En entradas anteriores, ya estudiamos algunas isometrías, en esta ocasión, dedicaremos esta sección al estudio de las isometrías que cambian de orientación, es decir, de las que son de la forma $f(x)= E_\theta x+b$ con $E_\theta$ una matriz de reflexión.
Algunas definiciones informales
Antes de empezar con este capítulo, es importante entender a qué nos referimos con reflexiones y «pasos».
Reflexiones: Como ya hemos estado estudiando en otras entradas, se tiene una reflexión cuando hay un comportamiento similar a un espejo, es decir, que se tiene exactamente lo mismo y a la misma altura, pero de forma «reflejada».
Pasos: Entenderemos por «pasos» a la acción que realizamos al caminar y avanzar. Y, a los pasos con traslación trivial, a los que damos reflejando nuestros pasos con una línea recta.
Un teorema importante
Teorema 3.24: Una isometría que invierte orientación es un paso (con traslación trivial) o una reflexión.
Demostración
La isometría que invierte orientación, como ya mencionamos al inicio, es de la forma $f(x)= E_\theta x+b$ con $E_\theta$ matriz de reflexión.
Puntos fijos
Primero vamos a ver si hay puntos fijos, para esto, debemos analizar el siguiente determinante:
Esto significa que no hay una solución única, es decir, que no tiene solución o tiene muchas soluciones.
Análisis de soluciones
Si $b=0$, entonces $f$ es una reflexión y las soluciones son los puntos de la recta espejo: l.
Veamos cuáles son los puntos de la recta l satisfacen la ecuación anterior que encontramos. Si $u=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ es el vector unitario que genera a l, entonces:
Esto implica que $E_\theta(tu)=t(E_\theta u)=tu$ son todos los puntos de la recta l que satisfacen que $(I-E_\theta) x=0$.
Si para alguna $b$, el sistema $(I-E_\theta)x=b tiene una solución en particular, $c$, entonces toda la recta l$+c$ tiene soluciones para el sistema y se trata de una reflexión con espejo l$+c$, es decir, se trata de un «paso».
Pero, ¿cuáles son estas $b$ para las que hay solución?
Encontremos estas $b$ pensando de forma geométrica.
Observemos que, para cualquier $x \in \mathbb R^2$, la expresión $(I-E_\theta)x=x-E_\theta x$ indica el vector que va de $E_\theta x$ a $x$ y que es perpendicular al «espejo».
Si vemos a $(I-E_\theta)$ como función, encontraremos que es la proyección ortogonal a $l^T$, lo que implica que su imagen sea $l^T$.
De lo anterior, podemos concluir que la isometría $f(x)=E_\theta x+b$ solo tiene puntos fijos si $b\in l^T$
Otra forma de escribir la isometría
Finalmente, observemos que, cualquier $b \in \mathbb R^2$ puede ser escrito como suma de sus componentes respecto a la base normal $u, u^T$, es decir, como: $b-b1+b2$
Hemos conocido en esta unidad las transformaciones lineales y que a partir de ellas podemos asociarles una matriz única. En la sección anterior comenzamos con las primeras operaciones entre matrices: el producto de matrices y su estrecha relación con la composición de matrices. En esta unidad veremos las matrices más representativas y sus funciones lineales a las cuales están asociadas.
Matriz identidad
No es una familia de matrices, pero es el primer tipo de matriz que debemos mencionar. La matriz identidad está asociada a la función identidad y su tamaño es de $n\times n$, es decir el número de filas es el mismo que el de columnas. Se denota por $I$ pero como se tiene una matriz identidad para cada dimensión, se puede escribir como $I_n$.
La matriz identidad se caracteriza porque todos sus elementos son ceros ($0$) excepto aquellos elementos que se encuentran en la diagonal principal, que son unos ($1$).
Ejemplo. Para la función identidad $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, su matriz identidad asociada es
De hecho el producto de cualquier matriz por a matriz identidad no tiene ningún efecto, ya que siempre se cumple que $AI = A$ e $IA = A$.
Homotecias
Las homotecias son funciones de cambios de escala, porque conservan los ángulos pero no las distancias entre cualquier par de puntos. Sin embargo, todas las distancias se incrementan o disminuyen en una misma razón $k \in \mathbb{R}$, con $k \neq 0$, para una función $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$ definida por $f(x) = kx$, la cual es lineal.
La matriz asociada a estas funciones es $kI$, es decir la matriz que sólo tiene elementos $k$ en la diagonal principal y ceros ($0$) fuera de dicha diagonal. Cuando $k>1$ aumentan las distancias (dilataciones), cuando $k<1$ disminuyen (contraen) y en caso de que $k=1$, las distancias se conservan.
Ejemplo. Para el caso de una función lineal $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, la matriz de homotecia de $2\times 2$ asociada es de la forma
\[ f \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} \frac{1}{4}&0\\ 0&\frac{1}{4} \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} \frac{x}{4}\\ \frac{y}{4} \end{array} \right).\]
Vemos que la función corresponde a una homotecia que reduce las distancias entre cualquier par de puntos en una razón de $\frac{1}{4}$.
Rotaciones
Recordemos que en las rotaciones, todo el plano gira un ángulo $\alpha$ alrededor de un punto fijo (el origen del sistema coordenado) pero permanecen invariantes el tamaño y forma de las figuras.
Las columnas de la matriz asociada a las rotaciones en $\mathbb{R}^2$ con centro en el origen mediante un ángulo $\alpha$ son:
En consecuencia las rotaciones mandan al vector canónico $e_1$ en un vector unitario $u$ y al vector canónico $e_2$ en su vector ortogonal $u^{\perp}.$
Por tanto, para una función lineal $f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, su matriz de rotación asociada correspondiente es
Un hecho importante es que una vez que hubo una rotación de ángulo $\alpha$ y volvemos a aplicar una rotación pero de ángulo $-\alpha$, regresaremos a la matriz identidad. Es decir que con la ayuda de las igualdades
\[ cos\, (-\alpha) = cos\, \alpha \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} sen\, (-\alpha) = – sen \, \alpha,\]
se cumple que $R_{-\alpha}\, R_{\alpha} = I$. Este resultado lo dejaremos como ejercicio en la sección Tarea moral.
Ahora bien, si rotamos un ángulo $\beta$ y posteriormente un ángulo $\alpha$, rotamos entonces en total un ángulo $\alpha + \beta$, entonces se cumple que $R_{\alpha}\, R_{\beta} = R_{\alpha + \beta}$, pues
obteniendo las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de la suma de ángulos como consecuencia de la composición de funciones y la multiplicación de matrices.
Reflexiones
Para ver el significado geométrico que una reflexión ejerce sobre un vector, consideremos las funciones lineales:
Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, tal que $f \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} -x\\ y \end{array} \right) $ se llama reflexión con respecto al eje $y$.
Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, tal que $f \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} x\\ -y \end{array} \right) $ se llama reflexión con respecto al eje $x$.
Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, tal que $f \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} y\\ x \end{array} \right) $ se llama reflexión con respecto a la recta $y=x$.
respectivamente. De forma más general, las reflexiones deben parametrizarse por la mitad del ángulo de la imagen de $e_1$, quien es el ángulo de la recta respecto a la cual se hace la reflexión. Con ello, la reflexión en la recta con ángulo $\theta$ manda a $e_1$ en el vector unitario de ángulo $2\theta$, y su matriz asociada es:
Dejaremos como ejercicio moral ver que se cumplen $E_{\theta} E_{\theta} = I$ y que la composición de reflexiones es $E_{\alpha} E_{\beta}= R_{2(\alpha – \beta).}$
Matrices ortogonales
Una matriz ortogonal debe cumplir ser cuadrada y su función lineal asociada debe ser ortogonal (es decir, que preserva el producto interior). Entonces, para que se cumplan dichas condiciones, recurrimos a la siguiente definición:
Definición. Una matriz A de $n\times n$ es ortogonal (la matriz de una transformación ortogonal) si y sólo si $A \cdot A^T = I$.
Ejemplo. Para la matriz de reflexión con respecto a la recta $x=y$
\[ A = \left(\begin{array}{cc} 0&1\\ 1&0 \end{array} \right), \]
De hecho las matrices ortogonales de $2 \times 2$ son: las rotaciones y las reflexiones.
Tarea moral
¿Las siguientes matrices son matrices identidad?
\[ A = \left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 0&3 \end{array} \right), \hspace{0.5cm} B = \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1\\ 0&0 \end{array} \right), \hspace{0.5cm} C = \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right), \]
2. Demostrar que las homotecias tienen la propiedad de conmutar con cualquier otra matriz, es decir, $A(kI) = (kI) A$, donde $k$ es una constante real, $I$ es la matriz identidad y $A$ una matriz de $n\times n$.
3. Demostrar que la rotación de un ángulo $-\theta$ nos regresa a la unidad, es decir, probar que se cumple $R_{-\theta}R_{\theta}= I$
4. En la sección de reflexiones de esta entrada definimos a la matriz $E_{\theta}$. Demostrar que se cumple $E_{\theta} E_{\theta} = I$ y que la composición de reflexiones es $E_{\alpha}E_{\beta}= R_{2(\alpha – \beta).}$
Más adelante
En la siguiente entrada vamos a conocer al grupo de matrices invertibles de $n\times n$, el grupo general lineal de orden $n$; a las cuales pertenecen las matrices ortogonales. Además veremos la forma más fácil de saber si una matriz de $2\times 2$ es invertible, mediante el determinante y su relación con los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
En esta entrada estudiamos el tema de homotecia, se trata de una transformación que lleva una figura del plano a otra semejante, con lados correspondientes paralelos y vértices correspondientes concurrentes, esto nos permite entre otras cosas, abordar algunos problemas de construcciones geométricas.
Definición 1. Considera un punto $H$, un conjunto de puntos $F$ y $k$ un numero real, para cada $X \in F$ sea $X’$ tal que $X’$, $X$ y $H$ son colineales y $\dfrac{HX’}{HX} = k$.
Sea $F’$ el conjunto de puntos $X’$, diremos que los conjuntos $F$ y $F’$ son figuras homotéticas y los puntos $X$ y $X’$ son puntos homólogos.
$H$ se llama centro de homotecia, $k$ es la razón de homotecia y la relación entre $F$ y $F’$ es una homotecia con centro en $H$ y razón $k$. Por convención el centro de homotecia $H$ es su propio punto homólogo.
Si puntos homólogos de una homotecia están del mismo lado del centro de homotecia decimos que los conjuntos son directamente homotéticos y la razón de homotecia es positiva, si los puntos homólogos están en lados opuestos respecto del centro de homotecia decimos que las figuras son inversamente homotéticas y la razón de homotecia será negativa.
Homotecia de una recta
Teorema 1. La homotecia de una recta que no pasa por el centro de homotecia es una recta paralela.
Demostración. Sean $H$ y $k$ el centro y la razón de homotecia, y sea $l$ una recta que no pasa por $H$. Tomemos tres puntos arbitrarios $P$, $Q$, $R \in l$, sean $P’$, $Q’$ y $R’$ sus correspondientes puntos homólogos.
Análogamente vemos que $QR \parallel Q’R’$ y $PR \parallel P’R’$.
Supongamos que $P’$, $Q’$ y $R’$ no son colineales, entonces $\triangle P’Q’R’$ es un triángulo y así $\triangle PQR$ es un triángulo con lados paralelos a los de $\triangle P’Q’R’$, lo cual es una contradicción, pues $PQR$ es una recta.
Si fijamos $P$ y $Q$, y tomamos $R$ como variable, entonces $P’$ y $Q’$ son fijos y $R’$ es variable, así todos los puntos $R’$ son colineales con $P’$ y $Q’$.
Por lo tanto, la homotecia de una recta es una recta paralela a esta.
$\blacksquare$
Definición 2. Decimos que dos polígonos $ABCD…$ y $A’B’C’D’…$ son semejantes si los correspondientes lados son proporcionales $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’} =…$ y los ángulos correspondientes son iguales $\angle A = \angle A’$, $\angle B = \angle B’$, $…$
Corolario. Dos polígonos homotéticos son semejantes.
Demostración. Sean $A$, $B$ y $C$ vértices de un polígono $ABCD…$
Por el teorema anterior, los lados del triángulo $\triangle A’B’C’$, formado por los puntos homólogos de $A$, $B$ y $C$, son paralelos a los lados correspondientes de $\triangle ABC$, por lo tanto, los triángulos son semejantes y así los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales.
$\blacksquare$
Polígonos homotéticos
Teorema 2. Si los lados correspondientes de dos polígonos son proporcionales y paralelos entonces los polígonos son homotéticos.
Demostración. Sean $ABCD…$ y $A’B’C’D’…$ dos polígonos que cumplen las condiciones dadas, sea $H$ la intersección de las rectas $AA’$ y $BB’$ y supongamos que $CC’$ no pasa por $H$, entonces sea $H’ = CC’ \cap BB’$.
Figura 2
Como $AB \parallel A’B’$ y $BC \parallel B’C’$ entonces $\triangle HAB \sim \triangle HA’B’$ y $\triangle H’BC \sim \triangle H’B’C’$ $\Rightarrow \dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{HB}{HB’}$ y $\dfrac{BC}{B’C’} = \dfrac{H’B}{H’B’}$.
Ya que los lados correspondientes de $ABCD…$ son proporcionales a los de $A’B’C’D’…$, entonces $ \dfrac{HB}{HB’} = \dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’} = \dfrac{H’B}{H’B’} $ $\Rightarrow \dfrac{HB}{HB’} – 1= \dfrac{H’B}{H’B’} – 1 \Rightarrow \dfrac{HB – HB’}{HB’} = \dfrac{H’B – H’B’}{H’B’}$ $\Rightarrow \dfrac{B’B}{HB’} = \dfrac{B’B}{H’B’} \Rightarrow HB’ = H’B’$.
Por lo tanto, $H = H’$.
Así, $AA’$, $BB’$ y $CC’$ son concurrentes y $\dfrac{HA’}{HA} = \dfrac{HB’}{HB} = \dfrac{HC’}{HC}$, es análogo ver que las demás rectas que unen vértices correspondientes concurren en $H$.
Por tanto, $ABCD…$ y $A’B’C’D’…$ se encuentran en homotecia desde $H$ y por el corolario 1, $ABCD…$ y $A’B’C’D’…$, son semejantes, la razón de homotecia es la razón de semejanza, $\dfrac{HA’}{HA} = \dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’} =…$
$\blacksquare$
Observación 1. Si la razón de homotecia es 1, los lados correspondientes de las figuras $ABCD…$ y $A’B’C’D’…$ son congruentes y así $\square AA’B’B$ es un paralelogramo, es decir, $AA’$ y $BB’$ no pueden ser concurrentes.
Observación 2. En el caso particular cuando los polígonos son triángulos, solo es necesario pedir que los lados correspondientes sean paralelos, pues esto asegura la semejanza y por tanto la condición de proporcionalidad.
Rectas concurrentes
Proposición. Sea $\triangle ABC$ un triángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los puntos de tangencia del incírculo $(I, r)$ de $\triangle ABC$, con los lados $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente, sean $A’$, $B’$ y $C’$ la intersección de las rectas $AI$, $BI$ y $CI$ con el circuncírculo del triángulo $\triangle ABC$, entonces la rectas $A’D$, $B’E$ y $C’F$ son concurrentes.
Demostración. Notemos que $AF = AE$, pues son las tangentes trazadas desde $A$ a $(I, r)$ , como $\triangle AEF$ es isósceles entonces la bisectriz de $A$ es perpendicular a $EF$, $AI \perp EF$.
Figura 3
Por otro lado, tenemos que $\angle C’B’B = \angle C’CB = \dfrac{\angle C}{2}$ pues abarcan el mismo arco; el ángulo $\angle B’IA$ es un ángulo exterior del triángulo $\triangle AIB$, entonces $\angle B’IA = \angle BAI + \angle IBA = \dfrac{\angle A + \angle B}{2}$.
Sea $G = AI \cap C’B’$, en el triángulo $\triangle GIB’$ tenemos que $\angle IGB’ = \pi – (\angle C’B’B + \angle B’IA) $ $= \pi – \dfrac{\angle A + \angle B + \angle C}{2} = \dfrac{\pi}{2}$.
Por lo tanto, $AI \perp B’C’$ $\Rightarrow EF \parallel B’C’$, de manera análoga podemos ver que $ED \parallel B’A’$ y $DF \parallel A’C’$.
De lo anterior se sigue que $\triangle DEF \sim \triangle A’B’C’$, y por el teorema 2, $A’D$, $B’E$ y $C’F$ concurren en algún punto $H$ que es el centro de homotecia de los triángulos $\triangle DEF$ y $\triangle A’B’C’$.
$\blacksquare$
Inscribir un triángulo en otro triángulo dado
Problema. 1 En un triángulo dado inscribir un triángulo cuyos lados sean perpendiculares a los lados del triángulo dado.
Solución. Sea $\triangle ABC$ el triángulo dado, la idea es construir una homotecia desde uno de los vértices, tomemos $D \in BC$, distinto de $B$, $C$ y también diferente al pie de la altura por $A$.
Por $D$ trazamos la perpendicular a $BC$ que interseca a $AC$ en $E$, por $E$ trazamos la perpendicular a $AC$ que interseca a $AB$ en $F$.
Por $F$ trazamos la perpendicular a $AB$ que interseca a $DE$ en $G$.
Figura 4
Sea $G’ = BC \cap AG$, por $G’$ trazamos la paralela a $GE$ que interseca a $AC$ en $E’$, también trazamos la paralela a $GF$ por $G’$ que interseca a $AB$ en $F’$.
Por construcción $EE’$, $FF’$ y $GG’$ concurren en $A$, $G’F’ \perp AB$ y $G’E’ \perp AC$.
Como $\triangle AF’G’ \sim \triangle AFG$ y $\triangle AG’E’ \sim \triangle AGE$ $\dfrac{AF’}{AF} = \dfrac{AG’}{AG} = \dfrac{AE’}{AE}$.
Por tanto, $E’$, $F’$ y $G’$ son puntos homólogos de $E$, $F$ y $G$ respectivamente, con centro de homotecia en $A$.
Por el teorema 1, $E’F’ \parallel EF$ y así $E’F’ \perp AC$.
$\blacksquare$
Observación. Notemos que construimos $DE \perp BC$ y tal que $E \in AC$, pero pudimos haber construido $E \in AB$ de lo que resultaría un triangulo distinto $\triangle E’F’G’$ y por lo tanto tenemos dos soluciones.
Inscribir un cuadrado en un triángulo dado
Problema 2. Dado un triángulo, inscribir un cuadrado en el triángulo dado.
Solución. Sea $\triangle ABC$ el triángulo dado, construimos un cuadrado exteriormente $\square BDEC$ sobre $BC$, sean $D’ = AD \cap BC$ y $E’ = AE \cap BC$.
Como $BC \parallel DE$ entonces $D’$ y $E’$ son puntos homólogos de $D$ y $E$ respectivamente con centro de homotecia en $A$.
Por $D’$ trazamos una paralela a $BD$ que interseca a $AB$ en $B’$ y por $E’$ trazamos una paralela a $CE$ que interseca a $AC$ en $C’$.
Figura 5
Como $B’D’$ es transversal a $AB$ y a $AD$ y es paralela a $BD$ entonces $\dfrac{AB’}{AB} =\dfrac{AD’}{AD}$ y por tanto, $B$ y $B’$ son puntos homólogos, de manera similar podemos ver que $C$ y $C’$ son puntos homólogos.
Como $\square BDEC$ y $\square B’D’E’C’$ son figuras homotéticas entonces, por el corolario, son semejantes, por lo tanto, $\square B’D’E’C’$ es un cuadrado.
$\blacksquare$
Observación. Si alguno de los ángulos $\angle B$ o $\angle C$ es obtuso, entonces una de las rectas $AD$ o $AE$ intersecaría a $BC$ por fuera y no seria posible la construcción.
Así, si nuestro triángulo $\triangle ABC$ es obtusángulo tenemos que tomar como centro de homotecia el vértice del ángulo obtuso.
Si $\triangle ABC$ es acutángulo existen tres soluciones, una por cada vértice como centro de homotecia, y si es rectángulo hay dos soluciones.
Construir una secante a un triángulo dado
Problema 3. Dado un triángulo $\triangle ABC$, construye $D \in AB$ y $E \in AC$ tal que $BD = DE = EC$.
Solución. Supongamos que ya tenemos la figura requerida (figura 6). Por $A$ trazamos una paralela a $DE$ que interseca a $BE$ en $F$, por $F$ trazamos una paralela a $AC$ que interseca a $BC$ en $G$.
Figura 6
Como $AF \parallel DE$ y $FG \parallel EC$, por el teorema de Tales, tenemos $\dfrac{BA}{BD} = \dfrac{BF}{BE} = \dfrac{BG}{BC}$.
Así que $(A, D)$, $(F, E)$ y $(G, C)$ son pares de puntos homólogos, con centro en $B$.
Inversamente, para construir el cuadrilátero auxiliar $\square BAFG$ hacemos lo siguiente (figura 7), trazamos una circunferencia con centro en $A$ y radio $AB$, $(A, AB)$, construimos $L \in AC$ tal que $LC = AB$, trazamos una paralela $l_1$ a $BC$ por $L$, sea $F = (A, AB) \cap l_1$, trazamos una paralela $l_2$ a $AC$ por $F$, sea $G = BC \cap l_2$.
Finalmente, sean $E = AC \cap BF$ y $D$ la intersección de la paralela por $E$ a $AF$ con $AB$.
Por construcción $\square BDEC$ y $\square BAFG$ son homotéticos, con centro de homotecia en $B$, y tenemos que $\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{DE}{AF} = \dfrac{EC}{FG}$ $\Rightarrow BD = DE = EC$.
$\blacksquare$
Más adelante…
Continuando con el tema de homotecia, en la próxima entrada veremos circunferencias homotéticas.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Sean $B$, $B’$ y $C$, $C’$ pares de puntos homólogos de dos figuras homotéticas $F$ y $F’$, considera $A \in F$, por $B’$ y $C’$ tracemos paralelas a $AB$ y $AC$ respectivamente, sea $A’$ la intersección de estas dos últimas rectas, prueba que $A$ y $A’$ son puntos homólogos.
Si dos triángulos están en homotecia muestra que sus incentros, circuncentros, ortocentros y centroides son puntos homólogos, y que sus bisectrices, mediatrices, alturas y medianas son rectas homotéticas.
Dadas dos rectas $l_1$ y $l_2$ que se intersecan en un punto inaccesible, trazar una recta que pase por un punto dado $P$ y la intersección de las rectas dadas (figura 8).
Figura 8
En un triangulo dado inscribir un triangulo cuyos lados sean paralelos a las bisectrices internas del triangulo dado.
En un triangulo dado $\triangle ABC$, construir un cuadrado tal que un vértice este en la extensión de $AB$, otro en la exención de $AC$ y los otros dos vértices en $BC$.
Construir un triangulo $\triangle ABC$ dados $\angle A$, $AB + BC$ y $AC + BC$.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En este apartado, vamos a continuar con el estudio de las isometrías que se empezaron a analizar en la unidad anterior, las rotaciones y traslaciones.
Encontrando un punto fijo
Recuerda que ya definimos la rotación de un ángulo $\theta$ con centro en $c$ ($\rho_{\theta,c}$), en función de la traslación de $c$ al origen $\tau_c$ y la rotación de $\theta$ en el origen $\rho_\theta$, como: $\rho_{\theta,c}=\tau_c\circ \rho_\theta \circ \tau_{-c}$. Usando matrices, esta expresión se convierte en:
Observa que esta expresión es de la forma $Ax+b$ con $b$ constante, por lo que $\rho_{\theta,c} \in Iso^+ (2).
Por otro lado, si el problema se invierte y ahora queremos ver que una función $f(x)=Ax+b \in Iso^+ (2)$ es la rotación de una función en algún centro, debemos encontrar un punto fijo $c$ para el que $f(c)=c$. Es decir:
\begin{equation}c=Ac+b\end{equation}
\begin{equation}c-Ac=b\end{equation}
Esto quiere decir, que debemos encontrar una solución a la ecuación $x-Ax=b$, que se puede reescribir como:
\begin{equation}(I-A)x=b\end{equation}
Por lo que has visto en los capítulos anteriores, esperamos que, al ver esta expresión, hayas recordado que este sistema tiene solución única si y solo si su determinante es distinto de cero, donde su determinante es:
Donde puedes comprobar que $det(I-R_\theta)=2(1-\cos(\theta))$.
Lo anterior implica que, si $\theta\neq 0$, entonces $det(I-R_\theta)\neq 0)$, lo que resulta en una solución única para el sistema resultante que es $A=R_\theta$ el punto fijo que estábamos buscando. Finalmente, podemos concluir que $f$ es una rotación.
Centro de rotación para composición de rotaciones
Lo anterior implica el siguiente corolario:
Corolario A: La composición de rotaciones es una nueva rotación.
La nueva pregunta que surge es, ¿cuál es el centro de rotación de la composición de rotaciones? Las siguientes líneas, las dedicaremos a encontrar este nuevo centro de rotación.
Considera $\rho_{\alpha,a}$ y $\rho_{\beta,b}$ las rotaciones de ángulos $\alpha$ y $beta$ y centros en $a$ y $b$ respectivamente. La composición de estas dos rotaciones tiene un ángulo $\alpha + \beta$, pero su centro depende del orden de composición.
Para encontrar el centro de rotación, de forma geométrica, para $\rho_{\beta,b} \circ \rho_{\alpha,a}$, se trazan las líneas que van de $a$ a $b$, después, midiendo los ángulos a partir de esta recta, la línea que pasa por $a$ con ángulo $-\frac{\alpha}{2}$ y la que pasa por $b$ con ángulo $\frac{\beta}{2}$. La intersección de las últimas dos líneas es el nuevo centro de rotación $c$.
Observa que, para la composición $\rho_{\alpha,a} \circ \rho_{\beta,b}$, su nuevo centro de rotación es el reflejado de $c$ respecto de la línea que pasa por $a$ y $b$.
Tarea moral
Verifica que, efectivamente, se cumple que $det(I-R_\theta)=2(1-\cos(\theta))$.
Demuestra el Corolario A.
Como veremos más delante, las homotecias, son transformaciones de la forma $f(x)=kx+b$ donde $k\neq 0$ se conoce como el factor de expansión. Demuestra que las homotecias con $k\neq 1$ tienen un punto fijo (este punto fijo se llama centro de expansión).
Más adelante…
En la siguiente entrada de esta unidad, hablaremos sobre otro tipo de isometrías que ya estudiamos en la unidad anterior, las reflexiones.
En la entrada anterior definimos a un vector y a una matriz de una función lineal, podemos proceder a definir su producto. En esta entrada primero veremos cómo se realiza el producto de una matriz con un vector. Después trataremos la fuerte relación entre la composición de funciones y el producto de matrices. Con dicha relación, por último definiremos el producto de matrices cualesquiera.
Producto de una matriz con un vector
Si tenemos un matriz $A$ de $m\times n$, sabemos que una forma de ver a nuestra matriz es como un conjunto ordenado de $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$ y entonces se escribe $A=(u_1, u_2, \cdots, u_n)$, con $u_{i} \in \mathbb{R}^n$, donde $i=1,2,\cdots,n$. También sabemos que cada vector al que haremos referencia tiene la notación $x=(x_1, x_2, \cdots, x_n )^T$.
Vamos a definir con estos conceptos al producto de una matriz $A$ por un vector $x$:
Definición. El producto de una matriz $A$ de dimensión $m\times n$ de la forma
\begin{equation*} A = (u_1,u_2, \cdots, u_n), \end{equation*}
Ahora, para comprender mejor la definición del producto de matrices, que es el tema principal de esta entrada; es mejor hablar de su origen, el cual proviene de los sistemas lineales. Arthur Cayley (1821-1895) fue un matemático británico que analizaba los sistemas con dos ecuaciones y dos incógnitas:
\begin{align*} ax + by &= x’ \\ cx + dy &= y’ \end{align*}
como transformación del plano donde a cada punto $(x,y)$ le corresponde el punto $(x’,y’)$.
A la función de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ donde
Si lo que deseamos es que las dos transformaciones se ejecuten una detrás de la otra, es decir, que el punto $(x,y)$ vaya a la posición $(x´´,y´´)$; entonces para la primera ecuación se tendrá:
De hecho las definiciones de Cayley se generalizaron a cualquier dimensión. Con esta motivación vamos a definir el producto de matrices.
Multiplicación de matrices
Definición. Sean $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ y $g: \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}^k$ dos funciones lineales, la composición $g \circ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^k$ también será lineal. Sean las matrices $A$ de tamaño $m\times n$ y $B$ de tamaño $k\times m$ que corresponden a $f$ y a $g$ respectivamente. Definimos al producto de matrices $BA$ como la matriz $k\times n$ que corresponde a la función lineal $g \circ f$.
Entonces $BA$ es la única matriz de $k\times n$ que cumple:
Para comprender la definición, recordemos que la matriz $A$ con tamaño $m\times n$ está asociada a la función lineal $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ y la matriz $B$ con tamaño $k\times m$ está asociada a la función lineal $g: \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}^k$. La conversión se da por la convención existente en el orden en que se realiza la composición de funciones (hacia atrás).
La definición no nos indica cómo realizar la multiplicación de matrices, para lo cual conviene que recordemos primeramente que las columnas de una matriz son las imágenes de la base canónica bajo la función asociada. Entonces si $A=(u_1, u_2, \cdots, u_n )$ donde $u_i = f(e_i ) \in \mathbb{R}^m$, entonces $(g \circ f)(e_i) =g(f(e_i)) = g(u_i) = Bu_i$. Por tanto
\begin{equation*} BA = B (u_1,u_2, \cdots, u_n) = (Bu_1, Bu_2, \cdots, Bu_n). \end{equation*}
Ahora, para obtener las columnas de la nueva matriz, usaremos la multiplicación de $B$ por los vectores columna de $A$, que es la multiplicación que ya definimos en la primer parte de esta entrada.
Expresaremos cada una de las entradas de la matriz $BA$, pero nos conviene ver a la matriz $B$ como una columna de vectores renglón, obteniendo
Con esta fórmula podemos ver porqué es importante que el número de filas de $B$ (los transpuestos de los vectores $w_i$) debe ser el mismo número de columnas de $A$ (los vectores $u_j$) y comprender la mecánica para obtener las entradas de una matriz $k \times n$ a partir de una matriz $B$ con tamaño $k \times m$ y una matriz $A$ con tamaño $m \times n$.
Ejemplo. Sean
\[ B = \left(\begin{array}{ccc} 2&-1&0\\ 1&3&1 \end{array} \right), \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} A= \left(\begin{array}{cccc} 1&0&2&4\\ -1&-2&1&0\\ 3&5&6&1 \end{array} \right), \]
El producto $BA$ está bien definido porque $B$ es de tamaño $3\times 4$ y $A$ es de tamaño $2\times 3$, por tanto $BA$ es una matriz de $2\times 4$. Las filas de $B$ serán $w_1$ y $w_2$ y las columnas de $A$ serán $u_1, u_2, u_3$ y $u_4$, es decir:
Por tanto, $BA$ es la matriz:
\[ BA = \left(\begin{array}{cccc} 3&2&3&8\\ 1&-1&11&5 \end{array} \right). \]
Ejemplo. Tomemos las matrices $A$ y $B$ del ejemplo anterior, observemos que no podemos realizar el producto $AB$, ya que el número de columnas de $B$ es $4$ y el número de filas de $A$ es $2$ y éstos números no coinciden.
En conclusión, el producto de matrices no es conmutativo, de hecho, aunque existan ambos $AB$ y $BA$, éstos no tienen porqué coincidir.
Ejemplo. Sean \[ A = \left(\begin{array}{cc} 7&0\\ -1&0 \end{array} \right), \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} B= \left(\begin{array}{cc} 0&2\\ 0&-5 \end{array} \right), \]
podemos calcular $AB$ y $BA$, obtenemos
\[ AB = \left(\begin{array}{cc} 0&14\\ 0&-2 \end{array} \right), \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} BA= \left(\begin{array}{cc} -2&0\\ 5&0 \end{array} \right), \]
y vemos que $AB \neq BA.$
Tarea moral
Aunque $A$ y $B$ no sean las matrices cero (cuyas entradas son todas cero), su producto sí puede serlo. Den un ejemplo de 2 matrices tales que $AB=0$, pero $A\neq 0$ y $B \neq 0$, donde $0$ es la matriz cero.
Demuestra que si $A, B, C$ son matrices $2\times 2$, entonces $A(B+C) = AB +AC$ y $(A+B)C= AC +BC$.
Demuestra que si $A,B, C$ son matrices de $3\times 3$, entonces $A(BC) = (AB)C$, es decir que el producto de matrices es asociativo. Por tanto, podemos escribir al producto simplemente como $ABC$.
Realizar el producto de matrices $AB, BC, AC$ y justificar en caso de que no pueda efectuarse alguno de los productos.
Más adelante
En la primera parte de la unidad 3 vimos distintos tipos de transformación de funciones. Para la segunda parte definimos matrices de tamaño $m\times n$, matrices asociadas a funciones lineales y en esta entrada vimos la operación del producto de matrices.
A continuación vamos a ver algunas de las familias de matrices más representativas que están asociadas a funciones. Nos serán familiares dichas funciones porque las trabajamos en la primera parte de esta Unidad 3.
