip}}=\frac{b}{c} & csc\theta&=\frac{\text{hip}}{\text{cat op}}=\frac{c}{b}\\
cos\theta&=\frac{\text{cat ad}}{\text{hip}}=\frac{a}{c} & sec\theta&=\frac{\text{hip}}{\text{cat ad}}=\frac{c}{a}\\
tan\theta&=\frac{\text{cat op}}{\text{cat ad}}=\frac{b}{a} & cot\theta&=\frac{\text{cat ad}}{\text{cat op}}=\frac{a}{b}\\
\end{align*}
donde:
cat op = cateto opuesto ; cat ad = cateto adyacente e hip= hipotenusa.

También recordemos que tenemos la siguiente equivalencia:

$360°$ es equivalente a $2\pi$.

A lo largo de esta entrada veremos las principales características de este conjunto de funciones, sus gráficas y algunas identidades trigonométricas.

Identidades trigonométricas Pitagóricas

Si tomamos a la circunferencia unitaria y un triángulo rectángulo como en la imagen:

Observamos que al sustituir el valor hip $=1$ en las definiciones anteriores para el $sen\theta$ y el $cos\theta$ tenemos:
\begin{align*}
sen\theta&=\frac{\text{cat op}}{\text{1}} & cos\theta&=\frac{\text{cat ad}}{\text{1}}\\
&= \text{cat op} & &=\text{cat ad}\\
&= b & &=a\
\end{align*}


Dadas las igualdades obtenidas e hip$=1$ al sustituir para el resto de las funciones tenemos:
\begin{align*}
tan\theta &= \frac{sen\theta}{cos\theta} & cot\theta &=\frac{cos\theta}{sen\theta}\\
sec\theta &=\frac{1}{cos\theta} & csc\theta&=\frac{1}{sen\theta}
\end{align*}

Recordemos el conocido Teorema de Pitágoras que nos da una relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo:
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$$

Si lo aplicamos al triángulo rectángulo obtenido en la imagen anterior donde:
\begin{align*}
a&= cos\theta & b&=sen\theta & c&=1
\end{align*}
entonces tenemos la siguiente igualdad:
\begin{equation}
cos^{2}\theta + sen^{2}\theta =1.
\end{equation}
Si dividimos $(1)$ entre $cos^{2}\theta$ obtenemos:
\begin{equation*}
\frac{cos^{2}\theta}{ cos^{2}\theta}+ \frac{sen^{2}\theta}{cos^{2}\theta} =\frac{1}{cos^{2}\theta}.
\end{equation*}
Que simplificando sería:
\begin{equation}
1+ tan^{2}\theta=sec^{2}\theta.
\end{equation}

Ahora bien si decidimos dividir $(1)$ entre $sen^{2}\theta$:
\begin{equation*}
\frac{cos^{2}\theta}{sen^{2}\theta} + \frac{sen^{2}\theta}{sen^{2}\theta} =\frac{1}{sen^{2}\theta}.
\end{equation*}
Que finalmente sería:
\begin{equation}
cot^{2}\theta +1= csc^{2}\theta.
\end{equation}

Las igualdades $(1)$, $(2)$ y $(3)$ son llamadas Identidades Pitagóricas:
\begin{align*}
cos^{2}\theta + sen^{2}\theta &=1,\\
1+ tan^{2}\theta &=sec^{2}\theta,\\
cot^{2}\theta +1&= csc^{2}\theta.\\
\end{align*}

Otras identidades trigonométricas


Otras identidades trigonométricas que son de utilidad son las de suma de ángulos:
\begin{align*}
cos( \alpha + \beta)&=cos(\alpha) cos(\beta) – sen(\alpha) sen(\beta),\\
sen(\alpha + \beta)&= cos(\alpha) sen(\beta) + cos(\beta) sen(\alpha).
\end{align*}
Para la resta de ángulos tendríamos un par similar:
\begin{align*}
cos( \alpha -\beta)&=cos(\alpha) cos(\beta) + sen(\alpha) sen(\beta),\\
sen(\alpha – \beta)&= cos(\alpha) sen(\beta) – cos(\beta) sen(\alpha).
\end{align*}
Ahora veremos cómo obtener las identidades para los ángulos dobles:
\begin{align*}
cos(2\alpha)&= cos(\alpha + \alpha)\\
&= cos(\alpha) cos(\alpha) – sen(\alpha) sen(\alpha)\\
&= cos^{2}\alpha – sen^{2}\alpha
\end{align*}
Por lo tanto tendríamos para el coseno de $2\alpha$:
\begin{equation}
cos(2\alpha)=cos^{2}\alpha – sen^{2}\alpha.
\end{equation}
Si procedemos análogamente para el seno de $2\alpha$:
\begin{align*}
sen(2\alpha)&= sen(\alpha + \alpha)\\
&= cos(\alpha) sen(\alpha) + cos(\alpha) sen(\alpha)\\
&= 2sen(\alpha) cos(\alpha)
\end{align*}
Así concluimos que:
\begin{equation}
sen(2\alpha)=2sen(\alpha) cos(\alpha).
\end{equation}
También tenemos un par de identidades que relacionadas con el $sen^{2}\theta$ y el $cos^{2}\theta$:
\begin{align*}
sen^{2}\theta &= \frac{1}{2}(1-cos(2\theta)), & cos^{2}\theta& =\frac{1}{2}(1+ cos(2\theta)).\\
\end{align*}
Se dejará como ejercicios en la Tarea moral obtener este par de igualdades.

Simetrías

Retomando la imagen anterior, si ahora reflejamos al triángulo respecto al eje $x$, tenemos lo siguiente:

donde observamos los siguiente:
\begin{align*}
\beta &= – \theta & c_{2}&=1 & b_{2}=sen(-\theta)\\
\end{align*}

Así al considerar a los puntos $p_{1}$ y $p_{2}$ tenemos que estarían definidos de la siguiente manera:
\begin{align*}
p_{1}&=(cos(\theta), sen(\theta)) & p_{2}&=(cos(-\theta), sen(-\theta))\\
\end{align*}
Resaltamos para $p_{2}$ que:
$$p_{2}=(cos(-\theta), sen(-\theta))=(cos(\theta), -sen(\theta)).$$
de esta igualdad podemos determinar si las funciones seno y coseno son pares o impares, este ejercicio formará parte de la Tarea moral.

Función periódica

Definición (función periódica): Decimos que una función $f$ es periódica si existe $N \in \r$ tal que para todo $x \in D_{f}$ cumple que:
$$f(x)=f(x+ N)$$
y $|N|$ se llama periodo de $f$.
En la siguiente imagen observamos que $\alpha = \pi$ por lo que tendríamos que el nuevo triángulo agregado es en realidad el original rotado:

Así tendríamos la siguiente definición para los puntos $p_{1}$ y $p_{3}$:

\begin{align*}
p_{1}&=(cos(\theta), sen(\theta)) & p_{3}&=(cos(\theta + \pi), sen(\theta+ \pi))\\
\end{align*}

Si rotamos el triángulo ahora $\alpha = 2\pi$ tenemos que $p_{4}$ estaría definido como:
$$p_{4}=(cos(\theta + 2\pi), sen(\theta+ 2\pi)).$$


¡Y observamos que obtenemos el triángulo original! Consecuentemente tenemos las siguientes igualdades:
\begin{align*}
sen(\theta)&=sen(\theta+2\pi),\\
cos(\theta)&=cos(\theta+ 2\pi).
\end{align*}
Aplicando la definición decimos que las funciones seno y coseno son periódicas con periodo $N=2\pi$.
En las gráficas de las funciones observamos el comportamiento anterior, cada $2 \pi$ se comienzan a repetir los valores:

Observación: Vemos que para todo $x \in \r$ ocurre:
$$-1 \leq sen(x) \leq 1$$
$$-1 \leq cos(x) \leq 1$$
por lo que las funciones seno y coseno son acotadas.

Consideraremos los siguientes dominios donde cada una de las funciones cumple ser inyectiva :
\begin{align*}
sen: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \rightarrow [-1,1]
\end{align*}

\begin{align*}
cos: [0, \pi] \rightarrow [-1,1]
\end{align*}

Más adelante

En la próxima entrada, continuaremos con las definiciones de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. Por lo tanto, realizaremos un análisis similar al dado para las funciones seno y coseno.

Tarea moral

  • Obtener las siguientes identidades trigonométricas:
    • $$sen^{2}\theta = \frac{1}{2}(1-cos(2\theta)).$$
    • $$cos^{2}\theta =\frac{1}{2}(1+ cos(2\theta)).$$
    • $$tan(\alpha + \beta)=\frac{tan(\alpha) + tan(\beta)}{-tan(\alpha)tan(\beta)}.$$
      Sugerencia.-Considera la igualdad:
      $$tan\theta=\frac{sen\theta}{cos\theta}$$
  • Determina si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las opciones anteriores:
    • $sen(\theta).$
    • $cos(\theta).$
  • Obtén la gráfica de las siguientes funciones:
    • $f(x)=sen(x+\frac{\pi}{2}).$
    • $f(x)=-2cos(x)+1.$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: La exponencial de una matriz

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos a resolver algunos sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Sin embargo como pudimos advertir, el método de eliminación de variables funciona para casos muy sencillos con pocas ecuaciones en el sistema. Además, necesitamos previo conocimiento de cómo resolver ecuaciones diferenciales de orden superior pues dicho método nos lleva a resolver una ecuación de este tipo. Por tanto, quisiéramos un nuevo método que nos permita resolver los mismos sistemas y algunos más complejos.

Antes de presentar tal método, lo que quisiéramos conocer es si existe una fórmula explícita para las funciones solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$$ con condición inicial $\textbf{X}(t_{0})=\textbf{C}$, que sea muy parecida a la fórmula que encontramos para ecuaciones lineales de primer orden $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t)$ con condición inicial $y(t_{0})=y_{0}$, la cual es de la forma $$y(t)=e^{-\int p(t) dt} \left[\int e^{\int p(t) dt}q(t)+k_{0}\right]$$ para cierta constante $k_{0}$. Intercambiando las respectivas funciones, nuestra hipotética solución al sistema quedaría de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{e}^{-\int \textbf{A}(t) dt} \left[\int \textbf{e}^{\int \textbf{A}(t) dt}\textbf{Q}(t)+\textbf{B}\right]$$ con cierta matriz constante $\textbf{B}$. Por supuesto, no sabemos qué significa $\int \textbf{A}(t) dt$ ni mucho menos la exponencial de esta última expresión.

En esta entrada responderemos a estas preguntas. Daremos las definiciones auxiliares necesarias para construir el concepto de exponencial de una matriz cuadrada de tamaño $n \times n$ con coeficientes constantes, que denotaremos por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$. Posteriormente, demostraremos las principales propiedades que cumple $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, entre ellas su relación con los sistemas de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ con condición inicial $\textbf{X}(0)=\textbf{C}$. Finalmente, dado $t \in \mathbb{R}$ relacionaremos a la exponencial de $t \textbf{A}$ con la matriz fundamental de soluciones al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

¡Manos a la obra!

La exponencial de una matriz

En el primer video de esta entrada definimos la exponencial de una matriz $\textbf{A}$ de tamaño $n \times n$ con coeficientes constantes.

Propiedades de la exponencial de una matriz

En este video probamos las principales propiedades que satisface la exponencial de una matriz, entre ellas la relación que guarda con los sistemas lineales de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ con condición inicial $\textbf{X}(0)=\textbf{C}$.

La exponencial de una matriz $\textbf{A}$ y la matriz fundamental de soluciones de $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$

En el último video de esta entrada relacionamos el nuevo concepto de exponencial de una matriz $\textbf{A}$ con la matriz fundamental de soluciones al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Supongamos que $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ Demuestra que $$\textbf{e}^{t \textbf{A}}=\begin{pmatrix} \cos{t} & \sin{t} \\ -\sin{t} & \cos{t} \end{pmatrix}.$$
  • Considera las matrices $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Muestra que $\textbf{A}\textbf{B} \neq \textbf{B}\textbf{A}$, calcula $\textbf{e}^{\textbf{A}+\textbf{B}}$ y $\textbf{e}^{\textbf{A}}e^{\textbf{B}}$. ¿Contradice este ejemplo el teorema 4 del segundo video?
  • Calcula $\textbf{e}^{t \textbf{A}}$ si $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
  • Supongamos que $\textbf{A}$ es una matriz diagonal, es decir, una matriz cuyos únicos coeficientes distintos de cero se encuentran en la diagonal. Prueba que $\textbf{e}^{t \textbf{A}}$ es una matriz diagonal.
  • Supongamos que $\textbf{X}_{f}(t)$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Prueba que $\textbf{e}^{(t-t_{0}) \textbf{A}}=\textbf{X}_{f}(t)\textbf{X}^{-1}_{f}(t_{0})$.

Más adelante

Ahora que hemos definido a la exponencial de una matriz y visto sus principales propiedades, podremos enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes. Dividiremos el teorema en dos casos: cuando nuestro sistema es homogéneo, es decir, el sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$; y cuando el sistema es no homogéneo, es decir, de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$ con su respectiva condición inicial $\textbf{X}(t_{0})=\textbf{C}$.

Esto es lo que haremos en la próxima entrada. ¡No se la pierdan!

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones polinomiales y racionales. Análisis geométrico de funciones

Por Karen González Cárdenas

1 respuesta

Introducción

Quizás en algunos de tus cursos anteriores te presentaron funciones parecidas a las siguientes:
\begin{align*}
f(x)&= 4x^{2}-3x+1, & t(x)&=\frac{x^{2}+2x+5}{x^{3}+3}, & k(x)&= x^{3}\text{.}\\
\end{align*}
Todas pertenecen al conjunto de las funciones algebraicas. A lo largo de esta entrada, veremos las definiciones formales para cada una y comenzaremos a realizar un análisis geométrico con este conjunto de funciones.

Funciones polinomiales

Definición (función polinomial): Sea $f$ una función. Decimos que $f$ es una función polinomial si está definida como:
$$p(x)=a_{n}x^{n}+ a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_{0}$$
donde $ n \in \mathbb{N}\cup \left\{0 \right\}$ y los coeficientes $a_{i} \in \r$.

Definición (grado de una función polinomial): Llamamos grado de p(x) a la potencia mayor de $x$ con un coeficiente $a_{i} \neq 0$.
Ejemplos:

  • $g(x)= 120x^{10}+34x^{6}+14$
    el grado de $g(x)$ es $10$
  • $h(x)= \pi x^{3}+ 2\pi x^{2}+x$
    el grado de $h(x)$ es $3$

Una observación importante es que las funciones del tipo $f(x)=x^{n}$ con $n\in \mathbb{N}$, mejor conocidas como potencias de $x$, son un caso particular de las funciones polinomiales.

Funciones racionales

Definición (función racional): Consideremos $g$ una función. Diremos que $g$ es una función racional si está definida como el cociente de dos polinomios:
$$g(x)=\frac{a_{n}x^{n}+ a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_{0}}{b_{n}x^{n}+ b_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + b_{0}}$$
donde $ n \in \mathbb{N}\cup \left\{0 \right\}$, los coeficientes $a_{i}, b_{i} \in \r$ y $b_{n}x^{n}+ b_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + b_{0} \neq 0$.

Ejemplos:

  • $$h(x)=\frac{x^{2}-1}{x+3}$$
  • $$g(x)=\frac{x}{x^{3}+1}$$

Análisis geométrico

En numerosas ocasiones tendremos la necesidad de realizar un bosquejo de la gráfica de una función. Para ello nos basaremos en la gráfica de una función conocida previamente y la siguiente serie de elementos donde consideremos a $f(x)$ una función en los reales y a $\alpha$ una constante:
Traslaciones

  • Para $h(x)= f(x)+ \alpha$ con $\alpha >0$ tenemos que la gráfica de $h$ es la gráfica de $f$ trasladada verticalmente $\alpha$ unidades hacia arriba (sobre el eje $y$).
  • Y para $h(x)= f(x)- \alpha$ con $\alpha >0$ la gráfica de $h$ es la gráfica de $f$ trasladada verticalmente $\alpha$ unidades hacia abajo (sobre el eje $y$).
  • Ahora si $h(x)= f(x-c)$ con $\alpha >0$ entonces la gráfica de $h$ sería la gráfica de $f$ trasladada horizontalmente $\alpha$ unidades hacia la derecha (sobre el eje $x$).
  • En cambio si $h(x)= f(x+c)$ con $\alpha >0$ entonces la gráfica de $h$ sería la gráfica de $f$ trasladada horizontalmente $\alpha$ unidades hacia la izquierda (sobre el eje $x$).

Consideremos los siguientes ejemplos para $f(x)= x^{2}$:

Ampliaciones y reducciones

  • Si $g(x)= f(\alpha x)$ con $\alpha >1$ su gráfica sería la gráfica de $f$ comprimida horizontalmente (sobre el eje $x$).
  • Para $g(x)= f(\alpha x)$ con $0<\alpha <1$ su gráfica sería la gráfica de $f$ expandida horizontalmente (sobre el eje $x$).
  • Y para $g(x)= f(\alpha x)$ con $\alpha <-1$ su gráfica sería la gráfica de $f$ comprimida horizontalmente (sobre el eje $x$) y reflejada respecto del eje $y$.
  • Finalizamos con $g(x)= f(\alpha x)$ con $-1<\alpha <0$ su gráfica sería la gráfica de $f$ expandida horizontalmente (sobre el eje $x$) y reflejada respecto del eje $y$.

Observación: Si $\alpha=1$ vemos que $f((1)x)=f(x)$ por lo que no hay cambios.

  • Ahora bien si $g(x)= \alpha f(x)$ donde $\alpha >1$ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ expandida verticalmente (sobre el eje $y$).
  • Cuando $g(x)= \alpha f(x)$ donde $0<\alpha <1$ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ comprimida verticalmente (sobre el eje $y$).
  • Si $g(x)= \alpha f(x)$ donde $-1<\alpha $ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ expandida verticalmente (sobre el eje $y$) y reflejada respecto del eje $x$.
  • Para $g(x)= \alpha f(x)$ donde $-1<\alpha <0$ la gráfica de $g$ es la gráfica de $f$ comprimida verticalmente (sobre el eje $y$) y reflejada respecto del eje $x$.

Observación: Para $\alpha =1$ tenemos que $(1)(f(x))=f(x)$.

Hablemos sobre la función inversa

Recordemos que si tenemos $f: A \rightarrow B$ una función esto significa que:
$$Graf(f)= \left\{(x, f(x)): x \in A \right\}\quad\text{.}$$

Ahora si consideramos a $f$ una función invertible, vemos que para $f^{-1}: B \rightarrow A$ ocurre:
$$Graf(f^{-1})= \left\{(f(x), x): f(x) \in B \right\}\quad \text{.}$$
Esto nos permite observar que un punto $(y,x) \in Graf(f^{-1})$ es la reflexión ortogonal del punto $(x,y) \in Graf(f)$ respecto a la función identidad.

De este modo podemos obtener la gráfica de $f^{-1}$ reflejando ortogonalmente la gráfica de $f$ respecto a la identidad.

En este ejemplo tomamos la función $f(x)=x^{2}$ en el dominio donde cumple ser biyectiva por lo que su función inversa sería $h(x)= \sqrt{x}$:

En la sección de Tarea moral encontrarás algunos ejercicios que te ayudarán a poner en práctica lo desarrollado en esta entrada.

Más adelante

En la siguiente entrada, comenzaremos a revisar el conjunto de las funciones trigonométricas. Veremos sus definiciones, algunas identidades trigonométricas que serán de utilidad y sus gráficas.

Tarea moral

Realiza las gráficas de las siguientes funciones dado que $f(x)=x^{3}$:

  • $f(x)+4$
  • $f(x-3)+2$
  • $f^{-1}(x)$
  • $f(2x)$
  • $2f(x)$

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